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数字和代数

基本数论 - 质数和因数分解

Q.01

'请说明因式定理。'

A. ...

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Q.02

'利用二项定理证明以下等式成立:{ }_{n} C_{0}+{ }_{n} C_{1}+{ }_{n} C_{2}+⋯+{ }_{n} C_{n}=2^n'

A. ...

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Q.03

'公约数(多项式):两个或两个以上多项式的一个多项式,它整除所有给定多项式的最大多项式。'

A. ...

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Q.04

'(1) 如果m是素数,则证明d_{m}=m。\n(2) 对于所有自然数k,利用数学归纳法证明k^m-k可以被d_{m}整除。'

A. ...

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Q.05

'证明对于所有的自然数 n,表达式4^{2n+1} + 3^{n+2} 是13的倍数。'

A. ...

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Q.06

'数学 II\n(1)由 (α-2)(α+3)=0 得 α=2,-3\n(2) 由 α=2 时 k=8, α=-3 时 k=-27\n因此 k=8,-27'

A. ...

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Q.07

'练习(1)证明当n为自然数时,4^(2n+1)+3^(n+2)是13的倍数。'

A. ...

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Q.08

'(1) 将 k3 k^ 3 除以 n n 的商为 q q , 余数为 r r , 则 k3=qn+r(0rn1) k^ 3=qn+r(0≤r≤n-1) n n k k 互质时, n n k3 k^ 3 互质。 因此 r0 r≠0 , 所以 1rn1 1≤r≤n-1 (1) 两边除以 n n 可得 frack3n=q+fracrn \\frac{k^ 3}{n}=q+\\frac{r}{n} 1rn1 1≤r≤n-1 可知, frac1nfracrn1frac1n \\frac{1}{n}≤\\frac{r}{n}≤1-\\frac{1}{n} 因此 0 < fracrn\\frac{r}{n} < 1, 所以 left[frack3nright]=left[q+fracrnright]=q \\left[\\frac{k^ 3}{n}\\right]=\\left[q+\\frac{r}{n}\\right]=q '

A. ...

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Q.09

'(2) 证明对于所有的k,k^m - k可以被d_m整除。[1] 当k=1时,有1^m - 1 = 0,并且d_m ≠ 0,因此0可以被d_m整除。因此,(1)成立。[2] 假设k=l时(1)成立,即l^m - l可以被d_m整除。考虑k=l+1的情况,(l+1)^m - (l+1)={m C_0 l^m + m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m - (l+1)} = {l^m - l} + {m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m-1 l} 根据假设,l^m - l可以被d_m整除。另外,d_m是{m C_1, m C_2, ..., m C_(m-1)}的最大公约数,因此这些项也可以被d_m整除。因此,(l+1)^m - (l+1)可以被d_m整除。因此,当k=l+1时,(1)也成立。由[1],[2]可知,对于所有自然数k,(1)都成立。'

A. ...

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Q.10

'假设p是素数,r是正整数,请证明以下内容:\n(1) 当x₁,x₂,...,xᵣ都是正整数时,\\( \\left(x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{r}\\right)^{p}-\\left(x_{1}{ }^{p}+x_{2}^{p}+\\cdots+x_{r}^{p}\\right) \\)是p的倍数。\n(2) 当r不能被p整除时,\ r^{p-1}-1 \是p的倍数。\n[类 东大]'

A. ...

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Q.11

'证明当p是素数时,做以下证明:\n(1)对于满足1 ≤ k ≤ p-1的自然数k,对应的 p_k 选择k 是p的倍数。\n(2)2^p-2 是力的倍数。\n[Tohoku Gakuin University]'

A. ...

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Q.12

'设将三个字母(a、b、c)横向排列n个构成长度为n的单词。其中n=1,2,3,……。例如,abbaca、caab都是长度为4的不同单词。在所有长度为n的单词中,将包含奇数个a的定义为xn,其他的定义为yn。求解xn和yn。'

A. ...

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Q.13

'练习55 (1) [1] 中给出 m=2 时, d_2 是能整除最大的自然数, 即 d_2=2, 也成立 d_m=m。[2] 当 m 大于等于3 且为素数时, {m C_1}=m, 所以只需证明 {m C_2, m C_3, ..., m C_m - 1} 都是 m 的倍数即可。对于 k=2,3,…,m-1, {m C_k} = (m!) / (k!(m-k)!) = (m/k) * ((m-1)! / (k-1)!(m-k)!) = (m/k) * {m-1 C_k-1} 所以 k * {m C_k} = m * {m-1 C_k-1} 因为 m 大于等于3 且 k 处于 2 到 m-1 之间, 所以 k 和 m 互质。因此, {m C_k} 是 m 的倍数。因此, d_m=m 也成立。由 [1], [2] 可知, 若 m 为素数, 则 d_m=m。'

A. ...

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Q.14

'综合演习'

A. ...

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Q.15

'(3) \ m, n \ 是自然数,\ p \ 是素数,因此,\ m, n, p \ 是非零实数。因此,通过(1),得到 \ \\frac{1}{m} + \\frac{1}{n} = \\frac{1}{p} \。另外,在 \ a^{m} = b^{n} \ 中,满足 \ 1 < a < b \,因此\ a^{m} = b^{n} > a^{n} \\text { 即 } a^{m} > a^{n} \\\\\\\底数 \ a \ 大于1,因此 \ m > n \。因此,由(2)得到 \ m = p^{2} + p, n = p + 1 \,因此\\[ a^{p^{2} + p} = b^{p + 1} = (a b)^{p} \\]\\\\'

A. ...

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Q.16

'(1)的解为α,β,且f(x)=x^2+2ax+a-1。 α,β在(2)的两个解之间的条件是,在(3)条件下f(α)<0,f(β)<0。'

A. ...

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Q.17

'当非零实数x,y,zx, y, z满足3x=2y=5z=(\x0crac65)73^{x}=2^{y}=5^{z}=(\x0crac{6}{5})^{7}时,求\x0crac1x+\x0crac1y\x0crac1z\x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{1}{z}的值。'

A. ...

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Q.18

'假设整数a,b不是3的倍数,并设f(x)=2 x^{3}+a^{2} x^{2}+2 b^{2} x+1。证明不存在满足f(x)=0的整数x。'

A. ...

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Q.19

'当4x=6y=244^{x}=6^{y}=24时,求frac1x+frac1y\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}的值。'

A. ...

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Q.20

'让我们回顾一下二次方程的根!当 b^2-4ac=0 时,实数解是平方根的情况。在二次方程 ax^2+bx+c=0 的解的公式 x=-b±√(b^2-4ac)/(2a) 中,当 b^2-4ac=0 时,√(b^2-4ac) 和 -√(b^2-4ac) 都是0,因此解为 x=-b/(2a)。'

A. ...

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Q.21

'超过10723张'

A. ...

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Q.22

'设n是大于或等于3的自然数,证明不等式4^{n}>8 n+1(A)。'

A. ...

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Q.23

'多项式 2x^3+5x^2-23x+10 的因数是哪一个?'

