मूलभूत बीजगणित - व्यंजनों का विस्तार और गुणनखंडन

'विस्तार की सामान्य विवरण है\n\\[\\frac{6!}{p!q!r!} \\cdot a^{p} \\cdot(2 b)^{q} \\cdot(3 c)^{r}=\\frac{6!}{p!q!r!} \\cdot 2^{q} \\cdot 3^{r} \\cdot a^{p} b^{q} c^{r}\\]\njहां \ \\quad p+q+r=6, p \\geqq 0, q \\geqq 0, r \\geqq 0 \\n(a) \ a^{3} b^{2} c \ शब्द का संकेत, जब \ p=3, q=2, r=1 \ है, \n\\\frac{6!}{3!2!1!} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{1}=720\\n(b) \ a^{4} c^{2} \ शब्द का संकेत, जब \ p=4, q=0, r=2 \ है, \n\\\frac{6!}{4!0!2!} \\cdot 2^{0} \\cdot 3^{2}=135\'

'निम्नलिखित विस्तार में निर्दिष्ट मान का गुणाकारी ढूंढ़ें। (1) (2x-y-3z)^6 [xy^3 z^2] (2) (1+x+x^2)^10 [x^4] (3) (x+1/x^2+1)^5 [स्थिर मान]'

'निम्नलिखित समीकरणों के लिए सामान्य अंश और संकेतक ढूंढें:'

'(1) \\((x+2-i)(x+2+i)\\)(2) \\((3 x-17)(2 x-9)\\)'

'निम्नलिखित समीकरणों को हल करें:'

'विस्तार \\( (a+b+c)^{n} \\) का सामान्य टर्म है\n\\\frac{n!}{p!q!r!} \\alpha^{p} b^{q} c^{r}\\nजहां \ p+q+r=n \'

'(2) (समाधान 1) α^{3}+β^{3}+γ^{3}=(α+β+γ){α^{2}+β^{2}+γ^{2}-(αβ+βγ+γα)}+3αβγ =2 \\cdot(4-0)+3\\cdot4=20'

'(2) विस्तार का सामान्य सदस्य है $\\frac{10!}{p!q!r!} \\cdot 1^{p} \\cdot x^{q} \\cdot\\left(x^{2}\\right)^{r}=\\frac{10!}{p!q!r!} \\cdot x^{q+2 r}$ जहाँ $p+q+r=10 \\quad\\cdots\\cdots (1), p \\geqq 0, q \\geqq 0, r \\geqq 0$।\n$x^{4}$ का पद $q+2 r=4$ होने पर होता है, इसका मतलब $q=4-2r$ है।'

'निम्नलिखित अनुक्रम का सामान्य टर्म खोजें \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \।'

'निम्नलिखित बहुपदों का विस्तार करें।'

'योग चिह्न \ \\Sigma \, \ \\Sigma \ की गुणधर्म\nयोग चिह्न \ \\Sigma \\n\\n\\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\\cdots \\cdots+a_{n}\n\\nइस गुणधर्म में \ p, q \ एक \ k \ के असम्बद्ध स्थिर संख्या हैं।\n\\[\n\\sum_{k=1}^{n}\\left(p a_{k}+q b_{k}\\right)=p \\sum_{k=1}^{n} a_{k}+q \\sum_{k=1}^{n} b_{k}\n\\]\nश्रंखला की योग सूत्रों में \ c, r \ असंबद्ध स्थिर संख्या हैं।\n\\[\n\egin{aligned}\n\\sum_{k=1}^{n} c & =n c \\\\ \nविशेष रूप से \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} 1=n \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k & =\\frac{1}{2} n(n+1) \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k^{2} & =\\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k^{3} & =\\left\\{\\frac{1}{2} n(n+1)\\right\\}^{2} \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} r^{k-1} & =\\frac{1-r^{n}}{1-r} \\\\( r \\neq 1) \n\\end{aligned}\\]\n'

'द्विघात सिद्धांत के आवेदन समस्याएं'

'(A + B)(A - B)'

'(1) 6x² + 3 (2) −x⁸ + 3x³ − 1 (3) 2(x² + 1)'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'(A + B)^2 + (A - B)^2'

'निम्नलिखित सतत भिन्न को सरलीकृत करें:\n\\n\\frac{1}{1+\\frac{1}{1+\\frac{1}{x+1}}}\n\'

'(3) (2) से प्राप्त वृत्त समीकरण को विस्तारित और सुव्यवस्थित करने पर यह मिलता है: x^2 - mx + y^2 - (m^2 + 2)y = 0। y = x^2 के स्थान पर डालने से x^2 - mx + x^4 - (m^2 + 2)x^2 = 0, जो x(x + m)(x^2 - mx - 1) = 0 हो जाता है। इसलिए, x = 0, -m, α, β। इसलिए, आवश्यक और पर्याप्त शर्त है कि चाप या y = x^2 और (2) में प्राप्त वृत्त A, B, O कोई अन्य साझेदार बिंदु ना होने के लिए x = -m x(x^2 - mx - 1) = 0 की जड़ हो।'

'कृपया निम्नलिखित द्विघात समीकरण का गुणाकार निकालें, ज्योतिषीय संख्याओं की सीमा में:\n1. x^{2}+4 x+5\n2. 6 x^{2}-61 x+153'

'(2) 1 + 3x + 5x^{2} + ... + (2n - 1)x^{n - 1}'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'(1) $(x-2)(x^{2}+x+2)$\n(2) $(x+1)(x+2)(x-3)$\n(3) $(x-1)^{2}(x^{2}+2x+3)$\n(4) $(x+1)(x-3)(x^{2}+2)$\n(5) $(3x+1)(4x^{2}-3x+1)$\n(6) $(x-1)(2x+1)(x^{2}+x-1)$'

'P(x) = x³-4x²+x-7 में P(-2) के शेष को निकालें'

'(1) समाधान \ \\alpha, \eta \ होने के कारण'

'P(x) को (x+1)^{2}(x-2) से विभाजित करें, यानीकि महत्वकांक को Q(x) और शेषको R(x) लें, तो निम्नलिखित में से निर्धारित होगा।'

'x, y के लिए समानीकरण (x + a y - 3)(2 x - 3 y + b) = 2 x^{2} + c x y - 6 y^{2} - 4 x + d y - 6 को एक सामान्यता बनाने के लिए, स्थायी a, b, c, d के मान की निर्धारण करें।'

'\\[ 3(a x+2 b y)-(a+2 b)(x+2 y) \\]\n\\[=3 a x+6 b y-(a x+2 a y+2 b x+4 b y) \\]\n\\[=2(a x-a y-b x+b y) \\]\n\\[=2\\{ a(x-y)-b(x-y) \\} \\]\n\\[=2(a-b)(x-y) \\]\n\ a>b, x>y इसलिए, a-b>0, x-y>0 \\n\\[2(a-b)(x-y)>0 \\]\n\इसलिए \\n\\[(a+2 b)(x+2 y)<3(a x+2 b y) \\]'

