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函数和分析
高级函数 - 微积分和积分基础
Q.01
'大一阶段的"微积分"课程的目的是什么?'
A. ...
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Q.02
'中点是2点的平均,重心是3点的平均。S是线段AB的1:2外分点。'
A. ...
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Q.03
'练习82\n找到满足以下条件的函数p(x)和q(x)。\n- p(x)的导数为3\n- p(0) = 3\n- q(x)的导数为4x + k\n- q(0) = 2\n另外,找到满足q(x) = f(x)g(x)为二次函数,且p(x) = f(x) + g(x)为一次函数的函数f(x)和g(x)。并找到相应的k值。'
A. ...
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A. ...
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Q.05
'[2]给定条件为
2−x<x<2+x 即当
x>1 时'
A. ...
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Q.06
'对于满足f(0)=1、g(0)=2的两个多项式f(x)和g(x),令p(x)=f(x)+g(x),q(x)=f(x)g(x)。'
A. ...
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Q.07
'请调查函数的极值。根据以下定义确定最大值或最小值:1. 如果 f(x) 在 x=a 附近时 f(a) 达到最大值。2.如果 f(x) 在 x=a 附近时 f(a) 达到最小值。'
A. ...
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A. ...
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Q.09
"(2) 从 y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 推导得出 y' = 3 x^{2} - 4 x - 1 当 x = 1 时 y' = -2 因此,切线ℓ的方程为 y = -2(x - 1) 根据 x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = -2(x - 1) 可以得出 x(x - 1)^{2}=0,因此 x=0,1"
A. ...
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Q.10
'求函数
f(x)=int01left∣t2−x2right∣dt在
0leqqxleqq2范围内的最大值和最小值。'
A. ...
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Q.11
'用x表示定积分\\( \\int_{-1}^{1}\\left(9 x t^{2}+2 x^{2} t-x^{3}\\right) d t \\)。'
A. ...
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Q.12
'求函数h(x)=2x^2-x+3的一次导数。'
A. ...
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Q.13
'定积分和体积\n一个立体,体积为V,介于两个平行平面\\\alpha, \eta\之间。垂直于\\\alpha, \eta\的直线取为\x\轴,与\\\alpha, \eta\的交点坐标分别为\a, b\。另外,取\a \\leqq x \\leqq b\,在与\x\轴垂直且交点坐标为\x\的平面上切割这个立体得到的截面积为\\(S(x)\\),则体积\V\可以表示为下面的定积分。\n\n\\[ V=\\int_{a}^{b} S(x) d x \\quad \\text{其中}a < b \\]'
A. ...
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Q.14
'有一个球形橡皮气球,半径r每秒以0.1cm的速度扩张。假设从半径为1cm开始膨胀,求半径达到3cm时气球体积V关于时间t的变化率。'
A. ...
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A. ...
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Q.16
'练习 85 |II| \ \\Rightarrow \ 本册 \ p .340 \'
A. ...
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Q.17
'求球面积的变化率。(1)设球t分钟后的半径为r cm。根据条件,r=t+10,所以S=4πr^2=4π(t+10)^2。因此,dS/dt=4π×2(t+10)×1=8π(t+10)'
A. ...
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Q.18
'(2)
f(x)=2x+int01(x+t)f(t)dt'
A. ...
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A. ...
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Q.21
'通过增减函数或使用图形,可以找到最大值和最小值,或者确定方程式的实数解个数。'
A. ...
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Q.22
'找到满足等式
intaxf(t)dt=3x2−2x−1 的函数
f(x) 和常数
a 的值。'
A. ...
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Q.25
'设a,b为常数。证明以下不等式:\n\n\\[\n\\int_{0}^{1}(ax+b)^{2}dx \\geqq\\left\\{\\int_{0}^{1}(ax+b)dx\\right\\}^{2}\n\\]'
A. ...
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Q.27
'示例:当满足四个不等式 x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 6, 3x + 2y ≤ 10 时,求 x + y 的最大值,最小值,以及对应的 x, y 值。'
A. ...
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Q.28
'发展学习 发展 187 4次函数的极值和图表'
A. ...
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A. ...
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A. ...
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Q.32
'让我们更深入地理解期望值、方差和标准偏差。'
A. ...
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A. ...
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Q.34
'根据定义求函数 f(x)=x^{2}-6 x+7 在 x=a 处的导数。另外,找出使导数为2的 a 的值。'
A. ...
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A. ...
