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AIチューター | ヤロウゼ、宿題!

関数と解析

高度な関数 - 三角関数とその応用

Q.01

(1) \ \\sin 175^{\\circ} < \\sin 35^{\\circ} < \\sin 140^{\\circ} \
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Q.02

数学 I EX 0^{\circ} ≤ θ ≤ 180^{\circ} とする。次の方程式を解け。 (3) \sin θ \tan θ=-\frac{3}{2}
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Q.03

tan 角 C
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Q.04

数学 I EX 0^{\circ} ≤ θ ≤ 180^{\circ} とする。次の方程式を解け。 (1) 2 \sin^{2} θ-5 \cos θ+1=0
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Q.05

EX ある放物線を x \ 軸方向に 1, y \ 軸方向に -2 だけ平行移動した後, x \ 軸に関して対称移動したと (352 ころ, 放物線 y=-x^{2}-3 x+3 \ となった。もとの放物線の方程式を求めよ。
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Q.06

次の角の正弦, 余弦, 正接を求めよ。 (1) 135 135^{\circ} (2) 150 150^{\circ} (3) 1
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Q.07

三角形への応用として、正弦定理と余弦定理を説明せよ。
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Q.08

巻末の三角比の表を用いて, 次のような θ \theta を求めよ。\n(1) sinθ=0.5592 \sin \theta=0.5592 \n(2) cosθ=0.3090 \cos \theta=0.3090 \n(3) tanθ=1.6003 \tan \theta=1.6003
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Q.09

第4章 図形亡計量 163 EX \ \\quad 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ} \ のとき, \ y=\\sin ^{4} \\theta+\\cos ^{4} \\theta \ とする。 \ \\sin ^{2} \\theta=t \ とおくと,
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Q.10

PRACTICE 124 ABC \triangle \mathrm{ABC} において、sinA:sinB:sinC=5:16:19 \sin A: \sin B: \sin C=5: 16: 19 のとき、この三角形の最も大きい角の大きさを求めよ。
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Q.11

12 三角比の基本: θ が特定の角度のときの三角比を求めなさい。
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Q.12

身近にある放物線\n2 次関数のグラフである放物線は,わたしたちの身近なところにも多く存在している。 そのような例をいくつか見てみよう。\n例 1: 斜めに投げ上げられた物体の軌跡\nキャッチボールをするとき, ボールの軌道は放物線を描く。 また,離れたところからホースを使って草木に水をやるとき の水の軌道も放物線となる。なお, 16〜17 世紀のヨーロッパ では, 大砲の砲弾を命中させようと, その軌道が盛んに研究 されていた。\n問: この現象を説明するパラメトリック方程式を書きなさい。
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Q.13

次のグラフが表す 2 次関数を求めよ。\n(1) グラフ y=x24x+3 y = x^{2} - 4x + 3 x x 軸方向に平行移動したもので、点 \( \mathrm{A}(0,-1) \) を通るグラフ\n(2) グラフ y=x24x+3 y = x^{2} - 4x + 3 y y 軸方向に平行移動したもので、点 A を通るグラフ
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Q.14

次の三角比を, それぞれ 0 0^{\circ} 以上 90 90^{\circ} 以下の角の三角比で表せ。また, その値を巻末の三角比の表を用いて求めよ。 (1) sin111 \sin 111^{\circ} (2) cos155 \cos 155^{\circ} (3) tan173 \tan 173^{\circ}
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Q.15

次の式の値を求めよ。 (1) sin29,cos29,tan29 \sin 29^{\circ}, \cos 29^{\circ}, \tan 29^{\circ} (2) sinθtanθ+cosθtanθ \sin \theta \tan \theta+\frac{\cos \theta}{\tan \theta}
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Q.16

(2)余弦定理により\nこの式を利用して a を求めます。\n\(\begin{aligned}\na^{2}= & 2^{2}+(\sqrt{5}+1)^{2} \n-2 \cdot 2(\sqrt{5}+1) \cos 60^{\circ}\n= & 4+(6+2 \sqrt{5})-4(\sqrt{5}+1) \cdot \frac{1}{2}\n= & 8\n\end{aligned}\)
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Q.17

次の条件を満たす放物線の方程式を求めよ。条件: 放物線 y=2x2+ax+b y = 2x^{2} + a x + b x x 軸方向に 2 , y y 軸方向に -3 だけ平行移動した放物線の方程式が y=2x2 y = 2x^{2} と重なる。
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Q.18

13 三角比の拡張 次の式を簡単にせよ。 (1) \( \left(\cos 110^{\circ}-\cos 160^{\circ}\right)^{2}+\left(\sin 70^{\circ}+\cos 70^{\circ}\right)^{2} \) (2) \( \tan ^{2} \theta+\left(1-\tan ^{4} \theta\right)\left(1-\sin ^{2} \theta\right) \) (3) p.1812,p.1824,111 p .181 \underline{2}, p .182 \underline{4}, 111
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Q.19

三角形 mathrmABC \\mathrm{ABC} において, sinA:sinB:sinC=3:5:7 \\sin A: \\sin B: \\sin C=3: 5: 7 とするとき, 比 cosA:cosB:cosC \\cos A: \\cos B: \\cos C を求めよ。(東北学院大)
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Q.20

(4) タンジェントの不等式を解く問題です。\n\\( \\tan ^{2} \\theta+(1-\\sqrt{3}) \\tan \\theta-\\sqrt{3} \\leqq 0 \\)\n\ \\tan \\theta=t \ とおくと, \ 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ} \ であるから, \ \\theta \\neq 90^{\\circ} \ のと き \ t \ はすべての実数値をとる。\nこのとき,与えられた不等式は \\( t^{2}+(1-\\sqrt{3}) t-\\sqrt{3} \\leqq 0 \\) よって \\( (t+1)(t-\\sqrt{3}) \\leqq 0 \\)\nゆえに \ -1 \\leqq t \\leqq \\sqrt{3} \\nすなわち \ -1 \\leqq \\tan \\theta \\leqq \\sqrt{3} \\nしたがって, 求める解は \ 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 60^{\\circ}, 135^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ} \
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Q.21

各三角関数を計算し、結果を示せ。
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Q.22

図のような三角形 ABC \mathrm{ABC} において, 次のものを求めよ。\n(1) sinθ,cosθ,tanθ \sin \theta, \cos \theta, \tan \theta の値\n(2) 線分 AD,CD \mathrm{AD}, \mathrm{CD} の長さ
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Q.23

(1) sin111circ\\sin 111^{\\circ}\n(2) cos155circ\\cos 155^{\\circ}\n(3) tan173circ\\tan 173^{\\circ}
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Q.24

補 充 例題 117 三角比を含む不等式の解法 0° ≤ θ ≤ 180° のとき、次の不等式を満たす θ の範囲を求めよ。 (1) cos θ > -√3/2 (2) tan θ ≥ -1
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Q.25

EX ABC \triangle \mathrm{ABC} において, sinA:sinB:sinC=5:7:8 \sin A: \sin B: \sin C=5: 7: 8 とする。このとき, cosC= \cos C= \square である。
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Q.26

次の式を簡単にせよ。(1) (cos110°cos160° \cos 110° - \cos 160° )^2 + (sin70°+cos70° \sin 70° + \cos 70° )^2, (2) tan^2 θ + (1 - tan^4 θ)(1 - sin^2 θ)
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Q.27

どのような場面で解説動画を活用することができますか?
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Q.28

図 (1) から \(\\mathrm{P}(-1, 1)\) より\n(1) sin135circ\\sin 135^{\\circ}\n(2) cos135circ\\cos 135^{\\circ}\n(3) tan135circ\\tan 135^{\\circ}
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Q.29

2sinθ=2 2 \sin \theta=\sqrt{2} から sinθ=12 \sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} 。半径 1 の半円周上で, y y 座標が 12 \frac{1}{\sqrt{2}} となる点は, 図の 2 点 P,Q \mathrm{P}, \mathrm{Q} である。求める θ \theta は, AOPAOQ \angle \mathrm{AOP} \angle \mathrm{AOQ} で ある。
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Q.30

13 三角比の拡張: 角度が0°〜360°の範囲にあるときの三角比を求めなさい。
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Q.31

数学 I EX 0^{\circ} ≤ θ ≤ 180^{\circ} とする。次の方程式を解け。 (4) \sqrt{2} \sin θ=\tan θ
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Q.32