'और, x^{3/2} + x^{-3/2} = (x^{1/2} + x^{-1/2})^3 - 3x^{1/2}x^{-1/2}(x^{1/2} + x^{-1/2})'

'(A - B)(A^2 + AB + B^2)'

'निम्नलिखित विस्तृत अभिव्यक्तियों में निर्दिष्ट पद का संकेतक खोजें। (1) (2 x+3 y)^{4} [x^{2} y^{2}] (2) (3 a-2 b)^{5} [a^{2} b^{3}]'

'विस्तार का सामान्य पद खोजें।'

'यदि $f(y)=y^{2}+y-a-9$ है, तब ध्यान दें कि अक्ष के लिए $-3<-\x0crac{1}{2}<3$ है। $f(3)>0$ से हमें $a<3$ मिलता है और $f(-3)>0$ से हमें $a<-3$ मिलता है। इसलिए, हम निर्णय कर सकते हैं कि $-\x0crac{37}{4}<a<-3$।'

'अभ्यास समस्या: (x₁+x₂+...+xᵣ)^p के विस्तार में x₁^p, x₂^p, ..., xᵣ^p के संघटक ढूंढें।'

'द्विघात सिद्धांत का प्रयोग करके (a+b)ⁿ का विस्तार दिखाएं।'

'गणित I\n267\n\\[\egin{aligned} y_{1}+y_{2} &= \\triangle \\mathrm{OAP} - \\int_{0}^{1} (-3x^{2}+3)dx + 2y_{1} \\\\ &= \\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot 3p + 3 \\int_{0}^{1} (x^{2}-1)dx + 2 \\cdot \\frac{1}{2}(2-p)^{3} \\\\ &= \\frac{3}{2}p + 3[\\frac{x^{3}}{3}-x]_{0}^{1} + (2-p)^{3} \\\\ &= \\frac{3}{2}p - 2 + (2-p)^{3} \\\\ &= -p^{3} + 6p^{2} - \\frac{21}{2}p + 6 \\end{aligned}\\]'

'(2) दिए गए समीकरण की जड़ें \ \\alpha, \eta \ हैं, इसलिए'

'प्रैक्टिस 79 खंड 302 पृष्ठ पर y=a x^(3)-2 x पर बिंदु (t, a t^(3)-2 t) और मूल के बीच की दूरी का वर्ग t^(2)+(a t^(3)-2 t)^(2)=a^(2) t^(6)-4 a t^(4)+5 t^(2) है'

'उपर्युक्त समीकरण के लिए शर्तों को दिखाएं।'

'एक वास्तविक संख्या t के लिए, दो बिंदु P(t, t^{2}) और Q(t+1, (t+1)^{2}) का ध्यान रखें।'

'(2) यहाँ से f(a)=f(a+1) है तो a^{3}-3 a=(a+1)^{3}-3(a+1)'

'दिए गए विस्तार में निर्दिष्ट मान का सीधा निकालें। (1) (x^2+2y)^5 [x^4 y^3] (2) (x^2-2/x)^6 [x^6, स्थायी मान]'

'19x^{3} का सीधा वर्गमूल 1 होने वाले 3 आवेशक Q(x) को x-1 से विभाजित करने पर शेष -1 और x-2 से विभाजित करने पर शेष 8 प्राप्त होता है।'

'एक सूत्रित श्रृंखला \ \\{a_{n}\\} \ के लिए जहाँ पहली श्रेणी से एनवीं श्रेणी तक की योग है \ S_{n}=2 n^{2}-n \, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:\n1. माध्यम शब्द \ a_{n} \ खोजें।\n2. योग निकालें \ a_{1}+a_{3}+a_{5}+ \\ldots \\ldots+a_{2 n-1} \।'

''

'निम्नलिखित समीकरणों का समाधान करें।'

'निम्नलिखित समीकरण के बारे में जांचें कि क्या ये पहचान हैं:\n(1) (x-1)^{2}=x^{2}+1\n(2) (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})\n(3) \\frac{2 x+1}{2 x-1} \\times \\frac{4 x^{2}-1}{(2 x+1)^{2}}=1\n(4) \\frac{1}{3}\\left(\\frac{1}{x+1}-\\frac{1}{x+3}\\right)=\\frac{1}{(x+1)(x+3)}'

''

'परिक्षेपी समीकरण के बाईं ओर हर पद को विस्तारित करें और सरल समीकरण पर आ जाए।\n(2), (3) क्योंकि दाईं और बाईं ओर दोनों ही समूचित हैं, इसलिए उन्हें एक ही समीकरण बनाने के लिए उन्हें बेधिया करें।'

'x⁴+2x²-8 को (x²+4)(x²-2) के रूप में विभाजित करें'

'गणित में, अर्थात, (α-1)(β-1)(γ-1)=0, इसलिए α, β, γ में से कम से कम एक 1 है।'

'जब बहुपद x^2020 + x^2021 को बहुपद x^2 + x + 1 से विभाजित किया जाता है तो शेष क्या होगा।'

'(2) यदि t=x+1/x है, तो सिद्ध करें कि x^n+1/x^n t के n वां समीकरण के रूप में आएगा।'

'दिए गए संकेतों का गणना करें'

'कोई सच्ची संख्या k है। तीसरी श्रेणी के समीकरण f(x)=x^{3}-kx^{2}-1 के लिए, समीकरण f(x)=0 के तीन विकल्प α, β, और गाम्मा को लें। g(x) एक ऐसा तीसरा समीकरण है जिसका x^{3} के संकेतक 1 है, और समीकरण g(x)=0 के तीन विकल्प αβ, βγ, और γα हैं।\n(1) एल्फा, बीटा, और गाम्मा के द्वारा g(x) को अभिव्यक्त करें।\n(2) ऐसे k की मानें खोजें जिनके लिए दो समीकरण f(x)=0 और g(x)=0 का एक साझा समाधान है।'

'प्रैक्टिस बुक 8 (पृष्ठ 35) में, यदि पी के तीसरे पद का संख्यावाला a के रूप में लिया जाए और b, c को स्थायी मान लिया जाए, तो P = (x+1)^2(ax+b), P-4 = (x-1)^2(ax+c)।'

'दी गई पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'300'

'अभ्यास 56 (1) (पहला भाग) P_1=α+β=(1+√2)+(1-√2)=2 और αβ=(1+√2)(1-√2)=-1 इसलिए P_2=α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=2^2-2(-1)=6 (दूसरा भाग) [1] जब n=1 हो, P_1=2, जब n=2 हो, P_2=6 इसलिए, n=1,2 के लिए, P_n एक इज़्ज़ती संख्या है जो 4 का गुणक नहीं है। [2] मान लें n=k, k+1, जब n=k, k+1 हो, P_n एक इज़्ज़ती संख्या है जो 4 का गुणक नहीं है।'

