समतल ज्यामिति - मूलभूत आकृतियों के गुण (बिंदु, रेखाएँ, कोण, त्रिभुज, चतुर्भुज, वृत्त)

'कोण (0,0) से गुजरने वाले वृत्त का प्रतिनिधित्व करने वाले k की मान खोजें।'

'1 बिंदुओं के बीच दूरी की व्याख्या को समझें। मूल स्थान O और बिंदु P(a) के बीच की दूरी, और बिंदु A(a) और B(b) के बीच की दूरी के लिए सूत्र ढूंढें।'

'(1) समीकरण $x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$ किस प्रकार के आकार को प्रतिनिधित करता है।\n(2) समीकरण $x^{2}+y^{2}+2px+3py+13=0$ को एक वृत्त को प्रतिनिधित करने के लिए, स्थायी $p$ के मान की सीमा निर्धारित करें।'

' (1) रेखा x+y=1 और वृत x^{2}+y^{2}=4 के कटने से बनने वाले तार की मध्य बिंदु की निर्धारणकरें और तार की लंबाई का पता लगाएं।'

'(1) x-अक्ष और y-अक्ष दोनों से गुजरने वाला है, और बिंदु A(-4,2) के माध्यम से। (2) बिंदु (3,4) के माध्यम से गुजरते हुए, x-अक्ष से स्पर्श करते हुए, और इसका केंद्र रेखा y=x-1 पर होने वाला है।'

'कृपया असमिक्षा $x^{2}+y^{2}>1$ और $|x| + |y| > 1$ को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र चित्रित करें, और उनके संबंध को स्पष्ट करें।'

'उदाहरण 29 | त्रिभुज के आकार के लिए 4 बिंदु A(4,0), B(0,2), C(3,3), D, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'30वें उदाहरण में, आंतरिक विभाजन बिंदु, बाह्य विभाजन बिंदु, और केन्द्र निकालें'

'अभ्यास (63=> इस किताब पृ.137) (2) बिंदु P के निर्देशांक (x, y) हों, तो ऐसे, AP^2+BP^2=18 से हमें {(x-1)^2+(y-4)^2}+{(x+1)^2+y^2}=18 मिलता है, सरलीकरण करने से x^2+y^2-4y=0 मिलता है, जिससे x^2+(y-2)^2=2^2 मिलता है। इसका मतलब है कि, शर्त को पूरा करने वाले बिंदु वृत्त (1) पर होते हैं। उलटवर्ती रूप से, वृत्त (1) पर कोई भी बिंदु शर्त को पूरा करता है। इसलिए, इच्छित पथ केंद्र (0,2) पर वृत्त के रेखांक और त्रिज्या 2 होती है।'

'A (-3) और B (6) को जोड़ने वाले रेखांकन AB के लिए, निम्नलिखित बिंदुओं की निर्धारित वर्चन 2:1 में विभाजित करने के लिए निम्नलिखित बिंदुओं के समन्वय ढूंढें: (1) अंतर्नाली रूप से विभाजित करने वाला बिंदु (2:1) (2) बाह्य रूप से विभाजित करने वाला बिंदु (2:1 ) (3) बाह्य रूप से विभाजित करने वाला बिंदु (1:2) (4) मध्य बिंदु'

'रेखा BC को x-अक्ष के रूप में लेते हुए और बिंदु P को मूल बिंदु मानते हुए, त्रिभुज ABC के शीर्ष के स्थानांक इस प्रकार व्यक्त किए जा सकते हैं: \nA(a, b), B(-c, 0), C(2c, 0)\nयहाँ, b ≠ 0, c > 0। समीकरण 2AB² + AC² = 3(AP² + 2BP²) की पुष्टि करें।'

'डायमीटर क्या है?'

'उस वृत्त की समीकरण ढूंढें जो x-अक्ष और y-अक्ष दोनों से स्पर्श करता है।'

'पैराबोला y=x^2 पर चलने वाले बिंदु P और दो बिंदु A(3,-1), B(0,2) के साथ निम्नलिखित बिंदु Q और R की ट्रेजेक्टरी का पता लगाएं।'

'क्योंकि बिंदु (3,4) रेखा 3x-2y-1=0 पर है, इसलिए चाहिए गई रेखा बिंदु (-7,-11) और (-1,6) से गुजरती है।'

'अभ्यास (2) पराबोला y=x^2 और रेखा y=m(x+2) को विभिन्न 2 बिंदुओं A, B पर काटती है। m के मान में परिवर्तन होने पर, खंड AB के बीच के बिंदु की माध्यदर्शिका ढूंढें।'

'वृत्त की मानक समीकरण ढूंढें।'

''

'जब अध्याय 3 (28 t) सभी वास्तविक मानों को लेता है, तीन बिंदुओं A(t, t^{2}), B(t, t-2), C(t+√3, t^{2}-t-1) के लिए निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:\n(1) प्रत्येक वास्तविक संख्या t के लिए साबित करें कि A और B अलग बिंदु हैं।\n(2) उन सभी t मानों को ढूंढें जो त्रिभुज ABC को एक सीधी त्रिभुज बनाते हैं।\n(3) ढूंढें उन t मानों की श्रेणी जो त्रिभुज ABC को एक ऐक्य त्रिभुज बनाते हैं।'

'रेखा संख्या BC का लंबक द्विभाजक का समीकरण y-0=-2(x-5) है, अर्थात y=-2x+10। (4) और (5) की समीकरणों को समलेपित करके हल करने से x=4, y=2 मिलता है। इसलिए, ऊर्ध्वच्छेद वृत्त का केंद्र बिंदु (4,2) पर है और त्रिज्या है sqrt{(8-4)^{2}+(5-2)^{2}}=5। इसलिए, हमें जो समीकरण चाहिए वह है (x-4)^{2}+(y-2)^{2}=25।'

'केंद्र (-2, 3) और त्रिज्या 3 वाला वृत्त'

'जब 22 वृत्तों के छोटे स्पर्शबिंदु, एक वृत्त और रेखा के छोटे स्पर्शबिंदु से गुज़रने वाले एक वृत्त, और x, y की सरल रेखा के समीकरणों को f(x, y) के रूप में लिखा जाता है, तब समीकरण f(x, y)=0 एक कक्षा (रेखा को भी शामिल) को प्रकट करता है, इसे curve f(x, y) = 0 और समीकरण की कक्षा कहा जाता है।'

'वृत्त की किर्कव्यू अंक P(4,6) पर स्पर्श रेखा की समीकरण खोजें।'

'तत्व k के मान को ढूँढें जिनके लिए रेखाएँ त्रिभुज नहीं बनाती हैं।'

'(1) से (3) तक के परिणाम से पता चलता है कि △PQR का भरावधिक G की विचारणीयता \\[ \\left(\\frac{3-8+2}{3}, \\frac{3+1+1}{3}\\right) \\text{ से } \\left(-1, \\frac{5}{3}\\right) \\] होती है।'

''

'दिए गए हालत में जब अंक (2,1) से रेखा kx + y + 1 = 0 पर लंबाई √3 है, तो स्थिर क का मान ढूंढें।'

'2x-y-1=0 और x+5y-17=0 के बीच टिक रेखा के माध्यम से, 4x+3y-6=0 से समानांतर और अनुप्रस्थ रेखाओं की समीकरण ढूंढें।'

'नक्शे पर (-1, 3) और (3, -1) से कटती है'

'निम्नलिखित दो बिंदुओं के बीच दूरी निकालें।'

'(2) (1) से, △AOB में ∠AOB = 90° है, इसलिए A, B, O से बित्तित वृत्त AB को व्यास बनाता है।'

'अभ्यास उदाहरण 17 क्षेत्र का क्षेत्रफल'

'अर्धवृत्त के रेडियस 4 और केंद्रीय कोण 150° के लिए हारक लंबाई और क्षेत्रफल ढूंढें।'

'प्रश्न (1) निर्देशांक समतल पर, जब बिंदु A(a, 2), B(5, 1), C(-4, 2a) सरलरेखीय होते हैं, तो स्थिर a का मान ढूँढें।'

'(1) यह वे एक्स-एक्सिस और वाय-एक्सिस दोनों को छूता है, बिंदु ए (-4,2) से गुज़रता है। (2) बिंदु (3,4) से गुज़रता है, एक्स-एक्सिस को छूता है, केंद्र सीधी रेखा y=x-1 पर है।'

'नियामक P की निर्देशिका प्राप्त करें। बिंदु A (6, -3) और B (1, 7) को जोड़ते हुए रेखा पर स्थित बिंदु P (x, y) की नििर्देशिका प्राप्त करें।'

'वृत्त (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5 के बाहर। सीमा सहित।'

'त्रिभुज ABC का केंद्रीय बिंदु G के संयोजन (x_1+x_2+x_3}{3}, \\frac{y_1+y_2+y_3}{3}) है'

'गणित II नदी 36 पुस्तकें पी।119\n(1) त्रिज्या r केंद्र (-5,4) और मूल स्थान के बीच की दूरी है, इसलिए r^2=(-5)^2+4^2=41\nइसलिए, हमारे द्वारा पूछे गए वृत्त की समीकरण है (x+5)^2+(y-4)^2=41\n(2) केंद्र व्यास की मध्य बिंदु है, इसलिए इसके संख्याक रेखांकन है (-3+3)/2, (6+(-2))/2 जो कि (0,2)\nत्रिज्या r को केंद्र (0,2) और बिंदु A(-3,6) के बीच की दूरी कहा जाता है, इसलिए r^2=(-3-0)^2+(6-2)^2=25\nइसलिए, हमारे द्वारा पूछे गए वृत्त की समीकरण है x^2+(y-2)^2=25\nएक अन्य समाधान (2) वृत्तारेखा पर, A, B से भिन्न बिंदु P(x, y) लें तो, AP ⊥ BP इसीलिए, जब x ≠ -3, x ≠ 3 हो, (y-6) / (x-(-3)) * (y-(-2)) / (x-3) = -1\nइसलिए (x+3)(x-3)+(y-6)(y+2)=0 जो है x^2+(y-2)^2=25\nयह समीकरण x=-3, x=3 पर मान्य है, अर्थात, बिंदु (-3,6), (-3,-2), (3,6), (3,-2) इसे संतुष्ट करते हैं, इसलिए यह हमारे द्वारा खोजे गए वृत्त का समीकरण है।'

