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'त्रिभुज ABC में, जहां 43AB=6, AC=4, और cosB=3/4 हो, निम्न सवालों का उत्तर दें: (1) पक्ष BC की लम्बाई ढूंढें। (2) जब कोण C ऊर्ध्वखंडी हो, तो त्रिभुज ABC क्षेत्रफल ढूंढें। (3) (2) से त्रिभुज ABC के लिए, इसके व्यासचाप और अंतर्वर्ती वृत्त के त्र्ज्यों को निर्धारित करें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र की चित्रण करें।'

'आंतरिक वृत्त की त्रिज्या r, आतानिक वृत्त की त्रिज्या R और h=r/R मान लें। साथ ही, ∠A=2α, ∠B=2β, ∠C=2γ हो।'

'आंतरिक और बाह्य विभाजन बिंदु\nरेखा AB को m: n अनुपात में आंतरिक और बाह्य विभाजित करने वाले बिंदुओं के संदर्भ में निर्देशांक ढूंढें।\nआंतरिक विभाजन बिंदु $\\left(\\frac{n x_{1}+m x_{2}}{m+n}, \\frac{n y_{1}+m y_{2}}{m+n}\\right)$\nबाह्य विभाजन बिंदु $\\left(\\frac{-n x_{1}+m x_{2}}{m-n}, \\frac{-n y_{1}+m y_{2}}{m-n}\\right)$'

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'चतुर्भुज ABCD एक वृत्त में आसक्त है, ∠ABC=∠DAB, इसलिए ∠ADC=∠BCD। CD समान है, इसलिए AD=BC। बराबर लंबाई के ज्याः में बराबर केन्द्रीय कोण है, इसलिए ∠ACD=∠BAC। ∠ACD=∠BAC=θ(0<θ<α) मानें तो ∠ACB=π-(α+θ), ∠CAD=α-θ। त्रिभुज ABC में, साइनों के नियम के अनुसार AB/sin{π-(α+θ)}=2*1, BC/sinθ=2*1। इसलिए AB=2sin(α+θ), BC=2sinθ। साथ ही, त्रिभुज ACD में, साइनों के नियम के अनुसार।'

'अभ्यास (1) 2 बिंदु A(0, -2), B(0, 6) और बिंदु P के रूप में त्रिभुज PAB AP: BP = 1:3 को संतुलित करते हुए चलता है, पॉइंट P का त्राज़ का पता लगाएं।'

'दो बिंदुओं के बीच आंतरिक और बाह्य विभाजन बिंदुओं की निर्धारित करें।'

'आकृति A को 1/4 से कम करके, एक समान आकृति प्राप्त की जाती है, जिसे आकृति A के (1) से (3) में रखा जाता है, तो आकृति B प्राप्त होती है। अगले, आकृति B को 1/4 से कम करके, एक समान आकृति प्राप्त की जाती है, जिसे फिर से आकृति A के (1) से (3) में रखने पर, एक स्व-समान आकार प्राप्त होता है। इस स्व-समान आकार को पास्कल के त्रिकोण के पैटर्न पर लागू करें।'

'पांच ईक्षा पर दो रेखाओं y=5x(1) और y=\\frac{2}{3}x(2) द्वारा बनाए गए तीव्र कोण का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित कोणों को डिग्री से रेडियन में और रेडियन से डिग्री में परिवर्तित करें।'

'TR 132\n2 रेखाएँ \ y=-\\frac{2}{5} x \ (1) और \ y=\\frac{3}{7}x \ (2) द्वारा बनाए गए कोण को खोजें।\nज्यादातर, दोनों रेखाओं द्वारा बनाए गए कोण ऊभ कोण माना जाए।\nयदि (1) और (2) द्वारा बनाए गए कोण \\) x \\) धुरी के सकारात्मक दिशा के साथ है, तो इसे लेट द्वारा बनाए गए कोण \ \\alpha, \eta \ के रूप में चिह्नित किया जाए'

'ऐसे बिन्दु P का माड़ का पता लगाइए जो स्थान A(-1,-2) और B(-3,2) से समान दूरी पर हो।'

'आगे बढ़ें'

'जोड़ने की सूत्र का उपयोग करके sin 75° और tan 15° के मान ढूंढें। क्योंकि 75° त्रिभुज रूलर परांग में नहीं है, इसलिए त्रिकोणमिति परिभाषाओं का सीधे रूप से प्राप्त किया जा सकता है। 75° को 30°, 45°, 60° आदि के कोणों के योग या अंतर में व्यक्त करके, आप 75° के त्रिकोणीय समीकरणों को प्राप्त करने के लिए जोड़ने की सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।'

'निम्नलिखित दो सरल रेखाएं समांतर या लंब रूप से हैं?'

'(1) पराबोला P₁ और P₂ के छोरों का x-अक्ष होगा, समीकरण x² - 2tx + 2t = -x² + 2x, यानी x² - (t+1)x + t = 0 के वास्तव समाधान। और देखने में है (x-1)(x-t) = 0, तो x=1, t। जब 0<t<1 हो, S चित्र में लाल क्षेत्र का क्षेत्रफल है,'

'2 रेखाओं के लखीराव की लंबकोणता की शर्त\n2 रेखाएं y=m_{1} x+n_{1} और y=m_{2} x+n_{2} के लिए, ये रेखाएं अपनी ढालों का गुणांक -1 होने पर लंबकोणी होती हैं।'

'जब प्रवाल के द्वारा प्रस्तुत किए गए कोण का आकार निर्दिष्ट होता है, तो त्रिज्या का स्थान निर्धारित होता है, लेकिन उलटे, यदि त्रिज्या का स्थान निर्धारित किया गया है, तो उसका प्रस्तुत किया गया कोण अनगिनित कोण हो सकता है, सिर्फ एक नहीं। यह इसलिए है क्योंकि त्रिज्या एक पूर्ण घुमाव के बाद अपने मूल स्थान पर वापस आ जाता है। \\n\\nप्रवाल OP और प्रारंभिक रेखा OX द्वारा बनाए गए कोण को $\\alpha$ से दर्शाया जाता है, तो प्रवाल OP द्वारा दर्शित कोण है $\\quad \\alpha+360^{\\circ} \\times n \\quad (n$ पूर्णांक $) \\) \\( \\cdots,-300^{\\circ}, 60^{\\circ}, 60^{\\circ}+360^{\\circ}=420^{\\circ}, \\cdots$ जो प्रवालों के लिए समान होता है'

'विभाजन बिंदु और बाह्य विभाजन बिंदु m, n सकारात्मक संख्याएँ हैं। जब रेखाखंड AB पर एक बिंदु P AP: PB = m: n को संतुलित करता है, तो बिंदु P कहा जाता है कि वह रेखाखंड AB को अनुपात में विभाजित करता है, और बिंदु P को रेखाखंड AB का आंतरिक बिंदु कहा जाता है। इसके अलावा, जब रेखाखंड AB के विस्तार पर एक बिंदु Q AQ: QB = m: n (m≠n) को संतुलित करता है, तो बिंदु Q कहा जाता है कि वह रेखाखंड AB को अनुपात में विभाजित करता है, और बिंदु Q को रेखा सेगमेंट का उत्तरी बिंदु कहा जाता है। सामान्यत: के लिए पाठ्य'

'वह बिंदु पी के माध्यम से सुझाया गया है कि बिंदु ओ (0,0) और ए (3,6) से बने दूरियों का अनुपात 1:2 है।'

'निम्नलिखित बिंदुओं के स्थान का पता लगाएं।'

'मेरा घर ए के घर के नजदीक है।'

'कृपया Y बिंदु के A से F तक के बिंदुओं में से X बिंदु की e स्तर के समान स्तर चुनें और प्रतीक प्रदान करें।'

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'चित्र में दिखाए गए त्रिभुज के छायांकित क्षेत्र को K कहते हैं। मान लें कि चतुर्भुज ABCD का क्षेत्र 1 है, इसलिए आयत BCQP का क्षेत्र भी 1 है, इसलिए आयत RPQS का क्षेत्र भी 1 है। त्रिभुज RPQ का क्षेत्र 1/2 है। इसके अलावा, त्रिभुज RBU और QSU समान हैं, उनका समानांकन अनुपात RB: QS = 2:1, इसलिए RU: UQ = 2:1 है। विस्तृत रूप से, त्रिभुज PBT और QST समान हैं, इसलिए PT = TQ है। इसलिए, K उस त्रिभुज RPQ क्षेत्र का 1/2 हिस्सा है, जो 1/6 हिस्सा है, इसलिए K = 1/2 * 1/6 = 1/12। इसलिए, चतुर्भुज ABCD का क्षेत्र K का 1÷1/12 = 12 गुणा है।'

'4 तख्ती सांख्यिकी - सिरों और क्षेत्र के अनुपात (1) जैसा कि दायां तस्वीर में दिखाया गया है, वृत्त केंद्र को O के रूप में चिह्नित किया जाता है, और O को बिंदु E, F, G, H से जोड़ें। इसके अतिरिक्त, त्रिभुज ABD एक समांतर त्रिभुज है, इसलिए प्रतीकों के साथ चिह्नित कोण 60 डिग्री हैं, और • के साथ चिह्नित कोण 60 ÷ 2 = 30 डिग्री होते हैं। इस प्रकार, त्रिभुज ODH पर ध्यान केंद्रित करने पर, HD:OD = 1:2 होता है, और त्रिभुज AOD पर ध्यान केंद्रित करने पर, OD:AD = 1:2 होता है, इसलिए यदि HD की लंबाई 1 के रूप में ली जाए, तो OD की लंबाई 1 x 2/1 = 2 होती है, और AD की लंबाई 2 x 2/1 = 4 होती है। इसलिए, AH:HD = (4-1):1 = 3:1।'

'निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'लंबाई और सटीकता की मापन की समस्या (1) उप-स्केल 39 मिमी को 20 समान भागों में विभाजित करती है और उस पर सबसे छोटी ग्रेजुएटेड रेखा खींची होती है, इसलिए एक ग्रेजुएशन का अंतराल है 39 ÷ 20=1.95 (मिमी)।'

'चित्र 10 में, XY के बीच की दूरी 65-30=35 (क्रमण) है, जो आँख की माइक्रोमीटर द्वारा, और 50 क्रमण है जैसा कि उद्देश्य माइक्रोमीटर द्वारा मापा जाता है। उद्देश्य माइक्रोमीटर पर 1 क्रमण 10 माइक्रोमीटर है, इसलिए 50 क्रमण के साथ, यह 10 x 50 = 500 माइक्रोमीटर हो जाता है। इसलिए, प्रत्येक क्रमण के लिए दृश्यमान लंबाई आँख की माइक्रोमीटर पर 500 ÷ 35 = 14.28... है, जो 14.3 माइक्रोमीटर के बराबर है।'

'पंक्ति 4 में अंडरलाइन भाग के बारे में, वाक्य A से C किसी ने Rausudake, Iwakisan, या Choukaisan का विवरण किया। निम्नलिखित विकल्पों से सही वाक्य और पर्वत की संरचना चुनें और संख्या के साथ जवाब दें।'

'इस भूमि की जांच करने पर मालूम हुआ कि एसी की लंबाई 15 मीटर है, बीसी की लंबाई 18 मीटर है, और कोण बी का आकार कोण सी का आकार के दोगुना है। इस मामले में, बी से टी कितनी दूर है?'

