मूलभूत संख्या सिद्धांत - पूर्णांक, भिन्न, दशमलव

'उन पूर्णांक जो $p^{2}-q^{2}=250$ को पूरा करते हैं जोड़ो $(p, q)$ की संख्या ढूंढें।'

'[4] (1/y) + (1/z) = (1/3) और (1/z) ≤ (1/y) से (1/3) ≤ (2/y) और इससे y ≤ 6। y ≥ 6 के साथ मिलाकर y = 6 मिलता है।\nइसे इस्तेमाल करते हुए (1/z) = (1/3) - (1/6) = (1/6) के लिए समीकरण को हल करने के लिए जोड़ कर z = 6।'

'गुणाकार 85 संबंधित प्रमाण समस्याएं'

'1 से n तक के प्राकृतिक संख्या, वर्ग और घन का योग इस रूप में प्रस्तुत किया जाता है: (1) 1+2+3+...+n = \\frac{1}{2} n(n+1) (2) 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2} = \\frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) (3) 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3} = \\left\\{\\frac{1}{2} n(n+1)\\right\\}^{2}'

'सर्वोच्च अंक'

'वास्तव संख्याओं की गुणधर्मों को दिखाएं।'

'सिद्ध करें कि प्राकृतिक संख्या n के लिए निम्नलिखित असमिका सही है।'

"गणित का 'आरंभ' क्या है? गणित के 'आरंभ' के रूप में क्या माना जाना चाहिए?"

'उपर से, k का सबसे छोटा मान है'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरण की विभाजक D ढूंढें और इसके रूट के प्रकार का निर्धारण करें:'

None

''

'ज्ञात करें कि समांतर श्रेणी के आठवें मद का 37 है और चौबीसवें मद का 117 है, तो दसवें से बीसवें मदों का योगफल।'

'दिए गए पुनरावृत्ति सम्बन्ध का सामान्य पद खोजें।'

'(2) \ \\frac{1}{1-\\frac{1}{1-\\frac{1}{1+a}}} \'

'a = 1 या (a ≠ 1 और b = 4a² − 4a)'

'प्राकृतिक संख्याओं के एक अनुक्रमण {an} का विचार करें।'

'अभ्यास 20 ग्रिड प्वाइंट काउंटिंग\n(1) कोई गैर-नकारात्मक पूर्णांक k है। \ \\frac{x}{3} + \\frac{y}{2} \\leqq k \ को संतुष्ट करने वाले अनकेजेटिव पूर्णांक जोड़ों \\( (x, y) \\) की संख्या को \ a_{k} \ नामित किया जाता है। k के लिए \ a_{k} \ को अभिव्यक्त करें।\n(2) कोई गैर-नकारात्मक पूर्णांक n है। \ \\frac{x}{3} + \\frac{y}{2} + z \\leqq n \ को संतुष्ट करने वाले अनकेजेक्टिव पूर्णांक त्रैतीयक \\( (x, y, z) \\) की संख्या को \ b_{n} \ नामित किया गया है। n के लिए \ b_{n} \ को अभिव्यक्त करें।\n[योकोहामा राष्ट्रीय विश्वविद्यालय]'

'17 (1) को 10 से गुणा करें, गुणाकार 29 (2) को 0 से गुणा करें, गुणाकार 2 (3) को -4 से गुणा करें, गुणाकार 4'

'दिए गए भिन्न से पूरी क्रम को जोड़ें और उन्हें अंश भिन्न में विभाजित करके गणना को सरल बनाएं। इस्तेमाल कीजिए \\( \\frac{1}{k(k+1)} = \\frac{1}{k} - \\frac{1}{k+1} \\) जैसी परिवर्तन।'

''

'एनथ समूह में पहली विषम संख्या क्या है?'

'जब a>0, b>0 हो, तो (a+b)/2, √(ab), 2ab/(a+b), और √((a²+b²)/2) का आकार तुलना करें।'

'१६९ (1) \ \\frac{110}{3} \ (2) \ \\frac{37}{12} \ (3) \ \\frac{9}{8} \ (4) \ \\frac{14 \\sqrt{14}}{3} \'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

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'गणित II'

'45 \ \\frac{1}{\\tan \\frac{\\pi}{24}}-\\sqrt{2}-\\sqrt{3}-\\sqrt{6} \ एक पूर्णांक है। इसका मूल्य निकालें।'

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'किस पद से पहली बार ऋणात्मक होता है?'

'संख्याश्रेणी {a_{n}} की प्रारंभिक मान {a_{1}} से n वां मान {a_{n}} और योग {S_{n}} के रूप में होगा। यदि {S_{n}+a_{n}=4 n+2}, तो {a_{1}=} ए {, a_{2}=} ब। {a_{n+1}} को {a_{n}} के आधार पर व्यक्त करने पर {a_{n+1}=ग {a_{n}+} घ}। इसलिए, इस सरणी का सामान्य समान यह है {a_{n}=ङ}।'

'पहले पद 1, सामान्य अंतर -2 की गणनात्मक श्रेणी के 100 वां पद तक की योग S ढूंढें।'

'गौसियन सिम्बल और श्रृंखला का योग, पुनरावृत्ति सम्बन्ध'

'आकृति {an} ऐसी है जो कि a1=1 को संतुष्ट करती है, और सभी प्राकृतिक संख्याओं m के लिए, a2m=a2m-1+1, a2m+1=2a2m।'

'निम्नलिखित अनुक्रम का विचार करें।'

'अंकगणित श्रेणी 2, 17/6, 11/3, 9/2, ⋯⋯, 12 का योगफल S निकालें।'

'एक वृत्त पर n तार खींचें, जहाँ किसी भी दो तार वृत्त के अंदर कटते हैं और कोई भी तीन तार एक ही बिंदु से नहीं गुजरती। इन तारों द्वारा विभाजित के गए भागों की संख्या को डी_{एन} के रूप में चिह्नित किया जाता है। इस मामले में, D_{3}=मुंह का , D_{4}=1, और D_{n}=उड़ है। इसके अलावा, D_{n} भागों में बहुभुज बनाने वाले भागों की संख्या को डी_{एन} के रूप में चिह्नित किया गया है। जब n 4 से अधिक है, d_{n}=इ।'

'सार्वजानिक संख्या m के लिए, a_{3m} 5 का गुणनखंड है, इसे गणित प्रतिपादन से सिद्ध करें।'

'(2) \ n=87 \'

'सिद्ध करें कि किसी सूची {an} (जहां {an}>0) के लिए, अगर संबंध (∑an)^2 = a1^3 + a2^3 + ... + an^3 लागू होता है, तो फिर an = n होता है।'

'एक गणित अभ्यास बी 60'

'गणित समस्या'

'अभ्यास 81 (1) |x| ≥ 1, इसलिए |t| ≥ 1। रेखा OA की ढाल है 1/t, रेखा OA के बीच के बिंदु की निर्देशांक (t/2, 1/2) है, इसलिए, रेखा OA का लंबवत बीच रेखा समीकरण है y-1/2=-t(x-t/2), अर्थात y=-tx+(t^2+1)/2 (|t| ≥ 1)। (2) y=-tx+(t^2+1)/2 से t^2-2xt-2y+1=0 मिलता है। f(t)=t^2-2xt-2y+1 करने पर, आवश्यक शर्त है {जिसमें f(t)=0 के निर्णायक D को संयमित (1) करने वाले वास्तव संख्या t के लिए} तो D/4=x^2+2y-1 ≥ 0 होगा, इसलिए y ≥ -x^2/2+1/2। (1) को पूरा करने वाले यहां तक कि सभी वास्तव संख्या t -1<t<1 में हैं, अर्थात {D ≥ 0 f(-1) > 0 f(1) > 0 -1 <x <1} को पूरा करते हैं, इसका मतलब {y ≥ -x^2/2+1/2 y < x+1 y < -x+1 -1 <x <1} है। स्थिति 1 को पूरा करने वाले सभी वास्तव संख्या समाधानों से सभी |t|<1 के मामले को छोड़ने की चिंता करें।'

'P ≥ 2√(a * 1/a) + 2√(b * 1/b) + 2√(c * 1/c) + 2√(abc * 1/abc) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 इसलिए (a + 1/b)(b + 1/c)(c + 1/a) ≥ 8'

'निम्नलिखित परिस्थितियों द्वारा निर्धारित अनुक्रम {a_n} का सामान्य मान खोजें।'

'पहला मान 96 है, साधारण अनुपात -1/2 है, इसलिए पहले 7 मानों का योग 96{1-(-1/2)^7}/(1-(-1/2))=96/(3/2)(1+1/128)=64*129/128=129/2'

'निम्नलिखित क्रम समचतुर्भुजी है?'

