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数字和代数
基本数论 - 整数,分数,小数
Q.02
'[4]根据(1/y)+(1/z)=(1/3)和(1/z)≤(1/y)推出(1/3)≤(2/y),所以y≤6。结合y≥6推出y=6。\n这样,(1/z)=(1/3)-(1/6)=(1/6)。解方程得到z=6。'
A. ...
Q.04
'1到n的所有自然数,平方数和立方数之和可表示为:(1) 1+2+3+...+n = \\frac{1}{2} n(n+1) (2) 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2} = \\frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) (3) 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3} = \\left\\{\\frac{1}{2} n(n+1)\\right\\}^{2}'
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Q.15
'(2) \ \\frac{1}{1-\\frac{1}{1-\\frac{1}{1+a}}} \'
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Q.18
'练习题20 格点数\n(1)对于整数 k 大于等于0时,满足 \ \\frac{x}{3} + \\frac{y}{2} \\leqq k \ 的整数对 \\( (x, y) \\) 的数量记为 \ a_{k} \。用 k 表示 \ a_{k} \。\n(2)对于整数 n 大于等于0时,满足 \ \\frac{x}{3} + \\frac{y}{2} + z \\leqq n \ 的整数三元组 \\( (x, y, z) \\) 的数量记为 \ b_{n} \。用 n 表示 \ b_{n} \。\n[横滨国立大学]'
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Q.23
'当a>0, b>0时,请比较(𝑎+𝑏)/2,√(𝑎𝑏),2𝑎𝑏/(𝑎+𝑏),√((𝑎²+𝑏²)/2)的大小。'
A. ...
Q.24
'169(1)\ \\frac{110}{3} \ (2)\ \\frac{37}{12} \ (3)\ \\frac{9}{8} \ (4)\ \\frac{14 \\sqrt{14}}{3} \'
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Q.29
'45 \ \\frac{1}{\\tan \\frac{\\pi}{24}}-\\sqrt{2}-\\sqrt{3}-\\sqrt{6} \ 是一个整数。求它的值。'
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Q.32
'数列 {a_{n}} 的首项 {a_{1}} 到第 n 项 {a_{n}} 的和记作 {S_{n}}。若 {S_{n}+a_{n}=4 n+2},则 {a_{1}=} 甲 {,a_{2}=} 乙。将 {a_{n+1}} 表示为 {a_{n}} 的表达式是 {a_{n+1}=丙 {a_{n}+} 丁}。因此,这个数列的通项公式是 {a_{n}=戊}。'
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Q.35
'数列{an}满足a1=1,并且对于所有自然数m,有a2m=a2m-1+1,a2m+1=2a2m。'
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Q.38
'在一个圆上画 n 条弦,任意两条弦在圆内相交,没有三条弦共点。将这些弦分割的部分数量记为 D_{n}。这时,D_{3}=口的,D_{4}=1,D_{n}=ウ。另外,在 D_{n} 个部分中,多边形的数量记为 d_{n}。当 n≥4 时,d_{n}=エ。'
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Q.41
'证明数列 {an} (其中 {an}>0) 当关系式(∑an)^2 = a1^3 + a2^3 + ... + an^3 成立时,an = n。'
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Q.44
'练习81(1)|x| ≥ 1,所以|t| ≥ 1。 OA线段的斜率是1/t,OA线段的中点坐标是(t/2,1/2),所以OA线段的垂直平分线方程是y-1/2=-t(x-t/2),即y=-tx+(t^2+1)/2(|t| ≥ 1)。(2)y=-tx+(t^2+1)/2得到t^2-2xt-2y+1=0。记f(t)=t^2-2xt-2y+1,要求的条件是{关于使f(t)=0的判别式D满足(1)的实数t},因此D/4=x^2+2y-1 ≥ 0,即y ≥ -x^2/2+1/2。(1)满足条件的实数t都在-1<t<1内,即满足{D ≥ 0 f(-1) > 0 f(1) > 0 -1 <x <1},也就是{y ≥ -x^2/2+1/2 y < x+1 y < -x+1 -1 <x <1}。考虑从满足1条件的所有实数解中排除|t|<1的情况。'
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Q.45
'P ≥ 2√(a * 1/a) + 2√(b * 1/b) + 2√(c * 1/c) + 2√(abc * 1/abc) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 所以 (a + 1/b)(b + 1/c)(c + 1/a) ≥ 8'
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Q.47
'初始項為96,公比為-1/2,因此前7項的總和為96{1-(-1/2)^7}/(1-(-1/2))=96/(3/2)(1+1/128)=64*129/128=129/2'
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Q.49
'当同时掷几个骰子时,出现的数相乘为偶数的概率至少达到0.994以上,需要同时投掷几个骰子?其中,log_{10} 2=0.3010, log_{10} 3=0.4771。'
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Q.50
'23\\ n \\ 1,2,3 | 4,5,6,7,8 | 9,10,11,12,13,14,15 \\ mid 16, \\ cdots \\ cdots \\ n(1) \\ 第 \ n \ \\ 群の最初の数と最後の数を求めよ。\\ n(2) \\ 第 \ n \ \\ 群に含まれるすべての数の和を求めよ。\\ n(3) \\ 2014 \\ は第何群の何番目の数であるか。'
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Q.54
'数学 \ \\Pi \ 63 因此, \\( \\quad P(-1)=-a+b, P(1)=a+b \\) (1), (2) 得到 \ -a+b=5, a+b=7 \ 解方程组得到 \ \\quad a=1, b=6 \ 因此, 所求余数为 \ \\quad x+6 \'
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Q.55
'(2) \\( \\alpha=\eta=\\gamma=1 \\Leftrightarrow \\alpha-1=\eta-1=\\gamma-1=0 \\Leftrightarrow(\\alpha-1)^{2}+(\eta-1)^{2}+(\\gamma-1)^{2}=0 \\)'
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Q.56
'假设整数 a, b 均不是 3 的倍数, 令 f(x)=2 x^{3}+a^{2} x^{2}+2 b^{2} x+1。 (1) 求出 f(1) 和 f(2) 除以 3 的余数。'