'इस ठोस को बनाने के लिए एक तल के माध्यम से बढ़ई एक तल में बिंदु P, Q, और F से होने पर, तल ने एज को बिंदु R पर काट दिया।'

'अगले, केंद्र O और बिंदु B को जोड़ने वाली रेखा के लिए लंबवत रेखा बनाएं, जो बिंदु B से गुजरती है। दो रेखाओं के छद्मयता स्थान को बिंदु C कहा जाता है। इस समय, CA की लंबाई और CB की लंबाई हमेशा बराबर होती है, जिसके चलते बिंदु C के रूप में दो बिंदु A, B द्वारा ऊपर बना द्वितीय चरण। इस वृत्त का चाप, पोआन एलियन द्वारा चली गई पथ है।'

'(2)(1) के समान दृष्टिकोण लेते हुए, हमारे पास OI:ID=3:1 है, जिसका मतलब है कि यदि त्रिभुज HID का क्षेत्र 1 के रूप में लिया जाता है, तो त्रिभुज HOI का क्षेत्र 1 × 3/1 = 3 है। इसलिए, चतुर्भुज EFGH का क्षेत्र 3 × 8 = 24 है। साथ ही, त्रिभुज HOD का क्षेत्र 1 + 3 = 4 है, इसलिए त्रिभुज AOH का क्षेत्र 4 × 3/1 = 12 है, और त्रिभुज AOD का क्षेत्र 4 + 12 = 16 है। इसलिए, चतुर्भुज ABCD का क्षेत्र 16 × 4 = 64 है, और चतुर्भुज EFGH से चतुर्भुज ABCD के क्षेत्र का अनुपात 24:64 = 3:8 है।'

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'त्रिभुज AFC और त्रिभुज AEC का क्षेत्र समान है। इसके अतिरिक्त, दोनों त्रिभुजों को त्रिभुज ADC के साथ जोड़ने पर, त्रिभुज CDF और त्रिभुज AED के क्षेत्र भी समान होते हैं। इसलिए, त्रिभुज AED का क्षेत्र है 3 × 1 ÷ 2 = 1.5 (सेमी^2), इसलिए त्रिभुज CDF का क्षेत्र भी 1.5 सेमी^2 है और CD को एक भुजा के रूप में लेते हुए वर्ग का क्षेत्र है त्रिभुज CDF के क्षेत्र का दोगुना, जो है 1.5 × 2 = 3 (सेमी^2)।'

'दो माइक्रोमीटर के बारे में, जब ऑब्जेक्ट लेंस का गुणगुणान 10 गुणा से 40 गुणा बढ़ाया गया है तो दिखाई कितने से बदल जाएगा उसके विकल्पों में से एक चुनें और प्रतीक दें।'

'त्रिभुज ABC में कोण B एक सीधा कोण है और त्रिभुज ACD में कोण C भी एक सीधा कोण है, और निशान वाले कोण बराबर हैं। बिंदु E BC और AD की विस्तारित रेखाओं का क्रमश: संपर्कबिंदु है। तरफ AB की लम्बाई 2 सेमी है, और तरफ BC की लम्बाई 1 सेमी है। (2) सी की लम्बाई कितनी सेमी है?'

'(1) चित्र 2 में दूरी का मान बड़ता है, प्रकाशीयता का मान घटता है। अर्थात, बल्ब और प्रकाशीयता मीटर के बीच की दूरी बढ़ने पर प्रकाशीयता कम हो जाती है।'

'चित्र (2) में, मार्क X के केंद्र के साथ परिधि पर चलते हैं आरंभ में, जबकि हैरी Y के केंद्र के साथ परिधि पर चलते हैं। चित्र (2) में, त्रिभुज OFX और त्रिभुज YOX दोनों बराबर त्रिभुज को आधा कर देने वाले त्रिभुज हैं, इसलिए यदि हम XF=1 सेट करें, तो OX=1×2=2, और XY=2×2=4। इसलिए, मार्क और हैरी जिन परिधियों पर चलते हैं, उनके त्रिज्याओं का अनुपात XF:YF=1:(4-1)=1:3 है। अगले, मार्क द्वारा चले गए हिस्से का केंद्रीय कोण 120 डिग्री है, और कुल 6 ऐसे हिस्से हैं। साथ ही, हैरी द्वारा चले गए हिस्से का केंद्रीय कोण 60 डिग्री है, और कुल 3 ऐसे हिस्से हैं। इसलिए, मार्क और हैरी जिन दूरियों का अनुपात है {1×2×π×120/360×6}:{3×2×π×60/360×3}=4:3, इसलिए हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि मार्क की गति है हैरी की गति का 4/3=1 1/3 गुणा।'

'एक और तरीके से हल करने में, चित्र 4 में, त्रिभुज DBG और DCG समान हैं, जो विशेष धर्मी जी एक्षा BDG है θ और कोण CDG है φ, तब θ + φ = 90 डिग्री, इसलिए 2θ और 2φ का योग 180 डिग्री है। इसलिए, कोण ADB का आकार 2θ है। इसके अलावा, BD पर एडी = एएच होने के लिए पॉइंट H लिया जब AD = AH, त्रिभुज ATH और ATD समान होने के कारण कोण एएचटी का आकार भी 2θ है। इसलिए, त्रिभुज ABH के बाह्य कोण संबंध से, हमें पाता है कि कोण हेएबी का आकार है θ, जैसे चित्र 5 में दिखाया गया है। चित्र 5 में, एसी की लंबाई 15 मीटर है, और डीबी और डीसी की लम्बाई बराबर है, इसलिए मोटी रेखा खंड की लंबाई 15 मीटर है। इसके अतिरिक्त, एडी = बी एच और डीटी = हेचटी, इसलिए बीटी की लंबाई मोटी रेखा की लंबाई का आधा है, जो 15 ÷ 2 = 7.5 मीटर होता है। उत्तरदायित्व है कि बीटी की लंबाई बीसी की लंबाई के परिणामस्वरूप अनिर्भर है।'

'(२) जैसा चित्र 3 में दिखाया गया है, BA और PQ को बढ़ाकर एम पर आकर्षित होते हैं, जहां MF और AE को आकर्षित होते हैं। चित्र में, त्रिभुज MAQ और त्रिभुज MBP समानांतर हैं, AQ की लंबाई 8-4=4(सेमी) है, और BP की लंबाई 8-2=6(सेमी) है। इसलिए, समानता अनुपात AQ: BP = 4: 6 = 2: 3 है। इसलिए, MA की लंबाई की गणना 6*2/3-2=12(सेमी) होती है। इसके अतिरिक्त, त्रिभुज MRA और FRE भी समान हैं, समानता अनुपात MA: FE = 12:9 = 4: 3 है, जिसका मतलब AR: RE = 4: 3 है।'

'क्योंकि त्रिभुज ADC और त्रिभुज CDB समान हैं, इसलिए CD=□cm और 1:□=□:3 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। साथ ही, P:Q=R:S के समय, Q × R=P × S होता है, इसलिए □ × □=1 × 3=3। इसलिए, CD के एक सम्बद्ध वर्ग क्षेत्र का क्षेत्रफल भी 3 सेमी के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।'

'दो वेक्टर m=(1, p) और n=(p+3, 4) को समानध्र बनाने के लिए, p के मान का निर्धारण करें।'

'सिद्ध करें: त्रिभुज ABC में, तिर्भुज की भुजों BC, CA, और AB को अंतर्निहित बिंदु P, Q, और R द्वारा अनुपात m:n (m>0, n>0) में विभाजित किया गया है। अगर 24R है, तो त्रिभुज ABC और त्रिभुज PQR के केंद्रबिंदु एक साथ एकीकृत होते हैं।'

'विभिन्न बिंदु A(α), B(β), C(γ), D(δ) के लिए रेखांक AB और CD के समांतर और लंबी होने की शर्तें स्थायीत करें।'

'समतल में त्रिभुज OAB के अस्तित्व सीमा के लिए, अगर OP = sOA + tOB है, तब बिंदु P के अस्तित्व सीमा है: (1) रेखा AB अगर और केवल यदि s + t = 1 है; विशेष रूप से, रेखा सेकंट AB अगर और केवल यदि s + t = 1, s ≥ 0, t ≥ 0 है। (2) त्रिभुज OAB का परिधि और आंतरिक केवल तब अगर और केवल यदि 0 ≤ s + t ≤ 1, s ≥ 0, t ≥ 0 है। (3) परलेलोग्राम OACB का परिधि और आंतरिक अगर और केवल तब अगर 0 ≤ s ≤ 1, और 0 ≤ t ≤ 1 है।'

'xy-समतल में, बिंदु \\( \\mathrm{F}_1(a, a), \\mathrm{F}_2(-a,-a) \\) को ध्यान में रखते हुए ऐसा कोई बिंदु \ \\mathrm{P} \ जिसकी दूरी गुणाकारित निरंतर मान \ 2 a^2 \ है। बिंदु \ \\mathrm{P} \ का माध्यम को \ C \ नामकिया जाता है। यहाँ दिया गया है कि \ a>0 \।\n(1) बताएँ कि कार्तीय निर्देशांक \\( (x, y) \\) के लिए \ C \ की समीकरण।\n(2) मूल बिंदु के रूप में, और \ x \ अक्ष को सकारांक में प्रारंभ रेखा के रूप में लेकर, \ C \ की ध्रुवीय समीकरण का पता लगाएँ, ध्रुवीय निर्देशांक \\( (r, \\theta) \\) में।\n(3) सिद्ध करें कि मूल से बाहरी \ C \ का हिस्सा समतल में पहले व तीसरे चतुर्थांश के संयोजित सीमा में है।'

'कार्टेशियन निर्देशांक (x, y) को पोलर निर्देशांक (r, θ) में बदलें।'

'एक अभ्यास अभ्यास में, 3 बिंदु A, B, C बिंदु O के केंद्र और त्रिज्या 1 वाले वृत्त पर स्थित है, जैसे कि (3) 3213OA + 12OB + 5OC = 0। कोण AOB को α और कोण AOC को β मानें। निर्धारित करें: (1) सिद्ध करें कि OB OC के लिए लंबावत है। (2) कोसएए और कोसबी खोजें।'

'समकोण त्रिभुज ABC में साइड लंबाई a के साथ, शीर्षक A से साइड BC की लम्बवत खिंचाई गई ऊर्ध्वज को P₁ के रूप में धराएं। P₁ से साइड AB की लम्बवत ऊर्ध्वज को Q₁, Q₁ से साइड CA की लम्बवत ऊर्ध्वज को R₁ और R₁ से साइड BC की लम्बवत ऊर्ध्वज को P₂ के रूप में धारित करें। इस प्रकार की क्रिया को दोहराने पर, बिंदु P₁, P₂, ..., Pn, ... स्काइड BC पर स्थित होंगे। बिंदु Pn की सीमांत स्थिति का निर्धारण करें। कोण मूल रूप से 26° है।'

'(4) ऊर्ध्वकेंद्र (तीव्र कोण त्रिभुज \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ की स्थिति में) तीन ऊंचाइयों का छोटे सेन्त \\( \\mathrm{H}(\\vec{h}) \\) क्रमश: छेड़ने वाली रेखा \ \\mathrm{AH} \ और सीधी \ \\mathrm{CH} \ को खोने वाली रेखा \ \\mathrm{AB} \ का संदर्भबिंदु है, उन्हें व्यव्धान \ \\mathrm{D}, \\mathrm{E} \ और \ \\mathrm{BD}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan B}, \\mathrm{DC}=\\frac{\\mathrm{AD}}{\\tan C} \ से मिलता है\n\\\mathrm{BD}: \\mathrm{DC}=\\tan C: \\tan B\\nइसी तरह से \ \\mathrm{AE}: \\mathrm{EB}=\\tan B: \\tan A \\nइसलिए, (*) से हमें प्राप्त होता है कि \ \\triangle \\mathrm{BCH}: \\triangle \\mathrm{CAH}: \\triangle \\mathrm{ABH}=\\tan A: \\tan B: \\tan C \\nइसलिए, \\left( ** \\) से हमें मिलता है कि \\( \\quad \\vec{h}=\\frac{(\\tan A) \\vec{a}+(\\tan B) \\vec{b}+(\\tan C) \\vec{c}}{\\tan A+\\tan B+\\tan C} \\)'