A. ...

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Q.24

'当且仅当 k ≥ 0 时,存在实数 x,y 满足方程 x² - xy + y² = k 和 x + y = 1。'

A. ...

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Q.25

'如何找到使P(k)=0的k'

A. ...

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Q.26

'基础57:根据可整除条件求系数'

A. ...

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Q.27

''

A. ...

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Q.28

'如果一年利率为1%,以每年复利方式存入100万日元,第几年利息和本金加起来首次超过110万日元?可以使用常用对数表。'

A. ...

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Q.29

'2020年度Shibuya Education Institute Makuhari Middle School arithmetic first exam'

A. ...

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Q.30

'将不是平方数或立方数的大于1的整数按从小到大的顺序排列。 2,3,5,6,7,10,11, \\cdots \\cdots 当时,从小到大数数到第2020个整数是多少。'

A. ...

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Q.31

'(4)黑色正方形的边长在1厘米以上100厘米以下时,白色正方形的数量在8个以上((1+1)x4 = 8个)404个以下((100+1)x4 = 404个)。而无法用连续整数之和表示的数除了1之外不具有奇数约数,这样的数可用素数之积表示为2 x ・・・ x 2。因此,在上述范围内,有8个(个)、16个(个)、32个(个)、64个(个)、128个(个)、256个(个),对应于每种情况下黑色正方形的边长分别为1厘米、3厘米、7厘米、15厘米、31厘米、63厘米。'

A. ...

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Q.32

'「百八の煩脑」是什么意思?'

A. ...

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Q.33

'每次大使拜访总理时都受到热烈欢迎。'

A. ...

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Q.34

'关于第5题中的下划线部分d,外汇汇率与外国货币的兑换比率称为外汇市场。针对下面关于此事项的文X和Y,请从以下选项中选择一个正确的选项组合并回答。'

A. ...

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Q.35

'各 6 点 × 2'

A. ...

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Q.36

'(2) 3240被表示为质数的积,则3240 =2×2×2×3×3×3×3×5。'

A. ...

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Q.37

'从小到大排列不是平方数的大于1的整数, 依次为2,3,5,6,7,8,10, ...,请问从小到大数第300个整数是多少?'

A. ...

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Q.38

None

A. ...

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Q.39

'(1) 使用二项式定理证明不等式2n>\x0crac16n32^{n}>\x0crac{1}{6} n^{3}成立。(2) 求limnrightarrowinftyfracn22n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n^{2}}{2^{n}}的值。'

A. ...

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Q.40

'参考线复线'

A. ...

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Q.41

'证明对于两个整数 a、b,如果 a+b 和 ab 互质,则 a 和 b 互质。'

A. ...

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Q.42

'求56以下的自然数中与56互质的数量。'

A. ...

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Q.43

'设a,b为自然数,则a + b = p + 4, ab^{2} = q。找出满足条件的素数p和q。'

A. ...

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Q.44

'证明:从1到50的整数中选择任意26个不同的数,必定包含和为51的两个数。'

A. ...

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Q.45

'证明n^{2}+1是5的倍数,当且仅当n被5除的余数为2或3。'

A. ...

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Q.46

'关于 PR 3500 的正因数'

A. ...

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Q.47

'素数是大于1的自然数,它的正整数因子只有1和它本身,而非素数的数则被称为合数。例如2,3,5,7,11等是素数,而4,6,8,9等是合数。'

A. ...

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Q.48

'因数分解 (基本)'

A. ...

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Q.49

None

A. ...

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Q.50

'在给定条件下,当p=3k+2时,找到使得p, 2p+1, 4p+1均为素数的自然数p是p=3。而对于大于等于5的素数p,很明显2p+1和4p+1中至少一个会是3的倍数。'

A. ...

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Q.51

'请判断以下命题的真假:\n(2) 28的正约数为1,2,4,7,14,28,共有6个。因此,这是一个真命题。\n(3) 当n=36时,n是4的倍数且是6的倍数,但不是24的倍数。因此是一个假命题(以n=36作为反例)。'

A. ...

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Q.52

'利用素数的性质'

A. ...

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Q.53

'关于互质的证明'

A. ...

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Q.54

'证明连续整数的乘积是2的倍数。'

A. ...

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Q.55

'对于质数问题,应该如何考虑呢,我有些困惑。 质数的定义是,“大于2的整数,并且除了1和它本身以外没有正约数的数”,这个定义很简单。关键是如何利用这个定义。首先,让我们掌握以下属性(1),(2):(1) 质数 p 的约数是 ±1 和 ±p(正约数是1和p这两个),(2) 质数大于等于2,偶数的质数只有2。另外,大于3的质数都是奇数。利用“质数 p 的约数是 ±1 和 ±p” 这一特性, 当 (n-3)(n-9) 是质数 p 的时候, 可能会有以下四种情况,(A)到(D)。在考虑大小关系 n-9<n-3 和 1<p,-p<-1 时,尤其要注意 (B) n-9=1 和 (C) n-3=-1 是唯一可能的。特别是在负数情况下,容易出现像 n-9=-1 这样的错误。 表格中如下:(内容太长省略)。'

A. ...

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Q.56

''

A. ...

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Q.57

''

A. ...

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Q.58

'找出正因子个数为28个的最小正整数。'