A. ...
Q.57
'(4) \\sqrt[4]{16}=\\sqrt[4]{2^{4}}= 2, \\quad \\sqrt[4]{625}=\\sqrt[4]{5^{4}}= 5 ,'
A. ...
Q.64
'对于自然数n,当√(2n)+1/2>1时,an是大于1的整数。对于自然数m,当an=m时,m≤√(2n)+1/2<m+1,即m-1/2≤√(2n)<m+1/2。因为m-1/2>0,所以根据上述,(m-1/2)^2≤2n<(m+1/2)^2,得出m(m-1)/2+1/8≤n<m(m+1)/2+1/8。'
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Q.65
'数学B\n287\n从(1)得出a=6\n将此代入(2)得到6(36-d^{2})=162\n因此d^{2}=9\n因此d=±3\n因此,所求的3个数是3,6,9或9,6,3\n即\n3,6,9\n由于未明确三个数字的顺序,因此答案只需一种。\n另一种解法是将组成等差数列的三个数字序列记为a,b,c,根据条件\n2b=a+c\na+b+c=18\nabc=162\n将(1)代入(2)得到3b=18,因此b=6\n此时,根据(1)和(3)得到a+c=12,ac=27\n因此,a,c是方程x^{2}-12x+27=0的两个解。(x-3)(x-9)=0求解得x=3,9\n即\n(a,c)=(3,9),(9,3)\n因此,所求的3个数是3,6,9'
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Q.66
'第一组到第十一组的总数为66,因此,数列{an}的第77项是第12组第(77-66=11)(第11个)的数字。 因此,根据(1),数列{an}的第77项为12*11^2=1452。'
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Q.69
'数学 II\n即\\[ \\left(p, q\\right)=\\left(0,0\\),\\left(-2,-2\\) \\]\n当 \\( \\left(p, q\\right)=\\left(0,0\\) \\) 时, (2) 推出 \ \\quad a=0 \\n由于这不满足条件 \ a>0 \, 所以不符合。\n当 \\( \\left(p, q\\right)=\\left(-2,-2\\) \\) 时, (2) 推出 \ \\quad a=4 \\n这满足条件 \ a>0 \。\n因此, 所求整数 \ a \ 是 \ \\quad a=4 \\2\。考虑到与 \1\ 同理, 两个方程\n\ x^{2}+a x+b=0 \\n(4), \ y^{2}+b y+a=0 \\n的解都是整数。\n设 (4) 的两个解为 \ p, q \, 根据解与系数的关系\n\ p+q=-a, p q=b \\n由于 \ a>0, b>0 \, 因此 \ \\quad p+q<0, p q>0 \\n因此, \ p, q \ 都是负整数,即小于等于 -1 的整数。\n因此, 设 \\( f(x)=x^{2}+a x+b \\), 那么 \\( y=f(x) \\) 的图像只与 \ x \ 轴的 -1 及以下部分有交点。\n所以 \\( \\quad f(-1)=1-a+b \\geqq 0 \\) 即 \ \\quad a \\leqq b+1 \\n结合 \ a>b \, 得 \ \\quad b<a \\leqq b+1 \\n因此此时, (4) 变为 \\( x^{2}+a x+(a-1)=0 \\), 从而\n\\[ \\left(x+1\\right)\\left(x+a-1\\right)=0 \\]\n即整数解为 \ x=-1,-a+1 \。\n接着, 考虑 (5) 即 \\( y^{2}+b y+(b+1)=0 \\) 有整数解时的 \ b \ 的值。\n设 (5) 的两个解为 \ r, s\\left(r \\leqq s\ \\), 根据解与系数的关系可得\n\ r+s=-b \\]\n\\[ r s=b+1 \\n由 (7), (8) 消去 b 得到 \ r s+r+s=1 \, 因此 \\( \\quad \\left(r+1\\right)\\left(s+1\\right)=2 \\)\n由于 \ r, s \ 为整数, 那么 \ r+1, s+1 \ 也为整数。\n另外, 由 (7), (8) 可得, 同 \ p, q \,\ r, s \ 也是小于等于 -1 的整数,因此\n\ r+1 \\leqq 0, s+1 \\leqq 0 \\n从而, 由 9) 得到\n\\[ \\left(r+1, s+1\\right)=\\left(-2,-1\\) \\]\n即\n\\[ \\left(r, s\\)\\right=\\left(-3,-2\\) \\]\n由此可得, 由 (7) 得 \ \\quad b=5 \\n再由此可得 \ \\quad a=5+1=6 \\n因此, 所求整数组 \ \\left(a, b\ \\是 \\) \\left(a, b\\)=\\left(6,5\\)'