'एक मानक कोण के लिए, निम्नलिखित प्रस्ताव के बारे में निर्धारित करें कि क्या सत्य है और क्यों।\n"360 डिग्री से अधिक कोण नहीं है"'

'ओपी को त्रिज्या के रूप में लेते हुए।'

'(5) y-अक्ष के परालल रेखा x-अक्ष के लखबहायक है। जो बिंदु से गुजरती है उसकी x-आयात 5 है, इसलिए x=5'

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'महत्वपूर्ण उदाहरण 58: पाराबोला और वृत्त के प्रेषण स्थान\nr को सकारात्मक धारणीय मान लें। पाराबोला y=x^{2} और वृत्त x^{2}+(y-2)^{2}=r^{2} का ध्यान रखें, और निम्न सवालों के उत्तर दें।\n(1) जब r=2 हो, पाराबोला और वृत्त के प्रेषण स्थानों के सभी संयोजनांक ढूंढें।\n(2) r को सभी सकारात्मक वास्तव मानों पर बदलते हुए, पाराबोला और वृत्त के प्रेषण स्थानों की संख्या में कैसे परिवर्तन होता है जांचें।'

'जब रेखा (a-2) x + ay + 2 = 0 और x + (a-2) y + 1 = 0 समांतर होती हैं, तब a के मान की खोज करें, और ए की मान की खोज करें जब दो रेखाएं समान हों या लंबकारी हो।'

'एक समतल में 2 बिंदुओं के बीच दूरी के सूत्र को समझें। बिंदु O(0; 0), A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2}) के बीच दूरी के लिए सूत्र खोजें।'

'दो वृत्तों \ x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0, x^{2}+y^{2}=5 \ के लिए:\n(1) दो वृत्तों के दो संक्षेपण बिंदुओं से होने वाली रेखा की समीकरण ढूंढें।\n(2) दो वृत्तों के दो संक्षेपण बिंदुओं और बिंदु (1,3) से होने वाले वृत का केंद्र और त्रिज्या ढूंढें।'

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'(1) उस वृत्त की समीकरण ढूँढें जिसका केंद्र (-5,4) है और मूल में से गुजरता है।\n(2) उस वृत्त की समीकरण ढूँढें जिसका व्यास ए बी हो, जहां ए(-3,6) और बी(3,-2) है।'

'दिए गए वृत्तों को, प्रत्येक को क्रमिक C_1, C_2 कहा जाता है। (1) C_1 पर स्पर्श बिंदु की निर्देशिका द्वारा (x_1, y_1) का स्थानांतरण किया जाता है, तो x_1^2 + y_1^2 = 9'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 49 एक पराबोला पर एक बिंदु और एक रेखा के बीच दूरी\nदो बिंदु A(0,1) और B(2,5) और पराबोला y=x^{2}+4x+7 दिया गया है। पराबोला पर एक चलता हुआ बिंदु P हो।\n\nत्रिभुज PAB के क्षेत्र S का न्यूनतम मान खोजें।'

'जब बिंदु A(1,-2) और B(-2,1) को जोड़ने वाली रेखा तथा डीर्घ वक्र y=x^{2}+ax+b केवल बिंदु A और B को छोड़कर किसी एक बिंदु पर कटती है तो, बिंदु (a, b) का मौजूदा सीमा क्षेत्र a b तख्त पर दिखाएँ।'

'समतल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करें।'

'रेखा AB की समीकरण है x/a + y/b = 1। बिंदु P(a, b) और रेखा AB के बीच की दूरी को d लिया जाए तो d की अधिकतम मान मिलाए।'

'ग्रिड बिंदु की संख्या'

'अनुरोधित वृत्त की समीकरण को (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=r^(2) (r>0) माना गया है। वृत्त (2) को वृत्त C से स्पर्श करने के लिए शर्त है 0<r<5 और √((1-0)^(2)+(-√3-0)^(2))=5-r, इसलिए r=5-√4=3। इसलिए, अनुरोधित समीकरण है (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=9'

'निम्नलिखित परीक्षण करें:\n\nबिंदु Q के संयोजन का पता लगाएं।\n(1) OP=r मान दें, और OP और x अक्ष के सकारात्मक दिशा के बीच कोण को α कहा जाता है, तो r cosα=-2, r sinα=3।\nइसलिए, x=r cos(α+5/6π)=r cosα cos5/6π-r sinα sin5/6π।'

'बिंदु की निर्देशांक\nबिंदु A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) को लेते हैं।\nदो बिंदुओं के बीच की दूरी निकालें।\nAB=√(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²\nखासकर, मूल बिंदु O से A तक की दूरी है OA=√(x₁²+y₁²)'

'उदाहरण 55 स्पर्श शर्तें और वृत्त और रेखाओं के समीकरण'

'बिंदु B को मूल बिंदु और एज BC को x-अक्ष के रूप में लेते हुए, प्रत्येक शीर्ष के निर्देशांक को A(0, a), B(0, 0), C(b, 0), D(b, a) के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। इस समय, PA² + PC² = PB² + PD² को साबित करें।'

'समतल पर, n वृत्त हैं जैसे कि किसी भी दो वृत्त एक दूसरे से कटते हैं और तीन या उससे अधिक वृत्त किसी भी एक समान बिंदु पर कटते नहीं होते। इन वृत्तों द्वारा समतल कितने हिस्सों में विभाजित हो जाता है?'

'बिंदु और वक्रों की गुजरने की रेंज'

'समान सवाल आधारभूत तख्ते पर एक बिंदु P(1/2, 1/4) ले लें। जब व्यासकार y=x^2 पर दो बिंदु Q(α, α^2) और R(β, β^2) ऐसे हिलते हैं कि तीन बिंदु P, Q, R को QR को नीचे की बुनियाद के रूप में एक बराबर भुजा त्रिभुज बनाते हैं, तो त्रिभुज PQR के निकटक G(X, Y) का निर्धारण करें। [टोक्यो विश्वविद्यालय]'

'जब पराबोला और वृत्त के पास 4 साझा बिंदु होते हैं जब पराबोला का शीर्षक बिंदु (0, -37/4) और बिंदु (0, -3) को जोड़ने वाले रेखांक पर होता है (समाप्तियों को छोड़कर) जैसा चित्र में दिखाया गया है। इसलिए, -37/4 < a < -3।'

'निर्देशांक त्रिज्या और रेखा से स्पर्श करने वाले 2 वृत्त'

'रेखा BC को x-अक्ष के रूप में लेते हुए और भुजा BC के लंबकोणी बीयोगिता को y-अक्ष के रूप में लेते हुए, भुजा BC का बीच बिंदु L मूल बिंदु O बन जाता है, और प्रत्येक शिखर के निर्देशांक को A(a, b), B(-c, 0), C(c, 0) के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। इस स्थिति में, L(0,0), M((a+c)/2, b/2), N((a-c)/2, b/2), इसलिए, तीन मध्यांतर AL, BM, CN को 2:1 में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक क्रमशः ((a/3), (b/3)), ((-c+(a+c))/(2+1), (0+b)/(2+1)), ((c+(a-c))/(2+1), (0+b)/(2+1)) हैं, जो सभी ((a/3), (b/3)) हैं, इसलिए, तीन मध्यांतर AL, BM, CN इस बिंदु पर कट रहे हैं।'

'अभ्यास 1: समरूपत्रिकों के भीतर वृत्त के त्रिज्या और क्षेत्रफल को खोजें'

'निम्नलिखित कोणों का व्यास चित्रित करें। साथ ही, उनका कौन से क्वॉड्रेंट में स्थित है वह भी बताएं।'

'(1)\n{% raw %}\\(\\mathrm{AB}^{2}=(0-4)^{2}+(2-0)^{2}=20\\)\\(\\mathrm{BC}^{2}=(3-0)^{2}+(3-2)^{2}=10\\)\\(\\mathrm{CA}^{2}=(4-3)^{2}+(0-3)^{2}=10\\)\\{% endraw %}\nइसलिए, BC=CA, BC^2 + CA^2 = AB^2, अतः त्रिभुज ABC एक ∠C=90∘ कोण का समकोण त्रिभुज है।'

'रेखा की समीकरण खोजें'

'अभ्यास वास्तविक संख्या t 0<t<1 को पूरा करती है, ज्यामिति तल पर 4 बिंदु O(0,0), A(0,1), B(1,0), C(t,0) का विचार करें। साथ ही, रेखा सेगमेंट AB पर बिंदु D को ऐसा परिभाषित करें जिससे ∠ACO=∠BCD। त्रिभुज ACD के अधिकतम क्षेत्र की खोज करें। [टोक्यो विश्वविद्यालय]'

'जब बिंदु (x, y) मूलबिंदु पर विशेष 1 के आर्धवृत्त के अंदर चलता है, तो बिंदु (x+y, x y) का चलन क्षेत्र चित्रित करें।'

'वृत्त $C: x^{2}+y^{2}=25$ के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:\n1. $(12,5)$ पर केंद्र वाले एक वृत्त की समीकरण ढूंढें जो वृत्त $C$ के साथ बहिर्भागी है।\n2. $(1,-\\sqrt{3})$ पर केंद्र वाले एक वृत्त की समीकरण ढूंढें जो वृत्त $C$ के साथ आंतरिक रूप से संपर्क में है।'

'रेडियस 4, केंद्रीय कोण 150° वाले सेक्टर की चाप लंबाई और क्षेत्रफल निकालें।'

'आओ मान लें कि a और b दोनों सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं। पराबोला C1: y = x^2 - a और C2: y = -b(x - 2)^2 दोनों बिंदु P(x0, y0) पर रेखा ℓ को स्पर्शित करते हैं। S1 को x = 0 रेखा, C1 पराबोला और स्पर्श रेखा ℓ द्वारा घेरे गए क्षेत्र के क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, और S2 को x = 2 रेखा, C2 पराबोला और स्पर्श रेखा ℓ द्वारा घेरे गए क्षेत्र के क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:\n(1) a, x0, y0 का प्रकट प्रकट करें।\n(2) क्षेत्रों के अनुपात S1: S2 को b के संदर्भ में व्यक्त करें।'

'निशान और रेखा के बीच की दूरी'

