मूलभूत फलन - द्विघातीय फलन और उनके ग्राफ

'(1)\\[\n\egin{aligned}\ny^{\\prime} & =-3 x^{2}+12 x-9 \\\\\n& =-3\\left(x^{2}-4 x+3\\right) \\\\\n& =-3(x-1)(x-3)\n\\end{aligned}\n\\]\nजब \ y^{\\prime}=0 \ है, \ x=1,3 \\n\ y \ के वृद्धि और घटन का सारणी जैसा दिखाया गया है। इसलिए, चित्र फिगर(1) के रूप में है\n\n(2) \\( y^{\\prime}=x^{2}+2 x+1=(x+1)^{2} \\)जब \ y^{\\prime}=0 \ है, \ x=-1 \य \ y \ के वृद्धि और घटन का सारणी जैसा दिखाया गया है। इसलिए, यह हमेशा मोनोटोनिक रूप से बढ़ता है। इसलिए, चित्र फिगर(2) के रूप में है\n\n\\n\egin{\overlineray}{c||c|c|c|c|c}\n\\hline x & \\cdots & 1 & \\cdots & 3 & \\cdots \\\\\n\\hline y^{\\prime} & - & 0 & + & 0 & - \\\\\n\\hline y & \\searrow & \\text{न्यूनतम -2} & \\nearrow & \\text{अधिकतम 2} & \\searrow \n\\hline\n\\end{\overlineray}\n\'

'असमीया y > x^{2}-3 x द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र का चित्रण करें।'

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"f(x)=6x^2-6x+3a, जहाँ f'(x)=6x^2-6x+3a, के दो भिन्न वास्तव संख्या समाधान होने के लिए शर्त क्या है?"

'x के 2 गुण की फ़ंक्शन के लिए, y=x^2 के ग्राफ़ से 2 बिंदुओं पर समांतर रूप से संरेखित प्रत्येक वाक्य खोजें। यहां, दो फ़ंक्शन के ग्राफ़ किसी बिंदु पर समांतर हैं, और उस बिंदु को वे साझा करते हैं और उनके स्पर्शक एक-दूसरे को समांतर करते हैं।'

'x^{2}+y^{2}=10\n(1) y=-x+2\nx^{2}-2 x-3=0\n(x+1)(x-3)=0\nइसलिए, x=-1 या x=3 के लिए, y=3 या y=-1\nइसलिए, वृत्त (A) और रेखा (1) दो बिंदुओं पर (-1,3),(3,-1) को केटते हैं।'

'54 (1) f(x) = t^2 + at + b - 1'

'जब बिंदु P(x, y) को यूनिट वृत्त पर चलते हुए, 15x^2+10xy-9y^2 का अधिकतम मान और अधिकतम मान देने वाले बिंदु P के निर्देशांक ढूंढें।'

'x=1,4 पर अधिकतम मान \\frac{4}{3}; x=2,5 पर न्यूनतम मान -\\frac{16}{3}'

'चलिए दो गुणांक की सर्वाधिक और सर्वन्नतिम मानों, साथ ही त्रिकोणमितीय समीकरणों वाले समीकरणों की समीक्षा करें! गणित I में उदाहरण 72 की ओर फिर से देखें! याद करें कि हमने दो गुणांक के सर्वोत्तम और सर्वनन्नम मान कैसे निकाले। पहले, वर्ग पूरा करें और ग्राफ बनाएँ। दो गुणांक य=4t^{2}+4t+6 का ग्राफ बनाने के लिए, दाहिनी ओर वर्ग पूरा करें ताकि इसे मानक रूप में रखा जा सके।'

'दो बाह्य रेखाएँ y=x^{2} (1) और y=-x^{2}+x-a (2) के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'हम 2 गुणकीय समीकरण, अधिकतम, न्यूनतम और त्रिकोणमितीय कार्यों सम्बंधित समीकरणों की समीक्षा करें!'

"(2) अगर y' = 12x - 3x^2 = -3x(x-4) और y' = 0 है, तो x=0,4 पर y का वृद्धि और वृहदानू मानचित्र निम्नलिखित है। इससे, x=4 में अधिकतम मान 32 होता है और x=0 पर न्यूनतम मान 0 होता है।"

'समीकरण f(x)=x^{2}+2x-1 में, x की मान निम्नलिखित परिवर्तन के समय औसत परिवर्तन दर ढूंढें।'

'समीकरण y>x^{2} द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र x=y^{2} के ऊपर है। इसे संदर्भ के रूप में उपयोग करके निम्नलिखित असमितियों द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र को चित्रित करें:'

'निम्नलिखित असमिकाओं द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र का चित्रण करें। (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x-3 y-9<0 \\\\ 2 x+3 y-6>0\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+y^{2} \\leqq 9 \\\\ x-y<2\\end{\overlineray}\\right. (3) $1<x^{2}+y^{2} \\leqq 4$'

'समीकरण y=x^{2}-x के ग्राफ़ पर बिंदु C(1,-1) से खींची गई स्पर्शगरे की समीकरण ढूंढें।'

'निम्नलिखित पराबोलों और x-अक्ष द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल S निकालें।\n(1) y=1-x^{2}\n(2) y=x^{2}+x-2\n(3) y=2x^{2}+x-1'

'तिगुना कार्य का ग्राफ और x-अक्ष के साझेदार बिंदु'

'पराबोला y=x^{2} परे दो बिंदुओं (-1,1), (2,4) पर दो स्पर्शों की समीकरण और इस पराबोला द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें।'

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'वृत्त पर बिंदु (-1,0) पर टैंजेंट रेखा की समीकरण ढूंढें।'

'तिगुनात्मक समीकरण का अधिकतम और न्यूनतम ढूँढें'

'वृत्त x^2 + y^2 = 5 पर बिंदु P(1, -2) पर स्पर्श रेखा की समीकरण ढूंढें।'

'र>0 करें। जब पराबोला y=x^{2}-1 और वृत्त x^{2}+y^{2}=r^{2} के 4 साझा बिंदु हैं तो r के मान का सीमा खोजें।'

'क्या पराबोला C: y=x^{2}+1 पर बिंदु (t, t^{2}+1) पर स्पर्श रेखा की समीकरण है? C पर दो स्पर्श रेखाएँ हैं, उनकी समीकरण क्या हैं?'

'जब x = 3 है, तो अधिकतम मान 648 है, और जब x = 1 है, तो न्यूनतम मान 72 है।'

'x = -1 पर एक स्थानीय अधिकतम 5 है, x = 3 पर एक स्थानीय न्यूनतम -27 है। x = 4 पर एक स्थानीय अधिकतम 32 है, x = 0 पर एक स्थानीय न्यूनतम 0 है। कोई अत्यंतता नहीं, कोई अत्यंतता नहीं।'

'परीक्षा में पास होने के लिए क्या रणनीतियाँ हैं? कृपया विशिष्ट सुझाव दें।'

'जब बिंदु \\((x, y)\\) कोआर्थनिक समतल पर समाधान द्वारा निर्धारित सेट पर हिलता है तो \\((x^{2}+y^{2})^{2}-\\left(3 x^{2}-y^{2}\\right) y=0, x \\geqq 0, y \\geqq 0\\) पर, \x^{2}+y^{2}\ की अधिकतम मान और इस अधिकतम मान को प्राप्त करने वाले \x, y\ के मान। [चिबा विश्वविद्यालय]'

'सम्मिश्रता और उसकी उल्टी फ़ंक्शन के ग्राफ के समान बिंदु (3) \\( f(x)=-\\frac{1}{2}x^{2}+2(x \\leqq 0) \\) की उल्टी फ़ंक्शन को \\( f^{-1}(x) \\) कहा जाता है, इस समय, \\( y=f(x) \\) के ग्राफ और \\( y=f^{-1}(x) \\) के ग्राफ के समानबिंदु की निर्धारण करें।'

'पाराबोला y²=4x को सी लें। \n(1) yah pata lagayein कि पाराबोला C के लिए म की नर्मल का समीकरण। \n(2) x अक्ष पर बिंदु (a, 0) से कितनी नॉर्मल C पर्चीत की जा सकती हैं? यहाँ दें कि a ≠ 0।'

'निम्नलिखित द्विघातीय समीकरण द्वारा प्रतिनिधित कोनिक खंड किस प्रकार का होता है उसका उत्तर दें।'

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'एक द्विघातीय समीकरण का ग्राफ और x'

'कार्य का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें। (3) y=x^2-4x+2 (-2 < x ≤ 4)'

'निम्नलिखित समीकरणों के ग्राफ बनाएं:'

