モンスタークエスト:AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
関数と解析
関数と解析 - 指数関数と対数関数 | AIチューター ヤロウゼ、宿題!
Q.01
PR (1) 次の直線および放物線を, 軸方向に \-3, y \ 軸方向に1 だけ平行移動して得られる直線お(254よび放物線の方程式を求めよ。\n\n(ア) 直線 y=2 x-3\\n(化 放物線 y=-x^{2}+x-2\\n(2)\\(x) 軸方向に\2, y\軸方向に−1 だけ平行移動すると放物線y = -2x^{2}+3\ に重なるような放物線の方程式を求めよ。
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Q.02
(2) 個のチョコレートの販売にかかる総費用 \( c(y) \) は, \( c(y)=y^{2} \) で表される。このとき, A 社の利益 (売上から総費用を引いた差) が最大となる販売価格pの値,および,そのときの販売個数 の値を求めよ。
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Q.05
放物線 を 軸に関して対称移動し, さらに 軸方向に 軸方向に 4 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。
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Q.06
63 (2) g(\sqrt{2})=7-4 \sqrt{2}, g(-3)=33, g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}, g(1-a)=2 a^{2}+1
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Q.09
例題 30 では, まず, それぞれの項の分母を有理化してから計算していまし たが, 例題 31 (1) では, 分母を有理化しないまま計算をしています。その理由について考えてみましょう。
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Q.11
点 (1,2) を通り傾き a の直線と放物線 y=x^{2} によって囲まれる部分の面積を S(a) とする。 a が 0 ≤ a ≤ 6 の範囲を変化するとき、S(a) を最小にするような a の値を求めよ。
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Q.12
次の関数のグラフをかき,関数 のグラフとの位置関係を述べよ。\n(1) \n(2) \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x+1} \)\n(3)
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Q.13
次の方程式を解け。
(1)
(2)
(3) \( \log _{3}\left(x^{2}+6 x+5\right)-\log _{3}(x+3)=1 \)
(4) \( \log _{2}(3-x)-2 \log _{2}(2 x-1)=1 \)
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Q.14
次の関数のグラフをかき, 関数 のグラフとの位置関係を述べよ。\n(1) \n(2) \n(1) \( \log _{2} \frac{x-1}{2}=\log _{2}(x-1)-1 \)\nよつて, のグラフは, のグラフを 軸方向に 軸方向に -1 だけ平行移動したものである。\n\[\n\begin{array}{l}\n\qquad \log _{2} \frac{x-1}{2} \\\n=\log _{2}(x-1)-\log _{2} 2\n</array}\n\]
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Q.16
PRACTICE 154 (1) 次の式を簡単にせよ。
(ア)
(イ) \((\log _{3} 4+\log _{9} 16)(\log _{4} 9+\log _{16} 3)\)
(カ)
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Q.17
方程式 \( \log _{2} x-\log _{4}(2 x+a)=1 \) が相異なる2つの実数解をもつための実数 の値の範囲を求めよ。
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Q.20
1 < a < b < a^2 のとき, log_a b, log_b a, log_a(a/b), log_b(b/a), 0, 1/2, 1 を小さい順に並べよ。[自治医大] a < b < a^2 の各辺は正であるから, 各辺の a を底とする対数を とると, a > 1 より log_a a < log_a b < log_a a^2 すなわち 1 < log_a b < 2 log_a b = 1 / log_b a であるから 1 < 1 / log_b a < 2 逆数をとって 1/2 < log_b a < 1 また log_a(a/b) = 1 - log_a b
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Q.21
次の式を簡単にせよ。
(ア)
(イ) \( \left(\log _{3} 4+\log _{9} 16\right)\left(\log _{4} 9+\log _{16} 3\right) \)
(ウ)
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Q.22
対数の計算について
の公式は自明?
具体例で確かめてみると, と成り立っている。
一般的には次のように証明される。
証明 (1) とすると
(1)のpに (2) を代入すると
次のように考えることもできる。
になる正の数であると定義されている記号であるから,実際に 2 乗すれば に なるのは当然のことである。
同様に, の 記号は, 底の を何乗すると 真数の になるかを表す記号 であるから, は 2 を何乗すると 8 になるかを考えれば, だから と答えられる。
は, 数であり,実際に を乗しているのだから になる はずである。すなわち, は自明なことである。
数学では, 事柄が記号で表されるので, その記号がいったい何を表して いる記号なのかをきちんと押さえることが大切です。
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Q.23
関数 \( y=\left(\log _{2} \frac{x}{2}\right)\left(\log _{2} \frac{x}{8}\right)\left(\frac{1}{2} \leqq x \leqq 8\right) \) の最大値, 最小値と, そのときの の値を求めよ。
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Q.24
PRACTICE 189° f(x)=a x^{2}(x-3)+b(a≠0) の区間 -1 ≤ x ≤ 1 における最大値が 5 , 最小値が -7 であるように, 定数 a, b の値を定めよ。
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Q.25
とするとき, \( (\log_{10} 100)^{2 \log_{2} 7} + \log_{10} 720 \) を で表せ。
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Q.28
PRACTICE 158
次の方程式を解け。
[(1) 慶応大]
(1)
(2)
(3) \( \log _{3}\left(x^{2}+6 x+5\right)-\log _{3}(x+3)=1 \)
(4) \( \log _{2}(3-x)-2 \log _{2}(2 x-1)=1 \)
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Q.29
確率変数 が正規分布 \(N(m, \sigma^2)\) に従うとき\n\\[P(m-k\sigma \leqq X \leqq m+k\sigma)\\] の値が, の値によらずに のみの関数になっていることを示す。
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Q.30
3) 次の対数関数のグラフとその性質について説明しなさい。
(a) 対数関数 のグラフは、指数関数 のグラフとどのような関係にありますか?
(b) および の場合、それぞれの対数関数のグラフの形状について述べなさい。
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Q.31
1550 1/3 ≤ x ≤ 3 で定義された関数 y=-2(log₃ 3x)³+3(log₃ x+1)²+1 がある。関数 y の最大値と最小値, およびそのときの x の値を求めよ。
[長崎大]
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Q.33
次のグラフの概形として最も適当なものを, (0)〜(5)のうから1つずつ選 べ。ただし,同じものを選んでもよい。
(1)関数 \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \) のグラフを,縦軸のみを対数目盛で表す。
(2)関数 \( y=x^{2}(x>0) \) のグラフを,横軸と縦軸のいずれも対数目盛で表す。
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Q.35
2 つの放物線で囲まれる部分の面積を S(a) とする。 2 つの放物線の共有点の x 座標を α, β (α < β) とすると,右の図から
S(a) = ∫_{α}^{β} { -2(x - a)^2 + 3a - x^2 } dx
= -3 ∫_{α}^{β} (x - α)(x - β) dx
= -3・( -(1/6) ) (β - α)^3
= (1/2)(β - α)^3
2 次方程式 (1) の解は x = (2a ± √(-2a^2 + 9a))/3 α, β は (1) の解であるから
β - α = (2a + √(-2a^2 + 9a))/3 - (2a - √(-2a^2 + 9a))/3
= (2/3) √(-2a^2 + 9a)
ゆえに S(a) = (1/2)((2/3)√(-2a^2 + 9a))^3 = (4/27)(-2a^2 + 9a)^(3/2)
-2a^2 + 9a = -2(a - (9/4))^2 + (81/8) であるから, 0 < a < 9/2 の範囲において, -2a^2 + 9a は a = 9/4 で最大となり, このとき S(a) も最大となる。
よって, S(a) は a = 9/4 で最大値
S(9/4) = (4/27)((81/8))^(3/2) = (4/27) ・ (81/8) √(81/8) = 27√2/8 をとる。
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Q.36
1) 次の対数の基本事項に関する質問に解答しなさい。公式に基づいて以下の式の対数を求めよ。
(a) のとき、 を用いて の値を求めよ。
(b) の公式を用いて の値を求めよ。
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Q.37
次の関数のグラフをかき, 関数 y=\log _{2} x のグラフとの位置関係を述べよ。
(1) y=\log _{2}(x+1)
(2) y=\log \frac{1}{2} 4 x
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Q.39
(3) 方程式 f(x)=0 の異なる実数解の個数 n は, 曲線 y=f(x) と x 軸の共有点の個数に一致する。(1)により, a ≤0 のとき n=1 (2)により, a>0 のとき極小値 -4√2a3/2+16 は a の値によっ て, 正, 0 , 負いずれの場合もあるから n=1,2,3 したがって, (1), (2)をまとめると, n=1 ならば a<0, a=0, a>0 いずれもありうる n=2 ならば a>0 に限られる n=3 ならば a>0 に限られる
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Q.42
数学II\n(1) を変形すると \( b_{n+1}-\\frac{7}{6}=\\frac{1}{2}\\left(b_{n}-\\frac{7}{6}\\right) \)\nゆえに, 数列 は初項 , 公比 ...