'घुमाव आधारित निम्नलिखित वृत्त और रेखा की ध्रुवीय समीकरणों का पता लगाएं। यहाँ मान रखा गया है कि a>0।'

'स = 0 नहीं है। अलग 3 बिंदुओं O(0,0), P(s, t), Q(s+6t, s+2t) के लिए, जहाँ बिंदु P, Q एक ही चतुर्थांक में हैं और OP // OQ है, एस की दिशा में X-अक्ष के साथ कोण एल्फा के रूप में लें। इस स्थिति में, टैन एल्फा का मान निकालें।'

'प्रश्न 107: त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग\nएक इमारत की ऊँचाई को मापने के लिए, बिल्डिंग से 10 मीटर दूर एवं ऊँचाई 1.5 मीटर पर वांछित बिंदु P के दिशा-कोण को 65 डिग्री पाया गया।\nकिताब के अंत में त्रिकोणमिति सारणी का उपयोग करके, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:\n(1) इस इमारत की ऊँचाई का पता लगाएं। निकटतम मीटर तक गोल करें।\n(2) इस इमारत से 15 मीटर दूर एक बिंदु से, पॉइंट पी के दिशा-कोण का पता लगाएं, एक ही प्रक्रिया का पालन करके।'

'त्रिभुज ABC में, ∠C=90°, AB:AC=5:4 है। बिंदु C के आगे भाग BC के, CD=376 लें। AB का मध्य बिंदु E है, और बिंदु B से रेखा AD पर लगाया गया ऊंचाई BF है। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें: (1) सिद्ध करें कि EF=EC। (2) त्रिभुज ABC से त्रिभुज CEF के क्षेत्रों का अनुपात निकालें।'

'सिद्ध करें कि एक गैर-समभुज त्रिभुज ABC में, जब O वायु केंद्र, G बीचबिंदु होता है, और H अंतःशिर होता है, तो G सेगमेंट OH पर लेटा है और OG:GH=1:2।'

'साइन नियम और कोसाइन नियम का उपयोग करके: त्रिभुज की ओर और कोणों को खोजें।'

'बुनियादी उदाहरण 131 त्रिभुज का क्षेत्रफल'

'परिधि कोण: एक वृत्तीय कोण के लिए परिधि कोण का आकार स्थिर होता है, और उस वृत्तीय के केंद्रीय कोण का आधा होता है।'

'पास के पार्क में एक गोल पूल है। एक दिन, मैं और मेरे दोस्त ने इस पूल के क्षेत्रफल को मापने का निर्णय लिया, तो हम एक टेप मेजर और चॉक के साथ बाहर निकल गए। हमने पूल के किनारे पर तीन स्थानों पर चॉक से चिह्नित किए गए, A, B, C। हमने AB, BC, CA की क्षैतिज दूरियों को मापा, जो व्यक्तिगत रूप से 9 मीटर, 6 मीटर, 12 मीटर थे। 1. कोण ABC की साइन, कोसाइन, और टैन्जेंट ढूंढें। 2. इस पूल का क्षेत्र ढूंढें।'

'θ को एक एक्यूट कोण माना जाता है। sinθ, cosθ, tanθ में से एक निर्दिष्ट मान लेता है जब किसी सर्वत्रिगमित अनुपात के द्वितीय मामले में अन्य 2 अनुपातों के मान पता करें।'

'त्रिभुज ABC में, जहां AB = 3, AC = 2, और ∠BAC = 60° है, अंग ए के कोने के बीच रेखा खंडितक के और BC के छोर के बीच का विन्यास बिंधु D को लें। सेगमेंट AD की लंबाई जानें।'

'गणित I'

'सबूत इस प्रकार है: EP, FQ, EF और EF के लम्बवत वर्तिकीत बीचक बांधें। O वृत्त केंद्र मानिए। OE, OF, AD के लम्बवतन को मिलाकर, और BC के लम्बवतन को मिलाकर परे जोड़ं। OF, ED के लम्बवतन को मिलाकर Q को कहें। उदाहरण 1 के परिणाम से, EF ∠BOF और ∠EOQ के बीच मध्यवर्ती है, और ∠EOF=∠EOQ। और त्रिभुज EOF और POQ समान है (द्विशोला-द्विशोला-कोण के कारण), इसलिए EP^2 + FQ^2 = EO^2 + OF^2 = EF^2 है।'

'सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC में कोण A, B, C के आकार को प्रत्येक A, B, C द्वारा प्रतिनिधित करने पर समीकरण cos((A+B)/2) = sin(C/2) सही होता है।'

'चेवा का सिद्धांत\nसिद्धांत 9 त्रिभुज ABC के 3 शीर्ष A, B, C और त्रिभुज की सीमा पर या उसके विस्तार पर नहीं होने वाले बिंदु O को जोड़ने वाली रेखा, सीमा BC, CA, AB या उनके विस्तारों को काटती है तो, और छेदन बिंदु P, Q, R होते हैं तो\n\ \\frac{BP}{PC} \\cdot \\frac{CQ}{QA} \\cdot \\frac{AR}{RB} = 1 \'

'त्रिभुज एबीसी में, sinA:sinB:sinC=5:7:8। इसलिए, cosC (खाली जगह में) है। इसके अतिरिक्त, यदि भुजा बीसी की लम्बाई 1 है, तो त्रिभुज एबीसी का क्षेत्र (खाली जगह में) है।'

'365'

'त्रिभुज के पक्षों और कोनों के बीच संबंध\nप्रमेय\n14\n1. एक त्रिभुज में\n 1. त्रिभुज में, बड़ी बाजु के विपरीत कोण छोटे बाजु के विपरीत कोण से अधिक है।\n 2. त्रिभुज में, बड़े कोण के विपरीत पक्ष छोटे कोण के विपरीत पक्ष से लंबा है।\nइसका मतलब है, \ \\mathrm{AB}<\\mathrm{AC} \\Leftrightarrow \\angle \\mathrm{C}<\\angle \\mathrm{B} \'

"जब व्यास 5 और 8 के वृत्त O और O' बाह्य रूप से स्पर्शी बिंदु A पर होते हैं, और इन दो वृत्तों की साझा बाह्य स्पर्श रेखा वृत्तों O और O' पर बिन्दुओं B और C पर केंद्रित होती है, तो BA का उद्दयन द्वारा तथा वृत्त O' की स्पर्श रेखा स्थल D होता है। सिद्ध करें: (1) AB AC के लिए लंबा है। (2) सिद्ध करें कि बिंदु C, O', D संयोजित हैं। (3) AB:AC:BC का अनुपात निकालें।"

'त्रिभुज ABC में, वही बाह्य वृत्त का अर्धव्यास R है। अगर A=30°, B=105°, a=5, तो R और c की मान को निकालें।'

'निर्देशांक तल पर, 7 रेखाएँ x=k(k=0,1,2,⋯6) और 5 रेखाएँ y=l(l=0,1,2,3,4) के क्रमगत स्पर्शण से बनने वाले आयतों (वर्ग सम्मिलित) की संख्या। साथ ही, क्षेत्रफल 4 वाले आयतों की संख्या।'

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'बुनियादी उदाहरण 70 त्रिभुज के भरण की दायरता और त्रिभुज'

'कोसाइन कानून'

'उदाहरण 124 त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण त्रिभुज ABC में, निम्नलिखित शर्तों के अंतर्गत, इस त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण का माप ढूंढें। (1) a/13=b/8=c/7 (2) sinA: sinB: sinC=1: √2: √5'

'साइन नियम का उपयोग करके, निम्नलिखित त्रिभुज की अन्य साइड की लंबाई को निकालें: ए को 45° लेना है और विपरीत पक्ष ए की लंबाई 2 है।'

'क्रम(1) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ में, निम्नलिखित का पता लगाएं। 3106\n(ए) \ A=60^{\\circ}, c=1+\\sqrt{6}, a+b=5 \ के लिए \ a \ ढूँढें।\n(1) \ A=60^{\\circ}, a=1, \\sin A=2 \\sin B-\\sin C \ के लिए \ b, c \ ढूँढें।\n(२) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ में, \ b=2, c=\\sqrt{5}+1, A=60^{\\circ} \ के लिए, \ C \ एक्यूट, राइट या ओब्ट्यूस कोण है कैसे जांचें।'

'एक पक्ष की लंबाई 10 सेमी के एक समानत्रिभुजिया कागज ABC है। वहाँ पक्ष AB पर बिंदु D और पक्ष AC पर बिंदु E लिए जाते हैं जिससे सेगमेंट DE पक्ष BC के समानथा होता है। सेगमेंट DE के साथ कागज को मोड़ने पर, त्रिभुज ADE और चतुष्कोण BCED के बीच हम overlap क्षेत्र को S के रूप में लेते हैं। S का अधिकतम मूल्य जिस समय होता है कटिन DE की लंबाई x सेमी होती है, और इस समय, S = y सेमी वर्ग होती है।'

'विभिन्न भाषाओं में दिया गया पाठ अनुवादित करें।'

'(2) त्रिभुज ABC में, जहां AB=4, BC=3, और CA=2 है, वहाँ कोण A और इसके वाह्य कोण के द्विभाजक रेखा BC को काटते हैं। सेगमेंट DE की लंबाई का पता लगाएं।'

'तीकों वाले कोण PR XOY के अंदर, 2 बिंदु A और B दिए गए हैं जैसा कि दिए गए चित्र में है। अंक 480 X और OY पर, बिंदु P और Q को अलग-अलग लिया जाता है ताकि AP + PQ + QB को कम से कम किया जा सके, फिर P और Q को किस प्रकार से रखना चाहिए।'

'दाएं चित्र में त्रिभुज ABC में, G त्रिभुज ABC का केंद्रबिंदु है, और अक्ष GD भुज BC के पर्याय है। त्रिभुज DBC और त्रिभुज ABC के क्षेत्रों का अनुपात पता करें।'

'त्रिभुज में कोण के द्विभाजक की लंबाई'

'त्रिभुज ABC में, जिशेषक नियम के अनुसार\n\n\\[\n\egin{array}{l} \\cos \\angle \\mathrm{ACB}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}+(\\sqrt{6})^{2}-2^{2}}{2(\\sqrt{3}+1) \\cdot \\sqrt{6}} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}+6}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}(1+\\sqrt{3})}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\\n\\text { इसलिए } \\quad \\angle \\mathrm{ACB}=45^{\\circ} \\\\\n\\text { इसलिए } \\quad \\angle \\mathrm{ACD}=75^{\\circ}-45^{\\circ}=30^{\\circ} \\\\n\\text { इसलिए }\n\\end{array}\n\\]\n'