'ज्यामितीय कार्य को ढूंढें जो दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरता है।'

'k के मान के आधार पर अलग-अलग मामलों को ध्यान में रखते हुए डिटर्मिनेट करें कि अपवाद y=x^{2}-2x+2k-4 और x-अक्ष के बीच संग्रहण समान की संख्या।'

'फ़ॉकस y=-x^{2}+3x-1 को उसे फ़ॉकस y=-x^{2}-5x+2 को कैसे समान्तर परिसरित किया गया है।'

'क्षैतिज दिशा में 2 और उत्तरदिशा में -1 स्थानांतरण करने पर जो चाप य=-2x^2+3 के साथ सहमत होती है, उस गोलारेखा की समीकरण ढूंढें।'

'साबित करें कि समीकरण $y = mx^2 - 4(m+1)x + m+3$ का ग्राफ़, स्थायी संख्या $m$ के मान के अनुसार हमेशा $x$ अक्ष के साथ एक बिंदु सें मिलता है।'

'जब a एक स्थिर मान हो, तो समीकरण f(x) = -x^2 + 2ax (0 ≤ x ≤ 4) का अधिकतम और न्यूनतम मान कैसे निकालें।'

'समीकरण की अधिकतम और न्यूनतम मानों को खोजें। (2) y=2x^2-4x+3 (x ≥ 2)'

'दिए गए लंबाई a, b के रेखांकन में, 2 वर्ग समीकरण x^2 - ax - b^2 = 0 की सकारात्मक विकल्प के रूप में लंबाई चित्रित करें।'

'पाराबोला और सीधी रेखा के संयोग बिंदु'

'पीआर f(x)=x^{2}-2 a x-a+6 के लिए, -1 ≤ x ≤ 1 पर हमेशा f(x) ≥ 0 होने वाले स्थिर a के मान का सीमा खोजें।'

'निर्धारित करें स्थिर a और b के मान, ताकि द्विगुणी कार्य य = ax^{2} + bx - 1 बिंदु (1, 0) और (-2, -15) से गुजरे।'

'जब फ़ंक्शन f(x)=ax^{2}-2ax+a+b की अधिकतम मान 3 है और न्यूनतम मान -5 है, तो स्थायी a, b के मान का पता लगाएं।'

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'मौलिक उदाहरण 86 एक पराबोला और रेखा के संवाद स्थान\nएक पराबोला y=x^{2}-3 x+3 और एक रेखा y=2 x-a है।\n(1) जब a=1 हो, तो दो ग्राफ़ों के संवाद स्थान की निर्धारण करें।\n(2) ऐसा सबित करें कि निरंतर a की मान से दो ग्राफ़ों के पास केवल एक संवाद स्थान हो।\n(3) ऐसा सबित करें कि निरंतर a की मान के लिए सीमा तय करें जिससे दो ग्राफ़ों के पास कोई संवाद स्थान न हो।'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाली पराबोलों की समीक्षा करें।'

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'दो बार की समीकरण जिसका शीर्षक बिंदु (2, -3) पर है और x-अक्ष से छोटी हुई रेखा की लंबाई 6 है।'

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'कंपनी ए चॉकलेट बेचती है। बेची गई चॉकलेट की संख्या, y (जहां y 1 या इससे अधिक पूर्णांक है), यह बेचने कीमत p येन प्रति चॉकलेट के साथ संबंधित है:\ny = 10 - p\n(1) कंपनी ए की राजस्व को अधिकतम करने वाली बिक्री मूल्य p और बेची गई चॉकलेट की संख्या y के मान ढूंढें। राजस्व को बेची गई कीमत और मात्रा का उत्पाद माना जाता है।\n(2) y चॉकलेट बेचने के कुल लागत c(y) दी गई c(y) = y^2 से है। कंपनी ए की लाभ (राजस्व से कुल लागत कम करें) को अधिकतम करने वाली बिक्री मूल्य p और बेची गई चॉकलेट की संख्या y के मान निर्धारित करें।\n(3) (2) में, यदि कुल लागत c(y) को c(y) = y^2 + 20y - 20 में बदल दिया जाए, तो कंपनी ए की लाभ को अधिकतम करने वाली बिक्री मूल्य p और बेची गई चॉकलेट की संख्या y के मान ढूंढें।'

' (1)~(4) फ़ंक्शन के बीच से दो फ़ंक्शनों को चुनें जिनका x = 2 पर अधिकतम मान है, और उन फ़ंक्शनों का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'द्विघातीय समीकरणों का निर्धारण (2)'

'क्वाड्रेटिक फ़ंक्शन y = x^2 - 4x + 3 के ग्राफ़ C और बिंदु A(0, -1) के लिए, निम्नलिखित ढूंढें: (1) ग्राफ़ C को x-अक्ष के समानांतर परिवर्तित करें ताकि यह बिंदु A से गुजरें'

'निश्चित करें कि स्थायी a का मान एक हो जाता है जिसके अलग-अलग कारक y=x^{2}-a x+a+1 x-अक्ष से स्पर्धा करते हैं। साथ ही, स्पर्श बिन्दु के संदर्भ में निर्धारित करें।'

'कंप्यूटर ग्राफ प्लॉटिंग सॉफ्टवेयर का उपयोग करके द्विघातीय समीकरण y=ax^{2}+bx+c की चित्रण बनाएं। इस सॉफ्टवेयर में, स्क्रीन पर A, B, C के लिए मान दर्ज करने से, a, b, और c के लिए मानों के लिए मेन संख्या का चित्र प्रदर्शित करेगा।'

'वह द्विघातीय समीकरण ढूंढें जो निम्नलिखित स्थितियों को पूरा करता है अपनी ग्राफ के लिए:'

'पराबोला y=x^{2}-3x-1 को 2 बिंदुओं (1,-1),(2,0) से गुज़रने के लिए समरेखित करें, जब इसे समरेखित किया गया, तो पैराबोला को शीर्ष बिंदु खोजें।'

'मान के साथ द्विघातीय समीकरण का चित्र'

'स्थायी संख्या c की मान तय करें ताकि समीकरण का अधिकतम मान 7 हो। साथ ही, उस समय का न्यूनतम मान भी निकालें।'

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'यह एक दोहरी समीकरण के अधिकतम और न्यूनतम को ढूंढने की समस्या है। कृपया नीचे दिए गए द्विघातीय समीकरण का शीर्षक खोजें और उस मान के आधार पर अधिकतम या न्यूनतम निर्धारित करें।'

'द्विघातीय समीकरण और ग्राफ\n\nद्विघातीय समीकरण का ग्राफ\n$\\ Delta y=a(x-p)^{2}+q(a \\ neq 0)$ का ग्राफ: शीर्षक $(p, q)$, धुरी $x=p$ है\nयदि $a>0$, तो पराबोला नीचे ढली हुई है; यदि $a<0$, तो पराबोला में उभार है\n\n$D y=a x^{2}+b x+c(a \\ neq 0)$ का ग्राफ: वर्ग पूर्ण करना\n\\[ y=a\\left(x+\\frac{b}{2 a}\\right)^{2}-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a} \\]\nशीर्षबिंदु $\\left(-\\frac{b}{2 a},-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\\right)$, धुरी $x=-\\frac{b}{2 a}$ है\nयदि $a>0$, तो पराबोला नीचे ढली हुई है; यदि $a<0$, तो पराबोला में उभार है'

'निम्नलिखित द्विघातु समीकरणों के ग्राफ के द्वारा खंडित की गई रेखा की लंबाई निकालें।'

'ऐसी स्थिति में $a$ के मान की श्रेणी ढूँढें जिसमें दूसरे डिग्री का समीकरण $x^{2}-2(a-1)x+(a-2)^{2}=0$ के दो अलग-अलग वास्तव संख्या समाधान $\\alpha, \eta$ है जो $0<\\alpha<1<\eta<2$ को पूरा करते हैं।'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाली द्विघातीय समीकरण खोजें। (1) ग्राफ़ का शिखर बिंदु (1,3) पर है और यह बिंदु (-1,4) से गुजरता है। (2) ग्राफ़ का धुरी x=4 रेखा है और यह बिंदु (2,1) और (5,-2) से गुजरता है। (3) यह x=3 पर अधिकतम मान 10 लेता है और x=-1 पर y=-6 है।'

'व्याख्या करें कि y=-2x^2+3 पराबोला को x-अक्ष के पारात्मक रूप में -2 यूनिट और y-अक्ष के पारात्मक रूप में 1 यूनिट ले जाने का तरीका और परिणामी पराबोला के समीकरण को ढूंढें।'

