幾何学と測定 - 幾何学的証明 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

基 本例題 121 余弦定理の利用 △ABC において, 次のものを求めよ。 (1) A=60°, b=2, c=3 のとき a (2) a=1, b=√5, c=√2 のとき B (3) a=2, b=√6, B=60° のとき c

円周角の定理の逆について説明してください。

(2) $\triangle \mathrm{ABC}$ の $\angle \mathrm{A}, \angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{C}$ の大きさを, それぞれ $A, B, C$ で表すとき, 等式 \( \left(1 + \tan ^{2} \frac{A}{2}\right) \sin ^{2} \frac{B + C}{2} = 1 \) が成り立つことを証明せよ。

(2) の結果より, 点 Xが辺 $\mathrm{AC}$ を外分する比と点 $\mathrm{Y}$ が辺 $\mathrm{AC}$ を外分する比が等しいから, 点 $\mathrm{X}$ と $\mathrm{Y}$ は一致する。すなわち, 3 直線 $\mathrm{AC}, \mathrm{PQ}, \mathrm{RS}$ は 1 点で交わること がわかる。\n\n太図形描画ソフトを利用して確認してみまし よう。四角形 $\mathrm{ABCD}$ の形を変更しても, 3 直線 $\mathrm{AC}, \mathrm{PQ}, \mathrm{RS}$ は 1 点で交わることがわかりますね。 ただし, ソフトでは, 4 点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$ の位置を動かしてくださ い。

放物線 $y=2 x^{2}$ を $x$ 軸方向に -2 , $y$ 軸方向に 3 だけ平行移動した放物線の方程式は何ですか？

右の図のような, $\mathrm{BC}=\mathrm{BD}$ である四面体 $\mathrm{ABCD}$ において, 点 $\mathrm{A}$ から平面 $\mathrm{BCD}$ に下ろした垂線を $\mathrm{AO}$ とする。点 $\mathrm{O}$ が $\angle \mathrm{CBD}$ の二等分線 $\mathrm{BE}$ 上にあるとき, $\mathrm{AE} \perp \mathrm{CD}$ であることを証明せよ。

EX \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の重心を Gとするとき, \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の辺, 中線およびそれらの延長上にない任意の点 \ \\mathrm{P} \ に対して, 次の等式が成り立つことを証明せよ。\\\mathrm{AP}^{2}+\\mathrm{BP}^{2}+\\mathrm{CP}^{2}=\\mathrm{AG}^{2}+\\mathrm{BG}^{2}+\\mathrm{CG}^{2}+3 \\mathrm{GP}^{2}\

80 半直線 OX に関して点Aと対称な点を A′, 半直線 OY に関して点 B と対称な点 を B′ として, 直線 A′B′ と半直線 OX の交点を P, 直線 A′B′ と半直線 OY の 交点を Q とすればよい

・ $\\triangle \\mathrm{ABC}$ において, 外心Oの, 辺 BC, CA, ABに関する対称点をそれぞれ $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}$ とするとき, Oは $\\triangle \\mathrm{PQR}$ の垂心であることを証明せよ。

EX 図のように立方体の隣接する 3 つの面 $\mathrm{\\ABCD}, \mathrm{\\BEFC}, \mathrm{\\CFGD}$ 上にそれぞれ縦横等間隔の線を描き，その線の上を通ることができるとする。次のそれぞれの場合に最短距離で通る道順は何通りあるかを求めよ。(1) 面(\mathrm{\ABCD) 上で Aから C へ行く場合 (2) 面(\mathrm{\ABCD}, \mathrm{\BEFC}) 上でAからFへ行く場合 (3) 面(\mathrm{\ABCD}, \mathrm{\BEFC}, \mathrm{\CFGD}) 上でAからFへ行く場合

右の図で、A, B, C, D の境目がはっきりするように、赤, 青, 黄, 白の4色の絵の具で塗り分けるとき （1）すべての部分の色が異なる場合は何通りあるか。 （2）同じ色を2回使ってもよいが、隣り合う部分は異なる色とする場合は何通りあるか。

点 A で外接している 2 つの円がある。一方の円の周上の点 $\mathrm{B}$ における接線が，他方の円と 2 点 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ で 交わるとき, $\mathrm{AB}$ は $\angle \mathrm{CAD}$ の外角の二等分線であることを証明せよ。

PR ∆ABC において, 次の等式が成り立つことを証明せよ。 (1) (b-c) sin A+(c-a) sin B+(a-b) sin C=0 (2) c( cos B- cos A) =(a-b)(1+ cos C)

円周角の定理を説明してください。

円Oの弦 $\mathrm{AB}$ と，その端点Aにおける接線 AT が作る角 $\angle \mathrm{BAT}$ は，その角の内部にある弧 $\mathrm{AB}$ に対する円周角 $\angle \mathrm{ACB}$ に等しいことを示せ。

