मूलभूत बीजगणित - बीजगणितीय समीकरण (रेखीय, द्विघातीय)

'निम्नलिखित समीकरणों का समाधान करें:'

'मान की निर्धारण बायांतर घटकों से'

'हर साल के अंत में वापसी की गई राशि x लाख रुपये है, इसलिए प्रत्येक वर्ष के अंत में जमा राशि को शून्य में लेने के लिए x की खोज करें।'

'1, 2, और 3 मूलों वाले घातांक समीकरण का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित रेखाओं की समीकरणों को ढूंढें:\n(1) एक रेखा जो बिंदु (6,-4) से गुजरती है और रेखा 3x + y - 7 = 0 के समानांतर है\n(2) एक रेखा जो बिंदु (-1,3) से गुजरती है और रेखा x - 5y + 2 = 0 के लखीन है'

'इसलिए, दिए गए समीकरण का मान है'

'12 \\times 3 \\cdot 2^{k-1}=3 \\cdot 2^{k}'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के समाधान के प्रकार निर्धारित करें। यहां, a एक स्थिर है। (1) 3x^2-5x+3=0 (2) 2x^2-(a+2)x+a-1=0 (3) x^2-(a-2)x+(9-2a)=0'

'समीकरण $x^{2}-2(k-3) x+4 k=0$ के लिए, स्थायी $k$ की मान की रेंज निर्धारित करें ताकि समीकरण के पास निम्नलिखित वेगों हों:'

'निम्नलिखित समकक्ष समीकरणों को हल करें।'

'जब 0 ≤ α < π/2 हो, तो sin α चित्र [1] में बिंदु P की y अवस्था है, और 2β (0 ≤ 2β ≤ 2π) OQ और OR के त्रिज्याओं को दर्शाता है।\n∠ AOQ=∠ BOP= π/2 - α है, इसलिए\n2β₁ = π/2 - α, 2β₂ = 2π - (π/2 - α)\nइसलिए β₁ = π/4 - α/2, β₂ = 3/4π + α/2\n\nजब π/2 ≤ α ≤ π हो, तो sin α चित्र [2] में बिंदु P की y अवस्था है, और 2β (0 ≤ 2β ≤ 2π \nप्राधिकारी क्षेत्र है। ∠AOQ=∠BOP=α - π/2, इसलिए2β₁ = α - π/2, 2β₂ = 2π - (α - π/2)\n\nअतः, β₁ = -π/4 + α/2, β₂ = 5/4π - α/2\n0 ≤ α < π/2 होने पर\nα + β₁/2 + β₂/3 = α + 1/2(π/4 - α/2) + 1/3(3/4π + α/2) =11/12α + 3/8π\n\nइसलिए 3/8π ≤ α + β₁/2 + β₂/3 < 5/6π है\nजब π/2 ≤ α ≤ π हो\nα + β₁/2 + β₂/3 = α + 1/2(-π/4 + α/2) + 1/3(5/4π - α/2) = 13/12α + 7/24π\nइसलिए 5/6π ≤ α + β₁/2 + β₂/3 ≤ 11/8π\n(1) और (2) के आधार पर, 0 ≤ α ≤ π के लिए 3/8π ≤ α + β₁/2 + β₂/3 ≤ 11/8π\ny = sin(α + β₁/2 + β₂/3) सबसे अधिक है जब\nα + β₁/2 + β₂/3 = π/2, अर्थात् 11/12α + 3/8π = π/2, इसलिए α = 3/22π इस समय y का मान 1 है।'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के लिए समाधान के प्रकार निर्धारित करें।'

'निम्नलिखित मानकों और असमीकरणों को हल करने का अभ्यास करें।'

'इस स्थिर m के मान की मान ताकनीकी समीकरण $x^2-mx+3m=0$ के केवल पूर्णांक समाधान हैं और योग्य पूर्णांक समाधान का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के दो समाधानों का योग और गुण कीजिए।'

'निम्नलिखित प्रैक्टिस समस्या का समाधान करें: द्विघात समीकरण की समाधान कीजिए।'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 23 | द्वि-वर्गमीय समीकरणों के समाधान और समीकरण का मान द्वि-वर्गमीय समीकरण $x^{2}+n x+p=0$ के दो समाधान को $a, b$ मानें, और $x^{2}+n x+q=0$ के दो समाधान को $c, d$ मानें। यहां $p, q$ पूर्णांक हैं, और $n$ वास्तविक संख्या है। (1) $p, q$ के अभिव्यक्त करें $(c-a)(c-b)$। (2) सिद्ध करें कि $(a-c)(b-d)(a-d)(b-c)$ एक पूर्ण वर्ग है (किसी पूर्णांक के वर्ग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है)।'

'(n+2) सेकंड बाद की संभावना p_{n+2} की गणना p_n और p_{n+1} का उपयोग करके करें।'

'(1) को समीकरण x^2-k x+3 k-4=0 (1) का विघातक D माना जाए। तो D=(-k)^2-4(3 k-4)=k^2-12 k+16. समीकरण (1) के वास्तव समाधान होने के लिए शर्त D<0 है, इसलिए k^2-12 k+16<0।'

'दी गई 3 रेखाएं, जहां a, b धारक हैं, की यहाँ त्रि \x-y+1=0, x-3y+5=0, ax+by=1\। इसे सिद्ध करें कि जब ये 3 रेखाएं एक ही बिंदु से गुजरती हैं, तो 3 बिंदु \\((-1,1), (3,-1), (a, b)\\) समांकीर्ण होते हैं।'

''

'सम और गुणफल सूत्रों का उपयोग करके त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें।'

'(1) समीकरण को विश्लेषण करें: $6x^{2}-61x+153=0$।'

'क्रमश: 4x + 3y - 17 = 0, 3x - 4y + 6 = 0'

'निम्नलिखित शर्तों के आधार पर समस्या का समाधान करें।'

'निश्चित करें कि बिंदु \\( (x_{1}, y_{1}) \\) से होकर \ x \ अक्ष के लिए लंबवत रेखा का समीकरण।'

'जब वास्तव संख्याओं सहित वास्तव संख्याकरण ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 का काल्पनिक समाधान α होता है, तो सहावित कम्प्लेक्स संख्याओं के बारे में समझाएं और उनकी गुणधर्मों को प्रदर्शित करें।'

'(1) यदि $x^{2}+3x-6=0$ के 2 समाधान $\\alpha, \eta$ हैं, तो एक नए 2 पैमाने का समीकरण निर्धारित करें जिसके समाधान $2\\alpha+\eta, \\alpha+2\eta$ हैं। (2) यदि $x^{2}+px+q=0$ का समाधान $\\alpha, \eta$ है और $\\alpha^{2}, \eta^{2}$ के समाधान वाला एक 2 पैमाने का समीकरण $x^{2}-4x+36=0$ है, तो वास्तवांक स्थायी $p, q$ के मान ढूंढें।'

'निम्नलिखित समीकरणों को संतुष्ट करने वाले α, β, γ के मान ढूँढें: \ \egin{\overlineray}{l} \\alpha^{3}=2 \\alpha^{2}+4, \eta^{3}=2 \eta^{2}+4, \\gamma^{3}=2 \\gamma^{2}+4 \\end{\overlineray} \'

'मुद्रिका समीकरण $x^{2} + (2m + 5)x + m + 3 = 0$ के लिए सभी पूर्णांक $m$ के मान ढूढ़ें जिसके लिए पूर्णांक समाधान होते हैं।'