'दिए गए स्थितियों से, त्रिभुज के अन्य तीन तत्वों का निर्धारण करते समय, स्थितियों के आधार पर सिद्धांतों का उपयोग करने के लिए उपाय निम्नलिखित हैं: 1. 1 त्रिज्या और उसके आसपास के कोने (a, B, C की स्थिति से b, c, A प्राप्त करना) A = 180° - (B + C); साइन थियोरम: a / sinA = b / sinB = c / sinC; 2. 2 त्रिज्या और उनके बीच का कोना (b, c, A की स्थिति से a, B, C प्राप्त करना) कोसाइन थियोरम a² = b² + c² - 2bc cosA से a प्राप्त करना; कोसाइन थियोरम cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) से B प्राप्त करना; C = 180° - (A+B); 3. 3 त्रिज्या (a, b, c की स्थिति से A, B, C प्राप्त करना) कोसाइन थियोरम cosA = (b² + c² - a²) / (2bc) से A प्राप्त करना; कोसाइन थियोरम cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) से B प्राप्त करना; C = 180° - (A + B)।'

'त्रिभुज ABC में, जब sin A: sin B: sin C = 5: 16: 19 होता है, तो इस त्रिभुज में सबसे बड़े कोण का माप पता करें।'

''

'69 एक्यूट कोण त्रिभुज ABC (AB>AC) के लिए A के कोण विभाजक AD, माध्य रेखा AM, लंब रेखा AH के निम्नलिखित को साबित करें।'

'एक वृत्त में अंतःवृत्तित चतुर्भुजABCD है। अगर AB=8, BC=3, BD=7, और AD=5 है, तो A और साइड CD की लंबाई का पता लगाए। साथ ही, चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल S का पता लगाए।'

'त्रिभुज ABC में, C=45 डिग्री, b=रूट3 और c=रूट2 होने पर, A, B, a की मान का पता लगाएं।'

'(3) क्योंकि $\\mathrm{EQ} / / \\mathrm{BD}$ है, इसलिए $\\mathrm{EQ}: \\mathrm{BD} = \\mathrm{AE}: \\mathrm{AB} = 1:(1+k)$ है, इसलिए $\\mathrm{EQ} = \\frac{\\mathrm{BD}}{1+k}$। अगर $\\mathrm{QF} / / \\mathrm{DC}$ है, तो $\\mathrm{QF}: \\mathrm{DC} = \\mathrm{AF}: \\mathrm{AC} = 1:(1+k)$ है, इसलिए $\\mathrm{QF} = \\frac{\\mathrm{DC}}{1+k}$। इसलिए $\\frac{\\mathrm{EQ}}{\\mathrm{QF}} = \\frac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}} = 1$।'

'चतुर्भुज ABCD वृत्त O को बाह्यत: स्पर्शित कर रहा है। स्केल AB, BC, CD, DA और वृत्त O की छाप को क्रमश: बिंदु P, Q, R, S मान लें, और धरात्मक AP, BQ, CR, DS की लंबाई को यौगिक a, b, c, d मान लें। जब तीनों रेखाएँ AC, PQ, RS एक दूसरे के परलेल नहीं हैं:\n(1) AC और PQ का क्रम्बिधान X होने के लिए, सिद्ध करें कि AX: XC = a: c।\n(2) AC और RS का क्रम्बिधान Y होने पर, सिद्ध करें कि AY: YC = AX: XC।'

'त्रिभुज A की गुणधर्मों का वर्णन करें: a^2 = 64, b^2 + c^2 = 61'

'समद्विबाहु त्रिभुज के दो आधार कोन समान हैं। इसके अतिरिक्त, समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष कोन का कोन द्विभाजक आधार को लब्ध लेते हैं। इस जानकारी का उपयोग करके निम्नलिखित समस्या का समाधान करें:\nसमद्विबाहु त्रिभुज ABC में, यदि शीर्ष कोन A = 100 डिग्री है, तो आधार कोन B का कोन कितना है?'

'त्रिभुज ABC के भीतर एक बिंदु O और तीन कोने, कोन D, E, F तक सीधे रेखा चलता है, और बीसी, CA, और AB के साथ, और ईएफई का विस्तार ईई को पारित करता है Bc के विस्तार से सेट जॉन करता है। यह बीसी के विस्तार के साथ बीजी से टकराता है।'

'381। त्रिभुज की परिधि की तुलना'

'त्रिभुज ABC में, प्रत्येक भुज नीचे दिए गए चित्र में बिंदु P, Q, R पर एक वृत्त को स्पर्श करता है। इस स्थिति में, सेगमेंट AQ और BC की लंबाई का पता लगाएं।'

'मौलिक उदाहरण 133: त्रिभुज में कोण के द्विभाजक की लंबाई (2)'

'सेवा का प्रमेय का उल्टा'

'त्रिभुज ABC में, यदि बिंदु P बाहु BC को अनुपात m:n में विभाजित करता है, बिंदु Q बाहु CA को अनुपात l:m में विभाजित करता है, और बिंदु R बाहु AB को अनुपात n:l में विभाजित करता है, तो रेखा AP, BQ, और CR एक बिंदु पर कट्टी होती है। इसे सत्यापित करने के लिए चेवा के सिद्धांत का प्रतिसरण करें।'

'त्रिभुज ABC में, निम्नलिखित समीकरण सिद्ध करें: \\[ \\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\\\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\\\tan B \\]'

'त्रिभुज ABC में, कोण B का कोणघातक सीधी और भुजा AC के किसी बिंदु D पर काटने पर, रेखा सेगमेंट BD की लंबाई की पूर्णांकित मात्रा प्राप्त कीजिए।'

'कोण समस्याओं को हल करने के मुख्य बिंदु'

'बुनियादी उदाहरण 68 बाह्य केंद्र और ऊर्ध्व केंद्र का उपयोग\nएक्यूट त्रिभुज ABC का ऊर्ध्व केंद्र H, बाह्य केंद्र O हो, O से बाह BC पर लटकती धरा OM हो। साथ ही, त्रिभुज ABC के बाह्य वृत्त के महापरिधि पर बिंदु K लें, CK रेखा वृत्त का व्यास बनाने के लिए। इसके बाद, निम्नलिखित को साबित करें।\n1. BK=2OM\n2. चतुर्भुज AKBH एक समांतरचतुर्भुज है\n3. AH=2OM'

'वृत्त में अंतर्वर्तित चतुर्भुज'

'सीवा के परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध करें कि एक त्रिभुज के तीन माध्यांक एक बिंदु पर सांघत होते हैं।'

'बुनियादी चित्र 90 के उल्टे का प्रमाण दें'

"गणित A\nका मतलब है कि जब 4 बिंदु A', P, Q, B' समरेखी होते हैं। इसलिए, आधी रे OX के संबंध में बिंदु A के सममित बिंदु A' को ढूंढकर, और आधी रे OY के संबंध में बिंदु B के सममित बिंदु B' को ढूंढकर, हम रेखा A'B' और आधी रे OX के छेद को बिंदु P, और रेखा A'B' और आधी रे OY के छेद को बिंदु Q प्राप्त करते हैं।"

'त्रिभुज ABC में, AB=8, BC=3, CA=6 है, तो कोण A की बाह्य कोण द्विभाजक रेखा को रेखा BC को कट्टा हुआ बिंदु D कहलाता है। रेखा CD की लंबाई पता करें।'

'रूखे कोण त्रिभुज ABC में, शीर्षक B और C से, उनके विपरीत भुजों पर लंब की गई BD और CE है। अगर BC=a है, तो कोण A को कौन कौन से कोणों के रूप में व्यक्त करें। आप प्रॉपर्टी का प्रयोग कर सकते हैं कि यदि एक रेखा सेगमेंट PQ में कोण PRQ=90° है, तो बिंदु R PQ को व्यास के रूप में दिए गए वृत्त पर होता है।'

''

'स्पष्टित त्रिभुज ABC में, जिसमें ऊर्ध्व केंद्र H है और परिकेंद्र O है, भुज BC का बीच बिंदु M है, और रेखा AH का बीच बिंदु N है। MN बिंदु की लंबाई त्रिभुज ABC के बाह्य वृत्त के त्रिज्या के बराबर है, AH=2OM का उपयोग करके साबित करें।'

'चित्र में, अगर AR:RB=3:4 और BP=PC है, तो AQ:QC का पता लगाएं।'

'दी गई लंबाई a के रेखांक AB और लंबाई b और c के दो रेखांक को देखते हुए, लंबाई \ \\frac{a c}{b} \ की एक रेखा बनाएं।'

'साइन सिद्धांत और कोसाइन सिद्धांत में से किसे लागू करना चाहिए? साइन सिद्धांत और कोसाइन सिद्धांत दोनों भुजों की लंबाई और कोणों का आकार निकालने के लिए प्रयोग किया जा सकता है, और कभी-कभी यह समझना मुश्किल हो सकता है कि कौन सा उपयोग करना चाहिए। इसे निर्धारित करने के लिए कोई तरीका है क्या?'

'रेखा खंड बीएफ की लंबाई निकालें।'

''

'पीआर समतल भूमि पर बिंदु H पर, भूमि के लंबकुण पर कोई खंभा खड़ा है। बाइंडर्लिया A और B से खंभे के ऊपर को देखने पर, उनकी उँचाई क्रमशः 30 डिग्री और 60 डिग्री होती है। साथ ही, भूमि सर्वेक्षण में पता चलता है कि A और B के बीच की दूरी 20 मीटर है, और ∠AHB=60 डिग्री है। खंभे की ऊँचाई निर्धारित करें। ध्यान दें, आंख की ऊँचाई का ध्यान नहीं रखा जाएगा।'

'अध्याय 4: आकृति और मापन EX एक वृत्त में आंतरित चतुर्भुज ABCD में, जहाँ DA = 2AB और ∠BAD = 120° है, और बहुपद BD और AC का क्रमश: E, E बिंदु BD को 3:4 में विभाजित करता है।\n(1) BD = ?AB, AE = 1 ?AB।\n(2) CE = ? ?AB, BC = I? ?AB।\n(3) AB:BC:CD:DA = 1: ? : power : 2।\n(4) यदि वृत्त का त्रिज्या 1 है, तो AB = ?, और चतुर्भुज ABCD का क्षेत्र S = ?।'

'वृत्त में आसंबित चतुर्भुज ABCD में, AB=2, BC=1, CD=3 है, और cos∠BCD=-1/6 है। इस समय, AD की लम्बाई है, चतुर्भुज ABCD का क्षेत्र है।'

'दिए गए रेखा सेकंट AB के लिए, निम्नलिखित बिंदु बनाएं। (1) रेखा सेकंट AB को आंतरिक रूप से 3:2 में विभाजित करने वाला बिंदु E (2) रेखा सेकंट AB को बाह्य रूप से 3:1 में विभाजित करने वाला बिंदु F'

'त्रिभुज ABC में, जहां AB=3, BC=4, और CA=6 है, वहाँ कोण A का बाह्य कोण का डीवारी भाग रेखा BC को कतारता है समिकरणग्रथित करने वाले बिंदु D को दें। खंड BD की लंबाई का पता लगाएं।'

'दिए गए आकृति में त्रिभुज ABC और समबाहु चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल निकालें।'

'मौलिक अंक 122 त्रिभुज का समाधान (1) प्रत्येक मामले के लिए, त्रिभुज ABC की शेष साइड लंबाई और कोण ढूंढें। (1) ए=√3, B=45°, C=15° (2) b=2, c=√3+1, A=30°'

'साइन सिद्धांत'

'हनको और तारो ने साथ में निम्नलिखित [समस्या] पर काम करने का निर्णय लिया और चित्रित ड्राइंग सॉफ्टवेयर का उपयोग करके सोचने की कोशिश की।'

''

