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'\\( \\vec{a}=(\\sqrt{3}, 1), \\vec{b}=(-1,-\\sqrt{3}) \\) के बीच गुणाकार और कोण \ \\theta \ ढूंढें।'

'बिंदु \ \\mathrm{O}, \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ को एक सरल रेखा पर रखने के लिए, निम्नलिखित गुण को प्रदर्शित करें।'

'एक चतुर्भुज त्रिकोण शंकु $\\mathrm{OABCD}$ के नीचे का चतुर्भुज $\\mathrm{ABCD}$ ऐसा है कि $\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OD}}$। चार अलगाव वाले चार वास्तविक संख्याओं $p, q, r, s$ के लिए, यदि बिंदु $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S}$ को $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}$, $\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}$, $\\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}$, $\\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}}$ के द्वारा परिभाषित किया गया है। दिखाएं कि यदि चार बिंदु $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S}$ एक ही समतल पर हैं, तो $\\frac{1}{p}+\\frac{1}{r}=\\frac{1}{q}+\\frac{1}{s}$ साबित होता है।'

'चतुर्भुज OABC में, स्थानीय AB को अनुपात 1:3 में विभाजित करने वाले बिंदु L, स्थानीय OC को अनुपात 3:1 में विभाजित करने वाले बिंदु M, रेखा CL को अनुपात 3:2 में विभाजित करने वाले बिंदु N, और रेखा LM, ON का क्रमश: संबंधित बिंदु P है। यदि OA=a, OB=b, OC=c है, तो ON और OP को a, b, c के अनुसार व्यक्त करें।'

''

'स्थान विन्यास प्लेन पर वेक्टर a और b समांतर नहीं हैं। a और b को स्थान वेक्टर कि तरह लें, जोकि बिंदु A और B को संबोधित करते हैं। साथ ही, सकारात्मक वास्तविक संख्या x, y के लिए, बिंदु P, Q को संबोधित करने वाले स्थान वेक्टर x a और y b हो। जब रेखा सेगमेंट PQ दोनों AB को अनुपात 2:1 में बाँटता है, तो xy का न्यूनतम मान खोजें। सभी स्थान वेक्टर मूल बिंदु O के संदर्भ में विचरित किए जाते हैं।'

'बिन्दु A(वेक्टर a) से गुजरने वाली, और n(शून्य वेक्टर नहीं) के लिए लंबस्व रेखा के वेक्टर समीकरण n·(p-a)=0 है'

'क्रॉस उत्पाद की परिभाषा'

'डॉट उत्पाद की परिभाषा, डॉट उत्पाद और घटक \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \।\nडॉट उत्पाद की परिभाषा\n\ \\vec{a} \ और \ \\vec{b} \ के बीच कोण को \\( \\theta\\left(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}\\right) \\) माना गया है, तो\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\nडॉट उत्पाद और घटक\nअगर \\( \\vec{a}=\\left(a_{1}, a_{2}\\right), \\vec{b}=\\left(b_{1}, b_{2}\\right) \\) हैं, तो\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}\\nइसके अतिरिक्त, \ \\vec{a} \ और \ \\vec{b} \ के बीच कोण को \ \\theta \ माना जाए, तो\n\\\cos \\theta=\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|}=\\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}} \\sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}}}\'

'संबर्ध वृत्तीय गति के सिद्धांत समस्या\nबिंदु पी शांकु स्थल के चाक्रिक मार्ग पर चलता है जिसमें केंद्र ओ और त्रिज्या r है, निश्चित बिंदु पी₀ से उत्पन्न होता है, ऐसा कि ओ पी प्रति सेकंड विकल्प ω की घातकी धड़कन के साथ घूरता है।\n(1) पी की वेग की मात्रा v निकालें।\n(2) दिखाएं कि पी की वेग वेक्टर और त्वरण वेक्टर लंबवत हैं।'

'वेक्टर a और b ऐसे हैं जिनका |a|=5,|b|=3,|a-2 b|=7 को पूरा करते हैं। अगर a-2 b और 2 a+b के बीच का कोण θ है, तो cos θ के मान को ढूंढें।'

'निम्नलिखित दो वेक्टरों का डॉट उत्पाद और उनका कोण $\\theta$ ढूंढें: $\\vec{a}=(-2,1,2)$ और $\\vec{b}=(-1,1,0)$।'

''

'गैर शून्य वेक्टर ए और बी के लिए, जैसे कि a+2b और a-2b लंबवत हैं, और |a+2b|=2|b|।'

'वेक्टर ए और वेक्टर ब को लंबाऊ बनाने की शर्तें बताएं।'

'\\triangle \\mathrm{ABC} के अंदर एक बिंदु \\mathrm{P} है, 2 \\overrightarrow{PA} + 3 \\overrightarrow{PB} + 5 \\overrightarrow{PC} = \\overrightarrow{0} सत्य है। (1) बिंदु \\mathrm{P} किस स्थान पर है। (2) क्षेत्र अनुपात \\triangle \\mathrm{PBC} : \\triangle \\mathrm{PCA} : \\triangle \\mathrm{PAB} की गणना करें।'

'एक वर्ग ABCD में जोर माप 2 है, निम्नलिखित डॉट उत्पादों को ढूंढें।'