'अभ्यास: संख्या रेखा पर मूल स्थान O से शुरू करके, सिक्का फेंकें, अगर सिर की तरफ आता है तो 2 यूनिट सकारात्मक दिशा में आगे बढ़ें, और अगर खोपड़ी आती है तो 481 यूनिट सकारात्मक दिशा में बढ़ें। बिंदु n तक पंहुचने की संभावना को pn के रूप में नमित किया जाता है। यहां, n एक प्राकृतिक संख्या है।\n(1) n के लिए 3 से अधिक होने पर, pn, pn-1, pn-2 के बीच संबंध का पता लगाएं।\n(2) pn का मान खोजें।'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'(1) (6, 4) (2) क्रम में (4x + 3y -17 = 0, 3x - 4y + 6 = 0)'

'गणित II'

'संक्रमण संबंध के दोनों पक्षों का रिवर्सल लेने पर \\ \\frac{1}{a_{n+1}}=4+\\frac{3}{a_{n}} \\ यदि \\ \\frac{1}{a_{n}}=b_{n} रखा जाए तो \\ b_{n+1}=4 + 3 b_{n} \\ इसे परिवर्तित करने पर \\ b_{n+1} + 2=3 (b_{n}+2) और \\ b_{1}+2 = \\frac{1}{a_{1}} + 2 = \\frac{1}{\\frac{2}{3}} + 2 = 3 इसलिए, श्रृंखला \\ \\{b_{n}+2\\} पहला अंक 3, सामान्य अनुपात 3 वाली एक धारात्मक श्रृंखला है, जिसमें \\ b_{n}+2 = 3 \\cdot 3^{n-1} \\ यानी \\ b_{n} = 3^{n} - 2 \\ इसलिए \\ a_{n} = \\frac{1}{b_{n}} = \\frac{1}{3^{n} - 2}'

'(2) दो छेदबिंदु A और B की x-निर्देशांक को एल्फा और बीटा कहा जाए, क्रमशः। y=x^{2} और y=m(x+2) से y को मिटाकर हमें x^{2}-mx-2m=0 मिलता है। एल्फा और बीटा इस द्विघातीय समीकरण के दो भिन्न वास्तव समाधान हैं। प्रस्तुतन मानक को D कहें, तो D=(-m)^{2}-4\\cdot 1\\cdot(-2m)=m(m+8)। D>0 होने के कारण हमें पता चलता है कि m(m+8)>0 है, जिससे बोध होता है कि m<-8 और 0 में। साथ ही, समाधान और श्रृंखलाओं के बीच संबंध के अनुसार एल्फा+बीटा=m है। इसलिए, यदि हम रेखाखंड AB के बीच कक्षिका को (x, y) मानकर, तो x=(α+β)/2=m/2 होगा। साथ ही, y=m(x+2)। (2) और (3) से m को मिटाने पर हमें y=2x(x+2) मिलता है, यानी y=2x^{2}+4x। साथ ही, (1) और (2) से हमें पता चलता है कि x<-4 और 0 में। इससे, तलाशी गई वस्तु एक पराबोला y=2x^{2}+4x का भाग है जहां x<-4 और 0<x।'

'जब एक वृत्त का समीकरण परिवर्तित होता है, तो \\((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2\\), इससे पता चलता है कि वृत्त C केंद्र बिंदु (2,1) पर है, और त्रिज्या \\\sqrt{2}\ है।'

'14k को वास्तविक संख्या माना जाए, x के साथ द्विघात समीकरण x^{2}-kx+3k-4=0 की विचार किया जाता है।'

'पूर्णांक a, b, c के लिए निम्नलिखित स्थिति का विचार करें (*।) जब a से c और b से c के लिए ∫(x²+bx)dx = ∫(x²+ax)dx। (1) पूर्णांक a, b, c के लिए (*) और a≠b को पूरा करने पर, a, b का प्रयोग करके c² को व्यक्त करें। (2) c=3 के लिए, (*) और a<b को पूरा करने वाले पूर्णांकों के जोड़े (a, b) को प्राप्त करें। (3) पूर्णांक a, b, c जब (*) पूरा करते हैं और a≠b, तो साबित करें कि c 3 की गुणा है।'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा परिभाषित अनुक्रम {an} का सामान्य स्थान ढूंढें।'

'अभ्यास 2 वक्र y=2x^{3}+2x^{2}+a, y=x^{3}+2x^{2}+3x+b स्पर्शित हैं और स्पर्श रेखा बिंदु (2,15) से गुजरती है, स्थिर a, b के मान और स्पर्श रेखा की समीकरण की खोज करें।'

'अभ्यास 39: x² = x + 3, अर्थात् x² - x - 3 = 0 के 2 समाधान α, β (α < β) हैं, और समाधान और संख्याक रिश्तों से α + β = 1, αβ = -3 प्राप्त होता है। यह साबित करें। इसके अलावा, आवर्ती सूत्र a_{n+2} - (α + β)a_{n+1} + αβa_{n} = 0 है। अंत में a_{n} ढूंढें।'

''

'कृपया दिखाएं कि विशिष्ट डिग्री के रीयल समकोण वाले समीकरण का कम से कम एक रीयल समाधान होता है।'

'एक गणित समस्या सेट 62'

'निम्नलिखित मान की प्राप्ति करें।'

'(3) दो संख्याओं के योग α+β=-4 और गुणज αβ=13 से द्विघात समीकरण और इसके समाधान को ढूंढें।'

'स्थिर संख्या \ a \ के मान के आधार पर समीकरण \\( \\sin ^{2} \\theta-\\cos \\theta+a=0(0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\) के समाधानों की संख्या को वर्गीकृत करें और उत्तर दें।'

'पहला मान a हो और सामान्य अंतर d हो, तो दसवें मान एक होता है और सोलहवां मान पांच होता है, इसलिए a+9d=1 है, a+15d=5 है। इन समीकरणों का समाधान देता है a=-5, d=2/3। पहले मान से नवीं मान तक के योग को Sn कहें। इसलिए S30=1/2*30{2*(-5)+(30-1)*2/3}=140, तथा S14=1/2*14{2*(-5)+(14-1)*2/3}=-28/3। इसलिए, S=S30-S14=140-(-28/3)=448/3'

'अभ्यास 38: उत्तरोंतर श्रृंखला को रूपांतरित करें जैसे a_{n+2} + 4a_{n+1} = -4(a_{n+1} + 4a_{n})। इसलिए, श्रृंखला {a_{n+1} + 4a_{n}} का प्रारंभिक मद a_{2} + 4a_{1} = 9, समानानुपात -4 है, यह एक धारात्मक श्रृंखला है, सिद्ध करें। इसके अतिरिक्त, सिद्ध करें कि a_{n+1} + 4a_{n} = 9·(-4)^{n-1}। अंततः, a_{n} की मान निकालें।'

'द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के दो समाधान $\\alpha, \eta$ के लिए $\\alpha+\eta=-\\frac{b}{a}$, $\\alpha \eta=\\frac{c}{a}$ होता है।'

'तीन मसलों के विभेदक को $D_{1}$, $D_{2}$, और $D_{3}$ के रूप में लिया जाता है। प्रत्येक विभेदक को अमग घन मूल वाला बनाने वाले a के मान की श्रेणी निर्धारित करें। समीकरणों पर आधारित विभेदक परिणाम का उपयोग करें।'

'तीन वास्तविक संख्याएं a, b, c गणितीय प्रगति में क्रमणिका बनाती हैं जिसका क्रम है a, b, c, और एक गणितीय प्रगति है जिसका क्रम है b, c, a। जब a, b और c का गुणज 125 होता है, तो a, b, c के मान खोजें।'

'सी2 की समीकरण से (x-3)^2+(y-a)^2=a^2-4a+5 मिलता है। इस समीकरण को य=x+1 रेखा से दो भिन्न बिंदुओं पर काटने के लिए शर्तें पता करें।'

