モンスタークエスト:AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
関数と解析
関数と解析 - 微分積分の基礎 | AIチューター ヤロウゼ、宿題!
Q.01
65 (1) \ a<\\frac{9}{2} \ のとき\n\ x=a \ で最大値 \ a^{2}-9 a \\n\ a=\\frac{9}{2} \ のとき\n\ x=\\frac{9}{2}, \\frac{11}{2} \ で最大値 \ -\\frac{81}{4} \\n\ a>\\frac{9}{2} \ のとき\n\ x=a+1 \ で最大値 \ a^{2}-7 a-9 \\n(2) \ a<4 \ のとき\n\ x=a+1 \ で最小値 \ a^{2}-7 a-9 \\n\ 4 \\leqq a \\leqq 5 \ のとき\n\ x=5 \ で最小値 \ a-25 \\n\ a>5 \ のとき\n\ x=a \ で最小値 \ a^{2}-9 a \
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Q.02
x, y を実数とするとき, x^{2}-4 x y+7 y^{2}-4 y+3 の最小値を求め, そのときの x, y の値を求めよ。
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Q.05
必要条件・十分条件の振り返り\nここでテーマを変えて, 必要条件・十分条件について振り返ろう。\n2 つの条件 において,\n(1) が真であるとき\n は刀であるための必要条件\npは であるための十分条件\n(2) と がともに真である( が成り立つ)とき は は \( q) \) であるための必要十分条件
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Q.10
55 (1) x=0 で最大値 0 , x=2 で最小値 8(a+1)
(2) x=0 で最大值 0 , x=-a で最小値 -2a²
(3) x=0,2 で最大値 0 , x=1 で最小値 -2
(4) x=2 で最大値 8(a+1) , x=-a で最小値 -2a²
(5) x=2 で最大値 8(a+1) , x=0 で最小値 0
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Q.11
x, y \) の関数 \( f(x, y)=x^{2}-4x y+5y^{2}+2y+2 \) の最小値を求めよ。また、このときの の値を求めよ。
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Q.12
命題「東京に住む 日本に住む」は真であるが、このとき「東京に住む」および「日本に住む」の関係を十分条件や必要条件で表現するとどのようになりますか?
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Q.16
a を定数とし, x の関数 f(x)=(1+2 a)(1-x)+(2-a) x の最小値 m(a) を求めよ。
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Q.17
[3] グラフが 3 点 \( (1,3),(2,5),(3,9) \) を通る\n求める 2 次関数を とおく。\n点 \( (1,3) \) を通るから \n点 \( (2,5) \) を通るから \n点 \( (3,9) \) を通るから \nこの連立方程式を解くと, の値を求めることができ, 2 次関数が決定する。
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Q.19
命題とその逆・対偶・裏の関係について説明し、次の命題Sの逆・対偶・裏を求めてください。
命題S: 「xが偶数ならば、xは2で割り切れる」
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Q.21
(2) y^{\prime}=-4 x-8=-4(x+2) y^{\prime}=0 とすると x=-2 y の増減表は右のようになる。よって, y は, x=-2 で 極大値 -4 をとる
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Q.22
関数 \( f(x)=x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}-6 x \) について, 次の問いに答えよ。\n(1) 関数 \( f(x) \) の極値をすべて求めよ。\n(2) 方程式 \( f(x)=a \) が異なる 3 つの実数解をもつとき, 定数 のとりうる値の範囲を求めよ。\n(3) が (2) で求めた範囲にあるとし, 方程式 \( f(x)=a \) の 3 つの実数解を \( \alpha, \beta, \gamma(\alpha<\beta<\gamma) \) とする。 \( t=(\alpha-\gamma)^{2} \) とおくとき, を を用いず のみの式で表し, のとりうる値の 範囲を求めよ。[関西学院大]
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Q.24
関数の値の変化
f(x)=x^{4}-8 x^{3}+18 k x^{2} が極大値をもたないとき, 定数 k の値の範囲を求めよ。
[福島大]
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Q.25
次の等式を満たす関数 \( f(x) \) を求めよ。\n(1) \( f(x)=2 x^{2}+x \int_{0}^{1} f(t) d t \)\n(2) \( f(x)=2 x+\int_{0}^{1} x f(t) d t \)
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Q.27
f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1 とする。曲線 y=f(x) は, 曲線上の点 A(2,3) に 関して対称であることを示せ。
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Q.28
曲線 (1) と直線 \( y=a^{2}(x+1) \cdots \cdots \) (2) で囲まれる 2 つの部分の面積が等しくなるような定数 の値を求めよ。ただし, とする。
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Q.29
接線の方程式\n曲線 \( y=f(x) \) 上の点 \( \\mathrm{A}(a, f(a)) \) における\n・接線の方程式 \( y-f(a)=f^{\\prime}(a)(x-a) \)\n・法線の方程式 \( \\quad y-f(a)=-\\frac{1}{f^{\\prime}(a)}(x-a) \\)
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Q.30
(2) y^{\prime}=3 x^{2}+2 x-1=(x+1)(3x-1) y^{\prime}=0 とすると x=-1, 1/3 y の増減表は次のようになる。よって, y は, x=-1 で極大となり, x=1/3 で極小となる。
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Q.31
導関数の定義にしたがって, 次の関数の導関数を求めよ。(1) y=x^{2}-3 x+9 (2) y=-2 x^{3}+3 x^{2}-1
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Q.33
\( f(x)=\frac{1}{3} \int_{0}^{3}(x+t)|x-t| d t \) とする。(1) \( f(x) \) を計算せよ。(2) 関数 \( y=f(x) \) のグラフをかけ。(3) における関数 \( f(x) \) の最大値と最小値を求めよ。
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Q.34
1 辺の長さが の立方体があり,毎秒 の割合で各辺の長さが大きくなっている。 10 秒後のこの立方体の表面積と体積の変化率 \( \left(\mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}, \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}\right) \) をそれぞれ求めよ。
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Q.35
曲線 y=2x^3-5x^2+x+2 と x 軸の交点の x 座標は,方程式 2x^3-5x^2+x+2=0 の解である。P(x)=2x^3-5x^2+x+2 とすると P(1)=2-5+1+2=0 よって P(x) =(x-1)(2x^2-3x-2) =(x-1)(x-2)(2x+1) P(x)=0 を解いて x=1,2,-1/2 ゆえに,曲線は右の図のようになるから,求める面積 S は S= ∫(-1/2 to 1)(2x^3-5x^2+x+2) dx + ∫(1 to 2)(-(2x^3-5x^2+x+2)) dx = [x^4/2 - 5/3 x^3 + x^2/2 + 2x](-1/2 to 1) -[x^4/2 - 5/3 x^3 + x^2/2 + 2x](1 to 2) = 2(1/2 - 5/3 + 1/2 + 2) - (2^4/2 - 5/3 * 2^3 + 2^2/2 + 2*2) - (1/2(-1/2)^4 - 5/3(-1/2)^3 + 1/2(-1/2)^2 + 2*(-1/2)) = 8/3 - 2/3 - (-61/96) = 253/96
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Q.36