'प्रमाणित करें कि त्रिभुज ABC में यदि कोण ∠A, ∠B, ∠C को प्रत्येक जिसे A, B, C से दर्शाया जाए, तब समीकरण (1+tan^2(A/2))sin^2((B+C)/2)=1 सत्य है।'

'(4) सबसे छोटे परिपरिच्छित वृत्त रेडियस वाली त्रिभुज को खोजें।'

'सड़कों और रेलवे की ढाल को व्यक्त करने के लिए शब्द ग्रेडिएंट का प्रयोग किया जाता है। त्रिकोणमिति अनुपात का उपयोग करके निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। (1) सड़क का ढाल अक्सर प्रतिशतों (%) में व्यक्त किया जाता है। प्रतिशत दिखाता है कि 100 मीटर के समतल में जाते समय ऊँचाई किस स्तर तक बढ़ती है। किसी विशेष सड़क पर, 23% दर्शाते हुए एक संकेत है। इस सड़क की ढाल कितने डिग्री करीब है। (2) रेलवे की ढाल अक्सर परमिलस्सेस (‰) में व्यक्त की जाती है। परमिल्स दिखाता है कि 1000 मीटर के समतल में जाते समय ऊँचाई किस स्तर तक बढ़ती है। किसी विशेष रेलवे लाइन पर, 18‰ दिखाते हुए एक सिग्न है। इस रेलवे लाइन की ढाल कितने डिग्री करीब है।'

'त्रिभुज की परिक्रमा और कोण के बीच संबंध'

'\ \\triangle ABC \ में, \ \\angle C=90^\\circ \, \ AB:AC=5:4 \ है। वहाँ सीधा कोण \ C \ को विस्तारित दी गई रेखा \ BC \ पर बिंदु \ D \ ऐसे बनाया गया है कि \ CA=CD \। सीधी \ AB \ की बीच की बिंदु को \ E \ चिह्नित किया गया है, और बिंदु \ B \ से रेखा \ AD \ पर लंब धराने को \ BF \ कहा जाता है। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें: ［मियाजाकी विश्वविद्यालय］\n(1) सिद्ध करें कि \ EF=EC \।\n(2) क्षेत्रों की अनुपात का पता लगाएँ \ \\triangle ABC \ और \\( \\triangle CEF \\ ) के।'

'(5) BC = 9, BD: DC = 4: 5 से, हमें BD=\\frac{4}{9} BC=\\frac{4}{9} \\cdot 9=4 मिलता है। इसलिए BD \\cdot BC =4 \\cdot 9 = 36'

'(2) कोसिन नियम के अनुसार'

'त्रिभुज ABC में, कोण A की सीमा के आधार पर a², b², और c² के बीच संबंध दिखाएँ।'

'निम्नलिखित शब्दों का अर्थ समझाएं: समकोण, विरोधी कोण, ऊंचे कोण, मंद कोण, आंतरिक कोण, बाह्य कोण, समान, समानांतर, लंबवत द्विभाजक, कोण का द्विभाजक, ऊंचेकोण त्रिभुज, राइट त्रिभुज, मंदकोण त्रिभुज, धरा, चाप, केंद्रीय कोण, घेराव कोण, वृत्त के स्पर्शक, प्रतिविपरीत कोण, विरुद्ध कोन, समरेख चतुर्भुज।'

'त्रिभुज ABC और त्रिभुज AEF के बीच समानता सिद्ध करें।'

'त्रिभुज ABC में, BC=5, CA=3, AB=7 दिया है। वृत्तीय कोण A और इसके बाह्य कोण के कोण विभाजक द्वारा रेखा BC पर कटने वाले बिंदु D और E को ध्यान में रखते हुए, अक्ष DE की लंबाई की गणना करें।'

'कृपया उपरोक्त त्रिभुज समस्याओं का उत्तर देने के लिए बाह्य केंद्र, अन्तः केंद्र, ऊर्ध्व केंद्र, और केंद्रबिन्दु की गुणधर्म और परिभाषाओं का उपयोग करें।'

'वैकल्पिक समाधान (11 वें स्टेप तक समान)\n (1) से \ \\triangle \\mathrm{AQC}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{ADC}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \ इसी तरह से\n\n \\triangle \\mathrm{BRA}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{BEA}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{BCA}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \\ \\triangle \\mathrm{CPB}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{CFB}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{CAB}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \n इसलिए \\triangle \\mathrm{PQR}=\\triangle \\mathrm{ABC}-(\\triangle \\mathrm{AQC}+\\triangle \\mathrm{BRA}+\\triangle \\mathrm{CPB}) \\=\n \\triangle \\mathrm{ABC}-3 \\cdot \\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} इसलिए \\ \n \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{7} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{4}=\\frac{\\sqrt{3}}{28}'

'मेनेलौस के सिद्धांत का उल्टा'

'एक वृत्त में आसंधित एबीसीडी एक चतुर्भुज है। जहाँ एबी = 8, बीसी = 3, बीडी = 7, और एडी = 5 है, सीडी की लंबाई पता करें। साथ ही, चतुर्भुज एबीसीडी के क्षेत्रफल S की गणना करें।'

'बुनियादी उदाहरण 1142 रेखा द्वारा बनाए गए कोण\n(1) सीधी रेखा y=-1/√3x और x-अक्ष के सकारात्मक दिशा द्वारा बनाए गए कोण α, सीधी रेखा y=1/√3x और x-अक्ष के सकारात्मक दिशा द्वारा बनाए गए कोण β को प्राप्त करें। साथ ही, दो रेखाओं द्वारा बनाए गए तीव्र कोण भी प्राप्त करें। मान लें, 0° < α < 180°, 0° < β < 180°।\n(2) दो रेखाओं द्वारा बनाए गए तीव्र कोण θ को प्राप्त करें जैसे y=-√3x और y=x+1।'

'दाएं कोने वाला बहुभुज त्रिभुज ABC में, जहाँ AC = BC और AB = 6 है, दो ऐसे आयताकार बनाए गए हैं जिनकी लम्बाई समान है जैसा दिए गए चित्र में दिखाया गया है। जब वे दो आयताकारों के क्षेत्रों की योग को अधिकतम बनाने के लिए बनाए जाते हैं, तो उसका अधिकतम मान क्या होगा?\nदिए गए शर्तों से, AC = BC = 6 / √2 = 3√2।\n\nचित्र में दिखाए गए, धन्य D, E, F, G को चुनते हुए, और आयताकारों की लंबाई x के रूप में लेते हैं:\n\nDE = AE = AC - CE = 3√2 - 2x\nFG = AG = AC - GC = 3√2 - x\n\nसाथ ही, क्योंकि 0 < CE < AC\n0 < 2x < 3√2, जिससे 0 < x < 3√2 / 2 है\n\nआयताकारों के क्षेत्रों के योग को y के रूप में लें:\n\ny = x(3√2 - 2x) + x(3√2 - x)\n = -3x^2 + 6√2x\n = -3(x - √2)^2 + 6\n\n(1), y, x = √2 पर अधिकतम मान 6 होता है।'

'त्रिभुज ABC और रेखा DF में मेनेलौस के सिद्धांत का उपयोग करें'

'त्रिभुजों की समानता शर्त: दो त्रिभुजों को समान माना जाता है अगर निम्न शर्तों में से कोई एक पूरी हो। [1] तीन भुजाओं का अनुपात समान है। [2] दो जोड़ी भुजाएँ समानांतर हैं और सम्मिलित कोण समान है। [3] दो जोड़ी कोने समान हैं।'

''

''

'सिद्ध करें: त्रिभुज ABC में, यदि बहुभुज ABC के संवधान BC के मध्यबिंदु M है और ∠AMB और ∠AMC के कोण के दोगुना वायस्त किनारों AB और AC को बिंदु D और E पर काटते हैं, तो DE // BC है।'

''

'एक रोंबस के साथ जो कि विकर्णों की लंबाई का योग 10 सेमी है:\n(1) अधिकतम क्षेत्र खोजें।\n(2) न्यूनतम परिधि खोजें।'

'प्रमेय 2: त्रिभुज ABC में AB ≠ AC है, ∠A के बाह्य कोण का द्वयांक और साहित्य BC की विस्तार रेखा का छेद भाग BC को AB:AC के अनुपात में विभाजित करता है।'

'यदि त्रिभुज ABC में AB के बीच का बिंदु D, अर्धवृत्त CD का बीच का बिंदु E, और AE और BC का छेद बिंदु F हो, तो AE: EF की अनुपात तय करें।'

'निम्नलिखित त्रिभुज की समस्या का समाधान करें।'

'वेन चित्रों का उपयोग मास्टर करें और उदाहरण 49 को जीतें!'

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'चतुर्भुज ABCD एक वृत्त में आरोही है, AB=4, BC=2, DA=DC।'

'378 उदाहरण समस्या\nत्रिभुज ABC में, AB=10, BC=5, CA=6 है, जहां ∠A और इसके बाहरी कोण की द्विभाजक रेखा किनारा BC या उसके विस्तार में बिंदु D, E पर काटती है। इस स्थिति में, रेखा DE की लंबाई की गणना करें।'

'साइन नियम को मास्टर करें और उदाहरण 126 को जीतें!'

'कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए cosA ढूंढें, और फिर परिणाम का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल और ऊचाई निकालें।'

'एक 8° के डाउनहिल सड़क पर 80 मीटर आगे बढ़ते हैं, तो समतल दिशा में कितने मीटर बढ़ जाते हैं? साथ ही, लंबवत दिशा में कितने मीटर नीचे गिरते हैं?'

'जब दोनों साइड्स और उनके बीच का कोण दिया गया है, तो हम कोसाइन नियम का उपयोग कर सकते हैं।'

'1 की लंबाई वाली एक समकोण त्रिभुज ABC है। उस बाहरी आवृत्ति के शीर्षक A को सम्मिलित न करती हुई धरापंक्ति BC पर बिन्दु P लिया जाता है, जिसके लिए PA=a, PB=b, और PC=c हैं (b>c)। a²+b²+c² के मान की गणना करें। क्योंकि ∠APB=∠APC=α डिग्री है, इसलिए त्रिभुज ABP में कोसाइन नियम का उपयोग किया जा सकता है।'

'समुद्र पर 1 किमी दूर स्थित दो स्थानों A और B से, उनके सामने एक ही पहाड़ C दिखाई दिया। पॉइंट A से, पुर्व की दिशा में ऊंचाई का कोण 30 डिग्री है, जबकि पॉइंट B से, उच्चारित कोण उत्तर-पूर्व की दिशा में 45 डिग्री है। पहाड़ की ऊँचाई CD पता करें। मान लें कि बिंदु D सी के सीधे नीचे है, और बिंदु A, B, D समान क्षैतिज सतह पर हैं। इसके अलावा, मान लें कि sqrt(6)=2.45।'

''

'अगर 90° < A < 180° है, तो दाएं तस्वीर में, खंड BD त्रिभुज ABC के व्यासक की व्यासक है। इस स्थिति में \ \\angle BAC + \\angle BDC = 180° \ यानी \ \\angle BDC = 180° - A \ इसलिए \ a = \\mathrm{BD} \\sin \\angle \\mathrm{BDC} \ \\( = \\mathrm{BD} \\sin (180° - A) \\) \ = \\mathrm{BD} \\sin A \ \ \\mathrm{BD} = 2 R \, इसलिए \ \\quad a = 2 R \\sin A \'

'रेखा `ℓ` और विमान `α` के स्थानिक संबंध में तीन मामले होते हैं।'

'साइड्स और कोनों के समान होने से त्रिभुज के आकार का निर्धारण'

'बिंदु H त्रिभुज DEF का आंतरिक केंद्र है क्योंकि यह कोण DFE और कोण FDE के कोण भाजकों का क्रमभेदबिन्दु है।'

'त्रिभुज के कोण बाईसेक्टर और अनुपात की गुणधर्मों की व्याख्या करें।'

'त्रिभुज ABC में, अगर a²cosA sinB=b²cosB sinA होता है, तो त्रिभुज ABC कैसे होता है?'