A. ...

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Q.59

'(1) {2,4,5,7,9}\n(2) {2,3,5}'

A. ...

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Q.60

'互质的自然数的数量'

A. ...

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Q.61

'计算 72 和 120 的最大公约数和最小公倍数。\n通过其中12个数字共同的质因数进行分解。\n例如,不断地通过2进行分解。\n2) 72 \t 120\n2) 36 \t 60\n2) 18 \t 30\n请计算最大公约数和最小公倍数。'

A. ...

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Q.62

'找出所有使得三个数 p, 2p+1, 4p+1 都是素数的自然数 p。'

A. ...

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Q.63

'设p,q为素数,且p<q。又设m,n为正整数,且m≥3,n≥2。假设在1到p的m次方乘以q的n次方之间的整数中,可以被p或q整除的整数个数为240。请找出满足这些条件的(p,q,m,n)组合。'

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Q.64

'基础例题 106 正因数的个数\n(1)求 630 的正因数个数。\n(2)将自然数 N 分解为质因数,其中质因数包括 p 和 7,没有其他质因数。此外,N 的正因数有 6 个,且正因数的总和为 104。求出质因数 p 和自然数 N 的值。'

A. ...

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Q.65

'完全数和素数'

A. ...

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Q.66

'(2)假设a是正整数,p=a^2 + 1是一个素数。那么,n^2 + 1是p的倍数,当且仅当n除以p的余数是a或者p - a。'

A. ...

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Q.67

''

A. ...

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Q.68

'证明对于两个互质的整数a和b,a+b和ab也互质。'

A. ...

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Q.69

'使用质因数分解找到 2 个整数或 3 个整数的最大公约数和最小公倍数。\n(1) 168, 378\n(2) 65,156,234'

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Q.70

None

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Q.71

'求所有小于432的自然数中与432互质的数的个数。'

A. ...

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Q.72

'(2) 证明: 当自然数P不能被2或3整除时,证明P^2-1可被24整除。'

A. ...

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Q.73

'求735以下的自然数中与735互质的数的个数。'

A. ...

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Q.74

'应该求出13的15次方除以5的余数。'

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Q.75

'设a、b为自然数。证明当ab是3的倍数时,a或b必定是3的倍数。'

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Q.76

''

A. ...

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Q.77

'按照D→A→B→C→E的顺序涂色。涂色方式为D→A→B有3!=6(种)对于每种方法,C和E的涂色方式各有1种。因此,所求的涂色总数为6×1×1=6(种)。'

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Q.78

'求正整数 756 的正因数个数。'

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Q.79

'问题 (2) 将自然数N分解为素数因子,其中素数因子为p和5,并且除此之外没有其他素数因子。此外,N有8个正约数,它们的总和为90。请找出素数因子p和自然数N的值。'

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Q.80

'三个数都是素数的条件'

A. ...

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Q.81

'当自然数N的素因数分解为N=p^a * q^b * r^c ......时,N的正因子个数为(a+1)(b+1)(c+1)......。'

A. ...

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Q.82

'有一个猜年龄的谜题:我年龄除以 3 的余数是 1,除以 5 的余数是 4,除以 7 的余数是 1。请猜测我的年龄。但年龄不会超过 105 岁。'

A. ...

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Q.83

'证明连续的四个整数n(n+1)(n+2)(n+3)是24的倍数。'

A. ...

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Q.84

'全排列'

A. ...

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Q.85

'证明当 n 为正整数时,2n-1 和 2n+1 互质。'

A. ...

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Q.86

'证明当自然数P既不能被2整除也不能被3整除时,P^2-1可以被24整除。'

A. ...

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Q.87

'73省略'

A. ...

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Q.88

'证明三个数同时为质数的条件'

A. ...

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Q.89

'鸽子洞原理(房间分配法)'

A. ...

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Q.90

'令n为自然数。找出使得以下值为质数的n的所有可能值:\n(A) n^2 - 2n - 24\n(B) n^2 - 16n + 28'

A. ...

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Q.91

'在发现大素数时面临的挑战是什么?'

A. ...

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Q.92

'求最小的自然数n,使得√(378n)成为自然数。'

A. ...

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Q.93

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A. ...

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Q.94

'当一个整数可以表示为多个整数的乘积时,乘积中的每个整数称为原整数的因子。如果是质数,则称为质因子,并将自然数表示为仅包含质数的乘积形式,这称为质因数分解。'

A. ...

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Q.95

'孪生素数和三胞胎素数'

A. ...

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Q.96

'找到正因數個數為28的最小正整數。'

A. ...

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Q.97

'素数的寻找方法(埃拉托斯特尼筛法)\n如果自然数 n 不能被小于或等于其平方根的所有素数整除,则 n 是一个素数。\n利用这个规律,考虑一种寻找小于等于 50 的所有素数的方法。'

A. ...

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Q.98

'因數的個數和總和'

A. ...

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Q.99

'因式分解'

A. ...

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Q.00

'让我们回顾一下因式分解的基础知识!'

A. ...

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Q.01

'基础 11: 通过提取公因数进行因式分解'

A. ...

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Q.02

'(1) 证明连续两个整数的乘积是2的倍数。'

A. ...

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Q.03

'如果两个整数a,b没有共同质因数,则它们的最大公约数为1。如果两个整数a和b的最大公约数为1,则a和b互质。'

A. ...

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Q.04

'14(1)144种\n(2) 720种\n(3) 1440种'

A. ...

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Q.05

'让我们总结一下质因数分解的基本步骤。为了将质因数分解适用的公式:'

A. ...

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Q.06

'擲骰子兩次,積為12的倍數的方式有多少種?'

A. ...

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Q.07

'根据a≥1和b≥1,有a+b>a+b-1≥1,因为a+b-1是一个素数,所以a+b-1=1,所以a+b=p。因为a≥1且b≥1,所以a=1,b=1。这样,从(2)可以得出p=2,p是一个素数。因此,使p成为素数的a,b为a=1,b=1。'

A. ...

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Q.08

'(1)计算60的阶乘的结果,最多能被3整除多少次?98\n(2)计算50的阶乘,末尾会连续出现多少个0?'