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Q.36
'找出满足等式 \\( \\int_{a}^{x} f(t) d t=3 x^{2}-2 x-1 \\) 的函数 \\( f(x) \\) 和常数 \ a \ 的值。'
A. ...
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Q.37
'求以下函数的导数。 (1) y=(2 x^{2}-3)(x+5) (2) y=(x+2)^{3}'
A. ...
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Q.38
'求出满足以下条件的二次函数 f(x)。'
A. ...
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Q.39
'求解以下不定积分。其中,(3)中的α是一个常数。'
A. ...
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Q.40
'切线方程:求切线方程。曲线y=f(x)上点A(a, f(a))处的切线方程是什么?'
A. ...
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Q.41
'根据定义,求以下函数的导数。 (1) f(x)=-5x (2) f(x)=2x^{2}+5 (3) f(x)=x^{3}-x'
A. ...
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Q.42
'求以下函数的导数并求出在 x=2 处的导数。'
A. ...
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Q.43
'通过最大值和最小值的条件确定三次函数的系数'
A. ...
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Q.44
'根据“STEP into整理”问题类型,清楚地总结了如何区分使用定理和公式。可用于公式的确认和整理。'
A. ...
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Q.45
'详细解释了需要更多思考能力的「放大」题目的解题方法。'
A. ...
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A. ...
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Q.47
'将给定的函数 S(t) 定义为 S(t)=\\int_{0}^{1}\\left|x^{2}-t^{2}\\right| d x。找出 t 在 0 ≤ t ≤ 1 范围内的最大值和最小值,以及对应的 t 值。'
A. ...
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A. ...
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Q.51
'以 r 为底、h 为高的圆锥体积为 V。将 V 视为 h 的函数,求在 h=3 时的导数。'
A. ...
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A. ...
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Q.53
'在解决基本示例和标准示例问题后,应该如何进一步加深理解?'
A. ...
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Q.54
"设多项式f(x)的等式f(x)f'(x)=∫[0,x]f(t)dt+49⋯⋯(1)成立。回答以下问题。"
A. ...
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Q.55
'求导函数及其计算基本 173 对除 x 以外的变量微分'
A. ...
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Q.56
'发展学习 发展188 3次函数具有极值的条件'
A. ...
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Q.57
'找到满足等式 f(x)=1+2 \\int_{0}^{1}(x t+1) f(t) d t 的函数 f(x)。'
A. ...
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Q.62
"设 F(x) 为函数 f(x) 的原函数,则满足以下条件 [1],[2]。请计算 f'(x) 和 f(x)。其中 x > 0。[1] F(x) = x f(x) - 1/x [2] F(1/√2) = √2"
A. ...
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A. ...
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Q.66
"函数 f(x) 在 x>-2 上具有连续的二阶导数 f''(x)。而且在 x>0 时,满足 f(x)>0 且 f'(x)>0,对于任意正数 t,曲线 y=f(x) 在点 (t, f(t)) 处的切线与 x 轴的交点 P 的 x 坐标等于 -∫0^t f(x) dx。"
A. ...
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A. ...
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A. ...
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Q.69
'请说明函数 f(x) 在 x=a 处可微的定义。'
A. ...
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Q.70
"设函数 f(x)=x^(1/3) (x>0)。分别使用以下两种方法求导函数 f'(x)。"
A. ...
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Q.71
"当函数 f(x) 满足 f(0)=0, f'(x)=x cos x 时,请回答以下问题:(1) 求 f(x)。(2) 求 f(x) 在 0 <= x <= π 的最大值。"
A. ...
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Q.72
'在-2≤x≤2的范围内,找到函数f(x)=∫₀ˣ (1-t²)eᵗ dt的最大值和最小值,以及对应的x值。'
A. ...
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Q.73
'求下列不定积分。\\n(1) \ \\int \\frac{x^{3}+x}{x^{2}-1} d x \\\n(2) \ \\int \\frac{x+5}{x^{2}+x-2} d x \\\n(3) \\( \\int \\frac{x}{(2 x-1)^{4}} d x \\)'
A. ...
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Q.74
'证明对于所有实数x,f(x)>0是背离法'
A. ...
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A. ...
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A. ...
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Q.77
'要处理两个变量 a,b 的不等式,可以考虑以下方法。'
A. ...
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Q.78
'求函数y=x/√(4+3x^2)的导数。[宫崎大]'
A. ...
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Q.79
'在体积为√2/3的直圆锥中,求直圆锥的侧面积的最小值。并找出使其最小的直圆锥底面圆的半径和高度。'
A. ...
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A. ...
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Q.82
'描述点P沿直线运动的坐标x在时间t的函数x = f(t)。然后回答以下问题。'
A. ...
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A. ...