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Q.43
(3)与えられた等式を (1) とすると, (1) は\\[ f(x) = \\frac{1}{2} x + \\int_{0}^{x} t \\sin t d t - x \\int_{0}^{x} \\sin t d t \\]\nこの両辺を \ x \ で微分すると\\[ f^{\\prime}(x) = \\frac{1}{2} + x \\sin x - \\int_{0}^{x} \\sin t d t - x \\sin x \\]\n\ = \\frac{1}{2} - [-\\cos t]_{0}^{x} = \\cos x - \\frac{1}{2} \\nよって \\[ f(x) = \\int\\left(\\cos x - \\frac{1}{2}\\right) d x = \\sin x - \\frac{1}{2} x + C \\]\nよって \\[ f(x) = \\int\\left(\\cos x - \\frac{1}{2}\\right) d x = \\sin x - \\frac{1}{2} x + C \\]\nここで, 等式 (1) の両辺に \ x = 0 \ を代入して \\[ f(0) = 0 \\]\n(2) から \ C = 0 \\nしたがって \\[ f(x) = \\sin x - \\frac{1}{2} x \\]
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Q.44
演習問題 の解答 67 (2) \frac{\pi \sqrt{1+\pi^{2}}+\log \left(\pi+\sqrt{1+\pi^{2}}\right)}{2}
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Q.45
例題 136 接線と面積\n曲線 が曲線 と接するように定数 の値を定めよ (ただし, )。 また, そのとき, これらの曲線と 軸とで囲まれる図形の面積を求めよ。\n[信州大]
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Q.46
次の不定積分を求めよ。(3), (4) では \ a \\neq 0, b \\neq 0 \ とする。\n(1) \ \\int e^{-x} \\cos x d x \\n(2) \\( \\int \\sin (\\log x) d x \\)\n(3) \ \\int e^{a x} \\sin b x d x \\n(4) \ \\int e^{a x} \\cos b x d x \
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Q.48
一一 数学 \n(3) \( f(x)=\\frac{x}{\\sqrt{1+x^{2}}}(x \\geqq 0) \) とすると\n\( f^{\\prime}(x)=\\frac{\\sqrt{1+x^{2}}-\\frac{x^{2}}{\\sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^{2}}=\\frac{1}{\\left(1+x^{2}\\right) \\sqrt{1+x^{2}}}>0 \) であるから,関数 \( y=f(x) \) は単調に増加する。\n点 \( \\mathrm{P}_{k}(k, 0), \\mathrm{Q}_{k}(k, f(k)), \\mathrm{R}_{k-1}(k-1, f(k)) \) とする。(ただし, \( k=1,2, \\cdots \\cdots, n) \n長方形 の面積を とすると\n\( \\begin{aligned} & \\int_{k-1}^{k} f(x) d x<S_{k} \\text { よって } \quad & \\int_{k-1}^{k} f(x) d x<\\frac{k}{\\sqrt{1+k^{2}}}\\end{aligned} \)\nゆえに \( \\quad \\sum_{k=1}^{n} \\int_{k-1}^{k} f(x) d x<\\sum_{k=1}^{n} \\frac{k}{\\sqrt{1+k^{2}}} \\)\n\( =\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{2}{\\sqrt{5}}+\\frac{3}{\\sqrt{10}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n}{\\sqrt{1+n^{2}}} \nここで \( \\quad \\sum_{k=1}^{n} \\int_{k-1}^{k} f(x) d x=\\int_{0}^{n} f(x) d x=\\int_{0}^{n} \\frac{x}{\\sqrt{1+x^{2}}} d x \)\n\( =\\frac{1}{2} \\int_{0}^{n} \\frac{\\left(1+x^{2}\\right)^{\\prime}}{\\sqrt{1+x^{2}}} d x=\\left[\\sqrt{1+x^{2}}\\right]_{0}^{n} \)\n =\\sqrt{1+n^{2}}-1 \nゆえに \( \\sqrt{1+n^{2}}-1<\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{2}{\\sqrt{5}}+\\frac{3}{\\sqrt{10}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n}{\\sqrt{1+n^{2}}}\( \n練習 \( 131 \\Rightarrow 本冊 (1) \( a_{1}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2} x d x=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}\\left(\\frac{1}{\\cos ^{2} x}-1\\right) d x=[\\tan x-x]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}=1-\\frac{\\pi}{4} \n(2) \( a_{n+1}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n+2} x d x=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n} x \\tan ^{2} x d x \n\( \\begin{array}{l}\n=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n} x\\left(\\frac{1}{\\cos ^{2} x}-1\\right) d x \\ =\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n} x \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} x} d x-\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n} x d x \\ =\\left[\\frac{1}{2 n+1} \\tan ^{2 n+1} x\\right]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}-a_{n}=-a_{n}+\\frac{1}{2 n+1} \n\\end{array} \n(3) のとき 0 \\leqq \\tan x \\leqq 1 \nよって \( 0 \\leqq \\tan ^{2 n+2} x \\leqq \\tan ^{2 n} x \nゆえに \( 0 \\leqq \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n+2} x d x \\leqq \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n} x d x \nよって \( 0 \\leqq a_{n+1} \\leqq a_{n} \n与えられた不等式の右辺の最後の項 \( \\frac{n}{\\sqrt{1+n^{2}}} から, 関数 の利用を考える。\n\( 4 \\int \\frac{d x}{\\cos ^{2} x}=\\tan x+C \n
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Q.50
y=log_{1/2} (x) とする。
x について解くと x=(1/2)^y
求める逆関数は,x と y を入れ替えて y=(1/2)^x すなわち y=2^{-x}
グラフは,図の(2)である。
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Q.51
問題 47 関数 \\( f(x)=2 \\log \\left(1+e^{x}\\right)-x-\\log 2 \\) を考える。(1) \\( f(x) \\) の第 2 次導関数を \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\) とする。等式 \\( \\log f^{\\prime \\prime}(x)=-f(x) \\) が成り立つことを示せ。(2) 定積分 \\( \\int_{0}^{\\log 2}(x-\\log 2) e^{-f(x)} d x \\) を求めよ。[類 大阪大]
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Q.53
(2)\n\\[\\begin{array}{l}\nI_{n}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{n-2} x \\tan ^{2} x d x=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{n-2} x\\left(\\frac{1}{\\cos ^{2} x}-1\\right) d x \n=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{n-2} x(\\tan x)^{\\prime} d x-\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{n-2} x d x \n=\\left[\\frac{1}{n-1} \\tan ^{n-1} x\\right]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}-I_{n-2}=\\frac{1}{n-1}-I_{n-2} \n\\text { また } \\quad I_{1}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{\\sin x}{\\cos x} d x=[-\\log (\\cos x)]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \n\\quad=-\\log \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{1}{2} \\log 2\n\\text { よって } \\quad I_{3}=\\frac{1}{2}-I_{1}=\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2} \\log 2\nまた \\( \\quad I_{1}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{\\sin x}{\\cos x} d x=[-\\log (\\cos x)]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\)\n\\よって \ \\quad I_{3}=\\frac{1}{2}-I_{1}=\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2} \\log 2 \\n更に \\( \\quad I_{2}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}\\left(\\frac{1}{\\cos ^{2} x}-1\\right) d x=[\\tan x-x]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}=1-\\frac{\\pi}{4} \\)\nゆえに \\( \\quad I_{4}=\\frac{1}{3}-I_{2}=\\frac{1}{3}-\\left(1-\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\frac{\\pi}{4}-\\frac{2}{3} \\)\n練習 \ 117 \\Rightarrow \ 本冊 \ p .476 \\n(1) \ x=\\frac{\\pi}{2}-t \ とおくと \ \\quad d x=-d t \ \ x \ と \ t \ の対応は右のようになる。
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Q.54
f’(x) = 1/ log x^3 (x^3 )’ - 1/ log x^2 (x^2 )’ = 1/(3 log x) * 3 x^2 - 1/(2 log x) * 2 x = ( x^2 - x ) / log x
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Q.55
逆三角関数と定積分\n 上の [4] [6] を公式として用いて, 次の定積分を求めてみよう。\n 例 \( \\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{d x}{x^{2}+3}=\\left[\\frac{1}{\\sqrt{3}} \\tan ^^{-1} \\frac{x}{\\sqrt{3}}\\right]_{1}^{\\sqrt{3}}=\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\left(\\frac{\\pi}{4}-\\frac{\\pi}{6}\\right)=\\frac{\\sqrt{3}}{36} \\pi \)