EX三角形 \ \\mathrm{ABC} \ に扬いて, \ \\sin A: \\sin B: \\sin C=3: 5: 7 \ とするとき, 比 \ \\cos A: \\cos B: \\cos C \ (2) 104 を求めよ。
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Q.33

三角比の定義と相互関係を述べよ。\n(1) 三角比の定義\n(2) 三角比の相互関係\n(3) 特殊角における三角比
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Q.34

発展例題とEXERCISESのページはどのようなときに使用しますか?
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Q.35

変量の変換
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Q.36

三角形の面積・空間図形への応用について説明し、例題を挙げてください。
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Q.37

関数のグラフや図形の動きを考察する例題において、どのようなデジタルコンテンツを利用することで、視覚的なイメージと数式を結びつけて学習することができますか?
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Q.38

三角比のまとめ
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Q.39

正弦定理か余弦定理か
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Q.40

正弦定理・余弦定理を振り返ろう!
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Q.41

順に \\\\( \\cos 20^{\\circ}, \\\\ \\sin 10^{\\circ}, \\\\ \\frac{1}{\\tan 35^{\\circ}} \\\\\\\n
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Q.42

ある商品は, 単価が 10 円のとき 1 日 100 個売れる。単価を 1 円上げるごとに, 1 日の売り上げは 5 個ずつ減り, 単価を 1 円下げるごとに, 1 日の売り上げ は 5 個ずつ増える。単価をいくらにすると 1 日の売上金額が最大になるか。売上金額の最大値とそのときの単価を求めよ。ただし,消費税は考えない。
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Q.43

必要条件と十分条件の関係を説明しなさい。
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Q.44

次の公式を証明しなさい。\n\\( \sin \left(90^{\circ}+\theta\right)=\cos \theta \)\n\\( \cos \left(90^{\circ}+\theta\right)=-\sin \theta \)\n\\( \tan \left(90^{\circ}+\theta\right)=-\frac{1}{\tan \theta} \)
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Q.45

三角形への応用 正弦定理: ABC \triangle \mathrm{ABC} の外接円の半径を R R とすると asinA=bsinB=csinC=2R \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R (\sin A: \sin B: \sin C=a: b: c) a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC a=2 R \sin A, b=2 R \sin B, c=2 R \sin C 余弦定理: a2=b2+c22bccosA a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A b2=c2+a22cacosB b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \cos B c2=a2+b22abcosC c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C
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Q.46

補足 0°, 90°, 180° の三角比\n\nθ=0° のとき、三角比の定義の式で、r=1 として、座標が (1,0) である点 P₀ をとると\nsin 0°=0, \ncos 0°=1, \ntan 0°=0\n\nθ=90° のとき、三角比の定義の式で、r=1 として、座標が (0,1) である点 P₁ をとると\nsin 90°=1, \ncos 90°=0,\n\nθ=180° のとき、三角比の定義の式で、r=1 として、座標が (-1,0) である点 P₂ をとると\nsin 180°=0, \ncos 180°=-1, \ntan 180°=0
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Q.47

次の角の正弦,余弦,正接の値を求めよ。\n(1) 120 120^{\circ} \n(2) 135 135^{\circ}
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Q.48

三角比の表を利用して角度を求める
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Q.49

次のものを求めよ。\n(1) \ \\sin 15^{\\circ}, \\cos 73^{\\circ}, \\tan 25^{\\circ} \ の値\n(2) \ \\sin \\alpha=0.4226, \\cos \\beta=0.7314 \, \ \\tan \\gamma=8.1443 \ を満たす鋭角 \ \\alpha, \\beta, \\gamma \\n(3)右の図の \ x \ の値と角 \ \\theta \ のおよその大きさ。 ただし, \ x \ は小数第 2 位を四捨五入せよ。\n
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Q.50

次の三角形 triangleAED \\triangle \mathrm{AED} sintheta \\sin \\theta を求めよ。\n余弦定理により\n\n\[\n\\cos \\theta=\\frac{(\\sqrt{7})^{2}+(\\sqrt{7})^{2}-3^{2}}{2 \\cdot \\sqrt{7} \\cdot \\sqrt{7}}=\\frac{5}{14}\n\]\n(3) sintheta>0 \\sin \\theta >0 であるから\n\n\[\n\\begin{aligned}\n\\sin \\theta & =\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\theta}=\\sqrt{1-\\left(\\frac{5}{14}\\right)^{2}} \\\\\n& =\\frac{3 \\sqrt{19}}{14}\n\\end{aligned}\n\]\n\ntrianglemathrmAED=12cdotsqrt7cdotsqrt7cdotfrac3sqrt1914=frac3sqrt194 \\triangle \\mathrm{AED}=\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{7} \\cdot \\sqrt{7} \\cdot \\frac{3 \\sqrt{19}}{14}=\\frac{3 \\sqrt{19}}{4}
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Q.51

θ は 0° から 180° までの三角比の相互関係
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Q.52

数学 I\nTR 0θ180 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} のとき, 次の等式を満たす θ \theta を求めよ。\n1119 { }^{1} 119 \n(1) sinθ=12 \sin \theta=\frac{1}{2} \n(2) cosθ=12 \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \n(3) tanθ=3 \tan \theta=-\sqrt{3}
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Q.53

《基本例題 126 準 131 正弦の比㨽式から余弦を求める △ ABC について, sinA4=sinB5=sinC6 \frac{\sin A}{4} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{6} が成り立つとき, cosC \cos C の値を求めよ。 [類 立命館大]
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Q.54

求める解は, y=x26x7 y=\left|x^{2}-6 x-7\right| のグラフが y=2x+2 y=2 x+2 のグラ フ上にある,または上側にある x x の値の範囲であるから
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Q.55

三角比の相互関係を示しなさい。 例:sin²θ + cos²θ = 1 (三平方の定理 a² + b² = c²)
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Q.56

ド・モルガンの法則を使って、次の集合A, B, Cの例で具体的に示してください。
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Q.57

(1)三角比の表を用いて, 128128^{\circ}の正弦, 余弦, 正接の値を求めよ。\n(2) sin27=a\sin 27^{\circ}=aとする。117117^{\circ}の余弦をaaを用いて表せ。
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Q.58

第6章 三角比-117\n\ \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1 \ であるから\n\ 1+2 \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{4} \\nしたがって \ \quad \sin \theta \cos \theta=-\frac{3}{8} \\n(2) \\( \sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta=(\sin \theta+\cos \theta)^{3}-3 \sin \theta \cos \theta(\sin \theta+\cos \theta) \\) \ \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{2} \ と(1)の \ \sin \theta \cos \theta=-\frac{3}{8} \ を代入して\n\\[ \\begin{aligned} \n \sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta & =\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{3}-3\\left(-\\frac{3}{8}\\right) \cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right) \n & =-\\frac{11}{16} \n \\end{aligned} \\]\n\n別解 \ \sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta \\n\\[ \\begin{array}{l} \n=(\sin \theta+\cos \theta)\\left(\sin ^{2} \theta-\sin \theta \cos \theta+\cos ^{2} \theta\\right) \n=-\\frac{1}{2}\\left\{1-\\left(-\\frac{3}{8}\\right)\\right\} \n=-\\frac{11}{16} \n\\end{array} \\]\n\\[ \\begin{aligned} & \sin \theta \cos \theta \\ \n= & \\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{4}-1\\right) \\ \n- & a^{3}+b^{3} \\ \n= & (a+b)^{3}-3 a b(a+b) \\end{aligned} \\]\n- 因数分解の公式\n\\[ \\begin{array}{l} \na^{3}+b^{3} \n=(a+b)\\left(a^{2}-a b+b^{2}\\right)\n\\end{array} \\]\nの利用。
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Q.59

0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} とする。 \sin \theta=\frac{1}{3} のとき, \cos \theta, \tan \theta の値を求めよ。
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Q.60

以下の三角比の表について、次の θ \theta の値における sinθ \sin \theta , cosθ \cos \theta , tanθ \tan \theta を求めてください。\n\n1. θ=25 \theta = 25^{\circ} \n2. θ=45 \theta = 45^{\circ} \n3. θ=67 \theta = 67^{\circ} \n4. θ=89 \theta = 89^{\circ} \n5. θ=90 \theta = 90^{\circ}
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Q.61