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Q.85
'请计算在坐标空间中旋转体的体积(1)。'
A. ...
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Q.86
'对于在某个区间内可微的函数y=f(x),当x的值增加时,切线的斜率随之增加时,函数曲线y=f(x)在该区间被定义为下凸,当切线的斜率减小时,函数曲线y=f(x)在该区间被定义为上凸,但实际的定义如下:当函数f(x)满足在某个区间内包含任意不同的实数x_{1}、x_{2}以及s+t=1,s ≥ 0,t ≥ 0的任意实数s、t时有f(s x_{1}+t x_{2}) ≤ s f(x_{1})+t f(x_{2})成立时,f(x)被定义为下凸,当f(s x_{1}+t x_{2}) ≥ s f(x_{1})+t f(x_{2})成立时,f(x)被定义为上凸。在定义域内为下凸的函数被称为凸函数,而在上凸的函数则被称为凹函数。'
A. ...
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A. ...
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Q.88
'请对以下函数进行微分。 (1) y = (x ^ 2 + 1) ^ 3'
A. ...
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Q.93
'(1) \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x'
A. ...
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Q.98
"当 f(x)=(x-1)^2 Q(x)(其中 Q(x) 为多项式)时,证明 f'(x) 在 x=1 处可被整除。"
A. ...
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Q.99
"请说明导数的定义和特性。另外,请给出函数 f(x) 的导数 f'(x) 的定义式。"
A. ...
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Q.02
'根据导数的定义,对以下函数进行微分。(附加题)'
A. ...
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A. ...
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Q.04
'当 x, y 是实数时,求 x^{2}-4 x y+7 y^{2}-4 y+3 的最小值,并求出此时的 x, y 的值。'
A. ...
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A. ...
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Q.06
'确定常数a的值,使抛物线y=x^{2}-ax+a+1与x轴相切。同时,求出切点的坐标。'
A. ...
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A. ...
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Q.08
'抛物线y=3x^2-6x+5经过怎样的平移可以与抛物线y=3x^2+9x重合?'
A. ...
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A. ...
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Q.10
'当定义域为整个域时,函数的最大值和最小值是多少?'
A. ...
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A. ...
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Q.12
'当 x=0 时最大值为 0 , x=2 时最小值为 8(a+1)'
A. ...
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Q.13
'将a设为常数,求函数f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x的最小值m(a)。'
A. ...
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Q.14
'[3] 通过三个点(1,3),(2,5),(3,9)的图形\n假设所求二次函数为y=ax^{2}+bx+c\n由点(1,3)可得 3=a*1^{2}+b*1+c\n由点(2,5)可得 5=a*2^{2}+b*2+c\n由点(3,9)可得 9=a*3^{2}+b*3+c\n解这个联立方程组,就能求得a, b, c的值,确定二次函数。'
A. ...
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Q.15
'请解释命题及其逆否和逆否命题之间的关系,并找出以下命题S的逆否/逆否/逆否: 命题S:“如果x是偶数,则x可以被2整除”'
A. ...
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A. ...
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Q.17
"(2)令y'= -4x - 8= -4(x + 2), y'= 0, 则x= -2时y的增减表如右。 因此, y 在x= -2处取得极大值-4。"
A. ...
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Q.18
'对于函数
f(x)=x3+\x0crac32x2−6x,回答以下问题。'
A. ...
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A. ...
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Q.20
'设 f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1。证明曲线 y = f(x) 是关于曲线上的点 A(2,3) 对称的。'
A. ...
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Q.21
'求解数值a,使得曲线y=x^{3}+x^{2}和直线y=a^{2}(x+1)所围成的两个部分的面积相等。要求a的值满足0<a<1。'
A. ...
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A. ...
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Q.23
"(2) y'=3 x^2+2 x-1=(x+1)(3x-1) y'=0,所以 x=-1,1/3 时 y 的增减表如下。因此,y 在 x=-1 处达到极大值,在 x=1/3 处达到极小值。"
A. ...
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A. ...
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Q.25
'找到通过点(4,-1),(6,3),(-3,0)的圆的方程式。'
A. ...
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Q.26
'一个边长为1厘米的立方体,每秒边长增加1毫米。求10秒后立方体的表面积和体积的变化率(cm²/s,cm³/s)。'
A. ...
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Q.27
'曲线y = 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2与x轴的交点的x坐标是,方程2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2 = 0的解。 P(x) = 2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2,因此P(1) = 2-5 + 1 + 2 = 0,因此P(x) = (x-1)(2x ^ 2-3x-2) = (x-1)(x-2)(2x + 1) P(x) = 0解为x = 1,2,-1/2,因此,曲线如右图所示,所求面积S为S = ∫(-1/2到1)(2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2)dx + ∫(1到2)(-(2x ^ 3-5x ^ 2 + x + 2))dx = [x ^ 4/2-5/3 x ^ 3 + x ^ 2/2 + 2x](-1/2至1)-[x ^ 4/2-5/3 x ^ 3 + x ^ 2/2 + 2x](1至2)=2(1/2-5/3 + 1/2 + 2)-(2 ^ 4/2-5/3 * 2 ^ 3 + 2 ^ 2/2 + 2 * 2)-(1/2(-1/2)^ 4-5/3(-1/2)^ 3 + 1/2(-1/2)^ 2 + 2 *(-1/2))= 8/3-2/3-(- 61/96)= 253/96'
A. ...
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A. ...