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Q.56
次の不定積分を求めよ。(1) (2) \( \\int(x+1)^{2} \\log x \\, dx \) (3)
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Q.57
検 スターリングの公式 際 練習 130 (2) の不等式 \( n \log n-n+1 \leqq \log (n!) \leqq(n+1) \log n-n+1 \) から ログ n^{n}-n+1 \leqq ログ (n!) \leqq ログ n^{n}+\ログ n-n+1 ゆえに \( \quad \frac{-n+1}{n} \leqq \frac{\log (n!)-\log n^{n}}{n} \leqq \frac{\log n-n+1}{n} \) から \( \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\log (n!)-\log n^{n}}{n}=-1 \) よって, \( \log (n!) \fallingdotseq \log n^{n}-n=\log n^{n}-\log e^{n}=\log \left(\frac{n}{e}\right)^{n} \) から \( \quad n!\doteqdot\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \) この近似式は,スターリングの公式と呼ばれ,階乗を指数関数で近似する意味がある。
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Q.58
(8) \( y^{\\prime}=\\frac{(\\log x)^{\\prime} \\cdot x-\\log x \\cdot(x)^{\\prime}}{x^{2}}=\\frac{\\frac{1}{x} \\cdot x-\\log x \\cdot 1}{x^{2}} \\)\\n\\\n=\\frac{1-\\log x}{x^{2}}\\n\
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Q.59
重要例面 量と積分\n曲線 の の部分を 軸の周りに 1 回転してできる容器に, 単位時間 あたり (正の定数) の割合で水を注ぐ。水の深さが のときの水の体積を , 水面の面積を とする。\n(1) \( \int(\log y)^{2} dy\) を求めよ。\n(2) を で表せ。\n(3) が となる瞬間の水面の広がる速さを求めよ。\n[芝浦工大]\n\n指鋪(3)水面の広がる速さは であるが, を の式で表すのは難しそう。そこで, (2)を ヒントにして, を利用して求める。
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Q.61
次の不定積分を求めよ。
95
(6) \( \int\left(5 e^{x}-7^{x}\right) d x \)
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Q.62
(1) 関数 \\( F(x)=\\frac{1}{2}\\left\\{x \\sqrt{x^{2}+1}+\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+1}\\right)\\right\\}, x>0 \\) の導関数を求めよ。\n(2) \ x y \ 平面上の点 \ \\mathrm{P} \ は, 方程式 \ x^{2}-y^{2}=1 \ で表される曲線 \ C \ 上にあり, 第 1 象限の 点である。原点 \ \\mathrm{O} \ と点 \ \\mathrm{P} \ を結ぶ線分 \ \\mathrm{OP}, x \ 軸, および曲線 \ C \ で囲まれた図形の 面積が \ \\frac{s}{2} \ であるとき, 点 \ \\mathrm{P} \ の座標を \ s \ を用いて表せ。
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Q.63
(2)\n\\[\\begin{aligned}\n\\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x}= & \\frac{\\cos x+2 \\sin x \\cos x}{\\sin ^{2} x}=\\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x \\\\\n\\sin x=t \\text { とおくと } & \\cos x d x=d t \\\\\n\\int \\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x} d x & =\\int \\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x d x=\\int \\frac{1+2 t}{t^{2}} d t \\\\\n& =\\int\\left(\\frac{1}{t^{2}}+\\frac{2}{t}\\right) d t=-\\frac{1}{t}+2 \\log |t|+C \\\\\n& =-\\frac{1}{\\sin x}+2 \\log |\\sin x|+C\n\\end{aligned}\\]
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Q.66
別解 本冊 例題 152 の等式 (1) を利用する (1) \( V=2 \pi \int_{0}^{\pi} x\{\cos x-(-1)\} d x \)
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Q.67
4 \int \frac{1-x}{x} d x \n=\int\left(\frac{1}{x}-1\right) d x \n=\log |x|-x+C
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Q.68
(2) \ e^{x}+1=t \ とおくと、\ e^{x}=t-1, e^{x} dx = dt \\n\\[ \\int \\frac{e^{2x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, dx = \\int \\frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, e^{x} \\, dx= \\int \\frac{t-1}{t^2} \\, dt \\)\n\\ = \\int \\left( \\frac{1}{t} - \\frac{1}{t^2} \\right) \\, dt \\) \n\\ = \\log |t| + \\frac{1}{t} + C \\) \n\\ = \\log (e^{x}+1) + \\frac{1}{e^{x}+1} + C \\]
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Q.69
置換積分法の公式 (2) を用い, 次の積分を求めよ。\n\n \( \int (2x+3)^5 \cdot 2 dx \)
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Q.70
(2) 数列 \ \left\{I_{n}\right\} \ を \\( I_{n}=\int_{0}^{n} f_{n}(x) d x \\) で定める。 \ 0 \leqq x \leqq 1 \ のとき \\( \log (1+x) \leqq \log 2 \\) であることを用いて数列 \ \left\{I_{n}\right\} \ が収束することを示し,その極限値を求めよ。 ただし, \ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\log x}{x}=0 \ であることは用いてよい。
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Q.71
関数\( f(x)=\\frac{1}{1+e^{-x}} \)について, 次の問いに答えよ。\n(1) 導関数 \( f^{\\prime}(x) \)の最大値を求めよ。\n(2) 方程式 \( f(x)=x \)はただ1つの実数解をもつことを示せ。\n(3) 漸化式 \( a_{n+1}=f\\left(a_{n}\\right)(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \)で与えられる数列 は, 初項の 値によらず収束し,その極限値は(2)の方程式の解になることを示せ。
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Q.72
よって \\[ \\int_{0}^{1} t f(t) d t = \\int_{0}^{1}(t \\sin \\pi t + a t) d t \\]\n\\[ = \\int_{0}^{1} t\\left(-\\frac{\\cos \\pi t}{\\pi}\\right)^{\\prime} d t + a \\int_{0}^{1} t d t \\]\n\ =\\left[-\\frac{t \\cos \\pi t}{\\pi}\\right]_{0}^{1} + \\int_{0}^{1} \\frac{\\cos \\pi t}{\\pi} d t + a\\left[\\frac{t^{2}}{2}\\right]_{0}^{1} \\]\n\\[ = \\frac{1}{\\pi} + \\left[\\frac{\\sin \\pi t}{\\pi^{2}}\\right]_{0}^{1} + \\frac{a}{2} = \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} \\]\nゆえに \\[ \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} = a \\] これを解いて \\[ a = \\frac{2}{\\pi} \\nしたがって \\[ f(x) = \\sin \\pi x + \\frac{2}{\\pi} \\]
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Q.73
次の不等式を証明せよ。\n(ア) のとき \( x \log x \geqq(x-1) \log (x+1) \)
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Q.74
重要㑬题 115 逆関数と定積分\n で定義された関数 の逆関数を \( y=g(x) \) とするとき, \( \int_{2}^{4} g(x) d x \) を求めよ。
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Q.75
綀習 102 \Rightarrow 本冊 p .453\n(1) \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \ とおくと \\( \\left(1+\\frac{x}{\\sqrt{x^{2}+1}}\\right) d x=d t \\)\nゆえに \ \\quad \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}+x}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = d t \\nよって \ \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\frac{1}{t} d t \\nしたがって \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\int \\frac{1}{t} d t=\\log |t|+C \\n\\[ =\\log \\left( x+\\sqrt{x^{2}+1} \\right)+C \\]
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Q.76
(2) (-x) e^((-x)^2) = -x e^(x^2) であるから, x e^(x^2) は奇関数である。
よって ∫_(-2)^(2) x e^(x^2) dx = 0
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Q.77
数学 \n練習 本冊 \n\( (x-1)^{2}+\frac{y^{2}}{4}=\cos ^{2} t \)\n(2) とする。\n(1)-(2) から\n\n\[2 x-1=\sin ^{2} t-\left(1-\sin ^{2} t\right)\]\n\nゆえに\n\n\n\n\( (1) から \)\n\n\[y^{2}=4\left(\sin ^{2} t-x^{2}\right)\]\n\nこれに (3)を代入して\n\n\[y^{2}=4 \left(\sin ^{2} t - \sin ^{4} t \right) = 4 \sin ^{2} t \left(1 - \sin ^{2} t \right)=4 \sin ^{2} t \cos ^{2} t=\sin ^{2} 2t \]\nよって、棈円 (1), (2) の交点の座標は\n\n\(\left( \sin ^{2} t , \pm \sin 2t \right)\)\n\nまた, (1)から \(x^{2}=\frac{1}{4} \left(4 \sin ^{2} t - y^{2}\right)\)\nゆえに\n\n\n\n(2) から\n\n\[(x-1)^{2} = \frac{1}{4} \left(4 \cos ^{2} t - y^{2} \right)\]\nゆえに \n\n\n\nよって\n\n\[S(t)= \int_{-\sin 2t}^{\sin 2t}\left\{\frac{1}{2}\sqrt{4 \sin ^{2} t - y^{2}} - \left(1 - \frac{1}{2}\sqrt{4 \cos ^{2} t - y^{2}}\right)\right\} dy\]\n\n = \int_{0}^{\sin 2 t} \sqrt{4 \sin ^{2} t - y^{2}} dy + \int_{0}^{\sin 2t} \sqrt{4 \cos ^{2} t - y^{2}} dy - 2 [y]_{0}^{\sin 2 t}\]\n\[ \int_{0}^{\sin 2 t} \sqrt{4 \cos ^{2} t - y^{2}} dy \n\n上の図から\n\n\[ S(t)=\frac{1}{2}(2 \sin t)^{2} \left( \frac{\pi}{2} - t \right) + \frac{1}{2} \sin 2t \left(2 \sin ^{2} t \right)\]\n\[ + \frac{1}{2}(2 \cos t)^{2} t + \frac{1}{2} \sin 2t \left(2 \cos ^{2} t \right) - 2 \sin 2t \]\n\[=\pi \sin ^{2} t + 2t \left( \cos ^{2} t - \sin ^{2} t \right) + \sin 2t \left( \sin ^{2} t + \cos ^{2} t \)\n -2 \sin 2t \]\n\[=\pi \sin ^{2} t + 2 t \cos 2t - \sin 2t \n を消去する方針。\n\[ \int_{0}^{\sin 2 t} \sqrt{4 \sin ^{2} t - y^{2}} dy \text {, }\n\[ \int_{0}^{\sin 2 t} \sqrt{4 \cos ^{2} t - y^{2}} dy \text { は }\nそれぞれ図の灰色部分の 面積を表す。本冊 D. 465 参照。