203 は積分定数とする。\n(1) \(\frac{1}{8}(2 x + 1)^{4} + C\)\n(2) \(-\frac{1}{10}(t + 1)^{4}(2 t - 3) + C\)
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Q.37
次の等式を満たす関数 \( f(x) \) を求めよ。\n(1) \( f(x)=3 x^{2}-x+\int_{-1}^{1} f(t) d t \)\n(2) \( f(x)=2 x^{2}+1+\int_{0}^{1} x f(t) d t \)
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Q.40
65\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\text { (1) } \\boldsymbol{y}^{\\prime}=2(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime}=2 \\cdot 1=2 \\\\\n\\boldsymbol{y}^{\\prime}=3\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-6(x)^{\\prime}+(2)^{\\prime}=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1 \\\\\n=6 \\boldsymbol{x}-6\n\\end{array}\n\\]
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Q.41
2 つの 2 次関数 \( f(x), g(x) \) が, \( f(0)-g(0)=1 \), \( \frac{d}{d x} \int_{0}^{x}\{f(t)+g(t)\} d t=5 x^{2}+11 x+13, \int_{0}^{x} \frac{d}{d t}\{f(t)-g(t)\} d t=x^{2}+x \) を満たすとき, \( f(x), g(x) \) を求めよ。
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Q.42
A のとき, 関数 \( f(x)=\int_{-3}^{x}\left(t^{2}-2 t-3\right) d t \) のとりうる値の範囲を求めよ。
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Q.44
㩐本例題 190 区間の一端が動く場合の最大・最小\n とする。 における関数 について\n(1) 最大値を求めよ。\n(2) 最小値を求めよ。
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Q.45
方程式 について, 次の問いに答えよ。 (1) とおいて, 与えられた方程式を の方程式で表せ。\n(2) 与えられた方程式の解を求めよ。
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Q.46
定積分の性質\n定積分 \( \\quad F^{\\prime}(x)=f(x) \) のとき\n\[ \\int_{a}^{b} f(x) d x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a) \\]\n定積分の性質 は定数とする。\n\[ \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\int_{a}^{b} f(t) d t \\\\\n\\int_{a}^{b}\\{k f(x)+\\lg (x)\\} d x \\)\n\[=k \\int_{a}^{b} f(x) d x+l \\int_{a}^{b} g(x) d x \\)\n\[ \\cdot \\int_{a}^{a} f(x) d x=0, \\int_{b}^{a} f(x) d x=-\\int_{a}^{b} f(x) d x \\]\n\[ \\cdot \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\int_{a}^{c} f(x) d x+\\int_{c}^{b} f(x) d x \\]\n偶関数, 奇関数の定積分 は自然数とする。\n \\int_{-a}^{a} x^{2 n} d x=2 \\int_{0}^{a} x^{2 n} d x, \\int_{-a}^{a} x^{2 n-1} d x=0 \
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Q.47
次の関数において, x が 1 から 1+h まで変化するときの平均変化率が 4 となるように, h の値を定めよ。(1) f(x)=x^{3}-x^{2}
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Q.48
補充 例題 178 導関数の計算 (2)\np. 278 の公式を用いて, 次の関数を微分せよ。\n(1) y=(2 x-1)(x+1)\n(2) y=\left(x^{2}+2 x+3\right)(x-1)\n(3) y=(2 x-1)^{3}\n(4) y=(x-2)^{2}(x-3)\np. 278 STEP UP
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Q.49
次の問題について解答せよ。\n1. のとき \( f(x)=3-x^{2} \)\n0 <= x <= 3 のとき\n\( f(x)=\frac{4}{9}x^{3}-x^{2}+3 \)\n3 を超える場合には \( f(x)=x^{2}-3 \) となる\n2. 省略\n3. で最大値 3, で最小値 2
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Q.50
PRACTICE 178 (R)\n P. 278 の公式を用いて, 次の関数を微分せよ。\n(1) y=(3 x+2)(3 x^{2}-1)\n(2) y=(3-x)^{3}\n(3) y=(x+3)(2 x-5)^{2}
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Q.51
EX のとき, 関数 \( f(x)=\int_{-3}^{x}\left(t^{2}-2 t-3\right) d t \) のとりうる値の範囲を求めよ。
[群馬大]
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Q.52
次の関数を微分せよ。また, x=0,1 における微分係数をそれぞれ求めよ。(1) y=5 x^{2}-6 x+4 (2) y=x^{3}-3 x^{2}-1 (3) y=x^{2}(2 x+1) (4) y=(x-1)(x^{2}+x+1)
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Q.53
EX数列 \left\\{a_{n}\right\\} が で定義されている。数列 \( \left\\{a_{n}-g(n)\right\\} \) が公比 3 の等比数列となるように の 2 次式 \( g(n) \) を考えることにより, を の式で表せ。
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Q.55
関数 \( f(x)=a x^{2}+b x+c \) が次の 3 つの条件を満たすように定数 の値を定めよ。
\( f(1)=8, \int_{-1}^{1} f(x) d x=4, \int_{-1}^{1} x f' \left(x\right)d x=4\)
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Q.56
関数 \(f(n)\) に対して、次の条件を満たすような \( f(n) \) を求めなさい: \(b_{n+1}+f(n+1)=-2(b_{n}+f(n))\)
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Q.57
297 基 本 例題 189 最大値・最小値から係数決定\na>0 とする。関数 f(x)=a x(x-3)^{2}+b の区間 0 \leqq x \leqq 5 における最大値 が 15 , 最小値が -5 であるという。定数 a, b の値を求めよ。
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Q.58
次の等式が についての恒等式となるように、定数 の値を定めよ。\n(1) \n(2) \( \\frac{x-5}{(x+1)^2(x-1)} = \\frac{a}{(x+1)^2} + \\frac{b}{x+1} + \\frac{c}{x-1} \)
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Q.61
x ≥ 0, y ≥ 0 のとき, x, y の関数 f(x, y) = x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 の最小値を求めよ。また, このときの x, y の値を求めよ。
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Q.64
次の定積分を計算せよ。\n\n\\[\n\\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)} d x \n\\]\nx = a - t とおくと、-d x = d t。x と t の対応は次のようになる。\n \ x \\frac{a}{2} \\longrightarrow a \\n \ t \\frac{a}{2} \\longrightarrow 0 \\n よって、\n\\[ I = \\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(a-t)}{f(a-t)+f(t)} (-1) d t = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(a-t)}{f(t)+f(a-t)} d t = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}}\\left\\{1 - \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)}\\right\\} d t = [t]_{0}^{\\frac{a}{2}} - \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)} d t = \\frac{a}{2} - b \\]