'त्रिभुज ABC में, यदि a²cosA sinB = b²cosB sinA होता है, तो त्रिभुज ABC किस आकार में है?'

'क्योंकि त्रिभुज ABC का वाह्य केंद्र O है। ∠BAO की द्विभाजक रेखा ∆ABC के वृत्त से बिंदु D पर कटती है, तो साबित करें कि AB || OD।'

'बिंदु D से साइड AB पर लंब खींचें, इसे H बताएं, तो AH=BH=\\frac{1}{2}। इसलिए, (2) का प्रयोग करके, \\cos 36^{\\circ} =\\frac{AH}{AD}=\\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}=\\frac{1}{\\sqrt{5}-1} \\ =\\frac{\\sqrt{5}+1}{(\\sqrt{5}-1)(\\sqrt{5}+1)}=\\frac{\\sqrt{5}+1}{4}। DAH त्रिभुज पर ध्यान केंद्रित करें।\nसंदर्भित करें, वर्टेक्स A से साइड BC पर लंब खींचें, जिसे E बताया गया है, तो BE=\\frac{1}{2} BC=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}। इसलिए, \\cos 72^{\\circ}=\\frac{BE}{AB}=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}। समकोण त्रिभुज के कोने का डिवाइड करने वाली रेखा, आधार को लंबवत रूप में दो भाग करती है।'

'बिंदु P में स्पर्श वाले 2 वृत्त हैं। जैसा दाएं चित्र में दिखाया गया है, बिंदु P से गुज़रने वाली दो रेखाएं, बाह्य वृत्त पर बिंदु A, B पर कटती हैं, और आंतरिक वृत्त पर बिंदु C, D पर कटती हैं। सिद्ध करें कि AB CD के समानांतर है।'

'दाएं चित्र में, L, M, N △ABC के पक्षों के व्यास और आंतरित वृत्त के संपर्क बिंदु हैं, ∠C=90°, AL=3, BM=10। (1) आंतरित वृत्त की अर्ध व्यास र कहलाता है, इसलिए AC, BC की लंबाई को र से व्यक्त करें। (2) r के मान को निकालें।'

'त्रिभुज ABC में, जब b=2√6, c=3√2+√6, और A=60° हो, तो शेष तिमाही की लंबाई और दूसरे कोने का आकार ढूंढें।'

''

'त्रिभुज ABCD में, जहां AD // BC, AB=5, BC=7, CD=6, DA=3। D को AB पर करने वाली रेखा और भुज BC के छोर का क्रम्म बिंदु E के परिवर्तन को बनाएं, और जो ∠DEC=θ है। निम्नलिखित मानों का पता लगाएं।'

'अध्याय 7: त्रिभुज के अनुप्रयोग\n135\nत्रिभुज ABC में, जहां AB=7, BC=4√2, और ∠ABC=45° है, तथा ABC त्रिभुज के आसपासी वृत्त का केंद्र O के रूप में।\n(1) CA = $एक वर्ग है, और आसपासी वृत्त O का त्र्ज्या$ है।\n(2) आसपासी वृत्त O के D बिंदु पर A बिंदु को छोड़ देते हुए, BC के चाप पर, सोचा गया कि CD=√10। इस मामले में, यदि ∠ADC=$ दिया गया है, तो AD=x, तो x=√ की गई है।'

'त्रिभुज ABC में, भुज AB को 3:2 अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु D और भुज AC को 4:3 अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु E लिया जाता है। BE और CD का प्रतिस्थल पॉइंट P है और AF और BC का प्रतिस्थल F है। BF:FC का अनुपात खोजें।'

'ल, एम, एन त्रिभुज एबीसी के पक्ष और आंतरिक वृत्त के संबंध के बिंदु हैं, ∠सी=90°, एएल=3, बीएम=10। (1) यदि आंतरिक वृत्त का त्र्ज्या r है, तो ऐसी समद्धान जिसमें AC, BC की लंबाई r से भी ज्यादा है। निकालें। (2) r की मान की गणना करें।'

'स्थान A और B से, जलमार्ग के विपरीत किनारे के स्थान C और D का अवलोकन किया गया जैसा कि दाईं ओर के नक्शे में दिखाया गया है। माना जाता है कि स्थान A, B, C, और D एक ही ऊंचाई पर हैं।\n(1) BD और BC की लंबाई (मीटर) ढूंढें।\n(2) CD की लंबाई (मीटर) ढूंढें।\n\nउत्तर वर्गमूल रूप में बने रह सकते हैं।\n& 〜GUIDE साइन थिएम और कोसाइन थिएम का उपयोग करने के लिए उपयुक्त त्रिभुज ढूंढ़ने के लिए।\n(1) त्रिभुज ABD में, एक साइड और \u200bदो कोण जाने जाते हैं, जिससे साइन थिएम का उपयोग किया जा सकता है।\n(2) त्रिभुज BDC में, दो साइड और उनके बीच का कोण जाने जाते हैं, जिससे कोसाइन थिएम का उपयोग किया जा सकता है।'

'उदाहरण 123: राइट त्रिभुज और त्रिकोणमितीय मान'

'त्रिभुज ABC में, यदि ∠B > ∠C है, तो b > c साबित करें।'

'अध्याय 3 आकृतियों की विशेषताएँ\nइसके अतिरिक्त, ∆AFE और ∆ABC में\n∠A साझा है, ∠AFE=∠ABC\nइसलिए, क्योंकि दो समूहों के कोण समान हैं, ∆AFE ∝ ∆ABC\nAF:AB=1:2\n∆AFE:∆ABC=1²:2²=1:4\nइसलिए, ∆AFE=1/4 ∆ABC=1/4⋅12S=3S\n(2) से (1), चतुर्भुज AFGE के क्षेत्र को T मानें\nT=∆EFG+∆AFE=S+3S=4S\nइसलिए, (1), (2) से ∆ABC/T=12S/4S=3\nइसलिए 3 गुना'

'दाएं तरफ दिए गए चित्र में, कोण θ की साइन, कोसाइन, और टैंजेंट मान की गणना करें।'

'दाएं तीर्थिय त्रिभुज ABC का उपयोग करके, 15° के साइन, कोसाइन, और टैन्जेंट के मान का पता लगाएं।'

'दाएं चित्र में, बिंदु I त्रिभुज ABC का अंतःकेंद्र है। निम्नलिखित की गणना करें: (1) एल्फा (2) CI: ID'

'(1) दिया गया है कि α=90°, AB=2, BC=3, △ABC के तीन कोनों का आकार ढूंढें।\n(2) दिया गया है कि α=70°, β=γ, △ABC के तीन सिरों की लंबाईयों का पता लगाएं।'

'दिए गए चित्र में, α की मान का निर्धारण करें। यहां, (1) में बीसी बराबर डीसी है, और (3) में बिंदु ओ वृत्त का केंद्र है।'

'तीव्र कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात में व्यक्त करें'

'प्रमेय 1: त्रिभुज ABC के कोण A की आंतरिक द्विभाजक का साइड BC के साथ संवाद दोनों साइड BC को अनुपात में विभाजित करता है।'

'मान लें एबीसीडी एक वृत्त O में आसक्त है, जहाँ एबी=2, बीसी=3,सीडी=1, और ∠एबीसी=60°। ढूंढें:\n(1) त्रेखा एसी की लंबाई\n(2) साइड एडी की लंबाई\n(3) वृत्त O की त्र्ज्या R'

''

"गणित में, निम्नलिखित को सिद्ध करें: ऊपर के चित्र में, रेखा AB वृत्त O और O' को संबोधित करती है जिसे पॉइंट्स A और B पर संचित किया गया है। अगर अर्ध-व्यास r और r' (r < r') हैं, और दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी d है, तो सिद्ध करें कि AB sqrt(d^2 - (r'-r)^2) के बराबर है।"

'त्रिभुज के क्षेत्रफल को आधार से ऊंचाई के रूप में पूर्ण गुणाकार के रूप में गणना किया जा सकता है। आइए इस सूत्र को त्रिकोणमिति का उपयोग करके प्रकट करें।'

'एक सीधी 125 मीटर लंबी ढलान है। इस ढलान को चढ़कर, ऊँचाई 21.7 मीटर बढ़ जाती है। इस ढलान का झुकाव का कोना लगभग क्या है? साथ ही, इस ढलान की क्षैतिज दूरी कितनी मीटर है? ट्रिगोनोमेट्रिक अनुपात का उपयोग करें।'

'त्रिभुज के आंतरिक वृत्त का त्रिज्या और क्षेत्रफल'

'निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर दें। जब a=√3+1, A=75°, C=60° हो, या जब a=√3-1, A=15°, C=120° हो, तो त्रिभुज के अन्य घटक को ढूंढें।'

'(2) जब त्रिभुजABC का आवयार्ी केंद्र और अंतर्केंद्र मिलते हैं, तो उस बिंदु को O कहा जाता है। O बाह्य केंद्र होने के कारण OB=OC। इसलिए ∠OBC=∠OCB। साथ ही, बिंदु O त्रिभुज ABC का अंतर्केंद्र भी है।\n\n[\nक्वायन सेट शुरू\n\\angle B=2\\angle OBC\n\n\\angle C=2\\angle OCB\nक्वायन सेट समाप्त\n\\]\n\nइसी प्रकार,\nअंतर्केंद्र\nसे निकाल दिया जा सकता है\n\\angle A=\\angle C\n\nइसलिए, \\\angle A=\\angle B=\\angle C\\nइस तरह, त्रिभुज ABC एक समान त्रिभुज है।'

'एक 20मीटर ऊँचे इमारत के छत के किनारे से, एक निश्चित बिंदु की ओर देखते हुए, जो कोण कीचड़े के साथ बना होता है, 32° है। उस बिंदु और इमारत के बीच की दूरी निकालें। साथ ही, उस बिंदु और इमारत की छत के किनारे की दूरी निकालें। दो दशमलव स्थानों तक पूर्ण करें।'

'परिक्रमा कोण का सिद्धांत उपयोग करके, प्रत्येक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का निर्धारण करें, और गोणों का सिद्धांत और साइनों का सिद्धांत का उपयोग करें।'

''

''

'त्रिभुज ABC में, जहाँ AB=4, BC=5, और CA=6 है, वहाँ कोण A और उसके बाह्य कोण के कोण डिवाइडर को रेखा BC पर कटते हुए बिंदु D और E को देखा जोतो। खंड DE की लंबाई पता करें।'

'65 \\\\mathrm{AB}=2 r \\\\sin \\theta, \\\\mathrm{OH}=r \\\\cos \\theta'

'त्रिभुज ABC में, AB=AC=1, ∠ABC=72°। साइड AC पर, ऐसा बिंदु D चुना गया है जिसके लिए ∠ABD=∠CBD है।\n(1) ∠BDC का माप निकालें।\n(2) भुज BC की लम्बाई निकालें।\n(3) cos 36° का मान निकालें।'