'एक साथ कई पासे फेंकने पर, जो नंबर एक साथ फेंके गए हों, उनका गुणाकार अंजीव का होने की संभावना कई साथ पास नुमाई 0.994 से अधिक होने के लिए, कितने साथ कितने पासे आवश्यक हैं? यहाँ, log_{10} 2=0.3010, log_{10} 3=0.4771 है।'

'23\\ n \\ 1,2,3 | 4,5,6,7,8 | 9,10,11,12,13,14,15 \\ mid 16, \\ cdots \\ cdots \\ n(1) \\ क्रमांक \ n \ समूह के पहले और आखिरी संख्या ढूंढें। \\ n(2) \\ समूह \ n \ में शामिल सभी संख्याओं का योग ढूंढें। \\ n(3) \\ 2014 किस समूह की किस स्थिति पर है?'

'M ≥ 1 / 4'

'अगला, जब 4^{10} को 9 के आधार पर व्यक्त किया जाता है, तो अंकों की संख्या को n के रूप में दर्शाया जाता है'

'(a>0, a=0, a<0) में से कोई एक सत्य है।'

'गणित \ \\Pi \ 63 इसलिए, \\( \\quad P(-1)=-a+b, P(1)=a+b \\) (1), (2) से \ -a+b=5, a+b=7 \ यह समकलीन हल करने पर \ \\quad a=1, b=6 \ इसलिए, हमें मांगे गए शेष का परिणाम है \ \\quad x+6 \'

'(2) \\( \\alpha=\eta=\\gamma=1 \\Leftrightarrow \\alpha-1=\eta-1=\\gamma-1=0 \\Leftrightarrow(\\alpha-1)^{2}+(\eta-1)^{2}+(\\gamma-1)^{2}=0 \\)'

'मान ए, ब को 3 की गुणितक नहीं मानते हैं, और f(x)=2 x^{3}+a^{2} x^{2}+2 b^{2} x+1 रखा गया है। (1) f(1) और f(2) को 3 से विभाजित करने पर शेष को प्राप्त करें।'

'(4) \\sqrt[4]{16}=\\sqrt[4]{2^{4}}= 2, \\quad \\sqrt[4]{625}=\\sqrt[4]{5^{4}}= 5 ,'

'समग्र'

'दो-अंकों वाले प्राकृतिक संख्याओं में निम्नलिखित संख्याओं का योग निकालें: (1) 5 से विभाजित करने पर 3 शेष छोड़ने वाले संख्या। (2) विषम संख्याएँ या 3 के गुणक।'

'(3) $c_{k+2}=c_{k+1}+c_{k}$ के लिए, $n=k$ की स्थिति में, $c_{n}$ जो $d$ के एक गुणक होने की मात्र मानना पर्याप्त नहीं है।\n[1] जब $n=1,2$ हो\n$c_{1}=a, c_{2}=b$, और क्योंकि दोनों $a$ और $b$ $d$ के गुणक हैं, इसलिए $c_{1}, c_{2}$ भी $d$ के गुणक हैं।\nइसलिए, $n=1,2$ के लिए, $c_{n}$ $d$ का एक गुणक है।\n[2] जब $n=k, k+1$ हो, यदि $c_{n}$ को $d$ का गुणक माना जाए, तो $c_{k}$ और $c_{k+1}$ $d$ के गुणक हैं, इसलिए पूर्णांक $l, m$ का उपयोग करके, $c_{k}=d l, c_{k+1}=d m$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। $n=k+2$ को विचार करें।\n$c_{k+2}=c_{k+1}+c_{k}=d l+d m=d(l+m)$\nक्योंकि $l+m$ एक पूर्णांक है, $c_{k+2}$ $d$ का एक गुणक है। इसलिए, जब $n=k+2$ हो, तो $c_{n}$ भी $d$ का एक गुणक है। [1], [2] से, सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए, $c_{n}$ $d$ का एक गुणक है।'

'पूर्णांक समस्याएँ और गणितीय अनुकरण'

'12 तीसरे पद और -96 षष्ठ पद होने वाली एक धनात्मक श्रेणी का सामान्य पद तलाशें। एक सामान्य अनुपात एक वास्तव संख्या माना जाए।'

'(1) क्योंकि $\\frac{y}{x} > 0, \\frac{x}{y} > 0$ है, इसलिए अंकगणितीय औसत और रूपगणितीय औसत के अभिगृहीतता के आधार पर $\\frac{y}{x} + \\frac{x}{y} \\geq 2 \\sqrt{\\frac{y}{x} \\cdot \\frac{x}{y}} = 2$ है।'

'प्राकृतिक संख्या n के लिए, जब √(2n)+1/2>1 होता है, तो an 1 से अधिक पूर्णांक है। प्राकृतिक संख्या m के लिए, जब an=m होता है, तब m ≤ √(2n)+1/2<m+1, अर्थात m-1/2 ≤ √(2n) < m + 1/2। क्योंकि m - 1/2 > 0 है, इसलिए ऊपर वर्णित के अनुसार, (m - 1/2)^2 ≤ 2n < (m + 1/2)^2, हमें m(m-1)/2 + 1/8 ≤ n < m(m+1)/2 + 1/8 मिलता है।'

'गणित बी\n287\n(1) से हमें a=6 मिलता है\nइसे (2) में डालने पर हमें 6(36-d^{2})=162 मिलता है\nइसलिए d^{2}=9 है\nइसलिए d=±3 है\nइसी तरह, हमारे द्वारा ढूंढी जाने वाली 3 संख्याएँ 3,6,9 या 9,6,3 हो सकती हैं\nअर्थात\n3,6,9\nक्योंकि 3 संख्याओं के क्रम को स्पष्ट नहीं किया गया है, इसलिए उत्तर एक तरह से हो सकता है।\nएक और समाधान है, जिसमें एक अंकगणित श्रृंखला के रूप में गणितगणितीय श्रृंखला गठित करने वाले 3 संख्याओं की श्रृंखला को a, b, c के रूप में नामित किया जाता है। शर्तों के अनुसार\n2b=a+c\na+b+c=18\nabc=162\nइसे (1) में डालने पर हमें 3b=18 मिलता है, इसलिए b=6 है\nइस बिंदु पर, (1) और (3) से हमें a+c=12, ac=27 मिलता है\nइसलिए, a, c x^{2}-12x+27=0 के 2 समाधान हैं। (x-3)(x-9)=0 को हल करने पर x=3,9 मिलता है\nअर्थात\n(a, c)=(3,9),(9,3)\nइसलिए, हमें ढूंढने वाली 3 संख्याएँ 3,6,9 हैं'

'पहले समूह से ग्यारहवें समूह तक मुख्या कुल संख्या 66 है, इसलिए, श्रेणी {an} का 77वां पद 12वें समूह के 11वें संख्या है (77-66=11)। इसलिए, (1) के आधार पर, श्रेणी {an} का 77वां पद है 12*11^2=1452।'

'2 लाल किताबें हैं और n नीली किताबें हैं। इन n+2 किताबों को यथासंभाव स्थानित करें। दो लाल किताबों के बीच नीली किताबों की संख्या को X कहा जाता है।'

'(1) 2/3 (2) 30 (3) 16/3'

'क्रमबद्ध (1) 1, 2 (2) 1, 0 (3) 2, 1 (4) 1, 1'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'(1) जब n ≥ 2 हो, तो पहली समूह से (n-1) वाले समूह के नंबरों की संख्या है ∑_{k=1}^{n-1}(2 k+1)=2 ⋅ \\frac{1}{2}(n-1) n+(n-1)=n^{2}-1, इसलिए, एनथ समूह का पहला नंबर किसी प्राकृतिक संख्या श्रृंखला का {n^{2}-1+1}=n^{2} (अवधि) है, और यह न=1 के लिए भी सत्य है। इसलिए, एनथ समूह का पहला नंबर n^{2} है, और एनथ समूह का अंतिम नंबर प्राकृतिक संख्याओं के श्रृंखला में अंत तक शामिल अंशों की संख्या के अनुरूप है ∑_{k=1}^{n}(2 k+1)=2 ⋅ \\frac{1}{2} n(n+1)+n=n^{2}+2 n'