ABC \triangle \mathrm{ABC} において, sinA3=sinB7=sinC \frac{\sin A}{\sqrt{3}}=\frac{\sin B}{\sqrt{7}}=\sin C が成り立つとき, 最も大きい内角の大きさを求めよ。
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Q.62

三角比の対称式の値
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Q.63

15°の三角比
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Q.64

(1)三角比の表を用いて、128° の正弦、余弦、正接の値を求めよ。\n(2) sin 27°=a とする。117° の余弦を a を用いて表せ。
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Q.65

三角比の等式を満たす θ (三角方程式)
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Q.66

三角形 \\mathrm{ABC} \ \\angle \\mathrm{A}, \\angle \\mathrm{B}, \\angle \\mathrm{C} \ の大きさを,それぞれ A, B, C \ とするとき,次の等式が成り立つことを示せ。\n(1) \ \\sin \\frac{A}{2}=\\cos \\frac{B+C}{2} \\n(2) \ \\tan \\frac{A}{2} \\tan \\frac{B+C}{2}=1 \
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Q.67

正弦定理か余弦定理か
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Q.68

θ が鋭角の場合の三角比の相互関係
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Q.69

次の2つの式も成り立つ。\n\ \\begin{\overlineray}{l} b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\]\nこれを余弦定理としてまとめた式は以下のようになる:\n\\[ \\begin{\overlineray}{l} a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \\cos A \\ b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\n余弦定理から\ \\triangle \\mathrm{ABC} \における以下の等式を示せ。\n\ \\cos A = \\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} , \\quad \\cos B = \\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}, \\quad \\cosC = \\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} \
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Q.70

TR \ \triangle \mathrm{ABC} \ の内角 \ A, B, C \ に対し, 次の等式が成り立つことを示せ。\n125\n(1) \\( \sin A=\sin (B+C) \\)\n(2) \ \cos \\\frac{A}{2}=\sin \\\frac{B+C}{2} \
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Q.71

TRAINING 116 (1) sin70,cos80,tan55 \sin 70^{\circ}, \cos 80^{\circ}, \tan 55^{\circ} 45 45^{\circ} 以下の鋭角の三角比で表せ。
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Q.72

正弦定理・余弦定理を振り返ろう!
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Q.73

鈍角の三角比の値を求める
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Q.74

方程式 sinaθ=sinbθ \sin a \theta=\sin b \theta , sinaθ=cosbθ \sin a \theta=\cos b \theta の解法
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Q.75

解法を調べるために本書を活用する方法を説明しなさい。
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Q.76

数学 I。また、 π6<1<π3,π2<2<23π,56π<3<π \frac{\pi}{6} < 1 < \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} < 2 < \frac{2}{3} \pi, \frac{5}{6} \pi < 3 < \pi であるから 12<sin1<32,32<sin2<1,0<sin3<12 \frac{1}{2} < \sin 1 < \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} < \sin 2 < 1, 0 < \sin 3 < \frac{1}{2} よって、 sin1,sin2,sin3,sin4 \sin 1, \sin 2, \sin 3, \sin 4 の中で正となるものの最小值は sin3 \sin 3 であり、最大値は sin2 \sin 2 である。
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Q.77

次の値を求めよ。 (1) \( \cos (\pi-\theta)-\cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\sin (\pi+\theta) \) (2) \( \sin \frac{5}{8} \pi \cos \frac{\pi}{8}+\sin \frac{9}{8} \pi \cos \left(-\frac{5}{8} \pi\right) \) p. 193 基本事項 2 c. HART \& SOLUTION 一般角の三角関数 θ \theta や鋭角の三角関数に直す
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Q.78

三角関数の対称式の値
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Q.79

(1) 0leqqtheta<2pi 0 \\leqq \\theta <2 \\pi の条件で, 等式 cos2theta+sqrt3sinthetacostheta=1 \\cos ^{2} \\theta+\\sqrt{3} \\sin \\theta \\cos \\theta=1 を満たす theta \\theta の値 を求めよ。
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Q.80

遊園地にあるコーヒーカップの動き(軌跡)は三角関数とどう関係しているかを考えてみよう。円盤 1 が左回りに 1 周する間に, 半径が半分の円盤 2 が右回りに 2 周するとき, 円盤 2 の周上にある点 C \mathrm{C} はどのような軌跡を描くか。
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Q.81

次の等式を証明せよ。\n(1) \( \\frac{2 \\sin \\theta \\cos \\theta-\\cos \\theta}{1-\\sin \\theta+\\sin ^{2} \\theta-\\cos ^{2} \\theta}=\\frac{1}{\\tan \\theta} \n(2) \( (\\tan \\theta-\\sin \\theta)^{2}+(1-\\cos \\theta)^{2}=\\left(\\frac{1}{\\cos \\theta}-1\\right)^{2} \)
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Q.82

0 \leqq \theta<2 \pi のとき, 次の方程式・不等式を解け。(1) \cos 2 \theta=\sqrt{3} \cos \theta+2 (2) \sin 2 \theta<\sin \theta
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Q.83

三角関数の公式の作り方
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Q.84

3次関数のグラフのかき方—増減表の作成\n3 次関数のグラフは, 手順通りに正確にかくことが大切です。注意点とともに,手順をしっかり身につけておきましょう。\n\n増減表の 1 行目には yprime=0 y^{\\prime}=0 の解を記入する\n導関数 yprime y^{\\prime} を求め, yprime=0 y^{\\prime}=0 を解く, という手順で進める。特に, yprime y^{\\prime} の式が因数分解できるときは, 必ず因数分解 しておこう。因数分解しておくと, 解が求めやすくな るだけでなく,2行目の記入もスムーズになる。
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Q.85

まず, \( \tan (\alpha+\beta+\gamma) \) の値を求める。
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Q.86

三角関数の最大・最小 (1)
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Q.87

三角方程式の解法 (基本)\n0θ<2π0 \leqq \theta<2 \pi のとき, 次の方程式を解け。また, θ \theta の範囲に制限がないときの解を求めよ。\n(1) sinθ=12 \sin \theta=\frac{1}{2} \n(2) cosθ=12 \cos \theta=-\frac{1}{2} \n(3) tanθ=3 \tan \theta=-\sqrt{3}
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Q.88

関数 y=sin 2x(sin x+cos x-1) について, t=sin x+cos x とおき, y を t の範囲による y のとりうる値の範囲として表せ。 [立命館大]
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Q.89

等式 1 + sin θ - cos θ / 1 + sin θ + cos θ = tan(θ/2) を証明せよ。
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Q.90

三角関数の値 (1)
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Q.91

104\n(ア) sin4 \sin 4 \n(イ) sin3 \sin 3 \n(ら) sin2 \sin 2
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Q.92

数学 I\mathbb{I}\nPR\n0θ<2π0 \leqq \theta<2 \pi のとき, 次の方程式・不等式を解け。\n(2134\n(1) sinθ+3cosθ=2 \sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=\sqrt{2} \n(2) sinθ+cosθ12 \sin \theta+\cos \theta \geqq \frac{1}{\sqrt{2}}
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Q.93

加法定理を用いて,次の値を求めよ。 (1) sin15 \sin 15^{\circ} (2) tan105 \tan 105^{\circ} (3) cosπ12 \cos \frac{\pi}{12}
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Q.94