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Q.66
例題 121 定積分で表された関数の最大・最小 (1)\n が実数の範囲を動くとき, 定積分 \( \int_{-\pi}^{\pi}(x-a \sin x-b \cos x)^{2} d x \) の最小値を求 めよ。また, そのときの の値を求めよ。\n[信州大]
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Q.67
練習 101 ⇒ 本冊 p.452 (1) ∫ 1 / (√(x + 2) - √(x)) dx = ∫ (√(x + 2) + √(x)) / (x + 2 - x) dx (2) ∫ 2x / (√(x^2 + 1) + x) dx = ∫ 2x (√(x^2 + 1) - x) / ((x^2 + 1) - x^2) dx
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Q.68
pが有理数のとき次の公式を示せ:\n\n\\[\\left(x^{p}\\right)'=p x^{p-1}\\]
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Q.70
(3) \( \int_{1}^{e} x \log \sqrt{x} d x = \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x \log x d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{e}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{\prime} \log x d x \)\n\[\ = \frac{1}{4}\left[x^{2} \log x\right]_{1}^{e}-\frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{e^{2}}{4} - \frac{1}{4} \int_{1}^{e} x \, dx = \frac{e^{2}}{4} - \frac{1}{4}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{e} = \frac{1}{8}\left(e^{2} + 1\right) \]
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Q.72
ここの章で学ぶこと〉 多項式で表された関数以外の一般の関数では,微分はできても積分は簡単にはできない場合が多い。 本章では,第 3 章の微分法の公式などをもとにして,もっと多く の関数の積分法を学ぶ。積分法では,有理関数の不定積分でも高校の範疇を越える関数になる場合があって、いつでも積分できる とは限らないが、積分できる関数の範囲は数学IIよりはるかに広 くなる。
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Q.73
䋱習(1) f(x)は微分可能な関数で, 任意の x, y に対して次の関係が成り立つという。 f(x) を求めよ。\n(ア) f(x+y)=f(x)+f(y)
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Q.75
次の関数を微分せよ。\n(1) \n(2) \( y=\left(x^{2}+3 x\right)\left(x^{2}-2\right) \)\n(3) \( y=\left(x^{2}-2 x-3\right)\left(x^{2}+4\right) \)
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Q.76
51 関数 \( f(x)=\int_{-1}^{x} \frac{d t}{t^{2}-t+1}+\int_{x}^{1} \frac{d t}{t^{2}+t+1} \) の最小値を求めよ。\n[神戸大]
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Q.78
問題 48 次の等式を満たす関数 \\( f(x)(0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi) \\) がただ 1 つ定まるための実数 \ a, b \ の条件 を求めよ。また, そのときの \\( f(x) \\) を決定せよ。\\[ f(x)=\\frac{a}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} \\sin (x+y) f(y) d y+\\frac{b}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos (x-y) f(y) d y+\\sin x+\\cos x \\]ただし, \\( f(x) \\) は区間 \ 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi \ で連続な関数とする。[東京大]
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Q.79
\\[\n\\begin{array}{l}\n\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}-\\left(\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x-\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\right) \\\\\n\\text { よって } \\quad 2 \\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}+\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\n\\end{array}\n\\]\nゆえに \\( \\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=\\frac{1}{2}\\left(x \\sqrt{x^{2}+1}+\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\right) \\)\n(1) から\ \\[\n\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=\\frac{1}{2}\\left\\{x \\sqrt{x^{2}+1}+\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+1}\\right)\\right\\}+C\n\\]\n
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Q.80
(1) \\( x\\{f(x)-1\\}=2 \\int_{0}^{x} e^{-t} g(t) d t \\) の両辺を \ x \ で微分すると\n\[\\begin{array}{l}\nf(x)-1+x f^{\\prime}(x)=2 e^{-x} g(x) \\\\\n\\text { よって } \\quad e^{x}\\left\\{f(x)-1+x f^{\\prime}(x)\\right\\}=2 g(x) \\quad \\ldots . .\n\\end{array}\]\n更に, (1) の両辺を \ x \ で微分すると\n\[e^{x}\\left\\{f(x)-1+x f^{\\prime}(x)\\right\\}+e^{x}\\left\\{f^{\\prime}(x)+f^{\\prime}(x)+x f^{\\prime \\prime}(x)\\right\\}=2 g^{\\prime}(x)\]\nすなわち \\( e^{x}\\left\\{x f^{\\prime \\prime}(x)+(x+2) f^{\\prime}(x)+f(x)-1\\right\\}=2 g^{\\prime}(x) \\)\nここで, \\( g(x)=\\int_{0}^{x} e^{t} f(t) d t \\) の両辺を \ x \ で微分すると\n\[g^{\\prime}(x)=e^{x} f(x)\]\nよって \\( e^{x}\\left\\{x f^{\\prime \\prime}(x)+(x+2) f^{\\prime}(x)+f(x)-1\\right\\}=2 e^{x} f(x) \\) \ e^{x}>0 \ であるから\n\[x f^{\\prime \\prime}(x)+(x+2) f^{\\prime}(x)+f(x)-1=2 f(x)\]\nしたがって \\( \\quad x f^{\\prime \\prime}(x)+(x+2) f^{\\prime}(x)-f(x)=1 \\)
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Q.82
次の不定積分を求めよ。
(1) \( \int \frac{(x-1)^{2}}{x \sqrt{x}} d x \)
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Q.83
次の不定積分を求めよ。
(1)
