基本代数 - 代数方程（线性，二次）

'解下列方程：'

'通过虚数解确定系数'

'设定为每年年底要偿还的金额为 x 万日元，则求解每年年底余额为零所需的 x。'

'求解具有根1,2和3的三次方程式。'

'求下列直线的方程：\n(1) 通过点 (6，-4)，且与直线 3x + y - 7 = 0 平行的直线\n(2) 通过点 (-1,3)，且与直线 x - 5y + 2 = 0 垂直的直线'

'因此，所求的表达式的值为'

'12 \\times 3 \\cdot 2^{k-1}=3 \\cdot 2^{k}'

'鉴别以下二次方程的解类型。其中，a是一个常数。(1) 3x^2-5x+3=0 (2) 2x^2-(a+2)x+a-1=0 (3) x^2-(a-2)x+(9-2a)=0'

'给出下列方程式 $x^{2}-2(k-3) x+4 k=0$, 决定常数 $k$ 的取值范围, 使方程有以下根:'

'解决以下联立方程组。'

'当 0 ≤ α < π/2 时，sin α 是图[1]中点 P 的 y 坐标，2β (0 ≤ 2β ≤ 2π) 是半径 OQ、OR 所代表的角度。\n∠ AOQ=∠ BOP= π/2 - α，因此\n2β₁ = π/2 - α，2β₂ = 2π - (π/2 - α)\n因此 β₁ = π/4 - α/2，β₂ = 3π/4 + α/2\n\n当 π/2 ≤ α ≤ π 时，sin α 是图[2]中点 P 的 y 坐标，2β (0 ≤ 2β ≤ 2π) 是半径 OQ、OR 所代表的角度。 ∠AOQ=∠BOP=α - π/2，因此2β₁ = α - π/2，2β₂ = 2π - (α - π/2)\n因此 β₁ = -π/4 + α/2，β₂ = 5π/4 - α/2\n0 ≤ α < π/2 时\nα + β₁/2 + β₂/3 = α + 1/2(π/4 - α/2) + 1/3(3/4π + α/2) = 11/12α + 3/8π\n\n所以 3/8π ≤ α + β₁/2 + β₂/3 < 5/6π\n当 π/2 ≤ α ≤ π 时\nα + β₁/2 + β₂/3 = α + 1/2(-π/4 + α/2) + 1/3(5/4π - α/2) = 13/12α + 7/24π \n所以 5/6π ≤ α + β₁/2 + β₂/3 ≤ 11/8π\n根据 (1)，(2)，当 0 ≤ α ≤ π 时 3/8π ≤ α + β₁/2 + β₂/3 ≤ 11/8π\ny = sin(α + β₁/2 + β₂/3) 是最大的时候\nα + β₁/2 + β₂/3 = π/2 即 11/12α + 3/8π = π/2 所以 α = 3/22π 时 y 的值为1。'

'请确定以下二次方程的解的类型。'

'练习解下列方程和不等式。'

'找出使二次方程式 $x^2-mx+3m=0$ 仅有整数解的常数 $m$ 的值以及对应的整数解。'

'求解以下二次方程的两个根的和与积。'

'请解决以下习题：二次方程式的解。'

'重要例题23 | 二次方程的解和方程的值 二次方程 $x^{2}+n x+p=0$ 的两个解为 $a, b$，$x^{2}+n x+q=0$ 的两个解为 $c, d$。其中，$p, q$ 是整数，$n$ 是实数。 (1) 用 $p, q$ 表示 $(c-a)(c-b)$。 (2) 证明 $(a-c)(b-d)(a-d)(b-c)$ 是一个平方数（可以表示为某个整数的平方）。'

'请利用p_n和p_{n+1}来计算(n+2)秒后的概率p_{n+2}。'

'(1) 二次方程式 x^2-k x+3 k-4=0 (1) 的判别式为 D，有 D=(-k)^2-4(3 k-4)=k^2-12 k+16。二次方程式 (1) 有复数解的条件是 D<0，所以 k^2-12 k+16<0。'

'给定3条直线，其中a，b为常数。 x-y+1=0, x-3y+5=0, ax+by=1。当这3条直线通过相同点时，证明3点 (-1,1),(3,-1),(a, b) 在同一直线上。'

''

'使用和与积的公式解三角方程式。'

'(1) 解方程 : $6x^{2}-61x+153=0$。'

'依次为 4x + 3y - 17 = 0，3x - 4y + 6 = 0'

'依据以下条件，解决问题。'

'找到通过点 \\( (x_{1}, y_{1}) \\) 且垂直于 \ x \ 轴的直线方程。'

'当具有虚数解α时，关于共轭复数进行解释，并展示其性质。'

'(1) 设2次方程$x^{2}+3x-6=0$的两个解为$\\alpha, \eta$，那么构造一个以$2\\alpha+\eta, \\alpha+2\eta$为解的二次方程。 (2) 设二次方程$x^{2}+px+q=0$的解为$\\alpha, \eta$，那么构造一个以$\\alpha^{2}, \eta^{2}$为解的二次方程之一为$x^{2}-4x+36=0$。已知这个方程成立，求实数常数$p, q$的值。'