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A. ...
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Q.30
'求该函数的极值。并画出其图形。(1) y=x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2}'
A. ...
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Q.31
'65\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\text { (1) } \oldsymbol{y}^{\\prime}=2(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime}=2 \\cdot 1=2 \\\\\n\oldsymbol{y}^{\\prime}=3\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-6(x)^{\\prime}+(2)^{\\prime}=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1 \\\\\n=6 \oldsymbol{x}-6\n\\end{array}\n\\]'
A. ...
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Q.32
'给定两个二次函数 f(x), g(x), 满足 f(0)-g(0)=1, 对x求导后的积分 {0}^{x}{f(t)+g(t)} d t=5 x^{2}+11 x+13, {0}^{x} 对t求导的 {f(t)-g(t)} d t=x^{2}+x, 求解 f(x) 和 g(x)。'
A. ...
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Q.33
'求函数f(x)=∫(t^2-2t-3)dt在-3≤x≤3范围内可能的取值范围。'
A. ...
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Q.34
'求曲线y=x^{3}-4x的斜率为-1的切线。'
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Q.35
'对于一端移动的区间例题190,假设a>0。对于0≤x≤a的函数y=-x³+3x²,求:\n(1) 求最大值。\n(2) 求最小值。'
A. ...
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Q.36
'在函数中,当x从1变化到1+h时,使平均变化率为4。'
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Q.37
'補充例题178:计算导数(2)\n使用第278页的公式,求以下函数的导数。\n(1) y=(2x-1)(x+1)\n(2) y=(x^2+2x+3)(x-1)\n(3) y=(2x-1)^3\n(4) y=(x-2)^2(x-3)\n第278页“STEP UP”'
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Q.38
'利用P. 278的公式,对以下函数进行微分。'
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Q.39
'求函数f(x) = ∫[−3, x](t^2−2t−3)dt在区间[-3, 3]内可能的取值范围。'
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Q.40
'求以下函数的导数,并计算 x=0,1 处的导数。(1) y=5 x^{2}-6 x+4 (2) y=x^{3}-3 x^{2}-1 (3) y=x^{2}(2 x+1) (4) y=(x-1)(x^{2}+x+1)'
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Q.41
'给定数列 {an},其中 a1=2,an+1=3an-n^2+2n。通过考虑使数列 {an}-g(n) 成为公比为3的等比数列的二次函数 g(n),找出 an 的关于 n 的表达式。'
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Q.42
'确定常数a,b,c的值,使得函数f(x)=ax^2+bx+c满足以下三个条件。'
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Q.43
'请找到满足条件的函数 f(n):b_{n+1}+f(n+1)=-2(b_{n}+f(n))'
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Q.44
'297基本示例189从最大值和最小值确定系数'
A. ...
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Q.47
'当 x ≥ 0,y ≥ 0 时,求函数 f(x, y) = x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 的最小值。同时求出此时的 x,y 值。'
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Q.48
'求解以下不定积分:\\[\\int (x-\\sin x) \\cos x \\,dx\\]'
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Q.49
'计算以下定积分:\n\n\\[\n\\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)} d x \n\\]\n令 x = a - t,则 -d x = dt。x 和 t 对应如下:\n \ x \\frac{a}{2} \\longrightarrow a \\n \ t \\frac{a}{2} \\longrightarrow 0 \\n 因此,\n\\[ I = \\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(a-t)}{f(a-t)+f(t)} (-1) dt = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(a-t)}{f(t)+f(a-t)} dt = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}}\\left\\{1 - \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)}\\right\\} dt = [t]_{0}^{\\frac{a}{2}} - \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)} dt = \\frac{a}{2} - b \\]'
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Q.51
'求具有定积分表示的函数的极值(1)\n 当a,b在实数范围内变化时,求定积分
int−pipi(x−asinx−bcosx)2dx的最小值。并求出此时的a,b的值。\n[信州大]'