(2) \int \sin \theta \cos \theta d \theta \)
(3)
(4)
(5)
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Q.84
(2)
\[\begin{array}{l}\begin{aligned}\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d x & =\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{1+x^{2}}\right) d x=\int_{0}^{1} d x-\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x \\ & =1-\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x \quad \cdots \cdots \text { (3) } \begin{array}{rl||l}x & 0 \longrightarrow 1 \\ \hline\=\tan \theta \text { とおくと } \\ dx & =\frac{1}{\cos ^{2} \theta} d \theta \quad 0 \longrightarrow \frac{\pi}{4}\end{array} \\ \text { よって } \quad \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x & =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\tan ^{2} \theta} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \theta} d \theta \\ & =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos ^{2} \theta \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \theta} d \theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d \theta=\frac{\pi}{4}\end{aligned}\end{array}\]
\begin{tabular}{c||l}\hline\( x ) & ( 0 \longrightarrow 1 ) \\\hline\( \theta ) & ( 0 \longrightarrow \frac{\pi}{4} ) \\\hline\end{tabular}
ゆえに, (3) から
(3) \( \frac{x^{2}+\left(-x^{2}\right)^{n+1}}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}\left\{1-\left(-x^{2}\right)^{n}\right\}}{1-\left(-x^{2}\right)}=\sum_{k=1}^{n} x^{2} \cdot\left(-x^{2}\right)^{k-1} \)
\[\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} x^{2 k}=x^{2}-x^{4}+x^{6}-x^{8}+\cdots \cdots+(-1)^{n-1} x^{2 n}\]
であるから
\[\begin{aligned}a_{n} & =\int_{0}^{1} \frac{x^{2}+\left(-x^{2}\right)^{n+1}}{1+x^{2}} d x \\ & =\int_{0}^{1}\left\{x^{2}-x^{4}+x^{6}-x^{8}+\cdots \cdots+(-1)^{n-1} x^{2 n}\right\} \\ & =[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}-\frac{x^{9}}{9}+\cdots \cdots+\frac{(-1)^{n-1} x^{2 n+1}}{2 n+1}]_{0}^{1} \\ & =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots \cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{2 n+1} \\ & =\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{2 k+1}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{2 k+1}\end{aligned}\]
(4) (1), (2) から \( 0 \leqq\left|\left(1-\frac{\pi}{4}\right)-a_{n}\right| \leqq \frac{1}{2 n+3} \) であるから, はさみうちの原理により \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\left(1-\frac{\pi}{4}\right)-a_{n}\right|=0 \) すなわち よって, (3)から \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{2 k+1}=1-\frac{\pi}{4} \)
591
分子の次数を下げる。
の定積分 は, とお く。
\theta]_{0}^{\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}
1 初項 , 公比 の等比数列の初項か ら第 項までの和。
\[\begin{array}{l}(-1)^{k-1} \\\=(-1)^{k-1} \cdot(-1)^{2} \\\=(-1)^{k+1}\end{array}\]
総
含
演
習
総
溶
習
類題 を定義域とする関数の列 \( f_{0}(x), f_{1}(x), \cdots \cdots, f_{n}(x), \cdots \cdots \) を 16
\( f_{0}(x)=1, f_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{f_{n-1}(t)}{t+1} d t(n \geqq 1) \) により帰納的に定義する。
(1) \( f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x) \) を求めよ。
(2) \( f_{n}(x)(n \geqq 1) \) を求めよ。
(3)曲線 \( y=f_{n}(x)(n \geqq 1) \), 直線 \( x=a(a>0) \) および 軸で囲まれる図形の面積を \( S_{n}(a) \) とするとき, \( S_{n}(a)+S_{n+1}(a)=\frac{a+1}{(n+1)!} \) を満たす の値を求めよ。
(4) 無限級数 \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!} \) の和を求めよ。
[東京医歯大]
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Q.85
綀棏 \( 94 \Rightarrow ) 本冊 \n(1) をで微分すると よって, l の増分 \( \Delta l ) に対する T の増分を \( \Delta T ) とすると したがって, だけ増す。
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Q.86
関数 の定義域は 以外の実数全体である。\n\n\[y^{\prime}=1-\frac{9}{(x+3)^{2}}=\frac{(x+3)^{2}-9}{(x+3)^{2}}=\frac{x(x+6)}{(x+3)^{2}}\]\n とすると \n の増減表は次のようになる。\n\[\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c|c}\hline & & -6 & & -3 & & 0 & \\\hline & + & 0 & - & & - & 0 \& + \\\hline & & 極大 -9 & & & & & 極小 \\\hline\end{tabular}\n\]\nよって、 は\n で単調に増加し、 で単調に減少する。
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Q.88
シュワルツの不等式
次の不等式が成り立つ。この不等式をシュワルツの不等式という。
∫(a to b) {f(x) g(x) dx}^2 ≤ (∫(a to b) {f(x)}^2 dx)(∫(a to b) {g(x)}^2 dx) (a < b)
等号は, 常に f(x)=0 または常に g(x)=0 または g(x)=k f(x) ( k は定数)のときに限って成り立つ。
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Q.89
( x は t に無関係な変数) ∫_(h(x))^(g(x)) f(t) dt = f(g(x)) g ′( x ) - f ( h ( x ) h’(x )
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Q.93
(2)実数 の値を変化させたときの定積分 \( I=\int_{-\pi}^{\pi}(x-a \sin x-b \sin 2 x)^{2} d x \) の最小値,およびそのときの の値を求めよ。\n[類 琉球大]
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Q.96
次の微分方程式を解け。\n(1) \(\frac{d y}{d x}=x(2 y-1), x=0\) のとき \n(2) \( \left(y+\frac{d y}{d x}\right) \sin x=y \cos x\)