A. ...

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Q.09

'(1)证明:假设整数n不是3的倍数,则n可以表示为3k±1(k为整数)。那么n^2-1 = (3k±1)^2-1 = 9k^2±6k+1-1 = 9k^2±6k = 3(3k^2±2k)必定是3的倍数。'

A. ...

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Q.10

'提取公因数并进行因式分解。'

A. ...

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Q.11

'95(1)n=21(2)n=30,270'

A. ...

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Q.12

'请使用辗转相除法来求解以下两对整数的最大公约数:(1) 221,91 (2) 418,247 (3) 1501,899'

A. ...

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Q.13

'找出所有使51,2p+1和4p+1均为素数的p的值。当p是素数时,检查2p+1和4p+1是否也是素数。'

A. ...

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Q.14

'证明对于两个正整数a和b,如果a和b互质,则a+b和ab互质。'

A. ...

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Q.15

'证明对于任意的自然数 a 和 k,a 和 ka+1 互质。'

A. ...

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Q.16

None

A. ...

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Q.17

'在完成基本示例和标准示例后,您应该解决什么样的问题?'

A. ...

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Q.18

'请回答以下问题:(1)计算60!的结果,能被3整除的最大次数是多少?(2)计算50!,求末尾连续出现多少个0?'

A. ...

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Q.19

'证明自然数 a, b 的以下命题:\n(1) 如果 a 和 b 互质,则 a^2 和 b^2 互质。\n(2) 如果 a+b 和 ab 互质,则 a 和 b 互质。'

A. ...

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Q.20

'证明对于大于等于2的自然数n,n^4+4不是质数。'

A. ...

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Q.21

'使用符号 subset,=\\subset ,= 描述集合 A,BA, B 之间的关系。A=\\{n \\mid n 是小于等于7的素数 \\}, \\quad B=\\{2n-1 \\mid n=2,3,4\\}'

A. ...

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Q.22

'关于以下数学问题:(1)使用10除以2得到的商,4除以2得到的商,2除以2得到的商,使用计算倍数2的个数的方法,最大可以整除10!的次数是多少?(2)使用10除以5的商,计算10!的结果,问末尾连续出现多少个0?'

A. ...

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Q.23

'(1)求正数720的正因子个数。\n\n(2)将自然数N进行素因数分解,素因数为2和3,没有其他素因数。此外,N的正因子恰好有10个。求出所有这样的自然数N。'

A. ...

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Q.24

'大于2的自然数,除了1和它本身之外没有正约数的数称为素数。 大于2的自然数,不是素数的数称为合成数。'

A. ...

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Q.25

'用七夕的 8 个字母可以组成多少个字符串?'

A. ...

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Q.26

'问题 A (2) 寻找两个自然数分别为6m、6n。其中m、n为互质的自然数。由于6m>6,6n>6,因此m>1,n>1。根据条件4536=6m・6n可知m*n=126。由于m和n不可能为平方数,所以m不等于n,因此1<m<n。求满足条件的m、n对可得(m, n)=(2,63),(3,42),(6,21),(7,18),(9,14)。其中互质的对有(m, n)=(2,63),(7,18),(9,14),因此所求的两个自然数为12,378或42,108或54,84。'

A. ...

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Q.27

'2进制数101转换为10进制是多少?'

A. ...

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Q.28

'将单词“addition”的8个字母横排成1列时,有多少种排列方式?'

A. ...

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Q.29

'掌握倍数识别方法,攻克例题85!'

A. ...

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Q.30

'找出具有8个正约数的最小自然数。'

A. ...

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Q.31

'99培训'

A. ...

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Q.32

'(1) 自然数N表示为5进制时有3位数的有多少个?'

A. ...

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Q.33

'找出有4个正因子的最小自然数。'

A. ...

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Q.34

'答: 数学部分50: 省略51 (1) {1,2,3,4,5,6,7,9,12,18} (2) {1,2,3,6}'

A. ...

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Q.35

''

A. ...

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Q.36

'找到所有使p, 2p+1, 4p+1均为质数的p。'

A. ...

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Q.37

'有序排列。'

A. ...

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Q.38

'99 (1) (ア) n=4 (1) n=2,14 (2) a=1, b=1'

A. ...

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Q.39

'证明当 a 和 k 为自然数时,a 和 k a+1 互质。'

A. ...

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Q.40

'將示例83區分為最大值和最小值後,可以得出下面的結論。'

A. ...

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Q.41

'求解整数解的一次不定方程式问题(3)(使用欧几里得算法)。'

A. ...

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Q.42

'让我们回顾一下如何求解一次不定方程的整数解!当找不到整数解时,可以使用辗转相除法。通过逆向追溯辗转相除法的计算,可以找到整数解。'

A. ...

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Q.43

'假设a和b不互质,即a和b有共同的素因子p,则a=pk,b=pl(k,l为自然数)。'

A. ...

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Q.44

'当同时投掷两个骰子时,没有出现数字1的情况有多少种可能性?'

A. ...

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Q.45

'在 x 轴上有点 P。投掷一个六面体骰子,出现的点数为 6 的倍数时,P 沿着 x 轴正方向前进 1,出现的点数不是6的倍数时,P 沿着 x 轴负方向前进 2。当投掷四次骰子时,从原点出发的点 P 在 x=-2 点的概率为甲 ,在原点的概率为乙。'

A. ...

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Q.46

'求648的正因数个数和总和。'

A. ...

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Q.47

'求解除以14余5、除以9余7的自然数n中最大的三位数。'

A. ...

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Q.48

'求EX人的孩子最大值n和相应的a,b'

A. ...

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Q.49

'因数分解的方法'

A. ...

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Q.50

'欧几里德算法\n对于自然数a和b,令a除以b得到余数r,则a和b的最大公约数等于b和r的最大公约数。\n通过这个方法的重复使用,可以求得两个自然数的最大公约数。这个方法称为欧几里德算法或简称互除法。\n例如,求319和143的最大公约数\n观察319除以143得到商和余数的等式319=143*2+33,根据定理可知求319和143的最大公约数等同于求143和33的最大公约数。继续这个操作,会发现余数越来越小。另外,余数大于等于0,因此最终余数会变为0。余数为0时,除数就是要求的最大公约数。'