'पहला मान a हो, सामान्य अंतर d हो, और पहले से नववे मान तक के योग को S_{n} कहा जाता है। यह ज्ञात है कि S_{5}=125 और S_{10}=500, इसलिए 1/2・5{2a+(5-1)d}=125 और 1/2・10{2a+(10-1)d}=500। इससे हमें a+2d=25 ... (1), 2a+9d=100 ... (2) मिलता है। समीकरण (1) और (2) को समविकल्प में हल करने पर a=5, d=10 मिलता है'

'पूर्णांक f(x)=x^{4}-x^{2}+1 के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'वास्तविक संख्या x के मान को निर्धारित करें ताकि (1 + xi)(3 - i) (1) एक वास्तविक संख्या बन जाए या (2) पूर्ण काल्पनिक संख्या बन जाए।'

'(3u-v)(-u³+3u-v) < 0'

'(1) $\\left(x^{2}+2 y\\right)^{5}$ के विस्तार का सामान्य सदस्य है $_{5} \\mathrm{C}_{r}\\left(x^{2}\\right)^{5-r}(2 y)^{r}={ }_{5} \\mathrm{C}_{r} \\cdot 2^{r} x^{10-2 r} y^{r}$। $x^{4} y^{3}$ टर्म $r=3$ के लिए है, और उसका समकोण है'

'निम्नलिखित समीकरणों को विस्तारित करें: (a+b)³ और (a-b)³'

''

'स्थिर x के लिए समीकरण एक पहचान होने के लिए स्थिर a, b, और c की मानें निर्धारित करें।'

'(a+2b+3c)^{6} के विस्तार में a^{3} b^{2} c और a^{4} c^{2} अंशों के संख्यापदों का निकालें।'

'अनुक्रम {P_{n}} निम्नलिखित रूप में परिभाषित है।'

'कृपया चार्ट-स्टाइल संदर्भ पुस्तक के डिजिटल संस्करण की तीन मौलिक कार्यों की सूची बनाएं।'

'अंकगणितिक प्रगति का सिद्धांत'

'अभ्यास, निम्नलिखित समीकरणों को विघटित करें।'

'क्या P को x, y के रूप में 1 स्तरीय समीकरण के गुणन के रूप में विभाजित किया जा सकता है, यह अल्फा, बीटा को y के एक स्तरीय समीकरण नहीं होना चाहिए।'

'निम्नलिखित संकेतों का विस्तार करें। (1) (a+2 b)^{7} (2) (2 x-y)^{6} (3) (2 m+n/3)^{6}'

'द्विघात सिद्धांत का उपयोग करके, निम्नलिखित समीकरण को साबित करें।'

'क्योंकि पराबोला y=x^2+bx+c का शीर्षबिन्दु सीधी रेखा y=x पर होता है, इसलिए हम शीर्षबिन्दु की निर्देशांक को (k, k) के रूप में स्थापित कर सकते हैं। इसलिए, पराबोला की समीकरण है y=(x-k)^2+k यानी y=x^2-2kx+k^2+k। पराबोला (1) और पराबोला y=-x^2+4 के आंकड़ों का विन्यास x^2-2kx+k^2+k=-x^2+4 यानी 2x^2-2kx+k^2+k-4=0 के वास्तव समाधान। (1), (2) के पारे के दो विभिन्न बिंदु हैं, इसलिए (3) के विभाजक को D मानकर D>0 है। D/4=(-k)^{2}-2(k^{2}+k-4)=-k^{2}-2k+8 की गणना, इसलिए -k^{2}-2k+8>0, जिससे k^{2}+2k-8<0 प्राप्त होता है, जिसके हल -4<k<2 है। इस मामले में, दो पारे के बिंदुओं की x आंकड़ों को अल्फा, बीटा (अल्फा<बीटा) के रूप में चिह्नित किया जाता है, इसलिए अल्फा, बीटा (3) के समाधान हैं, इसलिए, अल्फा+बीटा=k, अल्फा बीटा=(k^{2}+k-4)/2। इसलिए, (बीटा-अल्फा)^{2}=(अल्फा+बीटा)^{2}-4अल्फा बीटा=k^{2}-2(k^{2}+k-4)=-k^{2}-2k+8=-(k+1)^{2}+9।'

'गणित B 329 n=k+2 की स्थिति पर विचार करें'

'कृपया फ़ंक्शन की पहचान साबित करें।'

'अनुक्रमणिकी परिवर्तन, गणितीय आँकड़े के समापन अनुक्रमणिकी परिवर्तन\n- पड़ोसी 2 सदस्य \\( a_{n+1} = p a_{n} + q \\(p \\neq 1) \\) यदि \ \\alpha = p \\alpha + q \ को पूरा करता है तो\n\\[\na_{n+1} - \\alpha = p\\left(a_{n} - \\alpha\\right) \n\\]\n- पड़ोसी 3 सदस्य \ p a_{n+2} + q a_{n+1} + r a_{n} = 0 \ \ p x^{2} + q x + r = 0 \ का समाधान \ \\alpha, \eta \ है तो\n\\[\na_{n+2} - \\alpha a_{n+1} = \eta\\left(a_{n+1} - \\alpha a_{n}\\right)\n\\]\nगणितीय आँकड़े के समापन\nप्राकृतिक संख्या \ n \ के संबंध में प्रस्ताव \ P \ को सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य साबित करने की प्रक्रिया निम्नलिखित है\n[1] सिद्ध करें कि \ n=1 \ के लिए \ P \ सत्य है।\n[2] मानें कि \ n=k \ के लिए \ P \ सत्य है, \ n=k+1 \ के लिए भी सत्य है इसे साबित करें।'

'(3) मान लें कि x^{2}+y^{2}-5=(p x+q y+r)(s x+t y+u) संख्यात्मक मान p, q, r, s, t, u का ऐसा मौजूद है। जब दोनों ओर का x^{2} का स्रोत तैयार किया जाता है, x^{2} का संख्याशास्त्र पी एस होता है, इसलिए x^{2} के संख्याशास्त्र की तुलना करने पर से p s=1 मिलता है। इसलिए, p=0 नहीं होना चाहिए, s=0 नहीं होना चाहिए।'

'a को वास्तव संख्या के रूप में एक संदर्भ बनाएं, और दो वृत्तों C1: x^{2}+y^{2}=4 और C2: x^{2}-6x+y^{2}-2ay+4a+4=0 का ध्यान रखें'

'निम्नलिखित समीकरण को गुणाकार करें।'

'जब बहुपद $P(x)=4 x^{3}-2 x^{2}-5 x+3$ को निम्नलिखित रैलिंयर अभिव्यक्तियों से विभाजित किया जाता है तो शेष क्या होता है: (ए) $x+1$ (बी) $2 x-1$'