第3章 図形の性質 PRACTICE の解答 64 (1) 9 (2) 21/4 65 略 66 (1) α=100° (2) α=60°, β=30°

円の周上に3点A,Q,Bがあり，点Pが直線ABに関して点Qと同じ側にあるとき，次の命題を背理法を用いて証明せよ。\n \\angle \\mathrm{APB} > \\angle \\mathrm{AQB} \\Longrightarrow \ 点 \ \\mathrm{P} \ は円の内部にある。

正方形 PQRS を、三角形 ABC の頂点を基にして作図せよ。

PR (3) 放物線 y=\frac{1}{2} x^{2} を平行移動した曲線で, 点 (1,5) を通り, 頂点が直線 y=-x+2 上にある放物線の方程式を求めよ。

EX $\triangle \mathrm{ABC}$ の頂点 $\mathrm{A}$ における内角の二等分線と, 頂点 $\mathrm{B}$ における外角の二等 60 分線と, 頂点Cにおける外角の二等分線は 1 点で交わることを証明せよ。

直線 $\mathrm{AG}$ は $\angle \mathrm{BAC}$ の外角の二等分線である。半直線 BA の延長上の点を H とすると、以下の等式を証明せよ：\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\angle \\mathrm{DAG} & =\\angle \\mathrm{DAC}+\\angle \\mathrm{CAG} \\\\\n& =\\frac{1}{2} \\angle \\mathrm{BAC}+\\frac{1}{2} \\angle \\mathrm{CAH} \\\\\n& =\\frac{1}{2}(\\angle \\mathrm{BAC}+\\angle \\mathrm{CAH}) \\\\\n& =\\frac{1}{2} \\cdot 180^{\\circ}=90^{\\circ}\n\\end{aligned}\n\\]

線分ABとその上の定点Pがある。このとき, 線分ABを斜辺とする直角三角形ABCを作り, 線分AC上に点Q, 線分BC上に点Rを, 四角形PQCRが正方形になるようにとって, 正方形PQCRを作図せよ。

図のように、円に内接する $\triangle \mathrm{ABC}$ の $\angle \mathrm{A}$ の外角 $\angle \mathrm{CAD}$ の二等分線が円と再び交わる点を $\mathrm{E}$, 辺 $\mathrm{BC}$ の延長と交わる点を $\mathrm{F}$ とする。 $\mathrm{AE} = \mathrm{AC}$ であるとき, $\mathrm{BE} = \mathrm{CF}$ であることを証明せよ。

等式 a^2 + b^2 = c^2 に関する証明問題

原点を通り, 直線 y=x となす角が 15° である直線は2本引ける。これらの直線の方程式を求めよ。

PR $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \mathrm{AD} \neq \mathrm{BC}$ である台形 $\mathrm{ABCD}$ において, 辺 $\mathrm{AD}, \mathrm{BC}$ を等しい 比 $m: n$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ とする。このとき, 3 直線 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CD}, \mathrm{PQ}$ は, 1 点で交わることを証明せよ。

EX 右の図のような, BC=BD である四面体 ABCD において, 点 A から平面 BCD に下ろした垂線を AO とする。点 O が \angle CBD の二等分線 BE 上にあるとき, AE \perp CD であることを証明せよ。

接弦定理の逆 $\triangle \mathrm{TAB}$ の辺 $\mathrm{AB}$ の延長上に点 $\mathrm{P}$ がある。 $\mathrm{PT}^{2}=\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}$ が成り立つとき,直線PT は A, B, T を通る円に接することを示せ。

比（長さ）を求める問題のポイント (2)キーワード: 重心 → 3本の中線は重心によって2: 1に内分されることを利用 参照例題: 基本例題 70 (4)キーワード: 円，直線，接線 → 方べきの定理を利用 参照例題: 基本例題 89

PR 右の図のように, $\angle B=90^{\circ}$ である $\triangle ABC$ の辺 BC 上に点Dを取る (282 (DはB, Cとは異なる)。次に $\angle ADE=90^{\circ}, \angle DAE=\angle BAC$ となるように, 点Eを取る。このとき, 4 点 A, D, C, E は1つの円周上にあることを証明せよ。

EX $\triangle \mathrm{ABC}$ の $\angle \mathrm{A}$ の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ との交点 $\mathrm{D}$, 辺 $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{AB}$ : $\mathrm{AC}$ に内分する。このことを, 次の 2 つの方法により, それぞれ証明せよ。\n(1) 頂点Cを通る, 直線 $\mathrm{AB}$ に平行な直線と直線 $\mathrm{AD}$ の交点を $\mathrm{E}$ とするとき, $\triangle \mathrm{ABD}$ と $\triangle \mathrm{ECD}$ に着目する。\n(2) 点Dから直線 $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ に垂線を下ろし, $\triangle \mathrm{ABD}$ と $\triangle \mathrm{ACD}$ の面積に着目する。