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Q.72
'(1) 当 n ≥ 2 时,从第1组到第 (n-1) 组的数字数量为 ∑_{k=1}^{n-1}(2 k+1)=2 ⋅ \\frac{1}{2}(n-1) n+(n-1)=n^{2}-1,因此第 n 组的第一个数字是自然数列的第 {n^{2}-1+1}=n^{2}(项),这也成立于 n=1。因此,第 n 组的第一个数字是 n^{2},第 n 组的最后一个数字是与包括到第 n 组的自然数列项的数量相匹配 ∑_{k=1}^{n}(2 k+1)=2 ⋅ \\frac{1}{2} n(n+1)+n=n^{2}+2 n'
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Q.73
'等差数列的通项公式和和\n通项公式 初项为 ,公差为 \n\\[\na_{n}=a+(n-1) d\n\\]\n等差中项\n数列 是等差数列 \n等差数列的和 从第一个到第 项的和 \n(1) 初项 ,第 项(末项) \n\\[\nS_{n}=\\frac{1}{2} n(a+l)\n\\]\n(2) 初项 ,公差 \n\\[\nS_{n}=\\frac{1}{2} n\\{2 a+(n-1) d\\}\n\\]\n自然数的和, 正奇数的和\n\\[\n\egin{array}{l}\n1+2+3+\\cdots \\cdots+n=\\frac{1}{2} n(n+1) \n1+3+5+\\cdots \\cdots+(2 n-1)=n^{2}\n\\end{array}\n\\]'
A. ...
Q.74
'数列 a、b、c 构成等差数列,因此 2b=a+c\n数列 b、c、a 构成等比数列,因此 c^2=ab\n因为a、b、c的乘积为125,所以abc=125\n将(2)代入(3)得到 c^3=125\n因为c是实数,所以c=5\n将(1)、(2)代入得到 2b=a+5,ab=25\n消去b后得到 a(a+5)=50\n因此a^2+5a-50=0\n所以a=5,-10\n根据ab=25,得到b=25/a\n例\n\\triangleleft 36-d^2=27\n数\n列\n平均形2b=a+c用于解答\n和为p,乘积为q的两个数字是二次方程式x^2-px+q=0的两个解(数学 II)\n4\n(公比)=(第2项)/(初项)\n4 a_n=2*(-3)^n 是错误的。\n4(-1)^{可效}=-1\n可以将(2)除以(1)得到 r^3=-8\n4 a_n=ar^{n-1}\n等差数列的平均形式\n等比数列的平均形式\n将ab=c^2代入(3)\n第1式\n(第2式)×2代入\n4(a-5)(a+10)=0'
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Q.76
'数列 {a_n} 是首项 {a_1} = \\frac{1}{4}-\\frac{1}{3}=-\\frac{1}{12},公比为 -\\frac{1}{8} 的等比数列,因此求数列 {a_n} 的通项。'
A. ...
Q.78
'在数学A中学到了“排列组合”的概念。当将从1到n的数字排成一行时,如果从左边起第k个数字不是k,则称其为完美排列。另外,将n个物品的完美排列数量记为W(n),称为蒙摩尔数,其中W(1)=0,W(2)=1,W(n)=(n-1){W(n-1)+W(n-2)}(n ≥ 3) (详见,图解数学I+A第264页)。在这里,考虑用n的表达式表示W(n)的递推式。为了简化表示,我们考虑了将1重写成如下递推式。'
A. ...
Q.79
'假设数列 {a_n} 的第l项和数列 {b_n} 的第m项相等,满足条件 15l-2=7・2^{m-1}。请解决这个问题。'
A. ...
Q.84
"在第一轮选举中B党和C党的席位总数为5个,但是在第二轮中,通过合并组建了E党,并且假设在合并前后获得了相同的总票数,其他政党的选票不变,那么席位数将变为6个。因此,政党合并可能会改变席位数,但是关于杜恩特式(D'Hondt)的席位分配有以下已知特性。"