'एक सीधी रेखा के रूप में सीमा बनाकर, ऐसे बिंदुओं (x, y) को प्रतिनिधित करें जो y=x+1 को पूरा करते हैं। साथ ही, y>x+1 और y<x+1 को पूरा करने वाले बिंदुओं के क्षेत्र को चित्रित करें।'

'निश्चित करें कि बिंदु A(-1,2) और B(3,4) से x-अक्ष पर समांतर दूरी पर बिंदु P की निर्देशांक।'

'स्थान (2,1) से गुजरने वाले एक वृत्त की समीकरण ढूंढें जो x-अक्ष और y-अक्ष को स्पर्शित करता है।'

'मौलिक उदाहरण 70: A(-2,1), B(6,-3), C(1,7) दिए गए हैं, निम्नलिखित बिन्दुओं के स्थान का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित समस्या का विचार करें।'

'जांचें कि व्यास r के मान पर वृत्त (x-1)^2+(y-1)^2=r^2 और रेखा y=2x-3 के बीच संवादन बिंदुओं की संख्या कैसे बदलती है।'

'“मानक उदाहरण 103”'

'तीन समीकरण A(5,-2), B(1,5), C(-1,2) दिए गए हैं, त्रिभुज ABC की 3 सीधियों की लंबाई और इसके प्रकार का निर्धारण करें।'

'निम्न असमितियों द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र चित्रित करें।'

'बिंदु A(3,1) से बनाए गए वृत्त x^2+y^2=2 से बनाए गए स्पर्श रेखा की समीकरण और स्पर्श बिंदु की निर्धारित करें।'

'पैराबोला y=9-x^{2} और x-अक्ष के छूटने बिंदु ए और ब को मान लें। जब इस पैराबोला और x-अक्ष द्वारा घेरे गए क्षेत्र में एक त्रेपेजायड अंतःस्थापित किया जाता है, जिसमें सेगमेंट एबी का मुख्य हिस्सा हो, इस त्रेपेजायड की अधिकतम क्षेत्र की गणना करें।'

'y = -x^2 + 8x और y = x द्वारा घेरे गए क्षेत्र में (सीमा समेत) ग्रिड बिंदुओं की संख्या जानें।'

'C(a, b) से एक स्थिर दूरी r(>0) वाले बिंदु का समूह सी की तरफ़ से एक वृत्त है जिसका केंद्र है। सी के केंद्र की वृत्त को सी वृत्त कहा जाता है, और वृत्त पर किसी भी बिंदु (x, y) द्वारा पूरा किया जाने वाला समीकरण उसके समीकरण कहलाता है। चलिए इस वृत्त के समीकरण को ढूंढने की कोशिश करते हैं। बिंदु P(x, y) के लिए वृत्त C पर होने की स्थिति CP = r है, निर्देशांकों में व्यक्त किया गया है √((x-a)^2 + (y-b)^2) = r, दोनों तरफ का वर्ग लेने पर (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 मिलता है। क्योंकि (2) के दोनों तरफ सकारात्मक हैं, अब (1)⇔(2)⇔(3), इसलिए (3) इच्छित वृत्त का समीकरण है। केंद्र (a, b) और त्रिज्या r के ज्ञान से समीकरण (3) का प्रारूप को वृत्त समीकरण का मौलिक प्रारूप कहा जाता है। त्रिज्या r और केंद्र (a, b) वाले एक वृत्त का समीकरण है (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. मूल रूप से एक वृत्त का समीकरण r और केंद्र पर x^2 + y^2 = r^2 है। कृपया ध्यान दें कि 1 में a=b=0 निर्धारित करने पर 2 प्राप्त होता है। जब r=1 होता है, तो उसे इकाई वृत्त कहा जाता है। इसके अतिरिक्त, 1 को इसके रूपों के लिए x-अक्ष की दिशा में a और y-अक्ष की दिशा में b के साथ समानांतर ले जाने के रूप में विचारा जा सकता है।'

'वृत्त C को (x-1)^2 + (y+2)^2 = 9 माना जाता है।\n(1) जब वृत्त (x+1)^2 + (y-1)^2 = 4 को C₁ माना जाता है, तो C और C₁ के स्थान संबंध का पता लगाएं।'

'बिंदु D चौथे चतुर्थांक में है, वृत्त D x-अक्ष और y-अक्ष में स्पर्श करता है, इसलिए बिंदु D के निर्देशांक (d, -d) माने जा सकते हैं और त्रिज्या d है। क्योंकि बिंदु D रेखा l के नीचे है, इसलिए 3d - 4d - 12 <0। बिंदु D और रेखा l की दूरी |3d - 4d - 12| /√(3^2+4^2) = (d + 12) / 5 है। वृत्त D लाइन l के स्पर्श में है, इसलिए बिंदु D और रेखा l की दूरी (d + 12) / 5 = d है। इसलिए, d = 3।'

'वह वृत्त जिसका व्यास A(0,3) और B(8,9) हो, पर A पर टंगेंट रेखा की समीकरण ढूंढें।'

'बिंदु A(-1,3) और B(5,11) हैं।'

'जब दो वृत्त एक दूसरे से स्पर्श करते हैं, तो a की मान खोजें।'

'वृत्त x^2 + y^2 = 9 को स्पर्श करती हुई और सीधी रेखा 4x + 3y - 5 = 0 के समानांतर की एक सीधी रेखा की समीकरण ढूँढें।'

'बिंदु A(0,1) और B(4,-1) के बारे में: (1) बिंदु A और B से होने वाला, रेखा y=x-1 पर केंद्र वाले वृत्त C1 की समीकरण ढूंढें। (2) रेखा AB के संदर्भ में C1 के साथ सममित वृत्त C2 की समीकरण ढूंढें जो (1) में पाया गया है। (3) P और Q को वृत्त C1 और C2 पर संदर्भित बिंदु मानें। PQ रेखा की अधिकतम लंबाई ढूंढें। [गुन्मा विश्वविद्यालय]'

'एक परललोग्राम ABCD है जिसके कोण A(-2,3), B(5,4), और C(3,-1) हैं। कोण D और व्यासों का परिवर्तन बिंदु P के संयोजन की स्थिति खोजें।'

'निम्नलिखित वृत्त की समीकरण ढूंढें:\n(1) (1,1) पर केंद्र वाला वृत्त जो रेखा 2x-y-11=0 से स्पर्श करता है'

'पॉइंट ए (6,0), और बी (3,3) को दिया गया है, जब पॉइंट पी x^2+y^2=9 पर चलता है, तो त्रिभुज एबीपी का केंद्र G का लोकस ढूंढें।'

"यहाँ C और C' को A और B के बीच के दो संक्रमण बिंदु माना गया है, और रेखाखंड AB का बीच का बिंदु M है। इसलिए, अक्ष परिकंट O और रेखा ℓ की दूरी के बराबर है।"

'बिंदु B की निर्देशांक (p, q) का उपयोग करके, लाइन ℓ की ढाल 2 होने पर लाइन AB को लाइन ℓ के लिए लंबवत बनाने की स्थिति निर्धारित करें।'

'जब बिंदु P(1, ) से वक्र C पर सटीक रूप से 2 सम्मिलित रेखाएँ खींची जा सकती हैं, तो निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। (i) 2 सम्मिलित रेखाओं की समीकरणें खोजें। (ii) (i) में पाए गए रेखाओं और वक्र C के सम्मिलन बिंदु को Q और R नाम दें। अनुमान है कि Q का x आवेश R के x आवेश से कम है। रेखा सेकंट PQ, रेखा सेकंट PR और वक्र C द्वारा घेरे गए आकृति क्षेत्र S ढूंढें।'

'निम्नलिखित वृत्त और रेखाओं के बीच स्थितिगत संबंध की जांच करें, और यदि वे मौजूद हैं तो अवर्तन बिंदुओं के संदर्भ में निर्धारित करें।'

''

'मान लें कूड़ों और कॉलिनियर तल पर 4 चक्र हैं जो x-अक्ष, y-अक्ष और रेखा 3x + 4y - 12 = 0 से स्पर्श करते हैं। इन वृत्तों की अर्ध-व्यास को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और प्रत्येक वृत्त के केंद्र और रेखा के बीच संबंध का स्पष्टीकरण करें।'

'उस रेखा की ढलान ढूंढें जिसका वह दिशा में कोण बनाती है जो x-\\sqrt{3}y=0 की रेखा के साथ \\frac{\\pi}{4} है।'

'बिंदु A(-2, -3) के लिए, बिंदु P(3,7) का सममिति बिंदु Q के संयोजन ढूंढें।'

'इस वृत्त पर बिंदु पर बहुभुज की समीकरण ढूंढें।'

'2 रे \ 3 x+2 y-4=0 \ \\(1), \ x+y+2=0 \ \\(2) का छोटा विंदु ए के लिए है। \\(1) बिंदु ए और बी(3,-2) के माध्यम से गुजरती रेखा की समीकरण खोजें। \\(2) बिंदु ए से गुजरने और रेखा \ x-2 y+3=0 \ के समानांतर गुजरने वाली रेखा की समीकरण खोजें।'

'A(-2,-3), B(3,7), C(5,2) दिए गए हैं, निम्नलिखित बिंदुओं की स्थानांक खोजें।'

'वृत्त पर बिन्दु (a, b) पर स्पर्श रेखा की समीकरण को निकालें।'

'यहां सीधी रेखा 3x+2y-4=0 को (1) और x+y+2=0 को (2) माना गया है, जहां A दो रेखाओं का मिलने वाला बिंदु है। ए और बी(3,-2) से गुजरने वाली रेखा की समीकरण ढूंढें।'

''

'आगे दिए गए 3 बिंदुओं द्वारा बनाए गए त्रिभुज ABC की आकृति क्या है?'