'एक पाराबोला y=2 x^{2}+a x+b को x-अक्ष की दिशा में 2 इकाइयाँ और y-अक्ष की दिशा में -3 इकाइयाँ स्थानांतरित किया गया है, जो y=2 x^{2} के साथ समकक्ष है। निर्धारित a और b के मान ढूंढें।'

'दिए गए प्रश्न का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'60 (1) \ x= \\pm 2 \ पर अधिकतम मान 8 है, \ x=0 \ पर न्यूनतम मान -4 है\n(2) \ x=2 \ पर न्यूनतम मान 3 है, अधिकतम मान मौजूद नहीं है\n(3) \ x=2 \ पर न्यूनतम मान -2 है, अधिकतम मान मौजूद नहीं है\n(4) \ x=0 \ पर अधिकतम मान 1 है, न्यूनतम मान मौजूद नहीं है'

'64 (1) \ a<2 \ के वक्त, \ x=4 \ पर अधिकतम मान \ -24 a+53 \ है; जब \ a=2 \ होता है, तो \ x=0,4 \ पर अधिकतम मान 5 है; जब \ a>2 \ होता है, तो \ x=0 \ पर अधिकतम मान 5 है; (2) जब \ a<0 \ हो, तो \ x=0 \ पर न्यूनतम मान 5 है; जब \ 0 \\leqq a \\leqq 4 \ हो, तो \ x=a \ पर न्यूनतम मान \ -3 a^{2}+5 \ है; जब \ a>4 \ हो, तो \ x=4 \ पर न्यूनतम मान \ -24 a+53 \ है'

'उस उत्तेजक की समीकरण खोजें जिसे x = 2 इकाइयों के समानांतर और y = -1 इकाई के समानांतर प्रस्थान में रखकर प्राप्त किया गया हो।'

'द्विघातीय समीकरण के तीन रूप होते हैं: मानक रूप, सामान्य रूप और विश्लेषण रूप। कृपया प्रत्येक रूप की विशेषताएँ और उन्हें कब उपयोग किया जाना चाहिए उसे समझाएं।'

'ऐसे संदर्भ के लिए सामान्य $a$ के मान की रेंज ढूंढें जिससे समीकरण $a x^{2}+(a+7) x+2 a-7=0$ के दो अलग-अलग वास्तविक व्युत्पन्न दोनों $-3<x<3$ सीमा के भीतर हो।'

'निम्नलिखित दो द्विघातीय समीकरणों के ग्राफ और x-अक्ष के बीच समाप्ति बिंदुओं की संख्या ढूंढिए।'

'निम्नलिखित कार्य का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें: (4) y=-x^2-6x+1 (0 ≤ x < 2)'

'समाधान की अधिकतम और न्यूनतम मान का पता लगाएं। (1) y=3x^2-4 (-2 ≤ x ≤ 2)'

'निम्नलिखित द्विघातीय समीकरणों का ग्राफ बनाएं। साथ ही, उनके शीर्षक और धुरी का पता लगाएं।'

'द्विघातीय समीकरण का अधिकतम और न्यूनतम'

'अध्याय 4 द्वि-पद फलन: 132 द्वि-पद फलनों का समाधान'

'जब डिब्बाकार रेखा y=x^{2}-(k+2)x+2k x-अक्ष से छेता है और एक लंबाई 3 के रेखांकित बिंदु को काटता है, तो स्थिर k की मान ढूंढें।'

'अध्याय 4 द्विघातीय फ़ंक्शन: 112 वीं डिग्री फ़ंक्शन का ग्राफ़'

'पूर्ण करने के तरीके का उपयोग करके एक द्विघातीय समीकरण y=ax^2+bx+c की ग्राफ बनाएं।'

'जब पाराबोला y=x^{2}+a x-2 का शीर्ष विंडो सीधी रेखा y=2 x-1 पर होता है, तो स्थिर a की मान ढूंढें।'

'एक गेंद को भूमि से ऊपर की ओर मारा जाता है, t सेकंड के बाद ऊंचाई y मीटर है, तो y t की द्विघातीय समीकरण बन जाता है। अगर 6 सेकंड के बाद गेंद की ऊंचाई 176.4 मीटर तक बढ़ जाती है, तो y को t की कैसे व्यक्त किया जा सकता है?'

'जब पराबोला y=x^2+ax-2 का शिखर रेखा y=2x-1 पर होता है, तो स्थिर a की मान ढूंढें।'

'x^{2}+2(y-2)^{2}=18 के लिए, 2 x^{2}+3 y^{2} की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें। साथ ही, उस समय x और y के मान भी निर्धारित करें।'

'निम्नलिखित द्विघातीय समीकरणों के लिए अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें:'

'निम्नलिखित द्विघातीय समीकरणों के ग्राफ और x-अक्ष के बीच समावाद की संख्या की गणना करें।'

'a के लिए मान्य तरीकों के लिए, 0 ≤ x ≤ 2 सीमा में f(x)=3 x^{2}-6 a x+2 की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'निम्नलिखित उदाहरण को क्या एक कार्य है या नहीं जानें: "x के वर्गमूल के लिए, x = 16 है, इसलिए y = 4 और y = -4, इसलिए y x का कार्य नहीं है"'

'मान लो कि द्विघातीय समीकरण $y=-2x^{2}+ax+b$ बिंदु $(3,-8)$ से गुजरता है। जब यह ग्राफ़ $x$-अक्ष को स्पर्श करे तब स्थायी $a$ का मान खोजें।'

'x अक्ष के लिए सममित करने वाले अपवाद y=-2x^{2}+4x-4 की समीकरण ढूंढें, और फिर उसे x अक्ष के संदर्भ में 8 इकाइयों में पारलेल और y अक्ष की दिशा में 4 इकाइयों में मोव करने के द्वारा प्राप्त किया गया अपवाद का समीकरण।'

'दिए गए शर्तों को पूरा करने वाले द्विघातीय समीकरण को कैसे निर्धारित किया जाए'

'जबावान यदि कोई हो तो निम्नलिखित द्विघातीय समीकरणों के अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें।'

'निम्नलिखित पराबोलों और रेखाओं के बीच समांतर बिंदुओं की संयोजनांक खोजें।'

'द्विघातीय समीकरण की अधिकतम और न्यूनतम मान'

'जब x^{2}+y^{2}=4 हो, तो 2 y+x^{2} की अधिकतम और न्यूनतम मानों का पता लगाएं। साथ ही, उस समय x और y के मान भी निर्धारित करें।'

'द्विघातीय समीकरण $y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3$ की ग्राफ़ के बारे में, निम्नलिखित सवाल का उत्तर दें: (1) $x$ अक्ष और कोई साझा बिंदु न होने पर, स्थायी $k$ के मान की सीमा खोजें।'

'निम्नलिखित समीकरणों के ग्राफ़ बनाएँ: (1) y=2x^2-4x-1 (2) y=-x^2-2x+4 (3) y=-x^2+4x-3'

'इक्कीसे गुणाकारक वाली द्विघातक फलन ढूंढें जिसपर द्विघातक मान -1 है, ग्राफ बिंदु (1,1) से गुजरता है, और शीर्षबिंदु y=x पर है।'

'निम्नलिखित समीकरणों के लिए अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें:'

'क्वाड्रेटिक समीकरण y = x^2 - 6x + 6 के ग्राफ और x-अक्ष के समानांक की निकटतम निशानी का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित द्विघातीय समीकरण का ग्राफ बनाएं।'

'क्वाड्रेटिक फ़ंक्शन y = mx^2 + 3x + m का ग्राफ़ हमेशा x-अक्ष के ऊपर होता है'

'नीचे दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच संबंध की स्पष्टीकरण करें।'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले एक द्विघातक समीकरण खोजें।'

'द्विघातीय समीकरण y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3 के ग्राफ के बारे में, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'एक द्विघातीय समीकरण की अधिकतम और न्यूनतम मान ...... ध्वज का स्थान महत्वपूर्ण है। उदाहरण 83 का उत्तर फिर से देखने पर पाया गया है कि विभिन्न स्थितियों को विचारना है, लेकिन मुद्रित क्षेत्र के साथ ध्वज (शिखर) कहां स्थित है, यह महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, किसी द्विघातीय समीकरण के ऊर्ध्वाधर ग्राफ के लिए, इसे निम्नलिखित रूप में विभाजित किया जा सकता है: 1. ध्वज (शिखर) क्षेत्र में है। 2. ध्वज (शिखर) क्षेत्र से बाहर है। ऊर्ध्वाधर ग्राफ की स्थिति में, यह इस प्रकार है। ठीक है। मात्रा को उलटा दिया जाएगा। ध्वज (शिखर) क्षेत्र के अंदर या बाहर होने पर, और ध्वज (शिखर) क्षेत्र के मध्य स्थान के बाएं या दाएं होने पर विभिन्न स्थितियाँ मौजूद हैं। उदाहरण 83 में, हालांकि अधिकतम और न्यूनतम मान एक साथ विचार किए जा रहे हैं, लेकिन अगर हम अधिकतम और न्यूनतम मानों का अलग-अलग मान करें, तो होगा क्या?'