'求解满足下列方程的数值 α, β, γ：\ \egin{\overlineray}{l} \\alpha^{3}=2 \\alpha^{2}+4, \eta^{3}=2 \eta^{2}+4, \\gamma^{3}=2 \\gamma^{2}+4 \\end{\overlineray} \'

'求解整数方程式 $x^{2} + (2m + 5)x + m + 3 = 0$ 有整数解的整数$m$的值。'

'练习以原点O为起点，在数轴上投掷硬币，如果是正面则向正方向前进2，如果是反面则向正方向前进481。将到达点n的概率记为pn。其中，n为自然数。\n(1) 求解n大于等于3时，pn，pn-1，pn-2的关系式。\n(2) 求解pn。'

'将给定的文本翻译成多种语言。'

'(1) (6, 4) (2) 依次 (4x + 3y -17 = 0, 3x - 4y + 6 = 0)'

'数学II'

'將漸化式的兩邊取倒數 \\ \\frac{1}{a_{n+1}}=4+\\frac{3}{a_{n}} \\ 將 \\ \\frac{1}{a_{n}}=b_{n} 代入得 \\ b_{n+1}=4 + 3 b_{n} \\ 轉換得到 \\ b_{n+1} + 2=3 (b_{n}+2) \\ 且 \\ b_{1}+2 = \\frac{1}{a_{1}} + 2 = \\frac{1}{\\frac{2}{3}} + 2 = 3 因此, 數列 \\ \\{b_{n}+2\\} 是首項為 3 ，公比為 3 的等比數列，有 \\ b_{n}+2 = 3 \\cdot 3^{n-1} \\ 即 \\ b_{n} = 3^{n} - 2 \\ 因此得 \\ a_{n} = \\frac{1}{b_{n}} = \\frac{1}{3^{n} - 2}'

'(2) 设两个交点A、B的x坐标分别为α、β。消去y=x^{2}和y=m(x+2)中的y得到x^{2}-mx-2m=0。α、β是这个二次方程的两个不同的实数解。设判别式为D，D=(-m)^{2}-4\\cdot 1\\cdot(-2m)=m(m+8)。由D>0可知m(m+8)>0，因此m<-8,0<m。另外，根据解与系数的关系可知α+β=m。因此，假设线段AB的中点坐标为(x, y)，则x=(α+β)/2=m/2。同时，y=m(x+2)。由(2)和(3)消去m得到y=2x(x+2)，也就是y=2x^{2}+4x。此外，根据(1)和(2)可知x<-4,0<x。因此，所求轨迹是抛物线y=2x^{2}+4x的x<-4,0<x的部分。'

'将给定的文本转换成多种语言。'

'设14k为实数，考虑关于x的二次方程x^{2}-kx+3k-4=0。'

'考虑整数a、b、c满足以下条件(*)。 ∫(x²+bx)dx在a到c的积分=∫(x²+ax)dx在b到c的积分 (1) 当整数a、b、c满足(*)和a≠b时, 用a、b表示c²。 (2) 当c=3时, 找出满足(*)和a<b的整数组(a, b)。 (3) 当整数a、b、c满足(*)和a≠b时, 证明c是3的倍数。'

'求解由以下条件确定的数列 {an} 的通项公式。'

'练习2曲线y=2x^{3}+2x^{2}+a，y=x^{3}+2x^{2}+3x+b相切，并且切线通过点（2,15），求常数a，b的值和切线方程。'

'练习 39：x² = x + 3，即 x² - x - 3 = 0 有两个解 α, β (α < β)，并且由解与系数的关系得到 α + β = 1，αβ = -3。证明之。另外，根据递归式 a_{n+2} - (α + β)a_{n+1} + αβa_{n} = 0 证明。最终求得 a_{n}。'

''

'请说明具有实数系数的奇次方程至少有一个实数解。'

'一数学 B 练习 62'

'求解下列表达式的值。'

'(3) 根据两个数的和α+β=-4和积αβ=13，求二次方程式并求解。'

'请根据常数a的值对方程sin ^{2} \\theta-\\cos \\theta+a=0(0 ≤θ<2π)的解进行分类并回答解的数量。'

'首项为 a，公差为 d，则第 10 项为 1，第 16 项为 5，因此 a+9d=1，a+15d=5，解得a=-5，d=2/3。设从首项到第 n 项的和为 Sn，S30=1/2·30{2·(-5)+(30-1)·2/3}=140，S14=1/2·14{2·(-5)+(14-1)·2/3}=-28/3，所以 S=S30-S14=140-(-28/3)=448/3'

'练习38：将递归式转换为 a_{n+2} + 4a_{n+1} = -4(a_{n+1} + 4a_{n})。因此，数列 {a_{n+1} + 4a_{n}} 的首项是 a_{2} + 4a_{1} = 9，公比为 -4，证明其为等比数列。另外，证明 a_{n+1} + 4a_{n} = 9·(-4)^{n-1}。最终求得 a_{n}。'

'二次方程式 $a x^{2}+b x+c=0$ 的两个解分别为 $\\alpha, \eta$，则 $\\alpha+\eta=-\\frac{b}{a}$，$\\alpha \eta=\\frac{c}{a}$。'