'गणित II अभ्यास पुस्तिका पृष्ठ 61'

'x^{2}+y^{2}=10\n(3) y=2 x-8\n5 x^{2}-32 x+54=0\nइस द्विघातीय समीकरण का विभेदक को डी माना जाए तो\nगुणांक D को 4 से भाग दिया जाए तो (-16)^{2}-5 cdot 54=-14\nक्योंकि D<0 है, इसलिए इस द्विघातीय समीकरण का कोई वास्तविक समाधान नहीं है। इसलिए, वृत्त(A) और रेखा(3) के बीच कोई संबंधन नहीं है।'

'y = bx - a² / 4'

'जब a = 1 होता है, C₂ की समीकरण x^2-6x+y^2-2y+8=0 होती है। अब, k को एक स्थायी मान मान कर निम्नलिखित समीकरण का विचार करें: k(x^2+y^2-4)+x^2-6x+y^2-2y+8=0। यह एक रेखा बनाने के लिए शर्तों की तलाश करें।'

'यदि D>0 और (α-4)+(β-4)>0 और (α-4)(β-4)>0 हो, तो दोनों समाधान 4 से अधिक होने की शर्त है।'

'क्योंकि रेखा संख्या पीक्यू की बीच बिंदु (3+p)/2, (4+q)/2 सीधी रेखा ℓ पर है, इसलिए'

'दोहरी जड़ वाली तीसरी श्रेढ़ी समीकरण'

'निम्नलिखित 4 वां मान समीकरण को हल करें: x^{4}=4'

'\ a+b+c=1, \\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}=1 \ के लिए साबित करें कि कम से कम एक \ a, b, c \ 1 है।'

'कृपया समीकरण (x-3)^{2}(x+2)=0 के समाधान और इसके फिर से हुए जड़ के बारे में समझाएं।'

'जबकि 2 डिग्री की समीकरण Q(x) को दें। इंटीगर P(x) Q(x) से नहीं बिन बाँटा जा सकता है, लेकिन {$P(x)$}^2 को Q(x) से बाँटा जा सकता है। इस मामले में, 2 डिग्री समीकरण Q(x)=0 एक दोहरी मूल रखता है।'

'क्योंकि वास्तव संख्या सकारात्मक है, इससे $x-2>0$ और $3-x>0$ है। इसलिए, $2<x<3$। और क्योंकि $2\\log_{4}(3-x)=\\log_{2^{2}}(3-x)^{2}=\\log_{2}(3-x)$ है।'

'इसे 2 वीं डिग्री के समीकरण में b के लिए हल करने के रूप में समझें'

'मूल और सहायक संख्याओं के बीच संबंध का प्रयोग करके निम्नलिखित मूल्य का पता लगाएं।'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 27 | दो समीकरणों की समाधान'

'सब्जी A में , प्रत्येक के पास पोषण x₁ 8 ग्राम है, पोषण x₂ 4 ग्राम है, पोषण x₃ 2 ग्राम है; जबकि सब्जी B में, प्रत्येक में पोषण x₁ 4 ग्राम, पोषण x₂ 6 ग्राम और पोषण x₃ 6 ग्राम है। इन दो प्रकार की सब्जियों में से कुछ चुनकर मिश्रित करने और सब्जी जूस बनाने के लिए। लक्ष्य है कि चयनित सब्जियों में पोषण x₁ कम से कम 42 ग्राम, पोषण x₂ कम से कम 48 ग्राम, और पोषण x₃ कम से कम 30 ग्राम हो। जब जूस इतनी कम सब्जियों से बनाए जाए, प्रकार A और प्रकार B की सब्जियों की संख्या A, और सब्जी B, b, का संयोजन है'

'सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए, an + bn + cn = 1 का उपयोग करके cn + 1 को निर्धारित करें।'

'झील 37 पुस्तक पृ॰ 119 दिये गए समीकरण x^2+y^2+lx+my+n=0 के वृत्त का समीकरण ढूंढें। यह वृत्त बिंदु A(8,5) से गुज़रता है, इसलिए 8^2+5^2+8l+5m+n=0; बिंदु B(1,-2) से गुज़रता है, यहां 1^2+(-2)^2+l-2m+n=0; बिंदु C(9,2) से गुज़रता है, इसलिए 9^2+2^2+9l+2m+n=0। सुधार करने से 8l+5m+n=-89, l-2m+n=-5, 9l+2m+n=-85 मिलता है। इन समीकरणों को हल करने से l=-8, m=-4, n=-5 मिलता है। इसलिए, आवश्यक समीकरण है x^2+y^2-8x-4y-5=0। एक और दृष्टिकोण है कि त्रिभुज ABC की बाह्यंतः केंद्रीय बिंदु वांछित वृत्त के केंद्र होता है। AB के लंबवृत्ति का समीकरण y-3/2=-1(x-9/2) है, जिससे y=-x+6। यह 4(x+5)^2+(y-4)^2=r^2 के लिए x=y=0 अंकित करके भी प्रमाणित किया जा सकता है। (1)-(2) ÷ 7 से l+m=-12 मिलता है, (1)-(3) से l-3m=-4 मिलता है, जिससे 4m=-16 इत्यादि मिलता है।'

'उदाहरण 4 | एक सारित श्रृंखला बनाने वाले 3 संख्याएँ\n3 संख्याओं की एक सारित श्रृंखला है, जिनका योग 18 है और उत्पाद 162 है। इन तीन संख्याओं को ढूंढें।'

'(2) एक आयतकार पर्लेलेपिपेड का आयात हो तो V = x y z (2), (3), (4) से, x, y, z त की 3 गुणाकार समीकरण t^3 - 5 t^2 + 8 t - V = 0 के मूल हैं। सकारात्मक संख्याएँ x, y, z की मौजूदगी के लिए शर्त है कि 3 गुणाकार समीकरण (5) के 3 सकारात्मक मूल हों।'

'उदाहरण 42 | निश्चित बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण\nकोई स्थिर मान क हो। रेखा (2k+1)x+(k-4)y-7k+1=0 क किसी भी मान के लिए एक निश्चित बिंदु से गुजरती है। उस निश्चित बिंदु के निर्देशांक A से प्रदर्शित होते हैं। साथ ही, जब इस रेखा की ढाल 1/3 होती है, तो k का मान B द्वारा प्रदर्शित होता ह।\n[फुकुओका विश्वविद्यालय]'

'a³ - a² - b = 0 या 9a + 27b - 1 = 0 जहाँ a ≠ 1/3'

'मूल एक सकारात्मक संख्या है, जो 1 के बराबर नहीं है।'

'एक समीकरण के व्यक्तिगत मौल प्राप्त करने के लिए शर्त खोजें।'

'एकीकृत अभ्यास'

'दो संख्याओं के योग और गुणाकार का उपयोग करके द्विघात समीकरण ढूंढें।'

'उदाहरण 18 सममित समीकरण का मान (2)\n2 वां डिग्री के समीकरण $2 x^{2}+4 x+3=0$ के दो विलोम $\\alpha, \eta$ के लिए, निम्नलिखित समीकरणों के मान निकालें।\n(1) $\\alpha^{5}+\eta^{5}$\n(2) $(\\alpha-1)^{4}+(\eta-1)^{4}$'

'उदाहरण 38 पड़ोसी 3 मानों के बीच गतिविधि सम्बंध (2)'

'रियल संख्या संकेतक वाली 2 वर्ग समीकरण ax² + bx + c = 0 के समाधान और भेदक दिखाएं।'