'निम्नलिखित दो वर्गीय समीकरणों की ग्राफ बनाएं और उनके वर्टेक्स और धुरा खोजें।'

'(1) y=-(x-1)^{2}+1, \\quad y=-(x-2)^{2}+2 \\\\ \\left[y=-x^{2}+2 x, \\quad y=-x^{2}+4 x-2\\right]'

'(1) क्योंकि धुरी सीधी रेखा x=4 है, इसलिए खोजी गई द्विघातीय समीकरण y=a(x-4)^{2}+q के रूप में दर्शायी जा सकती है। क्योंकि ग्राफ़ दो बिंदुओं (2,1),(5,-2) से गुजरता है, इसलिए 1=a(2-4)^{2}+q, -2=a(5-4)^{2}+q है। इन समीकरणों को संरचित करने पर, 4a + q = 1 और a + q = -2 मिलता है। इन समकक्ष समीकरणों को हल करें और द्विघातीय समीकरण प्राप्त करें।'

'(1) उस पराबोला को दिखाएं y = x ^ 2 + ax + a-4, कि स्थायी a की मान के कारण हमेशा x-अक्ष के साथ दो विभिन्न बिंदुओं पर खो मिलते हैं।'

'2 वर्गीय कार्य का पता लगाएं जो x=3 पर 1 की अधिकतम मान लेता है और x=5 पर y=-1 होता है।'

'स्थिर a के मान की श्रेणी निर्धारित करें ताकि यह डरावनेप्पवृत्ति y=x^{2}-8ax-8a+24 x अक्ष के सकारात्मक हिस्से को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटे।'

'निम्नलिखित द्विघातीय कार्यों की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'द्विघातीय समीकरण के ग्राफ और x-अक्ष के स्थान संबंधों की जांच करने के लिए, निम्नलिखित को समझना आवश्यक है। द्विघातीय समीकरण के ग्राफ और x-अक्ष के प्रतिस्थान बिंदुओं की y अग्रक हमेशा 0 होती है, इसलिए जब y = 0 हो, तो x के मान वाले प्रतिस्थान बिंदुओं का x अंक है। अर्थात, निम्नलिखित समस्याओं को हल करना महत्वपूर्ण है।\n1. द्विघातीय समीकरण y=ax^2+bx+c के ग्राफ और x-अक्ष के प्रतिस्थान बिंदु का x अक्षमान ढूढ़ें।\n2. एक ही प्रतिस्थान बिंदु होने पर उसे क्या कहा जाता है? वह क्या है?'

'निम्नलिखित द्विघातीय समीकरणों की ग्राफ और x-अक्ष के साझे बिंदु की संख्या ढूंढें।'

'जब एक गेंद को भूमि से ऊपर की ओर फेंका जाता है और t सेकंड के बाद ऊंचाई y मीटर होती है, तो y t का द्विघाती फ़ंक्शन बन जाता है। अगर फेंकने के 6 सेकंड बाद गेंद की ऊंचाई 176.4 मीटर सबसे अधिक है, तो y को t का कैसे व्यक्त किया जाता है?'

'क्वाड्रेटिक फ़ंक्शन y=ax^{2}+bx+c को अधिकतम और न्यूनतम रूप में बदलें y=a(x-p)^{2}+q (पूर्ण वर्ग करना)। जब a>0 हो, तो न्यूनतम मान x=p पर होता है, जो q होता है। जब a<0 हो, तो अधिकतम मान x=p पर होता है, जो q होता है।'

'चलो पैराबोला बनाएं!'

'निम्नलिखित समीकरणों के ग्राफ़ बनाएं।'

'निम्नलिखित पराबोलों के लिए द्विघातीय समीकरण ढूंढें: (1) वर्टेक्स पॉइंट (2, -3) पर है, जो बिंदु (3, -1) से होने वाली पाराबोला (2) एक्सिस रेखा x=4 पर है, जो बिंदु (2,1) और (5,-2) से होने वाली पाराबोला'

'क्वाड्रेटिक समीकरण y=ax^2+bx+c का ग्राफ बनाएं (2)'

'कृपया नीचे दिए गए द्विघातीय समीकरण की अधिकतम मान निकालें: f(x) = -2x^2 + 4x'

'एक्स बराबर -4 पर अधिकतम मान 21 है, और एक्स बराबर 0 पर न्यूनतम मान -3 है'

'निम्नलिखित शर्तों (अ), (ब), (स) को पुनः लिखें ताकि वे सभी शर्त (द) के बराबर हो जाएं।'

'चुनिए। ए, बी एवं एकस्तिथि को लेकर, द्विघातीय समीकरण y=x^{2}+ax+b का चित्र F है। F के बारे में दिए गए (1) से (6) में से दो सही कथन का चयन करें।'

'पैराबोला (2) को x-अक्ष के लिए -3 और y-अक्ष के लिए -6 समानांतर स्थानांतरित करके, और मूल के संबंध में उसे पराभिमान करने पर, यह पैराबोला ① में वापस आता है। इस संचालन के दौरान, शिखर (2, -3) को समानांतर स्थानांतरण के द्वारा बिंदु (2-3, -3-6) बनाया जाता है जो बिंदु (-1, -9) होता है, और मूल के संबंध में पराभिमान के द्वारा (1, 9) बिंदु में बदल जाता है। इसलिए, (1) की समीकरण है y=(x-1)^{2}+9 जो y=x^{2}-2x+10 के समान है, इसलिए a=-2, b=10।'

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'क्षैतिजता में सममिश्रित करने पर पराबोला y=-2x^2+4x-4 को जो x-अक्ष है, और फिर x-दिशा में 8 इकाइयों और y-दिशा में 4 इकाइयों के समानांतर स्थानांतरण करके मिलने वाली पराबोला की समीकरण को ढूँढें।'

'निम्नलिखित द्विघातीय समीकरण के ग्राफ का चित्रण करें और इसके शीर्ष बिंदु और धुरी का पता लगाएं। (1) y=5 x^{2}+3 x+4'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाली एक द्विघातीय समीकरण ढूंढिए।'

''

'निम्नलिखित 3 बिंदुओं से जाने वाली द्विघातीय कार्य को खोजें।'

'निम्नलिखित 3 बिंदुओं से गुजरने वाले दो स्थानीय समीकरण ढूंढें:\n(1) (-1,7),(0,-2),(1,-5)\n(2) (-1,0),(3,0),(1,8)'

'पैराबोला y=x^{2}+2 x-1 का शीर्षक वर्टेक्स P को माना जाता है। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें: (1) x-अक्ष के संबंध में बिंदु P के सममित बिंदु Q की निर्देशांक ढूंढें। (2) इस पैराबोला और x-अक्ष के संबंध में सममित पैराबोला की समीकरण ढूंढें।'

'(1) y=2(x-2)^2-3[y=2x^2-8x+5] (2) y=(x-4)^2-3[y=x^2-8x+13]'

'एक द्विघातीय कार्य की निर्धारण के लिए कदम'

'जब बिंदु P को पराबोला y=x² पर ले जाते हैं, तो रेखा y=x-1, y=5x-7 के लिए लंब रेखा PQ, PR खींची जाती है। PQ・PR की न्यूनतम मान का पता लगाएं। साथ ही, उस समय बिंदु P के निर्धारित निर्देशांक भी निकालें।'

' बिंदु A(-1,0) से होकर, डालन को a हो तोडि़।y = 1/2 x^2 पराबोल रेखा ℓ पर दो अलग बिंदु P और Q पर क्षेत्रफल करती है।'

'ज्या = x ^ {2} - x के ग्राफ़ पर खीची गई स्पर्शनरेखा की समीकरण खोजें जो बिंदु सी (1,-1) से गुज़रती है।'

'99a को एक स्थिर मान माना जाए। उस पराबोला के लिए y=x^{2}+ax+3-a, जब a सभी वास्तव संख्या मानों पर बदलता है, तो शीर्षक का मार्ग ढूंढें।'

'निम्नलिखित रेखा y=-x²+1 के टैंजेंट द्वारा बनाए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें जो बिंदु (0,0) और बिंदु (2,-2) पर है।'