'分别用 $D_{1}$、$D_{2}$ 和 $D_{3}$ 表示三个方程的判别式。求出使每个判别式有虚数解的 a 的取值范围。根据方程的判别式来进行计算。'

'给定的三个实数a、b、c按照等差数列和等比数列的顺序排列。当a、b、c的乘积为125时，求a、b、c的值。'

'从C2方程获得(x-3)^2+(y-a)^2=a^2-4a+5。求出这个方程与直线y=x+1在不同的两点交点的条件。'

'数学 II 练习册 61 页'

'x^{2}+y^{2}=10\n(3) y=2 x-8\n5 x^{2}-32 x+54=0\n将此二次方程的判别式记为 D\nfrac{D}{4}=(-16)^{2}-5 cdot 54=-14\n由于 D<0，因此该二次方程没有实数解。因此，圆(A)和直线(3)没有交点。'

'y = bx - a² / 4'

'当 a = 1 时，C₂的方程为x^2-6x+y^2-2y+8=0。现在定义k为常数，考虑以下方程：k(x^2+y^2-4)+x^2-6x+y^2-2y+8=0。求使其成为直线的条件。'

'由于D>0且(α-4)+(β-4)>0且(α-4)(β-4)>0，故存在两个差均大于4的解。'

'由于线段PQ的中点(3+p)/2, (4+q)/2位于直线ℓ上，所以'

'具有重根的三次方程式'

'解决以下4次方程式：x^{4}=4'

'当\ a+b+c=1, \\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}=1 \时，证明\ a, b, c \中至少有一个为1。'

'请解释方程式 (x-3)^{2}(x+2)=0 的解及其重根。'

'设 $Q(x)$ 为2次多项式。整式$P(x)$不能被$Q(x)$整除，但{$P(x)$}^2能被$Q(x)$整除。证明二次方程$Q(x)=0$有重根。'

'因为实数为正，所以 $x-2>0$ 且 $3-x>0$。因此 $2<x<3$。由于 $2\\log_{4}(3-x)=\\log_{2^{2}}(3-x)^{2}=\\log_{2}(3-x)$。'

'将给定的文本视为二次方程式b的解'

'利用解和系数的关系求解以下值。'

'重要例题27 | 两个方程式的解'

'蔬菜A每个含有营养物质x₁ 8克，营养物质x₂ 4克，营养物质x₃ 2克；蔬菜B每个含有营养物质x₁ 4克，营养物质x₂ 6克，营养物质x₃ 6克。选择这两种蔬菜，每种选几个混合制作蔬菜汁。希望选取的蔬菜能够使营养物质x₁至少含量为42克，营养物质x₂至少含量为48克，营养物质x₃至少含量为30克。在尽可能选择较少的蔬菜A和蔬菜B数量来制作果汁时，蔬菜A的数量a和蔬菜B的数量b组合(a，b)为'

'对所有自然数n，通过利用an + bn + cn = 1来推导cn + 1。'

'湖37本册p.119 求解方程式x^2+y^2+lx+my+n=0中的圆。该圆通过点A(8,5)，因此8^2+5^2+8l+5m+n=0；通过点B(1,-2)，因此1^2+(-2)^2+l-2m+n=0；通过点C(9,2)，因此9^2+2^2+9l+2m+n=0。整理得到8l+5m+n=-89，l-2m+n=-5，9l+2m+n=-85。 解这些方程得到l=-8，m=-4，n=-5。因此，所求方程式为x^2+y^2-8x-4y-5=0。另一种解法是ABC的外心是所求圆的圆心。AB的垂直平分线方程为y-3/2=-1(x-9/2)，即y=-x+6。也可将4(x+5)^2+(y-4)^2=r^2代入x=y=0进行验证。从(1)-(2) ÷ 7得到l+m=-12，从(1)-(3)得到l-3m=-4，因此4m=-16等。'

'例 4 | 形成等差数列的3个数字\n有3个组成等差数列的数，它们的和为18，积为162。请找出这3个数。'

'(2) 体积为 V 的长方体，其中 V = x y z (2), (3), (4) 推导出 x, y, z 是 t 的三次方程 t^3 - 5 t^2 + 8 t - V = 0 的解。x, y, z 为正数的条件是 (5) 三次方程有三个正解。'

'例题42 | 通过固定点的直线方程\n设k为常数。直线(2k+1)x+(k-4)y-7k+1=0无论k的值如何都经过一个固定点。该固定点的坐标为A。另外，当这条直线的斜率为1/3时，k的值为B。\n[福冈大]'

'a³ - a² - b = 0 或者 9a + 27b - 1 = 0 其中a ≠ 1/ 3'

'底数是一个不等于1的正数'

'求出其中一個方程式具有虛數解的條件。'

'綜合演習'

'使用两个数的和与积来求解二次方程式。'

'例18对称方程的值（2）\n对于2次方程$2 x^{2}+4 x+3=0$的两个根$\\alpha, \eta$，求以下表达式的值。\n(1) $\\alpha^{5}+\eta^{5}$\n(2) $(\\alpha-1)^{4}+(\eta-1)^{4}$'