'अर्थमैटिक प्रोग्रेशन का सामान्य संज्ञा और योग\nसामान्य संज्ञा $a_{n}$ प्रथम सदस्य $a$, सामान्य अंतर $d$ हो तो\n\\[\na_{n}=a+(n-1) d\n\\]\nअथर्ववर्ग मध्य सदस्य\nक्रम $a, b, c$ एक अर्थमैटिक प्रोग्रेशन है $\\Leftrightarrow 2 b=a+c$\nअर्थमैटिक प्रोग्रेशन का योग प्रथम से निवाले $n$ वाले सदस्य तक का समय $S_{n}$\n(1) पहला सदस्य $a$, $n$ वाला सदस्य (अंतिम सदस्य) $l$\n\\[\nS_{n}=\\frac{1}{2} n(a+l)\n\\]\n(2) पहला सदस्य $a$, सामान्य अंतर $d$\n\\[\nS_{n}=\\frac{1}{2} n\\{2 a+(n-1) d\\}\n\\]\nप्राकृतिक संख्याओं का योग, सकारात्मक विषम संख्याओं का योग\n\\[\n\egin{array}{l}\n1+2+3+\\cdots \\cdots+n=\\frac{1}{2} n(n+1) \n1+3+5+\\cdots \\cdots+(2 n-1)=n^{2}\n\\end{array}\n\\]'

'श्रृंखला a, b, c एक अर्थमेटिक प्रक्रिया बनाती है, इसलिए 2b=a+c\nश्रृंखला b, c, a एक ज्यामिति श्रेणी बनाती है, इसलिए c^2=ab\nक्योंकि a, b, c का गुणज 125 है, तो abc=125\n(2) को (3) में प्रतिस्थापन करने से c^3=125 मिलता है\nc को एक वास्तविक संख्या मानकर, c=5\n(1), (2) में प्रतिस्थापन करने से 2b=a+5, ab=25 मिलता है\nb को हटाने के बाद a(a+5)=50 मिलता है\nइसलिए a^2+5a-50=0\nइसलिए a=5, -10\nअनुसार ab=25, b=25/a मिलता है\nउदाहरण\n\\triangleleft 36-d^2=27\nसंख्या\nश्रेणी\nऔसत रूप 2b=a+c उपयोग किया जा रहा है\nयदि सम p, गुणन q के दो संख्याओं को, दोहरी समीकरण x^2-px+q=0 के दो समाधान होते हैं (गणित II)\n4\n(समानानुपात)=(2वां अंश)/(1वां अंश)\n4 a_n=2*(-3)^n गलत है\n4(-1)^{可क्ष}= -1\n(2) को (1) से विभाजित करने से r^3=-8 माना जा सकता है\n4 a_n=ar^{n-1}\nअंकगणितीय श्रृंखला का औसत रूप\nआर्थमेटिक श्रृंखला का औसत रूप\nab=c^2 को (3) में प्रतिस्थापित करें\nपहली समीकरण\n(द्वितीय समीकरण) को 2 से गुणित करके प्रतिस्थापित करें'

'(3) क्रम में 7, 15, 14, 12'

'श्रंखला {a_n} पहली मान {a_1} = \\frac{1}{4}-\\frac{1}{3}=-\\frac{1}{12} और सामान्य अनुपात -\\frac{1}{8} के साथ एक वृत्तीय श्रेणी है, इसलिए श्रंखला {a_n} का सामान्य पद खोजें।'

'\\( \\frac{1}{9} n(5 n+13) \\pi \\)'

"गणित A में 'संख्या क्रमण और संचयन' के अवधारणा के बारे में सीखा। 1 से n तक संख्याओं को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते समय, अगर बाएं से k वाँ संख्या k नहीं है, तो उसे पूर्ण व्यवस्था कहा जाता है। साथ ही, n वस्तुओं की पूर्ण व्यवस्थाओं की संख्या W(n) को मोन्ने-मोंटल संख्या कहा जाता है, जिसे W(1)=0, W(2)=1, W(n)=(n-1){W(n-1)+W(n-2)} (n ≥ 3) माना जाता है (अधिक विवरण के लिए, चार्ट गणित I+A पृ॰ 264 देखें)। यहाँ, हम अभिन्नता सूत्र से W(n) को n के शब्दों में व्यक्त करने की विचार करेंगे। ध्यान दें कि, सरलता के लिए, हम निम्नलिखित अभिन्नी सूत्र को विचार करेंगे।"

'मान लें कि अनुक्रम {a_n} का l वाँ आइटम और अनुक्रम {b_n} का m वाँ आइटम बराबर है। इस समीकरण 15l-2=7・2^{m-1} को हल करें।'

'गणित II'

'सामान संविकृति: अनुपात और समानुपातों को संदर्भित करने वाली एक गणितीय शब्द है।'

'प्राकृतिक संख्या n का उपयोग करके, n! और 3^n का आकार तुलना करें।'

'(2) जब n जोड़ी संख्या है, तो 0; जब n विषम संख्या है, तो 15'

"चरण (1) में पार्टियों B और C के सीटों की संख्या कुल 5 सीटें थी, लेकिन जैसा कि चरण (2) में, विलय के माध्यम से पार्टी E का गठन करके और मानते हुए कि मिलान से पहले और उसके बाद कुल मतदान एक ही रहते हैं, अन्य पार्टियों के मत में कोई परिवर्तन नहीं हुआ, तो सीटों की संख्या 6 हो गई। इसलिए, यह संभव है कि पार्टियों के विलय के समय सीटों की संख्या बदल सकती है, लेकिन डी'होंड्ट सांवितिक प्रतिनिधित्व के संबंध में निम्नलिखित गुण होते हैं।"

'(3) 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^n = 2^{n+1} - 1 है, इसलिए an = 2^{n+1} - 1। 2008 = 4 * 502 है, इसलिए, (2) से, 2^{2008} - 1 को 17 से विभाजित करने पर शेष 0 है। अतः, 2^{2008} = 17k + 1 (यहाँ k पूर्णांक है) का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, an = 2^{2011} - 1 = 2^{2008} * 8 - 1 = (17k + 1) * 8 - 1 = 17 * 8k + 7। इसलिए, 17 से an को विभाजित करने पर शेष 7 होता है, और क्योंकि 2012 = 4 * 503, तो an = 2^{4 * 503} - 1, इसलिए (2) से, a_{2012} = 2^{2014} - 1।'

'\\(\\frac{1}{b-a}\\left(\\frac{1}{x+a}-\\frac{1}{x+b}\\right) = \\frac{1}{b-a} \\cdot \\frac{(x+b)-(x+a)}{(x+a)(x+b)} = \\frac{1}{b-a} \\cdot \\frac{b-a}{(x+a)(x+b)} = \\frac{1}{(x+a)(x+b)}\\)'

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'2 अंकों वाले प्राकृतिक संख्याओं में, 55 से बिना रहित 3 के साथ विभाज्य संख्या 5·2+3,5·3+3, ... , 5·19+3 है। यह पहले मत के रूप में 13, आख़िरी मत के रूप में 98, और कुल 18 मात्राएँ हैं, इसलिए, योगफल है 1/2·18(13+98)=999'

'7 साल के लिए 5% की वार्षिक ब्याज दर के साथ 200,000 येन जमा करने पर प्रमुख और ब्याज की कुल रकम की गणना करें।'

'मान लें कि पार्टी 1, पार्टी 2 और पार्टी 3 को वोट 40,000, 40,000 और 10,000 हैं।'

'(2) 20=2^{2} \\cdot 5,10=2 \\cdot 5, इसलिए, 20^{x}=10^{y+1}, इसलिए 2^{2 x-y-1}=5^{y+1-x} (1). मान लें y+1-x \\neq 0, तो (1) से हम प्राप्त करते हैं 2^{\\frac{2 x-y-1}{y+1-x}}=5 \\cdots\\cdots\\cdot(2). जब x, y विचारशील संख्याएं होती हैं, तो 2 x-y-1, y+1-x भी विचारशील संख्याएं हैं, और \\frac{2 x-y-1}{y+1-x} भी एक विचारशील संख्या है। इसके अलावा, (2) से हमें 2^{\\frac{2 x-y-1}{y+1-x}}>1 मिलता है, इसलिए \\frac{2 x-y-1}{y+1-x}>0, इसलिए \\frac{2 x-y-1}{y+1-x}=\\frac{m}{n}(m, n धनात्मक पूर्णांक हैं), जिसे 2^{\\frac{m}{n}}=5 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दोनों पक्षों को n से गुणा करने से 2^{m}=5^{n}, बाएं पक्ष 2 की गुणा है, हालांकि दाएं पक्ष 2 की गुणा नहीं है, जिससे असंगति होती है। इसलिए y+1-x=0। इस मामले में, (1) से हमें 2^{2 x-y-1}=1 मिलता है, इसलिए 2 x-y-1=0 (4), (5), समीकरणों को हल करने से x=0, y=-1 मिलता है'

'जब (1) बराबर है, तो $\\frac{x y+y z+z x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ का मान निकालें।'

'एक अंतर्क्रिय सरणी के सामान्य पद का सूत्र क्या है?'