A. ...
Q.85
'(2) 解2tí xínghéngshì \ x^{2}-x-m=0 \ de 2 gè zhěngshù jiě wèi \\( \\alpha, \eta(\\alpha \\leqq \eta) \\) , cóng jiě hé xìshù de guānxì kě yǐ dé \n\ \\alpha+\eta=1 \\nBiàn xínghéng \n\\[ \\text { (1), } \\alpha \eta=-m \\]\nDāng \ m \ shì zìránshù de shí, yīnwèi \ \\quad \\alpha \eta<0 \ yīncǐ, \ \\alpha \ hé \ \eta \ shì yì fúhào, \ \\alpha<0, \eta>0 \ de zhuàngshì。\nCóng (1) kě zhǐ \ \\alpha=1-\eta \ \n\ \\alpha<0 \ cóng \ \\quad 1-\eta<0 \\nYīn cǐ \ \\quad \eta>1 \'
A. ...
Q.86
'(3) 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^n = 2^{n+1} - 1,所以 an = 2^{n+1} - 1 2008 = 4 * 502,因此,根据 (2),2^{2008} - 1 除以 17 的余数为 0。因此,2^{2008} = 17k + 1(这里 k 是整数)表示。因此 an = 2^{2011} -1 = 2^{2008} * 8 - 1 = (17k + 1) * 8 - 1 = 17 * 8k + 7。因此,an 除以 17 的余数为 7,同时 2012 = 4 * 503,因此 an = 2^{4 * 503} - 1,根据 (2),则 a_{2012} = 2^{2014} - 1。'
A. ...
Q.87
'\\(\\frac{1}{b-a}\\left(\\frac{1}{x+a}-\\frac{1}{x+b}\\right) = \\frac{1}{b-a} \\cdot \\frac{(x+b)-(x+a)}{(x+a)(x+b)} = \\frac{1}{b-a} \\cdot \\frac{b-a}{(x+a)(x+b)} = \\frac{1}{(x+a)(x+b)}\\)'
A. ...
Q.88
'当数列以 a₁=1 开始时,满足条件。当 a₁=2 时,a₂=1,仍然满足条件。接下来考虑 a₁>2 的情况。假设对于所有自然数 n,aₙ>2,由 (2) 知,a₁>a₃>a₅>a₇>⋯。因此,存在一个自然数 m 满足 a₂ᵐ⁺¹≤2。这与假设相矛盾。因此,存在某个自然数 n 满足 1≤aₙ≤2,若存在自然数 n 使 aₙ=1,则满足条件。若存在自然数 n 使 aₙ=2,则 aₙ₊₁=1,仍然满足条件。综上所述,无论数列 {aₙ} 以哪个值开始,都必定包含一个值为 1 的项。'
A. ...
Q.90
'在两位数中,能被55整除余3的数为5·2+3,5·3+3, … , 5·19+3,这是首项为13,末项为98,项数为18的等差数列,因此,其和为1/2·18(13+98)=999'
A. ...
Q.93
'(2) 20=2^{2} \\cdot 5,10=2 \\cdot 5, 所以, 20^{x}=10^{y+1}, 因此 2^{2 x-y-1}=5^{y+1-x} (1). 假设 y+1-x \\neq 0, 则由 (1) 得 2^{\\frac{2 x-y-1}{y+1-x}}=5 \\cdots\\cdots\\cdot(2), 当 x, y 是有理数时, 2 x-y-1, y+1-x 都是有理数, 且 \\frac{2 x-y-1}{y+1-x} 也是有理数。另外, 由 (2) 得 2^{\\frac{2 x-y-1}{y+1-x}}>1, 所以 \\frac{2 x-y-1}{y+1-x}>0, 因此 \\frac{2 x-y-1}{y+1-x}=\\frac{m}{n}(m, n 是正整数), 可表示为 2^{\\frac{m}{n}}=5. 两边乘以 n 得 2^{m}=5^{n}, 左边是2的倍数,右边却不是2的倍数,矛盾。所以 y+1-x=0. 在这种情况下, 由 (1) 可得 2^{2 x-y-1}=1, 因此 2 x-y-1=0 (4), (5). 解方程组得 x=0, y=-1'
A. ...
Q.97
'提案的相对分配方式(1).....都不式\n介绍日本的国家选举中关于比例代表选举席位分配的方法。比例代表选举中,根据每个政党的得票数,按照称为“多顿式”的计算方法确定每个政党获得的席位数量。本文将解释“多顿式”的具体方法以及具体示例。 *“多顿式”是由比利时数学家维克托尔·多顿(1841-1902)设计的方法。'
A. ...
Q.02
'给定等差数列{a_{n}},其中首项为a,公差为d,则每一项可以表示为:\na,a+d,a+2d,a+3d,...,a+(n-1)d。请计算该数列的第n项a_{n}。'
A. ...
Q.06
'求整数x,y,z满足约束x≥0,y≥0,z≥0和(x/3)+(y/2)+z≤n的组合(x,y,z)的数量b_n。'