'例题38 相邻3项之间的递推式（2）'

'展示具有实数系数的二次方程ax² + bx + c = 0的解和判别式。'

'當通過相交點2x-y-1 = 0和x+5y-17 = 0的直線與4x+3y-6 = 0平行時，找出方程式。'

'(1) 从两个数的和α+β=7和积αβ=3中找出二次方程式并求解。'

'解决以下问题。'

'(1) 使用两个数的和和积来找到二次方程的解。'

'例17 | 对称式的值(1)\n二次方程 x^{2}+3x+4=0\n(1) \\alpha^{2}\eta+\\alpha\eta^{2}\n(4) \\alpha^{3}+\eta^{3}\n设二次方程的两个解为\\alpha, \eta，求以下式的值。\n(2) \\alpha^{2}+\eta^{2}\n(3) (\\alpha-\eta)^{2}\n(5) \\frac{\eta}{\\alpha}+\\frac{\\alpha}{\eta}\n(6) \\frac{\eta}{\\alpha-1}+\\frac{\\alpha}{\eta-1}'

'(2)中的解和系数关系为α+β=-p，αβ=q。在x²+qx+p=0中，解和系数的关系为α(β-2)+β(α-2)=-q，α(β-2)+β(α-2)=p，2αβ-2(α+β)=-q，因此，2q+2p=-q，即2p+3q=0。从(2)中得到αβ+αβ-2(α+β)+4=p，从(1)中得到q(q+2p+4)=p，因此p=-3/2q。将(6)代入(5)并整理得到4q²-11q=0，即q(4q-11)=0。解得q=0和11/4。当q=0时，由(6)可得p=0。此时，α=0，β=0，与α、β不相等的假设相矛盾。当q=11/4时，由(6)得到p=-33/8。'

'设方程(1)和(2)的判别式分别为D1和D2。'

'整理方程式得'

'点(1,2)在直线(3)上,所以a+2b=1'

'为满足 y=-2x+3 ，x位于-3 ≤ x ≤ 2的范围内，求y的可能值范围。'

'证明以下等式：\n\na^3 + b^3 + c^3 = -3(a + b)(b + c)(c + a) \n其中，a + b + c = 0。'

'展示三次方程式的解与系数之间的关系。'

'确定常数 k 的值，满足以下条件：\n(1) 一个解是另一个解的两倍\n(2) 一个解是另一个解的平方'

'对于实数a、b，记f（x）=x^3-3 a x+b。将|x|限制在-1≤x≤1时的最大值记为M。'

'设点P的坐标为（a，b）。经过点P且斜率为m的直线为y = m(x-a) + b，与曲线C的共有点的x坐标是方程x^3 - x = m(x-a) + b的实数解。当这个方程有三个不同的实数解时，直线ℓ与曲线C相交于三个不同的点。'

'练习'

'请找出满足以下条件的 k 的值。'

'求过两个不同点\\( (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \\) 的直线方程。'

'假设给定数列是等差数列，初项为5，公差为-7。假设该等差数列的第n项为-1010，则得出5+(n-1)×(-7)=-1010，解得7n=1022，所以n=146（自然数）。因此，给定数列可以是等差数列。另外，-1010是第146项。'

'给定数学文字转换为多种语言。'

'练习39⇒本册p.91\\ 从三次方程的解和系数之间的关系中 \\ α+β+γ=2, \\αβ+βγ+γα=0, αβγ=4\\'

'当方程式$x^{2}+y^{2}-4 k x+(6 k-2) y+14 k^{2}-8 k+1=0$表示一个圆时\n(1) 求常数$k$的取值范围。\n(2) 在$k$值变化的这个范围内，求圆的圆心的轨迹。'

'对于满足 x-2y+z=4 和 2x+y-3z=-7 的所有x, y, z的值，当且仅当满足ax^2+2by^2+3cz^2=18时，求常数a，b，c的值。'

'寻找满足方程组 x - 2y + z = 4 和 2x + y - 3z = -7 的所有x、y、z的值，以及满足方程19ax² + 2by² + 3cz² = 18的常数a、b、c的值。'

'确定常数a，b，c的值，使等式3x^2-2x-1=a(x+1)^2+b(x+1)+c成为关于x的恒等式。'

'求以下3次方程式的不同实数解的数量。'

'确认对数方程式和指数条件'

'当三次方程 $x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0$ 有重根时，请求常数 $a$ 的值。'

'求下列直线的方程式。'

'求和等于 2，乘积等于-2的两个数字是什么？求解。'

'发展 52: 二次方程解的证明问题'

'请判断以下二次方程的解的类型。其中，(4)中的k是一个常数。'

'找出能够被给定多项式P(x) = 5x^3 - 4x^2 + ax - 2整除的条件，其中x = 2和x = -1。'

''

'当二次方程式$x^{2}+2(a+3) x-a+3=0$有两个不同的解都大于1时，求常数$a$的取值范围。'