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Q.97
練習 次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=\frac{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}{(x-3)^{5}} \)\n(2) \( y=\sqrt[3]{\frac{(x+1)^{2}}{x\left(x^{2}+2\right)}} \)\n(3) \( y=(\sqrt{x})^{x}(x>0) \)\n(4) \( y=x^{\sin x}(x>0) \)\n(5) \( y=f(x)^{g(x)}[f(x)>0] \)\n(6) \( y=(1+x)^{\frac{1}{1+x}}(x>0) \)
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Q.99
次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=\\sin (1-2 x) \)\n(2) \n(3) \n(4) \( y=x^{2} \\sin (3 x+5) \)\n(5) \n(6)
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Q.00
オーダーメイドとレディメイドの製品について、数学の公式を比喩として使っています。公式を理解せずに暗記することの問題点について説明してください。
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Q.01
列 40 定積分の計算 \( (1) \)\n次の定積分を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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Q.02
1 関数の増加と減少\n次のことについて, 数学 II では曲線 y=f(x) をその接線で近似して直観的に考えた。数学IIでは, 平均値の定理を用いて理論的に証明することができる。\n関数 f(x) は閉区間 [a, b] で連続, 開区間 (a, b) で微分可能とする。\n1 開区間 (a, b) で常に f^{\prime}(x)>0 ならば f(x) は閉区間 [a, b] で単調に増加する。\n2 開区間 (a, b) で常に f^{\prime}(x)<0 ならば f(x) は閉区間 [a, b] で単調に減少する。\n3 開区間 (a, b) で常に f^{\prime}(x)=0 ならば f(x) は閉区間 [a, b] で定数である。
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Q.03
数学 213 \[\\begin{array}{l} f(x)=\\left\\{(x-k)^{2}\\right\\}^{2}+\\left(6 k^{2}+3 a k+b\\right)(x-k)^{2}+k^{4}+a k^{3} +b k^{2}+c k+d \\ =\\left\\{\\left(x+\\frac{a}{4}\\right)^{2}\\right\\}^{2}-\\left(\\frac{3}{8} a^{2}-b\\right)\\left(x+\\frac{a}{4}\\right)^{2}-\\frac{3}{256} a^{4} +\\frac{1}{16} a^{2} b-\\frac{1}{4} a c+d \\ \\text { よって, } g(x)=\\left(x+\\frac{a}{4}\\right)^{2}, \\ h(x)= x^{2}-\\left(\\frac{3}{8} a^{2}-b\\right) x-\\frac{3}{256} a^{4}+\\frac{1}{16} a^{2} b-\\frac{1}{4} a c+d \\text { とすると, } \\end{array}\\] \( f(x)=h(g(x)) \) となるから, \( f(x) \) は 2 つの 2 次関数の合成関数 になっている。 演習 7 IIII \\Rightarrow \ 本冊 p .292 \
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Q.05
344\n数学 \\\mathbb{I}\\n(6) \ \\sqrt[3]{x+2}=t \ とおくと \ \\quad x=t^{3}-2, d x=3 t^{2} d t \\n\\[ \\begin{aligned}\n\\int \\frac{x}{\\sqrt[3]{x+2}} d x & =\\int \\frac{t^{3}-2}{t} \\cdot 3 t^{2} d t = 3 \\int\\left(t^{4}-2 t\\right) d t \\\\\n& =3\\left(\\frac{t^{5}}{5}-t^{2}\\right)+C = \\frac{3}{5} t^{2}\\left(t^{3}-5\\right)+C \\\\\n& = \\frac{3}{5}(x-3) \\sqrt[3]{(x+2)^{2}} +C \\end{aligned} \\]
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Q.08
次の不定積分を求めよ。
95
(1) \( \int \frac{(x-1)^{2}(3 x-1)}{x^{2}} d x \)
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Q.09
動点 P の座標 (x, y) が時刻 t の関数として与えられているとき、P から x 軸、y 軸にそれぞれ垂線 PQ, PR を引くと、時刻 t における Q の速度は dx/dt=f'(t), R の速度は dy/dt=g'(t) である。これらを成分とするベクトル v を,時刻 t における点Pの速度または速度ベクトルという。 また, v の大きさ |v| を速さという。
(1) 速度 v=(dx/dt, dy/dt)
(2) 速さ |v|=√[(dx/dt)²+(dy/dt)²]
(3) 加速度 α=(d²x/dt², d²y/dt²)
(4) 加速度の大きさ |α|=√[(d²x/dt²)²+(d²y/dt²)²]
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Q.10
数学III\n(1) y=-x を代入すると f(0)=f(x)+f(-x) f(0)=0 であるから f(-x)=-f(x)\n(2) n>0 のとき\nf(1/n) = 1/n{f(1/n)+f(1/n)+...+f(1/n)}\n = 1/n f{1/n+1/n+...+1/n}=f(1)/n\n n<0 のとき\nf(1/n)=f(-1/-n)=-f(1/-n)=-f(1)/-n=f(1)/n\n ゆえに f(1/n)=f(1)/n.\n(3) f'(0)=lim_{h->0} f(h)-f(0)/h=lim_{h->0} f(h)/h.\n ここで,h=1/n とおくと,n>0 のとき\n f'(0)=lim_{n->∞} f(1/n)/1/n=lim_{n->∞} n f(1/n)=lim_{n->∞}f(1)=f(1)\n n<0 のときも同様にして f'(0)=f(1)\nゆえに f'(0)=f(1)\n
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Q.11
3 次関数 \( f(x) \) が と で極値をとるから, \( f^{\prime}(x)=a(x-1)(x-2)(a≠0) \) と表される。また \( g(x)=\frac{3 x}{2 \sqrt{x^{2}+1}}+1 \) として、 \( g^{\prime}(x)=\frac{3}{2} \cdot \frac{\left(x^{2}+1\right)-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{3}{2 \left(x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}} \),曲線 \( y=f(x) \) と \( y=g(x) \) が点\( (0,1) \) で共通の接線をもつための条件は \( f^{\prime}(0)=g^{\prime}(0) \)
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Q.12
次の条件を満たす関数 \( f(x) \) の定積分を求めよ:\n\n1. \( f(x) \) は奇関数 で常に \( f(-x)=-f(x) \) が成り立つ。\n2. 定積分の範囲は である。
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Q.13
31 ) を1より大きい定数とする。微分可能な関数 ( ) が ( ) を満たすとき,曲線 ( ) の接線で原点 ( ) を通るものが存在することを示せ。
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Q.14
29 関数 y(x) が第 2 次導関数 y^{\prime \prime}(x) をもち, x^{3}+(x+1)\{y(x)\}^{3}=1 を満たすとき, y^{\prime \prime}(0) を求めよ。
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Q.15
次の積分を解け。\n(1) \ \int x^{2} \cos x \\, dx \ \n(2) \ \int x^{2} e^{x} \\, dx \ \n(3) \ \int x \tan^{2} x \\, dx \
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Q.16
次の問題を解きなさい。\n\n(1) \( f(x) \) と \( g(x) \) の積 \( f(x) g(x) \) を微分し、それを2回および3回微分したものも求めなさい。