A. ...

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Q.51

'数学 A\nTR\n(1) 使用合同式求解以下内容:\n求 12^{1000} 除以 11 的余数\n求 13^{81} 的个位数\n(2) 当整数 a, b, c 满足 a^2+b^2=c^2 时,使用合同式证明至少有 a, b 中至少有一个是 3 的倍数。'

A. ...

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Q.52

'希望将 5390 除以一个自然数 n,使得余数为 0,并且商是一个自然数的平方。请找出符合条件的 n 的最小值。'

A. ...

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Q.53

'利用合同式,求解以下内容。'

A. ...

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Q.54

'找出具有8个正因数的最小自然数。'

A. ...

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Q.55

''

A. ...

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Q.56

'对自然数 N 进行素因数分解,其中素数因子包括 3 和 5,没有其他素数因子。此外,N 有恰好 6 个正约数。请找出所有符合条件的自然数 N。'

A. ...

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Q.57

'请说明使用逆否命题证明方法,并使用逆否命题证明以下命题T:'

A. ...

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Q.58

'求10000的约数个数。'

A. ...

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Q.59

'求10000的因数个数。'

A. ...

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Q.60

'设a, b为自然数。证明以下内容:(1) 若a和b互质,则a^{2}和b^{2}互质。(2) 若a+b和ab互质,则a和b互质。'

A. ...

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Q.61

'证明对于任意自然数a,a和a+1互质。'

A. ...

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Q.62

''

A. ...

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Q.63

'将给定的 150 乘以一个两位数的自然数 n,使其成为某个自然数的平方。求出满足条件的 n 的最大值。'

A. ...

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Q.64

'同时投掷三个骰子,每个骰子都显示奇数的投掷方式有多少种?'

A. ...

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Q.65

'(1) \\\\\\ (72^{\\circ} \\\\\\\\\n(2) \\\\\\ (\\frac{\\sqrt{5}-1}{2} \\\\\\\\\n(3) \\\\\\ (\\frac{\\sqrt{5}+1}{4}'

A. ...

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Q.66

'在小于500的自然数中,找出以下集合的元素个数:\n(1) 可以被3整除的数集合\n(2) 可以被3、5和7整除的数集合\n(3) 可以被3整除但不能被5整除的数集合\n(4) 既不能被3整除也不能被5整除的数集合\n(5) 可以被3整除但不能同时被5和7整除的数集合'

A. ...

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Q.67

'(1)求 1800 的正因数个数。\n\n(2)将自然数 N 分解质因数,质因数包括 3 和 5,没有其他质因数。另外,N 的正因数恰好有 6 个。找出所有这样的自然数 N。'

A. ...

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Q.68

'当不为0的实数x,y,z满足2^{x}=5^{y}=10^{\x0crac{z}{2}}时,求\x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{2}{z}的值。'

A. ...

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Q.69

'请查找方程 x^3-3x^2-9x+k=0 的不同实数解的数量。'

A. ...

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Q.70

'将给定的文本翻译成多种语言。'

A. ...

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Q.71

'求数列1, 17, 35, 57, 87, 133, 211, ...的通项公式。'

A. ...

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Q.72

'当非零实数x,y,z满足2^{x}=5^{y}=10^{\x0crac{z}{2}}时,求\x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{2}{z}的值。'

A. ...

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Q.73

'在1和10之间,求以质数为分母的既约分数的总和为198时,求p的值。'

A. ...

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Q.74

'使用二项定理的值,找到以下值。'

A. ...

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Q.75

'3. \ { }_{n} \\mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{2}+\\cdots \\cdots+{ }_{n} \\mathrm{C}_{n}=2^{n} \'

A. ...

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Q.76

'考虑从1到300的所有整数。'

A. ...

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Q.77

'考虑数列 a1=1,a2=1,an+2=an+1+ana_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n},求该数列的通项公式。'

A. ...

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Q.78

''

A. ...

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Q.79

'有两个复数z=x+yi(这里x, y是实数),使得z的平方等于8i。求这两个z的值。'

A. ...

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Q.80

'假设是等比数列,公比为\\frac{6}{3}=2。设第n项为1500,则3* 2^{n-1}=1500。得到 2^{n-1}=500,500=2^{2}* 5^{3},因此不存在满足这个等式的自然数n。因此,不可能成为等比数列。'

A. ...

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Q.81

'证明对于所有正整数 n,3^(3n-2)+5^(3n-1) 是7的倍数。'

A. ...

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Q.82

'证明对于所有正整数 n,3^{3n-2}+5^{3n-1} 是7的倍数。'

A. ...

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Q.83

''

A. ...

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Q.84

'令 k 为正整数。找出满足 5n^{2}-2kn+1<0 的整数 n 只有一个的 k 的所有值。'

A. ...

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Q.85

'从以下 A 到 E 中选择正确的选项。'

A. ...

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Q.86

'关于两个方程 x2x+a=0,x2+2ax3a+4=0 x^{2}-x+a=0, x^{2}+2ax-3a+4=0 ,确定常数 a a 的值范围,使得满足以下条件:\n(1)两者都有实数解\n(2)至少有一个方程没有实数解\n(3)只有一个方程有实数解'

A. ...

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Q.87

'将给定文字翻译成多种语言。'

A. ...

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Q.88

'130 (1) (2) (2) (4) (6) (7) (9) (3) (10) (12)'

A. ...

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Q.89

'当实数x,y满足x²+y²=2时,求2x+y的最大值和最小值。并求此时的x,y的值。'

A. ...

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Q.90

'高斯符号和图表(高斯符号)'

A. ...

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Q.91

'180(1),(3)'

A. ...

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Q.92

'求定数k的取值范围,使得二次方程x²+(2k-1)x+(k-1)(k+3)=0有实数解。'

A. ...

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Q.93

'三个连续自然数中,最小的数的平方等于另外两个数的和。求这三个数。'

A. ...

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Q.94

'(1) 因为"大"一词并不清晰,所以无法确定其正确性。 因此,这不是一个命题。'

A. ...

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Q.95

'求解二次方程 x2+(a3)xa+6=0 x^{2}+(a-3) x-a+6=0 不具有实数解的定数 aa 的范围。'