'二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两个解 $\\alpha, \eta$ 和判别式 $D$：\n1. $\\alpha, \eta$ 是两个不同的正解 $\\Longleftrightarrow D > 0$ 且 $\\alpha + \eta > 0$ 且 $\\alpha \eta > 0$\n2. $\\alpha, \eta$ 是两个不同的负解 $\\Longleftrightarrow D > 0$ 且 $\\alpha + \eta < 0$ 且 $\\alpha \eta > 0$\n3. $\\alpha, \eta$ 是符号不同的解 $\\quad \\Longleftrightarrow \\alpha \eta < 0$'

'考虑二次方程的实根\\\alpha, \eta\和实数\k\的大小关系 \\\alpha-k, \eta-k\的符号\n\n关注和\\( (\\alpha-k)+(\eta-k) \\)、积\\( (\\alpha-k)(\eta-k) \\)的符号'

'求解以下三次方程的不同实数解的个数。'

'为了使方程 $x^{2}+2mx+6-m=0$ 同时有两个不同的实数解大于1，确定常数$m$的取值范围。'

'确定常数m的取值范围，使得二次方程$x^2 + 2(m-1)x + 2m^2 - 5m - 3 = 0$满足以下条件：(1) 有两个正根。(2) 有两个不同的负根。(3) 有异号的两个根。'

'设a、b为常数。当多项式x^3-x^2+ax+b能被多项式x^2+x+1整除时，求a、b的值。'

'求等比数列的第一项和公比，使得前三项的和为-7，第三项到第五项的和为-63。'

'高次方程式：求解方程 $x^3-ax^2+(3a-1)x-24=0$，已知其中一个解为$x=2$。请确定常数$a$的值和另外一个解。'

'具有条件的恒等式'

'针对二次方程 $4 x^{2}+4(m+2) x+9 m=0$，回答以下问题。\n（1）当有两个虚数解时，求定数 $m$ 的取值范围。\n（2）当有重根时，求定数 $m$ 的值以及此时的重根。'

'假設二次方程式 x^{2}-3x+4=0 的兩個解為 α, β，求下列式的值。'

'展示解二次方程式ax^2 + bx + c = 0的公式，并求解。'

'当 0 ≤ θ < 2π 时，求解以下方程：(1) 2cos²θ - √3sinθ + 1 = 0 (2) 2sin²θ + cosθ - 2 = 0'

'确定常数a、b、c的值，使等式x^2+2x-1=a(x+3)^2+b(x+3)+c成立。'

'设三次方程 $x^{3}+x^{2}+x+3=0$ 的三个解分别为 $α, β, γ$，求 $α^{2}+β^{2}+γ^{2}$ 和 $α^{3}+β^{3}+γ^{3}$ 的值。'

'当三次方程 $x^{3} + (a+1)x^{2} - a = 0$ 有重根时, 求常数 $a$ 的值。'

'求出以下二次方程式的两个解的和与积。\n(1) $x^{2}-4 x-3=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x+6=0$\n(3) $3 x^{2}=5-4 x$'

'求解下列直线方程:'

'基础 62: 高次方程式的解法 (2) - 利用因式定理'

'解方：使用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，其中a = 1，b = -3，c = -3。答案：x = 3或x = -1。'

''

'判断以下二次方程的解的类型。其中，(4)中的 k 是常数。'

'求解2x^{2}+4x-1=0的方法和答案。'

'176（1）y=4 x-9 (2) y=-2 x，y=6 x-16'

'阐明二次方程式的解与系数之间的关系。设二次方程式为ax^2+bx+c=0，解为α和β，则利用求解公式可得以下关系。\n\n1. 解的和α+β\n2. 解的积αβ'

'求由递归式$a_{1}=1, a_{n+1}=2a_n+3^n$确定的数列的通项公式。'

''

'设二次方程x^2+2x-4=0的两个解为α, β，那么以α+2和β+2为两个解的二次方程是什么？'

'当恒等式(k-1) x + (3-2k) y + 4k-7 = 0对于所有的k都成立时，求x和y的值。'

'当二次方程式$x^{2}-a x+4=0$有两个不同的解，且都小于3时，求常数$a$的取值范围。'

'拓展53：整数解的二次方程式（利用解和系数之间的关系）'

'求解高次方程 x^{3}-4 x^{2}+2 x+4=0。'

'基础例题 62确定64高次方程式的系数（1）……实数解的条件3次方程式$x^{3}+ax^{2}-17x+b=0$有-1和-3作为解。（1）求常数$a$，$b$的值。（2）求此方程式的其他解。'

'当二次方程 $x^{2}-2 a x+3 a-2=0$ 存在两个不同的正解时，找出常数 $a$ 的取值范围。'

'考虑多项式P(x)=x^{3}-2 x^{2}+qx+2r。当3次方程P(x)=0的解为-2和两个自然数α, β(α<β)时，请求α、β、q和r。'

'当二次方程式x^2+2mx+15=0具有以下解时，找出常数m的值和两个解。'

'请找出二次方程 ax^{2}+bx+c=0 的解公式。'

'当二次方程 $3 x^{2}+6 x+m=0$ 的两个解满足以下条件时，分别求解常数 $m$ 和两个解。'