'त्रिभुज ABC में, अंक D और E सिरे BC और AC के बीच के बिंदु हैं। साथ ही, AD और BE का छेदन बिंदु F, सिरे AF का बीच बिंदु G, और बीई और CG का छेदन बिंदु H के रूप में है। (1) अगर BE=6 है, तो सेगमेंट FE और FH की लम्बाई का पता लगाएं। (2) त्रिभुज EHC के क्षेत्र: त्रिभुज ABC के क्षेत्र का अनुपात ढूंढें।'

'■ आंतरिक केंद्र ...त्रिभुज के आंतरिक कोणों के द्विभाजकों का क्रमिक बिंदु\nकोण के द्विभाजक\nबिंदु P ∠ ABC पर है बिंदु P दो रेखाओं के द्विभाजक पर है ⇔ यह BA और BC से समांतर है - दूसरे शब्दों में, ∠ ABC का द्विभाजक दो रेखाओं BA और BC से समान दूरी पर बिंदुों का समूह है।'

"दो वृत्त O, O' मिलकर बाहरी रूप से बिंदु A पर संपर्क करते हैं। यदि दिए गए चित्र में वृत्त O' पर बिंदु B पर स्पर्शक वृत्त O पर दो बिंदु C और D पर काटता है, तो साबित करें कि AB ∠CAD के बाह्य कोण को दो भागों में बाँटता है।"

'दाएं चित्र में, माना जाता है कि उत्क्षेपों की लंबाई दोनों 1 है। बची हुई ओरों की लंबाई को खोजें और रिक्त स्थानों को भरें। फिर, 30, 45, 60 डिग्री के लिए साइन, कोसाइन, और टैन्जेंट के मान की पुष्टि करें।'

'2 साइड्स और 1 विकर्णिका दिए जाने पर शेष सिद्ध लम्बाई खोजना।'

'△ABC में, बाह्य वृत्त की अर्ध-व्यास R है। निम्नलिखित को खोजें: (1) जब a=10, A=30°, B=45° हो, तो C, b, R ढूंढें। (2) जब b=3, B=60°, C=75° हो, तो A, a, R ढूंढें। (3) जब c=2, R=√2 हो, तो C ढूंढें।'

'△ABC में, जहाँ सर्किल का त्रिज्या R है, निम्नलिखित को ढूंढें।'

''

'त्रिभुज ABC में, वायु BC को अनुपात 3: 2 में बाँटने वाला बिंदु D कहलाता है, और वायु AB को अनुपात 4: 1 में बाँटने वाला बिंदु E कहलाता है। रेखांक AD और CE का क्रमिक बिंदु P कहलाता है, और रेखा BP और त्रिभुज CA के बाँधांक F का क्रमिक बिंदु कहलाता है।'

'घेराव कोण का सिद्धांत\nएक चाप के लिए घेराव कोण का आकार स्थिर होता है, जो चाप के लिए केंद्रीय कोण का आधा होता है। अर्थात, दाईं तसवीर में, $\\angle \\mathrm{APB}=\\frac{1}{2} \\angle \\mathrm{AOB}$ विशेष रूप से, $\\mathrm{AB}$ व्यास होने पर, $\\angle \\mathrm{APB}=90^{\\circ}$\n\nघेराव कोण के उल्टे सिद्धांत\n4 बिंदुओं $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$ के लिए, यदि बिंदु $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$ रेखा $\\mathrm{AB}$ पर समान पक्ष में हैं\n\n\\n\\angle \\mathrm{APB}=\\angle \\mathrm{AQB}\n\\n\nतो, 4 बिंदुओं $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$ कोई एक वृत्त पर हैं।'

'अध्याय 6 त्रिकोणीय अनुपात - 115 टीआर 121'

''

"तीन समान लंबवत त्रिभुज ABC और A'B'C' हैं। क्योंकि संबंधित पक्षों के अनुपात समान हैं, इसलिए अनुपात के संबंध में निम्न 3 समीकरण होते हैं। इन 3 अनुपातों पर विचार करें। (1) BC/AB = B'C'/A'B', (2) AC/AB = A'C'/A'B', (3) BC/AC = B'C'/A'C'"

'अध्याय 3 ज्यामिति आकृतियों की गुणधर्म - 195\n(2) बिंदु E बाहु AC के बीच बींध है, इसलिए त्रिभुज ABC = 2 त्रिभुज EBC\nइसके अतिरिक्त, BF:FE = 2:1, इसलिए, BE:FE = 3:1\n\n\त्रिभुज EBC=3 त्रिभुज EFC\\]\nऔर भी, FH:HE = 2:1, इसलिए, FE:HE = 3:1, इसलिए त्रिभुज EFC=3 त्रिभुज EHC\nइसलिए\n\\[\egin{aligned}\nत्रिभुज ABC & =2 त्रिभुज EBC=2 \\cdot 3 त्रिभुज EFC \\\\\n& =6 त्रिभुज EFC=6 \\cdot 3 त्रिभुज EHC \\\\\n& =18 त्रिभुज EHC\n\\end{aligned}\\nइसलिए त्रिभुज EHC: त्रिभुज ABC = 1:18\n— क्योंकि उनकी एक समान ऊँचाई है\n\ त्रिभुज ABC: त्रिभुज EBC=AC:EC \\n\ त्रिभुज EBC: त्रिभुज EFC=BE:FE \\n\ त्रिभुज EFC: त्रिभुज EHC=FE:HE \'

'दाएं चित्र में, यदि ∠A = α है, और ∠B = β है। α और β के साइन, कोसाइन, और टैंजेंट मानों को खोजें।'

'(1) जैसा चित्र में दिखाया गया है, एक नियमित पंचभुज और बिंदु A, B, H के लिए, जब ∠AOB = 360° / 5 = 72°, r = 10, और θ = 1/2 × 72° = 36° हो, पिछले सवाल के परिणाम का उपयोग करते हुए, एक सिर की लंबाई है\nAB = 2 × 10 × sin 36°\n= 20 × 0.5878\n= 11.756, जो को AB = 11.8 में ऑटो करना। लंबवाही की लंबाई OH = 10 × cos 36° = 10 × 0.8090 = 8.090, ऑटो OH = 8.1 के लिए।'

'त्रिभुज ABC में, निम्नलिखित की खोज करें। जहां त्रिभुज ABC का क्षेत्र S के रूप में चिह्नित है। 76 (1) जब A=120°, c=8, S=14√3 हो, तो a, b ढूंढें (2) जब b=3, c=2.0°<A<90°, S=√5 हो, तो sinA, a ढूंढें (3) जब a=13, b=14, c=15 हो, और शीर्षक ए से साइड बीसी पर लंब रेखा की लंबाई को h के रूप में चिह्नित किया जाता है, तो S, h ढूंढें'

'सिद्ध करें कि जब तीन अलग रेखाएं x+y=1 (1), 4x+5y=1 (2), ax+by=1 एक बिंदु पर काटती हैं, तो तीन बिंदु (1,1), (4,5), (a,b) एक ही रेखा पर होते हैं।'

'वह बिंदु पी का पथ तीन छोटे और दो बड़े दोनों के बीच की अनुपात होने चाहिए, उसका द्विकोण A(0,0) और B(5,0) से।'

''

'जब त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है, तो a का मान पता करें।'

'(1) क्योंकि दो रेखाओं की ढीली बराबर है, इसलिए ये दो रेखाएँ समानांतर हैं।\n(2) y=2x+4, y=-\\frac{1}{2}x+3 से हम दो रेखाओं की ढीली को 2 \\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=-1 मान सकते हैं, इसलिए, दो रेखाएँ लंबी हैं।'

'क्या एक रेडियन है?'

'उन बिंदुओं पी की रेखांकन खोजें जो निम्नलिखित शर्तों को पुरा करते हैं: (1) बिंदु ए(-4,0) और बी(4,0) से बिंदु परीक्षित दूरियों के वर्गों का योग 36 छ। (2) बिंदु ए(0,0) और बी(9,0) से बिंदु तक दूरियों का अनुपात साबित करता है पीए:पीबी=2:1। (3) बिंदु पी को विभिन्न करने देता है जो त्रिभुज पीएबी को पूरा करता है जिसमें ए(3,0) और बी(-1,0) के बिंदु PA:PB=3:1 है।'

'जब बिंदु पी सीधी x+y=5 पर है, तो सीधी समीकरण AP+PB की न्यूनतम लंबाई का मान मिनिमिज करने वाले बिंदु P की निर्देशिका प्राप्त करें।'

"2 रेखाएं (1) ax + by + c = 0 और (2) a'x + b'y + c' = 0 द्वारा दी गई हैं, उनका संयुक्त समीकरणों (1) और (2) के समाधान के रूप में प्राप्त किया जा सकता है"

'जब बिंदु P को शर्त AP:BP = 2:3 पूर्ण करता है और रेखा सेगमेंट AB A(0,0) और B(5,0) को जोड़ती है, बिंदु P की लोकस का पता लगाएं।'

'आकृति A_{n+1} के लिए, सबसे दायाँ स्तंभ पर ध्यान केंद्रित करें। नीचे के सही कोने में टाइल को आड़े स्थित करने से, तीन संभावित विन्यास प्राप्त होते हैं जैसे चित्र 3 में दिखाया गया है, जहां शेष भाग A_{n} से मेल खाता है, और दो संभावित विन्यास प्राप्त होते हैं जैसे चित्र 4 में दिखाया गया है, जहां शेष भाग B_{n} से मिलता है।'

'2 रेखाओं द्वारा बने कोण ढूंढें (1) रेखा y=3x+1 और y=1/2x+2 द्वारा बने कोण θ (0<θ<π/2) ढूंढें। (2) y=2x-1 के साथ एक कोण बनाने वाली रेखा की ढाल ढूंढें जिसे π/4 की दिशा में बनाया गया है।'

'(2) 0 <α <π/2 में कोण α का प्रतिबिंब कोण 6α का प्रतिबिंब के बराबर है। कोण α का मात्रांकन करें।'

'तीन बिंदु A(6,1), B(2,3), और C(a,b) को दिया गया है, जब त्रिभुज ABC एक बराबरत्रिभुज होता है, तो a और b के मान को खोजें।'

'सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC के केंद्र बीसी, सीए, एबी के ऊपर बिंदु डी, ई, एफ को लेते हैं, ऐसा करने के लिए कि बीडी: डीसी = सीई: ईए = एएफ: एफबी = 37। [किंकी विश्वविद्यालय]'

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'रेखा पर सममित बिंदु'

'त्रिभुज ABC में, स्थान P और Q बार बीसी को तीन बराबर हिस्सों में बाँटते हैं, ऐसा करने से BP=PQ=QC होता है। सिद्ध करें कि निम्नलिखित संबंध सत्य है: $$ 2AB^{2}+AC^{2}=3(AP^{2}+2BP^{2}) $$'

'त्रिभुज एबीसी में, एबी=15, बीसी=18, एसी=12, कोण ए काको द्विगुणांक और साइड बीसी का छायांक D। रेखा बीडी और एडी की लंबाई निर्धारित करें।'

'साइन रिल और कोसाइन रिल की व्याख्या करें, और एक उदाहरण समस्या का समाधान करें।'

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'साइन नियम और कोसाइन नियम के द्वारा'

'कृपया समझाएं कि जब दो रेखाएं समानांतर होती हैं तो संबंधित कोणों का संबंध क्या होता है।'

'जब c=√6 हो, तो त्रिभुज के प्रत्येक कोने की मान जानें। जिंतोनी गणित का प्रयोग करके प्राप्त परिणाम A=75°, C=60° है।'