'निम्नलिखित वृत्तों की समीकरण ढूंढें:\n1. केंद्र (2, -3) पर और त्रिज्या 1 के साथ वृत्त\n2. केंद्र (3, 4) पर और मूल से गुजरने वाला वृत्त\n3. जो बिंदु (3, 1) और (-5, 7) से द्विआधारित है\n4. जो केंद्र (5, 2) पर है और y-अक्ष को स्पर्श करता है'

'वह वृत्त केंद्र और त्रिज्या ढूँढें जो दो वृत्तों \\( x^{2}+y^{2}=2,(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1 \\) के दो समांतर बिंदुओं से गुजरता है और रेखा \ y=x \ से स्पर्श करता है।'

'बिंदु ए एक प्रथम चरण में है, वृत्त एक्स अक्ष और वाई अक्ष से स्पर्श करता है, इसलिए बिंदु ए की आवंटनिका (ए, ए) के रूप में किया जा सकता है, जिसका अर्धव्यास अवय है। क्योंकि बिंदु ए लाइन एल के नीचे है, इसलिए 3ए + 4ए - 12 < 0 होगा। बिंदु ए और रेखा एल के बीच की दूरी |3ए + 4ए - 12| / √(3^2 + 4^2) = (-7ए + 12) / 5 है। वृत्त ए और रेखा एल स्पर्श करता है, इसलिए बिंदु ए और रेखा एल की दूरी ए है, इसलिए (-7ए + 12) / 5 = ए है, जिससे ए = 1 मिलता है।'

'आंतरिक और बाह्य विभाजन बिंदु के संयोजनों के सूत्रों को मास्टर करें और उदाहरण 74 को जीतें!'

'वृत्त और रेखा'

'निरंतर k के किस मान के लिए वृत्त C: x^2+y^2+(k-2)x-ky+2k-16=0 बिंदु A(x, y) और B(x, y) से होगा। यहाँ, । रेखांक AB वृत्त C का व्यास होगा केवल तब जब k=।'

'तीसरे त्रिभुज का विवरण दीजिए।'

'असमीकरणों द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र सीमाएं दिखाएं।'

'रेखा और वृत्त के स्थिति संबंध और उनके छेद समीकरणों के निर्धारण की समस्या।'

'निम्नलिखित वृत्तों की समीकरण खोजें।'

"दो छेड़छाड़ बिंदु C और C' से गुज़रने वाली रेखा l का समीकरण \\square x+\\square y=15 है। अद्यतन, दो छेड़छाड़ बिंदुओं और मूलबिंदु O के साथ त्रिभुज क्षेत्रफल S S = \\square है।"

'ये समीकरण किस प्रकार के आकृतियों का प्रतिनिधित्व करते हैं?'

'निम्नलिखित दो सरल रेखाएं समानांतर हैं या लंबी हैं?'

'बिंदु और रेखा के बीच की दूरी के लिए सूत्र को मास्टर करें, उदाहरण 83 को जीतें!'

'कोण θ के त्रिज्या का चित्रण करें और बताएं कि वह कौनसे चतुर्थांश में है'

'जब त्रिभुज ABC एक सीधी त्रिभुज होता है जिसके शीर्षक हैं A(1,1), B(2,4), और C(a,0), तो स्थिर a की मान की खोज करें।'

'क्षेत्रEX के आसपास की बिंदु के निर्देशांक ढूंढ़ें x^2-2x+y^2-4y+4=0 जो बिंदु A(-1,1) के करीब है। साथ ही, बिंदु A और P के बीच की दूरी भी निकालें।'

'समतल पर बिंदु'

'(2) \ \\angle \\mathrm{A}=90^{\\circ} \ वाला समकोणी बिलम्बवाला त्रिभुज'

'बिंदु A(0,1) और B(4,-1) के बारे में'

'अध्याय 4: आकृतियाँ और समीकरण'

'समतल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकालने की समस्या।'

'निम्नलिखित बिंदुओं की निर्देशांक ढूंढें।'

'दी गई वृत्त TR: x^{2}+y^{2}=1 को C_{0} के रूप में लिया जाता है, और C_{0} को x-अक्ष के सकारात्मक दिशा में 2a इकाइयों के लिए स्थानांतरित करके C_{1} मिलती है, जहाँ a है 0<a<1। साथ ही, C_{0} और C_{1} के दो संबंधित बिंदुओं को पहले चतुर्थांक में अक्ष कहा जाता है, और P(s, t) C_{0} पर A और B बिंदुओं के अलावा एक बिंदु हो। P के ऊपर C_{0} के दो बिंदुओं A और B को छोड़कर जब G त्रिभुज PAB का केंद्रिक बिंदु हो, गति को खोजें।'

'73 (1) $\\mathrm{AB}=\\mathrm{CA}$ एक बराबरत्रिभुज है'

'समतल पर बिंदु P की स्थिति एक वास्तव संख्या के जोड़े द्वारा प्रतिनिधित होती है, उदाहरण के लिए, (a, b)। यह जोड़ा (a, b) को बिंदु P की निर्देशांक कहा जाता है, जहां a x-निर्देशांक है और b y-निर्देशांक है। निर्देशांक (a, b) वाले बिंदु P को P(a, b) के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस खंड में, चलो समतल पर बिंदु के बारे में सीखते हैं। निर्देशांक वाला समतल निर्देशांक धुरीय द्वारा 4 भागों में विभाजित है। ये भाग चतुर्थांश कहलाते हैं, और यह घड़ी की दिशा में पहले चतुर्थांश, दूसरे चतुर्थांश, तीसरे चतुर्थांश, और चौथे चतुर्थांश के रूप में नामित किए जाते हैं। ध्यान दें कि निर्देशांक धुरियों में किसी भी चतुर्थांश में शामिल नहीं हैं। चित्र में, (+, +) प्रत्येक चतुर्थांश में x और y निर्देशांकों की चिह्नों को दर्शाता है।'

'इस मामले में, वृत्त (1) के केंद्र (0,0) और रेखा (2) के बीच की दूरी वृत्त की त्रिज्या √k के बराबर है, इसलिए'

'पॉइंट पी (1，) से कर्व C: y=x^3-x पर कितनी संपर्क रेखाएं खींची जा सकती हैं।'

''

'दिए गए वृत्त केंद्र और अर्धव्यास, वृत्त की समीकरण की खोज करें।'

'सेंटर (a, b), रेडियस r वाले वृत्त की समीकरण ढूँढें।'

'९९ २ क्षेत्रांतर में से गुजरने वाले वृत्त की खोज करें'

'एक एक्यूट त्रिभुज ABC के लिए, प्रमाणित करें कि त्रिकोण A + त्रिकोण B + त्रिकोण C = त्रिकोण A त्रिकोण B त्रिकोण C।'

'जब बिंदु Q वृत्त x^2 + y^2 = 1 पर चलता है, तो बिंदु A(2,0) और बिंदु Q को जोड़ने वाली रेखा के बीच के मध्यबिंदु P का लोकस ढूंढें।'

'निम्नलिखित वृत्त और रेखा के बीच स्थिति संबंधों की जांच करें, और यदि समान बिंदु हैं, तो उनके निर्देशांक ढूंढें।'

'क्योंकि वृत्त C3 केंद्र मूल है, इसलिए वृत्त C और वृत्त C3 के बीच की दूरी PO=√(1^2+(-2)^2)=√5 है।\nवृत्त C3 की त्रिज्या को r3 कहें, वृत्त C3 वृत्त C में आसंधित है, इसलिए r3 < 3 और √5 = 3 - r3 है।\nइसलिए r3 = 3 - √5\nइसलिए, वृत्त C3 की समीकरण है x^2 + y^2 = (3 - √5)^2'

'निम्नलिखित असमिकाओं द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्रों का चित्रण करें।'

'एक ऐसा परललोग्राम ABCD है जिसके कोने A(-2,3), B(5,4), और C(3,-1) है। कोने D और यारों के समांतर रेखा के क्रमभंग से बिंदु P की निर्धारित कीजिये।'

'उस बिंदु के आंतरिक स्थान और सरल बीन जिसे बिन्दु है (2, 1) और अर्ध व्यास 2 द्वारा काटा गया है y=-2x+3 से बीन की लंबाई का पता लगाएं।'

'निर्दिष्ट बिंदु A(7,1) से वृत्त x^2+y^2=25 पर खिंची गई स्पर्श रेखा की समीकरण ढूंढें।'

'ज्ञात करें जो बिंदु (0,2),(-1,1) से गुजरता है और जिसका केंद्र रेखा y=2x-8 पर है, वह वृत्त की समीकरण।'

'जब एक पराबोला (1) और एक वृत्त (2) के पास 4 साझा बिंदु होते हैं, तो r की मान की सीमा ढूंढें।'

'दोनों वृत्तों x^2+y^2=2 और (x-1)^2+(y+1)^2=1 के दो छोरों से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र और त्रिज्या खोजें, जो रेखा y=x को स्पर्श करता है।'

'चित्र 6 में वर्नियर कैलिपर की मदद से पठित लंबाई कितने मिलीमीटर के अंतराल में है?'

''

'(3) बिंदु (2), (3) के लिए उच्चकोण के मान बताएं।'

'2021 शिबूया एकेडमी माकुहारी मिडल स्कूल (पहली बार) (4) \nचित्र 5-1 में दिखाया गया है, एक रोंबस बेस और सभी लंबचतुर्भुजीय साइड चेहरे वाला चतुर्भुज $ABCD-EFGH$ है। बिंदु $K, L, M, N$ $AK: KB = AN: ND = 1: 1$, $BL: LC = DM: MC = 2: 1$ के साथ सीधों $AB, BC, CD, DA$ पर स्थित हैं।\nइसके अतिरिक्त, बिंदु O रोंबस $EFGH$ के विरुद्धकोनी $EG$ पर स्थित है, जिसमें $EO: OG = 1: 5$ है।\nचतुर्भुज $KLMN$ के प्रत्येक शिखर को बिंदु O से जोड़ने से प्य्रमिड O-KLMN बनती है। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। पिरामिड का आयतन (आधार क्षेत्र) x (ऊँचाई ÷ 3) के रूप में हो सकता है।'

'एक उज्ज्वल लाल तारे और एक अंधेरे लाल तारे के बीच अंतर की व्याख्या करें।'

'एक चतुर्भुज त्रिभुज ABC है जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है, और AD, BD, और CD के रूप में 1 तिकोनी के चारों भुजों वाले वर्ग हैं। इस स्थिति में, CD के एक भुज के साथ वर्ग क्षेत्रफल कितना है सेमी-वर्ग सेमीटर में?'