'अभ्यास 19 गौस सिंबल और श्रंखला का योग, पुनरावृत्ति सूत्र'

"सीटों के अनुपातिक वितरण प्रक्रिया (1)..... डी'हॉंड्ट विधि\nजापान में राष्ट्रीय निर्वाचनों में मंशियों का आवंटन करने का तरीका प्रस्तुत करें। अनुपातिक प्रतिनिधित्व चुनावों में, प्रत्येक पार्टी की मिली वोटों के आधार पर, प्रत्येक पार्टी द्वारा प्राप्त किए गए सीटों की संख्या का निर्धारण किया जाता है, जाने वाले एक गणना विधि जिसे 'डी'हॉंड्ट विधि' के रूप में जाना जाता है। आइस डी'हॉंड्ट विधि' क्या है और उदाहरण दे। * डी'हॉंड्ट विधि' एक विधि है जो बेल्जियमी गणितज्ञ विक्टर डी'हॉंड्ट (1841-1902) द्वारा तैयार की गई है।"

'(1) 23 ÷ 3 (2) 19 ÷ 24 (3) -32 + 20√5 ÷ 3'

'दिया गया है कि $0 \\leqq x \\leqq \\pi$, हमें मिलता है $-\\frac{\\pi}{4} \\leqq \\frac{1}{2}\\left(5 x-\\frac{\\pi}{2}\\right) \\leqq \\frac{9}{4}\\pi$ और $\\frac{\\pi}{4} \\leqq \\frac{1}{2}\\left(x+\\frac{\\pi}{2}\\right) \\leqq \\frac{3}{4}\\pi$। यह इसका मतलब है कि $\\frac{1}{2}\\left(5 x-\\frac{\\pi}{2}\\right)=0, \\pi, 2\\pi$ या $\\frac{1}{2}\\left(x+\\frac{\\pi}{2}\\right)=\\frac{\\pi}{2}$। इन समीकरणों का समाधान करने से हमें $5 x-\\frac{\\pi}{2}=0, 2\\pi, 4\\pi$ या $x+\\frac{\\pi}{2}=\\pi$ मिलता है। इसलिए, $x=\\frac{1}{5} \\cdot \\frac{\\pi}{2}, \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{5}{2}\\pi, \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{9}{2}\\pi$ या $x=\\frac{\\pi}{2}$। इससे हम निष्कर्षित करते हैं कि $x=\\frac{\\pi}{10}, \\frac{\\pi}{2}, \\frac{9}{10}\\pi$।'

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'इसलिए, n=k+1 के लिए (1) लागू है।'

'एक अंकगणित श्रंखला {a_{n}} दी गई है, जिसमें पहला मान a है और सामान्य अंतर d है, प्रत्येक मान इस प्रकार प्रस्तुत किया गया है: \na, a+d, a+2d, a+3d, ..., a+(n-1)d। इस श्रंखला का n वां मान a_{n} खोजें।'

'प्राकृतिक संख्या n का उपयोग करके, n² और 4^(n-2) की आकार की तुलना करें।'

'f(x)=x^{3}+3 x^{2}-9 x-9 के वास्तव समाधानों की संख्या ढूंढें।'

'पॉइंट आर की निर्देशांक (-2+6)/2, (5-3)/2) से (2,1) तक हैं'

'अंक एक्स, वाई, जेड के लिए, शर्तों को पूरा करने वाले लगातार (एक्स, वाई, जेड) की संख्या b_n पता करें: x ≥ 0, y ≥ 0, z≥ 0, और (x/3) + (y/2) + z ≤ n।'

'5√10 / 18 का परिणाम 5√10 / 18 है'

'944 \\sqrt{2}-4'

'(3) (a, b)=(-1,-1),(1,-1),(-1,1), (1,1)'

'100 से 200 के बीच की संपूर्णांकों की योग्यताओं के योग का पता लगाएं। (1) 7 द्वारा भाग देने पर 2 बचा तो उधार राखने वाले संख्या (2) 4 या 6 की गुणित संख्याएं'

'पास्कल के त्रिभुज की निम्नलिखित गुणों की व्याख्या करें:\n1. प्रत्येक पंक्ति के दोनों किनारों पर संख्याएँ।\n2. किनारे के अलावा हर संख्या की गुणधर्म।\n3. संख्याओं का श्रृंखला।'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'मानक संख्याएँ p, q ऐसी हों जो |p|≤1, |q|≤1, |p-q|≤1 को पूरा करती हो। 0, p, q में सबसे अधिक मान को M, सबसे कम मान को m कहा जाता है। निम्नलिखित असमिकाएं साबित करें।'

'दो कण समय 0 पर त्रिभुज ABC के शीर्षक A पर स्थित हैं। ये कण स्वतंत्र रूप से आंशिक सेंटर स्थान में प्रत्येक 1 सेकंड में हर सेकंड चलते हैं। n को प्राकृतिक संख्या माना जाए और इन दो कणों का समय 0 के n सेकंड बाद एक ही बिंदु पर होने की संभावना को pn लिखा जाए।'

'(1) 5 (2) 4 (3) 7/3'

'दिए गए पुनरावृत्ति संबंध से, किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, एक प्राकृतिक संख्या a_{n} मौजूद है जिससे a_{n}<a_{n+1} है। इसलिए, जब n \\geqq 2 हो, तो a_{1}, ... a_{n-1} a_{n} के गुणक नहीं हैं, लेकिन a_{n} a_{n} के गुणक है। अगले, n \\geqq 2 के लिए, m पर गणित आधार परिवर्तन का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या m के लिए, a_{n+m}-a_{m} a_{n} का गुणक है।'

'निम्नलिखित विप्लवीय संख्याओं से वास्तविक और काल्पनिक भाग निकालें।'

'प्रदर्शित करें कि जब a, b, c सभी 1 से छोटे सकारात्मक संख्याएं हों, तो तीन असमेंधियों a(1-b)>1/4, b(1-c)>1/4, c(1-a)>1/4 किसी समय साथ में सटीक नहीं हो सकती।'

'समग्र अभ्यास 369 यहाँ पर 2^{4n}-1 ≡ (-1)^n-1 (mod 17) है, इसलिए जब n एक भी सम है तो 2^{4n}-1 ≡ 0 (mod 17) होता है और जब n विषम है तो 2^{4n}-1 ≡ -2 ≡ 15 (mod 17) इसलिए, अगर n एक सम है तो चाहिए शेष 0 है और अगर n विषम है तो 15 है (3) 2008=4 × 502, इसलिए (2) से हमें 2^{2008}-1 ≡ 0 (mod 17) मिलता है, यानी 2^{2008} ≡ 1 (mod 17) इसलिए, 2^{2011} ≡ 2^3 · 1 ≡ 8 (mod 17) 2^{2012} ≡ 2 · 8 ≡ 16 (mod 17) 2^{2013} ≡ 2 · 16 ≡ 32 ≡ 15 (mod 17) 2^{2014} ≡ 2 · 15 ≡ 30 ≡ 13 (mod 17) इसलिए a_{2010} ≡ 2^{2011}-1 ≡ 7 (mod 17) a_{2011} ≡ 2^{2012}-1 ≡ 15 (mod 17) a_{2012} ≡ 2^{2013}-1 ≡ 14 (mod 17) a_{2013} ≡ 2^{2014}-1 ≡ 12 (mod 17)'

'क्योंकि \\(\\sum_{k=1}^{n}\\left(a_{k}-k\\right)^{2} \\geqq 0\\) है, इसलिए \1 \\cdot a_{1}+2 a_{2}+\\cdots \\cdots+n a_{n}\ \\(\\sum_{k=1}^{n}\\left(a_{k}-k\\right)^{2} = 0\\) होने पर अधिकतम होता है, अर्थात \\(a_{k}=k (k=1,2, \\cdots \\cdots, n)\\)। इसलिए, आवश्यक अनुक्रम है \1,2,3, \\cdots \\cdots, n\।'