A. ...

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Q.96

'使用常数a求解抛物线y = 2x^2 + 3x - a + 1与x轴的交点数量。'

A. ...

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Q.97

'2 因数分解'

A. ...

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Q.98

''

A. ...

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Q.99

'求解分解为二次不等式的解。请找到以下不等式的解。'

A. ...

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Q.00

'请证明表达式 (ab)(bc)(ca)(a-b)(b-c)(c-a) 具有因子。'

A. ...

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Q.01

'找到一个条件,使得方程比p有解大,比p有解小。'

A. ...

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Q.02

'(1) {2,4,5,7,9}\n(2) {2,3,5}'

A. ...

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Q.03

'17 (3) 1 的翻译'

A. ...

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Q.04

'(4) 让a₁, b₁为互质的正整数,a₂, b₂也是互质的正整数。集合Q₁和Q₂定义为\nQ₁={z | z是通过整数k表示为(𝑒^(2𝑎_{1}/𝑏_{1}π𝑖))^{k}的复数}\nQ₂={z | z是通过整数k表示为(𝑒^(2𝑎_{2}/𝑏_{2}π𝑖))^{k}的复数}\n并定义集合R为\nR={z | z是用集合Q₁和集合Q₂的元素乘积表示的复数}。当b₁和b₂互质时,集合R中的元素数量n(R)为方块。当b₁和b₂不互质时,将它们的最大公约数表示为d,则集合R中的元素数量n(R)为圆。'

A. ...

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Q.05

'11 (3) 0'

A. ...

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Q.06

'当 k=\x0crac12k=-\x0crac{1}{2} 时'

A. ...

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Q.07

'使用递推公式计算无限级数的总和'

A. ...

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Q.08

'\\((k+1)!\\)^{2} = \\((k+1) \\cdot k!\\)^{2} = (k+1)^{2} \\cdot (k!)^{2} \\geqq (k+1)^{2}(k+1)^{k-1} = (k+1)^{k+1} \\) 的证明。'

A. ...

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Q.09

'依次是 10(1)2(2);'

A. ...

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Q.10

'(2) 让l和k是互质的正整数。证明:对于复数z的l次方、2l次方、3l次方、……、kl次方,它们都是不同的。'

A. ...

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Q.11

''

A. ...

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Q.12

'数学'

A. ...

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Q.13

'在这里,第n个素数Pn满足Pn>n,对于所有满足1 ≤ k ≤ n的自然数k,可以使用素数p1,p2,......,pn表示k = p1^m1(k)×p2^m2(k)×......×pn^mn(k) [其中,m1(k),m2(k),......,mn(k)是大于等于0且小于等于n的整数]。因此,1/k = 1/(p1^m1(k)×p2^m2(k)×......×pn^mn(k))'

A. ...

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Q.14

'从C赢得比赛的概率条件推导出来, 得到frac2p2p2p+2geqqfrac13\\frac{2 p^{2}}{p^{2}-p+2} \\geqq \\frac{1}{3}. 因为p2p+2=left(pfrac12right)2+frac74>0p^{2}-p+2=\\left(p-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\frac{7}{4}>0, 所以消去分母并整理得到5p2+p2geqq05 p^{2}+p-2 \\geqq 0. 解这个不等式得到 pleqqfrac1sqrt4110,frac1+sqrt4110leqqpp \\leqq \\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}, \\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p. 注意到 frac1sqrt4110<0\\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}<0, 并且由 6<sqrt41<76<\\sqrt{41}<7 推出 frac12<frac1+sqrt4110<frac35\\frac{1}{2}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10}<\\frac{3}{5}. 因此, 0<p<10<p<1 意味着 frac1+sqrt4110leqqp<1\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p<1. 接着, 寻找自然数nn满足条件 fracn1100<frac1+sqrt4110leqqfracn100cdots\\frac{n-1}{100}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq \\frac{n}{100} \\cdots (1). 解得到nn满足不等式 54<10+sqrt4100<5554<-10+\\sqrt{4100}<55. 由于nn是递增的, 满足条件(1)的最小nn5555. 所以, 所求的NN的最小值是 5555.'

A. ...

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Q.15

'在整式中,可以利用因式分解的方法来求解最大公约数和最小公倍数,与整数的情况类似。'

A. ...

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Q.16

'當撥動弦時,當弦長度減半時,音高會升高一個八度。 在這裡,介於 C 和上一個 C 之間的兩個音的弦長比被分為 12 等份,稱為 12平均律音階。 這是一個常用的音階。'

A. ...

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Q.17

'求29的51次方除以900的余数。'

A. ...

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Q.18

'当正实数x,y满足9x^2 + 16y^2 = 144时,xy的最大值为√。'

A. ...

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Q.19

'将给定文本翻译成多种语言。'

A. ...

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Q.20

'求多项式x,使得x^2+1为被除式时余数为3x+2,x^2+x+1为被除式时余数为2x+3,并且x的次数是48中最小的。'

A. ...

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Q.21

'找出所有能被 3 整除的正整数 n,满足 n^{n}+1。'

A. ...

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Q.22

'确定常数a,b的值,使得f(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1能够被(x-1)^{2}整除,其中n是一个自然数。'

A. ...

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Q.23

'91 (1) 4 个'

A. ...

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Q.24

'剩余定理和因式分解定理'

A. ...

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Q.25

'169(3)2'

A. ...

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Q.26

''

A. ...

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Q.27

'\ p \ 是素数,整数 \ r \ 满足 \ 1 \\leqq r \\leqq p-1 \。证明 \ p_r \ 可被 \ p \ 整除。'

A. ...

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Q.28

'如果a,b是质数,并且二次方程3 x^{2}-12 a x+a b=0有两个整数解,则求a,b的值及其整数解。'

A. ...

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Q.29

'(2) \ \\sqrt{d}=\\sqrt{a b^{2} c^{3}}=b c \\sqrt{a c} \ \ \\sqrt{d} \ 的整数条件是,乘积\a c\ 必须是一个完全平方数。这样的自然数\\(a, c(a>c>1)\\)中,最小的是\ a=2^{3}, c=2 \,取\b=3\得到\d=2^{3} \\cdot 3^{2} \\cdot 2^{3}=576\。'