'चित्र 12 में कोशिका ए का आकार (PQ के बीच की लंबाई) कितना है? (5) में प्राप्त मान का उपयोग करें और पूर्णांकों में जवाब दें।'

'प्रायद्वीप'

'(3) जैसा दाएं तरफ के चित्र में दिखाया गया है, चट्टान B समुद्र स्तर से ऊपर 48 मीटर पर है और A से 70 मीटर उत्तर में है, चट्टान C समुद्र स्तर से ऊपर 53 मीटर पर है और A से 70 मीटर दक्षिण में है, केवल उनकी स्थिति को नोट करें।'

'(2) बिंदु O द्वारा खींची गई रेखा मोटी रेखा की तरह बन जाती है। पहले, अर्धवृत्त का केंद्रीय कोण ज्यादातर(2) और (3) के बीच है। 8 और 9 के बीच के भाग को जोड़ने पर 180×3+90+60×2 = 750 (डिग्री) मिलता है। इसके अतिरिक्त, 3 और 4 के बीच का व्यास 12+6=18 सेमी और केंद्रीय कोण 30 डिग्री है। इसलिए, बिंदु O द्वारा खींची गई रेखा की लंबाई निम्न प्रकार है, 6×2×3.14×750/360+18×2×3.14×30/360=(25+3)×3.14=87.92 सेमी।'

'चित्र 5-1 में, कोण A के साथ एक सीधीकृत त्रिभुज है, जहाँ AB=3 सेमी और AC=6 सेमी है, और कोण D के साथ एक सीधीकृत बराबर भुजा त्रिभुज है, जहाँ DE, DF=6 सेमी हैं। इन सीधीकृत त्रिभुजों को मिलाकर बनाए गए ज्यामिति आकार के बारे में निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। यहां, चक्रफल की मान 3.14 ली जाएगी। साथ ही, एक कोन का आयाम तल क्षेत्रफल * ऊचाई / 3 से होता है।'

'ज्वालामुखी एश लेयर X की समुद्र स्तर से ऊपरी कड़ी A पर 51+2=53 मीटर है, जबकि कड़ी B पर 48-4=44 मीटर है। इन्हें ग्राफ पर वर्तुल प्रकार में चिह्नित किया जाए तो दाएं ग्राफ के रूप में दिखाई देगा।'

' (4) A से ध्वनि स्रोत तक की दूरी और B से ध्वनि स्रोत तक की दूरी का अंतर 350 मीटर होने पर, एक ऐसे बिंदु समूह को कहते हैं जो लाइन पर होता है, जो ध्वनि स्रोत की मौजूदगी को दर्शाता है। इसे (I) द्वारा प्रतिनिधित किया जाता है। जिसका किसी ध्वनि स्रोत तक की दूरी से दो बिंदुओं की दूरी में अंतर स्थायी होता है, उसे अव्याकृत कहा जाता है।'

'A3 पेपर में फिट नहीं होता'

'कॉमेट्स सौरमंडल में ब्रह्मांडीय शरीर हैं जो ग्रहों की तरह सूर्य के चारों ओर घूमते हैं। कॉमेट्स एक विशेष सुविधा प्रदर्शित करते हैं क्योंकि वे सूर्य से दूर सौरमंडल में से आते समय अचानक चमक जाते हैं और दूर जाते समय अचानक धुंधलापन और गायब होते हैं। साथ ही, जैसा कि चित्र 6 में दिखाया गया है, कॉमेट्स दूसरे ब्रह्मांडीय शरीरों से भिन्न दिखते हैं, एक लंबी पूंछ लहराते हुए। कॉमेट्स की पूंछ सूर्य की विपरीत दिशा में फैलती है। (5) मान लीजिए कि एक नया कॉमेट खोजा गया है, और उसे उस दिन के सूर्यास्त के तुरंत बाद दिखाई दिया। कॉमेट की पूंछ का दिखने का ढंग एक सीधी रेखा के रूप में वर्णन करें।'

'(3) ध्वनि स्रोत A 1 सेकंड में पहुंचने वाली स्थिति पर है, और B 2 सेकंड में पहुंचने वाली स्थिति पर है। इसलिए, A के केंद्र में तीर्थ की अक्षरशाला 350 × 1 = 350 मीटर और B के केंद्र में तीर्थ की अक्षरशाला 350 × 2 = 700 मीटर के साथ एक वृत्त बनाने पर, इन दो वृत्तों के दो संबद्ध स्थान ध्वनि स्रोत का स्थान दर्शाएंगे।'

'चित्र 4 से निकाली जा सकने वाली एक सही कथन चुनें।'

'निम्नलिखित त्रिभुज के प्रत्येक पक्ष की लंबाई निकालें।'

'दो थलवी अक्षों के लिए लंबवत् समतल की समीकरण'

'90 डिग्री के कोण वाली राइट त्रिभुज'

'मान लें कि बिंदु A के ध्रुवीय निर्देशांक (r₁, θ₁) हैं और उसी तरह बिंदु B के ध्रुवीय निर्देशांक (r₂, θ₂) हैं। त्रिभुज OAB के क्षेत्रफल S का पता लगाएं।'

'पैराललोग्राम ABCD में, दी एबी की बीच बिंदु को म, बीसी को 1:2 में विभाजित करने वाले बिंदु को ई, और सीडी को 3:1 में विभाजित करने वाले बिंदु को एफ मानकर'

'1 के आकार के साथ एबीसीडीईएफ समकोणी षष्टिभुज दिया गया है। जब पॉइंट पी एबी साइड पर चलता है और क्यू चीडी साइड पर अलग अलग चलता है, तो प्वायं R, जो अनुपात 2:1 में विभाजित सेगमेंट प्यू को कर सकता है के क्षेत्र ढूंढें।'

'हालांकि, इसमें x+yi भरना और सीधे संख्यान निकालना संभव है (3)(2) की मसलहनियों से, लेकिन हिसाब बहुत जटिल हो जाता है। इसलिए, हम पहले एक उड़ानी जिसके अवलों पर ध्यान केंद्रित है, की इकाई की तुलना करने का मसले को ध्यान में रखते हैं और C की समीकरण की खोज करने के लिए इसे घुमाते हैं। (1) K: \\frac{x^{2}}{2^{2}}+\\frac{y^{2}}{1^{2}}=1 अधिकतम ध्यान देने योग्यता की संकेतों की, \\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\\sqrt{3} है, ठीक वही (\\sqrt{3}, 0),(-\\sqrt{3}, 0)। प्रमुख धन पर लम्बाई 2\\cdot2 है और मेनर या छोटे धन पर लम्बाई 2\\cdot1 है, इसलिए खोजने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल है \\pi\\cdot2\\cdot1=2\\pi।'

'पहले वर्तुल में C पर किसी भी बिंदु पर झील कभी भी x-अक्ष, y-अक्ष के सकारात्मक भाग से कटती है और छोकरा बिंदु को Q, R के रूप में लेती है, ठोस P छोकरा QR को 2:1 में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।'

'ध्रुवीय ढांचे के लिए, निम्नलिखित वृत्त और रेखा के समीकरणों को ढूँढें: (1) बिंदु A(3, π/3) को केंद्र और त्रिज्या 2 वाला वृत्त। (2) बिंदु A(2, π/4) से गुजरने वाली एक रेखा और ओA (O ध्रुव है) के लिए लंबकटू रेखा।'

'(2) 128\n(2) \ \\mathrm{AD} / / \\mathrm{BC} \ के समकोण चतुर्भुज \ \\mathrm{ABCD} \ में, \ \\mathrm{AB}=2 \\mathrm{~cm}, \\mathrm{BC}=4 \\mathrm{~cm}, \\angle \\mathrm{B}=60^{\\circ} \ है। जब \ \\angle \\mathrm{B} \ को \ 1^{\\circ} \ बढ़ा दिया जाता है, तो चतुर्भुज \ \\mathrm{ABCD} \ क्षेत्र \ S \ कितना अधिक होता है? \ \\pi=3.14 \ मानें।'

'दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकालें।'

'त्रिभुज की लम्बकेंद्र की स्थिति वेक्टर खोजें।'

'निर्देशांक अंतरिक्ष में, बिंदु A(1,0,2), B(0,1,1) लें। जब बिंदु P x-अक्ष के साथ चलता है, तो AP+PB का न्यूनतम मान ढूंढें।'

'निर्देशांक समतल में, वृत्त C बिंदु (0,0) से गुजरता है, इसका केंद्र रेखा x+y=0 पर स्थित है, और हाइपरबोला xy=1 से स्पर्श करता है। वृत्त C की समीकरण ढूंढें। यहाँ, यह कहा जाता है कि वृत्त और हाइपरबोल संबंधित बिंदु पर स्पर्श करते हैं अगर वृत्त की स्पर्श रेखा और हाइपरबोल की स्पर्श रेखा उस बिंदु पर समान परिभाषित होती हैं।'

'अर्धवृत्त $x^{2}+4 y^{2}=4$ के लिए, बाह्य बिंदु $P(a, b)$ से अर्धवृत्त पर खींची दो स्पर्शयाें से बनी 2 रेखाएं सही कोण में किस बिंदु $P$ का वाह्यांक है?\n[प्रकार यूनिवर्सिटी ऑफ टोक्यो]\nमौलिक 155'

'पैरामीट्रिक परिस्थितियों द्वारा प्रस्तुत वक्र'

'वो ज्यामिति ढूंढिए जिसे सभी बिंदु P(z) का प्रतिनिधित्व करते हैं जो समीकरण $|z-\\alpha|=r(r>0)$ को संतुलित करते हैं।'

'क्यूर्व \\sqrt[3]{x}+\\sqrt[3]{y}=1 पर, पहली चतुर्थांक में उस बिंदु \\mathrm{P} पर जहाँ टैंजेंट जी x-अक्ष और y-अक्ष के साथ बिंदु \\mathrm{A}, \\mathrm{B} में कटते हैं। मूल स्थान है \\mathrm{O}, तो \\mathrm{OA}+\\mathrm{OB} की न्यूनतम मान की खोज करें।'

'निम्नलिखित रेखा और वक्र के क्रमागत संवाद पर ज्यामिति की स्थानांतर्पण करें।'