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Q.17
次の広義積分を計算せよ。\n\\[ \\int_{0}^{1} x^{2}(x-1)^{2} e^{2 x} \\,dx \\]
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Q.18
練習38 ↠ 本冊 p.341 h(x)=f(x)-g(x) とする。関数 f(x), g(x) として、区間 [a, b] で連続な関数を考える。例えば、f(x)が x=x で最大, x=x2 で最小であり、 g(x) が x=x3 で最大, x=x4 で最小であるとする。
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Q.20
数学 II\n\n[問題1]\nI = ∫[0, π] sin(mx) cos(nx) dx とする。\n(1) m - n ≠ 0 すなわち m ≠ n のとき\n\nsin(mx)cos(nx) を変換することにより問題を解く:\n\nI = ∫[0, π] (1/2) {sin((m+n)x) + sin((m-n)x)} dx を計算する。\n\nm+n が偶数のとき、Iは?\nm+n が奇数のとき、Iは?\n\n(2) m - n = 0 すなわち m = n のとき\n\nこのとき、Iは?\n
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Q.21
例題 44 逆関数の微分法\n関数 について, を の関数で表せ。\n\n指雓次の 2 つの方法が考えられる。それぞれの方法で解いてみよう。\n1. を について解き, の関数 を で微分する。\n2. を で微分して を求め, 次の公式を利用する。\n逆関数の導関数 のとき
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Q.23
次の不定積分を求めよ。
(1)
(2)
(3) \( \int \frac{x}{(2 x-1)^{4}} d x \)
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Q.24
Σ x, y の変数変換を考え、次の式を示せ。\\( \left(\\frac{d x}{d \\theta}\\right)^{2} + \\left(\\frac{d y}{d \\theta}\\right)^{2} \\)
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Q.26
次の積分を求めよ:\n(1) \( \int_{1}^{e^{\frac{\pi}{4}}} x^{2} \cos (\log x) \, dx \)\n(2) (ア) \n(イ) (ア) の結果を用いて、\n
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Q.27
別解 \\( y=(x-1)^{2}(x-2)^{3}(x-3)^{-5} \\) であるから\n\\[\n\\begin{aligned}\ny^{\\prime}= & 2(x-1)(x-2)^{3}(x-3)^{-5}+(x-1)^{2} \\cdot 3(x-2)^{2}(x-3)^{-5} \\\\\n& +(x-1)^{2}(x-2)^{3} \\cdot(-5)(x-3)^{-6} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6} \\\\\n& \\times\\{2(x-2)(x-3)+3(x-1)(x-3)-5(x-1)(x-2)\\} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6}(-7 x+11)\n\\end{aligned}\n\\]
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Q.29
(2) \ \\int \\sin \\theta \\cos \\theta d \\theta = \\int \\frac{1}{2} \\sin 2 \\theta d \\theta\
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Q.30
練習 本冊 p .470 \\n(1)証明する式の左辺を とする。\n \\pi-x=t \ とおくと \\quad x=\\pi-t, d x=-d t \ と の対応は右のようになる。\n\\[\n\\begin{aligned}\nI & =\\int_{\\pi}^{0}\\left(\\pi-t-\\frac{\\pi}{2}\\right) f(\\pi-t) \\cdot(-1) d t \\\\\n& =\\int_{0}^{\\pi}\\left(\\frac{\\pi}{2}-t\\right) f(\\pi-t) d t=\\int_{0}^{\\pi}\\left(\\frac{\\pi}{2}-t\\right) f(t) d t \\\\\n& =-\\int_{0}^{\\pi}\\left(x-\\frac{\\pi}{2}\\right) f(x) d x=-I\n\\end{aligned}\n\\\]
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Q.31
次の不定積分を求めよ。\n(1) \ \\int x^{2} \\cos x d x \\n(2) \ \\int x^{2} e^{x} d x \\n(3) \ \\int x \\tan ^{2} x d x \
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Q.32
660<t<3のとき, 連立不等式{0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤ t - y}の表す領域をx軸の周りに回転して得られる立体の体積をV(t)とする. dV(t)/dt=π/4となるtと,そのときのV(t)の値を求めよ.
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Q.34
テイラーの定理\n閉区間 \ [a, b] \ において, \\( f(x), f^{\\prime}(x), f^{\\prime \\prime}(x), \\cdots \\cdots, f^{(n+1)}(x) \\) が連続であるとき \\( f(b)=f(a)+f^{\\prime}(a)(b-a)+\\frac{1}{2!} f^{\\prime \\prime}(a)(b-a)^{2}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{n!} f^{(n)}(a)(b-a)^{n}+R_{n} \\) ただし \\( R_{n}=\\frac{1}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c)(b-a)^{n+1}, a<c<b \\) を満たす \ c \ が存在する。求めるべき関数 \\( g(x) \\) を定義し、導出過程を示して定理を証明せよ。
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Q.36
555重要例㬉 170 関数方程式\nf(x)は微分可能な関数で, 任意の x, y に対して\nf(x+y)=f(x) f(y)\nという関係が成り立つという。 f(x) はどのような関数か。
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Q.37
次の不定積分を求めよ。
95
(2) \( \int \frac{(\sqrt{t}-2)^{2}}{\sqrt{t}} d t \)
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Q.38
睐習 (2) 不定積分 \\int \\frac{1}{\\sin ^{4} x} d x \ を求めよ。\n[類 東京電機大]
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Q.39
数学 I
CHECK 16 ⇒ 本冊 p.542
であるから
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2} & =(2 \sqrt{3} t)^{2}+\left(3 t^{2}-1\right)^{2} \\
& =9 t^{4}+6 t^{2}+1=\left(3 t^{2}+1\right)^{2}
\end{aligned}
\]
よって, 曲線の長さは
\[\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left(3 t^{2}+1\right) d t=\left[t^{3}+t\right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{4}{3 \sqrt{3}}=\frac{4 \sqrt{3}}{9}\]
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Q.40
練習 65 本冊 p.394
f(x)は微分可能であり f^{\prime}(x) = \frac{1 \cdot(x^2 + 2x + a) - (x+1)(2x + 2)}{(x^2 + 2x + a)^2} = -\frac{x^2 + 2x - a + 2}{(x^2 + 2x + a)^2} (1) f(x) が x=1で極値をとるならば f^{\prime}(1)=0であるから (分子) = 1 + 2 - a + 2 = 0, (分母) = (1 + 2 + a)^2 \neq 0 よって a=5 このとき f^{\prime}(x) = -\frac{(x + 3)(x - 1)}{(x^2 + 2x + 5)^2}
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Q.44