'根据25次条件确定的数列{an}，求其通项公式。(1) a1=1,an+1=2an-3(2) a1=1,2an+1-an+2=0'

'考虑三次方程 $x^{3}+(a-5)x^{2}+(a+8)x-6a-4=0$。'

'根据以下表找到“高次方程式”的信息。'

'\ 67 a=1,10 \'

'解决以下二次方程式。'

'求定数m的值和两个解，使得二次方程$3x^{2}+6x+m=0$满足以下条件：(1) 一个解是另一个解的3倍。(2) 两个解的比为2:3。'

'二次方程式的解'

'求通过三个点的圆的方程。'

'Development 69: Solution of Higher Order Equations (3)'

'(5) \ x= \\pm 2, \\pm \\frac{1}{2} i\'

'证明等式 A=B 的三种方法\n\n等式 A=B 有时会带有条件，但基本上是恒等式。证明等式的方法一般有以下三种：\n\n(1) 比较两边，通过转换较复杂的一边来推导出较简单的一边。\n\nA=⋯⋯ 变形 ⋯⋯ = B\n（或 B =⋯⋯ 变形 ⋯⋯ = A）\n\n因此 A = B\n\n(2) 分别对两边进行变形，得到相同的表达式 C。\n\nA=⋯⋯ 变形 ⋯⋯ = C\n\nB =⋯⋯ 变形 ⋯⋯ = C\n\n因此 A = B\n\n(3) 对 A - B 进行变形，证明 A - B = 0。\n\nA - B =⋯⋯ 变形 ⋯⋯ = 0\n\n因此 A = B'

'假设TR中a和b是实数，并且方程x ^ {3}-2x ^ {2} + ax + b =0有x = 2 + i作为解。求出a，b的值和方程的所有解。'

'当方程$a\\left(x^{2}-x+1\\right)=1+2 x-2 x^{2}$有实数解时，求常数$a$的值的范围。'

'求出以下直线的方程：\n（1）经过点（3,0），斜率为2\n（2）经过点（-1,4），斜率为-3\n（3）经过点（3,2），垂直于x轴\n（4）经过点（1,-2），与x轴平行'

'函数$y=4^{x}+4^{-x}-2^{x+1}-2^{1-x}$在$x=a$时取得最小值$b$。求$|a+b|$的值。'

'46 (1) 6x^2 + x - 12 = 0 (2) 4x^2 - 12x + 7 = 0 (3) 3x^2 - 4x + 3 = 0'

'请确定常数 a、b 和 c 的值，使得以下等式对 x 成立：(1) (a+b-3) x^{2} + (2a-b) x + 3b - c = 0'

'探讨三次方程式具有重根的条件'

'将第三个方程式代入第一个方程式，可以得到以下方程：a^{2} + (-7a + 25)^{2} = 25。整理后，得到以下二次方程：a^{2} - 7a + 12 = 0。因此，得到以下解：(a - 3)(a - 4) = 0，因此 a = 3, 4。将这些值代入第三个方程式，结果如下：a = 3 时，b = 4；a = 4 时，b = -3。因此，切线方程如下：3x + 4y = 25, 4x - 3y = 25'

'基本43：对称方程的两个解的值'

'当函数 f(x) = a x^3 + 3 a x^2 + b(-1 ≤ x ≤ 2) 的最大值为 10，最小值为 -10 时，请找出常数 a, b 的值。'

'当S_{2}=2 S_{1}时，\\frac{1}{6}(m+3)^{3}=9，即(m+3)^{3}=54，m是实数，所以m=-3+3 \\sqrt[3]{2}'

'当 k=0 时有一个实数解；当 k=-1 时有重根；当 -1<k<0 时有两个不同的实数解；当 k>0 时有两个不同的实数解；当 k<-1 时有两个不同的虚数解。'

'基本42：二次方程的两个解的和与乘积'

'设k为常数。判断方程kx^2 + 4x - 4 = 0的解的类型。'

'求出使得线段l1，l2平行或垂直的m的值。'

'求解以下三次方程的不同实数解的数量:\n(1) -x^{3}+3x^{2}-1=0\n(2) x^{3}-3x^{2}+3x+1=0'

'求x和y的值，使得(k+2)x-(1-k)y-k-5=0对任何k值都成立。'

'解下列方程和不等式。'

'为了使（3）（1）具有虚数解，必须满足条件'

'求解二次方程式x^2=k的解。这里k是任意实数。'

'假设公比是 r，则从第一项到第三项的等比数列和是 21，如果第二项是 4，那么首项是 a，那么 a=，公比 r=。'

'考虑q，r为实数，多项式P(x)=x^{3}-2 x^{2}+q x+2 r。设333次方程P(x)=0的解为-2和两个自然数\\( \\alpha, \eta(\\alpha<\eta) \\)时，求解\ \\alpha, \eta \和\ q, r \。[类似于中心考试]'

'解决以下方程和不等式。'

'例3x^2+3x+1=0的解是'

'发展 54: 二次方程的解的存在范围（2）'

'解下列方程:'