'कृपया इन समीकरणों के गुणनखंड कीजिए, कारक सिद्धांत का उपयोग कीजिए।'

'कृपया निम्नलिखित समीकरण के संकेतों की गणना करें।(6) x^6-12x^5+60x^4-160x^3+240x^2-192x+64'

'विकास 51: द्विघातीय 2-अंकीय व्यक्ति का कारक विश्लेषण (जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग करना)'

'सिंथेटिक डिवीजन\nतीसरी श्रेणी की पॉलिनोमियल $P(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ को एक रैखिक पॉलिनोमियल $x-k$ से विभाजित करके शेषफल $Q(x)=l x^{2}+m x+n$ और शेष $R$ मिलते हैं।\nइस शेषफल और शेष के संकेतक $l, m, n$ को सिंथेटिक डिवीजन नामक एक विधि द्वारा भी प्राप्त किया जा सकता है।\n\nसिद्धांत जब विभाजन समीकरण $P(x)=(x-k) Q(x)+R$ साबित होता है\n\\[\na x^{3}+b x^{2}+c x+d=(x-k)\\left(l x^{2}+m x+n\\right)+R\n\\]\nयह समीकरण $x$ के साथ एक पहचान है।\nदाएं हाथ को विस्तारित करके सरल करने पर\n\\[\na x^{3}+b x^{2}+c x+d=l x^{3}+(m-l k) x^{2}+(n-m k) x+(R-n k)\n\\]\nदोनों पक्षों के संकेतकों को तुलना करते हुए\n\\na=l, \\quad b=m-l k, c=n-m k, d=R-n k\n\\]\nइसलिए\n\\[\nl=a, \\quad m=b+l k, \\quad n=c+m k, \\quad R=d+n k\n\'

'विस्तार के साथ एक पद का संकेत ढूंढें'

'निम्नलिखित समीकरण की पहचान करें कि वे पहचान हैं या नहीं।'

'क को एक स्थायी मान माना जाए। (a+kb+c)^{5} के विस्तार में a^{2}bc^{2} टर्म के समकोण 60 होने पर k का मान खोजें। साथ ही, इस बिंदु पर ac^{4} टर्म का समकोण भी खोजें।'

''

'निम्नलिखित समीकरण को विघ्नक रूप में लिखें।'

'कॉफिसियेंट लगातारता का निर्धारण (1)...कॉफिसियेंट तुलना विधि'

'[7!/(3!2!2!)]'

'द्विघात सिद्धांत का उपयोग करके (a+b)^{4} का विस्तार करें और प्रत्येक पद का संकेत खोजें।'

'एक सरणी {a_{n}} है: 1, 3, 8, 19, 42, 89, और उसका अंतर है {b_{n}}। अगर सरणी {b_{n}} के अंतर एक ज्यामित सरणी बनाते हैं तो,\n(1) सरणी {b_{n}} का सामान्य पद ढूंढें।\n(2) सरणी {a_{n}} का सामान्य पद ढूंढें। मौलिक उदाहरण 19'

'द्विघात सिद्धांत का उपयोग करके, निम्नलिखित समीकरणों का विस्तारित रूप ढूंढें।'

'निम्नलिखित मान का विस्तार में व्यक्ति [x^{3} y^{2} z] के संकेतक को खोजें।'

'इस समीकरण को $x^{3}-1=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)$ सभी $x$ के लिए है एक पहचान, स्थिर $a, b, c$ के मान निर्धारित करें।'

'मान की मान और b की मान निर्धारित करें, ताकि निम्नलिखित बहुपद दिए गए अभिव्यक्तियों द्वारा विभाजनीय हो:'

'\ 30 \\quad \\frac{7}{3} x^{2}-x-\\frac{1}{3} \'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारक निकालें।'

'आंशिक भिन्न विघटन'

'बुनियादी 61: उच्च पाया समीकरणों का समाधान (1) - अंशकरण का प्रयोग'

'विस्तारित अभिव्यक्ति में [ ] में स्थित शब्द का कोईफिशिएंट खोजें।'

'उच्चतम डिग्री के पोलिनोमियल को फैक्टरिंग करते समय, हम P(k) = 0 को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक k को खोजते हैं, और फिर कारक सिद्धांत का उपयोग करते हैं। यहाँ हम इस पर केंद्रित करेंगे कि P(k) = 0 को संतोषप्रद करने वाले पूर्णांक k कैसे ढूंढा जाए।'

'विस्तार (a+b+c)^{n} का संच निकालें।'

'विस्तारित अभिव्यंजन में [ ] शब्द के संख्यात्मक मान का पता लगाएं।'

'A और B कोशिशें ढूंढें जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं:'

'मौलिक 45: ज्यातीय संख्याओं के क्षेत्र में द्विघातीय समीकरण का कारक विभाजन'

'(a+b+c)^{5} के विस्तृतरूप में [a b^{2} c^{2}] का संकेत खोजें।'

'द्विघात सिद्धांत'

'निम्नलिखित समीकरण केवलिता है या नहीं यह जांचें।'

'गणित I में, हमने फैक्टरिज़ेशन के बारे में सीखा और इस्तेमाल करके दो गुणात्मक समीकरणों को हल करने के बारे में भी सीखा। यहाँ, हम फैक्टर सिद्धांत का उपयोग करके, दिग् और उससे अधिक डिग् के समीकरणों को कैसे हल करें के विचार करेंगे।'

'दोहरी समीकरण $(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0$ के दो समाधान $\\alpha, \eta$ माने गए हों तो निम्नलिखित समीकरणों का मान निकालें। (1) $\\alpha\eta$ (2) $(1-\\alpha)(1-\eta)$ (3) $(\\alpha-2)(\eta-2)$'

'x^2+1/(x^2-1) को 4(x^2-1)+1/(x^2-1)+4 में बदलकर विचार करें।'

'द्विघात सिद्धांत का प्रयोग करके (a+b)^4 का विस्तार दिखाएं।'

'रखें x के लिए ऐसे साधारित समीकरणों के लिए स्थायी a, b, c के मान ठोस (1) \\frac{4 x+5}{(x+2)(x-1)}=\\frac{a}{x+2}+\\frac{b}{x-1}(2) \\frac{3 x+2}{x^{2}(x+1)}=\\frac{a}{x}+\\frac{b}{x^{2}}+\\frac{c}{x+1}'

'यदि B = x^2 + x - 3, Q = 4x - 1, R = 13x - 5 दिया है, तो A का पता लगाएं।'

'(2) \\( (x-1)(x+1)(x-2)(x-3) \\)'

'निम्नलिखित समीकरणों का विस्तार करें।'