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Q.78
数列 \( \left\{\left(\\frac{x^{2}+2 x-5}{x^{2}-x+2}\right)^{n}\right\} \) が収束するように,実数 の値の範囲を定めよ。また,そのときの極限値を求めよ。
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Q.79
この直線が点 \( (0, Y(a)) \) を通るから \( \quad Y(a)=\left(a^{2}+1\right) e^{-\frac{a^{2}}{2}} \)\n\\[\n\\begin{aligned}\nY^{\\prime}(a) & =2 a \\cdot e^{-\frac{a^{2}}{2}}+\\left(a^{2}+1\\right) \\cdot\\left(-a e^{-\frac{a^{2}}{2}}\\right) \n& =-a(a+1)(a-1) e^{-\frac{a^{2}}{2}}\n\\end{aligned}\n\\]\n において, \( Y^{\\prime}(a)=0 \) とすると \n における \( Y(a) \) の増減表は右のようになる。\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c}\n\\hline & 0 & & 1 & \n\\hline\( Y^{\\prime}(a) \) & & + & 0 & - \n\\hline\( Y(a) \) & & & & \n\\hline\n\\end{tabular}\n\nここで, とおくと\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\lim _{a \\rightarrow \\infty} Y(a) & =\\lim _{a \\rightarrow \\infty}\\left(a^{2}+1\\right) e^{-\frac{a^{2}}{2}}=\\lim _{t \\rightarrow \\infty}(2 t+1) e^{-t} \n& =\\lim _{t \\rightarrow \\infty}\\left(2 t e^{-t}+e^{-t}\\right)\n\\end{aligned}\n\\]\n であるから\n\\[\n\\lim _{a \\rightarrow \\infty} Y(a)=2 \\cdot 0+0=0\n\\]\nまた, \( \\lim _{a \\rightarrow+0} Y(a)=1 \) であるから, 求める \( Y(a) \) のとりうる値の範囲は \( \quad 0<Y(a) \\leqq 2 e^{-\frac{1}{2}} \)\n(2) (1) で とすると \( a e^{-\frac{a^{2}}{2}} x=\\left(a^{2}+1\\right) e^{-\frac{a^{2}}{2}} \) であるから \nよって, と 軸の交点の 座標は \n と が 軸上で交わるとき \n分母を払って \( \quad b\\left(a^{2}+1\\right)=a\\left(b^{2}+1\\right) \)\nゆえに\n\( b a^{2}-\\left(b^{2}+1\\right) a+b=0 \)\nよって\n\( (a-b)(a b-1)=0 \)\n より, であるから 更に, であるから \nこれと から \n以上から \( \quad b=\\frac{1}{a}(0<a<1) \)\n(3) (2)より であるから \( Z(a)=Y(a)-Y\\left(\\frac{1}{a}\\right) \)\nここで, (1)より \( \\lim _{a \\rightarrow+0} Y(a)=1 \)\nまた \( \quad \\lim _{a \\rightarrow+0} Y\\left(\\frac{1}{a}\\right)=\\lim _{b \\rightarrow \\infty} Y(b)=0 \)\nよって \( \quad \\lim _{a \\rightarrow+0} Z(a)=1-0=1 \)\n更に \( \\frac{Z^{\\prime}(a)}{a}=\\frac{1}{a} \\cdot \\frac{d}{d a}\\left\\{Y(a)-Y\\left(\\frac{1}{a}\\right)\\right\\} \n\\]\n\nここで終わりにしては いけない。\n\ \\varangle a \\longrightarrow+0 \ のとき \\frac{1}{a} \\longrightarrow \\infty \
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Q.80
35. 次のベクトル v と α を求めよ。\n(1) \( \vec{v}=\left(e^{t}(\cos t-\sin t), e^{t}(\sin t+\cos t)\right) \), \( \vec{\alpha}=\left(-2 e^{t} \sin t, 2 e^{t} \cos t\right) \)
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Q.81
練習 \n(1) の関数 \( f(x) \) を \( f(x)=\\left(-\\frac{1}{\\alpha} x-\\frac{1}{\\alpha^{2}}\\right) e^{-\\alpha x}(\\alpha \\) は定数) とするとき, \( f(x) \) の導関数 \( f^{\\prime}(x) \) を利用して不定積分 \\int x e^{- \\alpha x} d x \ を求めよ。\n(2) の関数 \( g(x) \) を \( g(x)=\\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\\right) e^{-\\alpha x}(a, b, c, d \\) は定数 \\) とする とき, \( g(x) の導関数 \\) を利用して不定積分 \ \\int x^{3} e^{- \\alpha x} d x \ を求めよ。ただし, \ \\alpha \ は定数で \ \\alpha \\neq 0 \ とする。\n(3) \ \\alpha=1 \ とし,不定積分 \ \\int x^{n} e^{-\\alpha x} d x \ ( \ n \ は自然数)を求めよ。
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Q.82
練習 163
\[
y=\log (\cos x) \text { から } \quad \frac{d y}{d t}=-\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{d x}{d t} \]
速さ 1 から \( \quad\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}=1^{2} \)
よって \( \quad\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\tan ^{2} x\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=1 \)
ゆえに \( \quad\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=\frac{1}{1+\tan ^{2} x}=\cos ^{2} x \)
であり, で であるから
両辺を で積分すると
ここで
\[
\begin{array}{l}
=\frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{1+\sin x}+\frac{1}{1-\sin x}\right)(\sin x)^{\prime} d x \\
=\frac{1}{2} \log \frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C
\end{array}\]
ゆえに, (2)
のとき であるから
よって, のとき
ゆえに これと から
このとき \( \quad y=\log \left(\cos \frac{\pi}{6}\right)=\log \frac{\sqrt{3}}{2} \)
したがって, 求めるPの座標は \( \quad\left(\frac{\pi}{6}, \log \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
次に, を(1)に代入して
よって
の加速度ベクトルの大きさ は
\[
\begin{array}{c}
\sqrt{\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}\right)^{2}}=\sqrt{\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}}=\frac{d x}{d t} \\
t=\frac{1}{2} \log 3 \text { として } \quad|\vec{\alpha}|=\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{array}\]
次に,
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Q.83
例題 82 | 方程式の実数解の個数\nk を実数とするとき, x の方程式 x^{2}+3 x+1=k e^{x} の実数解の個数を求めよ。 ただし, lim _{x \rightarrow \infty} x^{2} e^{-x}=0 を用いてよい。[類横浜国大]
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Q.84
(1) 2 つの曲線 で囲まれた部分を 軸の周りに 1 回転させてでき る立体の体積 を求めよ。\n(2) 曲線 を とする。曲線 , 原点 を通る曲線 の接線 軸と で囲まれた図形を 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 を求めよ。
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Q.85
数学 II\n407\n[2] \ p>2 \ のとき\n\\[\\frac{d S}{d p}=p \\log p+\\frac{p}{2}=\\frac{p}{2}(2 \\log p+1)>0\\]\n[1], [2] から, Sの増減表 は右のようになる。\nよって, \ S \ は \ p=\\frac{4}{3} \ のと き最小となり, その最小値\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}\n\\hline\ p \ & 1 & \ \\cdots \ & \ \\frac{4}{3} \ & \ \\cdots \ & 2 & \ \\cdots \ \\\\\n\\hline\ \\frac{d S}{d p} \ & & - & 0 & + & & + \\\\\n\\hline\ S \ & & \ \\searrow \ & 極小 & \ \\nearrow \ & 1 & \ \\nearrow \ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\\begin{\overlineray}{l}\n\\text { p= } \\frac{4}{3} \\text { のとき } \\\\\na=\\frac{16}{9} \\log \\frac{4}{3}\n\\end{\overlineray}\\n\\[\\begin{aligned}\n& \\frac{8}{3} \\log \\frac{4}{3}-\\frac{16}{3} \\log \\frac{4}{3}+\\frac{8}{3}+2 \\log 2-3 \\\\\n= & \\frac{1}{3}(8 \\log 3-10 \\log 2-1)\n\\end{aligned}\\]
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Q.86
次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=\\log _{2}(2 x+1) \)\n(2) \n(3) \( y=\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+4}\\right) \)\n(4) \n(5) \n(6) \n(7) \n(8) \n(9)
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Q.87