'जब 2x - y - 1 = 0 और x + 5y - 17 = 0 के छेद से गुजरने वाली रेखा 4x + 3y - 6 = 0 के साथ समानांतर हो जाती है, तो समीकरण की खोज करें।'

'(1) दो संख्याओं के योग और उघान से द्विघात समीकरण ढूंढें α+β=7 और उघान αβ=3, और जड़ों के लिए हल करें।'

'निम्नलिखित समस्या का समाधान करें।'

'(1) दो संख्याओं के योग और गुणाकार का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ें ढूंढें।'

'उदाहरण 17 | सममित संकेतों का मान (1)\nद्वितीय उपश्लोक x^{2}+3x+4=0\n(1) \\alpha^{2}\eta+\\alpha\eta^{2}\n(4) \\alpha^{3}+\eta^{3}\nमील की दो घातों को \\alpha, \eta मानकर, निम्नलिखित संकेतों के मान का पता लगाएँ।\n(2) \\alpha^{2}+\eta^{2}\n(3) (\\alpha-\eta)^{2}\n(5) \\frac{\eta}{\\alpha}+\\frac{\\alpha}{\eta}\n(6) \\frac{\eta}{\\alpha-1}+\\frac{\\alpha}{\eta-1}'

'(2) में जड़ों और संकेतकों के बीच संबंध है α+β=-p, αβ=q। x²+qx+p=0 में, जड़ों और संकेतकों के बीच संबंध है α(β-2)+β(α-2)=-q, α(β-2)+β(α-2)=p, 2αβ-2(α+β)=-q। इसलिए, 2q+2p=-q है, जिससे 2p+3q=0 होता है। (2) से हमे प्राप्त होता है कि αβ+αβ-2(α+β)+4=p, और (1) से हमे प्राप्त होता है कि q(q+2p+4)=p, इसलिए p=-3/2q है। (6) को (5) में प्रतिस्थापित करके सरलीकरण करने पर 4q²-11q=0 होता है, जिससे q(4q-11)=0 मिलता है। इसे हल करने पर q=0 और 11/4 मिलता है। जब q=0 होता है, तो (6) से हमे मिलता है कि p=0। इस स्थिति में, α=0, β=0 है, जो यह धारणा विरोधित करता है कि α और β एक समान नहीं हैं। जब q=11/4 होता है, तो (6) से हम विलेखित करते हैं कि p=-33/8।'

'2 वक्रीय समीकरण (1) और (2) के विभाज्यक को D1, D2 व्यक्त करते हैं।'

'समीकरण को सरल रूप में लिखें'

'क्योंकि बिंदु (1, 2) रेखा (3) पर है, इसलिए a+2b=1'

'य=-2x+3 को पूरा करने के लिए, -3 ≤ x ≤ 2 सीमा में x के लिए y के संभावित मानों की श्रेणी ढूंढें।'

'निम्नलिखित समीकरण को साबित कीजिए:\n\na^3 + b^3 + c^3 = -3(a + b)(b + c)(c + a) \nजहां, a + b + c = 0।'

'तीसरी श्रेणी की समीकरण के समाधान और सरकारियों के बीच संबंध दिखाएं।'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले स्थायी k की मूल्य निर्धारित करें:\n(1) एक समाधान दूसरे समाधान की दोगुनी है\n(2) एक समाधान दूसरे समाधान का वर्ग है'

'वास्तविक संख्या a, b के लिए, f(x) = x^3 - 3 a x + b को लिखें। -1≤x≤1 पर |f(x)| की अधिकतम मान को M कहें।'

'मान बी की ज्यामिति पर तत्व प की निर्देशांक (ए, ब) है। यदि तत्व प से होने वाली म ढाल वाली रेखा है y = m(x-a) + b, जो की कर्व C से गुजरती है, के अंशक का x आधार समीकरण x^3 - x = m(x-a) + b की वास्तव संख्या समाधान है। जब इस समीकरण के तीन भिन्न वास्तव समाधान होते हैं, तो रेखा ℓ संविद को विभिन्न तीन बिन्दुओं पर काटती है।'

'अभ्यास'

'निम्नलिखित स्थितियों को पूरा करने वाले k का मान खोजें।'

'दो विभिन्न बिंदुओं \\( (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \\) से गुजरने वाली रेखा की समीकरण ढूंढें।'

'मान लें कि दिया गया श्रेणी सामंजसी प्रगति है जिसका पहला पद 5 है और सामान्य अंतर -7 है। अगर इस सामंजसी प्रगति का n वां पद -1010 है, तो 5+(n-1)×(-7)=-1010। इस समीकरण का समाधान करने पर 7n=1022 मिलता है, जिसका मतलब n=146 है (एक प्राकृतिक संख्या)। इसलिए, दिया गया श्रृंखला एक सामंजसी प्रगति हो सकती है। इसके अतिरिक्त, -1010 को 146वें पद कहा जाता है।'

'दिए गए गणितीय पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में।'

'अभ्यास 39⇒यह पुस्तक पृ॰91\\ तीन मान समीकरण के समाधान और संख्या के बीच संबंध से \\ α+β+γ=2, \\αβ+βγ+γα=0, αβγ=4\\'

'जब समीकरण $x^{2}+y^{2}-4 k x+(6 k-2) y+14 k^{2}-8 k+1=0$ एक वृत्त को दर्शाता है\n(1) समांतर $k$ के मान की रेंज ढूंढें।\n(2) जब $k$ इस सीमा में बदलता है, तो वृत्त के केंद्र का पथ पता करें।'

'x-2y+z=4 और 2x+y-3z=-7 को संतुष्ट करने वाले x, y, z के सभी मूल्यों के लिए, ax^2+2by^2+3cz^2=18 सत्य होना चाहिए। इस स्थिति में, स्थिर a, b, c की मानें निर्धारित की जानी चाहिए।'

'प्रमेय x - 2y + z = 4 और 2x + y - 3z = -7 को पूरा करने वाले x, y, z के सभी मानों के लिए, स्थिर a, b, c के मान ढूंढें जो समीकरण 19ax² + 2by² + 3cz² = 18 को संतुष्ट करते हैं।'

'निर्धारित करें स्थायी संख्या a, b, c की मान ताकि समीकरण 3x^2-2x-1=a(x+1)^2+b(x+1)+c x के संदर्भ में एक पहचान हो।'

'निम्नलिखित 3 घातांक समीकरणों के विभिन्न वास्तव समाधानों की संख्या निकालें।'

'लॉगरिद्मिक समीकरण और संख्याओं की शर्तों की पुष्टि करें'

'जब 3 वर्गीय समीकरण $x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0$ के दोहरी वेग होते हैं, तो स्थिर $a$ का मान निकालें।'

'निम्नलिखित रेखाओं के समीकरण ढूंढें।'

'जोड़ 2 और गुणाकार -2 देने वाले 2 संख्याओं को ढूंढें।'

'विकास 52: एक द्विघातीय समीकरण के समाधान के संबंध में प्रमाण समस्या'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के समाधान के प्रकार निर्धारित करें। ध्यान दें कि (4) में k एक स्थिर मान है।'

'निम्नलिखित पोलिनोमियल P(x) = 5x^3 - 4x^2 + ax - 2 को x = 2 और x = -1 से विभाज्य बनाने के लिए शर्तों की खोज करें।'

''

'जब द्विघात समीकरण $x^{2}+2(a+3) x-a+3=0$ के दो भिन्न समाधान एक से अधिक होते हैं, जो दोनों 1 से अधिक हैं, तो स्थायी $a$ के मान की श्रेणी खोजें।'