'रेखा C और रेखा l के इंटरसेक्शन प्वाइंट्स के x-coordinate को इस समीकरण द्वारा दिया गया है x^{3}+2 x^{2}-4 x-8=0। बाएं तरफ x+2 के रूप में एक कारक होता है, इसलिए आधार बिखेरने पर हमें (x+2)^{2}(x-2)=0 मिलता है, जिससे x=2,-2 मिलता है। इसलिए, वहां उन बिंदुओं की x-coordinates में से एक जिसमें रेखा C और रेखा l कोणांकित होती है, स्पर्श बिंदुओं के बिना, 2 है।'

'शृंखला {a_n} को पहले मद से पांचवें मद तक विचार करें, n=1,2,3,4 के लिए, a_{n+1}=a_{n}+A×10^{n}.... के लिये सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए (1) से पूरा होता है। इस स्थिति में, a_{n+2}=a_{n}+B×10^{n}....(2) पूरा होता है। a_{1}=11, a_{2}=101, (2) से, जब n E हो, तो a_{n} 11 का एक गुणित है, और जब a_{n} 11 का एक गुणित है, तो n F है।'

''

'निम्नलिखित समीकरण का विस्तार करें।'

'कृपया ज्यामिति की सीमा में निम्नलिखित द्विघात समीकरणों का कारकीकरण करें:\n(1) \x^{2}-3 x-3 \\n(2) \ 2 x^{2}+4 x-1 \\n(3) \ 2 x^{2}-3 x+2 \'

'एक अनुक्रम {a_{n}} के लिए, b_{n}=\\frac{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}}{n} पर परिभाषित करें'

'(3) \\( (2 x+1)\\left(3 x^{2}-x+2\\right) \\)'

'विस्तृत संख्या में [ ] शब्द का संबंध खोजें। 6 (1) (x+y+z)^{8}[x^{2} y^{3} z^{3}] (2) (x-y-2 z)^{7} [x^{3} y^{2} z^{2}]'

'साबित करें कि a+b+c=0 होने पर, a^{2}-bc=b^{2}-ca सत्य है।'

'(1) (x-1)(x+1)(x+3)'

'योग और गुणफल सूत्रों का उपयोग करना'

'गणित I में, हमने द्विघातीय संकेतों का सामना किया। गणित II में, हम पक्षीय समीकरण की तरह उच्च डिग्री के संकेतों का सामना करेंगे। इसलिए, चलिए पहलेतल करते हैं और पक्षीय संकेतों को विस्तारित और औद्यात्मिक रूप से तोड़ते हैं।'

'विस्तार में x^4 मिट्र का संख्याज्ञान खोजें।'

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'तृतीय डिग्री की बहुपद का विस्तार और कारकण'

'यदि द्विघात समीकरण 2x²-3x+5=0 के दो समाधान α और β हैं, तो समाधान α² और β² के साथ यहाँ द्विघात समीकरण क्या है?'

'512 येन की दो गुणाकारी समीकरणों को गुणाकारी रूप में लिखें (हल के सूत्र का उपयोग करें)।'

'स्थिर a और b के मान तय करें ताकि निम्नलिखित समीकरण x के लिए एक identity हो।'

'द्विघात सिद्धांत का उपयोग करके, निम्नलिखित समीकरणों का विस्तार निकालें।'

'निम्नलिखित समीकरण को किसीकृत करें: \\(x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)\\)।'

'निम्नलिखित समीकरणों के विस्तार में [x^3] का संकेत निकालें।'

'आरोही समीकरण से सामान्य पद खोजने की प्रक्रिया।\\nइन आरोही समीकरणों को हल करके अनुक्रम सिरे का सामान्य पद खोजें:\\n\\n1. अंतर श्रेणी प्रकार\\n\ a_{n+1}=a_{n}+d \\\n\ [d \ एक स्थाई मान है \\]）\\n\\n2. धनात्मक श्रेणी प्रकार\\n\ a_{n+1}=r a_{n} \\\n\ [r \ एक स्थाई मान है \\]）\\n\\n3. अंतर श्रेणी प्रकार\\n\\( a_{n+1}=a_{n}+f(n) \\)\\n\\( [ f(n) अंतर श्रेणी का सामान्य पद है \\]）\\n\\nसाथ ही,\\n\ a_{n+1}=p a_{n}+q\\\n\ p \ और \ q \ स्थाई मान हैं, जहां \\( p \\neq 1, q \\neq 0 \\）कोई भी आरोही समीकरण और संख्या श्रेणी का सामान्य पद खोजें।'

'बेसिक 59: उच्च-अवधि पोलिनोमियल्स को विभाजन करना'

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'15^4(1+x+x^2)^{8} के विस्तार में x^{11} के सम्बंधीक निकास कीजिए।'

'निम्नलिखित समीकरण को कारक के रूप में लिखें।'

'निम्नलिखित प्रत्याश्यों में A को B से विभाजित करने पर शेष और बच्चा ढूंढें:'

'निम्नलिखित समांतरीकरण को कारक से विभाजित करें।'

'एक सरणी \ \\left\\{a_{n}\\right\\}: 1,3,8,19,42,89, \\cdots \\cdots \ का अंतःस्थायी सरणी \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ है। जब \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ का अंतःस्थायी सरणी एक वृत्तीय सरणी होती है तो:(1) सरणी \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ का साधारण क्षेत्र निकालें। (2) सरणी \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ का साधारण क्षेत्र निकालें। '

'विस्तृत रूप खोजें'

'व्यक्तित्व का विस्तार करें और अंशक भाग करें'

'जब a=2 हो, (x-2y+1)(x+y+1), जब a=-5/2 हो, (x-2y-2)(x+y-1/2)'

'प्रशिक्षण 13 निम्नलिखित वृत्तियों के योग का पता लगाएं। (1) पहला पद 4, सामान्य अनुपात 1/2, पदों की संख्या 7 (2) अनुक्रम 3, -3, 3, -3, ..., पदों की संख्या n (3) अनुक्रम 18, -6, 2, ..., पदों की संख्या n'

'हारमोनिक सीरीज {an} का सामान्य सदस्य खोजें, जहां 2 वां सदस्य 1 है और 5 वां सदस्य 1/13 है।'

'4 संख्याओं की मद्दत की पहली संख्याश्रृंखला है। x4+8x3+20x2+16x-12=0 की समाधान सम्प्रेषणों'

'चोटने के अलावा, पानी में एक ठोस को गलाने की दर को तेज करने के दो तरीके बताएं। पानी और ठोस की मात्रा को बदलाने के बिना।'

'【चित्र 1】 एक कक्षा की सीटिंग चार्ट दिखाता है। कुल 9 सीटें हैं, और सभी छात्र काले बोर्ड की ओर बैठते हैं। आगे पीछे, बाएं और दाएं की सीटें एक के बाद एक नहीं होनी चाहिए, इसलिए सीटें तय कर दी गई हैं। उदाहरण के लिए, जब सीटों को नंबर किया जाता है, अगर कोई छात्र सीट 1 में बैठता है, तो दूसरे छात्र सीट 2 और 4 में नहीं बैठ सकते। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें: (1) जब A, B, C, D, E के 5 छात्र बैठते हैं, तो सीटें किस प्रकार तय की जा सकती हैं? (2) जब A, B, C, D के 4 छात्र बैठते हैं, तो सीटें किस प्रकार तय की जा सकती हैं? (3) जब A, B, C के 3 छात्र बैठते हैं, तो सीटें किस प्रकार तय की जा सकती हैं?'