(1) \ \\sqrt{x+1}=t \ とおくと \ t^{2}=x+1 \\n\\[ よって、x=t^{2}-1, d x = 2 t d t \\) \\ \n\\int (2 x+1) \\sqrt{x+1} dx = \\int \\{2(t^{2}-1)+1\\} t \\cdot 2 t d t \\) \n\\ = 2 \\int (2 t^{4}-t^{2}) d t = 2 \\left( \\frac{2}{5} t^{5}-\\frac{1}{3} t^{3} \\right) + C \\) \n\\ = \\frac{2}{15} t^{3} (6 t^{2}-5) + C \\) \n\\ = \\frac{2}{15} (x+1)(6 x+1) \\sqrt{x+1} + C \\)
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Q.88
(5) \ \\log x=t \ とおくと \ \\quad x=e^{t}, d x=e^{t} d t \\n\\[\\begin{aligned}\\int \\frac{(\\log x)^{2}}{x^{2}} d x & =\\int \\frac{t^{2}}{e^{2 t}} e^{t} d t=\\int t^{2} e^{-t} d t=-\\int t^{2}\\left(e^{-t}\\right)^{\\prime} d t \\\\\n& =-t^{2} e^{-t}+\\int 2 t e^{-t} d t=-t^{2} e^{-t}-2 \\int t\\left(e^{-t}\\right)^{\\prime} d t \\\\\n& =-t^{2} e^{-t}-2\\left(t e^{-t}-\\int e^{-t} d t\\right) \\\\\n& =-t^{2} e^{-t}-2 t e^{-t}-2 e^{-t}+C \\\\\n& =-e^{-t}\\left(t^{2}+2 t+2\\right)+C \\\\\n& =-\\frac{1}{x}\\left\\{(\\log x)^{2}+2 \\log x+2\\right\\}+C\\end{aligned}\\]
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Q.89
(2) y^{\\prime}=\\frac{-1 \\cdot\\left(x^{2}+2\\right)-(1-x) \\cdot 2 x}{\\left(x^{2}+2\\right)^{2}}=\\frac{x^{2}-2 x-2}{\\left(x^{2}+2\\right)^{2}}\ny^{\\prime}=0 とすると \\quad x^{2}-2 x-2=0\nこれを解くと \\quad x=1 \\pm \\sqrt{3}
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Q.92
与えられた定積分を J とする。 f(x)=\frac{\sin ^{3} x}{4-\cos ^{2} x} とすると f(\pi-x)=\frac{\sin ^{3}(\pi-x)}{4-\cos ^{2}(\pi-x)}=\frac{\sin ^{3} x}{4-\cos ^{2} x}=f(x) よって, (1)から J =\int_{0}^{\pi} x f(x) d x=\int_{0}^{\pi}\left\{\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f(x)+\frac{\pi}{2} f(x)\right\} d x =\int_{0}^{\pi}\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f(x) d x+\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(x) d x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(x) d x =\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin ^{3} x}{4-\cos ^{2} x} d x \cos x=u とおくと -\sin x d x=d u x とuの対応は右のようになる。 \begin{tabular}{c||l} \hline x & 0 \longrightarrow \pi \hline u & 1 \longrightarrow-1 \hline \end{tabular} J =\frac{\pi}{2} \int_{1}^{-1} \frac{1-u^{2}}{4-u^{2}} \cdot(-1) d u=\frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} \frac{u^{2}-1}{u^{2}-4} d u =\frac{\pi}{2} \cdot 2 \int_{0}^{1} \frac{u^{2}-1}{u^{2}-4} d u=\pi \int_{0}^{1}\left(1+\frac{3}{u^{2}-4}\right) d u =\pi \int_{0}^{1}\left\{1+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{u-2}-\frac{1}{u+2}\right)\right\} d u =\pi\left[u+\frac{3}{4}(\log |u-2|-\log |u+2|)\right]_{0}^{1} =\pi\left[u+\frac{3}{4} \log \left|\frac{u-2}{u+2}\right|\right]_{0}^{1} =\pi\left(1-\frac{3}{4} \log 3\right)
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Q.93
例題 143 面積から曲線の係数決定
c \geqq 1 とする。2つの曲線 y=c x^{2} と y=\log \left(1+x^{2}\right), および, 2 つの直線 x=1 と x=-1 で囲まれる図形の面積が 4 となる c の値を求めよ。
[類 北海道大]
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Q.94
次の条件をもつ関数を求めよ。\n(3) \( h(x)=\left(a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}+\cdots+a_{1} x+a_{0}\right) e^{-x} \)
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Q.96
別解 1 / log t の原始関数を F ( t ) とすると ∫_(x^2)^(x^3) 1 / log t dt = F ( x^3 ) - F ( x^2 ) , F ′( t ) = 1 / log t よって f’( x ) = d / dx ∫_(x^2)^(x^3) 1 / log t dt = F ′( x^3 ) ( x^3 )’ - F ′( x^2 ) ( x^2 )’ = 3 x^2 / log x^3 - 2 x / log x^2 = x^2 / log x - x / log x = x^2 - x / log x
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Q.97
例 45 | 曲線と 軸の間の面積\n次のような部分の面積を求めよ。\n(1) のグラフと 軸, 軸とで囲まれた部分\n(2) 関数 \( y=(3-x) e^{x} \) が極大値をとる の値を とするとき, 曲線 \( y=(3-x) e^{x} \) と 軸および直線 で囲まれた部分\n[(2) 類 関西大]
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Q.00
次の不定積分を求めよ。
(4) \( \int\left(3 e^{t}-2 \cdot 3^{t}\right) d t \)
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Q.01
公式 (4) を用いて次の積分を求めなさい。\n\n \( \int (3x^2 + 1)^4 \cdot 6x dx \)
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Q.02
29. 次の x 値で関数の極値を求めよ。\n(1) x=1/√e で極小値 -1/(2e)\n(2) x=-4/3 で極大値 4√6/9, x=0 で極小値 0
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Q.03
例題 163 曲線上を等速で動く点\n547\n座標平面上を運動する点 がある。点 は点 \( (0,1) \) を出発して, 曲線 \( y=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}(x \geqq 0) \) 上を毎秒 1 の速さで動いている。点 の 秒後の座標を \( (f(t), g(t)) \) で表す。 \( f(t), g(t) \) を求めよ。\n[新渴大]\n指斜 0 秒後から 秒後までの道のり を 2 通りに表して考える。\n[1] 毎秒1の速さで動いているから \n[2] 曲線 \( y=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}(x \geqq 0) \) 上を動いているから, 点 の 秒後の 座標を とする と\n\[l=\int_{0}^{p} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x\]
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Q.06
数学 II\n において, \( f^{\prime}(x)=0 \) とすると すなわち \( \quad x=k \pi-\frac{\pi}{4} \quad(k=1,2,3, \cdots \cdots) \) \( f^{\prime \prime}(x)=\sqrt{2} e^{-x}\left\{\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right\} \) であるから\n\[\n\begin{aligned}\nf^{\prime \prime}\left(k \pi-\frac{\pi}{4}\right) & =\sqrt{2} e^{-\left(k \pi-\frac{\pi}{4}\right)}(\sin k \pi-\cos k \pi) \\\n& =-\sqrt{2} e^{-\left(k \pi-\frac{\pi}{4}\right)} \cos k \pi\n\end{aligned}\n\]\( f^{\prime \prime}\left(k \pi-\frac{\pi}{4}\right)<0 \) となるのは, \( k=2 n(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) のとき である。よって,極大値をとる の値は \n(2) \( a_{n}=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{8(n-1)+7}{4} \pi}=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{7}{4} \pi}\left(e^{-2 \pi)^{n-1}}\right. \)\nよって, は初項 , 公比 の無限等比級数で, であるから\n\[\n\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{7}{4} \pi}}{1-e^{-2 \pi}}=\frac{e^{\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}\left(e^{2 \pi}-1\right)}\n\]
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Q.07
数学正 263
\[
f^{\prime}(x)=\frac{\{\log (x+e)\}^{\prime}}{\log (x+e)}=\frac{\frac{(x+e)^{\prime}}{x+e}}{\log (x+e)}=\frac{1}{(x+e) \log (x+e)}
\]
ゆえに \( \quad f^{\prime}(0)=\frac{1}{e \log e}=\frac{1}{e} \)
よって \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \log \{\log (x+e)\}=\frac{1}{e} \)
(5) \( f(x)=e^{x} \) とすると, \( f^{\prime}(x)=e^{x} \) であるから
\[\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x} & =\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}-1}{x}+\frac{e^{-x}-1}{-x}\right) \
& =\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}+\frac{e^{-x}-e^{0}}{-x-0}\right) \
& =f^{\prime}(0)+f^{\prime}(0)=1+1=2
\end{aligned}\]
(6) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{a+x}-e^{a}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{a} \cdot \frac{e^{x}-1}{x}\right) \)
\( f(x)=e^{x} \) とすると, \( f^{\prime}(x)=e^{x} \) であるから
\[\begin{array}{l}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}=f^{\prime}(0)=1 \\
\text { よって } \quad \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{a+x}-e^{a}}{x}=e^{a} \cdot 1=e^{a}