'प्रत्येक राजनीतिक पार्टी के वोट्स को 1, 2, 3 से भाग करने पर प्राप्त शेष निम्नलिखित सारणी में दिखाया गया है।'

'पहले से किस संख्या तक का योगफल सबसे अधिक होगा? साथ ही, उस समय का योगफल भी निकालें।'

'अभ्यास (1) समीकरण |x+y+z| ≤ |x|+|y|+|z| को साबित करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों को सामान्य लघुगणक पंजियों का उपयोग करके जवाब दें और उन्हें दो दशमलव स्थानों तक गोल करें: (1) 2.37 × 3.79 (2) 7.67 ÷ 2.86'

'102 का अधिकतम मान 16 है, बिंदु P के संयोजन हैं (5 / sqrt(26), 1 / sqrt(26)) या (-5 / sqrt(26), -1 / sqrt(26))'

'६२\n(१) (ए) ३\n(बी) \ -\\frac{5}{2} \\n(२) \ \\frac{13}{4} \'

'एक अंकगणित श्रंखला का पहला मान a और सामान्य अंतर d ढूंढें, जिसमें पहले 5 मानों का योग 125 है और पहले 10 मानों का योग 500 है।'

'प्राकृतिक संख्याओं को दाएं तक दिखाए गए उस रूप में व्यवस्थित करें।'

'शेष उदाहरण का सिद्धांत प्रस्तुत करें।'

'सिद्ध करें कि जब |x|<1 और |y|<1 होता है, |left|\\frac{x+y}{1+xy}|right|<1'

'ए और डी को पूर्णांक के रूप में लें। श्रेणी {एन} को पहले मद a और साधारण भिन्न d के साथ एकांक श्रेणी के रूप में परिभाषित करें। श्रेणी {एन} के प्रथम n मानों का योग संज्ञित करें।'

'क्योंकि पहला संख्या 2 है और साधारण अंतर 17/6-2=5/6 है, और अगर 12वां अंश को nवां माना जाता है, तो 2+(n-1)・5/6=12, इसलिए n=13। इसके अतिरिक्त, अंश श्रृंखला का योग है S=1/2・13(2+12)=91'

'निम्न शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम {Fn} का ध्यान रखें।'

'क्योंकि 1 और 3 समाधान हैं'

'वास्तविक संख्या x के लिए , [x] से x से अधिक नहीं होने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। अनुक्रम {a_{k}} को a_{k}=2^[\\sqrt{k}] (k=1,2,3,......) के रूप में परिभाषित किया जाता है। सकारात्मक पूर्णांक n के लिए, b_{n}=\\sum_{k=1}^{n^{2}} a_{k} का पता लगाएँ।'

'3 असमिकाओं का सिद्धांत (2)'

'पृष्ठ 394'

'सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए साबित करें कि 2^{n+1}+3^{2n-1} 7 का एक गुणित है।'

'उदाहरण 59 | घात और मूलों की तुलना'

'निम्न सूची का योग निकालें।'

''

''

'जब k = 0 हो, तो x = -1, 0, 4; जब k = 12 हो, तो x = -2, 2, 3'

'(2) क्योंकि $\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{0}=1,\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{-1}=r$ है, इससे, (1) से, हम $a_{n}=n-1+\\sum_{k=1}^{n}\\left(\\frac{1}{r}\\right)^{k-2}$ का साधारण सूत्र सही मान सकते हैं। अब हम इसे गणितीय पूर्वानुमान का उपयोग करके सिद्ध करेंगे।'

'समानुपाती श्रेणी का योग (1) समानुपाती श्रेणी की पहली संख्या से एनटी संख्या तक को खोजें।'

'अगर अनुक्रम {a_{n}+b_{n}} की प्रारंभिक श्रेणी {a_{1}+b_{1}=2} है और सामान्य अनुपात 2 है तो इसका सामान्य पंक्ति ढूँढें।'

'१७० को ९ से गुना करके २ से विभाजित करें'

'174 का 4 से भाग 27 है'

'−11 ≤ P ≤ 401 / 9'

'180 का अधिकतम मान $9^{2 \times 0}$ है'

'{an} को गणितीय श्रेणी के रूप में लें जिसका सामान्य अनुपात 0 नहीं है और प्रारंभिक अंक 1 है। साथ ही, {bn} को b1=a3, b2=a4, b3=a2 को संतुष्ट करने वाली अंकगणित श्रेणी के रूप में लें।'

'निम्नलिखित समापनों को ढूंढें:\n(1) अंकगणित श्रृंखला 2, 8, 14, ..., 98 का योग\n(2) पहला अंक 100 और समानता का अंतर -8 वाली अंकगणित श्रृंखला का योग पहले से 30वाँ अंक तक\n(3) आंकड़ा 8 के रूप में 37 और आंकड़ा 24 के रूप में 117 के साथ अंकगणित श्रृंखला का योग 10वें से 20वें तक के अंक'

'इसलिए, चाहिए गए अधिकतम और न्यूनतम मान इस प्रकार हैं:'

'असमिक्ता साबित करने में उपयोग की जाने वाली गुणधर्म'

'सामान्य विभाजन -3 वाले अरिथमेटिक श्रेणी {an} के लिए निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें: 1. मानक विभाजन an ढूंढें। 2. कौन सी पदनिति पहली बार नकारात्मक है। 3. पहले पद से किस पद पर योग की गणना अधिकतम हो जाती है और उस समय क्या है।'

''

'क्रम(1) का 5वाँ संख्यात्मक अंश ढूंढें।'

'निम्नलिखित सूत्रों द्वारा प्रतिपादित अनुक्रम की पहली पांच मदों को निकालें।'

'1 से 100 तक संख्याओं का योगफल निकालें जो न तो 3 के गुणाकारी हैं और न ही 5 के।'

'36 (1) x=2, y=-1 (2) x=4/5, y=-7/5'

'1 से 100 तक पूर्णांकों के योग की गणना करें जो न तो 3 की गुणांक हैं और न ही 5 की गुणांक।'

'समीकरण (2) का सिद्धांत...शर्तों के साथ'

'प्रशिक्षण 26\n\ n \ एक प्राकृतिक संख्या है। गणित प्रमाणीकरण का उपयोग करके, निम्नलिखित समीकरण को साबित करें।\n\\[\n1 \\cdot 4+2 \\cdot 5+3 \\cdot 6+\\cdots \\cdots+n(n+3)=\\frac{1}{3} n(n+1)(n+5)\n\\]'

'गणित के माध्यम से, अंकगणितीय माध्य और ज्यामितीय माध्य को मिलाकर हमें $\\frac{ab}{4}+\\frac{9}{ab}+\\frac{13}{4} \\ge 2 \\sqrt{\\frac{ab}{4} \\cdot \\frac{9}{ab}}+\\frac{13}{4}=2 \\cdot \\frac{3}{2}+\\frac{13}{4}=\\frac{25}{4}$ मिलता है। इसलिए $\\left(\\frac{a}{4}+\\frac{1}{b}\\right)\\left(\\frac{9}{a}+b\\right) \\ge \\frac{25}{4}$। समानता का पालन करने के लिए $ab>0$ और $\\frac{ab}{4}=\\frac{9}{ab}$ होना चाहिए, जिसका मतलब $ab=6$ है।'

'(1), (2) में भिन्न को सरलीकृत करें। (3) से (5) तक के समीकरणों की गणना करें।'

'14^4 एन को 2 से अधिक पूर्णांक माना जाए। द्विघातीय सिद्धांत का उपयोग करके, निम्नलिखित को साबित करें।'

'गणित दरवाजे के चुनाव में सीट का आवंटन'

'किसी 1 का उदाहरण में, पार्टी बी की मतदान संख्या 7000 है, और पार्टी सी के लिए 6000 है। उदाहरण 2 में, जहाँ पार्टी ई के लिए मतदानों की संख्या 13000 है, उस स्थिति में क्या होगा?'