'1+x+x^2+⋯+x^n का योग्य मापदंड मिलाएं।'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'‘वह आत्मा ‘ से उलटी गिनती करें।'

'अक्षर {an} के लिए, निम्नलिखित सवालों का उत्तर दें: (1) श्रृंखला {an^2 + bn^2} का सामान्य पद ढूंढें। साथ ही, lim_{n -> ∞} (an^2 + bn^2) भी ढूंढें। (2) साबित करें कि lim_{n -> ∞} an = lim_{n -> ∞} bn = 0 है। साथ ही, ∑_{n=1}^{∞} an, ∑_{n=1}^{∞} bn भी ढूंढें।'

'अनुमानित मान और परिकल्पना'

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'शब्द मैथमैटिक्स से किसी भी 4 अक्षर लेकर बनाए जा सकने वाले परिणामों की संख्या निकालें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकबीजीकरण करें।'

'पीआर नागोया जेओ के 8 वर्णों के सभी व्यवस्थानों में, जिनमें एए और ओओ दोनों शामिल हैं, प्रत्यावर्तन को कितना गिनाया जाता है, और कितने प्रत्यासन्न अक्षरों वाले प्रति-स्थन हैं।'

'निम्नलिखित समीकरणों का गुणाकरण करें:'

'निम्नलिखित समीकरण की गणना करें।'

'4 A, 5 B और 2 सी को समूहों में विभाजित करने के तरीके C_9^5 × C_4^2 हैं। इसके अलावा, क्योंकि 2 व्यक्तियों के दो समूहों के बीच कोई भेदभाव नहीं है, इसलिए विभाजन की कुल संख्या'

'2 x^{2}-6 x+4'

'A में रखने के लिए 3 छात्रों का चयन करने के तरीके C_9^3 हैं'

'3x^2 - 5x + 1 को पूरा वर्ग बनाएं।'

'19 (1) \\((x+y-1)\\left(x^{2}-x y+y^{2}+x+y+1\\right)\\ (2) \\((x-2 y-z)\\left(x^{2}+4 y^{2}+z^{2}+2 x y-2 y z+z x\\right)'

'दिए गए बहुपदों के समान टर्मों को सुलझाएं। साथ ही, [ ] के भीतर वर्णों पर ध्यान केंद्रित करते समय डिग्री और स्थायी शब्द निश्चित करें।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति का विस्तार करें।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्तियों को विस्तारित करें।'

'(1) \\( 3(a+b)(b+c)(c+a) \\)\\n(2) \\( (a b+a+b-1)(a b-a-b-1) \\)'

'निम्नलिखित समीकरण का कारकिक रूप लिखें: $2x^{2}+5xy+2y^{2}-3y-2$'

'निम्नलिखित समीकरणों को विस्तारित करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का गुणाकार निकालें।'

'(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24 को कारक लिखिए।'

'निम्नलिखित समीकरण का कारकिकीकरण करें।'

'इसलिए, आवश्यक अण्यत्र की संख्या है\n\\[\n\egin{aligned}\n10080- & 24 \\times(30+30+30+20) \\\\\n& =10080-24 \\times 110=10080-2640 \\\\\n& =7440 \\text { (तरीके) }\n\\end{aligned}\n\\]'

'10\n(1)\\((x-3)(3 x-1)\\)\n(2)\\((x+1)(3 x+2)\\)\n(3)\\((a+2)(3 a-1)\\)\n(4)\\((a-3)(4 a+5)\\)\n(5)\\((2 p+3 q)(3 p-q)\\)\n(6)\\((a x-b)(b x+a)\\)'

'निम्नलिखित समीकरण को फैक्टराइज करें।\n(1) x^{3}+3xy+y^{3}-1'

'बहुपदों को सरल करें'

'निम्नलिखित समीकरण की गणना करें।'

'नीचे दिए गए वास्तव संख्याओं के उपसमूहों के बारे में प्रश्नों का उत्तर दें।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति को कारकों में विभाजित करें: $2x^{2}-3xy+y^{2}+7x-5y+6$'

'निम्नलिखित समीकरणों को किसने विभाजित किया। (1) (x+y)^{2}-4(x+y)+3 (2) 9 a^{2}-b^{2}-4 b c-4 c^{2} (3) (x+y+z)(x+3 y+z)-8 y^{2} (4) (x-y)^{3}+(y-z)^{3}'

'निम्नलिखित संकेतों को x की शक्तियों के अग्रणी क्रम में सरलीकृत करें।'

'निम्नलिखित समीकरण का विस्तार करें।'

'निम्नलिखित समीकरण को गुणाकारी रूप में लिखें।\n(1) 2 x^{3}+16 y^{3}\n(2) (x+1)^{3}-27'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति का विस्तार करें: (4) ((3 a-b) (9 a ^ {2} + 3 a b + b ^ {2})).'

'निम्नलिखित समीकरणों को कारकीकृत करें।'

'व्यक्ति (2x + 3y + z)(x + 2y + 3z)(3x + y + 2z) का विस्तार करें और xyz के संबंधित संख्यक को खोजें।'

'दिए गए स्ट्रिंग के लिए संभावित सजीव प्रकारों की कुल संख्या क्या है?'

'76 \\quad y=\\frac{1}{3}(x+1)(x-5)\n\\( \\left(y=\\frac{1}{3} x^{2}-\\frac{4}{3} x-\\frac{5}{3}\\right) \\)'

'10 \u3000 809 11 (1) \\\\ ( 2(x+2 y)(x^{2}-2 x y+4 y^{2}) \\) (2) \\\\ (x-2)(x^{2}+5 x+13) \\)'

'कृपया {1}/{3}x^{2}+2x+1 को पूरा करें।'

'फॉर्मूला विस्तार'

'अभिव्यक्ति (a+b+c+d)(p+q+r)(x+y) का विस्तार करने पर, कितने टर्म बनते हैं?'