\end{array}
\]
(1) (ア) \( y^{\prime}=\frac{\left(x^{2}+1\right)^{\prime}}{x^{2}+1}=\frac{2 x}{x^{2}+1} \) であるから
\[y^{\prime \prime}=\frac{(2 x)^{\prime}\left(x^{2}+1\right)-2 x\left(x^{2}+1\right)^{\prime}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{2\left(1-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
\]
\( y^{\prime \prime}=2\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+1\right)^{-2} \) であるから
\[\begin{aligned}
y^{\prime \prime \prime} & =2\left(1-x^{2}\right)^{\prime}\left(x^{2}+1\right)^{-2}+2\left(1-x^{2}\right)\left\{\left(x^{2}+1\right)^{-2}\right\}^{\prime} \\
& =-4 x\left(x^{2}+1\right)^{-2}-8 x\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+1\right)^{-3} \\
& =\frac{-4 x\left(x^{2}+1\right)-8 x\left(1-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}=\frac{4 x\left(x^{2}-3\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}
\end{aligned}\]
(1) \( y^{\prime}=e^{2 x}+2 x e^{2 x}=(2 x+1) e^{2 x} \) であるから
\[\begin{array}{l}
y^{\prime \prime}=2 e^{2 x}+2(2 x+1) e^{2 x}=4(x+1) e^{2 x} \\
y^{\prime \prime \prime}=4 e^{2 x}+8(x+1) e^{2 x}=4(2 x+3) e^{2 x}
\end{array}
\]
(ウ)
\[\begin{array}{c}
y^{\prime}=\sin x+x \cos x \text { であるから } \\
y^{\prime \prime}=\cos x+\cos x-x \sin x=2 \cos x-x \sin x \\
y^{\prime \prime \prime}=-2 \sin x-\sin x-x \cos x=-3 \sin x-x \cos x
\end{array}\]
(2)条件より, \( y=g(x) \) に対して が成り立つから
であるから
ゆえに
よって \( g^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sin y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \)
を利用 してもよい。
を直ち に使ってもよいが、 ここ では微分係数の定義を利用した解法を示しておく。
\[\begin{array}{l}
\Psi(\log u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u} \\
\Psi\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}
\end{array}
\]
\[\begin{array}{l}
4(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime} \\
4\left\{\left(x^{2}+1\right)^{-2}\right\}^{\prime} \\
=-2\left(x^{2}+1\right)^{-3} \cdot\left(x^{2}+1\right)^{\prime} \\
\end{array}
\]
\[\Psi(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}
\]
\[\begin{aligned}
\varangle \frac{d x}{d y} & =\frac{d}{d y}(\cos y) \\
& =-\sin y
\end{aligned}
\]
3裮
練習
嶶
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Q.08
(イ) \( f(x y)=f(x)+f(y) \)\n(2) に を代入すると \( \quad f(1)=0 \)\n を定数と考えて, (2) の両辺を で微分すると\n\[ x f^{\prime}(x y)=f^{\prime}(y) \]\n とすると \( \quad x f^{\prime}(x)=f^{\prime}(1) \]\n\( f^{\prime}(1)=k \) (定数) とすると \( f^{\prime}(x)=\frac{k}{x} \)\n を変数と考えて, 両辺を積分すると\n\[ f(x)=k \log |x|+C \quad(C \text { は任意定数 }) \]\n\( f(1)=0 \) から \nよって \( f(x)=k \log |x| \) ( は定数)
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Q.09
344\n数学 \\\mathbb{I}\\n(3) \ x^{2}+a^{2}=t \ とおくと \ \\quad x d x=\\frac{1}{2} d t \\n\ \\begin{aligned}\n\\int \\frac{x}{\\sqrt{x^{2}+a^{2}}} d x & =\\int \\frac{1}{\\sqrt{t}} \\cdot \\frac{1}{2} d t=\\frac{1}{2} \\int t^{-\\frac{1}{2}} d t=\\sqrt{t}+C \\\\\n& =\\sqrt{x^{2}+a^{2}}+C \\\\ \\end{aligned} \
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Q.10
演習問題 の解答 59 (2) \left(\frac{e^{s}+e^{-s}}{2}, \frac{e^{s}-e^{-s}}{2}\right)
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Q.11
25 (1) \( y^{\prime}=\frac{2}{(2 x+1) \log 2} \)\n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6) \n(7) \( y^{\prime}=e^{x}(\sin x+\cos x) \)\n(8) \n(9) \( y^{\prime}=\frac{4}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}} \)
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Q.15
重要例題 87. 2 変数の不等式の証明 (2)\n0<a<b のとき,次の不等式が成り立つことを示せ。\n\ \\sqrt{a b}<\\frac{b-a}{\\log b-\\log a}<\\frac{a+b}{2} \\n[岐阜大]
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Q.16
数学III- 295\n(3) y^{\\prime}=\\frac{\\frac{1}{x} \\cdot x-(\\log x) \\cdot 1}{x^{2}}=\\frac{1-\\log x}{x^{2}}\\ny^{\\prime}=0 とすると \\quad x=e\\n1 \\leqq x \\leqq 3 における y の増減表は右のようになる。よって, y は \\nx=e で最大値 e^{-1} ,
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Q.19
数学 (3) \\( \\log \\left(\\sin ^{2} x\\right)=t \\) とおくと, \ \\frac{2 \\sin x \\cos x}{\\sin ^{2} x} d x=d t \ から\n\n\\[\\begin{array}{rl}\\frac{2}{\\tan x} d x & d t \\quad \\text { よって } \\quad d x=\\frac{\\tan x}{2} d t \\\\\n\\int \\frac{\\log \\left(\\sin ^{2} x\\right)}{\\tan x} d x & =\\int \\frac{t}{\\tan x} \\cdot \\frac{\\tan x}{2} d t=\\int \\frac{t}{2} d t \\\\\n& =\\frac{t^{2}}{4}+C=\\frac{1}{4}\\left\\{\\log \\left(\\sin ^{2} x\\right)\\right\\}^{2}+C \\\\\n& =(\\log |\\sin x|)^{2}+C\\end{array}\\]
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Q.20
練習 次の関数の逆関数を求めよ。\n(1) \( y=\frac{2 x-1}{x+1}(x \geqq 0) \)\n(2) \( y=\frac{1-2 x}{x+1}(0 \leqq x \leqq 3) \)\n(3)
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Q.22
(2) \ \\int 3^{1-2 x} d x=-\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3^{1-2 x}}{\\log 3}+C = -\\frac{3^{1-2 x}}{2 \\log 3}+C \
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Q.23
練習 97 \Rightarrow 本冊 p .447\n (3) \\(\\int \\log(x+3) d x\\)
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Q.24
袷 をガウス積分といい, であることが知られている。\nそして, ガウス積分は, 正規分布の確率密度関数(数学B統計的な推測)が \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-m)^{2}}{2 \sigma^{2}}}\left[m:\right. \) 平均, 分散 であることの証明にも用いられる。
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Q.26
97 (1) (2) \( \frac{x \cdot 2^{x}}{\log 2}-\frac{2^{x}}{(\log 2)^{2}}+C \) (3) \( (x+3) \log (x+3)-x+C \) (4) \( \sqrt{x}(\log x-2)+C \) (5) (6) \( (x-1) \log (1+\sqrt{x})-\frac{1}{2} x+\sqrt{x}+C \)
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Q.28
(1) \( \\left|\\overrightarrow{\\mathrm{OP}_{\\theta}}\\right|=\\sqrt{\\left(e^{-\\theta} \\cos \\theta\\right)^{2}+\\left(e^{-\\theta} \\sin \\theta\\right)^{2}} \)\n\=e^{-\\theta}\\nよって, 動点 \\mathrm{P}_{\\theta} \ が動くときに描く曲線は,極方程式 で表される。 が十分小さいとき, \( f(t+\\Delta t)-f(t) \) は右の図の灰色部分 の面積を表す。\n\\\frac{d}{d \\theta} e^{-\\theta}=-e^{-\\theta}<0\\nであるから, 線分 \\mathrm{OP}_{t} \ の長さは t \ に関して単調に減少する。\nよって \( \\frac{1}{2}\\left\\{e^{-(t+\\Delta t)}\\right\\}^{2} \\Delta t<f(t+\\Delta t)-f(t)<-\\frac{1}{2}\\left(e^{-t}\\right)^{2} \\Delta t \)\n\\[\\frac{1}{2} e^{-2(t+\\Delta t)}<\\frac{f(t+\\Delta t)-f(t)}{\\Delta t}<\\frac{1}{2} e^{-2 t}\\]\nしたがって, はさみうちの原理から\n\\[\\lim _{\\Delta t \\rightarrow+0} \\frac{f(t+\\Delta t)-f(t)}{\\Delta t}=\\frac{1}{2} e^{-2 t}\\]\n\ \\Delta t<0 \ のときも同様にして\n\\[\\lim _{\\Delta t \\rightarrow-0} \\frac{f(t+\\Delta t)-f(t)}{\\Delta t}=\\frac{1}{2} e^{-2 t}\\]\nよって \( \\quad \\frac{d}{d t} f(t)=\\lim _{\\Delta t \\rightarrow 0} \\frac{f(t+\\Delta t)-f(t)}{\\Delta t}=\\frac{1}{2} e^{-2 t} \\)
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Q.29