A. ...
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Q.52
'練習 101 ⇒ 本冊 p.452 (1) ∫ 1 / (√(x + 2) - √(x)) dx = ∫ (√(x + 2) + √(x)) / (x + 2 - x) dx (2) ∫ 2x / (√(x^2 + 1) + x) dx = ∫ 2x (√(x^2 + 1) - x) / ((x^2 + 1) - x^2) dx'
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Q.54
'在本节中学到的内容》 除了多项式表示的函数之外,一般函数虽然可以求导,但积分通常不那么容易。在本章中,我们将根据第 3 章的求导法则等,学习更多函数的积分法。在积分法中,即使是有理函数的不定积分有时也会超出高中的范围,不能总是说任何函数都可以积分,但可以积分的函数范围要比数学II广得多。'
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Q.57
'\\[\egin{array}{l}\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}-\\left(\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x-\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\right) \\\\\\text { 因此 } \\quad 2 \\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}+\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\end{array}\\]'
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Q.60
'(2) 计算\\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}}{1+x^{2}} dx = \\int_{0}^{1}(1-\\frac{1}{1+x^{2}}) dx = \\int_{0}^{1} dx - \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx = 1 - \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx \\quad \\cdots \\cdots \\text{ (3) } \egin{\overlineray}{rl||l}x & 0 \\longrightarrow 1 \\hline\\=\\tan \\theta \\text{ 令} \\\\dx & =\\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta \\quad 0 \\longrightarrow \\frac{\\pi}{4}\\end{\overlineray} \\text{从而 } \\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x^{2}} dx = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{1}{1+\\tan ^{2} \\theta} \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\cos ^{2} \\theta \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} d \\theta = \\frac{\\pi}{4}。'
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Q.62
"(x是与t无关的变量)∫_(h(x))^(g(x)) f(t) dt = f(g(x)) g'(x) - f(h(x)) h'(x)"
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Q.63
'第4章 微分法的应用\n19 速度和加速度, 近似式\n研究/麦克劳林展开·欧拉公式\n练习问题'
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Q.66
'假设点 P 沿数轴移动,其在时刻 t 的速度为 12-6t。请计算点 P 在 t=0 到 t=5 期间移动的距离。'
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Q.70
"函数的增加和减少\n在数学II中,我们通过曲线y=f(x)的切线来直观地思考。在数学II中,我们可以利用平均值定理进行理论证明。\n假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)上可微。\n1. 如果在开区间(a, b)上始终有f'(x)> 0,则f(x)在闭区间[a, b]上单调递增。\n2. 如果在开区间(a, b)上始终有f'(x)< 0,则f(x)在闭区间[a, b]上单调递减。\n3. 如果在开区间(a, b)上始终有f'(x)= 0,则f(x)在闭区间[a, b]上为常数。"
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Q.72
'请说明如何求介质变量表示的函数的导数。'
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Q.76
"给定时刻 t 的坐标函数为坐标点 P(x, y),在点 P 引 PQ、PR 到 x 轴、y 轴的垂线,时刻 t 时,Q 的速度为 dx/dt=f'(t),R 的速度为 dy/dt=g'(t)。 以这些作为分量的向量 v,在时刻 t 被称为点 P 的速度或速度向量。v 的大小 |v| 被称为速度。"
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Q.77
"由于三次函数f(x)在x=1和x=2处取极值,所以f'(x)=a(x-1)(x-2)(a≠0)。又如g(x)=3x/(2√(x^2+1))+1,则g'(x)=3/2 * ((x^2+1)-x^2) / ((x^2+1)√(x^2+1)) = 3 / (2(x^2+1)√(x^2+1))。y=f(x)和y=g(x)在点(0,1)有共同的切线的条件是f'(0)=g'(0)。"
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Q.78
'求满足以下条件的函数f(x)的定积分:\n\n1. f(x)是奇函数y,始终满足f(-x)=-f(x)。\n2. 定积分范围是[-a, a]。'
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Q.80
'计算以下广义积分。\\[ \\int_{0}^{1} x^{2}(x-1)^{2} e^{2 x} \\,dx \\]'
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Q.81
'练习38 ↠ 本册第341页 h(x)=f(x)-g(x)。考虑区间 [a, b] 上连续的函数 f(x), g(x)。例如,假设 f(x) 在 x=x 处最大,在 x=x^2 处最小, g(x) 在 x=x^3 处最大,在 x=x^4 处最小。'
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Q.82
'求下列定积分的值 \\ (2) \\\ \\int_ {0} ^ {9} \\ frac {1} {\\ sqrt {x +16} + \\ sqrt {x}} dx \'
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Q.83
'数学 II\n\n[问题1]\nI = ∫[0, π] sin(mx) cos(nx) dx。\n(1) 当 m - n ≠ 0 即 m ≠ n 时\n\n通过转换 sin(mx)cos(nx) 来解决问题:\n\nI = ∫[0, π] (1/2) {sin((m+n)x) + sin((m-n)x)} dx 进行计算。\n\n当 m+n 为偶数时,I 是多少?\n当 m+n 为奇数时,I 是多少?\n\n(2) 当 m - n = 0 即 m = n 时\n\n此时,I 是多少?'