'निम्नलिखित समीकरण की गणना करें।'

'बहुपदों का गुणनफल को विस्तारित करने के लिए, वितरणीयता का सिद्धांत बार-बार उपयोग करके किया जा सकता है, यहाँ तक कि जटिल समांकियों को विस्तारित करने के लिए। हालांकि, गुणाकरण कई बार दरवाजों में खड़ा कर सकता है अगर चरणों को ध्यान में रखकर गणना की जाती है तो। यहाँ, हमने गुणाकरण के लिए चरण ढूंढने के प्राथमिकता को उच्च क्रम में कैसे ढूंढने के लिए के तरीके को संकलित किया है। इन संकेतों को ध्यान में रखकर गुणाकरण का विचार करना उपयुक्त है।'

'यदि A=5x³ -2x² +3x +4 और B=3x³ -5x² +3 है, तो निम्नलिखित की गणना करें: (1) A+B (2) A-B'

'कृपया -2 x^{2}+10 x-7 को पूर्ण वर्ग में परिणामित करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारक निकालें।'

'निम्नलिखित समीकरण को विश्लेषित करें: $x^{2}+3xy+2y^{2}+2x+3y+1$'

'(3) \\((3 x+x^{3}-1)\\left(2 x^{2}-x-6\\right)\\)'

'निम्नलिखित गणितीय समीकरण को सरलीकृत करें।'

'3 सेटों का संयोजन और संयोजन\nसमवादन A∩B∩C A, B, और C में शामिल होने वाले सभी तत्वों का सेट है।\nसंयोजन A∪B∪C कम से कम एक में शामिल होने वाले सभी तत्वों का सेट है।\n3 सेटों की गुणधर्म\n(1)\n\\[\n\egin{aligned}\nn(A∪B∪C)= & n(A)+n(B)+n(C) \\\\\n& -n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)\n\\end{aligned}\n\\]\n(समावेश-असमावेश का सिद्धांत का विस्तार)\n(2) \\\overline{A∪B∪C}=\\overline{A} \\cap \\overline{B} \\cap \\overline{C}, \\overline{A∩B∩C}=\\overline{A} \\cup \\overline{B} \\cup \\overline{C} \\n(डी मोर्गन के कानून का विस्तार)'

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'अभिव्यक्ति (2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z) का विस्तार करें और xyz का समकोण खोजें।'

'(उदाहरण) समीकरण x^2 - 2 xy + 2 y^2 = 13 (x > 0, y > 0) के लिए'

'निम्नलिखित समीकरण का कारकीकरण करें:\n\nx^3 - 8y^3 - z^3 - 6xyz'

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'निम्नलिखित संकेतों को विस्तारित करें।'

'कृपया दिए गए संकेत को सरलीकृत करें।'

'(5) निम्नलिखित समीकरण का विस्तार करें: (x+y+z)(x-y-z)'

'निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का विस्तार करें।'

'वर्ग विशेषण सिद्धांत'

'सममित अभिव्यंजन'

'निम्नलिखित समीकरणों का विस्तार करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों को रूप में परिवर्तित करें y=a(x-p)^{2}+q (वर्ग पूर्ण करें)।'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकीकरण करें।'

'निम्नलिखित समीकरण को कारकीय रूप में लिखें।'

'12 (1) \\( (x-y)(2x+y-1) \\) (2) \\( (x+y-3)(3x+y+2) \\) (3) \\( (x+2y-1)(3x-y+2) \\) (4) \\( (x+y-z)(x-2y+z) \\)'

'4 रेखाओं द्वारा घेरे गए एक आयत का निर्माण 2 ऊर्ध्वीय रेखाओं और 2 क्षैतिज रेखाओं के संयोजन से होता है, इसलिए आवश्यक संख्या है ${}_5 C_2 \\times {}_5 C_2={\\left(\\frac{5 \\cdot 4}{2 \\cdot 1}\\right)}^2=10^2=100 \\text{（इकाइयां)}'

'6 अलग-अलग नंबर (0, 1, 2, 3, 4, 5) का उपयोग करके 4 अंकों या उससे कम के सकारात्मक पूर्णांक कितने बनाए जा सकते हैं? एक ही नंबर का दोहराव भी अनुमत है।'

'शहर ए और शहर ब के बीच 5 अलग-अलग बस रूटें हैं। निम्नलिखित मामलों में, शहर ए से शहर ब के लिए एक राउंड ट्रिप करने के कितने तरीके हैं।'

'मान लें कि 4 सफेद मोती, 3 काले मोती और 1 लाल मोती हैं। उन्हें एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के \ \\square \ तरीके हैं, उन्हें एक वृत्त में व्यवस्थित करने के \ \\square \ तरीके हैं। इसके अतिरिक्त, इन मोतियों में रेशा डालकर एक लूप बनाने के \ \\square \ तरीके हैं।'

'निम्नलिखित समीकरणों को कारकीय रूप में लिखें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकविमोचन करें:'

'अभ्यास का उत्तर 1 (1) \ -x^{2}+5 x-1 \ (2) \ -3 x^{2}+3 x y-4 y^{2} \'

'(4) $-3x^{3} + (9y + z)x^{2} - 3y(z + 2y)x + 2y^{2}z$ को विश्लेषित करें।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति की गणना करें।'

'(2) 2 x^{2}-4 x+2=2(x^{2}-2 x+1)'

'निम्नलिखित समीकरणों को फैक्टराइज़ करें।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्तियों को कारकण करें।'

'संख्याएँ, अक्षर और उन्हें एक साथ गुणा करने वाले समीकरणों के लिए क्या शब्द है?'

'द्विघातांक अभिविस्तार सूत्र'

''

'निम्नलिखित स्वरूपों का विस्तार करें।'

'निम्न अभिव्यक्ति का विस्तार करें।'

''

'निम्नलिखित समीकरणों को x के संबंध में x (1), x (2) और a के संबंध में a (3) क्रम के अनुसार संयम में करें।'

'निम्नलिखित संवेदनों को x के द्वारा सरलीकरण करें घटते क्रम में।'

'निम्नलिखित द्विघातीय समीकरणों के लिए वर्ग पूरा कीजिए।'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकीकरण करें।'

'दिया गया बहुपद P=3x^{3}-3xy^{2}+x^{2}-y^{2}+ax+by है।'

'विस्तार सूत्र है (a^2) - (b^2)'

'निम्नलिखित समीकरणों की गणना करें।'

'इस्पात का उपयोग करके निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का विस्तार करें।'

'(a-b)^{2} का विस्तारीकरण सूत्र है a^{2}-2ab+b^{2}'

''

'निम्नलिखित समीकरणों को किसने विभाजित करें।'

"सेक्शन 2 'बहुपद का गुणा' में, हमने इसकी व्याख्या कैसे करें और उसे एक ही बहुपद के रूप में प्रस्तुत करने के तरीके को सीखा। अब, हम उल्टी प्रक्रिया सीखेंगे, यानी एक बहुपद को एकल पद या बहुपद के गुणा के रूप में प्रस्तुत करना।"

'निम्नलिखित समीकरणों को विस्तारित करें।'

'(1) \7 x^{2} + 4 x - 17\ (2) \\(x^{2}-(2 a-b) x-a\\) (3) \\(-a^{2}-2(7 b-2) a+2 b^{2}+2 b-5\\)'