'शीर्ष O से त्रिभुज DEG पर लंब ओआई डालने पर, हमें पता चलता है कि I त्रिभुज DEG के आसमीत वृत्त का केंद्र है। GI पर त्रिभुज DEG के आसमीत वृत्त का अर्धव्यास है, इसलिए साइन के कानून के अनुसार हमें जीआई=\ \\frac{1}{2 \\sin 60^\\circ} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \ मिलता है। इसलिए, ओजी=\ \\frac{1}{2} \\mathrm{BG} = \\frac{\\sqrt{10+2 \\sqrt{5}}}{4} \। कृपया निम्नलिखित गणना करें।'

''

'अभ्यास किसी टॉवर के साथ समान ऊंचाई पर स्थित बिंदु A से टावर के शीर्ष का कोण 30 डिग्री मापा गया। इसके अतिरिक्त, बिंदु A से दूरी 114m पर बिंदु B है जहां कोण KAB 75 डिग्री है और कोण KBA 60 डिग्री है। इस समय, A और K के बीच की दूरी x मीटर है, और टावर की ऊचाई y मीटर है।'

'वृत्त में अंतस्थित चतुर्भुज ABCD में, AD // BC, AB=3, BC=5, ∠ABC=60° है, निम्नलिखित की प्राप्ति कीजिए।\n(1) एसी की लंबाई\n(2) सीडी की लंबाई\n(3) एडी की लंबाई\n(4) चतुर्भुज ABCD क्षेत्रफल'

'साइन नियम के अनुसार, \ \\frac{a}{\\sin A}=2R \, इसलिए \ \\frac{\\sqrt{2}}{\\sin A}=2 \\cdot 1 \, इसलिए \ \\sin A=\\frac{\\sqrt{2}}{2} \'

'त्रिभुज ABC में, जब a=√2, b=2, A=30° हो, तो c, B, C का पता लगाएं। बेसिक उदाहरण 154 के समान, जब एक त्रिभुज के दो सिरे और एक कोण दिए जाते हैं, तो कभी-कभी त्रिभुज एकत्रित नहीं हो सकता। पहले, कोसाइन नियम का उपयोग करके c के लिए समीकरण बनाएं। इस प्रक्रिया में, c की दो मान मिलेंगे, इसलिए प्रत्येक मामले के लिए B और C का पता लगाएं। साइन नियम का उपयोग करके एक वैकल्पिक समाधान के लिए दाएं पृष्ठ की चर्चा में संदर्भित करें।'

'△ABC में, भुज BC के बीच के बिंदु को M के रूप में लें।'

'साइन उपपादक\n\ \\triangle \\mathrm{ABC} \ के बाह्य वृत्त का त्रिज्या \ R \ हो, तो\n\\\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}=2 R\'

'लंबाई 6 की रेखा AB पर, 2 बिंदु C, D लिए जाते हैं जिससे AC = BD हो। यहां तक कि 0<AC<3 है। तीन वृत्तों के क्षेत्रों के योग S की न्यूनतम मान और उस समय सेगमेंट AC की लंबाई का पता लगाएं।'

'समुद्र की सतह पर स्थित किसी स्थान से ऊंचा 30 मीटर की चट्टान पर खड़ा एक प्रकाशस्तंभ की शीर्ष की कोन कोण 60 डिग्री है, और एक ही स्थान से प्रकाशस्तंभ के नीचे की कोन कोण 30 डिग्री है, तो चट्टान की ऊँचाई निकालें।'

'त्रिभुज ABC का क्षेत्र 12√6 है, और उसके भुजों का अनुपात AB:BC:CA = 5:6:7 है। इस स्थिति में, sin∠ABC का मान क्या है, जिसे □ के रूप में चिह्नित किया जाता है, और त्रिभुज ABC के आंतरिक वृत्त का त्रिज्या क्या है, जिसे □ के रूप में चिह्नित करें।'

'चित्र में दिखाया गया है कि, 100 मीटर दूर दो बिंदु A, B से झील के दूसरे किनारे के दो बिंदु P, Q को देखते हुए, निम्नलिखित मान प्राप्त हुए: ∠PAB=75°, ∠QAB=45°, ∠PBA=60°, ∠QBA=90°। इस स्थिति में, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'शीर्षक B, E, G गोले S के सतह पर हैं, और BG गोला S का व्यास है, इसलिए त्रिभुज EBG एक सही त्रिभुज है जिसमें ∠BEG = 90°। EG = 1 से निम्न गणना करें।'

'त्रिभुज ABC में, अगर ∠A = 60°, AB = 7, AC = 5, है तो ∠A का दोहराव रेखा सीबी के साथ बिंदु D पर मिलता है। AD की लंबाई का पता लगाएं।'

'समुद्र सतह पर होने वाली स्थान से ऊँची चट्टान पर खड़े 30 मीटर के उच्चकोण वाले लाइटहाउस के शीर्ष का कोण 60 डिग्री है, और नीचे के लाइटहाउस के उच्चकोण 30 डिग्री है। चट्टान की ऊँचाई का पता लगाएं।'

'त्रिभुजों की समानता के लिए तीन शर्तों की सूची बनाएं।'

'त्रिभुज के अस्तित्व की शर्तों का निर्धारण करें।'

''

''

'(1) c=\\sqrt{2}, A=105^{\\circ}, C=30^{\\circ} या c=\\sqrt{6}, A=75^{\\circ}, C=60^{\\circ}'

'एक 1.5 मीटर ऊँचाई के वाला व्यक्ति समतल भूमि पर खड़ा एक पेड़ की ऊँचाई जानना चाहता था। एक खंड A से पेड़ के शीर्ष तक का उच्चाधिकार 30° था, और पेड़ के पास 10 मीटर दूर B खंड से उच्चाधिकार 45° था। पेड़ की ऊँचाई की गणना करें।'

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'सूर्य और चंद्रमा की दूरी का अनुपात'

'त्रिभुज ABC में, जब a=1+√3, b=2, C=60° है, तो निम्नलिखित ढूंढें:\n(1) AB तिर्यक की लंबाई\n(2) ∠B का परिमाण\n(3) △ABC क्षेत्रफल\n(4) आसारी वृत्त का त्र्ज्याव\n(5) अंतःघीर वृत्त का त्र्ज्याव'

'प्राचीन ग्रीक में, उच्च गणित की अध्ययन के साथ ही खगोल शास्त्र में प्रगति हुई। प्राचीन ग्रीक खगोलविद अरिस्टार्खस ने सूर्य और चंद्रमा के बीच अनुमानित दूरी अनुपात के खोज के लिए निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया।'

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'एक संयोजित त्रिभुज ABC की विचार कीजिए, जिसमें सबसे बड़ी साइड BC हो और सबसे छोटी साइड AB हो, जहां AB=c, BC=a, CA=b (a≥b≥c)। त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को S के रूप में दर्शित किया जाता है।'

'दिए गए प्रश्न को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'साइन नियम और कोसाइन नियम'

'जब m>0, n>0 हो, तो बिंदु P रेखा AB पर पाया जाता है, और AP: PB=m: n, तो बिंदु P को कहा जाता है कि वह रेखा AB को m और n अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है [अधिक विवरण के लिए, गणित A को देखें]। AB को k लें, जिसमें दूसरी ओर की लंबाई को k के रूप में प्रस्तुत किया जाए। एंबेडेड चतुभुज के द्वाराओं द्वारा बनाए गए त्रिभुजों की समरूपता का उपयोग करें।'

'त्रिभुज ABC में, क्षेत्रफल को S से दर्शाया गया है। निम्नलिखित को ढूंढें। यह माना जाता है कि त्रिभुज (2) व्यंजन त्रिभुज नहीं है।'

'त्रिभुज AID, BEF, और CGH के क्षेत्र को प्रत्येक के लिए T1, T2, और T3 के रूप में संकेतित किया जाता है। इस मामले में, निम्नलिखित विकल्पों में से कौन एस की जगह फिट है?'

'त्रिभुज ABC में, आउटसाइड वृत्त की रेडियस को R माना जाता है। जब A=30°, B=105°, a=5 होता है, तब R और c की मानें निकालें।'

'त्रिभुज ABC में निम्नलिखित समीकरणों को साबित करें'

'ए, बी, सी, डी सिक्ल में आवृत चतुर्भुज एबीसीडी में, डीए = 2एबी, ∠बीएडी=120° है, (1) बीडी= एबी का वर्गमूल 3 गुणा, एए= एबी, (3) एबी:बीसी:सीडी:डीए=1:√3:2 है, (4) चक्र का त्रिज्या 1 मानते हुए, एबी=√3 है और चतुर्भुज एबीसीडी का क्षेत्रफल S है S=3।'

'जैसा दिए गए चित्र में दिखाया गया है, त्रिभुज ABC के बाहर, वर्ग ADEB, BFGC और CHIA बनाएं और त्रिभुज की कोने को एक-एक बाहु के रूप में लें, और फिर बिंदु E और F, G और H, I और D को जोड़ें।'

'इस रेलवे लाइन की ढाल को निकालें। रेलवे लाइन की ढाल 18% है, और जब आप 1000m के समतल में बढ़ते हैं, ऊँचाई 18m बढ़ जाती है। त्रिकोणमिति का उपयोग करके ढाल कोण θ की मान निकालें।'

'दो सरलों के बीच कोण'

'124 बुनियादी त्रिभुज का अधिकतम कोण'

'साइन नियम और कोसाइन नियम के अंतर का वर्णन करें।'

'\2 \\sin \\theta = \\sqrt{2}\ से \\\sin \\theta = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\ होता है। रेडियस 1 के आधे वृत्त पर, जहां \y\ अक्ष के मान \\\frac{1}{\\sqrt{2}}\ है, वहां बिंदु \\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}\ होते हैं। इसलिए, अवश्यी \\\theta\ \\\angle \\mathrm{AOP}\ और \\\angle \\mathrm{AOQ}\ के बराबर है।'

'आकृति और मापन\n157\nउदा 394\n(1) दिए गए आरेख का उपयोग करके, \ \\sin 18^{\\circ} \ का मान निकालें। (2) दिए गए आरेख का उपयोग करके, \ \\sin 22.5^{\\circ}, \\cos 22.5^{\\circ} \, और \ \\tan 22.5^{\\circ} \ के मान निकालें।\nसंकेत: विशेष कोनों के त्रिकोणियात्मक अनुपात का पता लगाने के लिए, आप उस कोन को शामिल करने वाली एक सीधी त्रिभुज बना सकते हैं।'

'218 मौलिक उदाहरण 136 त्रिभुज और परिपथ वृत्त और अंत: समवृत्त की त्रिज्या\n△ABC में, AB=6, BC=7, CA=5 होने पर, परिपथ के त्रिज्या R, और अंत: समवृत्त की त्रिज्या r को प्राप्त करें।'

'त्रिभुज ABD में, साइन थियोरम के अनुसार, BD/sin120° = 2 × 1, इसलिए BD = 2 sin120° = √3। दूसरी ओर, BD = √7 × AB, इसलिए √7AB = √3, इसलिए AB = √3/√7 = √21/7। इसलिए S = त्रिभुज ABD + त्रिभुज CBD = 1/2 × k × 2k sin120° + 1/2 × 3k × 2k sin(180°-120°) = √3/2 × k² + 3√3/2 ×k² = 2√3 k² = 2√3 AB² = 2√3 (√3/√7)² = 7√3/7, बहिरभूत वृत्त का त्रिज्या R = 1, कोण BCD = 180°-कोण BAD = 180°-120° = 60°, और आसंदान परिसम परिक्षेपित चतुर्भुज की युग्मखंड की गणना 180° होती है।'

'त्रिकोणमिती की मौलिक बातें'