370 例䞧 52 第 次導関数と漸化式\n\( f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} \) について, \( f^{(0)}(x)=f(x) \) とする。\n[横浜市大]\n(1) \( \left(1+x^{2}\right) f^{(n)}(x)+2 n x f^{(n-1)}(x)+n(n-1) f^{(n-2)}(x)=0(n \geqq 2) \) が成り立つこと を数学的帰納法を用いて証明せよ。\n(2). \( a_{n}=f^{(n)}(0) \) としたとき, 数列 \( \left\{a_{n}\right\}(n \geqq 1) \) の一般項を求めよ。\n《例題 51
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Q.30
練習 (1) 2 つの曲線 と \( y=\frac{a}{x^{2}}(a>0) \) の交点の 座標を で表すとき, を 144 pを用いて表せ。\n(2)(1)の2つの曲線と直線 で囲まれる部分の面積 を 用いて表せ。\n(3) を動かすとき, Sの最小値を求めよ。\n[類 大阪大]
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Q.31
(7)\\n\\[\\n\\begin{aligned}\\n y^{\\prime} & =\\left(e^{x}\\right)^{\\prime} \\sin x+e^{x}(\\sin x)^{\\prime}=e^{x} \\sin x+e^{x} \\cos x \\n\\ & =e^{x}(\\sin x+\\cos x)\\n\\end{aligned}\\n\\]
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Q.32
次の条件を満たす関数 \( f(x) \) の定積分を求めよ:\n\n1. \( f(x) \) は偶関数 で常に \( f(-x)=f(x) \) が成り立つ。\n2. 定積分の範囲は である。
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Q.33
一一 数学 \\n(4) \( y^{\\prime}=\\frac{1-\\sin x}{1+\\sin x} \\cdot \\frac{\\cos x(1-\\sin x)-(1+\\sin x)(-\\cos x)}{(1-\\sin x)^{2}} \\)\\n\\[\\n=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2 \\cos x}{\\cos ^{2} x}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]\\n別解 \( y=\\log (1+\\sin x)-\\log (1-\\sin x) \\) であるから\\n\\[\\n y^{\\prime}=\\frac{\\cos x}{1+\\sin x}-\\frac{-\\cos x}{1-\\sin x}=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]
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Q.34
412\n迤 80 変曲点と対称性\n とし, \( f(x)=\log \frac{x+a}{b-x} \) とする。曲線 \( y=f(x) \) はその変曲点に関し て点対称であることを示せ。\n[類 甲南大]
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Q.35
(3) であるから \nまた \( \quad y=(\\sqrt{x})^{x}=x^{\\frac{1}{2} x} \)\n の自然対数をとると \n両辺を で微分すると \( \quad \\frac{y^{\\prime}}{y}=\\frac{1}{2}(\\log x+1) \)\nよって \( y^{\\prime}=\\frac{1}{2} y(\\log x+1)=\\frac{1}{2}(\\sqrt{x})^{x}(\\log x+1) \)
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Q.36
(3) 不等式 \( \\sqrt{\\pi\\left(1-e^{-a^{2}}\\right)} \\leqq \\int_{-a}^{a} e^{-x^{2}} d x \\) を示せ。
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Q.37
次の関数の最大値,最小値を求めよ。\n(1) \\( y=\\cos ^{3} x+3 \\cos x \\quad(0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi) \\)\n(2) \\( y=\\left(x^{2}-1\\right) e^{x} \\quad(-1 \\leqq x \\leqq 2) \\)\n(3) \\( y=\\frac{\\log x}{x} \\quad(1 \\leqq x \\leqq 3) \\)\n(4) \ y=x-2+\\sqrt{4-x^{2}} \ [(4) 岩手大]
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Q.38
x軸上を運動する2点P, Qがある. 時刻t=0のとき2点は原点Oにあり, 時刻tにおけるPの速度v_P(t), Qの速度v_Q(t)はそれぞれv_P(t)=a t(0 ≤ t), v_Q(t)= {0 (0 ≤ t < 1), t log t (1 ≤ t) である. (1) Qは必ずPを追い越すことを示せ. (2) QがPに追いつくまでの時間内で, PとQの間の距離が最大となる時刻とそのときの距離を求めよ.
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Q.39
練習 45 \\Rightarrow \ 本冊 p .360 \\n(1) 両辺の絶対値の自然対数をとると\n\\n\\log |y|=2 \\log |x-1|+3 \\log |x-2|-5 \\log |x-3|\n\\n両辺を \ x \ で微分して\n\\[\n\\begin{array}{l} \n\\frac{y^{\\prime}}{y}=\\frac{2}{x-1}+\\frac{3}{x-2}-\\frac{5}{x-3} \\\\\n=\\frac{2(x-2)(x-3)+3(x-1)(x-3)-5(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)} \\\\\n=\\frac{-7 x+11}{(x-1)(x-2)(x-3)} \\\\\n\\text { よって }\n\\end{array}\n\\]
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Q.40
e^x = t とおくと e^x dx = dt x と t の対応は右のようになる。 よって
∫_(log π)^(log 2π) e^x sin e^x dx = ∫_π^(2π) sin t dt =[-cos t]_π^(2π) =- { 1 - (-1) } = -2
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Q.41
28 n を任意の正の整数とし, 2 つの関数 f(x), g(x) はともに n 回微分可能な関数と する。
(1) 積 f(x) g(x) の第 4 次導関数 \( \frac{d^{4}}{d x^{4}}\{f(x) g(x)\} \) を求めよ。
(2) 積 f(x) g(x) の第 n 次導関数 \( \frac{d^{n}}{d x^{n}}\{f(x) g(x)\} \) における f^{(n-r)}(x) g^{(r)}(x) の係数を類推し,その類推が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。ただし, r は負でない n 以下の整数とし, \( f^{(0)}(x)=f(x), g^{(0)}(x)=g(x) \) とする。
(3) 関数 h(x)=x^{3} e^{x} の第 n 次導関数 \( h^{(n)}(x) \) を求めよ。ただし, e は自然対数の 底であり, n \geqq 4 とする。
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Q.42
0 \leqq x \leqq 1 のとき \left|2^{x}-2\right|=-\left(2^{x}-2\right)
1 \leqq x \leqq 2 のとき \left|2^{x}-2\right|=2^{x}-2
よって \int_{0}^{2}\left|2^{x}-2\right| dx =-\int_{0}^{1}\left(2^{x}-2\right) dx+\int_{1}^{2}\left(2^{x}-2\right) dx \ =-\left[\frac{2^{x}}{\log 2}-2 x\right]_{0}^{1}+\left[\frac{2^{x}}{\log 2}-2 x\right]_{1}^{2} \ =-\left(\frac{1}{\log 2}-2\right)+\left(\frac{2}{\log 2}-2\right)=\frac{1}{\log 2}
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Q.43
(2) (ア) f(x)=\\log (\\cos x)+\\frac{x^{2}}{2} とすると\n\nf^{\prime}(x)=-\\tan x+x, \\quad f^{\prime \prime}(x)=-\\frac{1}{\\cos ^{2} x}+1=-\\tan ^{2} x\n\n0<x<\\frac{\\pi}{2} のとき f^{\prime \prime}(x)<0 より f^{\prime}(x) は単調に減少し, f^{\prime}(0)=0 であるから f^{\prime}(x)<0 ゆえに, 0<x<\\frac{\\pi}{2} のとき f(x) は単調に減少し, f(0)=0 で あるから f(x)<0 したがって, 0<x<\\frac{\\pi}{2} のとき \\log (\\cos x)+\\frac{x^{2}}{2}<0
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Q.44
(1) とおくと \n\[ \begin{aligned} & \int \frac{1}{e^{x}-e^{-x}} d x=\int \frac{1}{t-\frac{1}{t}} \cdot \frac{1}{t} d t=\int \frac{1}{t^{2}-1} d t \\ = & \frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right) d t=\frac{1}{2}(\log |t-1|-\log |t+1|)+C \\ = & \frac{1}{2} \log \left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C=\frac{1}{2} \log \frac{\left|e^{x}-1\right|}{e^{x}+1}+C \end{aligned} \]
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Q.45
関数 \( f(x)=a x+a^{2} \) が逆関数をもつための条件を求めよ。また, \( f^{-1}(x) \) が \( 6 f(x) \) と一致するように, 定数 の値を定めよ。
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Q.46
0 以上の整数 m, n に対して, Iₘ,ₙ = ∫₀^(π/2) sin^m x cos^n x dx とする。
(1) Iₘ,ₙ = Iₙ,ₘ および Iₘ,ₙ = (n-1)/(m+n) Iₘ,ₙ-2(n ≥ 2) を示せ。
(2)(1) の結果を用いて,定積分 ∫₀^(π/2) sin^3 x cos^6 x dx を求めよ。
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Q.47
(1) \( f(x)=\frac{1}{2} \log x \) のとき, \( \frac{f(e)-f(1)}{e-1}=f^{\prime}(c)(1<c<e) \) (1) を満たす cの値を求めよ。ただし, は自然対数の底である。\n(2) \( f(x)=\frac{1}{x}(x>0) \) について, のとき\nf(a+h)-f(a)=h f^{\prime}(a+\theta h), 0<\theta<1 を満たす を で表せ。また, \ \lim _{h \\rightarrow 0} \theta \ を求めよ。
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Q.49
例題 129 定積分の不等式の証明\n次の不等式を証明せよ。 (2)では とする。\n(1) \n(2) \n\n比針(1)積分は計算できないから,大小比較は差を作れでは解決できない。そこで,前ページで学んだ,定積分についての不等式の性質を利用する。すなわち で \( f(x)<\frac{1}{\sqrt{1-x^{3}}}<g(x) \) を満たし,積分すると になる \( f(x), g(x) \) を見つける。\n(2) 両辺の差を の関数とみて \( \frac{d}{d a} \int_{0}^{a} g(t) d t=g(a) \) を用いる。
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Q.50
練習 70 => 本冊 p.399\n(1)\ny^{\\prime}=(2 x+1) e^{-x}+\\left(x^{2}+x-1\\right) \\cdot\\left(-e^{-x}\\right)\n=-\\left(x^{2}-x-2\\right) e^{-x}\\n=-(x+1)(x-2) e^{-x}\\nx=-1,2
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Q.51
(1) x ≥ 0 で定義された関数f(x)=log(x+√(1+x^2))について, 導関数f'(x)を求めよ.(2) 極方程式r=θ(θ ≥ 0)で定義される曲線の, 0 ≤ θ ≤ πの部分の長さを求めよ.