'दिए गए पाराबोला y=x^{2} और वृत्त x^{2}+(y-4)^{2}=r^{2}(r>0) है। पाराबोला और वृत्त के 4 छोटें बिंदु होने के लिए r की श्रेणी ढूंढें।'

'मौजूदा मौशिकी में औसत रूप से परिवर्तन दर निकालें'

'जब सकारात्मक वास्तविक संख्या x और y को 9x^2 + 16y^2 = 144 को पूरा करती है, तो xy की अधिकतम मान का पता लगाएं।'

'उस पराबोला की स्पर्श रेखा का समीकरण ढूंढें जिसका ढाल -1 हो और y=x^{2}-5 x+4 हो।'

'य=-x^{2}+2x+3 की अधिकतम मान और उस समय का x मान ढूँढें।'

''

'क्षेत्रफल का अधिकतम और न्यूनतम खोजना'

'वृद्धि-कमी सारणी की तिहिया पूरी करने के बाद, चित्र बनाएं। पहली पंक्ति में x मान के लिए y मान भरने के बाद, सामग्री के अनुसार चित्र बनाएं। इस मामले में, दोहरी समीकरण के चित्र बनाते समय, सिफ़र को शीर्ष ढूँढ़ने की सिफ़ारिश की जाती है ताकि y अधिकतम या न्यूनतम हो। साथ ही, y-अक्ष के सम्मिलन के निर्धारण के लिए निकटतम स्थानों को भी निकालें (y के उत्पादन में x=0 का स्थानांतरण)।'

'निर्देशिका की समीकरण खोजें जो बिंदु (2, -4) से गुजरती है और कर्व y=x^{2}-2 x से स्पर्श करती है।'

'यदि a>0 है, तो ध्यान में रखें कि पराबोला E: y=x^{2} पर बिंदु (a, a^{2}) पर टैंजेंट रेखा m है। ई, एम, और y-अक्ष द्वारा घेरे गए क्षेत्र की क्षेत्रफल की गणना करें, और a के रूप में व्यक्त करें।'

'(3,4) से, किर्वे y=-x^{2}+4x-3 को लिए गए स्पर्शिका की समीकरण ढूंढें।'

'निम्नलिखित के लिए न्यूनतम मूल्य ढूंढें:\n31. (1) x=4 के साथ न्यूनतम मान 8\n(2) x=2 के साथ न्यूनतम मान 3'

'(1) जब x=-\\frac{1}{2} है, तो न्यूनतम मान -\\frac{3}{16} है। जब x=0 है, तो अधिकतम मान 0 है। जब x=2 है, तो न्यूनतम मान -8 है। (2) जब x=1 है, तो न्यूनतम मान 0 है।'

''

'मूल उदाहरण 214 की सामग्री के बारे में और अधिक जानने का प्रयास करें। कृपया ध्यान दें कि वास्तविक उत्तर में, इसे एक सूत्र के रूप में उपयोग न करते हुए उदाहरण के उत्तर के रूप में निर्धारित किया जाना चाहिए।'

'धुरी y=-2x^{2}+4x+6 और x-अक्ष के छोटे प्रमाणों की x-आवाज की मान को -2x^{2}+4x+6=0 की समीकरण से हासिल की जाती है, अर्थात, x^{2}-2x-3=0, जिससे (x+1)(x-3)=0 होता है, इसलिए -1 ≤ x ≤ 3 और y ≥ 0, इसलिए आवश्यक क्षेत्र S है'

'दो द्विघातीय समीकरण हैं f(x)=-\\frac{1}{2}x^2+\\frac{3}{2} और g(x)=x^2+ax+3।'

"जब द्विघातीय समीकरण $f(x)$ को $f'(0)=1, f'(1)=2$ से संतुष्ट किया जाता है, तो $f'(2)$ का मान क्या होगा।"

'वृत्त x^2 + y^2 = 8 से गुजरने वाली और रेखा 7x + y = 0 के लखरीत रेखा की समीकरण ढूंढें।'

'पराबोला C: y = x^2 पर बिंदु P(a, a^2) पर, जहां a > 0 है, टैंजेंट रेखा l1 ढूंढें। यदि बिंदु P से अलग C पर बिंदु Q पर टैंजेंट रेखा l2 l1 के लिए लंबवत है, तो l2 की समीकरण ढूंढें।'

"दूसरी पंक्ति में, y' के ग्राफ का उपयोग करके भरा जाता है"

'एक स्थिर मान a को ध्यान में रखें, और अंतराल a≤x≤a+1 पर फ़ंक्शन f(x)=-2x^{2}+6x+1 का अध्ययन करें। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'जब प्रैक्टिस का ग्राफ़ निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है तो द्विघातीय कार्य मिलता है:'

'क्वाड्रेटिक फ़ंक्शन y=ax^{2}+bx+c का अधिकतम और न्यूनतम ढूंढें।'

'न्यूनतम मान ढूंढें।'

'स्थिर रखने पर, डेढ़ और सीधी रेखा y=x^{2}+3x+a और y=x+4 को मिलती है। स्थिर रखने पर, मान a की मान निकालें।'

'जिन बिंदुओं से (1,0), (3,0), और (4,2) गुजरती है, उस द्विघातीय समीकरण को खोजें।'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले द्विघातीय समीकरण ढूँढ़ें: बिंदु (1,8), (-2,2), (-3,4) से गुजरना।'

'स्थिर m के मान की सीमा निर्धारित करें ताकि द्विघातीय कार्य y=-x^{2}+(m-10)x-m-14 की चित्रकारी निम्नलिखित शर्तों का पालन करें: (1) x-अक्ष के सकारात्मक और नकारात्मक हिस्सों के साथ काटता है। (2) केवल x-अक्ष के नकारात्मक हिस्से के साथ बिंदु साझा करता है।'

'द्विघातीय समीकरण की अधिकतम और न्यूनतम समस्याओं को हल करने के तरीके का वर्णन करें और उसकी विशेषताएँ साझा करें।'

'2 वाले द्विघात समीकरण y=x^{2}-2 x+2 k-4 के ग्राफ और x अक्ष के बीच संयोजन बिंदु की संख्या स्थायी क के मान के अनुसार कैसे परिवर्तित होती है।'

'उन दोहरे कार्यों को खोजें जो निम्नलिखित स्थिति को पूरा करते हैं: (-1,16), (4,-14), (5,-8) बिंदुओं से गुजरते हुए।'

''

'2वीं श्रेणी के फलन y = ax^2 + bx + c का सूत्र निकालें। यह फलन निम्नलिखित तीन बिंदुओं (-1, 22), (5, 22), और (1, -2) से होता है।'

'निम्नलिखित द्विघातीय समीकरणों के लिए, यदि उच्चतम या न्यूनतम मान मौजूद होते हैं, तो कृपया उन्हें ढूंढें। (1) y=x^{2}-2 x-3 (2) y=-2 x^{2}+3 x-5 (3) y=-2 x^{2}+6 x+1 (4) y=3 x^{2}-5 x+8'

'एक स्थिर मान के रूप में, f(x) = x^2 - 2ax + a + 2 मान लें। 0 ≤ x ≤ 3 के सभी x मानों के लिए f(x) > 0 हमेशा सत्य होने वाले a मान की सीमा ढूंढें।'

'किसी समय फ़ंक्शन y=ax^2+4x+2 का ग्राफ़ x-अक्ष के साथ 2 अलग साझा बिंदु रखने पर a के मान की सीमा ढूंढें। साथ ही, x-अक्ष के साथ केवल 1 बिंदु को साझा करते समय a का मान निर्धारित करें।'

'2 वक्रीय समीकरण y=-x^{2} के ग्राफ और पत्ती y=-2x+k के बीच संयोजन बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें। जहां k एक स्थिर मान है।'

''

'कंप्यूटर पर ग्राफ दिखाने के लिए ग्राफिंग सॉफ़्टवेयर का उपयोग करें एक द्विघातीय फ़ंक्शन y=ax^{2}+bx+c का ग्राफ। इस सॉफ़्टवेयर में, स्क्रीन पर स्थिति A, AB, और C पर समकोण a, b, और c के मानों को दर्ज करें, और इन मानों के अनुरूप ग्राफ दिखाई देगा। अब, A, B, और C पर मान दर्ज करने के बाद, दाईं तरफ़ के तस्वीर के अनुसार एक ग्राफ़ दिखाया गया। (1) A, B, और C पर दर्ज की गई मानों के रूप में उपयुक्त संबिन्ध चुनें, कृपया दाएं में से 11 से 8 तक की तालिका मे से एक उचित संबिन्ध चुनें। (2) वर्तमान में दिखाए गए ग्राफ़ के मूल बिंदु के साथ सममिश्रन के लिए पटलिनकृत गति दिखाने के लिए, ए, बी, और सी पर कौन से मान दर्ज किए जाने चाहिए? (1) में 1 से 8 तक उचित संबिन्ध को चुनें।'