'संख्याओं का उपयोग करके साबित करें कि समकोण ABCD में समीकरण 2(AB^2+BC^2)=AC^2+BD^2 मान्य है।'

'दिए गए 4 बिंदु A(2,1,2), B(-2,2,1), C(-3,-4,2), D(a, b, 5) हैं।'

'मौलिक उदाहरण 22 मानक उदाहरण 33'

'टेट्राहीड्रन OABC में, ओए की साइड का मध्यांक पी, बीसी की साइड का मध्यांक क्यू, बिंदु पीक्यू में अनुपात 1:2 में विभाजन करने वाला र हो, सीधी ओआर और त्रिभुज एबीसी का क्रमिका बिंदुशीला र। यदि संव ए=वेक्टर ए, ओबी=वेक्टर बी, ओसी=वेक्टर क, तो वैक्टर ए, वेक्टर ब, और वेक्टर स के संदर्भ में ओएस को व्यक्त करें।'

'अध्याय 2 अंतरिक्ष में वेक्टर - 39\n(1) P(x, y, z) मानें और \\overrightarrow{AP}=(x-\\frac{1}{2}, y+\\frac{3}{2}, z-1)\nक्योंकि बिंदु P रेखा AB पर है, \\overrightarrow{AP}=t\\overrightarrow{AB} के लिए कोई वास्तविक संख्या t\n\\overrightarrow{AB}=(\\frac{3}{2}, \\frac{5}{2}, -4), इसलिए\n\\[\\left(x-\\frac{1}{2}, y+\\frac{3}{2}, z-1\\right)=t\\left(\\frac{3}{2}, \\frac{5}{2}, -4\\right)\\]\nइससे मिलता है कि \\left(x-\\frac{1}{2}, y+\\frac{3}{2}, z-1\\right)=\\left(\\frac{3}{2} t, \\frac{5}{2} t, -4 t\\right)\nइसलिए, x=\\frac{3}{2} t+\\frac{1}{2}, y=\\frac{5}{2} t-\\frac{3}{2}, z=-4 t+1\nक्योंकि बिंदु P yz तल पर है, \\overrightarrow{OP} का x घटक 0 है\nइसलिए, \\frac{3}{2} t+\\frac{1}{2}=0 से t=-\\frac{1}{3}\nइसलिए, बिंदु P के निर्देशांक हैं \\left(0, -\\frac{7}{3}, \\frac{7}{3}\\right)\n(2) (1) से, \\overrightarrow{OH}=(\\frac{3}{2} t+\\frac{1}{2}, \\frac{5}{2} t-\\frac{3}{2}, -4 t+1)। AB ⊥ OH, इसलिए \\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{OH}=0\nइसलिए, \\frac{3}{2}\\left(\\frac{3}{2} t+\\frac{1}{2}\\right)+\\frac{5}{2}\\left(\\frac{5}{2} t-\\frac{3}{2}\\right)-4(-4 t+1)=0\nइसका समाधान t=\\frac{2}{7} देता है\nइसलिए, बिंदु H के निर्देशांक हैं \\left(\\frac{13}{14}, -\\frac{11}{14}, -\\frac{1}{7}\\right)'

'\ \\triangle \\mathrm{OAB} \ में, \ \\mathrm{OA}=2, \\mathrm{OB}=3, \\mathrm{AB}=\\sqrt{7} \ होते हैं और ऊर्ध्वकेन्द्र H के रूप में होते हैं। \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b} \ मान लें, तो निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'$\\vec{a}$ और $\\vec{b}$ वेक्टरों के बीच गुणांक और कोण $\\theta$ की खोज करें।(1) $\\vec{a}=(3,4), \\vec{b}=(7,1)$(2) $\\vec{a}=(1, \\sqrt{3}), \\vec{b}=(-\\sqrt{3},-1)$(3) $\\vec{a}=(\\sqrt{2},-2), \\vec{b}=(-1, \\sqrt{2})$(4) $\\vec{a}=(-1,2), \\vec{b}=(6,3)$'

'सही त्रिभुज ABC में, वेक्टर AB = a, वेक्टर AC = b, और वेक्टर BC = c के साथ, डॉट उत्पाद a⋅b, b⋅c, और c⋅a ढूंढें।'

'उस मूल्य का पता लगाएं जो $\\ vec {a} = (x + 2,1)$ और $\\ vec {b} = (1, -6)$ को लंब बनाता है। $x$।'

''

'\\( 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = \\frac{1}{p^{2} - p + 1}\\{(1 - p) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} + p \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\} \\)'

'एक बार स्वतंत्रता और अवधारणा'

'बिंदु P श्रेणी ओए पर चलता है, इसलिए, OP = sOA (0 ≤ s ≤ 1) के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। साथ ही, बिंदु Q श्रेणी BC पर चलता है, इसलिए, OQ = (1-t)OB + tOC (0 ≤ t ≤ 1) के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। इस समय पर PQ के वर्ग का न्यूनतम मान पता करें।'

'मूलबिंदु को केंद्र मानकर निर्देशांक अंतरिक्ष में, ए(5,4,-2) करें। $|\\overrightarrow{OP}|^{2}-2\\overrightarrow{OA} \\cdot \\overrightarrow{OP}+36=0$ को पूरा करने वाले बिंदु P(x, y, z) का समूह किस प्रकार की आकृति को प्रतिनिधित करता है? साथ ही, x, y, z के संदर्भ में समीकरण को व्यक्त करें।'