第4章 三角関数 195 \[ \begin{aligned} & \sin A+\sin B+\sin C \ = & 2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}+2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A+B}{2} \ = & 2 \cos \frac{C}{2}\left(\cos \frac{A+B}{2}+\cos \frac{A-B}{2}\right) \ = & 2 \cos \frac{C}{2} \cdot 2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} \ \text { よって, } & 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}=1 \text { であるから } \ & \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}=\frac{1}{4} \end{aligned} \] (2) \[ \begin{array}{l} \cos ^{2} A+\cos ^{2} B+\cos ^{2} C = \frac{1}{2}(1+\cos 2 A)+\frac{1}{2}(1+\cos 2 B)+\cos ^{2} C = 1+\frac{1}{2}(\cos 2 A+\cos 2 B)+\cos ^{2} C = 1+\frac{1}{2} \cdot 2 \cos \frac{2 A+2 B}{2} \cos \frac{2 A-2 B}{2}+\cos ^{2} C = 1+\cos (A+B) \cos (A-B)+\cos ^{2} C = 1+\cos (\pi-C) \cos (A-B)+\cos C \cos \{\pi-(A+B)\} = 1-\cos C\{\cos (A-B)+\cos (A+B)\} = 1-\cos C(2 \cos A \cos B)=1-2 \cos A \cos B \cos C \text { よって } \quad \cos ^{2} A+\cos ^{2} B+\cos ^{2} C=1-2 \cos A \cos B \cos C \end{array} \] 4章 EX 半角の公式から cos2θ=1+cos2θ2 \cos ^{2} \theta=\frac{1+\cos 2 \theta}{2} «和 \longrightarrow 積の公式 \[ \begin{array}{l} \hookleftarrow A+B=\pi-C, \cos ^{2} C=\cos C \cos C \=\cos C \quad \times \cos \{\pi-(A+B)\} \end{array} \]
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Q.95

本 例題 128 加法定理の利用 \( \sin \alpha=\frac{3}{5}\left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right), \cos \beta=-\frac{4}{5}\left(\frac{\pi}{2}<\beta<\pi\right) \) のとき, \( \sin (\alpha+\beta) \), \( \cos (\alpha-\beta), \tan (\alpha-\beta) \) の値を求めよ。
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Q.96

基本 列題 1372 次同次式の最大・最小\n\( f(\\theta)=\\sin^{2} \\theta + \\sin \\theta \\cos \\theta + 2 \\cos^{2} \\theta \\left(0 \\leqq \\theta \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\right) \) の最大值と最小值を求めよ。
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Q.97

-π/3 ≤ x ≤ π/3 のとき, f(x) = (1/2 cos 2x + sin^2 (x/2)) tan x + 1/2 sin x は, x = ______ で最大値 ______ をとる。
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Q.98

2 つの放物線 C1:y=x2+1,C2:y=2x2+4x3C_{1}: y=x^{2}+1, C_{2}: y=-2x^{2}+4x-3 の共通接線の方程式を求めよ。
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Q.99

次に \( \sin ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}=\frac{1}{2}\left\{1-\left(-\frac{2}{3}\right)\right\}=\frac{5}{6} \) π2<θ<π \frac{\pi}{2}<\theta<\pi より, π4<θ2<π2 \frac{\pi}{4}<\frac{\theta}{2}<\frac{\pi}{2} であるから sinθ2>0 \quad \sin \frac{\theta}{2}>0 ゆえに sinθ2=56=306 \quad \sin \frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{5}{6}}=\frac{\sqrt{30}}{6} また sin2θ=1cos2θ=149=59 \quad \sin ^{2} \theta=1-\cos ^{2} \theta=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9} π2<θ<π \frac{\pi}{2}<\theta<\pi より, sinθ>0 \sin \theta>0 であるから sinθ=53 \quad \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{3} よって sin3θ=3sinθ4sin3θ \sin 3 \theta=3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta \n\n=3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}-4\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^{3}=\frac{7 \sqrt{5}}{27}\n\n半角の公式\nθ2 \hookleftarrow \frac{\theta}{2} は第 1 象限の角。\nθ \longleftrightarrow \theta は第 2 象限の角。\n3 \nLeftarrow 3 倍角の公式 忘れた ら, \( \sin (\theta+2 \theta) \) として,加法定理から導く。\n\nPR 0θ<2π 0 \leqq \theta<2 \pi のとき, 次の方程式・不等式を解け。 (2) (1) cos2θ=3cosθ+2 \cos 2 \theta=\sqrt{3} \cos \theta+2 (2) sin2θ<sinθ \sin 2 \theta<\sin \theta
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Q.00

花子:次に関数 \ y=\\sin \\frac{3}{5} x+\\cos \\frac{7}{5} x \ の周期を求めます。正で最小の周期を求めてください。
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Q.01

曲線 y=x^3-2x+1 と直線 y=x+k が異なる 3 点を共有するような定数 k の値の範囲を求めよ。
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Q.02

基本例題 134 三角方程式・不等式の解法 (合成)\n0 \leqq θ<2π のとき, 次の方程式・不等式を解け。\n(1) sin θ-√3 cos θ=-1\n(2) sin θ- cos θ<1\n基本 123,133
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Q.03

2つの角 alpha,beta \\alpha, \\beta の和 alpha+beta \\alpha+\\beta や差 alphabeta \\alpha-\\beta の三角関数は, alpha,beta \\alpha, \\beta の三角関数を用いて次のように表される。これを三角関数の加法定理という。\n\\[\n\\begin{array}{ll}\n1 \\quad \\sin (\\alpha+\\beta) & =\\sin \\alpha \\cos \\beta+\\cos \\alpha \\sin \\beta \\\\\n\\sin (\\alpha-\\beta) & =\\sin \\alpha \\cos \\beta-\\cos \\alpha \\sin \\beta \\\\\n2 \\quad \\cos (\\alpha+\\beta) & =\\cos \\alpha \\cos \\beta-\\sin \\alpha \\sin \\beta \\\\\n\\cos (\\alpha-\\beta) & =\\cos \\alpha \\cos \\beta+\\sin \\alpha \\sin \\beta \\\\\n3 \\quad \\tan (\\alpha+\\beta) & =\\frac{\\tan \\alpha+\\tan \\beta}{1-\\tan \\alpha \\tan \\beta} \\\\\n\\tan (\\alpha-\\beta) & =\\frac{\\tan \\alpha-\\tan \\beta}{1+\\tan \\alpha \\tan \\beta}\n\\end{array}\n\\]\n\n次に、交わる2直線 y=m1x+n1 y=m_{1} x+n_{1} y=m2x+n2 y=m_{2} x+n_{2} が垂直でないとき、この2直線のなす鋭角を theta \\theta とすると tantheta=leftfracm1m21+m1m2right \\tan \\theta=\\left|\\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}\\right| で表される。
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Q.04

EX 0 \\leqq θ < 2πのとき、次の方程式・不等式を解け。\n2) \\sin 2θ + \\sin θ - \\cos θ > \\frac{1}{2}
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Q.05

117・関数 \( f(\\theta)=a \\cos ^{2} \\theta+(a-b) \\sin \\theta \\cos \\theta+b \\sin ^{2} \\theta \) の最大値が 3+sqrt7 3+\\sqrt{7} , 最小値が 3sqrt7 3-\\sqrt{7} となるように, a,b a, b の値を定めよ。
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Q.06

三角方程式の解法 (基本)
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Q.07

sin15 \sin 15^{\circ}
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Q.08

三角関数の周期\n三角関数の周期 k k は正の定数とする。\n・関数 y=sinkθ y=\sin k \theta の周期\n- 関数 y=coskθ y=\cos k \theta の周期\n・関数 y=tankθ y=\tan k \theta の周期
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Q.09

基本例題 118 (3) のグラフは, y=\sin \theta のグラフを \theta 軸方向に \frac{1}{2} 倍しないのはなぜでしょうか?
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Q.10

三角不等式の解法 (基本)\n0θ<2π 0 \leqq \theta<2 \pi のとき, 次の不等式を解け。\n(1) sinθ<32 \sin \theta<-\frac{\sqrt{3}}{2} \n(2) cosθ>12 \cos \theta>-\frac{1}{2} \n(3) tanθ1 \tan \theta \geqq 1
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Q.11

関数 \( f(\theta)=8 \sin ^{3} \theta-3 \cos 2 \theta-12 \sin \theta+7 \) の最大値, 最小值と, そのときの θ \theta の値をそれぞれ求めよ。
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Q.12

135\n(1) θ=74π \theta=\frac{7}{4} \pi で最大値 2 \sqrt{2} \nθ=34π \theta=\frac{3}{4} \pi で最小値 2 -\sqrt{2}
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Q.13

次の三角関数の値を求めなさい。
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Q.14

218\n\ \\theta \ の関数 \ y=\\sin 2 \\theta+\\sin \\theta+\\cos \\theta \ について\n(1) \ t=\\sin \\theta+\\cos \\theta \ とおいて, \ y \ を \ t \ の関数で表せ。\n(2) \ t \ のとりうる値の範囲を求めよ。\n(3) \ y \ のとりうる値の範囲を求めよ。\n[高知大]
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Q.15