'पिछले साल की परीक्षा में शीर्ष 64000 में आने वाले छात्रों के लिए न्यूनतम अंक कितने थे? निम्नलिखित 0-5 विकल्पों में से चुनें।'

'आइए कुछ भिन्नांक की गणना के प्रतिनिधित्वी उदाहरणों का सूची बनाते हैं।\n(1) सरलीकरण\n......सरलीकरण एक भिन्न का प्रमोजक और विभाजक को उसके साझा गुणक से विभाजित करना है। एक भिन्न जिसे और सरल नहीं किया जा सकता उसे अगत भिन्न कहा जाता है।\nउदाहरण:\n\\(\\frac{x^{2}+7x+12}{x^{2}+8x+15}=\\frac{(x+3)(x+4)}{(x+3)(x+5)}=\\frac{x+4}{x+5}\\)\n\\\frac{12}{15}=\\frac{3 \\cdot 4}{3 \\cdot 5}=\\frac{4}{5}\'

'प्रत्येक बाहु को 3 से विभाजित करने पर, निम्नलिखित परिणाम मिलता है।'

'ज्यामिति श्रृंखला का पहला मान और सामान्य अनुपात ढूंढें। सामान्य अनुपात एक वास्तव संख्या है।'

'186 k=-4,0'

'1, 3 को मानक निपात के लिए समानांतर श्रृंखला {b_{k}} को पहले आइटम मानक श्रोत घोषित करने के लिए प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, b_{k}≤n को पूरा करने वाली अधिकतम b_{k} को c_{n} के रूप में चिह्नित किया जाए। जो तब c_{n} होता है। उस समय Σ_{k=1}^{30} c_{k} की गणना करें।'

'समग्री a, b पूर्णांक हो, 3 वीं श्रेणी की मसल x^3+ax^2+bx+1=0 के 2 आधारी समाधान और 1 नकारात्मक पूर्णांक समाधान है। इस स्थिति को पूरा करने वाले पूर्णांक जोड़ (a, b) हैं ।'

'एक वृत्तीय श्रृंखला का सामान्य पद और योगफल खोजें। पहला पद को ए और साधारण अनुपात को आर मान लें।'

'39 (आ) -3'

'जब x>0 हो, तो x+16/x का न्यूनतम मान क्या है।'

'(4) \ x= \\pm 1, \\pm \\sqrt{2} \'

'106606 अंक, 2'

''

'किसी अंक से शुरू होने वाली -83 और सामान्य अंतर 4 वाली एक समांतर श्रेणी में पहले कितने अंकों का योग सबसे कम होगा? इसके साथ, उस समय का योग क्या होगा?'

'52 (1) 11/3 (2) 2/3 (3) -1/3'

'योग और गुणन के क्रम में, मान हैं (1) 4, -3 (2) 3/2, 3 (3) -4/3, -5/3'

'\ 68 a<-2,2<a \'

'निम्नलिखित समीकरणों को हल करें।'

'(2)(1/2)^{n}<0.001 के दोनों ओर सामान्य लॉग लेने से n log_{10} 2>-3 इसलिए n>3/ \\लॉग_{10} 2=9.96... इस असमीकरण को संतुष्ट करने वाली सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या n n=10 है'

'एक सामान्य अंतर 3 वाली एक अंक श्रृंखला {an} है, जिसका पहला अंक 7 है, और एक सामान्य अंतर 5 वाली एक अंक श्रृंखला {bn} है, जििसका पहला अंक 8 है। इन दो श्रृंखलाओं के साझा अंकों को छोटे से बड़े क्रम में व्यवस्थित करने से बनी श्रृंखला {cn} को लेने के लिए। {cn} श्रृंखला की सामान्य अंक की खोज करें।'

'जब a>0, b>0 हो, तो निम्नलिखित असमिकाएँ सत्य होती हैं।'

'अगर प्रति वर्ष 20 लाख येन जमा किए जाते हैं, हर वर्ष 1% वार्षिक ब्याज दर के साथ, तो 10 वर्ष बाद वर्ष अंत में मूल वार्षिक मिश्रण (अर्थात, प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में मूल धन और ब्याज की कुल राशि) की गणना करें। कृपया 1.01 की 10 घाता के लिए 1.105 का उपयोग करें।'

'वार्षिक ब्याज दर r, हर साल ब्याज में a येन जमा करें, n वर्षों तक, n वर्षों के बाद अंत में बचत की कुल राशि S ढूँढें।'

''

'जब तीन बिंदु A(1,1), B(2,4), C(a,0) त्रिभुज ABC के रोनक बिंदु बनते हैं और एक सीधे त्रिभुज बनते हैं, तो सांत्वनिक a की मान ढूंढें।'

'निम्न मानों को ढूंढें। (1) \ \\sqrt[4]{16} \ (2) \ -\\sqrt[3]{64} \'

'फिबोनाच्ची अनुक्रम'

'पॉलिनोमियल $x^{1010} + x^{101} + x^{10} + x$ को $x^3-x$ से विभाजित करने पर शेष की गणना करें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं को सिद्ध करें।'

'जब असमितियों 4x+y ≤9, x+2y ≥4, और 2x-3y ≥-6 को समय हों, तो x^2+y^2 की अधिकतम और न्यूनतम मानों को निकालें।'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले दो संख्याएं ढूंढें।'

'{a_n} अनुक्रम की पहली वस्तु $a_1=1$ और पुनरावृत्ति सूत्र $a_{n+1} = \\frac{3(n+1)}{n}a_{n}$ द्वारा परिभाषित है।'

'n को 5 से अधिक पूर्णांक मानते हुए, असमीकरण 2^{n}>4 n+1 को सिद्ध करें।'

'(1) \ \\frac{a+2}{a-\\frac{2}{a+1}} \'

'आइटम 21, और -903'

'निम्नलिखित अनुक्रम को एक अरिथमेटिक श्रेणी या ज्यामितिक श्रेणी मानिए।\n1. अनुक्रम 4, 7, 10, 13\n2. अनुक्रम 3, 6, 12, 24'

'चलो स्वाभाविक संख्याओं के योग और अंकगणित श्रंखलाओं के के योग की समीक्षा करें!'

'धरावही सूत्र ढूंढें जिसे $a_ {1} = 1, a_ {n + 1} = 2a_ {n} + 3 ^ {n}$ द्वारा परिभाषित श्रृंखला $\\ left \\ {a_ {n} \\ right \\}$ कहा जाता है।'

'साइकिल से स्कूल जाने वाला A छात्र एक दिन में 12 किमी/घंटे की गति से स्कूल गया, और वापस लौटते समय, 6 किमी/घंटे की गति पर दोस्त के साथ चलते हुए साइकिल घिसोते हुए घर लौटा। अब, इस दिन, A छात्र की औसत गति कितनी थी?'

'2 के पहले विशिष्ट कोष्ठक है, 38 के आखिरियों हैं, और 200 का योग है एक अंतरशील श्रेणी के मद संख्या n और समान अंतर d ढूंढें।'

'{an} क्रमगति के पहले सदस्य से एनवां सदस्य तक का योगफल Sn कि Sn=-n^2+24n (n=1,2,3,...) दिया है, जब Sn=-n^2+24n है। जिसके लिए an<0, प्राकृतिक संख्या n की सीमा ढूंढें, और ∑_(k=1)^40|ak| की गणना करें।'

'एक वृत्तीय श्रृंखला {an} का सामान्य अंग खोजें, जिसमें प्रारंभिक अंक a और साधारण अनुपात r है।'

'सामान्य लॉगरिद्मिक मानों का उपयोग करें।'

'3 के पहले शब्द के साथ मानक अंतर की एक अंकगणित श्रेणी का पाँचवाँ अंक तक पता करें।'

'\\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)'

'(4) \ \\\\sqrt[3]{54} \\\\times 2 \\\\sqrt[3]{2} \\\\times \\\\sqrt[3]{16} \'

'निम्नलिखित अनुक्रमों का एनथ शब्द खोजें:\n1। पहली अंक 3 और सामान्य अंतर 2 के साथ अंशक्रम\n2। पहला अंक 2 और सामान्य अनुपात 3 के साथ वृद्धि अवक्रम'

"आरंभिक अंक -10, अंतिम अंक 200, और योग 2945 वाली एक समांतर श्रेणी की मानों 'न' और सामान्य अंतर 'डी' खोजें।"

'48 (अ) 3 (ब) 2 (क) 11 (ि) 25'

'पहले अंश 25, अंतिम अंश -10, और 16 अंशों वाली अंगधनी श्रृंखला का योगफल ढूंढें।'

'जब पहला तथा अंतिम पद -0.2 और 0.6 है, तो एक अंक क्रम में इन दोनों के बीच n अंक हैं, तो कुल होगा 405।'

'गणितिय अभिकलन का उपयोग करके निम्नलिखित समीकरण को सिद्ध करें'

'(2) $\\frac{1}{x+\\frac{1}{x-\\frac{1}{x}}}$'

'(1) पहले मान 7, सामानांतर अनुपात 1/2 वाली धनात्मक श्रेणी की सामान्य शब्द a_{n} खोजें। (2) निम्नलिखित धनात्मक श्रेणियों का सामानांतर और सामान्य शब्द a_{n} खोजें। (अ) 3,-3,3,-3, ... (ब) -16/27, 4/9, -1/3, 1/4, ...'