'निम्नलिखित सदिश समस्या का समाधान करें। \ a \\overrightarrow{\\mathrm{PA}}+b \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}+c \\overrightarrow{\\mathrm{PC}}=\\overrightarrow{0} \ से \\(-a \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+b(\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})+c(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})=\\overrightarrow{0}\\)'

'जैसे कि \ \\overrightarrow{AB} \\perp \\overrightarrow{PH} \ है, इससे हमें मिलता है कि \ \\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{PH} = 0 \, जिससे हमें इसे लिखा जा सकता है \\( 2(2k-9) + 1 \\times (k-6) - 1 \\times (-k) = 0 \\). इससे, \ k = 4 \।'

'ऐसा कोण θ ढूंढें जो वेक्टर a और b के बीच हो, ताकि a-(2/5)b को a+b के लिए लंब बनाया जा सके, और a को a-b के लिए लंब किया जा सके।'

'(1) सिद्ध करें:'

'उदाहरण 10 आंतर गुणन (परिभाषा) की गणना'

'चतुर्भुज ABCD में, धारा AB का बीच बिंदु M को, और धारा CD का बीच बिंदु N को चिह्नित करें।\n(1) क्या ऐसा बिन्दु P मौजूद है जो समीकरण PA + PB = PC + PD को पूरा करता है? प्रमाण उप-पाठ और जवाब दें।'

'त्रिभुज के आकार समस्याओं में आंतर गुणनक'

'वेक्टरों के डॉट उत्पाद की गणना करने की विधि को समझाएं और एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके गणना करें।'

'उदाहरण 18 त्रिभुज के अंतःशीर्षक का स्थानीय वेक्टर खोजें\nत्रिभुज OAB में, OA=5, OB=6, AB=7 है, और अंतःशीर्षक H। OA वेक्टर को a और OB वेक्टर को b मानते हैं, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:\n1. डॉट गुणनफल a·b ढूंढें।\n2. a और b के माध्यम से OH वेक्टर का व्यक्त कीजिए।'

'चतुभुज OABC में, ⃗a=⇀OA, ⃗b=⇀OB, ⃗c=⇀OC लें। रेखा OA, OB, OC, BC, CA, AB की मध्य बिंदु को लेट L, M, N, P, Q, R के रूप में चिह्नित किया गया है, और ⃗p=⇀LP, ⃗q=⇀MQ, ⃗r=⇀NR लें।'

'समद्विखंडिका की वेक्टर समीकरण निर्देशांक A (ए वेक्टर) से गुजरती है और n (शून्य वेक्टर के बराबर नहीं) को लंबाई से विपरीत करती है: n · (p - a) = 0।'

'वेक्टरों के डॉट उत्पाद की गणना करें और इसका ज्यामितिक मतलब समझाएं।'

'साक्षात्कार 10 वेक्टर असमिति को'

'(1) क्योंकि \ \\mathrm{AB} \\parallel \\mathrm{DE} \ है, इसलिए \ \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \. वास्तव संख्या \ k \ ढूंढें, और जब \\( \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-3,0,4) \\) और \\( \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=(6, a+1, b+3) \\) हो, तो \ a \ और \ b \ के मान का पता लगाएं।'

'डॉट उत्पादन और घटक को परिभाषित करें जहाँ \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\quad \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \।\n\ \\vec{a} \ और \ \\vec{b} \ के बीच का कोण \\( \\theta (0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}) \\) से दिखाया जाता है।\nफिर, \ \\vec{a} \ और \ \\vec{b} \ का डॉट गुणन है \\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\nयदि \\( \\vec{a} = (a_1, a_2), \\vec{b} = (b_1, b_2) \\) हैं, तो वेक्टरों का डॉट गुणन \\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2\ है।\nइसके अतिरिक्त, कोण \ \\theta \ का कोसाइन दिया जाता है \\( \\cos \\theta = \\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|} = \\frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\\]'

'P(0, s, 0), Q(t+1, t+3, -t) की जगह रखें। पीक्यू^2 = (t+1)^2 + (t+3-s)^2 + (-t)^2 = s^2 - 2st + 3t^2 - 6s + 8t + 10 = s^2 - 2(t+3)s + 3t^2 + 8t + 10 = {s-(t+3)}^2 - (t+3)^2 + 3t^2 + 8t + 10 = (s-t-3)^2 + 2t^2 + 2t + 1 = (s-t-3)^2 + 2(t+1/2)^2 + 1/2। जब s-t-3=0 और t+1/2=0, अर्थात s=5/2, t=-1/2, तो न्यूनतम मान है 1/2। इसलिए, PQ के लिए न्यूनतम मान 1/√2 है जब s=5/2, t=-1/2। अर्थात, P(0,5/2,0), Q(1/2,5/2,1/2) के लिए न्यूनतम मान 1/√2 है।'

'दिखाएं कि अंतरिक्ष में चार बिंदु O, A, B, C जो समान तल पर नहीं हैं, अगर वेक्टर OA=a, वेक्टर OB=b, और वेक्टर OC=c हैं, तो किसी भी वेक्टर p को p=s*a+t*b+u*c (जहां s, t, u वास्तविक संख्याएं हैं) के रूप में अद्वितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है।'