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Q.53
143 (1) x=0, \frac{\pi}{2} で最大値 1 ; x=\pi, \frac{3}{2} \pi で最小値 -1\n(2) x=\log_{2} \frac{\sqrt{5} \pm 1}{2} のとき最小値 1-10 \sqrt{5}
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Q.54
問題 5 定積分の値と図形の面積
f(4)>0 を満たす関数 f(x) の導関数を g(x) とする。関数 y=g(x) のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線 x=3 である。また, g(4)=0 を満たす。
(1) 方程式 g(x)=0 は x=4 の他に x=◻️ ア を解にもつ。よって, 関数 f(x) は x= ◻️ イ で極大となり, x=◻️ ウで極小となる。
関数 f(x) の極大値を p, 極小値を q とする。
(1)0100
(2)k を定数として, 方程式 f(x)=k の実数解について考える。 k=0 のとき, 方程式 f(x)=0 の異なる実数解の個数は 工 個である。 k=p のとき, 方程式 f(x)=p の実数解は x=◻️ イ, オ k=q のとき, 方程式 f(x)=q の実数解は x=◻️ ウ, カ である。 s, t は定数とし, h(x)=f(x)- と す。
(3)s≠2 とする。定積分 ∫_{2}^{s} h(x) dx=0 となる s は, キ を満たす。 キに当てはまるものを,次の0~7のうちから1つ選べ。
(0) s<1
(1) s=1
(2) 1<s<2
(3) 2<s<4
(4) s=4
(5) 4<s<5
(6) s=5
(7) 5<s
(4) s は s≠2, ∫_{2}^{s} h(x) dx=0 を満たすとし, t≠1 とする。定積分 ∫_{1}^{t} h(x) dx=0 となる t は, クを満たす。
クに当てはまるものを,次の(0~2)のうから1つ選べ。
(0) t<s
(1) t=s
(2) s<t
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Q.56
3 次関数 f(x)=2x^{3} + a x^{2} + b x + c が 6 f(x) = (2 x - 1) f'(x) + 6 を満たす。このと き, 定数 a, b, c の値を求めよ。
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Q.58
次の式を簡単にせよ。\n(ア) \ \\log _{2} \\frac{4}{5}+2 \\log _{2} \\sqrt{10} \\n(イ) \ \\log _{3} \\sqrt{12}+\\log _{3} \\frac{3}{2}-\\frac{3}{2} \\log _{3} \\sqrt[3]{3} \
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Q.62
次の関数の最大値と最小値を求めよ。\n(1) y=4^{x}-2^{x+2}(-1 \\leqq x \\leqq 3)\n(2) a>0, a \\neq 1 とする。関数 y=a^{2 x}+a^{-2 x}-2\\left(a^{x}+a^{-x}\\right)+2 について, a^{x}+a^{-x}=t とおく。 y を t を用いて表し, y の最小値を求めよ。\n(3) y=\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{x}(-1 \\leqq x \\leqq 2)
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Q.63
数学 \nEX 関数 \( f(x), g(x) \), および導関数 \( f^{\prime}(x), g^{\prime}(x) \) が, \( f(x)+g(x)=-2 x+5 \), (2) \( 148 f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=-4 x+4, f(0)=5 \) を満たす。このとき, \( f(x) \) と \( g(x) \) を求めよ。\n[類 東京電機大]\n\\[\n\\begin{array}{l}\nf(x)+g(x)=-2 x+5 \\\nf^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=-4 x+4\n\\end{array}\n\\]\n(2) から \\( \\int\\left\\{f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)\\right\\} d x=\\int(-4 x+4) d x \\)\nすなわち \\( \\quad f(x)-g(x)=-2 x^{2}+4 x+C \\)\n( \ C \ は積分定数)\n(1) + (3) \ \\div 2 \ から \\( \\quad f(x)=-x^{2}+x+\\frac{C+5}{2} \\)\n\\( f(0)=5 \\) から \ \\quad \\frac{C+5}{2}=5 \\quad \ よって \ \\quad C=5 \\nゆえに \\( \\quad f(x)=-x^{2}+x+5 \\)\n(1) から\n\\[\n\\begin{aligned}\ng(x) & =-2 x+5-f(x)=-2 x+5-\\left(-x^{2}+x+5\\right) \\\\\n& =x^{2}-3 x\n\\end{aligned}\n\\]\n\n別解 (1) の両辺を \ x \ で微分すると\n\\[\nf^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)=-2 \\cdots \\cdots .\n\\]\n(2)+(4) \ \\div 2 \ から \\( \\quad f^{\prime}(x)=-2 x+1 \\)\nよって \\( f(x)=\\int(-2 x+1) d x=-x^{2}+x+C(C \\) は積分定数 \\) \\( f(0)=5 \\) から \ \\quad C=5 \\nゆえに \\( \\quad f(x)=-x^{2}+x+5 \\)\n(1) から \\( \\quad g(x)=-2 x+5-f(x)=x^{2}-3 x \\)\n\ \\leftarrow \ (2) の両辺を \ x \ で積分。\n\ \\leftarrow \ (1), (3) を \\( f(x), g(x) \\) の連立方程式とみて解く。\n\\( \\leftarrow f^{\prime}(x), g^{\prime}(x) \\) の連立方程式を導く解法。\n
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Q.64
関数 \( y=27^{x}-9^{x+1}+5 \cdot 3^{x+1}-2(x>1) \) の最小値と,そのときの の値を求めよ。
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Q.65
関数 \( y=\\log _{4}(x+2)+\\log _{2}(1-x) \) の最大値と,そのときの の値を求めよ。
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Q.66
問題 2:
対数関数
点 P(a, b) が関数 y=f(x) のグラフ上にあるとき、点 Q(b, a) は逆関数 y=f^{-1}(x) のグラフ上にあります。2 点 P, Q は直線 y=x に関して対称です。これを用いて、指数関数 y=a^x と対数関数 y=log_a x についての関係を説明しなさい。なお、a は a>0, a ≠1 の定数とします。
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Q.68
Ex
(3152
α を実数の定数, f(t) を 2 次関数として, 関数 F(x)=∫α^x f(t) dt を考える。F(x) が x=1 で極大値 5, x=2 で極小値 4 をとるとき, f(t) および α の値を求めよ。
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Q.69
次の対数の値を求めよ。\n(ア) \ \\log _{3} 81 \\n(イ) \ \\log _{10} \\frac{1}{1000} \\n(ウ) \ \\log _{\\frac{1}{3}} \\sqrt{243} \
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Q.70
141 0 \leqq a < 1 のとき x=-2 で極小値 -16 a, x=0 で極小値 0 ; a=1 のとき x=-2 で極小値 -16 ; a>1 のとき x=-2 で極小値 -16 a, x=a-1 で極小値 -(a-1)^3(a+3)
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Q.71
(1) \\log _{2} x + \\log _{2} y = 3 のとき, x^{2} + y^{2} の最小値を求めよ。\n(2) 正の実数 x, y が xy=100 を満たすとき, (\\log _{10} x)^{3} + (\\log _{10} y)^{3} の最小値と, そのときの x, y の値を求めよ。\n(3) f(x)= (\\log _{2} \\frac{x}{a})(\\log _{2} \\frac{x}{b}) (ただし, ab=8, a>b>0) とする。f(x) の最小値が -1 であるとき, a^{2} の値を求めよ。 [早稲田大]