'द्विघातीय समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के दो समाधान $\\alpha, \eta$ और भेदक $D$ के लिए:\n1. $\\alpha, \eta$ दो भिन्न सकारात्मक समाधान हैं $\\Longleftrightarrow D > 0$ और $\\alpha + \eta > 0$ और $\\alpha \eta > 0$\n2. $\\alpha, \eta$ दो भिन्न ऋणात्मक समाधान हैं $\\Longleftrightarrow D > 0$ और $\\alpha + \eta < 0$ और $\\alpha \eta > 0$\n3. $\\alpha, \eta$ विपरीत चिन्ह वाले समाधान हैं $\\quad \\Longleftrightarrow \\alpha \eta < 0$'

'एक द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों \\\alpha, \eta\ और एक वास्तविक संख्या \k\ के अंतरों \\\alpha-k, \eta-k\ की चिन्हित विवेचना करें\n\nयोग\\( (\\alpha-k)+(\eta-k) \\) और गुणन\\( (\\alpha-k)(\eta-k) \\) की चिन्हितता पर ध्यान केंद्रित करें'

'निम्नलिखित क्यूबिक समीकरणों के लिए विभिन्न वास्तव समाधानों की संख्या निकालें।'

'स्थिरांक $m$ के मान की वह सीमा निर्धारित करें जिससे द्विघातीय समीकरण $x^{2}+2mx+6-m=0$ के दो भिन्न वास्तव समाधान 1 से अधिक हों।'

'निर्धारित करें स्थिर m के मान की रेंज, ताकि द्विघात समीकरण $x^2 + 2(m-1)x + 2m^2 - 5m - 3 = 0$ निम्नलिखित शर्तों को पूरा करे: (1) दो सकारात्मक वर्गमूल हों। (2) दो भिन्न नकारात्मक वर्गमूल हों। (3) विपरीत चिह्न वाले वर्गमूल हों।'

'यदि x^3-x^2+ax+b बहुपद x^2+x+1 से विभाज्य होता है, तो a, b के मान ढूंढें।'

'एक व्यूचित्र सीरीज़ की पहली मान और सामान अनुपात खोजें जिसमें पहले तीन मानों का योग -7 हो और तीसरे से पांचवें तक मानों का योग -63 हो।'

'उच्चतम डिग्री का समीकरण: इस समीकरण के एक और विघात और स्थायी $a$ की मान की खोज करें, जिसे $x^3-ax^2+(3a-1)x-24=0$ वाले समीकरण में एक विघात $x=2$ माना गया है।'

'शर्त सहित पहचान'

'द्विघातीय समीकरण $4 x^{2}+4(m+2) x+9 m=0$ के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।\n(1) जब इकाई के $m$ के लिए दो भौतिक समाधान होते हैं, तो स्थिर $m$ के मान की चरण की जाजकता कीजिए।\n(2) जब एक दोहरी व्यवस्था होती है, तो स्थिर $m$ के मान और उस सब समय का समाधान निकालिए।'

'यदि x^{2}-3x+4=0 एक समीकरण है और उसके दो घात क्षेत्रों को α, β कहा जाता है, तो निम्नलिखित समीकरणों के मान की खोज करें।'

'द्वि-पद समीकरण ax^2 + bx + c = 0 का सूत्र दिखाएं और इसके विशाल को निकालें।'

'0 ≤ θ < 2π के लिए निम्नलिखित समीकरणों का हल करें: (1) 2cos²θ - √3sinθ + 1 = 0 (2) 2sin²θ + cosθ - 2 = 0'

'स्थिर x के लिए समीकरण के अंश ए, बी, सी के मान तय करें जिससे समीकरण x^2+2x-1=a(x+3)^2+b(x+3)+c यथार्थ हो।'

'यदि बीजगणितीय समीकरण $x^{3}+x^{2}+x+3=0$ के तीन समाधान को $α, β, γ$ के रूप में दिया गया है, तो $α^{2}+β^{2}+γ^{2}$ और $α^{3}+β^{3}+γ^{3}$ के मान ढूंढें।'

'जब तीसरे श्रेणीक समीकरण $x^{3} + (a+1)x^{2} - a = 0$ का एकाधिक मूल होता है, तो स्थायी $a$ की मान ढूंढें।'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के दो समाधानों का योग और गुणन ढूंढें।\n(1) $x^{2}-4 x-3=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x+6=0$\n(3) $3 x^{2}=5-4 x$'

'निम्नलिखित रेखाओं के समीकरण ढूंढें:'

'बेसिक 62: उच्च अंक समीकरणों का समाधान (2) - फैक्टर सिद्धांत का उपयोग'

'समाधान: सूत्र x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a का उपयोग करें, यहां a = 1, b = -3, c = -3 है। उत्तर: x = 3 या x = -1।'

''

'निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के समाधानों के प्रकार निर्धारित करें। यहां, समीकरण (4) में k एक स्थिर है।'

'2x^{2}+4x-1=0 का समाधान और जवाब ढूंढें।'

'176 (1) y = 4x - 9 (2) y = -2x, y = 6x - 16'

'एक द्विघात समीकरण के समाधान और इसके संकेतकों के बीच संबंध दिखाएं। एक द्विघात समीकरण के समाधान को एक्स^2+बीएक्स+सी=0 के लिए α और β के रूप में मान लें, तो समाधान के सूत्र का उपयोग करके निम्नलिखित संबंध दिखाएं।\n\n1. समाधान की योग अ+बीटा\n2. समाधान की गुणा अब'

'ज्ञात करें क्रमलिंगी समीकरण $a_{1}=1, a_{n+1}=2a_n+3^n$ द्वारा परिभाषित अनुक्रम का सामान्य टर्म।'

''

'यदि द्विघातीय समीकरण x^2+2x-4=0 के दो निष्कर्ष अल्फा, बीटा हैं, तो अल्फा+2 और बीटा+2 के दो निष्कर्ष वाला एक द्विघातीय समीकरण बनाएं।'

'क्या आप x और y के मान ढूंढ सकते हैं जब हमें क सभी मानों के लिए (k-1) x + (3-2k) y + 4k-7 = 0 मिलता है?'

'जब द्विघात समीकरण $x^{2}-a x+4=0$ के दो भिन्न समाधान होते हैं, जो दोनों 3 से छोटे होते हैं, तो स्थिरांक $a$ के मान की सीमा का पता लगाएं।'

'विस्तार 53: द्विघातीय समीकरणों के पूर्णांक समाधान (समाधान और सर्कनियों के बीच संबंध का उपयोग करें)'

'उच्च डिग्री समीकरण x^{3}-4 x^{2}+2 x+4=0 का हल करें।'

'बेसिक उदाहरण 62 डिग्री 64 पॉलिनोमियल के संकेत निर्धारित करें (1) ... वास्तविक समाधानों के लिए शर्तें 3 वीं डिग्री की समीकरण $x^{3}+ax^{2}-17x+b=0$ के -1 और -3 को समाधान माना गया है। (1) स्थायी $a$ और $b$ के मान ढूंढें। (2) इस समीकरण के अन्य समाधान ढूंढें।'

'जब द्विघात समीकरण $x^{2}-2 a x+3 a-2=0$ के दो भिन्न सकारात्मक समाधान होते हैं, स्थायी $a$ के मान की सीमा ढूंढें।'

'बहुपद P(x)=x^{3}-2 x^{2}+qx+2r का मूल्यांकन करें। जब 3 वां समीकरण P(x)=0 के समाधान -2 और दो प्राकृतिक संख्याएँ α, β(α<β) होती हैं, तो α, β, q, और r की मानें ढूंढें।'

'जब द्विघातीय समीकरण x^2+2mx+15=0 निम्नलिखित विद्युतों का होता है, स्थायी m के मान और दो विद्युतों को ढूंढें।'