'|𝛼 + t𝛽| 0 या इससे अधिक है, इसलिए, जब |𝛼 + t𝛽|^2 कम से कम होता है, तो |𝛼 + t𝛽| भी सबसे कम होता है। इसलिए, |𝛼 + t𝛽| t=-1 पर √26 की सबसे कम मान प्राप्त करता है। एक और समाधान मौजूद है जो मूल रूप से मूल बिंदु O पर है, 𝛼=OA, और 𝛽=OB। इससे, जो 𝛼 + t𝛽 = OC द्वारा निर्धारित बिंदु C है, वह बिंदु A से गुजरता है और OB पर समरूप रेखा पर स्थित है। इसलिए, |𝛼 + t𝛽| = |OC| सबसे कम होने के लिए, (𝛼 + t𝛽) 𝔷ा OB के लिए लंबाई होनी चाहिए। इस मामले में, हमें (𝛼 + t𝛽)·𝛽 = 0 मिलता है, जिससे (2 + t) x 1 + (-4 - t) x (-1) + (-3 + t) x 1 = 0 हल करने की आवश्यकता है, और इससे 3t + 3 = 0 होता है, अर्थात t = -1। इस स्थिति में, |𝛼 + t𝛽| = |𝛼 - 𝛽| = √(1^2 + (-3)^2 + (-4)^2) = √26, इससे, |𝛼 + t𝛽| t=-1 पर √26 की सबसे कम मान को प्राप्त करता है।'

'अतिरिक्त संदर्भ\nसंदर्भ: \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} और \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} का वर्गीकरण \\vec{u} ढूंढें\n\n\\vec{u} = (1 \\cdot 0-(-2)\\cdot 4, (-2)\\cdot 3-2 \\cdot 0, 2 \\cdot 4-1\\cdot 3) = (8, -6, 5)'

'1. वेक्टरों के डॉट गुणन की अधिकतम और न्यूनतम मान\n2. वेक्टर और यातायात, क्षेत्र\n3. चतुर्भुज का अधिकतम आयतन\n4. वेक्टर समीकरणों का व्यवहार\n5. अंतरिक्ष में ज्यामिति आकृतियाँ (गोलाकार परत)\n6. सम्प्लेक्स तह उपर चल रहे बिंदु की सीमा\n7. सम्प्लेक्स तह पर बिंदु का मौजूदा सीमा\n8. वास्तव संख्या और पूर्णांकों की गुणकरण संबंधित समस्याएं\n9. पैरामीट्रिक प्रतिष्ठान और यात्रा\n10. सम्प्लेक्स तह, समीकरण और कक्षाओं की फ्यूजन समस्याएं'

'उदाहरण 11 | डॉट उत्पाद की गणना (घटक)'

'(2) का निरंतरण'

'कोन व्यास 2 के नियमित चतुर्भुज ABCD में, वेक्टर एबी और वेक्टर एसी का डॉट उत्पादन ढूंढें।'

'(2) $\\ vec{a} \\ cdot \\ vec{b} = 2 \\ times (-2+ \\ sqrt{3})+(-1) \\ times(1+2 \\ sqrt{3})=-5$ \\ n \\ also $| \\ vec{a}| = \\ sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}= \\ sqrt{5}$, \\ n \\ [ | \\ vec{b} | = \\ sqrt{(-2+ \\ sqrt{3})^{2}+(1+2 \\ sqrt{3})^{2}}= \\ sqrt{20}=2 \\ sqrt{5} $\\ n \\ therefore$ \\ cos \\ theta= \\ frac{\\ vec{a} \\ cdot \\ vec{b}}{| \\ vec{a}| | | \\ vec{b}|}= \\ frac{-5}{ \\ sqrt{5} \\ times 2 \\ sqrt{5}}=- \\ frac{1}{2} $\\ n$ 0 ^ { \\ circ} \\ leqq \\ theta \\ leqq 180 ^ { \\ circ} $so$ \\ theta=120 ^ { \\ circ} $'

'A(r1,θ1) और B(r2,θ2) [r1 > 0, r2 > 0] को लेते हुए। कोसाइन कानून का उपयोग करके, पॉइंट ए और पॉइंट बी के बीच दूरी एबी को जांचें।'

'वेk\u200dटर्स ए और बी को बराबर कैसे व्यक्त करते हैं जब उनका मात्रा और दिशा एक होती है?'

'सामान्यत: , अंतरिक्ष में वेक्टर \ \\overrightarrow{u_{1}}, \\overrightarrow{u_{2}}, \\overrightarrow{u_{3}} \ निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं: \\( \\overrightarrow{u_{i}} \\cdot \\overrightarrow{u_{j}}=\\left\\{\egin{array}{ll}1 & (i=j) \\\\ 0 & (i \\neq j) \\end{array}\\right. \\)'

'रेखा-खंड AB और बिंदु P। नीचे दी गई समीकरण कब लागू होने पर, बिंदु P का स्थान क्या है।'

'मूल बिंदु O को मूल बिंदु घोषित करके निर्देशांक अंतरिक्ष में, निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले बिंदु P(x, y, z) का समूह किस प्रकार का आकार प्रस्तुत करता है? और, x, y, z में समीकरण को कैसे व्यक्त किया जाए:\n(1) जब A(3,-6,2) हो, तो बिंदु P निम्नलिखित को पूरा करता है|→OP|^{2}+2→OP⋅→OA+45=0।\n(2) जब A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3) हो, तो बिंदु P निम्नलिखित को पूरा करता है→AP⋅(→BP+2→CP)=0।'