A. ...
Q.11
'请解释以下有关帕斯卡三角形的性质:\n1. 每一行的两端数字。\n2. 除了两端以外的每个数字的性质。\n3. 数字的排列。'
A. ...
Q.13
'假设实数p,q满足|p|≤1,|q|≤1,|p-q|≤1。将0、p、q中的最大值定义为M,最小值定义为m。证明以下不等式成立。'
A. ...
Q.14
'两个粒子在时刻0位于三角形ABC的顶点A。这两个粒子独立运动,每隔1秒等概率地移动到相邻的顶点。设n为自然数,令这两个粒子在时刻0的n秒后处于同一点的概率为pn。'
A. ...
Q.16
'从给定的递推式中,对于任意自然数 n,存在自然数 a_{n},且a_{n}<a_{n+1}。 因此,当 n \\geqq 2时,a_{1},... a_{n-1} 不是 a_{n}的倍数,但 a_{n}是 a_{n}的倍数。接下来,当 n\\geqq 2时,通过关于 m 的数学归纳法证明对于任意自然数 m,a_{n+m}-a_{m}是 a_{n}的倍数。'
A. ...
Q.18
'当a、b、c均为小于1的正数时,证明三个不等式a(1-b)>1/4,b(1-c)>1/4,c(1-a)>1/4不可能同时成立。'
A. ...
Q.19
'综合练习369 由 2^{4n}-1 ≡ (-1)^n-1 (mod 17) 得到 当 n 为偶数时 2^{4n}-1 ≡ 0 (mod 17) 当 n 为奇数时 2^{4n}-1 ≡ -2 ≡ 15 (mod 17) 因此,所求余数是 当 n 为偶数时为 0,当 n 为奇数时为 15 (3) 2008=4 × 502 因此,由 (2) 可知 2^{2008}-1 ≡ 0 (mod 17) 即 2^{2008} ≡ 1 (mod 17) 所以 2^{2011} ≡ 2^3 · 1 ≡ 8 (mod 17) 2^{2012} ≡ 2 · 8 ≡ 16 (mod 17) 2^{2013} ≡ 2 · 16 ≡ 32 ≡ 15 (mod 17) 2^{2014} ≡ 2 · 15 ≡ 30 ≡ 13 (mod 17) 因此 a_{2010} ≡ 2^{2011}-1 ≡ 7 (mod 17) a_{2011} ≡ 2^{2012}-1 ≡ 15 (mod 17) a_{2012} ≡ 2^{2013}-1 ≡ 14 (mod 17) a_{2013} ≡ 2^{2014}-1 ≡ 12 (mod 17)'
A. ...
Q.20
'由于 \\(\\sum_{k=1}^{n}\\left(a_{k}-k\\right)^{2} \\geqq 0\\),所以当 \\(\\sum_{k=1}^{n}\\left(a_{k}-k\\right)^{2}=0\\) 时,\1 \\cdot a_{1}+2 a_{2}+\\cdots \\cdots+n a_{n}\ 取得最大值,即 \\(a_{k}=k(k=1,2, \\cdots \\cdots, n)\\)。因此,所需的数列是 \1,2,3, \\cdots \\cdots, n\。'
A. ...
Q.24
'请使用常用对数表计算以下问题,直至小数点后两位:(1) 2.37 × 3.79 (2) 7.67 ÷ 2.86'
A. ...
Q.25
'102最大值16,点P的坐标是(5 / sqrt(26),1 / sqrt(26))或(-5 / sqrt(26),-1 / sqrt(26))'
A. ...
Q.26
'62\n(1) (ア) 3\n(イ) \ -\\frac{5}{2} \\n(2) \ \\frac{13}{4} \'
A. ...
Q.27
'求解公差数列的首项a和公差d,使得从第一项到第五项的总和为125,从第一项到第十项的总和为500。'
A. ...
Q.32
'由於首項為2,公差為17/6-2=5/6,末項為12是第n項,則2+(n-1)・5/6=12,因此n=13,求等差數列的和為S=1/2・13(2+12)=91'
A. ...
Q.35
'对于实数x,用[x]表示不超过x的最大整数。定义数列{a_{k}}为a_{k}=2^[\\sqrt{k}] (k=1,2,3,......)。对于正整数n,求b_{n}=\\sum_{k=1}^{n^{2}} a_{k}。'
A. ...
Q.45
'点(x,y)在ΔOAB内的条件表示为x>0,y>0,x+y<1。设2x+y=X(2),x+2y=Y(3),则3x=2X-Y,2×(3)-(2)得到3y=-X+2Y,即x=(2X-Y)/3,y=(-X+2Y)/3。将这些代入(1)得到x>0,则2X-Y>0;y>0,则-X+2Y>0;x+y<1,则(X+Y)/3<1,即X+Y<3。因此,Y<2X,Y>1/2X,X+Y<3。因此,点(X,Y)或点(2x+y,x+2y)的移动范围是当变量变为x,y时,系统不等式y<2x,y>1/2x,x+y<3表示的区域。因此,所求范围是右图中斜线部分,但不包括边界线。'