'क्वाड्रेटिक समीकरण के समाधान के लिए सूत्र खोजें।'

'जब दो समाधान इस द्विघात समीकरण $3 x^{2}+6 x+m=0$ की निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं, तो स्थायी $m$ की मान और दो समाधान का पता लगाएं।'

'25 शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम {an} की सामान्य शर्त ढूँढें। (1) a1=1, an+1=2an-3 (2) a1=1, 2an+1-an+2=0'

'तीसरे श्रेणी की समीकरण $x^{3}+(a-5)x^{2}+(a+8)x-6a-4=0$ का विचार करें।'

"निम्नलिखित पाठक के आधार पर 'उच्च-डिग्री समीकरण' की जानकारी खोजें।"

'\ 67 a=1,10 \'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल करें।'

'मान एम के लिए मान और दो समाधान को ढूंढें, जिससे यह दो परिस्थितियों को पूरा करता है: (1) एक समाधान दूसरे का तीन गुना है। (2) दो समाधानों का अनुपात 2:3 है।'

'द्विघात समीकरण का समाधान'

'तीन बिंदुओं के माध्यम से गुजरने वाले वृत्त की समीकरण ढूंढें।'

'विकास 69: उच्च क्रम वाले समीकरणों का समाधान (3)'

'(5) \ x= \\pm 2, \\pm \\frac{1}{2} i\'

'समीकरण A=B को साबित करने के 3 तरीके\n\nसमीकरण A=B के साथ कभी-कभी शर्तें लगी होती हैं, लेकिन मूल रूप से यह एक पहचान है। समीकरण को साबित करने के तरीके निम्नलिखित 3 प्रकार हैं:\n\n(1) दोनों पक्षों की तुलना करके, अधिक जटिल पक्ष को परिवर्तित करके सरल पक्ष को प्राप्त करना।\n\nA=⋯⋯ परिवर्तन ⋯⋯ = B\n(या B =⋯⋯ परिवर्तन ⋯⋯ = A)\n\nइसलिए A = B\n\n(2) दोनों पक्षों को अलग-अलग परिवर्तित करके, समान अभिव्यक्ति C प्राप्त करना।\n\nA=⋯⋯ परिवर्तन ⋯⋯ = C\n\nB =⋯⋯ परिवर्तन ⋯⋯ = C\n\nइसलिए A = B\n\n(3) A - B को परिवर्तित करके, A - B = 0 को दिखाना।\n\nA - B =⋯⋯ परिवर्तन ⋯⋯ = 0\n\nइसलिए A = B'

'मान लें कि TR वास्तविक संख्याएँ हैं, और समीकरण x ^ {3}-2 x ^ {2} + ax + b = 0 का x = 2 + i एक विकल्प है। समीकरण के सभी मूलों के मान और तय करें।'

'जब समीकरण $a\\left(x^{2}-x+1\\right)=1+2 x-2x^{2}$ की वास्तव संख्या समाधान होता है, तो स्थिर $a$ के मान की श्रेणी ढूंढें।'

'निम्नलिखित रेखाओं की समीकरण ढूंढें:\n(1) अंक (3, 0) से गुजरते हुए, 2 की ढाल\n(2) अंक (-1, 4) से गुजरते हुए, -3 की ढाल\n(3) अंक (3, 2) से गुजरते हुए, x-अक्ष के लगभग ऊपर\n(4) अंक (1, -2) से गुजरते हुए, x-अक्ष के समानांतर'

'समीकरण $y=4^{x}+4^{-x}-2^{x+1}-2^{1-x}$ में $x=a$ पर किसी न्यूनतम मान $b$ को लेता है। $|a+b|$ का मान निकालें।'

'46 (1) 6x^2 + x - 12 = 0 (2) 4x^2 - 12x + 7 = 0 (3) 3x^2 - 4x + 3 = 0'

'निर्धारित करें स्थिर a, b, और c के मान जो नीचे दिए गए समीकरण में x के लिए एक समतात्मक है: (1) (a+b-3) x^{2} + (2a-b) x + 3b - c = 0'

'तीसरे श्रेणी के समीकरण में दोहरी जड़ें होने की शर्तों पर अध्ययन करें'

'तीसरे समीकरण को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करके निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करें: a^{2} + (-7a + 25)^{2} = 25। सरलीकरण करने पर, हमें निम्नलिखित द्विघातीय समीकरण मिलता है: a^{2} - 7a + 12 = 0। इसलिए, हमें निम्नलिखित समाधान मिलता है: (a - 3)(a - 4) = 0, इसलिए a = 3, 4। इन मानों को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्नलिखित मिलता है: जब a = 3, तो b = 4; जब a = 4, तो b = -3। इसलिए, टैंजेंटों के समीकरण निम्नलिखित हैं: 3x + 4y = 25, 4x - 3y = 25'

'मौलिक 43: सममित समीकरण के दो समाधानों का मान'

'फ़ंक्शन f(x) = a x^3 + 3 a x^2 + b(-1 ≤ x ≤ 2) का अधिकतम मान 10 है, और न्यूनतम मान -10 है तो, स्थिर a, b के मान खोजें।'

'जब S_{2}=2 S_{1} हो, तो \\frac{1}{6}(m+3)^{3}=9, अर्थात (m+3)^{3}=54, m एक वास्तविक संख्या है, इसलिए m=-3+3 \\sqrt[3]{2}'

'जब k=0 होता है, तो एक वास्तविक समाधान होता है; जब k=-1 होता है, तो एक दोहरी विद्यमान होता है; जब -1<k<0, 0<k होता है, तब दो विभिन्न वास्तविक समाधान होते हैं; जब k<-1 होता है, तो दो अलग अर्क समाधान होते हैं।'

'बेसिक 42: द्विघातीय समीकरण के दो समाधानों का योग और गुणा'

'k को एक स्थिर मान लें। समीकरण kx^2 + 4x - 4 = 0 के समाधानों के प्रकार निर्धारित करें।'

'l1 और l2 लाइन्स के समांतर या लंबी होने वाले m के मानों को खोजें।'

'निम्नलिखित पक्ति के विभिन्न वास्तव समाधानों की संख्या ढूंढें:\n(1) -x^{3}+3x^{2}-1=0\n(2) x^{3}-3x^{2}+3x+1=0'

'क्या है जो k के लिए (k+2)x-(1-k)y-k-5=0 हमेशा सत्य हो रहा है, x और y की मान को ढूंढें।'

'निम्नलिखित समीकरण और असमिकाओं को हल करें।'

'(3) (1) के लिए केवल काल्पनिक समाधान होने की स्थिति है'

'द्विघात समीकरण x^2=k के समाधान ढूंढें। यहाँ, k को कोई भी वास्तव संख्या माना गया है।'

'यदि एक समांतर श्रृंखला का पहला सदस्य a है, और रैखिक अनुपात r है, जिसमें दूसरा सदस्य 4 है और पहले से तीसरे सदस्य का योग 21 है। इसलिए, हमारे पास a= और आम अनुपात r= है।'

'क्या q, r को वास्तविक संख्याएं मानते हुए, हम बहुपद P(x)=x^{3}-2 x^{2}+q x+2 r पर ध्यान देते हैं। अगर 333 वीं समीकरण P(x)=0 के समाधान -2 हैं और दो प्राकृतिक संख्याएं \\( \\alpha, \eta(\\alpha<\eta) \\) हैं, तो \ \\alpha, \eta \ और \ q, r \ ढूंढें। [केंद्र परीक्षा के समान]'

'निम्नलिखित समीकरण और असमिकाओं का समाधान करें।'

'उदाहरण 3x^2+3x+1=0 का समाधान है'