EX 0 \\leqq θ < 2πのとき、次の方程式・不等式を解け。\n1) 2 \\sin 2θ = \\tan θ + \\frac{1}{\\cos θ}\n2) \\sin 2θ + \\sin θ - \\cos θ > \\frac{1}{2}
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Q.16

PRACTICE 122 { }^{\circ} \n0θ<2π 0 \leqq \theta<2 \pi のとき, 次の不等式を解け。\n(1) 2cosθ2 2 \cos \theta \leqq-\sqrt{2} \n(2) 2sinθ+10 -\sqrt{2} \sin \theta+1 \geqq 0 \n(3) 3tanθ1<0 \sqrt{3} \tan \theta-1<0
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Q.17

次の図は, それぞれ (1), (2) の関数のグラフである。 A A から H H までの值を求めよ。(1) y=\\sin \\theta \ (2) y=\\cos \\theta \
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Q.18

EX 関数 \( f(\\theta)=a \\cos (b \\theta+c)+d \\) について, a, b, c, d \ の値に応じて, \( y=f(\\theta) \\) のグラフが表示されるコンピュータソフトがある。いま, a=b=1, c=d=0 \ として, y=\\cos \\theta \ のグラフが表示されている。この状態から, a, b, c, d \ の値のうち, いずれか 1 つの値だけ変化させたとき, 次の 1) ~ 3) の変化が起こりうるのは, どの値を変化させたときかをそれぞれすべて答えよ。
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Q.19

次の等式を証明せよ。\n(1) sin2αcos2βcos2αsin2β=sin2αsin2β \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \beta-\cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta=\sin ^{2} \alpha-\sin ^{2} \beta \n(2) \( \cos \theta(\tan \theta+2)(2 \tan \theta+1)=\frac{2}{\cos \theta}+5 \sin \theta \)
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Q.20

次の関数のグラフをかけ。また、その周期を求めよ。\n(1) y=3tanθ y=3 \tan \theta \n(2) \( y=\cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) \)\n(3) y=tan2θ y=\tan 2 \theta \n(4) y=sinθ+1 y=-\sin \theta+1
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Q.21

第 7 章 積分法\n放物線 y=12x2 y=\frac{1}{2} x^{2} C C とし, C C 上に点 \( \mathrm{P}\left(a, \frac{1}{2} a^{2}\right) \) をとる。ただし, a>0 a>0 とする。点 P \mathrm{P} とおける\nC C の接線を \ell , 直線 \ell x x 軸との交点を Q \mathrm{Q} , 点 Q \mathrm{Q} を通り \ell に垂直な直線を m m とするとき, 次の 問いに答えよ。\n(1) 直線 ,m \ell, m の方程式を求めよ。\n(2) 直線 m m y y 軸との交点を A \mathrm{A} とし, 三角形 APQ \mathrm{APQ} の面積を S S とおく。また, y y 軸と線分 AP \mathrm{AP} および曲線 C C によって囲まれた図形の面積を T T とおく。このとき, ST S-T の最小値とそのとき の a a の値を求めよ。
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Q.22

三角関数のグラフ (1)
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Q.23

0 \\leqq \\theta<2 \\pi のとき, 次の方程式を解け。また, \\theta の範囲に制限がないときの解を求めよ。\n(1) sintheta=fracsqrt32 \sin \\theta=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \n(2) costheta=frac1sqrt2 \\cos \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{2}} \n(3) tantheta=sqrt3 \\tan \\theta=\\sqrt{3}
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Q.24

三角関数を解とする2次方程式
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Q.25

EX sin1,sin2,sin3,sin4 \sin 1, \sin 2, \sin 3, \sin 4 の中で, 負となるものはア \square である。また, 正となるものの最小値はへ \square であり, 最大値はウ \square である。 [神戸薬大]
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Q.26

三角関数の相互関係
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Q.27

(1) sin134π \sin \frac{13}{4} \pi
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Q.28

PRACTICE 188® 188^{\circledR} \n0 ≤ θ ≤ 2 π で定義された関数 \( f(\theta) = 8 \sin ^{3} \theta - 3 \cos 2 \theta - 12 \sin \theta + 7 \\) の最大値, 最小値と, そのときの θ \ の値をそれぞれ求めよ。\n[東京理科大]
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Q.29

PRACTICE 190° a>1 とする。 1 \leqq x \leqq a における関数 y=2x^{3}-9x^{2}+12x について (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。
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Q.30

112π3xπ3 112^{\ominus}-\frac{\pi}{3} \leqq x \leqq \frac{\pi}{3} のとき, \( f(x)=\left(\frac{1}{2} \cos 2 x+\sin ^{2} \frac{x}{2}\right) \tan x+\frac{1}{2} \sin x \) は, x= x=ア \square \square \square をとる。
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Q.31

基本例題 188 三角関数の最大・最小(微分利用)\n0x<2π 0 \leqq x<2 π のとき, 関数 y=2cos2xsinx+6cos2x+7sinx y=2 \cos 2 x \sin x+6 \cos ^{2} x+7 \sin x の最大値と最小値を求めよ。また, そのときの x x の値を求めよ。\n[弘前大]
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Q.32

数学 I \mathbb{I} EX (3) 149 149 a a を定数とし, \( f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+a x^{2}+(3 a+4) x \) とする。 (1) xy x y 平面において,曲線 \( y=f(x) \) は a a の値が変化しても常に 2 つの定点を通る。この 2 つ の定点の座標を求めよ。 (2) \( f(x) \) が極値をとらないような a a の値の範囲を求めよ。 [愛知工大]
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Q.33

三角関数の周期について説明してください。
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Q.34

PR 0 ≤ θ < 2π のとき, 次の方程式・不等式を解け。\n(1) sin(2θ + π/3) = - √3/2\n(2) cos(θ/2 - π/3) ≤ 1/√2
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Q.35

120・ \ 120^{\\circ} \\triangle \\mathrm{ABC} \ の内角 \ A, B, C \ について, 次の問いに答えよ。\n(1) \ \\sin A+\\sin B+\\sin C=1 \ のとき, \ \\cos \\frac{A}{2} \\cos \\frac{B}{2} \\cos \\frac{C}{2} \ の値を求めよ。\n(2) 等式 \ \\cos ^{2} A+\\cos ^{2} B+\\cos ^{2} C=1-2 \\cos A \\cos B \\cos C \ が成り立つこと を示せ。
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Q.36

重要例題 138 (2) では, sin3θ=sin2θ \sin 3 \theta=\sin 2 \theta を満たす 1 つの θ \theta の値が \( 36^{\circ}\left(=\frac{\pi}{5}\right) \) であると与えられていたが,逆に,この三角方程式を満たす θ \theta を求める方法を考えてみよう。\n1 . sinθ=sinα \sin \theta=\sin \alpha の解は θ=α \theta=\alpha だけではない\n例えば, sinθ=sinπ6 \sin \theta=\sin \frac{\pi}{6} すなわち sinθ=12 \sin \theta=\frac{1}{2} の解は 0θ<2π 0 \leqq \theta<2 \pi のとき θ=π6,56π \quad \theta=\frac{\pi}{6}, \frac{5}{6} \pi \nしたがって, 一般解は,次のように表される。 θ=π6+2nπ,56π+2nπ(n \theta=\frac{\pi}{6}+2 n \pi, \frac{5}{6} \pi+2 n \pi \quad(n は整数 \( ) \)\n同様に考えると, sinθ=sinα \sin \theta=\sin \alpha の一般解は\n\\[\n\\theta=\\alpha+2 n \\pi, \\quad(\\pi-\\alpha)+2 n \\pi \\quad(n \\text { は整数 })\n\\]
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Q.37

次の値を求めよ。 (1) sin 5/6 π (2) cos 4/3 π (3) tan 5/4 π (4) sin 3/2 π
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Q.38

三角関数の対称式の値\nsinθ+cosθ=13 \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{3} のとき, 次の式の値を求めよ。\n(1) sinθcosθ,sin3θ+cos3θ \sin \theta \cos \theta, \sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta \n(2) \( \sin \theta-\cos \theta\left(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\right) \)
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Q.39

1. 195 195^{\circ} の正弦・余弦・正接の値を求めよ。
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Q.40