次の不定積分を求めよ。ただし,aは定数である。
(1)
(2)
(3)
(4) \( \int \frac{1}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x}} d x \)
(5)
(6)
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Q.45
次の不定積分を求めよ。ただし,(4)の x は t に無関係とする。
(1) \( \int\left(4 x^{3}+6 x^{2}-2 x+5\right) d x \)
(2) \( \int(x+2)(1-3 x) d x \)
(3) \( \int x(x-1)(x+2) d x-\int\left(x^{2}-1\right)(x+2) d x \)
(4) \( \int(t x+1)(x+2 t) d t \) C は積分定数とする。
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Q.47
区間 で常に \( f(y) \geqq 0 \) とする。\n曲線 \( x=f(y) \) と 軸,および 2 直線 で 囲まれた図形の面積 は\n\[ S=\int_{c}^{d} f(y) d y \]
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Q.49
練習(1)関数 \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5 \) が極値をもつような定数 の値の範囲を求めよ。 [類 名古屋大]
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Q.50
(2) \( f(x) \) は 3 次の多項式で, の係数が \( 1, f(1)=2, f(-1)=-2, f^{\prime}(-1)=0 \) で ある。このとき, \( f(x) \) を求めよ。
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Q.51
次の関数を微分せよ。\n(1) y=(x-1)(2 x+3)\n(2) y=(x-1)(x^{2}+x-4)\n(3) y=(-2 x+1)^{3}\n(4) y=(x^{3}-2 x)^{2}\n(5) y=(3 x+2)^{2}(x-1)
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Q.53
どんな 2 次関数 \( f(x) \) に対しても \( \int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{1}{2}\{f(\alpha)+f(\beta)\} \) が成立するよう な定数 \( \alpha, \beta(\alpha<\beta) \) の値を求めよ。
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Q.55
次の不定積分を求めよ。
(1) \( \int(3 x+2)^{4} d x \)
(2) \( \int(x+2)^{2}(x-1) d x \)
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Q.56
綀習 の多項式 \( f(x) \) の最高次の項の係数は 1 で, \( (x-1) f^{\prime}(x)=2 f(x)+8 \) という関係が常に成り立 4) 203 。\n(1) \( f(x) \) は何次の多項式であるか。\n(2) \( f(x) \) を求めよ。
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Q.58
a は正の定数とする。放物線 y=x^{2}+a 上の任意の点 P におけ接線と放物線 y=x^{2} で囲まれる図形の面積は, 点 P の位置によらず一定であることを示し, そ の一定の値を求めよ。
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Q.59
次の関数の増減を調べよ。また,極値を求めよ。
(1) y=x^{3}+2x^{2}+x+1
(2) y=6x^{2}-x^{3}
(3) y=x^{3}-12x^{2}+48x+5
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Q.60
次の条件を満たす 3 次関数 \( f(x) \) を求めよ。
\( f^{\prime}(1)=f^{\prime}(-1)=1, \quad f(1)=0, \quad f(-1)=2 \)
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Q.62
数学 \n(2) \( \int_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1 \) から\n\\[ \int_{a}^{x} f(t) d t=x^{3}-2 x+1 \\]\n(2) の両辺を で微分すると \( \quad f(x)=3 x^{2}-2 \)\n\nまた, (2) で とおくと, 左辺は 0 になるから\n\ 0=a^{3}-2 a+1 \\n\nよって \( \quad(a-1)\left(a^{2}+a-1\right)=0 \)\nゆえに \nしたがって \( \quad f(x)=3 x^{2}-2 ; a=1, \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \)\n\\[ \begin{array}{l}\n\\leftarrow \int_{x}^{a} f(t) d t=-\int_{a}^{x} f(t) d t \\leftarrow \frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f(t) d t=f(x) \\leftarrow \int_{a}^{a} f(t) d t=0\n\end{array} \\]\n 因数定理を利用。
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Q.63
x^{n} の不定積分. n が正の整数のとき (x^{n})′=n x^{n-1}(p .314 参照 ) ここで, n の代わりに n+1 とすると (x^{n+1})′=(n+1) x^{n} ゆえに (x^{n+1}/(n+1))′=x^{n} したがって, (1)が成り立つ。
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Q.64
次の等式を満たす関数 \( f(x) \) および定数 の値を求めよ。(1) \( \int_{a}^{x} f(t) d t=2 x^{2}-9 x+4 \)(2) \( \int_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1 \)
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Q.65
次の等式を満たす関数 \( f(x) \) を求めよ。\n(1) \( f(x)=x^{2}-1+\int_{0}^{1} t f(t) d t \)\n(2) \( f(x)=x+\int_{-1}^{1}(x-t) f(t) d t+3 \)
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Q.66
練習 次の関数の最大値と最小値を求めよ。また,そのときの の値を求めよ。\n(1) \( y=-x^{3}+12 x+15 \quad(-3 \leqq x \leqq 5) \)\n(2) \( y=-x^{4}+4 x^{3}+12 x^{2}-32 x \quad(-2 \leqq x \leqq 4) \)
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Q.72
(1) 関数 \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5 \) が極値をもつような定数 の値の範囲を求めよ。\n(2) 関数 \( f(x)=4 x^{3}-3(2 a+1) x^{2}+6 a x \) が極大値と極小値をもつとき, 定数 が満 たすべき条件を求めよ。\n(3)関数 \( f(x)=2 x^{3}+a x^{2}+a x+1 \) が常に単調に増加するような定数 の値の範囲 を求めよ。
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Q.73
数学 \\Pi \\n(2) から \\quad x=\\frac{1}{2} y+\\frac{3}{2} \\n曲線と直線の交点の 座標は, 9-y^{2}=\\frac{1}{2} y+\\frac{3}{2} \ から\n\ 2 y^{2}+y-15=0 \\nすなわち \( (y+3)(2 y-5)=0 \\)\nよって \\quad y=-3, \\frac{5}{2} \\nゆえに,右上の図から,求める面積は\n\\[ \\begin{aligned}\nS & =\\int_{-3}^{\\frac{5}{2}}\\left\\{9-y^{2}-\\left(\\frac{1}{2} y+\\frac{3}{2}\\right)\\right\\} d y \\\\\n& =-\\int_{-3}^{\\frac{5}{2}}\\{y-(-3)\\}\\left(y-\\frac{5}{2}\\right) d y \\\\\n& =-\\left(-\\frac{1}{6}\\right)\\left\\{\\frac{5}{2}-(-3)\\right\\}^{3}=\\frac{1331}{48}\n\\end{aligned} \\]\n\\[ \\begin{array}{l} \\leftarrow \\int_{\\alpha}^{\\beta}(y-\\alpha)(y-\\beta) d y \\\\\n=-\\frac{1}{6}(\\beta-\\alpha)^{3} \\end{array} \\]\n \\leftarrow x=9-y^{2} \ を, y=2 x-3 \ に代入して, x \ を消去してもよい。