"बुनियादी अवधारणाएँ 1 ध्रुवीय और सीधी-रेखा समीकरण (1) ढोंगणी O पर केंद्रित व्यास 'a' वाले वृत्त r=a r=2a cos θ r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 Κुज्य=α r cos (θ-α)=a (a>0) (2) केंद्र (a, 0) पर और व्यास 'a' वाला वृत्त r=2a cos θ (3) केंद्र (r₀, θ₀) पर और व्यास 'a' वाला वृत्त r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 (4) ढोंगणी O से गुजरती हुई, आरंभिक रेखा 'α' के साथ कोण बनाती हुई सीधी कुज्य=α (5) बिंदु A(a, α) से गुजरती हुई, और OA को लंबी रेखा"

'(4) तल परिभाषित और सीमा OD के लिए, स्थितियाँ इस प्रकार हैं। जब q = 1/4, तो समतल PQR है। जब q = 1/5 है, तो समतल PQR 又 है। जब q = 1/6 है, तो समतल PQR ネ है। दुई 〜 ネ से मेल खाता है, 0 से 5 तक से एक का चयन करें।'

'वह वृत्त केंद्र पी की लोकेशन ढूंढें जो सर्कल $(x-4)^{2}+y^{2}=1$ और रेखा $x=-3$ दोनों को स्पर्श करता है।'

'एलिप्स \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) \\) के लिए फोकस के निर्देशांक हैं \\(\\left(\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right),\\left(-\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right)\\)। फोकस x धुरी पर हैं, मेजर एक्सिस की लंबाई 2a है और माइनर एक्सिस की लंबाई 2b है।'

'साबित करें कि हाइपरबोला पर किसी भी बिंदु से इसके दो ध्यान बिंदुओं तक की दो अंतर की स्थिर है।'

'तीन भिन्न बिंदु A(α), B(β), C(γ) को एक सरल रेखा पर होने की स्थिति का उल्लेख करें।'

'मान लें कि लंबाई 2 के रेखाखंड के दोनों अंतबिंदु A और B क्रमशः x-अक्ष और y-अक्ष पर चलते हैं। जब $\\mathrm{BP}=1$, तो बिंदु P का चारित्र ढूंढें।'

'बिंदु A(3, -4) से गुज़रते हुए, रेखा l: 2x-3y+6=0 के समानांतर रेखा g खोजें। रेखा g की समीकरण निर्धारित करें।'

'समचतुर्भुज ABCDEF में, केंद्र O, बार CD को 2:1 में आंतरिक विभाजित कार्यक्षेत्र में बिंदु P, तथा बार EF की मध्य बिंदु Q हो। यदि वेग AB को a तथा वेग AF को b लेने पर, a और b के सर्व्यायन BC, EF, CE, AC, BD, QP को सर्व्यायन में व्यक्त करें।'

''

'जब बिंदु P(z) -i पर केंद्रित एक व्यास 1 वाले वृत्त के परिधि के साथ (मूल को छोड़कर) चलता है, तो बिंदु Q(w) जो(3) 114 w=1/z से प्रदर्शित किया जाता है, वह किस प्रकार की आकृति बनाता है?'

"विषय: इकाई वायात्त संख्या समीकरणों द्वारा प्रस्तुत द्विघात सामग्री का अध्ययन और घूमने की गति गणित में गणित C के अध्याय में, हमने इकाइय तासिर में ज्यामितीय आकृतियों के बारे में सीखा, और अध्याय 4 में हमने द्विघात की गुणात्मकताओं के बारे में सीखा। यहाँ, हम उन मामलों का अध्ययन करेंगे जहाँ जीरविभाजनीय संख्या z के समीकरण द्वारा प्रतिष्ठित आकृति एक द्विघात है। पहले, निम्नलिखित समस्या के साथ द्विघात की मूल सिद्धांतों की पुष्टि करें। CHECK 3-A बिंदु P की वायात का समीकरण ढूंढना है, जिसका कुल दूरी बिंदु F(√5, 0) और F'(-√5, 0) से 6 है।"

'एक वृत्त के वेक्टर समीकरण का पता लगाएं।'

''

'मान लें कि त्रिभुज ABC एक समांतर त्रिभुज है जिसके कोने हैं A(-1), B(1), और C(√3 i)। सिद्ध करें कि जब P(α), Q(β), R(γ) त्रिभुज के कोने हैं और वह भी एक समांतर त्रिभुज है, तो समीकरण α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα = 0 सत्य है।'

'वेक्टर का प्रयोग करके वृत्त पर बिंदु (x0, y0) पर स्पर्श रेखा की समीकरण सिद्ध करें।'

'त्रिभुज △OAB को शीर्ष बिंदु O(0), A(1), B(य) के रूप में लेते हुए, जहां ∠O सीधे कोण वर्तुल है, सिद्ध करें कि जब त्रिभुज △PQR को बिंदु P(α), Q(β), R(γ) से रचा गया है और ∠P को अपेक्षित वर्तुल बिंदु माना गया है, तो समीकरण 2α² + β² + γ² - 2αβ - 2αγ = 0 लागू होता है।'

'(2) बिंदु z और 2 बिंदु (√3+3i)/2 और -(√3+3i)/2 के बीच दूरियों का योग 4 है जो कि स्थिर है, इसलिए, आकृति C को 2 फोकस पर (√3+3i)/2 और -(√3+3i)/2 के साथ एक अंडाकार कहा जाता है। इस अंडाकार के केंद्र से जो कि मूल है, तक फोकस की दूरी को c लिया जाता है। xy-समतल पर फोकस की निर्देशांक (c, 0) और (-c, 0) हैं। यह अंडाकार एक ऐसे अंडाकार के लिए समान है जिसमें अंडाकार पर बिंदुओं से 2 फोकस तक की दूरी का नाम 4 है।'

'xy-समतल के प्रथम चतुर्थांत में, लक्ष्यित रखें एक वृत्त C जिसकी त्रिज्या a है जो वर्तनी लक्ष्य l: y=mx(m>0) और x-अक्ष दोनों से स्पर्श करता है। साथ ही, एक बिंदु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों का विचार करें, l रेखा, x-अक्ष, और वृत्त C को एक ही बिंदु पर स्पर्श करते हैं, जिनकी त्रिज्या b है, जहां b>a। (1) m को t में व्यक्त करें। (2) t को b/a में व्यक्त करें। (3) सीमा मूल्य lim_{m \to +0} 1/m(b/a-1) निकालें।'

'(1) त्रिभुज ABC की तीन सीधियों की लंबाई को AB=8, BC=7, CA=9 रूप में लिखें। वेक्टर AB=b को और वेक्टर AC=c को के रूप में लिखें, और त्रिभुज ABC का आंतरिक केंद्र P हो। इसके लिए वेक्टर AP का b और c में व्यक्त करें।'

'मध्य बिंदु सिद्धांत: त्रिभुज ABC में, छोर AB और AC के मध्यबिंदु को क्रमशः M और N लें। तो MN // BC और MN=1/2 BC'

'एक वृत्त में आसक्त एक चतुर्भुज ABCD है। जब AB=4, BC=5, CD=7, DA=10 है, तो चतुर्भुज ABCD क्षेत्र S की गणना करें।'

'त्रिभुज का बाह्य केंद्र'

'त्रिभुज के तीन पक्षों की लम्बाई 3, 5, और x है, तो x के मान की रेंज का निर्धारण करें जिससे एक त्रिभुज एक एकुष्म त्रिभुज बन जाए।'

"एक नियमित त्रिकोण OABC जिसकी कोनों की लम्बाई 6 है दी गई है। ओए की धारा के बीच बिंदु को 'एल' और ओबी को 2:1 में विभाजित करने वाले बिंदु को 'एम' और ओसी को 1:2 में विभाजित करने वाले बिंदु को 'एन' कह दिया गया है। त्रिभुज 'एलएमएन' क्षेत्रीय क्षेत्र की गणना करें।"

'त्रिभुज ABC में, यदि B=30°, b=√2, और c=2 है, तो A, C, और a की मान निकालें।'

''

'बिंदु A, P, और Q से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र, दो ढोरियों के लम्ब के केंद्रबिंदु पर है।'

'(2) एक्यूट कोण'

'बिंदु परीक्षण के प्रमाण का प्रयोग करके, दिखाएं कि बिंदु P से वृत्त के लिए खींची गई 2 सीधियों की गुणधर्म।'

'नियमित आठ कोन के लिए, निम्नलिखित संख्या पाएं।\n(1) 4 वर्टेक्स को जोड़कर जो चतुर्भुज बना सकते हैं\n(2) 3 वर्टेक्स को जोड़कर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या जिनमें नियमित आठ कोन को साझा एक बाहु है'

'रेखा x=1 पर, जहाँ y निर्देशांक √3 है, वहाँ बिंदु T स्थित है, रेखा OT और त्रिज्या 1 रेडियस के आधे वृत्त का साझा बिंदु P है। हमें जिसकी खोज है, वह है ∠AOP।'

'240 सेमी लंबा और 396 सेमी चौड़ा आयतकार फर्श पर, एक कोने की लंबाई a सेमी के वर्ग टाइलों से बिना किसी खाली जगह के ढंकना है। इस मामले में a की अधिकतम मान खोजें। साथ ही, लगाने योग्य टाइलों की संख्या निर्धारित करें।'

'त्रिभुज के वाह्य केंद्र, अंतःकेंद्र और भरम के गुणों का स्पष्टीकरण और प्रमाणीकरण करें।'

'कृपया बताएं कि दाएं दिए गए चित्र में चार बिंदु A, B, C, D क्या एक ही वृत्त पर स्थित हैं।'

'सामवृत्त का अर्धव्यास \ \\frac{85}{8} \ है, और आंतर्वृत्त का अर्धव्यास 2 है'

'एक वर्तुल में आँकित एबीसीडी चतुर्भुज में, जहां एबी = 8, बीसी = 10, सीडी = डीए = 3 है। चतुर्भुज एबीसीडी क्षेत्र S का पता लगाएं।'

'79. त्रिभुज ABC में, AB=2, BC=4, CA=2√3। शीर्षक A से बार BC पर लंबाई AD और त्रिज्या AD को व्यास बनाए हुए वृत्त की AB और CA द्वारों के संविधान से बिंदु E, F से काटने से उनका मिलन होता है। यहाँ, E, F A से भिन्न बिंदु हैं। [टोक्यो जिकेइकाई मेडिकल यूनिवर्सिटी]\n(1) सिद्ध करें कि बिंदु E, B, C, और F एक ही वृत्त पर हैं।\n(2) त्रिभुज EBF की क्षेत्रफल की गणना करें।'