'\ 65 a=-3, \\quad b=10 \, समाधान \ x=-2,2 \\pm i \'

'पास्कल के त्रिकोण में दिए गए नियमों का अनुसरण करते हुए, चित्र 1 में दिखाए गए पैटर्न बनाएं, जहां सम, भावी संख्या ○ द्वारा प्रतिनिधित है और बहुसंख्या & ● द्वारा प्रतिनिधित है।'

'पहली बार किस पद का मान नकारात्मक होता है?'

'(A>B) संख्या मानों के अंतर (A-B) की मदद से प्रमाणित करें, और निम्नलिखित तकनीक का उपयोग करें:'

'अंकगणित श्रेणी में x और y के मान खोजें।'

'मानक 47: उन दो संख्याओं का तय करना जिनका योग और गुणफल दिया गया है'

'वेगा तारा (वीविंग मेडन स्टार) एक शून्य मान तारा है'

'2020 में सूचीत 2 वें अंक को बताएं कि वह किस पंक्ति में बाईं ओर स्थित है।'

'61 (1) \x=-1, \\frac{1 \\pm \\sqrt{3} i}{2}\'

'1 से 200 तक पूर्णांकों के लिए निम्नलिखित संख्याओं का योग निकालें: (1) 4 की गुणित संख्याएँ (2) 4 की गुणित संख्याएँ नहीं।'

'एक ज्यामितीय श्रेणी का पहला पद और सामान अनुपात ढूंढें। सामान अनुपात एक वास्तव संख्या है। (1) तीसरा पद 18 है, और पाँचवां पद 162 है। (2) दूसरा पद 4 है, और पाँचवां पद -32 है'

'उदाहरण 1 के समान चुनाव में, पार्टी बी और पार्टी सी मिलकर नई पार्टी ई बनाते हैं, जबकि विलय के पहले और बाद में कुल मतों में समान बनाए रखते हैं। अन्य पार्टियों के मतों को विनियमित रखने की माने, तो पार्टी ए के मत 10000, पार्टी डी के मत 4000 और पार्टी ई के मत 15300 हैं। (तालिका में दशमलव के नीचे हिस्से को काट दिया गया है)'

'ज्यामिति श्रृंखला के योग का सूत्र समझें और उदाहरण 13 को जीतें!'

'निम्नलिखित मानों का पता लगाएं।'

'10 वीं लाइन की बाएं से 4 वें अंक को ढूंढें।'

'यदि TR \ \\log _{10} 2=0.3010 \ है, तो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाली प्राकृतिक संख्या \ n \ की मान ढूंढें।'

'श्रृंखला (1) का पहला संख्या ढूँढें।'

'एक भौतिक श्रृंखला की पहली संक्षेपण और समान अनुपात खोजें। समान अनुपात एक वास्तविक संख्या है। (1) तीसरा पद -18 है, षष्ठ पद 486 है (2) षष्ठ पद 4 है, दसवाँ पद 16 है'

'2 वीं क्रम विभाजन अनुक्रम का उपयोग करके, निम्नलिखित अनुक्रम {a_{n}} का सामान्य शब्द ढूंढें। (1) 20, 18, 14, 8, 0, ...'

'जटिल भिन्न की गणना'

'25, -10 और 16 प्रमुखता वाली समांतर श्रेणी के योग S की खोज करें।'

'प्राकृतिक संख्या श्रृंखला को इस प्रकार विभाजित करें कि प्रत्येक समूह में 2n संख्याएँ हों, जैसे: 1,2|3,4,5,6| 7,8,9,10,11,12 | 13,14, …… (1) एनथ ग्रुप में पहली संख्या खोजें। (2) एनथ ग्रुप में शामिल सभी संख्याओं का योग निकालें।'

'अनुक्रम {an}: 5,11,23,41,65,95, ... का सामान्य पद खोजें।'

'दो भिन्न वास्तविक संख्याओं a, b के लिए, अगर a, 2, b एक वही अनुक्रम में एक धारा गणित श्रेणी बनाते हैं, और 1/2, 1/b, 1/a एक अंक श्रेणी बनाते हैं, तो इससे निश्चित होता है कि a=, b=।'

'1338'

'मौलिक उदाहरण 3 चौथे श्रृंखला का निर्धारण (1) ... 3 है और 10 वां अंक 18 है जिसमें समांतर श्रेणी { an }'

'व्यवस्थित संख्या श्रेणी कैसे होती है और एक व्यवस्थित संख्या श्रेणी जिसका प्रारंभिक संख्या 5 है और सामान्य अंतर 2 है का 10वां पद खोजें।'

'(4) स्थानीय तद्द्वय समिति या Sthalīya Taddvay Samiti में किसी बिंदु को ग्रिड बिंदु कहा जाता है जब दोनों समितियाँ पूर्णांक होती हैं। इस समस्या में, "क्षेत्र के अंदर" उस क्षेत्र के भीतर और सीमा रेखा को शामिल करने के लिए है।'

'a को सकारात्मक धारित समय लें। 2x^{2}+y^{2}-1=0, x^{2}+y^2-4x-4y+8-a=0 के समान बिंदु होने के लिए a के मान की श्रेणी का निर्धारण करें।'

'निम्नलिखित वृद्धिश्रेणियों के योग की गणना करें।'

'निम्न सूचियों में पैटर्न खोजें और उसे न के रूप में व्यक्त करें जो पैटर्न का पालन करता है।'

'a1=3, an+1 = an/(2an + 4) द्वारा परिभाषित अनुक्रम {an} का सामान्य शब्द ढूँढें।'

'एक समांतर श्रेणी की 10वीं संख्या ढूंढें जिसमें पहला संख्या 5 है और सामान्य अंतर 3 है।'

'बेसिक 58: बाँटने वाले ज़रिये वार्ग और शेष का पता लगाने के लिए लांब भाग विधि का इस्तेमाल करें।'

'1 से 100 तक पूर्णांकों के योग की गणना करें, जो 6 के गुणित हैं और जो 6 के गुणित नहीं हैं'

'कई समान गुणवत्ता वाली काँच की पट्टियाँ हैं। जब 10 काँच की पट्टियाँ ऊपर से रखी जाती हैं और उनसे जोता जाता है, तो प्रकाश की तीव्रता मौलिक की 2/5 हो जाती है। मौलिक प्रगायन की प्रतिध्वनि को 1/8 से कम करने के लिए और कितनी काँच की पट्टियाँ ऊपर से रखनी चाहिए? जानें कि log10 2 = 0.3010 और log10 5 = 0.6990 है।'

'5, 2 के रेखांश संख्या श्रेणी का 5 वां क्रमशः शब्द खोजें।'

'(2) 100वां शब्द ढूंढिए।'

'दूसरे क्रम से भिन्न धारा का उपयोग करके, श्रृंखला {an} का सामान्य सदिश खोजें। (2) 10,10,9,7,4, ...'