'कृपया स्पष्ट करें कि उदाहरण समस्याओं का समाधान करने के लिए चार्ट और विश्लेषण को कैसे प्रभावी ढंग से उपयोग किया जा सकता है।'

'जब द्विघातीय समीकरण y=3x^2-(3a-6)x+b को x=1 पर -2 कम से कम मान मिलता है, तो स्थिर aऔर bकी मानें ढूंढें।'

'निम्नलिखित शर्तों के साथ जब नीचे दिए गए हैं तो द्विघातीय समीकरण खोजें।'

'द्विघातीय समीकरण y = ax^{2} + bx + c की चित्रित रूप को पूर्ण वर्ग बनाकर a(x-p)^{2} + q रूप में बदलें।'

'स्थिर m के मान की अंतर्वाल की निर्धारण करें ताकि द्विघातीय कार्य y=-x^{2}+(m-10)x-m-14 का ग्राफ निम्नलिखित शर्तों को पूरा करे: (1) x अक्ष के सकारात्मक और नकारात्मक हिस्सों से कटता है। (2) x अक्ष के नकारात्मक हिस्से के साथ केवल एक बिंदु साझा करता है।'

'सामान्यत: जब दो पराबोला में दो समान बिंदु होते हैं, तो उनके माध्यम से जाने।'

'ग्राफिंग सॉफ्टवेयर का उपयोग करके, आ के मान के आधार पर ग्राफ कैसे बदलता है उसे देख सकते हैं।'

'अध्याय 3: द्विघातीय कार्य\nखंड 8: कार्य और चित्र\nसमस्या\nनिम्नलिखित कार्यों के चित्र बनाएं:\n(a) $y = x^2$\n(b) $y = -x^2$'

'द्विघातीय समीकरण y=-3x^{2}-4x+2 के ग्राफ़ के द्वारा x-अक्ष से काटे गए खंड की लंबाई ढूंढें।'

'मान m के लिए सीमा निर्धारित करें ताकि द्विघातीय समीकरण y=x^{2}-m x+m^{2}-3 m का ग्राफ निम्नलिखित स्थितियों को पूरा करें'

'ऐसा दोहरी समीकरण ढूंढें जो बिंदु (1,1), (3,5) और (4,4) से गुजर रहा हो।'

'चाहिए गए समाधान है, (1) और (2) को मिलाकर रेंज में \ -1<x<-1+2 \\sqrt{3} \\n(2) \\( x^{2}-6 x-7=(x+1)(x-7) \\) सो\n\ x^{2}-6 x-7 \\geqq 0 \ का समाधान है \ x \\leqq-1,7 \\leqq x \\n\ x^{2}-6 x-7<0 \ का समाधान है \ \\quad-1<x<7 \'

'गणित II\n(1) ऐसा स्थिर a का मान निर्धारित करें ताकि कार्य y=x^{2}+ax+a का चित्र सीधी y=x+1 से संपर्क हो। संपर्क बिंदु की आवधारित स्थिति में निर्धारित करें।\n(2) k को स्थिर माना गया है। कार्य y=x^{2}-2kx के चित्र और सीधी y=2x-k^{2} के बीच संयोजन बिंदुओं की संख्या की जांच करें।'

''

'द्विघातीय समीकरण y=x^{2}-2 x+2 k-4 के ग्राफ और x-अक्ष के बीच संयोजन बिंदुओं की संख्या स्थिरांक k के मान के साथ कैसे परिवर्तित होती है?'

'क्वाड्रेटिक समीकरण y=ax^2+bx+c के लिए, जो बिंदु (-1,0) और (3,8) से होकर, और रेखा y=2x+6 से स्पर्शित होता है, तो a, b, और c के मान क्या हैं?'

'क्या इन दो पराबोलों के संयोजन बिंदु हैं? अगर हां, तो उनकी निर्देशांक खोजें।'

'समीकरण की समाधान की मौजूदगी का श्रेणी'

'आओ एक पराबोला और x-अक्ष के बीच छेद स्थिति पर विचार करें। निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाला एक पराबोलिक ग्राफ बनाएं।\n\nशर्तें:\n1. ग्राफ x-अक्ष के सकारात्मक हिस्से में दो अलग बिंदुओं पर कटता है।\n2. धुरी की स्थिति सकारात्मक है।\n3. f(0) > 0।\n\nइन शर्तों को पूरा करने वाला ग्राफ किस प्रकार की विशेषताएं रखेगा, उसका विवरण करें।'

'अभ्यास: निम्नलिखित द्विघातीय समीकरणों के ग्राफ में, [ ] के भीतर ग्राफ को कितना समांतर स्थानांतरित किया गया था? साथ ही, प्रत्येक ग्राफ बनाएं, और उनके धुरी और शीर्षांक पता करें।'

'द्विघातीय समीकरण y=2x^{2}+6x+7 की चित्र ले कर उसे द्विघातीय समीकरण y=2x^{2}-4x+1 की ग्राफ़ कैसे स्थानांतरित किया गया है?'

'a के मान के आधार पर, समीकरण f(x) का ग्राफ कैसे बदलता है पर समझाएं कि कौन से a के मानों पर f(x) का अधिकतम मान नहीं होता है।'

'जब पराबोला y=x^{2}-(k+2)x+2k और x अक्ष के बीच कटी रेखा की लंबाई 4 हो तो, स्थिर क का मान ढूंढें।'

'[5], [6], [7] के लिए, y x=2 पर सबसे कम है।'

'गणित I\nक्या निम्नलिखित पराबोला और रेखाएँ समान बिंदु रखती हैं? ऐसा हो तो, उसके निर्धारित करें।\n(1) \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=x^{2}-2 x+3\\ y=x+6 \\ end {\overlineray} \\ right. \n(2) \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=x^{2}-4 x\\ y=2 x-9 \\ end {\overlineray} \\ right. \n(3) \\ left\\ { \\ begin {\overlineray} {l} y=-x^{2}+4 x-3\\ y=2 x \\ end {\overlineray} \\ right. '

'ए, बी की निर्धारण से, निम्नलिखित तरह होता है।'

'द्विघातीय समीकरण y=x^{2}+ax-a+3 का ग्राफ x अक्ष के साथ समांक पर होता है, लेकिन, रेखा y=4x-5 के साथ कोई समांक नहीं है। यहाँ, a एक स्थिर मान है।\n(1) a के मान की रेंज निर्धारित करें।\n(2) द्विघातीय समीकरण y=x^{2}+ax-a+3 का न्यूनतम मान m है, m के मान की रेंज निर्धारित करें। [होक्काइडो सूचना विश्वविद्यालय]'

'सम्मिश्र समीकरण y=a x^{2}+b x+c की मान निकालें, जो बिंदु (-1,0) और (3,8) से होकर हमेशा के लिए रेखा y=2 x+6 को छूता है।'

'क्या इन दो द्विघातीय समीकरणों के ग्राफ़ x-अक्ष के साथ स्पर्श करते हैं? अगर हां, तो स्पर्श बिंदु की निर्धारित करें।'

'अभ्यास: निम्नलिखित समीकरणों का अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें।'

'y=x^{2}-2ax+a^{2}-3 की ग्राफ और x-अक्ष के आंतरिक बिंदुओं के x-निर्देशांक ढूंढें।'

'निम्नलिखित द्व्याध प्रभाओं के रेखीय समीकरणों की छाया एवं x-अक्ष के संयोजन बिंदु की निर्धारण करें।'

'जब द्विघातीय समीकरण y=x^{2}+ax+b 0 ≦ x ≦ 3 सीमा में अधिकतम मान 1 लेता है, और 0 ≦ x ≦ 6 सीमा में अधिकतम मान 9 लेता है, तो स्थिर a, b के मान की खोज करें।'

'दाएं दिखाए गए एक द्विघातीय कार्य के ग्राफ के लिए निम्नलिखित मानों की चिह्न जांचें:'

'क्वाड्रेटिक समीकरण y = ax^2 + bx - 1 का ग्राफ बिंदु (1,0) से गुजरने के लिए शर्त और बिंदु (-2,-15) से गुजरने के लिए शर्त ढूंढें।'

'कृपया फ़ंक्शन y = x^2 - 4 और y = a(x + 1)^2 के ग्राफ़ के साझे बिंदुओं की संख्या जांचें।'