次の条件で定められる数列 leftanright \\left\\{a_{n}\\right\\} の一般項を()内のおき換えを利用して求めよ。\n(1) a1=3,an+1=frac5an4an+1left(bn=frac1an2right. a_{1}=3, \quad a_{n+1}=\\frac{5 a_{n}-4}{a_{n}+1}\\left(b_{n}=\\frac{1}{a_{n}-2}\\right. とおく )\n(2) a1=4,an+1=frac4an+3an+2left(bn=fracan3an+1right. a_{1}=4, \quad a_{n+1}=\\frac{4 a_{n}+3}{a_{n}+2}\\left(b_{n}=\\frac{a_{n}-3}{a_{n}+1}\\right. とおく )
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Q.41

111\n(1) θ=π6,56π \theta=\frac{\pi}{6}, \frac{5}{6} \pi \n(2) π6<θ<23π,56π<θ<43π \frac{\pi}{6}<\theta<\frac{2}{3} \pi, \frac{5}{6} \pi<\theta<\frac{4}{3} \pi
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Q.42

次の三角関数の値を求めなさい。
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Q.43

補 充例題 139 積 \longrightarrow 和, 和 \longrightarrow 積の公式\n(1) \( \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\} \) を証明せよ。\n(2) sinA+sinB=2sinA+B2cosAB2 \sin A+\sin B=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} を証明せよ。
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Q.44

関数 \( y=2 \sin \theta+2 \cos ^{2} \theta-1\left(-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right) \) の最大値・最小値,および最大値・最小値を与える θ \theta の値を求めよ。
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Q.45

次の関数の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの θ \theta の値を求めよ。\n(2135\n(1) \( y=\cos \theta-\sin \theta(0 \leqq \theta<2 \pi) \)\n(2) \( y=\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta(\pi \leqq \theta<2 \pi) \)
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Q.46

次の関数の最大値と最小値を求めよ。また,そのときの θ \theta の値を求めよ。\n(1) \( y=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta(0 \leqq \theta<2 \pi) \)\n(2) \( y=\sin \theta-\cos \theta(\pi \leqq \theta<2 \pi) \)
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Q.47

半角の公式を用いて, 次の値を求めよ。(1) sin38π \sin \frac{3}{8} \pi (2) cos38π \cos \frac{3}{8} \pi (3) tan38π \tan \frac{3}{8} \pi
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Q.48

三角方程式・不等式 (2次式) の解法について考えてみましょう。基本例題 124 のように, 複数の三角関数を含む三角方程式・不等式を解く方法があります。
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Q.49

三角関数の値 (2)
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Q.50

0 \leqq \theta<2 \pi のとき, 次の方程式・不等式を解け。 (1) \cos 2 \theta-3 \cos \theta+2=0 (2) \sin 2 \theta>\cos \theta
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Q.51

(2) sinθ=6±24 \sin \theta=\frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{4} ,\ncosθ=6±24 \cos \theta=\frac{-\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{4} (複号同順)
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Q.52

次の等式を証明せよ。\n(1) \\frac{2 \\sin \\theta \\cos \\theta-\\cos \\theta}{1-\\sin \\theta+\\sin ^{2} \\theta-\\cos ^{2} \\theta}=\\frac{1}{\\tan \\theta} \\n(2) \( (\\tan \\theta-\\sin \\theta)^{2}+(1-\\cos \\theta)^{2}=\\left(\\frac{1}{\\cos \\theta}-1\\right)^{2} \\)
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Q.53

三角関数のグラフ(2)
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Q.54

次の値を, 0 から \\frac{\\pi}{4} \ までの角の三角関数で表せ。(1) \\sin \\frac{5}{9} \\pi \ (2) \\cos \\frac{7}{5} \\pi \ (3) \( \\tan \\left(-\\frac{10}{7} \\pi\\right) \\)
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Q.55

\( f(x) \)=3x^3+ax^2+(3a+4)x とする。 (1) x y平面において, 曲線y=f(x)はaの値が変化しても常に2 つの定点を通る。この 2 つの定点 の座標を求めよ。 (2) f(x)が極値をとらないようなa の値の範囲を求めよ。
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Q.56

次の三角関数の公式を証明しなさい。
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Q.57

140 \quad\n¥( \theta=\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{3}{4} \pi, \frac{5}{4} \pi, \frac{5}{3} \pi, \frac{7}{4} \pi \)
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Q.58

加法定理\n加法定理 複号同順とする。\n\( \sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \)\n\( \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \)\n\( \tan (\alpha \pm \beta)=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \)
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Q.59

次の値を求めよ。\n(1) \(2 \sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+\sin (\pi-\beta)+\cos \left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)+2 \cos (\pi-\alpha)\)\n(2) \( \sin \left(-\frac{\pi}{5}\right) \cos \frac{3}{10} \pi+\sin \frac{7}{10} \pi \cos \frac{6}{5} \pi \)
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Q.60

次の式を \( r \sin (\theta+\\alpha) \) の形に表せ。ただし, r>0,pi<alphaleqqpi r>0,-\\pi<\\alpha \\leqq \\pi とする。\n(1) costhetasqrt3sintheta \\cos \\theta-\\sqrt{3} \\sin \\theta \n(2) 3sintheta+2costheta 3 \\sin \\theta+2 \\cos \\theta
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Q.61

次の式の値を求めよ。\n(1) cos75cos45 \cos 75^{\circ} \cos 45^{\circ} \n(2) sin75sin45 \sin 75^{\circ} \sin 45^{\circ} \n(3) sin105+sin15 \sin 105^{\circ}+\sin 15^{\circ} \n(4) cos105cos15 \cos 105^{\circ}-\cos 15^{\circ}
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Q.62

OB'=r, OB' と x 軸の正の向きとのなす角を α とすると -4=r cos α, 2=r sin α よって x'=r cos (α ± π/3)=r cos α cos (π/3) ∓ r sin α sin (π/3) =-4 · 1/2 ∓ 2 · (√3)/2=-2 ∓ √3 y'=r sin (α ± π/3)=r sin α cos (π/3) ± r cos α sin (π/3) =2 · 1/2 ± (-4) · (√3)/2=1 ∓ 2√3 したがって, 点 C' の座標は (-2-√3, 1-2√3), (-2+√3, 1+2√3) 点 C' は, 原点が点 A 移るような平行移動によって, 点 C に移る。 よって (a, b)=(4-√3, 2-2√3), (4+√3, 2+2√3)
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Q.63

t = tan(θ/2)(t ≠ ±1) のとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ。 sin θ = 2t / (1+t²), cos θ = (1-t²) / (1+t²), tan θ = 2t / (1-t²)
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Q.64

数学 I\mathbb{I}\nPR\nθ\theta が次の値のとき, sinθ,cosθ,tanθ\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta の値を求めよ。\n(113)\n(1) 134π\frac{13}{4} \pi\n(2) 196π-\frac{19}{6} \pi\n(3) 5π-5 \pi
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Q.65

三角関数の等式の証明
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Q.66

角度をラジアンに変換しなさい。\n(1) -60° = ?\n(2) 210°= ?\n(3) 8/3 π = ?\n(4) -4/5 π = ?
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Q.67

tanθ=34 \tan \theta = \frac{3}{4} のとき, cos2θsin2θ1+2sinθcosθ \frac{\cos ^{2} \theta - \sin ^{2} \theta}{1 + 2 \sin \theta \cos \theta} の値を求めよ。
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Q.68

重要例題を取り組む際の注意点を詳しく述べてください。
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Q.69

(1)ア~クに当てはまるものを,次の各解答群のうちから一つずつ 選べ。ただし, ウウと解答の順序は問わ ない。 ア の解答群: (0) x \sin \alpha (1) \frac{x}{\sin \alpha} (2) x \cos \alpha (3) \frac{x}{\cos \alpha} (4) x \tan \alpha (5) \frac{x}{\tan \alpha} \square (0) \mathrm{OA} (1) \mathrm{OB} (2) \mathrm{OH} (3) \mathrm{AH} クの解答群: (0) \sin \theta (1) -\sin \theta (2) \cos \theta (3) -\cos \theta (2)【Pさんの構想】に基づいて,xを a , b , \alpha , \beta , \gamma を用いて表すと,\square となる。 ケ \square に当てはまるものを,次の(0)~(9)から一つずつ選べ。 (0) a (1) -a (2) b (3) -b (4) a+b (5) -(a+b) (6) a b (7) a^{2}+b^{2} (8) a b(a+b) (9) a^{3}+b^{3} (3)a=1000, b=500, \alpha=30^{\circ}, \beta=45^{\circ}, \gamma=60^{\circ} のとき,山の高さは約 ス \mathrm{m} である。にに最も近い数を,次の(0~3のうちから一つ選べ。 (0) 500 (1) 600 (2) 700 (3) 800
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Q.70