A. ...

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Q.30

'如果将 P(x) 除以 (x-1)^{2} 时余数为常数,求将 P(x) 除以 (x-1)^{2}(x+1) 时的余数。'

A. ...

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Q.31

'1042'

A. ...

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Q.32

'在复平面上的一个正方形中,如果有一组相邻的两个顶点为点1和点3+3i,则求另外两个顶点所代表的复数。'

A. ...

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Q.33

''

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Q.34

'119 (1) 3'

A. ...

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Q.35

''

A. ...

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Q.36

'将给定的文本翻译成多种语言。'

A. ...

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Q.37

None

A. ...

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Q.38

'证明对于所有自然数 n,都有 2 的 n 次方大于 n。'

A. ...

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Q.39

'复数解z的实数条件和纯虚数条件\n将z=a+bi(a,b是实数)\n• z是实数 ⇔ z=̄z\n因为̄z=z成立,所以a-bi=a+bi,即-b=b,所以b=0,因此z=a,z是实数。\n在复数平面上考虑,点z和点̄z是关于实轴对称的两点,这两点只有在实轴上重合,因此z是实数。\n• z是纯虚数 ⇔ ̄z=-z且z≠0\n因为̄z=-z且z≠0成立,所以a-bi=-a-bi,即a=-a,所以a=0,因此z=bi,由于z≠0,所以b≠0,所以z是纯虚数。\n在复数平面上考虑,点̄z和点-z是关于虚轴对称的两点,这两点只有在虚轴上重合,除了原点O,其余点都是纯虚数,所以z是纯虚数。'

A. ...

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Q.40

'81 \\sqrt{5}-1'

A. ...

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Q.41

''

A. ...

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Q.42

'101(2)4'

A. ...

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Q.43

''

A. ...

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Q.44

'证明当自然数 n, k 满足 2 ≤ k ≤ n-2 时,组合数C(n, k) > n。'

A. ...

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Q.45

'使用埃拉托斯特尼筛法,证明1000以下存在超过750个非素数整数。'

A. ...

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Q.46

''

A. ...

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Q.47

'求 n 的最大值是,50!计算时末尾的零的数量,即将 50!进行素数分解时出现的素数5的数量。1 到 50 的自然数中,是5的倍数的数量是,以 50 除以 5 的商为10(是 5^2 的倍数的数量是,以 50 除以 5^2 的商为2,因此,不存在 5^n(n ≥qq 3)的倍数。因此,素数5的数量是 10+2=12(个)。因此,求得的 n 的最大值是12。'

A. ...

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Q.48

'证明对于任意自然数n,f(n)=5^{3n}+5^{2n}+5^n+1。当n不是4的倍数时,f(n)是13的倍数。'

A. ...

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Q.49

'请描述欧几里德算法的步骤,并提供一个具体示例。'

A. ...

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Q.50

'如果 a 和 b 互质,并且 a k 是 b 的倍数,则 k 也是 b 的倍数。'

A. ...

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Q.51

'对于素数p,当n = p^14时,找到使n≥1900的最小p。'

A. ...

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Q.52

'证明对于任意自然数 n,n^5-n 是 15 的倍数。'

A. ...

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Q.53

'关于连续整数的乘积。'

A. ...

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Q.54

'Exercise 6 III-> Book p .59 \\[ x = \\sqrt{12 + 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) + 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} + \\sqrt{5} \\\\\\ y = \\sqrt{12 - 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) - 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} - \\sqrt{5} \\\\\\ \\sqrt{\\frac{x}{y}} = \\sqrt{\\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{7} - \\sqrt{5}}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{(\\sqrt{7} - \\sqrt{5})(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{7 - 5}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{2}} = \\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) \\sqrt{2}}{(\\sqrt{2})^{2}} = \\frac{\\sqrt{14} + \\sqrt{10}}{2} \\]'

A. ...

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Q.55

'定理 2 以上的自然数可以被分解为素因数。'

A. ...

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Q.56

'例题 75 | 利用质因数分解'

A. ...

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Q.57

'设p是质数。找出所有自然数对(n, k),满足k ≤ n且组合数(n, k) = p。'

A. ...

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Q.58

'找出使40-a-8和b-c-8都是素数的素数组(a, b, c)。'

A. ...

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Q.59

'大于125的5的倍数有150, 155, 160, 165, 130等。 将165的阶乘进行素因数分解时,素因数5的数量是多少?'

A. ...

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Q.60

'在1到100之间,有多少个自然数能被2、3和5整除?有多少个自然数能被2、3或5整除?有多少个数能被2整除但不能被3或5整除?'

A. ...

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Q.61

'(2) 证明其中有非质数的 a、b、c。'

A. ...

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Q.62

'请解决高斯符号和二次不等式问题。'

A. ...

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Q.63

'找出使 n 和 n^{2}+2 都是質數的自然數 n 的值。'

A. ...

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Q.64

'费马小定理的逆定理是指如果互质的整数 a 不满足 a^{p-1} ≡ 1 (mod p),那么 p 不是素数(而是合数)的情况。请举例说明以下合数:9, 35。'

A. ...

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Q.65

'将给定的文本翻译成多种语言。'

A. ...

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Q.66

'求以下数字的约数。(1) 36 (2) 14 (3) 12345 是3的倍数还是9的倍数? (4) 91 和 144 互质吗?'