''

'मौलिक 5: एक अंकगणित प्रगति बनाने वाले तीन संख्याएँ'

'63 (1) 3'

'भिन्न समीकरण'

'183-5<a<27 को कैसे लिखा जा सकता है'

''

'समीकरण का प्रमाण (3)...शर्त एक सापेक्षता है'

'रतिद्विघात सूत्र और योग का पता लगाएं।'

'|a|<1, |b|<1 के लिए साबित करें कि असमीया |1+ab|>|a+b| पूर्ण होता है।'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'प्रश्न 6 के अंश f के साथ, वाक्य X और Y के बारे में, सही या गलत का सही संयोजन चुनें।'

'क्रमांक (2) निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर देने के लिए मान्य मान के रूप में पूर्णांक दें।'

'काले वर्ग की एक ओर की लंबाई 9 सेमी होने पर सफेद वर्ग में पूर्णांक किस संख्या क्रम करना चाहिए? सभी संभावित विकल्पों की सूची दें।'

'प्रश्न 2 में अंडरलाइन भाग b के संदर्भ में वाक्य X और Y, नीचे से सही गलत का संयोजन चुनें।'

'11.2mL हाइड्रोजन को पूरी तरह से प्रतिक्रिया करने के लिए, कम से कम 5.6mL ऑक्सीजन की आवश्यकता है। 5.6mL ऑक्सीजन समेत हवा का आयाम, जिसमें 0.21 का हिस्सा है, तालिका 1 के अनुसार 5.6 ÷ 0.21 = 26.66 से 26.7mL के बराबर होता है।'

'व्यक्ति ए विद्यालय छोड़ता है 0 और 60 मिनट बाद, केभी स्टेशन पर 12 से 72 मिनट बाद और एम स्टेशन पर 14 से 74 मिनट बाद पहुंचता है। इसके अतिरिक्त, ट्रेन केबी स्टेशन पर 8 से विभाज्य समय पर उतरती है, और ट्रेन एम स्टेशन पर 5 से विभाज्य समय पर उतरती है, जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। हालांकि, चित्र 1 से इंतजार के समय का अंतर पता नहीं किया जा सकता है, इसलिए एम स्टेशन का चित्र दायीं ओर 2 मिनट शिफ्ट करके बनाया जाता है ताकि स्टेशन पर पहुंचने का समय समान हो जाए। चित्र 2 से पता चलता है कि जब स्टेशन पर बॉल्ड लाइन खंड में पहुंचते हैं तो इंतजार का समय समान होता है। इस मामले में, यदि व्यक्ति ए एम स्टेशन पर विद्यालय छोड़ने का समय निश्चित करता है, तो 45-14=31 मिनट बाद से 50-14=36 मिनट बाद उसे पाया जा सकता है (ए= 45-2=43 मिनट बाद)। यदि केस्टेशन पर निश्चित किया जाए, तो 43-12=31 मिनट बाद से चित्र में दिखाई गई समय तक में समाप्त हो सकता है।'

'अक्षर 1, 2, 3, ..., 143, 144 के साथ 144 कार्ड हैं, जो एक साथ एक स्टैक के रूप में हैं, जिसमें से कार्ड को डाल दिया जाता है, उसके बगल में एक बॉक्स है।'

"डेटा 2, 'वायुचाप के परिवर्तन ग्राफ' के संबंध में प्रश्नों का उत्तर दें। (1) [ ] में उपयुक्त शब्द या प्रतीक का चयन करें और उन्हें एक वृत्त में आकार दें।\nएक तूफान के चारों ओर, जितना करीब उसके केंद्र, उतना ही वायुमंडलीय दाब कम होता है। इसीलिए, हमें स्कूल की अवलोकन डेटा से बनाए गए ग्राफ का पता चलता है कि [(I) [ (कम) ] है। इसके अतिरिक्त, डेटा 2 के ग्राफ से हम सभी निरीक्षण स्थलों पर तूफान के केंद्र के सबसे करीब पहुंचने का समय निर्धारित कर सकते हैं। ग्राफ में टोक्यो और चोशी की तुलना करते हुए, पता चलता है कि टोक्यो का ग्राफ [(III) [ (कम) ] ने तूफान के केंद्र के पहुंचने का सबसे पहला दर्शाया, जबकि चोशी का ग्राफ [(V) [ (उच्च) ] दिखाया।"

'परिभाषा 5 के बारे में'

'(5) चिबा सेक्शन की भूमि परत हर हजार साल में 2 मीटर की गति से स्थापित होती है, इसलिए, 77.3 लाख साल पहले बने ज्वालामुखी वायुमंडल की परत से ऊपर 1.6 मीटर तक स्थापित करने के लिए समय लगा, 1000×1.6/2=800 (साल)। इसलिए, 77.3 लाख - 800=77.22 (लाख साल) से, भू-चुंबकीय क्षेत्र अपने वर्तमान दिशा में बदल गया था।'

'A और B कॉलम के समान सूचक स्थानों पर नंबर की तुलना करते समय, सबसे अधिक अंतर किस संख्या में है? सभी संभावित उत्तर दें।'

'(6) मकुहारी स्टेशन से मकुहारीहोंगो स्टेशन की दिशा में जा रही ट्रेन, पहले 60 सेकंड में 600मी में आगे बढ़ती है, और फिर शेष 17.5 सेकंड में 20 × 17.5 = 350मी आगे बढ़ती है। इसलिए, ट्रेनें एक दूसरे से गुजरने की स्थिति मकुहारी स्टेशन से 950मी की दूरी पर है।'

'1428, 1392 और 1489 में हुए घटनाओं ने किस प्रकार सामयिक क्रम में स्थिति I-II कर दी?'

"जापान मौसम विज्ञान एजेंसी द्वारा घोषित तापमान और अन्य डेटा के औसत मान को वर्ष के अंत में संख्या '1' होने वाले वर्षों से आरंभ करके 30 वर्षों के लिए औसत निकालकर हासिल किया जाता है। 19 मई, 2021 से शुरू करके, 1981 से 2010 के पिछले डेटा की जगह 1991 से 2020 के 30 वर्षों का डेटा उपयोग किया जा रहा है।"

'नदी के उपस्तिथ और नीचे भाग में बिंदु A और B हैं, और उन बीच नौका P और बोट Q एक बार आगे-पीछे संभावित करते हैं। बोट P उपवाहिक बिंदु A से रवाना हुआ, B पर पहुँचने के बाद तुरंत A की ओर लौटता है। बोट Q नीचे के उच्चावाहिक बिंदु B से प्रारंभ करता है, A पर पहुँचने के बाद तुरंत B की ओर लौटता है।\nबोट P और Q समय पर A और B से प्रारंभ करते हैं, पॉइंट C पर मिलते हैं, फिर पॉइंट D पर फिर से मिलते हैं। A और C के बीच की दूरी C और B की दूरी की तुलना में 3:2 अनुपात में है, और C और D 120 मीटर की दूरी में हैं।\nशांत जल में, बोट P और Q की गति स्थिर है, जिसमें बोट Q की गति बोट P की गति का 1.5 गुना है। बोट P को A और B के बीच एक राउंड ट्रिप के लिए 48 मिनट लगते हैं। साथ ही, मान लें कि नदी की वर्तमान की गति स्थिर है।\nउत्तर दें:\n(1) बोट Q को A और B के बीच एक राउंड ट्रिप के लिए कितने मिनट लेता है?'

'जब काले वर्ग की एक साइड की लंबाई 14 सेमी होती है, तो सफेद वर्गों की संख्या है (14+1) x 4 = 60। इसलिए, 60 को दो पूर्णांकों के गुणाकार के रूप में दिखाया जा सकता है: 60 = 1 x 60, 2 x 30, 3 x 20, 4 x 15, 5 x 12, 6 x 10।'

'कृपया उचित रूप से रिक्त स्थान भरें। पॉइंट (2) की लंबवत अक्ष का मान पीढ़ी (ए) की जनसंख्या को दर्शाता है, और पॉइंट (3) की लंबवत अक्ष का मान पीढ़ी (ब) की जनसंख्या को दर्शाता है।'

'(1) क्योंकि प्लास्टिक नली के अंदर का क्षेत्रफल 0.25 सें.मी. है, इसलिए 20°C पर, नाइट्रोजन का आयतन है 0.25 × 14.0 = 3.5 (सें.मी.), और ऑक्सीजन का आयतन है 0.25 × 30.0 = 7.5 (सें.मी.)।'

'मामलों की संख्या जानना\n(1) पहले, A सेवक का 20वां नंबर ढूंढें। चित्र 1 में दिखाया गया है कि जब हजारों के स्थान पर अंक 1 हो, तो सैकड़ों को चार संभावनाएं होती हैं, दुस स्थान पर तीन संभावनाएं होती हैं, और एक के स्थान पर दो संभावनाएं होती हैं, इसलिए एक चार-अंकीय संख्या के लिए, हमें पता चलता है कि बायें से 24वां नंबर 1976 है। यहां से, जिसे चित्र 2 में दिखाया गया है, सबसे बड़े से सबसे छोटे के लिए एक वृक्ष आकृति बनाने की प्रक्रिया करें, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि सबसे छोटे से 20वां नंबर 1947 है। इसके अलावा, मिस्टर ए का कार्ड नंबर 2938 है।'