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Q.86
'考虑变量转换 x, y,给出以下方程:\\( \\left(\\frac{d x}{d \\theta}\\right)^{2} + \\left(\\frac{d y}{d \\theta}\\right)^{2} \\)'
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Q.87
'由 \\( y=(x-1)^{2}(x-2)^{3}(x-3)^{-5} \\) 可知\n\\[\n\egin{aligned}\ny^{\\prime}= & 2(x-1)(x-2)^{3}(x-3)^{-5}+(x-1)^{2} \\cdot 3(x-2)^{2}(x-3)^{-5} \\\\\n& +(x-1)^{2}(x-2)^{3} \\cdot(-5)(x-3)^{-6} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6} \\\\\n& \\times\\{2(x-2)(x-3)+3(x-1)(x-3)-5(x-1)(x-2)\\} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6}(-7 x+11)\n\\end{aligned}\n\\]'
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Q.88
'请检查曲线y=\\frac{4x}{x^{2}+1}的凹凸性,并找出拐点。'
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Q.89
'(2) \ \\int \\sin \\theta \\cos \\theta d \\theta = \\int \\frac{1}{2} \\sin 2 \\theta d \\theta\'
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Q.91
'当660<t<3时, 联立不等式{0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤ t - y}表示的区域围绕x轴旋转得到的立体体积为V(t). 记 dV(t)/dt=π/4 时的t值和对应的V(t)值。'
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Q.98
'计算被正态分布曲线围成的区域面积(高斯积分)'
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Q.01
'求以下不定积分。其中,(4)中的 x 与 t 无关。'
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Q.03
'在区间 c ≤ y ≤ d 时,始终有 f(y) ≥ 0。'
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Q.04
'求定数a的值范围,使得函数f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5具有极值。'
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Q.05
'求解以下函数的极值,并画出其大意图。(1) y=3 x^{4}-16 x^{3}+18 x^{2}+5 (2) y=x^{4}-8 x^{3}+18 x^{2}-11'
A. ...
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Q.06
'找出哪些二次函数
f(x) 满足
int01f(x)dx=frac12f(alpha)+f(\eta),并确定常数
alpha,\eta(alpha<\eta) 的值。'
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Q.10
'设a为正常数。证明抛物线y=x^{2}+a上任意点P处的切线与抛物线y=x^{2}围成的图形的面积是恒定的,与点P的位置无关,并求出这个恒定值。'
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Q.13
'从数学 \ \\Pi \开始,(2) \\( \\int_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1 \\)得到\\[ \\int_{a}^{x} f(t) d t=x^{3}-2 x+1 \\],对(2)两边关于 \ x \ 微分得到 \\( f(x)=3 x^{2}-2 \\)。另外,在(2)中取 \ x=a \,则左边变为0,即\ 0=a^{3}-2 a+1 \,所以 \\( (a-1)\\left(a^{2}+a-1\\right)=0 \\),因此 \ a=1, \\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2} \,因此 \\( f(x)=3 x^{2}-2 ; a=1, \\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2} \\) 。\\[ \egin{array}{l}\\leftarrow \\int_{x}^{a} f(t) d t=-\\int_{a}^{x} f(t) d t \\leftarrow \\frac{d}{d x} \\int_{a}^{x} f(t) d t=f(x) \\leftarrow \\int_{a}^{a} f(t) d t=0\\end{array} \\]\ \\leftarrow \ 利用因式定理。'
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Q.15
'找到满足下列等式的函数 f(x) 和常数 a 的值:(1) ∫_{a}^{x} f(t) d t=2 x^{2}-9 x+4 (2) ∫_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1'
A. ...
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Q.17
'求下列方程的最大值和最小值。同时求出对应的 x 值。'
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Q.18
'请用常数 k 和 l 解释不定积分的性质。'
A. ...
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Q.19
'套本 16 未定係数的确定 (2) [数值代入法]'
A. ...
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Q.21
'求函数y=2x^{3}-3x^{2}-12x+5在x=1处的导数。'
A. ...
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Q.23
'不定积分2x^n是∫ x^n dx= (1/(n+1)) x^(n+1) + C (其中 n 为0或正整数)'
A. ...
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Q.24
'求曲线y = x^2和y = 2x之间的面积。'