'विकास 54: एक द्विघात समीकरण की समाधान की मौजूदगी की सीमा (2)'

'निम्नलिखित समीकरणों का समाधान करें:'

'A और B ने x के लिए समान द्विघातीय समीकरण को हल किया। A गलती से x² का संचारक 26-2/3 के रूप में प्राप्त किया, जिसका समाधान 1 है। B गलती से स्थाई समय को -1/3 के रूप में प्राप्त किया, जिसका समाधान 1/2 है। मूल सही द्विघात समीकरण के समाधान ढूंढें।'

'जब तीसरे गुणित समीकरण $x^{3}-3 a^{2} x+4 a=0$ का तीन विभिन्न वास्तव जड़ें होती हैं, तो स्थायी $a$ के मान की सीमा का पता लगाएं।'

'समकोणी समीकरण $x^{2}+(m+1)x+m-1=0$ पर विचार करें।'

'मानक 65: अधिक क्रम की समीकरणों के संकेतक निर्धारित करना (2) - काल्पनिक समाधानों के लिए शर्तें'

'जब क्यूबिक समीकरण $x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0$ का दोहरा मोध होता है तो स्थायी $a$ की मान की खोज करें।'

'मानक 49: एक द्विघातीय समीकरण के समाधान का अस्तित्व सीमा (1)'

'एक वृत्तीय श्रृंखला की पहली श्रेणी और सामान्य अनुपात तलाशें जो कि तीसरे श्रेणी से पांचवी श्रेणी तक का योग -63 है और पहली श्रेणी से तीसरी श्रेणी तक का योग -7 है।'

'मूलभूत 41: एक द्विघातीय समीकरण के लिए विचारणीय मूल, दोहरे मूल होने की शर्तें'

'तीसरी घातांक समीकरण $x^{3}-2 x+1=0$ के तीन समाधान को $\\alpha, \eta, \\gamma$ मानते हुए, निम्नलिखित समीकरणों का मान पता करें।'

'विकास अध्ययन - एक क्यूबिक समीकरण के वास्तविक समाधानों की संख्या (3) अत्यधिक मूल्य का उपयोग'

'58 भाग, शेषों के क्रम में (1) x^2+2x-6, -10 (2) x^2-5x+4, 3'

'प्रथम से एनथ टर्म तक योग \ S_{n} \ को प्रस्तुत करने वाले अनुक्रम \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ के सामान्य पद ढूँढें।'

"जब समीकरण से दिए गए बहुपद से प्रकट किया गया कि f(x) f'(x)-f(x) = x²+1, f (x) एक डिग्री कार्य है और, f(x) = ."

'मानक 40: द्विघाती समीकरणों के समाधान के प्रकारों का विवेचन (2)'

'किसी समीकरण को x-2y+6=0 की रूप में पुनर्व्यवस्थित करके, हम इसे y=\\frac{1}{2}x+3 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, और इसका मतलब है कि यह एक कोणन वाली रेखा दिखा रही है जिसका ढाल \\frac{1}{2} है और y-अंतर 3 है।'

'मानक m का मान ऐसा निश्चित करें जिससे द्विघात समीकरण $x^{2}+2(m-1)x+2m^{2}-5m-3=0$ निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता हो: (1) दो सकारी जड़ें हों, (2) दो भिन्न नकारात्मक जड़ें हों, (3) विभिन्न चिह्नों की जड़ें हों।'

'विस्तार 66: एक क्यूबिक समीकरण के समाधान और इसके समयकों के बीच संबंध'

'अध्याय 3 उच्च उपयुक्त समीकरण - 49\nEX लेट a, b, c, d वास्तव संयम हैं। पोलिनोमियल P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d को x^{2}-1 से विभाजित करने पर x+2 से शेष रहता है, और x^{2}+1 से विभाजित करने पर 3x + 4 से शेष रहता है। इस मामले में a=->, b=-1, c=d=√। [शोनन विश्� विद्यालय]\nP(x) को x^{2}-1 यानी (x+1)(x-1) से विभाजित करने पर श्रे� Q(x) वा x^{2}+1 से विभाजित करने पर श्रेरं R(x) आ�े मामले, निम्न बराबरियां योग्य हैं।\n\nP(x) = (x+1)(x-1)Q(x) + x+2\nP(x) = (x^{2}+1)R(x) + 3x+4\nP(1) = 3, P(-1) = 1, P(i+4+3i'

'अध्याय 7 घातांकीय और लोगरिद्मिक कार्य'

'उस रेखा की समीकरण ढूंढें जो दो भिन्न बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से होती है।'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरण के दो विश्वास का योग और गुण ढूंढें।'

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'उन दो संख्याओं को खोजें जिनका योग 2 है और गुणाकार -4 है।'

'जब तीसरी शक्ति समीकरण $x^{3}-3a^{2}x+4a=0$ के तीन भिन्न वास्तविक वर्ग होते हैं तो स्थायी $a$ के मान की श्रेणी ढूंढें।'

'विकास 68: तीन विभिन्न वास्तव समाधान वाले त्रिघात समीकरण के लिए शर्तें'

'सिद्ध करें कि यह समीकरण सत्य है जब a+b+c=0 हो।'

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'डाउनलाइन भाग g के बारे में, स्थानीय भूमि, संवाहन और परिवहन मंत्रालय ने पिछले साल भी सब्सिडी अनुरोध आयोजित किया था जिसका उद्देश्य अगली पीढ़ी की वाहनों को बढ़ावा देना था। अगली पीढ़ी के वाहनों के बारे में निम्नलिखित वक्तव्य X・Y की सही या ग़लत संयोजन के रूप में, एक सही उत्तर चुनें।'

'सही संकेत चुनें जो ब्लॉक A के द्वारा ब्लॉक C के साथ आंकित दूरी को प्रदर्शित करता है, और प्रतीक प्रदान करें।'

'1 (1) \y=mx-2m+2 \\n(2) \u=\\frac{m-1}{m}, v=1-m \\n(3) \y=\\frac{1}{x-1}+1 \, चित्र छोड़ दिया गया है'

'सिद्ध करें कि निम्नलिखित समीकरणों का निर्दिष्ट सीमा में कम से कम एक वास्तव संख्या समाधान है।'

'यदि a एक वास्तव संख्या है, तो समीकरण f(g(x))+f(x)-|f(g(x))-f(x)|=a के वास्तव समाधानों की संख्या निकालें।'

'कृपया मानक से विभाज्य स्थान को हटाएं और निम्नलिखित समीकरण का समाधान करें।\n(2x-3)(x^{2}-3x+1)=0'

'वह पाँचवीं उपादि बहुपद f(x) खोजें जो एक साथ शर्तों (A) और (B) को पूरा करता है।'

'आइए a, b को वास्तविक संख्याएँ मानें, और मान लें कि घातीय समीकरण x^3+ax^2+bx+1=0 का काल्पनिक जड़ α है। दिखाएं कि α का संयुक्त ज्यामिति संख्या, जिसे α¯ से दर्शाया गया है, भी इस समीकरण का एक जड़ है। α और α¯ के माध्यम से तीसरा जड़ β और सीमा a, b को व्यक्त करें।'

'वेग, त्वरण, स्थान और दूरी (रैखिक गति) ढूंढें।'

'सिद्ध करें कि जब a>1 हो, तो समीकरण a x^2 - 2 x + a = 0 (1) के दो समाधान अल्फा, बीटा के रूप में होंगे, और समीकरण x^2 - 2 a x + 1 = 0 (2) के दो समाधान गामा, डेल्टा के रूप में होंगे। ए(अल्फा), बी(बीटा), सी(गामा), डी(डेल्टा) को लेकर सिद्ध करें कि चार बिंदु ए, बी, सी, डी एक समान वृत्त पर स्थित हैं।'

'मूल आठ: अव्यवहारिक समीकरणों और अव्यवहारिक असमीकरणों के बीच बीजगणितीय समाधान'

'हाइपरबोला $x^{2}-4 y^{2}=4$ पर एक बिंदु $(a, b)$ पर एक सम्मिश्र कोण वाली रेखा होने पर $m$ को मुख्य करक, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। मान लें कि $b \neq 0$।\n(1) $a, b, m$ के बीच संबंध ढूंढें।\n(2) इस हाइपरबोला पर एक बिंदु और रेखा $y=2x$ के बीच की दूरी को $d$ कहा जाता है। $d$ की न्यूनतम मान ढूंढें। साथ ही, $d$ का न्यूनतम मान प्रदान करने वाले क्षेत्र पर बिंदु की आवंटित कर्धाएँ।[कनगावा विश्वविद्यालय]'

'निम्नलिखित समीकरणों को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का सेट किस ज्यामितीय आकृति द्वारा गठित होता है?'