'प्रश्न 31 | वृत्त के सदिश समीकरण\nसमतल पर त्रिभुज OAB और किसी भी बिंदु P के लिए, निम्नलिखित वेक्टर समीकरण एक वृत्त को दर्शाते हैं। यह कैसा वृत्त है?\n(1) |3 →PA+2 →PB|=5\n(2) →OP⋅(→OP-→AB)=→OA⋅→OB'

'(1) से, \ 2 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=3 \\overrightarrow{\\mathrm{AD}} \ है इसलिए \|3 \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}|=a\'

'बिनाॅंटो坐标 O(0,0,0), A(2,1,-2), B(3,4,0) के लिए, वेक्टर OA और वेक्टर OB दोनों के लिए लंबा और मात्रा √5 का एक वेक्टर की खोज करें।'

'निम्नलिखित को दिखाएं।'

'(1) उस समतल पर दो भिन्न स्थिर बिंदु A, B और किसी भी बिंदु P के लिए, वेक्टर समीकरण |3→OA+2→OB-5→OP|=5 किस प्रकार के आकार को प्रदर्शित करता है। (2) समतल पर बिंदु P और △ABC है। शर्त 2→PA⋅→PB=3→PA⋅→PC को पूरा करने वाले बिंदु P का समूह खोजें।'

'सिद्ध करें कि एक समतल पर, चार भिन्न बिंदुओं A, B, C, D और एक रेखा AB पर नहीं बिंदु O के लिए, जहाँ OA=a, OB=b। और यदि OC=3a-2b, OD=-3a+4b, तो AB∥CD।'

'चतुर्भुज ABCD और बिंदु O दिया गया है, जिसमें OA = a, OB = b, OC = c, OD = d है। अगर a + c = b + d और a · c = b · d है, तो इस चतुर्भुज के आकार को निर्धारित करें।'

'जब बिंदु A नॉकचर $\\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$ पर चलता है, तो बिंदु गुणाकार $\\overrightarrow{OA} \\cdot \\overrightarrow{OB}$ की अधिकतम मान ढूंढें। यहां A(x, y) और B(x, y^{2}-2 y, 2 x+y^{3}) है, O मूल बिंदु है।'

'समीकरण को साबित करें \ \\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}-\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}+\\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}+\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}=\\frac{1}{2}|\\vec{a}|^{2}+\\frac{2}{9}|\\vec{b}|^{2} \।'

'अर्थोगोनल प्रोजेक्शन वेक्टर का उपयोग'

'अभ्यास(2) जब दो गैर-शून्य वेक्टर \ \\vec{a} \ और \ \\vec{b} \ के बीच ऐसा एक अद्वितीय वास्तविक संख्या \ t \ हो जिसके लिए \ \\vec{a}+t \\vec{b} \ और \ \\vec{a}+3 t \\vec{b} \ लंबी होते हैं, तो इस स्थिति में \ \\vec{a} \ और \ \\vec{b} \ कोना \ \\theta \ को निकालें।'

'वेक्टर OA और वेक्टर OB दिए गए हैं। यदि बिंदु Q शर्त 256 वेक्टर AQ + 3 वेक्टर BQ + 2 वेक्टर CQ = वेक्टर 0 को पूरा करता है तो त्रिभुज QBC क्षेत्रफल की गणना करें।'

'वे वेक्टर \\(\\vec{a}=(2,1,-2)\\) और \\(\\vec{b}=(3,4,0)\\) जिनके लिए लंबाई \\\sqrt{5}\ है, के लिए ऐसा वेक्टर \\\vec{p}\ ढूंढें।'

'वेक्टरों की अपसारिता और बिंदु गुणन'

'सिद्ध करें कि जब \\( (2 \\vec{a}+3 \\vec{b}) / /(\\vec{a}-4 \\vec{b}) \\) होता है, तो \ \\vec{a} / / \\vec{b} \।'

'बिंदु A(𝑎) से गुज़रने वाली एक सीधी रेखा जिसका समांतर 𝑑(≠0) होता है के वेक्टर समीकरण 𝑝=𝑎+𝑡𝑑 है। पृ॰343 मौलिक जानकारी 1।'

'त्रिभुज OAB में, vec{a} = \\overrightarrow{OA}, vec{b} = \\overrightarrow{OB}, और |\\vec{a}|=3, |\\vec{b}|=5, तथा \\cos \\angle AOB = \\frac{3}{5} हो। इस स्थिति में, \\angle AOB के द्विगुण वृत्तांक और B केंद्र और अर्धव्यास \\sqrt{10} वाले वृत्त के छेदबिंदु का, O से प्रारंभ वेक्टर की स्थिति निकालें, vec{a}, vec{b} का सहारा लेते हुए।'

'दी गई रेखा सेगमेंट AB और बिंदु P। नीचे दिए गए समीकरण का पालन करते समय, बिंदु P किस स्थान पर स्थित है? (2) AP-3BP+4BA=0'