A. ...
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Q.25
'因此,當直線(2)通過點(10,50)時,直線(2)的y截距l/3的值將達到最大。此時,l也將達到最大。因此,利潤x+3y在(x,y)=(10,50)時達到最大。'
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Q.26
'求f(x)和g(x),满足给定的函数f(x)和g(x)'
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Q.29
'请找出以下函数的极值,并绘制出其图形。'
A. ...
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Q.30
"找出满足条件的三次函数f(x),使得f'(1)=f'(-1)=1,f(1)=0,f(-1)=2。"
A. ...
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Q.32
'设a为非零常数,A = ∫_{0}^{π} e^{-a x} sin 2x dx,B = ∫_{0}^{π} e^{-a x} cos 2x dx。求出A和B的值。'
A. ...
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Q.35
'求通过点 (1,0) 的曲线 y=f(x) 上具有斜率为 x√x 的切线的点 (x, y) 处的可微函数 f(x)。'
A. ...
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Q.36
'关于由下列方程定义的x的函数y,用x和y分别表示dy/dx和d^2y/dx^2。'
A. ...
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Q.37
'设a,b为实数。求积分∫{0}{1}{cosπx-(ax+b)2}dx在改变a,b的值时的最小值,以及此时的a,b的值。'
A. ...
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Q.40
'(2) 令Iₙ=∫0π/4 tanⁿxdx(其中 n 是一个自然数)。当 n >= 3 时,用 n, Iₙ-2 表示 Iₙ。并求解 I₃, I₄。'
A. ...
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Q.41
'(3) 使用积和公式解答
intsin3xsin2xdx=−frac12int(cos5x−cosx)dx。'
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Q.51
"设函数f(x)的反函数为g(x)。当f(1)=2,f'(1)=2,f''(1)=3时,求g''(2)的值。"
A. ...
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Q.52
'请检查函数的增减。(2)
y=\\frac{x^{3}}{x-2}
'
A. ...
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Q.53
'求函数y=x^{3}sqrt{1+x^{2}}的微分。'
A. ...
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Q.55
"根据数学(4)(1)中的 f(x+y)-f(x)=f(y)+8xy 得到 f'(x)=lim _{y \\rightarrow 0} \\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=lim _{y \\rightarrow 0} \\frac{f(y)+ 8xy}{y}=lim _{y \\rightarrow 0}\\left\\{\\frac{f(y)}{y}+8 x\\right\\}=3+8 x"
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Q.56
'求曲线 y=x^{3}+3 x^{2}-24 x+1 的拐点。'
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Q.58
'利用上面的例子计算下面的定积分:\n1. \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{6} x \\cos^{3} x d x \\n2. \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{5} x \\cos^{7} x d x \'
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Q.59
'使用部分积分法求下列定积分。\\\int_{0}^{1} x^n e^{-x} dx\ (n为大于等于0的整数)'
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Q.60
'求定积分 \ \\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{3}+1} dx \。'
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Q.62
'对于偶函数
f(x),计算
int−aaf(x)dx。其中,偶函数指满足条件
f(−x)=f(x) 的函数。'
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Q.63
'对于奇函数
f(x),求解 \\[ \\int_{-a}^{a} f(x) dx \\]。其中,奇函数是满足
f(−x)=−f(x) 的函数。'
A. ...
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Q.65
'根据导数的定义,对以下函数进行微分。(1) y=\\frac{1}{x^{2}} (2) y=\\sqrt{4 x+3} (3) y=\\sqrt[4]{x}'
A. ...
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Q.66
'切线和法线的方程式\n曲线 \\( y=f(x) \\) 上的点 \\( \\mathrm{A}(a, f(a)) \\) 处的\n[1] 切线方程式是 \\( y-f(a)=f^{\\prime}(a)(x-a) \\)\n[2] 当 \\( f^{\\prime}(a) \\neq 0 \\) 时\n\\[ y-f(a)=-\\frac{1}{f^{\\prime}(a)}(x-a) \\]'
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Q.67
'使用数学归纳法证明数列
an满足
0<an<2(n=1,2,3,cdotscdots)。'
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Q.69
'求解`∫_{0}^{π} e^{-x} sin x dx`。'
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Q.74
'求f(x) = ∫₀ˣ eˣᶜᵒˢᵗ dt(0≤ x ≤ 2π)的最大值及其对应的x值。'