'समीकरण \ \\frac{1}{x} + \\frac{1}{x-1} + \\frac{1}{x-2} + \\frac{1}{x-3} = 0 \ को हल करें।'

'20 (1) \ |\\alpha|^{2} \\n(2) छोड़ दिया (3) \ a=b \ के लिए अधिकतम मान \ \\frac{1}{2} ; a=1, \\quad b=3 \ है और न्यूनतम मान \ \\frac{3}{10} \ है'

'निम्नलिखित समीकरण और असमिकाएं हल करें।'

'मान लें कि दो जटिल संख्याएं w और z (z ≠ 2) w = iz/(z-2) को संतुलित करती है।\n[हिरोसाकी विश्वविद्यालय]\n(1) जब बिंदु z मूलबिंदु पर केंद्रित, अर्ध-व्यास 2 वाले वृत्त के परिधि पर गति करता है, तो बिंदु w किस प्रकार के आकार का पता लगाता है?\n(2) जब बिंदु z काल्पनिक ध्रुवीय अक्ष पर गति करता है, तो बिंदु w किस प्रकार के आकार का पता लगाता है?\n(3) जब बिंदु w वास्तविक अक्ष पर गति करता है, तो बिंदु z किस प्रकार के आकार का पता लगाता है?'

'रेडियम जैसे विकर्णक पदार्थ, प्रत्येक क्षण की मात्रा के अनुसार मास कम होते हैं। यथाप्रमाण स्थायी k (k>0) और प्रारंभिक मास A के साथ समय t कार्यकी मास x का प्रकटण। साथ ही, रेडियम के लिए, मास को आधा करने में 1600 वर्ष लगते हैं। 800 वर्षों में, प्रारंभिक मात्रा का लगभग कितना प्रतिशत बचा रह जाएगा? निकटतम पूर्ण संख्या तक गोलाकार करें।'

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'असमीकरण \ \\log _{2} 256 x > 3 \\log _{2 x} x\ का हल कीजिए। \\\log _{2} x = a \ मान लें।'

'किसी समीकरण के वास्तव समाधानों की संख्या'

'उन विपरीत संख्याओं z की विचार करें जो शर्तों (A) और (B) को एक साथ पूरा करते हैं। (A) z + i/z वास्तविक है (B) z का कल्पनात्मक हिस्सा सकारात्मक है। (1) |z|=r मानते हैं, r का उपयोग करके z को व्यक्त करें। (2) z के लिए खोजें जिसके वास्तविक हिस्सा अधिकतम है।'

'ऐसे कि a ≠ 0 है। समीकरण f(x) = 2ax - 5a^2 के लिए, सांख्यिक a की मान ढूंढें जो f^{-1}(x) और f(x) बराबर हो।'

'मानें कि एक क्रम {a_{n}} और पहले सदस्य से एनथे सदस्य तक का योग है'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरणों का समाधान करें:\n(1) $x^{2}-3 x+2=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x-35=0$\n(3) $12 x^{2}+16 x-3=0$\n(4) $14 x^{2}-19 x-3=0$\n(5) $5 x^{2}-3=0$\n(6) $(2 x+1)^{2}-9=0$'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरण के वर्णन्ता और मूलों के बीच संबंध को साबित करें। एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए, दो मूलों को α और β मान लें। तो, α + β = -b/a और αβ = c/a।'

'100m के स्प्रिंट दौड़ में खिलाड़ी तारो, (1) पर ध्यान केंद्रित करने का फैसला किया और उसने अपने समय को बेहतर बनाने के लिए सर्वश्रेष्ठ स्ट्राइड और पिच की तलाश की।'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरणों का समाधान करें।'

'दो द्वि-त्रि-पदी समीकरणों $x^{2}-x+a=0$ और $x^{2}+2ax-3a+4=0$ के लिए दिए गए शर्तों को पूरा करने वाली स्थिर a के मान की सीमा ढूंढें।'

'द्विघातीय समीकरण के समाधान का मौजूदा सीमा निर्धारित करने के लिए, हमे निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाली ग्राफ विचारना चाहिए:'

'यहाँ अ और प को स्थिर मान लिया गया है। x के लिए निम्नलिखित समीकरणों के वास्तव समाधान ढूंढें।'

'निम्नलिखित समवर्ती समीकरणों को हल करें।'

'12 विभिन्न किताबें निम्नलिखित प्रकार से विभाजित करने के कितने तरीके हैं?'

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'यदि द्विघातीय समीकरण $x^{2}-a^{2}x-4a+2=0$ के दो विभिन्न वास्तव समाधान $\\alpha$ और $\eta$ के रूप में हो और $1<\\alpha<2<\eta$ को पूरा करते हैं, तो पता लगाएं कि स्थिर $a$ के मान की श्रेणी।'

'जब समीकरण $ax^{2}+bx+1=0$ के दो समाधान $-2,3$ होते हैं, तो स्थायी $a, b$ के मान ढूंढें।'

'द्विघातीय समीकरण \ x^{2}-a^{2} x-4 a+2=0 \ के दो भिन्न वास्तव समाधान \ \\alpha, \eta \ के लिए, जहाँ \ 1 < \\alpha < 2 < \eta \ है, स्थायी क \ a \ के मान की सीमा का निर्धारण करें।'

'2 गुणा समीकरण $2 x^{2}+3 x+k=0$ की वास्तव समाधानों की संख्या का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित समकक्ष समीकरणों को हल करें।'

'अध्याय 1\nसंख्या और अभिव्यक्ति\n23\nउदाहरण\n(1) जो 2x^2-3x+1 के साथ जोड़ें तो x^2+2x मिले, उस अभिव्यक्ति को खोजें।'

'जब 2x^{2}-3ax+a+1=0 का एक वास्तव समाधान 0<x<1 श्रेणी में है और दूसरा वास्तव समाधान 4<x<6 श्रेणी में है तो स्थाई a का सीमा क्या है?'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल करें।'

'द्विघातीय समीकरण के विस्तार के क्या है?'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के वास्तव समाधानों की संख्या निकालें।'

'लंबाई a और b के रेखांकन दिया गया है, x^{2}-a x-b^{2}=0 वाले द्विघात समीकरण का सकारात्मक समाधान खोजें और उस लंबाई के साथ एक रेखांकन बनाएं।'

'स्थायी $a$ के मान के लिए सीमा ढूंढें जिससे द्विघात समीकरण $x^{2}+a x-a^{2}+a-1=0$ के $-3<x<3$ सीमा में दो भिन्न वास्तव समाधान हो।'