'सिद्ध करें कि जब A और B मूलबिंदु के रूप में आदिक संभावित होते हैं, तो वेक्टरों OA=a और OB=b द्वारा बनाए गए कोण का बीचबट्टा का वेक्टर समीकरण है, |a|+b/|b | के रूप में p = t(a/ के रूप में, जहां t एक परिवर्तनीय है।'

'विमान के समांतर और डॉट उत्पाद'

'पृष्ठ 54 के उदाहरण 20 (2) को समाधान करें जोकि दिया गया है'

'दो वेक्टर \\( \\vec{a} = (1, t) \\) और \\( \\vec{b} = \\left(1, \\frac{t}{3}\\right) \\) के बीच का कोण \ 30^{\\circ} \ होने पर, t की मान खोजें। यहाँ t > 0 माना जाए।'

'(1) $\\ vec {a} \\perp \\ vec {b}$ के लिए शर्त है $\\ vec {a} \\cdot \\ vec {b} = 0$। यहाँ $\\ vec {a} \\cdot \\ vec {b} = 3 \\times x + 2 \\times 6 = 3x + 12$ है। इसलिए $3x + 12 = 0$। इसलिए $x = -4$। (2) $\\ vec {a} \\perp \\ vec {b}$ के लिए शर्त है $\\ vec {a} \\cdot \\ vec {b} = 0$। यहाँ $\\ vec {a} \\cdot \\ vec {b} = 3 \\times (-1) + x \\times \\sqrt {3}$ है। $= \\sqrt {3} x - 3$। इसलिए $\\sqrt {3} x - 3 = 0$। इसलिए $x = \\sqrt {3}$।'

'अभ्यास एबी सीधी रेखा और बीन्दु पी को दिया गया है। जब निम्नलिखित समीकरण सत्य होता है, तो बिंदु पी किस स्थान पर स्थित होता है? (1) 3 वेक्टर AP + 4 वेक्टर BP = 2 वेक्टर AB'

'जब दो वेक्टर a, b संतुष्ट होते हैं (1) |a + b| = 4 और (2) |a - b| = 3, तो a·b की मान निकालें।'

'समतल में, (1) से, दिया गया है कि कोण ACB = कोण CAD और कोण BFC = कोण DFA। इससे BC और AD के वेक्टरों का प्रकार पता चलता है।'

'अभ्यास करें जहाँ \ \\vec{a}, \\vec{b} \ गैर शून्य अंतरिक्ष वेक्टर, \ s, t \ नन-नकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं, और \ \\vec{c}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \ के लिए निम्नलिखित को साबित करें।'

'वेक्टरों का गुणक: \\( \\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \\vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \\) के लिए'

'बिंदु A(वेक्टर ए) से गुज़रने वाले, उर्ध्वबाहु अवक्ष वाले समतल का वेक्टर समीकरण एन. (पी-वेक्टर ए) = 0 है (श्रेणी 1, पृष्ठ 387 में चर्चा की गई जैसे कि)।'

'निम्नलिखित असमितियों को साबित करें।'

'एक चतुर्भुज ABCD और एक बिंदु O दिया गया है, जहां OA वेक्टर a है, OB वेक्टर b है, OC वेक्टर c है, और OD वेक्टर d है। अगर a + c = b + d और a · c = b · d, तो इस चतुर्भुज के आकार का पता लगाएं।'

'यदि |a|=3, |b|=2, |a-2b|=sqrt{17} है, तो माने a+b और a+tb के लिए लंबकोणीय होने वाले वास्तव संख्या t का मान।'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'वह रेखा की ध्रुवीय समीकरण खोजें जो बिंदु \\( A(a, \\alpha) \\) से होती है और ओए के लगभग होती है।'

'वेक्टरों का डॉट उत्पाद'

'तीन आयामी स्थान में त्रिपुट A(1,1,0),B(3,4,5) और C(1,3,6) द्वारा निर्धारित विमान ABC दिया गया है, यदि ताल AB पर बिंदु P(4,5,z) मौजूद है, तो z के मान को पता करें।'

दाईं ओर दिखाए गए समकोण त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=ec{b}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}=ec{c} मान लेते हैं। आंतरिक गुणनफल ec{a} \cdot ec{b}, ec{b} \cdot ec{c}, ec{c} \cdot ec{a} को क्रमशः निकालें। ज्ञात है कि |ec{a}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=2,|ec{b}|=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2 \sqrt{3},|ec{c}|=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=4 , और ec{a} और ec{b} के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

प्रशिक्षण 19 (3) मान लीजिए |ec{a}|=1,|ec{b}|=2 । निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। (1) जब ec{a} \cdot ec{b}=-1 हो, तो |ec{a}-ec{b}| का मान ज्ञात करें। (2) जब |ec{a}+ec{b}|=1 हो, तो ec{a} \cdot ec{b} और |2 ec{a}-3 ec{b}| का मान ज्ञात करें।

दिए गए दो वेक्टरों ec{a}, ec{b} का डॉट उत्पाद और उनका कोण $heta$ ज्ञात करें। \[ ec{a} = (1,0,-1), ec{b} = (-1,2,2) \]

निम्नलिखित समीकृतियों को सिद्ध करें। (1) \( 3 ec{a} \cdot(3 ec{a}-2 ec{b})=9|ec{a}|^{2}-6 ec{a} \cdot ec{b} \) (2) |4 ec{a}-ec{b}|^{2}=16|ec{a}|^{2}-8 ec{a} \cdot ec{b}+|ec{b}|^{2}