'निम्नलिखित समीकरण का विस्तार करें: x(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)'

'फ़ंक्शन y=f(x) की ग्राफ़ को मूल से सममित ले जाने पर उस फ़ंक्शन को दर्शाने वाला फ़ंक्शन y=-f(-x) होगा। अगर a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, और यदि x=0 से 1 के बीच f(x)=x^{2}+ax+b की कम से कम मान m है, तो m को a और b के रूप में व्यक्त करें।'

'(7) \ 4 x^{4}-13 x^{2} y^{2}+9 y^{4} \'

'दिए गए समीकरण को बदलें y=-x^{2}+2 x'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकीकरण करें।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति का विस्तार कीजिए: \n(x+2y)^2(x^2+4y^2)^2(x-2y)^2'

'कृपया गुणा-गणित का उपयोग करके निम्नलिखित बहुपद की गणना करें: (x + 2)(x - 3)'

'निम्नलिखित बहुपदों को कारकीकृत करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारक निकालें।'

'निर्दिष्ट एकलन की घात और संकेतक निर्धारित करें। साथ ही, वर्गों के भीतर अक्षरों की घात और संकेतक की पहचान करें।'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के लिए वर्ग पूरा करें'

'निम्नलिखित समीकरणों का गुणाकार करें।'

'निम्नलिखित समीकरण की गणना करें: (4) (√3 + √5)²'

'7 सदस्यों में से एक अध्यक्ष, एक उपाध्यक्ष और एक कोषाध्यक्ष का चयन करने के कितने तरीके हैं? ध्यान दें कि एक साथ एक से अधिक पद संभालना अनुमति नहीं है।'

'निम्नलिखित समांतर बांटें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का विस्तार करें।'

'पिछले तरह, एक ही वस्तु को दोहराने की अनुमति देने वाले पर्म्यटेशन के बारे में सोचें। उदाहरण के लिए, अगर हम 2 प्रकार के वर्ण A और B से 3 वर्ण लेते हैं जो डुप्लिकेट की अनुमति देते हैं, तो उन्हें एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके 2^{3} हैं।'

'निम्नलिखित समीकरणों की मान निकालें।'

''

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकीय रूप निकालें।'

''

'(1) निम्नलिखित संकेतों का विस्तार करें।(2) (3 x-1)^{3}(3) (3 x^{2}-a)(9 x^{4}+3 a x^{2}+a^{2})(4) (x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)(5) (x+2)(x+4)(x-3)(x-5)(6) (x+1)^{3}(x-1)^{3}'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकों में विभाजन करें।'

''

'निम्नलिखित समीकरण को कारकों में विभाजित करें। (1) 8x³+1 (2) 64a³-125b³'

''

'(अ) -x^{2}+8 x\n(1) -x^{2}+16\n(उ) 2\n(ई) 24'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकविश्लेषण करें। (1) x^3 + 2x^2y - x^2z + xy^2 - 2xyz - y^2z (2) x^3 + 3x^2y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2'

'दिए गए समीकरणों को परिवर्तित करें और अधिकतम और न्यूनतम मानों का पता लगाएं: (1) 3x^2 + 4y^2 को परिवर्तित करें और प्रतिस्थापित करें। (2) x और y की सीमा के आधार पर अधिकतम और न्यूनतम मानों का पता लगाएं। (3) जब x एक वास्तव संख्या है, तो y = (x^2 + 2x)^2 + 8(x^2 + 2x) + 10 को परिवर्तित करें और t = x^2 + 2x मान रखें। अधिकतम और न्यूनतम मानों का पता लगाएं।'

'विस्तारित अभिव्यक्ति में, x^5 का संकेतक ए है और x^3 का संकेतक बी है।'

'10 छात्रों को कुछ समूहों में बाँटें। इस मामले में (1) 2, 3, और 5 छात्रों के 3 समूह में उन्हें बाँटने के कितने तरीके हैं। (2) 3, 3, और 4 छात्रों के 3 समूह में उन्हें बाँटने के कितने तरीके हैं। (3) 2, 2, 3, और 3 छात्रों के 4 समूह में उन्हें बाँटने के कितने तरीके हैं।'

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'X=0 के मध्य समेत दी गई फुलवाकर y=x^{2}+a x+b की सममिट ले जाने के द्वारा मिलनेवाली फुलवाकर का सीधांकपरियान्त टीका है, y=-x^{2}+a x-b इससे ले जाकर y=-x^{2}+a x-b है। X अक्ष की दिशा में 3, Y अक्ष की दिशा में 6 इकाइयों तक फुलवाकर को सममिट करने का सिरा छात्रान्त है -y=(-x)^{2}+a(-x)+b इससे y=-x^{2}+a x-b। टीका y-6=-(x-3)^{2}+a(x-3)-b इससे y=-x^{2}+(a+6) x-3 a-b-3 है से इससे y=-x^{2}+4 x-7 के तुलना से a+6=4,-3 a-b-3=-7 है। इसे हल करने से a=-2, b=10 है।'

'निम्नलिखित समीकरणों का विस्तार कीजिए।'

'समान वस्तुओं से परिवर्तन'

'निम्नलिखित समीकरण का कारकणीकरण करें: (3)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3'

'निम्नलिखित व्यक्तियों को किसने किया।'

'(9) निम्नलिखित अभिव्यक्ति का कारक निकालें: $(a-b) x^{2}+(b-a) x y$'

'निम्नलिखित समीकरण को कारकीकृत करें।'

'को विस्तारित करने पर (a+b+c)(x+y)(p+q) से कितने टर्म्स बनेंगे?'

'जब शीर्षक y= ax^{2}+bx+c को x-अक्ष के पार्लेल 2 इकाइयों और y-अक्ष के पार्लेल -1 इकाईयों में मूव किया जाता है, तो यह शीर्षक 33y=-2x^{2}+3 बन जाता है। सीधी और पता करें। c की मान।'

'(a+b)^{2} का विस्तार सूत्र है: a^{2} + 2ab + b^{2}'

'निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का विस्तार करें।'

'निम्नलिखित समीकरण को किसीकरण से घटाएं: (1) 6x^{2}+13x+6 (2) 3a^{2}-11a+6 (3) 12x^{2}+5x-2 (4) 6x^{2}-5x-4 (5) 4x^{2}-4x-15 (6) 6a^{2}+17ab+12b^{2} (7) 6x^{2}+5xy-21y^{2} (8) 12x^{2}-8xy-15y^{2} (9) 4x^{2}-3xy-27y^{2}'

'4 छात्रों में से 1 अध्यक्ष और 1 उपाध्यक्ष का चुनाव करने के लिए कितने तरीके हैं? ध्यान दें कि अध्यक्ष और उपाध्यक्ष दोनों पदों को संभालने की अनुमति नहीं है।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति का विस्तार करें: (x+1)(x+2)(x-1)(x-2)'