A. ...
Q.47
'若数列 {a_{n}+b_{n}} 的首项 {a_{1}+b_{1}=2},公比为2的等比数列,则求其通项。'
A. ...
Q.52
'把数列 {an} 按比值为非零首项为1的等比数列。另外,数列 {bn} 满足 b1=a3, b2=a4, b3=a2 的等差数列。'
A. ...
Q.53
'求下列和数列的总和:\n(1) 等差数列2,8,14,...,98的总和\n(2) 首项为100,公差为-8的等差数列从第1项到第30项的总和\n(3) 第8项为37,第24项为117的等差数列从第10项到第20项的总和'
A. ...
Q.56
'针对公差为-3的等差数列{an},请回答以下问题:1. 求通项an。2. 第几项首次为负数。3. 从第一项开始到第几项和达到最大值,以及此时的和。'
A. ...
Q.64
'训练26\n\ n \ 是一个自然数。请使用数学归纳法证明以下等式:\n\\[\n1 \\cdot 4+2 \\cdot 5+3 \\cdot 6+\\cdots \\cdots+n(n+3)=\\frac{1}{3} n(n+1)(n+5)\n\\]'
A. ...
Q.69
'已知首项为1、公差为4的等差数列{an},以及首项为-9、公差为6的等差数列{bn}。求这两个数列的公共项并按从小到大排列得到数列{cn}的通项。'
A. ...
Q.70
'在例1中,政党B的得票数为7000,政党C的得票数为6000,在例2中,政党E的得票数为13000的情况下会发生什么?'
A. ...
Q.72
'让我们列举一些代表性的分数计算例子。\n(1) 约分\n......通过将分子和分母除以它们的公因数来约分,不能再约分的分数称为既约分数。\n例:\n\\(\\frac{x^{2}+7x+12}{x^{2}+8x+15}=\\frac{(x+3)(x+4)}{(x+3)(x+5)}=\\frac{x+4}{x+5}\\)\n\\\frac{12}{15}=\\frac{3 \\cdot 4}{3 \\cdot 5}=\\frac{4}{5}\'
A. ...
Q.76
'设首项为1,公比为3的等比数列为{b_{k}}。对于每个自然数n,将满足b_{k}≤n的最大的b_{k}记为c_{n}。求Σ_{k=1}^{30} c_{k}。'
A. ...
Q.77
'系数a、b是整数的3次方程x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0有两个虚数解和一个负整数解。满足这个条件的整数组(a, b)有对。'
A. ...
Q.89
'(2)(1/2)^{n} <0.001 两边取常用对数得 n log_{10} 2>-3 因此 n>3/ \\log_{10} 2=9.96... 满足这个不等式的最小自然数 n 是 n=10'
A. ...
Q.90
'有一个公差为3的等差数列{an},首项为7,以及一个公差为5的等差数列{bn},首项为8。这两个数列的共同项按从小到大的顺序排列成数列{cn}。请求出数列{cn}的通项。'
A. ...
Q.92
'如果每年年初存入20万日元,以每年1%的复利计算,则求10年后年底的本息合计(即每年年初本金和利息的总额)。请使用1.01的10次方等于1.105进行计算。'
A. ...
Q.95
'当三个点A(1,1), B(2,4), C(a,0)为三角形ABC的顶点且为直角三角形时,请求常数a的值。'
A. ...
Q.96
'求解以下值。(1) \ \\sqrt[4]{16} \ (2) \ -\\sqrt[3]{64} \'
A. ...
Q.06
'请判断以下数列是等差数列还是等比数列。\n1. 数列 4, 7, 10, 13\n2. 数列 3, 6, 12, 24'
A. ...
Q.09
'骑自行车上学的A同学一天以每小时12公里的速度去学校,回来时一边推着自行车一边与朋友一起以每小时6公里的速度步行回家。那么,这一天A同学的平均移动速度将是多少千米每小时?'
A. ...
Q.11
'当公差为d的等差数列{an}满足∑(n=1)^(18)an=135, ∑(n=19)^(36)an=783时,a1= d= 的。'
A. ...
Q.12
'数列{an}的初项到第n项的和Sn是Sn=-n^2+24n(n=1,2,3,...)给出时,求使an<0的自然数n的范围,并计算∑_(k=1)^40|ak|。'
A. ...
Q.16
'\\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)'
A. ...
Q.17
'(4) \ \\\\sqrt[3]{54} \\\\times 2 \\\\sqrt[3]{2} \\\\times \\\\sqrt[3]{16} \'
A. ...
Q.18
'求出以下数列的第 n 项。\n1. 首项为 3,公差为 2 的等差数列\n2. 首项为 2,公比为 3 的等比数列'
A. ...
Q.25
'(1) 求首项为7,公比为1/2的等比数列的通项公式a_{n}。 (2) 求以下等比数列的公比。同时,求通项公式a_{n}。 (a) 3,-3,3,-3,... (b) -16/27,4/9,-1/3,1/4,...'