'A和B分别解出了关于x的相同二次方程。A错误地得出了x²的系数为26-2/3，解为1。B错误地得出了常数项为-1/3，解为1/2。请求出原来正确的二次方程的解。'

'当三次方程 $x^{3}-3 a^{2} x+4 a=0$ 有三个不同的实数解时, 求常数 $a$ 的取值范围。'

'考虑二次方程 $x^{2}+(m+1)x+m-1=0$。'

'标准65：高次方程式的系数确定（2）- 虚数解的条件'

'当三次方程 $x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0$ 具有重根时，求常数 $a$ 的值。'

'标准49：二次方程的解存在范围（1）'

'求等比数列的首项和公比，使从第 3 项到第 5 项之和为-63，从第 1 项到第 3 项之和为-7。'

'基础 41: 二次方程式存在虚数解、重根的条件'

'设三次方程 $x^{3}-2 x+1=0$ 的三个解为 $\\alpha, \eta, \\gamma$，求解以下表达式的值。'

'拓展学习-发展192 3次方程式的实数解的数量(3) 利用极值'

'58商，剩下按照顺序为 (1) x^2+2x-6，-10 (2) x^2-5x+4，3'

'求第 n 項總和從第一項到第 n 項的和 S_{n} 通過下列數列 {a_{n}} 的一般項。'

"当用一元多项式表示的函数f(x)满足f'(x)-f(x)=x²+1时，f(x)是一个次函数，并且f(x)= 。"

'标准 40：判断二次方程式解的类型（2）'

'通过方程式x-2y+6=0，可以转化为y=\\frac{1}{2}x+3来表示，因此表示了斜率为\\frac{1}{2}，截距为3的直线。'

'确定常数m的值范围，使得二次方程$x^{2}+2(m-1)x+2m^{2}-5m-3=0$满足以下条件：（1）具有两个正解。（2）具有两个不同的负解。（3）具有异号解。'

'拓展 66: 三次方程式的解与系数的关系'

'第3章高次方程式-49\n EX a、b、c、d 是实数常数。多项式P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d 在除以x^{2}-1后得到x+2余29，除以x^{2}+1后得到3x+4余。此时a=->，b=-1，c=d=√。[摂南大]\nP(x)在除以x^{2}-1即(x+1)(x-1)后的商为Q(x)，在除以x^{2}+1后的商为R(x)，则以下等式成立。\nP(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+x+2\nP(x)=(x^{2}+1)R(x)+3x+4\nP(1)=3，P(-1)=1，P(i)=4+3i'

'第7章指数函数和对数函数'

'求通过不同点 (x_1, y_1), (x_2, y_2) 的直线方程。'

'计算下列二次方程的两个根的和与积。'

''

'求和为2，乘积为-4的两个数是多少。'

'当三次方程式$x^{3}-3a^{2}x+4a=0$有三个不同的实数解时，求常数$a$的取值范围。'

'发展 68: 具有三个不同实数解的三次方程的条件'

'证明当a+b+c=0时，等式a^{2}+b^{2}=c^{2}-2 a b成立。'

''

'关于下划线部分g，国土交通省去年也进行了补助金招标，旨在推广下一代车辆。关于下一代车辆的以下声明X・Y的正误组合中，请从以下内容中选择一个正确答案并以编号回答。'

'选择表达積木A移动距离的正确表达式，并给出符号。'

'1 (1) \y=mx-2m+2 \\n(2) \u=\\frac{m-1}{m}, v=1-m \\n(3) \y=\\frac{1}{x-1}+1 \, 图略'

'证明以下方程在给定范围内至少有一个实数解。'

'假设a为实数，求解方程f(g(x))+f(x)-|f(g(x))-f(x)|=a的实数解个数。'

'请将分母去掉并解出以下方程：\n(2x-3)(x^{2}-3x+1)=0'

'求一个同时满足条件 (A) 和 (B) 的五次多项式 f(x)。'

'设a，b为实数，三次方程式x^3+ax^2+bx+1=0有虚数解α。证明α的共轭复数α¯也是这个方程的解。另外，用α和α¯表示第三个解β，以及系数a，b。'

'求速度、加速度、位置和行程（直线运动）。'

'证明当 a>1 时，方程 a x^2 − 2 x + a = 0 (1) 的两个解分别为 α，β，方程 x^2 − 2 a x + 1 = 0 (2) 的两个解分别为 γ，δ。记 A(α)，B(β)，C(γ)，D(δ)，证明点 A、B、C、D 四点共圆。'

'基础8: 代数解法解无理方程和无理不等式'

'在双曲线 $x^{2}-4 y^{2}=4$ 上的点 $(a, b)$ 处的切线斜率为 $m$，回答以下问题。假设 $b \neq 0$。\n(1) 求解 $a, b, m$ 之间的关系式。\n(2) 将该双曲线上的点与直线 $y=2x$ 之间的距离记为 $d$。求 $d$ 的最小值。并找出使 $d$ 达到最小值的曲线上的点的坐标。[神奈川大]'

'解方程组得到的点集构成什么几何图形？'

'解方程 \ \\frac{1}{x} + \\frac{1}{x-1} + \\frac{1}{x-2} + \\frac{1}{x-3} = 0 \。'