君の成長曲線を描いてみよう。
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Q.71

次の三角比を 45° 以下の角の三角比で表せ。
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Q.72

図(ア)で, \ \\sin \\theta, \\cos \\theta, \\tan \\theta \ の値を求めよ。
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Q.73

0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} のとき, 次の不等式を満たす \theta の値の範囲を求めよ。\n(1) \(\sqrt{2} \sin \theta-1 \leqq 0\n(2) 2 \cos \theta+1>0\n(3) \tan \theta>-1
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Q.74

(1) sinθ=32 \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \n半径 1 の半円周上で, y y 座標が 32 \frac{\sqrt{3}}{2} となる点は,右の図の 2 点 P,Q \mathrm{P}, \mathrm{Q} である。求める θ \theta は\nAOP と AOQ\angle \mathrm{AOP} \text { と } \angle \mathrm{AOQ}\nであるから\nθ=60,120\theta = 60^{\circ}, 120^{\circ}
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Q.75

θ は鋭角とする。sin θ、cos θ、tan θ のうち 1 つが次の値をとるとき,他の 2 つの値を求めよ。(1) sin θ = 12/13
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Q.76

右の図を利用して,次の値を求めよ。 sin 15°, cos 15°, tan 15°
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Q.77

0^{\circ}<\theta<180^{\circ} とする。 4 \cos \theta+2 \sin \theta=\sqrt{2} のとき, \tan \theta の値を求めよ。
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Q.78

0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ} とする。\\sin \\theta, \\cos \\theta, \\tan \\theta のうち 1 つが次の値をとるとき,他の 2 つの值を求めよ。
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Q.79

三角比の相互関係 (1) θ は鋭角とする。 (1) sin θ=3/4 のとき, cos θ と tan θ の値を求めよ。 (2) tan θ=3 のとき, sin θ と cos θ の値を求めよ。
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Q.80

107 0θ180 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} とする。 x x の 2 次方程式 \( x^{2}-(\cos \theta) x+\cos \theta=0 \) が異なる 2 つの実数解をもち, それらがともに 1<x<2 -1<x<2 の範囲に含まれるような θ \theta の値の範囲を 求めよ。
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Q.81

EX (1) θは鋭角とする。tanθ=√7 のとき, (sinθ+cosθ)²の値を求めよ。
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Q.82

(2) cosθ=12 \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \n半径 1 の半円周上で, x x 座標が 12 \frac{1}{\sqrt{2}} となる点は,右の図の点 P \mathrm{P} である。求める θ \theta は\nAOP\angle \mathrm{AOP}\nであるから\nθ=45\theta = 45^{\circ}
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Q.83

次の関数のグラフをかけ。\n(1) y=x24x+2 y=x^{2}-4|x|+2 \n(2) y=x23x4 y=\left|x^{2}-3 x-4\right|
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Q.84

EX (1) sin140circ+cos130circ+tan120circ \\sin 140^{\\circ}+\\cos 130^{\\circ}+\\tan 120^{\\circ} はいくらか。
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Q.85

三角比は,遠くに見えるものまでの距離や高さなど,直接計測することができないものを 計測するために考え出され, その歴史は紀元前にまでさかのぼります。ここでは, 三角比 を用いて山の高さを計算する方法について考察します。\n\nまず,次の問題を考えてみましょう。\nCHECK 3-A 地点 O から山の頂上 \ \\mathrm{M} \ を見上げたときの角度を \ \\alpha, \\mathrm{O} \ から山 の方向を向いたまま \ c \\mathrm{~m} \ 後ろへ下がった地点を \ \\mathrm{C} \ とし,地点 \ \\mathrm{C} \ から頂上 \ \\mathrm{M} \ を見上げたときの角度を \ \\beta \ とする。山の高さを \ x \\mathrm{~m} \ とするとき, \ x \ を \ \\alpha, \\beta \, \ c \ を用いて表せ。ただし,目の高さは無視する。
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Q.86

0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} のとき, 次の不等式を満たす \theta の値の範囲を求めよ。\n(1) \sin \theta>\frac{1}{2}\n(2) \cos \theta \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}\n(3) \tan \theta<\sqrt{3}
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Q.87

(2) 0° < θ < 90° のとき y = 2 tan^2(θ) - 4 tan(θ) + 3
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Q.88

EX (1) cos²20°+cos²35°+cos²45°+cos²55°+cos²70° の値を求めよ。
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Q.89

\n\\[\\text { よって } \\begin{aligned}& \\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\cos ^{2} 55^{\\circ}+\\cos ^{2} 70^{\\circ} \\ = & \\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\sin ^{2} 20^{\\circ} \\ = & \\left(\\sin ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 20^{\\circ}\\right)+\\left(\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}\\right)+\\cos ^{2} 45^{\\circ} \\ = & 1+1+\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^{2}=\\frac{5}{2}\\end{aligned}\\]\n
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Q.90

巻末の「三角比の表」を用いて,次の問いに答えよ。\n(1)図(ア) で, x,y x, y の値を求めよ。ただし,小数第 2 位を四捨五入せよ。\n(2) 図 (イ) で,鋭角 θ \theta のおよその大きさを求めよ。
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Q.91

三角比の値の範囲, 三角比の等式を満たす角 θ の値を求める。
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Q.92

EX (3) (sin⁴θ+4 cos²θ- cos⁴θ+1) / 3(1+ cos²θ) の値を求めよ。
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Q.93

次の関数の最大値・最小値,およびそのときの θ \theta の値を求めよ。\n(1) 0θ180 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \nのとき\ny=4cos2θ+4sinθ+5 y=4 \cos ^{2} \theta+4 \sin \theta+5
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Q.94

徚習 θ は鋭角とする。 sin θ, cos θ, tan θ のうち 1 つが次の値をとるとき, 他の 2 つの値を求めよ。 (1) sin θ=12/13 (2) cos θ=1/3 (3) tan θ=2/√5
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Q.95

(3)余弦定理により \[\begin{array}{c}\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \= \frac{(\sqrt{2})^{2}+2^{2}-(\sqrt{10})^{2}}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\ \end{array}\] A=135A=135^{\circ}
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Q.96

① 三角比の表を参照して、次の問いに答えなさい。θ = 37° のとき、sin θ、cos θ、tan θ の値を求めなさい。
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Q.97

(2)右の図を利用して, \ \\sin 22.5^{\\circ}, \\cos 22.5^{\\circ} \, \\ \\tan 22.5^{\\circ} \\) の値を求めよ
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Q.98

sin15\sin 15^{\circ}, cos15\cos 15^{\circ}, tan15\tan 15^{\circ}, sin75\sin 75^{\circ}, cos75\cos 75^{\circ}, および tan75\tan 75^{\circ} を求めよ。
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Q.99

0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} のとき, 次の等式を満たす θ を求めよ。(6) 3tanθ+1=0 \sqrt{3} \tan \theta+1=0
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Q.00

64 (1) a<2 a<2 のとき x=4 x=4 で最大値 24a+53 -24 a+53 a=2 a=2 のとき x=0,4 x=0,4 で最大値 5 a>2 a>2 のとき x=0 x=0 で最大値 5 (2) a<0 a<0 のとき x=0 x=0 で最小値 5 0a4 0 \leqq a \leqq 4 のとき x=a x=a で最小値 3a2+5 -3 a^{2}+5 a>4 a>4 のとき x=4 x=4 で最小値 24a+53 -24 a+53
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Q.01

補 充例題 119 三角比の 2 次関数の最大・最小 0° ≤ θ ≤ 180° のとき, y=sin^2θ+cosθ-1 の最大値と最小値を求めよ。また, そのときの θ の値を求めよ。
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Q.02