आंतरिक गुणनफल $\overrightarrow{\mathrm{ओए}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ओडी}}, \overrightarrow{\mathrm{ओबी}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ओडी}}$ का मान ज्ञात कीजिये।

सदिशों का डॉट गुणनफल $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच कोण $\theta$: \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \] \[ \cos \theta =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} =\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}+a_{3}{ }^{2}} \sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}+b_{3}{ }^{2}}

डॉट प्रोडक्ट की विशेषताएँ निम्नलिखित वेक्टरों का डॉट प्रोडक्ट गणना करें और डॉट प्रोडक्ट की विशेषताओं की पुष्टि करें।ec{a}=\left(2, 3 ight), ec{b}=\left(4, -1 ight) डॉट प्रोडक्ट 0 है डॉट प्रोडक्ट की विशेषताएँ वेक्टरों के डॉट प्रोडक्ट के लिए, निम्नलिखित 1 से 5 तक सत्य होते हैं। 1 ec{a} \cdot ec{a}=|ec{a}|^{2} 2 ec{a} \cdot ec{b}=ec{b} \cdot ec{a} 3 (ec{a}+ec{b}) \cdot ec{c}=ec{a} \cdot ec{c}+ec{b} \cdot ec{c} 4 ec{a} \cdot(ec{b}+ec{c})=ec{a} \cdot ec{b}+ec{a} \cdot ec{c} 5 (k ec{a}) \cdot ec{b}=ec{a} \cdot(k ec{b})=k(ec{a} \cdot ec{b}) यहाँ, k एक वास्तविक संख्या है। सिद्ध करें ec{a}=\left(a_{1}, a_{2} ight), ec{b}=\left(b_{1}, b_{2} ight), ec{c}=\left(c_{1}, c_{2} ight)।

(1) $|2 \vec{a}-3 \vec{b}|=10$ से $\quad|2 \vec{a}-3 \vec{b}|^{2}=100$ इसलिए \( \quad(2 \vec{a}-3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}-3 \vec{b})=100 \) इस प्रकार $\quad 4|\vec{a}|^{2}-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+9|\vec{b}|^{2}=100$ अगर $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2 \sqrt{2}$, तो \( \quad 4 \times 1^{2}-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+9(2 \sqrt{2})^{2}=100 \) यानी $4-12 \vec{a} \cdot \vec{b}+72=100$, इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b}=-2$ ! इसलिए $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{ब}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-2}{1 \times 2 \sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ चूँकि $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$, तो $\quad \theta=135^{\circ}$

मान लें कि $k$ एक वास्तविक स्थिरांक है। किसी समतल पर एक बिंदु $\mathrm{P}$ और त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ है, और निम्नलिखित समता संतुष्ट की जाती है। $3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ (1) जब बिंदु $\mathrm{P}$ रेखा $\mathrm{AB}$ पर होता है, $k=\square$ होता है। (2) जब बिंदु $\mathrm{P}$ त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के अंदर होता है, $<k<\square$ होता है। हालांकि, बिंदु $\mathrm{P}$ त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की परिधि पर नहीं होता।

दो वेक्टर ec{a} और ec{b} का डॉट प्रॉडक्ट द्वारा बनाये गए कोण $heta$ को खोजें।\[ ec{a} = (1,0,1), ec{b} = (2,2,1) \]

जब दो वेक्टर \( \vec{a}=(1,2,-1), \vec{b}=(-1, x, 0) \) के बीच का कोण $45^{\circ}$ हो, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

सदिशों का डॉट उत्पाद सदिशों का डॉट उत्पाद और उनके बीच का कोण (अंतरिक्ष)

वेक्टर $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ का डॉट गुणनफल $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ ज्ञात करें। तीन बिंदु $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$ लें और $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ के बीच का कोण $heta$ मान लें।

जब दो विजेतर \( \vec{a}=(s, 3 s-1, s-1) और \vec{b}=(t-1, 4, t-3) \) समानांतर हों तो $s, t$ के मान ज्ञात करें।

दिये गए सदिश \( \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) जहाँ $a_{1} \neq 0, b_{1} \neq 0$、निम्नलिखित को प्रमाणित करें: $\vec{a} / / \vec{b} \Longleftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}=0$

जब दो वेक्टर \( ec{a}=(2,1,1) \) और \( ec{b}=(x, 1,-2) \) के बीच का कोण $60^{\circ}$ है, तो $x$ का मान ज्ञात करें।

डॉट प्रोडक्ट और कार्य के बीच संबंध

डॉट उत्पाद का उपयोग करके यह प्रमाणित करें कि वेक्टर लंबवत हैं।

13 बिंदु एक सीधी रेखा पर होने की शर्त [सह रेखीयता शर्त] [=उदाहरण 25] जब बिंदु A और B अलग-अलग होते हैं, तो बिंदु C रेखा AB पर होता है ⇔ एक वास्तविक संख्या k होती है जिससे $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$। जब बिंदु C अलग-अलग बिंदु A और B से गुजरने वाली रेखा AB पर होता है, तब $\overrightarrow{\mathrm{AB}} / / \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ या $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{0}$ होती है।

1 की भुजा लंबाई वाले घन $\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$ में, निम्नलिखित डॉट उत्पादों को खोजें। (1) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HG}}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}$ (3) $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}$