'समीकरण y=x^{2}-4 x+3 की ग्राफ़ C और बिंदु A(0,-1) के लिए, ग्राफ़ के (1), (2) के द्वारा प्रस्तुत द्विघातीय समीकरण ढूंढें।'

'अध्याय 3 द्विघातीय समीकरण\n[1] $a+\\frac{1}{2}<5$ अर्थात जब $a<\\frac{9}{2}$ हो\n[1] चित्र से, $x=a$ पर अधिकतम होता है।\nअधिकतम मान है $f(a)=a^{2}-9 a$\n[2] $a+\\frac{1}{2}=5$ अर्थात $a=\\frac{9}{2}$ हो\n[1] $x=a+\\frac{1}{2}$\n[2] चित्र से, अधिकतम $x=\\frac{9}{2}, \\frac{11}{2}$ पर होता है।\nअधिकतम मान है $f\\left(\\frac{9}{2}\\right)=f\\left(\\frac{11}{2}\\right)=-\\frac{81}{4}$\n[3] $5<a+\\frac{1}{2}$ अर्थात $\\frac{9}{2}<a$ हो\n[3] चित्र से, $x=a+1$ पर अधिकतम होता है। अधिकतम मान है\n$f(a+1) =(a+1)^{2}-10(a+1)+a =a^{2}-7 a-9$'

''

'निम्नलिखित द्विघातीय समीकरणों का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें:'

'जब द्विघातीय समीकरण y = x^2 + a x + b की मान 0 ≤ x ≤ 3 क्षेत्र में अधिकतम मान 1 लेती है और 0 ≤ x ≤ 6 क्षेत्र में अधिकतम मान 9 लेती है तो, स्थिर a, b की मानें ढूँढें।'

'a ≤ x ≤ a+2 के लिए द्विघातीय समीकरण f(x)=-x^{2}+2x का अधिकतम और न्यूनतम मान a का फ़ंक्शन है, जिन्हें F(a) और G(a) के रूप में दर्शाया गया है। फ़ंक्शन F(a) और G(a) के ग्राफ़ बनाएं।'

'यदि x और y का x^2 + 2y^2 = 1 को संतुष्ट करते हैं, तो 2x + 3y^2 के अधिकतम और न्यूनतम मान का पता लगाएं।'

'द्विघातीय समीकरण का ग्राफ केवलकर है, और a, b, c के मानों द्वारा यह निचे की ओर या ऊपर की ओर कितना कुवचित होता है, खोलने का तरीका, धुरी और शिर्षक की स्थिति आदि को निर्धारित करते हैं। यहां, जब हम a, b, c के मानों में परिवर्तन करते हैं, तो ग्राफ कैसे बदलता है इस पर विचार करें।'

'उन दो चरों की खोजें जो निम्नलिखित तीन बिंदुओं से गुजरती है।'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाला द्विघातीय समीकरण ढूंढें: (1) शीर्षक बिंदु (1,3) पर है, और यह बिंदु (0,5) से गुजरता है।'

'(-1,7), (0,-2), (1,-5) से गुजरने वाली द्विघात समीकरण ढूंढें।'

''

'द्विघातीय समीकरण के वास्तविक समाधान ढूंढें, एक द्विघातीय समीकरण के ग्राफ और x अक्ष के स्थिति संबंध का उपयोग करके।'

'अध्याय 3 द्वि-पद फ़ंक्शन'

'$5< \\alpha$ के समय\nचित्र [6] से, $x=a$ पर कम से कम होता है। न्यूनतम मान है $f(a)=a^{2}-9 a$'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाली एक द्विघातीय समीकरण ढूंढें: (2) ग्राफ का धुरी रेखा वाला x=4 रेखा है, और यह बिंदु (2,1) और (5,-2) से गुजरता है।'

'मूल उदाहरण 84: स्थिर k के विभिन्न मामलों के माध्यम से y=x^{2}-2 x+2 k-4 और x-अक्ष के बीच संचित बिंदुओं की संख्या ढूंढें।'

'दो स्थिर बिंदुओं से बनाया गया ग्राफ जिसका एक बिंदु (2, -3) है और x-अक्ष से काटी गई रेखा की लम्बाई 6 है, उसको खोजें।'

'वर्ग को पूरा करते समय ध्यान देने योग्य बिंदु'

'निर्धारित करें स्थिर संख्या ए का मान, ताकि पैराबोला y=x^{2}-ax+a+1 x-समतल से समंवयी हो। साथ ही, समंवय सम्बिंध के बिंदु की निर्धारण।'

'-4 <= x <= 0 के लिए, चित्र (1) से पाया गया कि x=-1 पर अधिकतम मान f(-1)=3 प्राप्त होता है, और x=-4 पर न्यूनतम मान f(-4)=-15 प्राप्त होता है।'

'निम्नलिखित द्विघातीय समीकरणों का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें:\n(1) y=2 x^{2}+4 x+1\n(2) y=-x^{2}+2 x+3'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले एक द्विघातीय समीकरण खोजें: (2) ग्राफ का धुरी x=-1 रेखा है और यह बिंदुओं (-2,9),(1,3) से गुजरता है।'

'निम्नलिखित द्विघातीय समीकरणों के अधिकतम और न्यूनतम मान का पता लगाएं। (1) y=x^{2}-2 x-3 (2) y=-2 x^{2}+x (3) y=3 x^{2}+4 x-1 (4) y=-2 x^{2}+3 x-5'

'सिद्ध करें कि द्विघातीय फ़ंक्शन y=x^{2}-2ax+a^{2}-3 के ग्राफ़ द्वारा x-अक्ष से कटाई जाने वाली रेखा की लंबाई स्थायी है, चाहे स्थिर a की किमत हो।'

'निम्नलिखित द्विघातीय कार्यों का ग्राफ़ विवरण करें।'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले द्विघातीय समीकरण खोजें। x=-3 पर न्यूनतम मान -1 है, और x=1 पर y=31 है।'

'द्विघातीय समीकरण y=-x^{2}+3x+3 के ग्राफ़ द्वारा x-अक्ष से काटे गए रेखांक की लंबाई का पता लगाएं।'

'अध्याय 3 द्विघातीय समीकरण\n(2) निर्धारित पाराबोला का शीर्ष बिंदु रेखा y=-x+2 पर होने के कारण, शीर्ष के संयोधन को (p,-p+2) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसलिए, यहाँ परिभाषित समीकरण है y=\\frac{1}{2}(x-p)^{2}-p+2। क्योंकि पाराबोल बिंदु (1,5) से गुज़रता है, इसलिए 5=\\frac{1}{2}(1-p)^{2}-p+2, इसे p^{2}-4 p-5=0 लिखा जा सकता है। इसलिए (p+1)(p-5)=0, इससे p=-1,5 होता है। जब p=-1 हो, तो (1) बन जाता है y=\\frac{1}{2}(x+1)^{2}+3 (या y=\\frac{1}{2} x^{2}+x+\\frac{7}{2})। जब p=5 हो, तो (1) बन जाता है y=\\frac{1}{2}(x-5)^{2}-3 (या y=\\frac{1}{2} x^{2}-5 x+\\frac{19}{2})।'

'यहां x, y वास्तव संख्याएँ हैं। 6 x^{2}+6 x y+3 y^{2}-6 x-4 y+3 का न्यूनतम मान और उस समय के x, y के मान ढूंढें।'

'निम्नलिखित 3 बिंदुओं से होने वाले द्विघातीय समीकरण का पता करें।'

'फोकस य = 3x ^ 2-6x + 5 को कैसे समानांतर ले जाया जाए कि फोकस य = 3x ^ 2 + 9x के साथ सहित हो?'