'जैसा चित्र में दिखाया गया है, एक बाहु के लंबित त्रिभुज के सभी कोणों और प्रत्येक केंद्रीय बिंदु को 1 से 6 तक नंबर दें। पहले पासे के परिणाम को इस संख्या के साथ मिलायें। तीन बार परियप्त परिणाम वाले बिंदुओं को एक साथ जोड़कर एक आकृति बनाएँ। परिणामी आकृति के क्षेत्रफल की अपेक्षित मूल्य का पता लगाएं।'

'प्रमेय 25 पॉवर ऑफ अ पॉइंट थियोरेम II'

'\ \\triangle ABC \ में, \ \\angle A=90^{\\circ}, \\angle B=60^{\\circ}, \\angle C=30^{\\circ} \ है और ध्यान दें कि \ AD \ एक वृत्त का व्यास है।'

'चतुर्भुज ABCD के द्विघातु AC और BD की लम्बाई लंबाई p और q हो, और उन द्विघातुओं द्वारा बनाए गए कोणों में से एक को Υ कहें। p, q, और Υ के रूप में चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल S को व्यक्त करें।'

'क्षेत्र के भीतर और बाहर के बिंदु और कोनों के बारे में समझाएं।'

'त्रिभुज ABC में, O उत्तरकेंद्र है। दाएं चित्र में कोणों α, β की मान निकालें।'

'परललोग्राम के लिए शर्तें: यदि निम्नलिखित में से किसी भी शर्त को पूरा किया जाता है, तो वह चतुर्भुज एक परललोग्राम है। [1] दो जोड़ी विपरीत किनारे एक-दूसरे के समानांतर हैं। [2] दो जोड़ी विपरीत किनारे एक-दूसरे के बराबर हैं। [3] दो जोड़ी विपरीत कोण बराबर हैं। [4] एक जोड़ी विपरीत किनारे समानांतर हैं और उसकी लंबाई भी समान है। [5] नापों वाली तिर्यकरण अपने संबंधित मध्यबिंदु में कटती हैं।'

'एक वृत के भीतर एबीसीडी में चतुर्भुज में, जहाँ एबी = बीसी = 1, बीडी = √7, और डीए = 2, निम्नलिखित कीजिए:\n1. बिंदु ए का स्थान\n2. तिर्भुज की लंबाई CD\n3. चतुर्भुज ABCD क्षेत्र S'

'त्रिभुज ABC के बाह्य केंद्र O को ढूंढें।'

'पीआर वृत्त में आंतरित एक चतुर्भुज एबीसीडी है। जब एबी = 4, बीसी = 5, सीडी = 7, डीए = 10 है, तो चतुर्भुज एबीसीडी की क्षेत्रफल एस को निकालें।'

'40 सेमी लंबाई वाले एक वर्गाकार में, विकर्ण की न्यूनतम लंबाई का पता लगाएं। साथ ही, इस समय वर्गाकार कैसा होगा। वर्गाकार की ऊर्ध्वीय लंबाई x सेमी के बराबर मानते हैं, तो समीकरण वाली लंबाई (20-x) सेमी होगी। x>0 और 20-x>0 होने के कारण, हमें 0<x<20 मिलता है। विकर्ण की लंबाई को l सेमी से दर्शाते हैं, l^2 =x^2+(20-x)^2 =2 x^2-40 x+400 =2(x-10)^2+200 (1) जहाँ l^2 x=10 पर 200 की न्यूनतम मान को प्राप्त करता है। क्योंकि l>0 है, इसलिए l^2 की सबसे कम मान पर l भी सबसे कम होता है। इसलिए, विकर्ण की लंबाई l की न्यूनतम मान sqrt(200)=10 sqrt(2)(cm) है। इस समय, वाली लंबाई भी 10 सेमी होगी, जिससे वर्गाकार विकर्ण की न्यूनतम लंबाई होगी।'

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'समतल पर बिंदु O लें और O पर दो लंबवत रेखाएँ परिभाषित करें, जैसा कि दाईं तरफ की छवि में दिखाया गया है। इन्हें प्रत्येक x-अक्ष और y-अक्ष कहा जाता है। बिंदु O को मूल कहा जाता है। इस मामले में, यदि बिंदु A निर्देशांक (3, 2) पर स्थित है, तो कृपया उसका x-निर्देशांक और y-निर्देशांक प्रदान करें।'

'दाएं चित्र में, 1 साइड लंबाई के 2 के बराबर एक ब्रिजभुज के सभी कोनों और प्रत्येक ओर के मध्य बिंदुओं को 1 से 6 के संख्याओं से लेबल करें, जबकि एक पासे की क्रमबद्धता के रूप में। एक पासे 3 बार फेंकें और जुड़ी गई संख्याओं का चित्र बनाने के लिए। परिणामी आकार की क्षेत्र की अपेक्षित मूल्य का पता लगाएं।'

'एक समतल में, कोई 3 रेखाएं एक ही बिंदु से नहीं गुजरती हैं, 10 रेखाएं हैं। इन 10 रेखाओं में से 2 रेखाएं समांतर हैं। इस तरह की 10 रेखाओं द्वारा बनाए गए संबद्ध बिंदुओं और त्रिभुजों की संख्या का पता लगाएं।'

'उदाहरण 4: पैराबोलिक एंटीना\nइंग्लिश में, पैराबोला को पैराबोला कहा जाता है। उपग्रह प्रसारण ग्रहण के लिए पैराबोलिक एंटीना की सतह, उस आक्ष के चारों ओर घुमाकर बनी सतह की आकृति है।'

"व्यास 5 और 8 वाले वृत्त O और O' बिन्दु A पर बाह्य स्पर्श करते हैं। इन दो वृत्तों की साझी बाहरी स्पर्श रेखा और वृत्त O और O' से संपर्क करने वाले बिंदु B और C लें। साथ ही, BA को बढ़ाकर वृत्त O' से कटते हुए बिंदु D को लें।\n(2) सिद्ध करें कि बिंदु C, O', और D संरेखी हैं।\n(3) AB:AC:BC का अनुपात।"

'3 समान्तर रेखाओं द्वारा बनाया गया परलेलोग्राम का नंबर गणित करें और इन्हें काटने वाली 5 रेखाएँ।'

'दो बिंदुओं के बीच की दूरी\n(1) निर्देशांक तल पर बिंदु A(x1, y1) और B(x2, y2) के बीच की दूरी है\nAB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)\nविशेष रूप से, मूल स्थान O और बिंदु A(x1, y1) के बीच की दूरी OA=√(x1^2+y1^2)\n(2) निर्देशांक अंतरिक्ष में बिंदु A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2) के बीच की दूरी है\nAB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)\nविशेष रूप से, मूल स्थान O और बिंदु A(x1, y1, z1) के बीच की दूरी OA=√(x1^2+y1^2+z1^2)'

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'ए और पी के बीच की दूरी निकालें।'

'सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC और DEF के बहुमुखी समकोण सामान्य हैं।'

'न्यूनतम मान है 10√2 सेमी, वर्ग'

'दिए गए रेखा सेक्मेंट AB के लिए, निम्नलिखित बिंदु बनाएं।'

'गणित I\nइसलिए, (△ABC) क्षेत्रफल है\n\nउदाहरण 1 एक चौकोर समकोण त्रिभुज वाला कागज दिया गया है जिसकी परिवर्तन स्तर (10 सें.मी.) है। इस चौकोर समकोण के शीर्षकोणों को (A, B, C) सम्मिलित करते हैं, और सीधी (BC) पर (2 सेमी) दूरी पर बिंदु (P) को रखा गया है। चौकोर समकोण कागज को ऐसे तोड़ने पर कि स्थान (A) और स्थान (P) मेल खाते हैं, यदि तो तहेदी (AB, AC) और तोड़ की संविधान बिन्दु (D, E) को क्रमश: लें। इस समय, अगर (AD=) ए है (सेमी), (AE=) बी है (सेमी), और △ADE क्षेत्रफल सी है (सेमी^{द्वि})।\n[क्योटो मक्आई यूनिवर्सिटी से]'

'त्रिभुज ABC में, जहां BC=17, CA=10, AB=9 है। sinA का मान, त्रिभुज ABC का क्षेत्र, वाह्य वृत्त का त्रिज्या, और अंतःवृत्त का त्रिज्या निकालें।'

'मूल उदाहरण 85 एक निकटता की लंबाई कि डाली द्वारा बनाया गया खंड\n(1) द्विघातीय कार्य y=-x^{2}+3x+3 के ग्राफ़ द्वारा बनाए गए खंड की लंबाई ढूंढें।\n(2) सिद्ध करें कि निरंतर है चाहे कोई भी स्थायी a मान हो, द्विघातीय कार्य y=x^{2}-2ax+a^{2}-3 के ग्राफ़ द्वारा बनाए गए खंड की लंबाई a से परे है।'

'यदि AB=2√2, BC=4√2, CA=2√6 है, तो त्रिभुज की पहियों की लंबाई निकालें।'

'(2) त्रिभुज ABC में, अगर BC = 5, CA = 3, AB = 7। यदि कोण A और इसके बाह्य कोणधारा रेखा BC को काटते हैं तो बिंदु D और E की दूरी का पता लगाएं।'

'समतल में, 10 रेखाएँ हैं जिनमें से कोई भी 3 रेखाएँ एक ही बिंदु पर क्रमशः कटती नहीं हैं। जब 10 रेखाओं में से केवल 2 रेखाएँ समांतर होती हैं, तो इन 10 रेखाओं द्वारा बनाए गए कटने वाले बिंदुओं की संख्या और त्रिभुजों की संख्या निर्धारित करें।'

'निम्नलिखित बिंदु बनाएं:\n(1) बिंदु P साइड्स AB, BC, CA से समान दूरी पर\n(2) बिंदु Q बिंदु A, B, C से समान दूरी पर'

'दाएं चित्र में दिखाए गए वृत्त ओ और कोण एबी पर आधारित निम्नलिखित वृत्त का ड्रा करें। ध्यान दें कि बिंदु पी और क्यू ए और बी से भिन्न हैं, और वृत्त ओबी के लंबवत भाजक पर नहीं हैं।'