वेक्टर का अंत: गुणा आकृतियाँ और वेक्टर का अंत: गुणा (अंतरिक्ष) (1)

TRAINING अभ्यास 1 (4) मान लें कि $k$ एक वास्तविक स्थिरांक है। एक समतल पर एक बिंदु $\mathrm{P}$ और त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ है, और वे निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करते हैं: 3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}} (1) जब बिंदु $\mathrm{P}$ रेखा $\mathrm{AB}$ पर होता है, तब $k=\square$ होता है। (2) जब बिंदु $\mathrm{P}$ त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के अंदर होता है, तब $<k<\square$ होता है। मान लें कि बिंदु $\mathrm{P}$ त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की किनारे पर नहीं है।

दो वेक्टरों $\vec{a}, \vec{b}$ को समानांतर बनाने के लिए $x$ का मान निर्धारित करें। (1) \( \vec{a}=(x,-2), \vec{b}=(2,1) \) (2) \( \vec{a}=(-9, x), \vec{b}=(x,-1) \)

निम्नलिखित मामलों में त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल S ज्ञात कीजिए। (1) जब |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{3}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2

वेक्टरों के डॉट प्रोडक्ट के घटकों की गणना करें (अंतरिक्ष)

(2) चूँकि \( (\vec{a}-3 \vec{b}) \perp(2 \vec{a}+\vec{b}) \), इसलिए \( \quad(\vec{a}-3 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=0 \) इसलिए \( \quad \vec{a} \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})-3 \vec{b} \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=0 \) अतः $\quad 2|\vec{a}|^{2}-5 \vec{a} \cdot \vec{b}-3|\vec{b}|^{2}=0$ जैसा कि $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=1$ है, इसलिए $\quad 2 \cdot 2^{2}-5 \vec{a} \cdot \vec{b}-3 \cdot 1^{2}=0$ (1) इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b}=1$, अतः $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1}{2 \times 1}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow|\vec{p}|$ को $|\vec{p}|^{2}$ के रूप में देखा जाता है। चूँकि $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$, इसलिए $\quad \theta=60^{\circ}$

निम्नलिखित बिन्दुगुणजों का निर्धारण कीजिए। (1) \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}, (2) \overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}, (3) \overrightarrow{\mathrm{BH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}

इसलिए, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ के बीच कोण $heta$ हो, तो \[ \cos \theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MN}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}||\overrightarrow{\mathrm{MN}}|}=\frac{1}{2} \div\left(1 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\] चूंकि $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ है, इसलिए $\quad \theta=45^{\circ}$ 〔 गैर-शून्य सदिश $\vec{p}$, $\vec{q}$ के बीच कोण $\theta$ हो, तब $\cos \theta=\frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}||\vec{q}|}$.

कृपया निम्नलिखित वेक्टरों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का डॉट उत्पाद निकालें:\n\n $\vec{a} = \overrightarrow{OA}, \vec{b} = \overrightarrow{OB}$, और दोनों वेक्टरों के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है, तथा | $\vec{a}$ | = 5, | $\vec{b}$ | = 3 है

(1) \( \vec{a}=(5,1) \) और \( \vec{b}=(2, x) \) को लंबवत बनाने के लिए $x$ का मान निकालें। (2) \( \vec{c}=(\sqrt{3}, 1) \) के लंबवत एकक सदिश $\vec{e}$ को निकालें।

मान लीजिए कि \( ec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3} ight) \) और \( ec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3} ight) \) वेक्टर हैं, जहाँ $a_{1} eq 0, b_{1} eq 0$। प्रमाणित करें कि निम्नलिखित सत्य है: ec{a} / / ec{b} \Longleftrightarrow a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1} = 0

कृपया निम्नलिखित दो वेक्टरों का डॉट उत्पाद निकालें: वेक्टर \(\vec{a} = (3, 4)\) और वेक्टर \(\vec{b} = (1, 2)\)

दाईं ओर चित्र में दर्शाए गए वेक्टरों के लिए, निम्न प्रकार से वेक्टर संख्याओं के सभी संयोजन सूचीबद्ध करें। (1) समान परिमाण वाले वेक्टर (2) समान दिशा वाले वेक्टर (3) समान वेक्टर (4) विपरीत वेक्टर

बिंदु \( \mathrm{A}(4, 3, -3), \mathrm{B}(3, 1, 0), \mathrm{C}(5, -2, 1) \) वाले त्रिभुज $riangle \mathrm{ABC}$ में, आंतरिक गुणनफल $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ और कोण $\mathrm{ABC}$ का माप $heta$ प्राप्त करें।

सदिशों के बीच का कोण और लम्बवतता की शर्त निम्नलिखित सदिशों ec{a}=\left(1, 0 ight), ec{b}=\left(0, 1 ight) के बीच का कोण ज्ञात करें और यह सिद्ध करें कि ये सदिश लंबवत हैं। $\overrightarrow{0}$ नहीं होने वाले दो सदिश ec{a}=\left(a_{1}, a_{2} ight), ec{b}=\left(b_{1}, b_{2} ight) के बीच का कोण $heta$ हो। इस समय \cos heta=rac{ec{a} \cdot ec{b}}{|ec{a}||ec{b}|}=rac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}} जहाँ $0^{\circ} \leqq heta \leqq 180^{\circ}$