'निम्नलिखित द्विघातीय समीकरणों के ग्राफ और x-अक्ष के साझेदार बिंदुओं की संख्या की गणना करें।'

'X अक्ष की दिशा में 2 इकाई और Y अक्ष की दिशा में -1 इकाई स्थानांतरित होने पर y=-2 x^{2}+3 के समान होने वाली एक एक्वेशन का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित दो चुकल्र फ़ंक्शनों का ग्राफ बनाएं और उनके धुरताएँ और शीर्षबिंदु ढूंढें। (1) y=x^{2}+4 x+3 (2) y=-2 x^{2}+6 x-1'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाला एक द्विघातीय समीकरण खोजें। यह x=3 पर अधिकतम मान 10 प्राप्त करता है, और x=-1 पर y=-6 है।'

'द्विघातीय समीकरणों के निर्धारण की समस्याओं में, स्टैंडर्ड फॉर्म, जनरल फॉर्म, या विश्लेषित फॉर्म के रूप में कौन सा आवेश उपयोग करना उतना महत्वपूर्ण है क्योंकि इससे गणनाओं की जटिलता और ग़लतियों का खतरा बढ़ सकता है। प्रत्येक रूप का कब उपयोग किया जाना चाहिए, इस पर विचार करना महत्वपूर्ण है।'

'पराबोला y=-x^2+3x-1 को किस मात्रा में ट्रांसलेट किया जाए ताकि पराबोला y=-x^2-5x+2 प्राप्त किया जा सके।'

'दो पैराबोलों y = x^2 - x + 1 और y = -x^2 - x + 3 के दो समांतर बिंदुओं की निर्धारण करें।'

''

'मौलिक उदाहरण 832 समीकरण की ग्राफ और x-अक्ष के साझेदार बिंदु'

'दो गुणाकारी समीकरण का अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करें'

'y=2x^{2}-4x+5 के ग्राफ G को y अक्ष के लिए k द्वारा समांतर परिवर्तित किया गया ग्राफ H कहलाता है। जब ग्राफ H x-अक्ष पर दो अलग-अलग बिंदुओं पर कटता है, और 2≦ x≦6 के सीमा में, तो k के संभावित मानों की सीमा क्या है जिससे ग्राफ x-अक्ष पर दो भिन्न बिंदुओं पर कटता है ≦ k< ।'

'बाईज दस्तावेज को x-अक्ष से -3 और y-अक्ष से 1 बनाने के बाद hyperbola के समीकरण का पता लगाएं।'

'जब बाहु y=x^2-3x-1 को संयुक्त रूप से स्थानांतरित किया गया है, तब जांचें कि पारवर्ती रोमांच का शीर्षक बिंदु (1,-1) और (2,0) से गुजरने के लिए, रोमांच का शीर्षक का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित 3 बिंदुओं से गुज़रने वाले द्विघातीय समीकरण ढूंढें।'

'पराबोला y=2x^2-4x+1 को दो इकाइयों के साथ पराबोला y=2x^2+6x+7 से समान्तर रूप से स्थानांतरित किया गया।'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाली द्विघातीय समीकरण ढूंढें: (1) ग्राफ का शिखर बिंदु (1,3) पर है, और यह बिंदु (-1,4) से गुजरता है।'

'निम्नलिखित द्विघातीय समीकरणों के ग्राफ़ द्वारा x-अक्ष से काटी गई रेखाखंड की लंबाई ढूँढें। (1) y=4 x^{2}-7 x-11 (2) y=-4 x^{2}+4 a x-a^{2}+9'

"अ 'के बारे में, आकृति के आकृति और प्रमाण का औपचारिक मान नीचे को गाढ़ा या ऊपर को मुख-एकर होने पर निर्भर करता है, साथ ही आकृति की खोलने की दर।"

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'पीआर को एक स्थायी मान माना जाए। फ़ंक्शन f(x)=3 x^{2}-6 a x+5 (0 ≤ x ≤ 4) के लिए:\n(1) अधिकतम मान का पता लगाएं ।\n(2) न्यूनतम मान का पता लगाएं।\nf(x)=3 x^{2}-6 a x+5=3(x-a)^{2}-3 a^{2}+5\nयह फ़ंक्शन की ग्राफ़ एक नीचे धषय होती है, जिसका अक्ष होता है x=a की रेखा।'

'जब x और y को 2x^{2}+y^{2}-4y-5=0 पूरा करते हैं, तो x^{2}+2y का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'निम्नलिखित स्थितियों के तहत फ़ंक्शन f(x) का अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें।\n(2) -2<x≤1\n(3) 0≤x≤3\nचित्र और प्रत्येक स्थिति के आधार पर शीर्ष x ढूंढें।'

'a को एक स्थायी मान मानें। a ≤ x ≤ a + 2 में फ़ंक्शन f(x) = x^2 - 2x + 2 की न्यूनतम मान का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित स्थितियों में समाधान f(x) की संख्या और प्रकृति की जांच करें।'

'समीकरण f(x)=-x^2+2ax+a+b की अधिकतम और न्यूनतम मानों की खोज करें।'

'(1) A में 1 डालने के बाद, B और C में मान डालने पर, एक चित्र 1 की तरह प्रदर्शित किया गया। इस समय, b, c के मानों का सबसे उपयुक्त संयोजन कौन सा है 0 से 7 में से एक चुनें।'

'एक्स^2 + वाई^2 + सीएक्स + डीवाई + ई द्वारा प्रस्तुत आकार'

'निम्नलिखित द्विघातुक कण्ज को दिए गए बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की समीकरण ढूढ़ें।'

'द्विघात की रूपरेखा और सीधी रेखा के तक्रार के संयोग बिंदु की निर्देशांक'

'एलिप्स $\\frac{(x+4)^{2}}{25}+\\frac{(y+3)^{2}}{16}=1$ पर बिंदु $(-1, \\frac{1}{5})$ पर टैंजेंट रेखा की समीकरण ढूंढें।'

'निम्नलिखित वक्र पर बिंदु पर टैंजेंट और नॉर्मल की समीक्षा करें।\n(1) \\( y^{2}=4 p x(p \\neq 0), \\mathrm{P}\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)\n(2) \\( x^{2}-y^{2}=1, \\mathrm{P}(2, \\sqrt{3}) \\)\n(3) \ x=\\cos 2 \\theta, y=\\sin \\theta+1, \\mathrm{P} \ का \ \\theta=\\frac{\\pi}{6} \ के समानांतर है'

'३२ केंद्रीय रेखाएँ और क्षेत्र'

'(2) $\\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1$ से, $\\sin ^{2} \\theta=1-\\cos ^{2} \\theta$ मिलता है'

'निम्नलिखित द्विघातु के समीकरण ढूंढें। मान लें कि p≠0, a>0, b>0। (1) एक अपवर्तित पैराबोला y^{2}=4 p x, जिसका सदिश रेखा x=-1 है और फोकस बिंदु (3,4) पर है। (2) अपवर्तित हाइपरबोला x^{2}/a^{2}-y^{2}/b^{2}=1, जिसके आसिम्प्टोट रेखाएं y=x+1 और y=-x+1 होती हैं, और बिंदु (3,3) से गुजरती है।'

'पैराबोला C₁ और x-अक्ष के छोर से आने वाले बिंदु के x-निर्देशांक को खोजें।'

'दो रेखाओं के छेद से होने वाली समीकरण'

'जब कार्य \\( f(x)=x^{2}-2 a|x|+a^{2}-1 \\) दिया गया है, तो \\( y=f(x) \\) के ग्राफ और x-अक्ष द्वारा घेरे गए क्षेत्र \ S \ का पता लगाएं। यहां, \ a \ एक सकारात्मक स्थिर है।'

'यदि f(x) = x^{2} - 2a|x| + a^{2} - 1 है, तो y = f(x) के ग्राफ और x-अक्ष के बीच में घेरे गए क्षेत्र S का पता लगाएं। यहाँ, a एक सकारात्मक स्थिर मान है।'

'पाराबोला के वर्टेक्स को खोजें y=x^{2}+px+p(|p| ≠ 2)।'

'पराबोला y = x^{2}+px+p(p ≠ 2) के शीर्षक त्रेज़ा का पता लगाएं।'

'दिया गया है कि y=(x^{2}+x-1)(-2x-1)+5x+8, जब x=(-1 \\pm \\sqrt{5})/2, तो y^{\\prime}=0। इसलिए, x^{2}+x-1=0 से हम प्रमाणित कर सकते हैं कि x=(-1-\\sqrt{5})/2 पर, y=(11-5 \\sqrt{5})/2। उसी तरह, दिखाएं कि x=(-1+\\sqrt{5})/2 पर, y=5(-1+\\sqrt{5})/2+8।'

'पराबोला y = -x^2 + x + 2 पर बिंदु P और रेखा y = -2x + 6 पर एक बिंदु के बीच की दूरी, P के संदर्भ में कम से कम मान लेती है जब P के संदर्भ अल्फा है।'

'फ़र्श कोल $y=x^{2}+(2 t-10) x-4 t+16$ का शीर्षकोण $वर्तमान$ को $P$ माना जाता है। जब $t$ 0 से अधिक मान लेता है और परिवर्तन होता है, उस समय, शीर्षकोण $P$ का ज्यामिति का पथ खोजें।'

"(1) y'=4x+1\n(2) y'=3x^2-5\n(3) y'=-24x^2+24x-6\n(4) y'=6x^5-16x^3+8x\n(5) y'=27x^2+6x-8"