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Q.74
2 x^{n} の不定積分 ∫ x^{n} dx= (1/(n+1)) x^{n+1} + C (n は 0 または正の整数)
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Q.76
であるから, 直線 (2)が点(10, 50)を通るとき, 直線(2)の 切片 の値は最大となる。このとき も最大となる。したがって, 利益 が最大となるのは \( (x, y)=( \) キク10, ケコ50)のときである。
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Q.77
1次以上の整式で表される関数 \( f(x), g(x) \) が\n\n\[ f(x)=\int_{-1}^{1}\{(x-t) f(t)+g(t)\} d t, g(x)=\left(\int_{-1}^{1} x f(t) d t\right)^{2} \]\n\nを満たす。このとき, \( f(x) \) と \( g(x) \) を求めよ。
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Q.78
次の定積分を求めよ。
(1) \( \int_{-3}^{3}(2 x+1)(x-1)(3 x-2) d x \)
(2) \( \int_{-2}^{2}(2 x-5)^{3} d x \)
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Q.79
(2)球の半径が \( 1 \mathrm{~m} ) から毎秒 の割合で大きくなるとき, 30 秒後における 球の表面積の変化率を求めよ。
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Q.82
(1) 次の条件を満たす3次関数f(x)を求めよ。f'(1)=f'(-1)=1, f(1)=0, f(-1)=2。
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Q.83
次の曲線の凹凸を調べ, 変曲点を求めよ。\n(1) \n(2) \( y=x+\cos 2 x(0 \leqq x \leqq \pi) \)\n(3) \n(4)
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Q.84
`a` は 0 でない定数とし, `A = ∫_{0}^{π} e^{-a x} sin 2x dx`, `B = ∫_{0}^{π} e^{-a x} cos 2x dx` とする。このとき, `A`, `B` の値をそれぞれ求めよ。(類 札幌医大)
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Q.85
不等式の証明と極限(はさみうちの原理の利用)
演 翌 例題 187
基本 178,179,121
0<x<π のとき, 不等式 x cos x<sin x が成り立つことを示せ。そして, これを用いて, lim _{x →+0} (x−sin x)/(x^{2}) を求めよ。〔類 岐阜薬大〕
指針 > 例えば lim _{θ →+0} (sin θ)/θ=1 は, 不等式 cos θ<(sin θ)/θ<1(0<θ<π/2) を導き,それを用いて証明 した(p.188 参照)。この例題では, 利用する不等式が与えられており,まずそれを証明 する。つ@ 大小関係は差を作る方針で F(x)=sin x−x cos x とおき, F′(x) の符号を調べる。そして,極限値は不等式を利用してはさみうちの原理を用いる……
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Q.87
(2) 点 \( (1,0) \) を通る曲線 \( y=f(x) \) 上の点 \( (x, y) \) における接線の傾きが であるとき, 微分可能な関数 \( f(x) \) を求めよ。
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Q.89
a,bを実数とする。 ,bの値を変化させたときの積分 \( \int{0} {1}{\cos \pi x-( a x+b)2} d x \) の最小値, およびそのときの の値を求めよ。
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Q.90
定積分 \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)(\sin x+\cos x)^{5} d x \) を求めよ。
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Q.91
次の関数を微分せよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \( y=\sin ^{3}(2 x+1) \)\n(5) \n(6) \( y=\tan (\sin x) \)\n(7) \n(8)
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Q.92
次の近似式を説明しなさい。
1. |h|が十分小さいとき f(a+h) ≈ f(a)+f'(a)h
2. |x|が十分小さいとき f(x) ≈ f(0)+f'(0)x
3. y=f(x)のxの増分Δxに対するyの増分をΔyとすると、|Δx|が十分小さいとき Δy ≈ f'(x)Δx
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Q.93
(2) Iₙ=∫0π/4 tanⁿxdx ( n は自然数) とする。 n >= 3 のときの Iₙ を, n, Iₙ-2 を用いて表せ。また, I₃, I₄ を求めよ。〔類 横浜国大〕
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Q.94
(3) \( \int \sin 3x \sin 2x dx=-\frac{1}{2} \int(\cos 5x-\cos x) dx \) (積の和の公式)を用いて解く。
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Q.95
導関数の公式\n・ (k u+l v)^{\\prime}=k u^{\\prime}+l v^{\\prime}(k, l \\) は定数\\)\n\\( (u v)^{\\prime}=u^{\\prime} v+u v^{\\prime} \\)\n\\( \\left(\\frac{u}{v}\\right)^{\\prime}=\\frac{u^{\\prime} v-u v^{\\prime}}{v^{2}} \\quad \\) 特に \\( \\left(\\frac{1}{v}\\right)^{\\prime}=-\\frac{v^{\\prime}}{v^{2}} \\)\n- \\( y=f(u), u=g(x) \\) のとき\n\ \\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\cdot \\frac{d u}{d x} \\n- \ \\frac{d y}{d x}=1 / \\frac{d x}{d y} \\n・ \\( \\left(x^{\\alpha}\\right)^{\\prime}=\\alpha x^{\\alpha-1}(\\alpha \\) は実数で \\( x>0)
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Q.97
次の関数の極値を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \( y=(1-\sin x) \cos x (0 \leqq x \leqq 2 \pi) \)\n(5) \n(6) \( y=(x+2) \cdot \sqrt[3]{x^{2}} \)
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Q.98
次の関数の第 2 次導関数, 第 3 次導関数を求めよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ) \( y=a^{x}(a>0, \quad a \neq 1) \)
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Q.01
次の関数を微分せよ。\n(1) \n(2) \( y=\\left(x^{2}+2 x\\right)\\left(x^{2}-x+1\\right) \)\n(3) \( y=\\left(x^{3}+3 x\\right)\\left(x^{2}-2\\right) \)\n(4) \( y=(x+3)\\left(x^{2}-1\\right)(-x+2) \)\n(5) \n(6) \n(7) \n(8) \( y=\\frac{(x-1)\\left(x^{2}+2\\right)}{x^{2}+3} \)\n〔(6) 宮崎大〕
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Q.05
EX 不定積分 ∫(sin x + x cos x) dx を求めよ。また, この結果を用いて, 不定積分 ∫(sin x + x cos x) log x dx を求めよ。\n\n〔立教大〕
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Q.06
EX 関数 \( f(x) \) の逆関数を \( g(x) \) とする。 \( f(1)=2, f^{\prime}(1)=2, f^{\prime \prime}(1)=3 \) のとき, \( g^{\prime \prime}(2) \) の值を求めよ。 (3) 129