'एक राइट त्रिभुज के लम्बों को a, b, c कहा जाता है, जहां वायुमंडल अर्ध-व्यास 3/2 है और आंतरिक वृत्त का त्रिज्या 1/2 है, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। a ≥ b ≥ c माना जाए:'

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'निम्नलिखित गणितीय शब्दों और उनके संबंधित परिभाषाओं को जापानी में लिखें।'

'छोटी ओर की लंबाई 1 मीटर से अधिक और 3 मीटर से अधिक नहीं है'

'निम्नलिखित सीधी रेखा या बिंदु के साथ सममित रूप से अवस्थित पराबोला y=-2x^2+3x-5 की मिलती जुलती पराबोला की समीकरण खोजें।'

'निम्नलिखित दो सीधियों द्वारा बनाए गए कोण θ का पता लगाएं। मानें 0° ≤ θ ≤ 90°। (1) AB और FG (2) AE और BG (3) AF और CD'

'एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसकी एक भुज की लम्बाई 1 है, BC को 1:2 में बाँटने वाला बिंदु D, CA को 1:2 में बाँटने वाला बिंदु E, AB को 1:2 में बाँटने वाला बिंदु F बनाएं, और BE और CF का क्रमिक बिंदु P, CF और AD का क्रमिक बिंदु Q, AD और BE का क्रमिक बिंदु R बनाएँ। इस समय, त्रिभुज PQR की क्षेत्रफल की मान निकालें।'

'त्रिभुज ABC में, यदि AB = 6, BC = 7, CA = 5 है, तो बाह्य वृत्त की अर्धवृत्त R और आंतरिक वृत्त की अर्धवृत्त r को खोजें।'

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'1 रेडियस वाले अर्धवृत्त पर, जिस बिंदु का x-अवलंब 1/2 होता है, वह बिंदु पी है। हमें जोकि ∠एओप है, उसे खोजना है।'

'बिंदु P(3, 4) को समरेखा y = 2x + 1 के संदर्भ में उसके परिचित बिंदु Q की आवंधि तलाशें।'

'मान लें त्रिभुज ABC की तीनों भुजाओं की लंबाई को a, b, c कहा गया है। अगर (a+b) : (b+c) : (c+a) = 4 : 5 : 6 है और क्षेत्रफल 15√3 है, तो त्रिभुज ABC की बाह्य वृत्त की त्रिज्या R और आंतरिक वृत्त की त्रिज्या r को निकालें।'

'त्रिभुज का अंतःकेंद्र'

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'मूल के विकल्प के बारे में सममित स्थानांतरण करने पर शिखर बिंदु बिंदु \\( \\left(-\\frac{3}{4}, \\frac{31}{8}\\right) \\) पर होता है, जो नीचे एक गोली की तरह बना है,\n\\[ y=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { भी ठीक है }\\right) \\]'

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'निम्नलिखित दो बिंदुओं के बीच की दूरी ढूंढें।'

'एक समकोण त्रिभुज कागज है जिसकी एक भुज की लम्बाई 10 सेमी है। इस समकोण त्रिभुज के शीर्ष को A, B और C के रूप में चिह्नित किया जाए, और बिंदु P को BC की एक बिंदु के रूप में ऐसा चुना गया है कि BP=2 सेमी है। इस समकोण त्रिभुज कागज को इस तरह तोड़ते समय कि शीर्षक A बिंदु P के साथ मेल खाता है, तो तल से AB, AC और फ़ोल्ड के कट्टर बिंदु को यथार्थ रूप में D और E के रूप में चिह्नित किया जाता है। इस समय AD= सेमी, AE= सेमी है, और त्रिभुज ADE क्षेत्र सेमी² है।'

'एक त्रिभुज ABC के लिए जो एक समबाहु त्रिभुज नहीं है, जिसका परिकेंद्र O, केंद्रबिन G और ऊर्ध्वकेंद्र H है, निम्नलिखित को सिद्ध करें: (1) भुज BC के बीच का बिंदु L लें, और सीमा GH, AG के बीच का बिंदु M, N के रूप में लें। सिद्ध करें कि चतुर्भुज OLMN एक समानपर चतुर्भुज है। आप AH=2OL तथ्य का उपयोग कर सकते हैं। (2) सिद्ध करें कि बिंदु G रेखा OH पर है। (3) सिद्ध करें कि OG:GH=1:2।'

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'एक पराबोला और x-अक्ष के बीच स्थानिक संबंध'

'त्रिभुज की आकृति निर्धारित करने का सारांश'

"दो वृत्त P और Q हैं जो दो वृत्त O और O' से काटते हैं। जैसा कि दाएं चित्र में दिखाया गया है, बिंदु A P के संकेत QP के आगे से, जो वृत्त O को स्पर्श करता है और वृत्त O' से काटता है, एक सीधी रेखा खींचें, जिसके स्पर्शबिंदु C हैं, और कटाव के बिंदु B और D हैं। यदि AB=a, BC=b, CD=c, तो a और b की शरण में c को व्यक्त करें।"

'सीवा के प्रतिसार का उपयोग करके निम्नलिखित को साबित करें:\n1. त्रिभुज के तीन माध्याकरण एक बिंदु पर कटते हैं।\n2. त्रिभुज के तीन कोनों के द्विभाजक एक बिंदु पर कटते हैं।'

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'चतुर्भुज ABCD एक वृत्त O में अंतर्भूत है, AB=3, BC=CD=√3, cos ∠ABC=√3/6। निम्नलिखित की गणना करें: (1) अंक AC की लंबाई (2) पक्ष AD की लंबाई (3) वृत्त O की त्रिज्या R'

'निम्नलिखित आकृतियों के क्षेत्रफल निकालें।\n1. AB=2, BC=3 और ∠ABC=60 डिग्री के साथ परललोग्राम ABCD\n2. अक्षरशील अष्टकोण जिसे अक्षर 10 के व्यास वाले वृत्त के चारों में बनाया गया है'

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'त्रिभुज ABC में, जब a=13, b=7, और c=15 हो, तो A को ढूंढें।'

'एक सीधी त्रिभुज जिसमें दोनों पार की लंबाई का योग 16 है, क्षेत्रफल को अधिकतम कैसे बनाया जा सकता है? इसके अलावा, अधिकतम मान की गणना करें।'

'वृत्त और रेखा के स्थान संबंध में तीन मामले होते हैं। यहां, r वृत्त का त्रिज्या है, और d वृत्त केंद्र और रेखा के बीच की दूरी है। [1] 2 बिंदुओं पर छेदना (2 साझा बिंदु) 0 ≤ d < r [2] स्पर्श करना (1 साझा बिंदु) 0 ≤ d < r [3] अलग (कोई साझा बिंदु नहीं) 0 ≤ d < r जब केवल एक साझा बिंदु होता है, तो वृत्त और रेखा स्पर्श करते हैं, और इस रेखा को स्पर्शक कहा जाता है, साझा बिंदु को स्पर्श बिंदु कहा जाता है। हम पहले उस्तीकागर्ता की विशेषताओं का अध्ययन करेंगे।'

'त्रिभुज का निर्माण शर्तों का निर्धारण करें'

'त्रिभुज ABC में, जहाँ AB=6, BC=a, और CA=4 है, BC और CA के मध्यबिंदु को M और N के रूप में लिया जाता है। (1) AM=√10 होने पर a का मान ढूंढें। (2) जब a (1) से है, तो खंड BN की लंबाई ढूंढें।'

'(2) सबसे लंबी भुजा CA है, इसलिए AB + BC = 18, CA < AB + BC, इसलिए त्रिभुज ABC मौजूद है।'

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'प्रशिक्षण 112 (1)\nसमतल मैदान पर बिंदू O को मूल के रूप में लें, पूर्व की दिशा को x-अक्ष की सकारात्मक दिशा और उत्तर की दिशा को y-अक्ष की सकारात्मक दिशा मानकर निर्धारित समद्धता तल को ध्यान में रखें।\nबिंदू A बिंदू O से पूर्व की दिशा में 28 इकाइयों के स्थान पर स्थित है। इसके अतिरिक्त, बिंदू O और A को जोड़ने वाली रेखा के दक्षिण में बिंदू P है।\nबिंदू P O से 25 इकाइयों दूर है और A से 17 इकाइयों की दूरी पर है।\n(1) बिंदू A की निर्देशांक खोजें।\n(2) बिंदू P की निर्देशांक खोजें।'

'अभ्यास 3: त्रिभुज का अंतः केंद्र, परिधि केंद्र, और भर केंद्र'

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'एक समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमितीय कार्यों के मान की गणना करें'

'चक्र पर चार बिंदुओं का सिद्धांत'

'दो ग्राफ़ों के समांवय स्थलों में से एक बिंदु (-1,0) है'

'सिद्ध करें कि एक नूतन त्रिभुज एबीसी के वर्तुल ए के धुरी एडी और एबी, एसी के भागिय के लिए बाँधित रेखा डीई, डीएफ। इस समय, बी, सी, एफ, ई के 4 बिंदु एक ही वृत्त पर स्थित हैं।'

'समकोण त्रिभुज ABC में, AB>AC और ∠A = 90°, कोन ABC से वर्टेक्स A की ऊर्ध्ववाहिका AD खींचें।'

'एबीसीडीई के भीतर आर्क के आसपास घेरे हुए पंचभुज के लिए, जहाँ एबी = 7, बीसी = 3, सीडी = 5, डीई = 6, ∠बीसीडी = 120° और ∠ए = 82°, निम्नलिखित ढूंढें:\n(1) रेखा बीडी की लंबाई\n(2) रेखा एडी की लंबाई\n(3) पक्ष एई की लंबाई\n(4) चतुर्भुज एबीडीई का क्षेत्रफल'

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'(1) \\\\( \\theta=30^{\\circ}, \\\\ 150^{\\circ} \\\\\\\n(2) \\\\( \\theta=45^{\\circ} \\\\\\\n(3) \\\\( \\theta=120^{\\circ} \\\\\\\n'

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'अध्याय 7 त्रिभुजों पर अनुप्रयोग'

'△ABC में, मान लें AB = 7√3 और ∠ACB = 60°। तो △ABC के बाह्य वृत O की त्रिज्या क्या है? सर्कल O के परिधि AB पर समेती हुई C बिंदु के साथ चलने वाला बिंदु P।'