A. ...
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Q.75
'请比较函数 \ x^{p} \ 和 \\( x^{q}(0<p<q) \\) 的增长速度。'
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Q.78
'当曲线的方程式为F(x, y)=0或者以参数表示为x=f(t), y=g(t)时,过曲线上点(x1, y1)的切线方程为y-y1=m(x-x1),其中m是斜率,可通过取导数dy/dx在(x=x1, y=y1)处得到。'
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Q.79
'(3) \\( V = \\pi \\int_{1}^{4}\\left(x+\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\right)^{2} d x \\)'
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Q.80
"若函数f(x)在区间[a, b]上连续,在区间(a, b)上可微,则存在实数c使得[f(b)-f(a)]/[b-a]=f'(c),其中a < c < b。"
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Q.81
'求解下列定积分。(2) \ \\int_{0}^{2} \\frac{d x}{\\sqrt{16-x^{2}}} \'
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Q.86
'请分别对以下函数求导。在此题中,(6)中的a为常数。'
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Q.87
'求解不定积分 \ \\int e^{x} \\sin x \\, d x \。'
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Q.88
'证明连续函数f(x)满足对所有实数x, f(π-x)=f(x)时,积分 0 到 π (x-π/2) f(x)dx=0。'
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Q.89
'求函数的二阶导数。(1) y=x^3−3x^2+2x−1'
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Q.92
'对于自然数 n,记S_n=∫[0,1] (1-(-x)^n)/(1+x) dx,T_n=Σ[k=1,n] (-1)^(k-1)/k(k+1)。'
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Q.93
'求曲线y=f(x)和y=g(x)之间,被直线x=a和x=b围成的部分的面积。'
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Q.94
'(1) 使用半角公式解决
intcos22xdx=intfrac1+cos4x2dx。'
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Q.96
'假设每年有东京都外居住的人口的三分之一迁入东京都,住在东京都的人口的三分之一迁出东京都。设第n年的东京都外人口为an,东京都内人口为bn,求lim(n→∞)an/bn。假设东京都内和外的总人口之和在任何年份都是固定的。'
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Q.97
'(2) 计算定积分 \\( \\int_{0}^{1}\\{x(1-x)\\}^{\\frac{3}{2}} d x \\)。'
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Q.98
'(2) \ \\int \\sin^{3} x dx=\\int \\frac{3 \\sin x-\\sin 3x}{4} dx \ 使用三倍角公式来求解。'
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Q.99
'当函数y(x)具有二阶导数y^{\\prime \\prime}(x),且满足x^{3}+(x+1)\\{y(x)\\}^{3}=1时,求y^{\\prime \\prime}(0)。'
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Q.00
'(4)
int1efraclogxxdx'
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Q.02
'请对函数y=x^3√(1+x^2)进行微分。'
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Q.03
'练习:找出由以下曲线或直线围成的区域绕 y 轴旋转一周形成的旋转体的体积 V。'
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Q.04
'逆函数等于原函数的条件是
f−1(x)=f(x)'
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Q.06
'求函数的二阶导数。(1) y=√[3]{x}'
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Q.07
'综合函数 \\( f(x) \\) 对于任意实数 \ x, y \ 满足条件 \\( f(x+y)+f(x) f(y)=f(x)+f(y) \\),且在 \ x=0 \ 处可微分且 \\( f^{\\prime}(0)=1 \\)。'
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Q.08
'数学 (2) ∫ 1 / (x^2 - 4) dx = 1 / 4 ∫ [ 1 / (x - 2) - 1 / (x + 2) ] dx 平方根的解答中的分母被约掉后...'
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Q.10
'求解定积分 \ \\int_{0}^{1} \\frac{x^2+2}{x+2} dx \。'
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Q.11
'证明以下等式:\ \\int_{-1}^{0} \\frac{x^{2}}{1+e^{x}} d x=\\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}}{1+e^{-x}} d x \'
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Q.12
'求函数f(x)=∫₀ˣ(1-t²)eˣᵗ dt的极值。[东京商船大]'
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Q.13
'求定积分 \\( \\int_{0}^{1} \\frac{2 x+1}{(x+1)^{2}(x-2)} d x \\)。'
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Q.15
'假设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续,并且在区间 (a, b) 可微。'
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Q.18
'让我们尝试通过垂直于y轴的平面切割来计算体积。在y轴上取点Q,使OQ=y,将截面积记为S(y),然后计算 V= \\int_{0}^{a} S(y) dy。'
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Q.21
'(2) 通过将(1)中得到的结果视为x的函数并进行微分,求得当x不等于1时,求和1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)。'
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Q.25
'(1) 使用(1),求下列定积分。\n(一) \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{7} x dx \'
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Q.31
'求不定积分:\ \\int_{0}^{1} \\frac{dx}{2+3e^x+e^{2x}} \'
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Q.36
"通过置换积分法求解定积分 ∫[a,b] f(g(x)) g'(x) dx。"
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Q.37
"基本例题53导函数和恒等式\n将f(x)视为2次以上的多项式。\n(1)将f(x)除以(x-a)^2的余数表示为a, f(a), f'(a)。\n(2)求f(x)可以被(x-a)^2整除的条件。"
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