EX 命題「 p \\Longrightarrow q \\lrcorner \ にいて, 条件 p \ を満たすものの集合を P \, 条件 q \ を満たすものの集合を Q \ とす ②13。命題「 \\Longrightarrow q \\lrcorner \ が真であるとき,その対偶について, \\square \ が成り立つ。空欄に当てはまる ものを,次の1つから選べ。\n(1) \\bar{P} \\subset Q \\n(2) \\bar{P} \\subset \\bar{Q} \\n(3) \\bar{Q} \\subset P \\n(4) \\bar{Q} \\subset \\bar{P} \
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Q.03

(6) tanθ+30 \tan \theta+\sqrt{3} \geqq 0 から\n\ntanθ3\n\n\tan \theta \geqq-\sqrt{3}\n\ntanθ=3 \tan \theta=-\sqrt{3} を満たす θ \theta を求める と θ=120 \theta=120^{\circ} \nよって, 図から求める θ \theta の範囲は\n\n0θ<90,120θ180\n\n0^{\circ} \leqq \theta<90^{\circ}, 120^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}\n
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Q.04

次の三角比を求めなさい。\n1. \(\\sin (90^{\circ} + \theta)\)\n2. \(\\cos (90^{\circ} + \theta)\)\n3. \(\\tan (90^{\circ} + \theta)\) \((0^{\circ} \leqq \theta \leqq 90^{\circ})\)
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Q.05

三角比の対称式の値
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Q.06

次の式を簡単にせよ。(2) tan(45° + θ) tan(45° - θ) tan 30° (0° < θ < 45°)
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Q.07

鈍角の三角比の値と式の変形
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Q.08

PR 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} のとき, 次の等式を満たす \theta を求めよ。 (6) \sqrt{3} \tan \theta + 1 = 0
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Q.09

次の三角比の値を,小さい順に並べよ。\n(1) sin35,sin70,sin105,sin140,sin175 \sin 35^{\circ}, \sin 70^{\circ}, \sin 105^{\circ}, \sin 140^{\circ}, \sin 175^{\circ} \n(2) sin29,cos29,tan29 \sin 29^{\circ}, \cos 29^{\circ}, \tan 29^{\circ}
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Q.10

基本列題 108 三角比の相互関係 (鋭角) θ は鋭角とする。(1) sin θ=2/√13 のとき, cos θ と tan θ の値を求めよ。 (2) tan θ=√5/2 のとき, sin θ と cos θ の値を求めよ。
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Q.11

次の式を簡単にせよ。\n(1) \( \left(\cos 110^{\circ}-\cos 160^{\circ}\right)^{2}+\left(\sin 70^{\circ}+\cos 70^{\circ}\right)^{2} \)\n(2) \( \tan ^{2} \theta+\left(1-\tan ^{4} \theta\right)\left(1-\sin ^{2} \theta\right) \)
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Q.12

三角比の相互関係(鋭角)
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Q.13

特別な角の三角比
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Q.14

正弦定理の利用
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Q.15

三角比の応用問題
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Q.16

次の三角比を,それぞれ 0^{\\circ} 以上 90^{\\circ} 以下の角の三角比で表せ。また,その値を三角比の表を用いて求めよ。(1) sin 111^{\\circ}(2) cos 155^{\\circ}(3) tan 173^{\\circ}
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Q.17

問5 (2) ABC \triangle \mathrm{ABC} の内角のうち, 2 番目に大きい角の正接を求めよ。
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Q.18

Q7 (1) cos70+cos100sin160+sin170 \cos 70^{\circ}+\cos 100^{\circ}-\sin 160^{\circ}+\sin 170^{\circ} の値を求めよ。
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Q.19

第4章 図形と計量 161 \nまた tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta} =sin2θ+cos2θcosθsinθ =\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\cos \theta \sin \theta} =125=52 =\frac{1}{-\frac{2}{5}}=-\frac{5}{2} よって tan3θ+1tan3θ \tan ^{3} \theta+\frac{1}{\tan ^{3} \theta} \( =\left(\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}\right)^{3}-3\left(\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}\right) \) \( =\left(-\frac{5}{2}\right)^{3}-3\left(-\frac{5}{2}\right) \) =1258+152=658 =-\frac{125}{8}+\frac{15}{2}=-\frac{65}{8}
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Q.20

三角比の相互関係 (0° <= θ <= 180°)
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Q.21

亘要例題 57 関数の作成 図のような 1 辺の長さが 2 の正三角形 ABC \mathrm{ABC} がある。点 P \mathrm{P} が頂点 A \mathrm{A} を出発し, 毎秒 1 の速さで左回りに辺上を 1 周するとき, 線分 APを 1 辺とする正方形の面積 y y を, 出発後 の時間 x x (秒) の関数として表し,そのグラフをかけ。 ただし,点Pが点Aにあるときは y=0 y=0 とする。
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Q.22

三角比の等式と値
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Q.23

② θ が 75° のとき、tan θ の値を求めなさい。
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Q.24

0θ180 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} とする。 sinθ=13 \sin \theta=\frac{1}{3} のとき, cosθ \cos \theta tanθ \tan \theta の値を求めよ。
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Q.25

PRACTICE 124 124^{\circ} ABC \triangle \mathrm{ABC} において, sinA:sinB:sinC=5:16:19 \sin A: \sin B: \sin C=5: 16: 19 のとき, この三角形の最も大き い角の大きさを求めよ。
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Q.26

次の三角方程式を解け。\n(1) 2sin2θ5cosθ+1=0 2 \sin ^{2} \theta-5 \cos \theta+1=0 \n(2) 2cos2θ+3sinθ3=0 2 \cos ^{2} \theta+3 \sin \theta-3=0 \n(3) sinθtanθ=32 \sin \theta \tan \theta=-\frac{3}{2} \n(4) 2sinθ=tanθ \sqrt{2} \sin \theta=\tan \theta
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Q.27

好奇心が学びにどのように影響するかを考えてみましょう。
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Q.28

問題⑩1\n0θ180 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} とする。 10cos2θ24sinθcosθ5=0 10 \cos ^{2} \theta-24 \sin \theta \cos \theta-5=0 のとき, tanθ \tan \theta の値を求めよ。cosθ=0 \cos \theta=0 は, 10cos2θ24sinθcosθ5=0 10 \cos ^{2} \theta-24 \sin \theta \cos \theta-5=0 を満たさない。 よって cosθ0 \cos \theta \neq 0 すなわち θ90 \quad \theta \neq 90^{\circ}
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Q.29

PR 0θ180 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} のとき, 次の方程式・不等式を解け。\n(118\n(1) 2sin2θcosθ1=0 2 \sin ^{2} \theta-\cos \theta-1=0
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Q.30

余弦定理の利用
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Q.31

次の角の正弦, 余弦, 正接を求めよ。\n(1) 135^{\\circ}\n(2) 150^{\\circ}\n(3) 1 .
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Q.32

ABC \triangle \mathrm{ABC} において, A=α,B=β,C=90 \angle \mathrm{A}=\alpha, \angle \mathrm{B}=\beta, \angle \mathrm{C}=90^{\circ} とするとき, 次の不等式が 成り立つことを証明せよ。 (1) sinα+sinβ>1 \sin \alpha+\sin \beta>1 (2) cosα+cosβ>1 \cos \alpha+\cos \beta>1
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Q.33

三角方程式の解法
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Q.34

以下の三角比の相互関係を証明しなさい: sin2θ+cos2θ=1,tanθ=sinθcosθ,1+tan2θ=1cos2θ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}
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Q.35

PRACTICE 101\n次の関数のグラフをかけ。\n(1) y=x^{2}-3|x|+2\n(2) y=\|2 x^{2}-4 x-6|\n(3) y=|x+1|(x-2)
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Q.36

Q7 (3) sin44 \sin 44^{\circ} と等しいものを, 次のうちから 2 つ選べ。(1) sin46 \sin 46^{\circ} (2) cos46 \cos 46^{\circ} (3) sin136 \sin 136^{\circ} (4) cos136 \cos 136^{\circ}
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Q.37

0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} のとき, 次の等式を満たす θ を求めよ。(4) 2sinθ=2 2 \sin \theta=\sqrt{2}
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Q.38

次の三角比の定義を示しなさい: sinθ=yr,cosθ=xr,tanθ=yx \sin \theta = \frac{y}{r}, \cos \theta = \frac{x}{r}, \tan \theta = \frac{y}{x}