'20（1）\ |\\alpha|^{2} \\n（2）略（3）\ a=b \时的最大值为\ \\frac{1}{2} ; a=1, \\quad b=3 \时的最小值为\ \\frac{3}{10} \'

'解方程和不等式。'

'假设两个复数w和z（z≠2）满足w=iz/(z-2)。\n[弘前大]\n1. 当点z沿着以原点为中心、半径为2的圆周移动时，点w将绘制出什么形状？\n2. 当点z沿着虚轴移动时，点w将绘制出什么形状？\n3. 当点w沿着实轴移动时，点z将绘制出什么形状？'

'放射性物质如镭等以每个时刻的质量比例减少的速度减少质量。以比例常数 k(k>0)和初始质量 A 来表示质量 x 的时间 t 函数。此外, 对于镭而言, 质量减半需要1600年。在800年内，最初数量的大约是多少百分比？四舍五入到小数点以下。'

''

'解方程 \ \\log _{2} 256 x > 3 \\log _{2 x} x\。'

'实数解的个数'

'考虑复数z同时满足条件(A)和(B)的情况。 (A) z + i/z 是实数 (B) z 的虚部是正的 (1) 设|z|=r，用 r 表示 z。(2) 求 z 的虚部最大时的 z。'

'设a ≠ 0。对于函数f(x) = 2ax - 5a^2，找到使f^{-1}(x)和f(x)相等的常数a的值。'

'假设存在序列 {a_{n}} 和从第一个项到第n项的和 S_{n}'

'求解以下二次方程：\n(1) $x^{2}-3 x+2=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x-35=0$\n(3) $12 x^{2}+16 x-3=0$\n(4) $14 x^{2}-19 x-3=0$\n(5) $5 x^{2}-3=0$\n(6) $(2 x+1)^{2}-9=0$'

''

'作为男子短距离100m赛跑选手的太郎，注意到(1)，决定考虑如何使步幅和脚步频率达到最佳状态。'

'解出以下的二次方程。'

'求解满足条件的常数a的取值范围，对于两个二次方程$x^{2}-x+a=0$和$x^{2}+2ax-3a+4=0$。'

'为了确定二次方程存在解的范围，让我们考虑满足以下条件的图形:'

'设a，p为常数。求解以下关于x的方程的实数解。'

'求解以下联立方程组。'

'有多少种方法可以将12本不同的书分成以下几种方式?'

''

'设二次方程 $x^{2}-a^{2}x-4a+2=0$ 的两个不同实数解为 $\\alpha, \eta$，并且满足 $1<\\alpha<2<\eta$，求常数 $a$ 的取值范围。'

'当方程式$ax^{2}+bx+1=0$有两个解$-2,3$时，求常数$a,b$的值。'

'对于二次方程 \ x^{2}-a^{2} x-4 a+2=0 \ 的两个不同实数解 \ \\alpha, \eta \，满足 \ 1 < \\alpha < 2 < \eta \ ，确定常数 \ a \ 的值范围。'

'请计算二次方程式 $2 x^{2}+3 x+k=0$ 的实数解的个数。'

'求解以下联立方程组。'

'第1章\n数字和表达式\n23\n例\n(1) 求和为 x^2+2x 的表达式为 2x^2-3x+1。'

'一个实数解位于0<x<1的范围内，另一个实数解位于4<x<6的范围内时，常数a的取值范围是多少？'

'解下列二次方程。'

'二次方程的根的存在范围是什么？'

'请计算以下二次方程的实数解的个数。'

'已知长度为a、b的线段，求解二次方程 x^{2}-a x-b^{2}=0 的正解，并将其作为长度绘制线段。'

'找出二次方程式 $x^{2}+a x-a^{2}+a-1=0$ 在 $-3<x<3$ 范围内具有两个不同实数解的常数 $a$ 的范围。'

'当二次方程 $x^{2}-2 a x+a+6=0$ 满足以下条件时，求常数 $a$ 的值范围： (1) 有正解和负解。 (2) 有两个不同的负解。'

'在可以排列的所有由8个字母YOKOHAMA组成的序列中，求至少包含AO或者OA中至少一个的序列数。'

'请将给定的文本翻译成多种语言。'

'第2章 集合与命题\n(2) 解下列方程式\n\\[(p q+6)+(3 p+q) \\sqrt{2}=8+7 \\sqrt{2}\\]\n其中，p和q是有理数。'

'当有4名男子和5名女子排成一列时，有多少种下列方式？(1) 四名男子都相邻 (2) 男子之间不相邻'

'请说明对命题的逆、对偶和逆否三种情况。'

'从最大值和最小值确定系数(3)'

''

'54（2），（3）;（2）x=2时最大值为7，x=0时最小值为3'

'二次方程式$x^{2}+x+k=0, x^{2}+k x+1=0$都有实数解的$k$值的范围是什么？'

'当 x ≥ 0、y ≥ 0，并且2x+y=8时，请求xy的最大值和最小值。'

'使用解的公式找到以下2次方程的解。'

'根据以下条件求一次函数，并使利润最大化。'

'请说明以下命题的真假。'