A. ...
Q.34
'61(1)\\\\(x=-1, \\frac{1 \\pm \\sqrt{3} i}{2} \\)'
A. ...
Q.36
'求等比数列的首项和公比。公比为实数。(1)第3项为18,第5项为162。(2)第2项为4,第5项为-32'
A. ...
Q.37
'在与示例1相同的选举中,政党B和政党C合并成立了新的政党E,合并前后得票总数相同。另外,假设其他政党的得票数保持不变,则政党A的得票数为10000,政党D的得票数为4000,政党E的得票数为15300。(表中的小数部分已被舍去)'
A. ...
Q.41
'令TR \ \\log _{10} 2=0.3010 \,求满足以下条件的自然数 \ n \ 的值。'
A. ...
Q.43
'求等比数列的首项和公比。公比为实数。(1) 第3项为-18,第6项为486 (2) 第6项为4,第10项为16'
A. ...
Q.44
'利用二阶差分数列,求下列数列 {a_{n}} 的通项公式。(1) 20,18,14,8,0, ...'
A. ...
Q.47
'对自然数数列进行分组,使第n组包含2n个数字。 1,2|3,4,5,6| 7,8,9,10,11,12 | 13,14, …… (1)求第n组的第一个数字。 (2)求第n组中所有数字的总和。'
A. ...
Q.49
'对于不同的两个实数a,b,如果a,2,b成等比数列,且1/2,1/b,1/a成等差数列,则a=,b=。'
A. ...
Q.51
'基础示例3确定第4个等差数列的解法(1)...等差数列{an},其中第5个项为3,第10个项为18'
A. ...
Q.53
'(4) 点 (x, y) 在坐标平面上的两个坐标都是整数时,该点称为格点。 在本问题中,“区域内”指该区域的内部和边界线。'
A. ...
Q.54
'设a为正常数。确定a的取值范围,使得2x^{2}+y^{2}-1=0, x^{2}+y^2-4x-4y+8-a=0有公共点。'
A. ...
Q.61
'有很多同质质量的玻璃板。当叠放10张玻璃板通过光线时,光线的强度变为最初的2/5倍。要将通过的光线强度降至最初的1/8以下,需要叠放多少玻璃板?已知log10 2 = 0.3010,log10 5 = 0.6990。'
A. ...
Q.77
'当黑色正方形的边长为9厘米时,在白色正方形内部摆放整数,需要摆放哪些整数范围?请列出所有可能的整数。'
A. ...
Q.79
'要完全反应11.2mL的氢气,至少需要5.6mL的氧气。包含5.6mL氧气的空气体积可以从表1中空气占比得出,即5.6÷0.21=26.66,取整得出26.7mL。'
A. ...
Q.80
'A先生离开学校的时间是0到60分钟后,到达K站是12到72分钟后,到达M站是14到74分钟后。此外,火车从K站出发的时间是8的倍数,火车从M站出发的时间是5的倍数,可以用下图1表示。然而,从图1无法得知等待时间的差异,所以将M站的图向右移动2分钟,使到达车站的时间相同,得到如下图2所示。从图2可以看出,在粗线部分到达车站时等待时间相同。在这种情况下,如果A先生在M站确定出发学校的时间,则可以得出从45-14=31分钟后到50-14=36分钟后(A为45-2=43分钟后)。如果在K站确定出发的时间,则从43-12=31分钟后到图表中看到的时间段内。'
A. ...
Q.81
'将144张写有数字1, 2, 3, ..., 143, 144的卡片堆成一摞放在旁边有一个盒子的山上。'
A. ...
Q.82
'就第二份资料“气压变化图”回答以下问题。(1)选择合适的词语或符号填入[]内,并用○标出。\n台风周围,离其中心越近,气压就越低。因此,从我校观测数据制作的图表可知,是 [(I)[ (低) 确定的。另外,从资料2的图表中可以确定,每个观测点台风中心距离最近的时间。比较东京和銚子的图表后会发现,最先接近台风中心的是 东京的图表 [(III)[ (低) , 銚子的图表则是 [(V)[ (高) 。'
A. ...
Q.84
'(5) 千叶区的地层以每千年2米的速度堆积,因此,从77.3万年前形成的火山灰层到距离上层1.6米的层堆积所需的时间是1000×1.6/2=800(年)。因此,77.3万-800=77.22(万年),地磁场变为当前方向是在77.2万年前。'
A. ...
Q.86
'(6) 从幕张车站到幕张本郷车站的火车,在最初的60秒内前进600米,接下来的17.5秒内前进20 × 17.5 = 350米。因此,两列火车相遇的位置是从幕张车站开始,即600 + 350 = 950米的位置。'