A. ...

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Q.67

'求求大于423且小于9999的奇数a,使得a的平方减去a能被10000整除。'

A. ...

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Q.68

'请证明合数一定有质数作为其约数。'

A. ...

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Q.69

'将给定的文本翻译成多种语言。'

A. ...

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Q.70

'在(3)(2)中,如果去掉A,B,C之间的区别,那么相同的东西每种可以组合成3!种,即1680 ÷ 3! = 1680 ÷ 6 = 280(种)'

A. ...

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Q.71

'素数p满足条件:m²-n²=p。证明存在一对自然数(m, n)满足这个条件。'

A. ...

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Q.72

'证明 p 是大于 3 的质数。'

A. ...

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Q.73

'请检查91和144是否互质。'

A. ...

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Q.74

'求36的因数。'

A. ...

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Q.75

'假设 p 是大于 3 的素数,且 p + 4 也是素数。'

A. ...

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Q.76

'假定a、b、c都不是5的倍數。'

A. ...

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Q.77

'请证明第n个卡塔兰数(卡塔兰数Cn)的公式。并求解n=4时的卡塔兰数。'

A. ...

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Q.78

'证明以下命题为真: 如果整数 n 不是3的倍数,则 n² 也不是3的倍数。'

A. ...

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Q.79

'挑戰參與。 解決方案也包含=。'

A. ...

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Q.80

'例49 | 通过余数对整数进行分类\n证明以下内容:\n(1) 对于整数n,n^{4}+5 n^{2}是3的倍数。\n(2) 把整数的平方数除以5时,不能余3。'

A. ...

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Q.81

'在500以下的自然数中,找出以下集合的元素个数。'

A. ...

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Q.82

'求给定数字25(1)36的所有因数。'

A. ...

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Q.83

'(1)计算20的阶乘结果后,能被2整除多少次。\n(2)计算25的阶乘,末尾连续有多少个0。'

A. ...

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Q.84

'设n=2^{m-1}\\left(2^{m}-1\\right)(m=2,3,4, \\cdots \\cdots)。当。当2^{m}-1为素数时,证明为素数时,证明T(n)=n,并使用,并使用1+2+\\cdots \\cdots+2^{m-1}=2^{m}-1$。'

A. ...

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Q.85

'当 ab 是质数 p 的倍数时,a 或 b 是 p 的倍数。'

A. ...

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Q.86

'约数与倍数问题:求自然数N的正约数个数。当自然数N的素因数分解为N=p^a q^b r^c ... ...时,N的正约数个数为'

A. ...

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Q.87

'证明99 1 1次不定方程的整数解存在的条件'

A. ...

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Q.88

'(3k + 1)(3k + 2)是连续两个整数的乘积,因此是2的倍数。因此,可以用整数l表示为(3k + 1)(3k + 2) = 2l,以及(p + 1)(p + 2)(p + 3) = 24l(2k + 1)。由于p, p + 1, p + 2, p + 3, p + 4是连续的5个整数,其中一个是5的倍数。如果令p = 5,则p + 4 = 9,则导致p + 4不是素数,因此p > 5,因此p, p + 4是大于5的素数,所以不是5的倍数。因此,p + 1、p + 2、p + 3中的一个是5的倍数。因此,(p + 1)(p + 2)(p + 3)是5的倍数。由2和3可以得出(p + 1)(p + 2)(p + 3)是24的倍数,因此是120的倍数。'

A. ...

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Q.89

'在小於30的自然數中,有15個2的倍數,7個2的平方倍數,3個2的立方倍數,1個2的四次方倍數。因此,在分解30!時,素數2的個數是'

A. ...

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Q.90

'練習15 III(→參考書第84頁)'

A. ...

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Q.91

'找到使得k2+2k^{2}+2成为质数的所有质数kk,并证明不存在其他情况。'

A. ...

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Q.92

'(1) 求最小的正整数n,使得n! / 1024是一个整数。'

A. ...

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Q.93

'当有两对仅有两个相同的骰子时,使两个介于1和6之间的不同数字的乘积成为一个完全平方数的情况只有一个,即2^2=1×4,所以满足条件的是 {1,2,2} 和 {1,1,4},{2,2,4} 和 {1,4,4},在这种情况下k=4,16,从中可以得出k=4,10,15,16,40,90,120'

A. ...

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Q.94

'125以下的自然数中,是5的倍数的有25个,是5^2的倍数的有5个,是5^3的倍数的有1个。因此,125!的素因数分解中,素因数5的数量是'

A. ...

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Q.95

'证明当两个正整数a和b互质时,a+b和a*b也互质。'

A. ...

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Q.96

'请找出0、1、2、3、4、5中各位数字和为3的倍数的所有组合。'

A. ...

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Q.97

'重要例题 82 | 证明为无理数'

A. ...

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Q.98

'证明如果49是素数,则 p4+14p^{4}+14 不是素数。'

A. ...

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Q.99

'合成数的质因数分解,除了乘积顺序不同外,只有一种可能(即质因数分解的唯一性)。利用上述定理证明这一点。证明:假设合成数a的质因数分解有两种不同表示方式。'

A. ...

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Q.00

'请说明判断一个整数N是否为质数的方法。 请验证257是否为质数。'

A. ...

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Q.01

'对于大于2的任意自然数n,记n的所有正约数之和(不包括n本身)为T(n)。求T(120)的值。'

A. ...

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Q.02

'素数问题\n假设n是一个自然数。证明只有当n=3时,n, n+2, n+4都是素数。'

A. ...

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Q.03

'重要例题 87 | 有关等式a^2+b^2=c^2的证明问题\n\n当a,b,c是除了1之外没有共同约数的自然数时,证明a,b,c满足a^2+b^2=c^2时,证明以下内容:\n(1) a,b中的一个是偶数,另一个是奇数。\n(2) 如果a是奇数,则b是4的倍数。\n(3) a,b中至少有一个是3的倍数。'

A. ...

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Q.04

'重要例题83 互质的自然数的数量'

A. ...

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Q.05

证明以下命题。 (2) 如果 mnm n 是奇数,那么 mm, nn 都是奇数。

A. ...

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Q.06

对于以下(1)到(5)的情况,求二次函数 y=x22ax+a y = x^2 - 2ax + a 1x2 1 \leqq x \leqq 2 区间的最大值和最小值。假设 a 是一个常数。 (1) a < 1 (2) 1 \leqq a < \frac{3}{2} (3) a = \frac{3}{2} (4) \frac{3}{2} < a \leqq 2 (5) a > 2

A. ...

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Q.07

1. 设三次方程 413x 41^{3} x 的二次函数 y=x2+2bx+6+2b y=x^{2}+2 b x+6+2 b 的最小值为 m m 。 (1) 用 b 表示 m m 。 (2) 当 b b 变化时,求 m m 的最大值及此时 b b 的值。

A. ...

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Q.08

基本例题 76 设 z=1+i。 (2)求使 z^n 成为纯虚数的最小自然数 n 的值。

A. ...

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