A. ...
Q.88
'气象局公布的气温等平均值是从西历年份的个位数为"1"的年份开始连续30年的数字求平均得出的。从2021年5月19日开始,以前的1981年至2010年的数据被1991年至2020年的30年数据所取代。'
A. ...
Q.89
'河流的上游和下游分别有点A和点B,两者之间航行的船只P和Q进行了一次往返。船只P从上游的A出发,到达B后立即返回A。船只Q从下游的B出发,到达A后立即返回B。\n船只P和Q同时从A和B出发,在点C相遇,然后在点D相遇。C和A之间的距离与C和B之间的距离比为3:2,C和D相距120米。\n在静水中,船只P和Q的速度均恒定,船只Q的速度是船只P速度的1.5倍。船只P往返于A和B之间需要48分钟。此外,假设河流的流速是恒定的。\n请回答以下问题:\n(1)船只Q往返于A和B之间需要多少时间?'
A. ...
Q.90
'当边长为14厘米的黑色正方形时,白色正方形的数量为(14+1)x4=60,所以,用两个整数的乘积表示60,可得60=1x60,2x30,3x20,4x15,5x12,6x10。'
A. ...
Q.91
'请在括号中填入正确的内容。点(2)的纵轴数值代表第(甲)代个体数量,点(3)的纵轴数值代表第(乙)代个体数量。'
A. ...
Q.92
'(1) 由于塑料管的内部截面积为0.25 cm^2,所以在20°C时,氮气的体积为0.25×14.0=3.5 (cm^3),氧气的体积为0.25×30.0=7.5 (cm^3)。'
A. ...
Q.93
'求解情况的数量\n(1)首先是A先生的第20个数字。如图1所示, 当千位为1时,百位有4种可能,十位有3种可能,个位有2种可能,因此四位数中,从左边数起第24个数是1976。从这里开始逆推,从大到小绘制树状图,如图2所示,从小到大的第20个数是1947。另外,A先生的卡片号码是2938。'
A. ...
Q.94
'(7) (1)〜(3) 要堆积 1 米同厚度的地层,千叶需要 1000 ÷ 2 = 500 年,意大利则需要 5000 年,所以地层堆积速度千叶方面更快,为 1/500 ÷ 1/5000 = 10 倍。'
A. ...
Q.96
'在黑色的正方形周围排列边长为 1 厘米的白色正方形。下图显示了从左到右分别为边长为 1 厘米、2 厘米、3 厘米等等的黑色正方形周围排列的白色正方形。在白色正方形的格子中,数字 A 出现 A 次,以及从某个整数开始以连续超过 2 个不同整数排列。例如,正如图 1 左侧所示,当黑色正方形的边长为 2 厘米时,使用 3 个 3、4 个 4、5 个 5 可以准确排列。但是,就像图 1 右侧那样,无法准确排列 4 个 4、5 个 5、6 个 6。此外,就像图 2 那样,当黑色正方形的边长为 8 厘米时,可以准确排列从 1 到 8 和从 11 到 13 的整数。'
A. ...
Q.97
'2020年度涉谷教育学院幕张中学校数学第一次考试\n1(3)继续进行操作,最后留在山上的卡片是什么?'
A. ...
Q.99
'根据第3行下划线c中所述,屋岛之战的古战场位于现今的香川县境内。香川县出身的内阁总理大臣有大平正芳。关于大平正芳在1970年代担任外交大臣和内阁总理大臣时的事件,给出了下面的文句A〜D,请从以下选项中选择一个正确的组合,并用编号回答。'
A. ...
Q.02
'(3) 关于单位的定义\n"质量"的单位标准是在19世纪末开始使用"千克原器"。原因是,因为"1000cm^3水"的质量受水的条件影响而不同。而"千克原器"是固体金属,所以其质量不会受条件的影响。请考虑会改变"1000cm^3水"质量的"水的条件",并写下一个条件。'
A. ...
Q.04
'将11.2毫升气体3与空气反应。请至少给出保证气体3不残留所需的空气体积,结果精确到小数点后一位。'
A. ...
Q.06
'2020年清华至教育学园幕张中第二次(2)\n(2)船P和船Q在地点D相遇, 过了多少分钟自出发后?'
A. ...
Q.07
'(2)电灯泡距离为100厘米时的照度为120勒克斯,距离为50厘米时的照度为500勒克斯,所以,120除以500等于0.24,因此,距离为100厘米时的照度约为距离为50厘米时的照度的四分之一。'
A. ...
Q.10
'在日本,电视广播始于1953年,稍后在1950年代末期开始了高度经济增长时期。那时家庭电器开始普及到全国各家庭,黑白电视机、电动洗衣机和电冰箱被称为“三宝”。空调和汽车连同彩色电视一起被称为“3C”,在高度经济增长的后期得到普及。普通选举法和治安维持法于1925年大正时代末期颁布,同年开始广播电台。'