参考（5）の１，３以外の選択肢について。まず, 3 点 D, A, P は 1 つの直線上にあるから, これらの 3 点を含む 場合, 1 つの円周上にない。よって, 点 A, P を含む0, ⑫不適で ある。次に, 解答から，4点 D, A, C, E は1つの円周上にある(右上の図)。 ゆえに, △DAE の外接円は点 C を通るから, 点 Fを通ることはない。 よって, ③不適である。同様に, △DCE の外接円は点Aを通るから, 点Fを通ることはない。よって, ④は不適である。同じように, 4 点 D, C, P, Q を通る円 (右下の図)に注目することで, (5), が不適であることがわかる。

長さlの線分と, 1点Oから出る2つの半直線a, bがある。a上の点Aにおいてaに接し，かつbから長さlの線分を切り取る円を作図せよ。

66・ $\triangle \mathrm{ABC}$ の重心をGとするとき, $\triangle \mathrm{ABC}$ の辺，中線 およびそれらの延長上にない任意の点 $\mathrm{P}$ に対して,次の等式が成り立つことを証明せよ。\n$\mathrm{AP}^{2}+\mathrm{BP}^{2}+\mathrm{CP}^{2}=\mathrm{AG}^{2}+\mathrm{BG}^{2}+\mathrm{CG}^{2}+3 \mathrm{GP}^{2}$

三角形の角の二等分線と比

EX \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 外心 \\mathrm{O} \, 辺 \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA}, \\mathrm{AB} \ に関する対称点をそれぞれ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R} \ とするとき, \\mathrm{O} \ は \\triangle \\mathrm{PQR} \ の垂心であることを証明せよ。

PR $\angle \mathrm{B}=90^{\circ}$ の $\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$ 上に点 $\mathrm{P}$ をるとき, $\mathrm{AB}<\mathrm{AP}<\mathrm{AC}$ であることを証明せよ。

基本 例題 67 三角形の外心と垂心 $\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{L}, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ とする。 $\triangle \mathrm{ABC}$ の 外心Oは $\triangle$ LMN の垂心であることを, 次の 3 つのことを示すことにより証明せよ。ただし， $\triangle \mathrm{ABC}$ は鋭角三角形または鈍角三角形とする。 $\mathrm{OL} \perp \mathrm{NM}, \mathrm{ON} \perp \mathrm{LM}, \mathrm{OM} \perp \mathrm{LN}$

PR右の図の A, B, C, D, E 各領域を色分けしたい。隣合った領域には異なる色を用い，指定された数だけの色は全部用いなければならない。塗り分け方はそれぞれ何通りか。 (1) 5 色を用いる場合 (2) 4 色を用いる場合 (3) 3 色を用いる場合

PRACTICE $84^{\\circ}$\n$\\triangle \\mathrm{ABC}$ の外接円と $\\angle \\mathrm{BAC}$ の二等分線との交点を $\\mathrm{M}$ とするとき, $\\mathrm{MA} = \\mathrm{MB} + \\mathrm{MC}$ ならば $\\mathrm{AB} + \\mathrm{AC} = 2 \\mathrm{BC}$ であることを, トレミーの定理を用いて証明せよ。

右の図のように, $\triangle \mathrm{ABC}$ の外部に 3 点 $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ を $\triangle \mathrm{ABD}, \triangle \mathrm{BCE}$, $\triangle \mathrm{CAF}$ がそれぞれ正三角形になるようにとる。\n$\triangle \mathrm{ABC}$ の面積を $S, 3$ 辺の長さを $\mathrm{BC}=a, \mathrm{CA}=b, \mathrm{AB}=c$ とおく とき，次の問いに答えよ。\n(1) $\angle \mathrm{BAC}=\theta$ とおくとき, $\sin \theta$ を $b, c, S$ を用いて, $\cos \theta$ を $a$, $b, c$ を用いて表せ。\n(2) $\mathrm{DC}^{2}$ を $a, b, c, S$ を用いて表せ。ただし,一般に \( \cos \left(\theta+60^{\circ}\right)=\frac{\cos \theta-\sqrt{3} \sin \theta}{2} \) が成り立つことを用いてもよい。\n(3）３つの正三角形の面積の平均を $T$ とおくとき， $\mathrm{DC}^{2}$ を $S$ と $T$ 用いて表せ。

車要例題 72 共点問題\n \\mathrm{AD} / / \\mathrm{BC} \ である台形 \\mathrm{ABCD} \ において，辺 \\mathrm{BC}, \\mathrm{DA} \ を等しい比 m ： n \ に内分する点をそれぞれ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ とする。このとき, 3 直線 \\mathrm{AC}, \\mathrm{BD}, \\mathrm{PQ} \ は1点で交わることを証明せよ。\np. 361 基本事項 2

右の図のように, $\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円上の点 $\mathrm{P}$ から直線 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CA}$ に、それぞれ垂線 $\mathrm{PD}, \mathrm{PE}, \mathrm{PF}$ を下ろす。このとき, 次のことを証明せよ。 (1) $\angle \mathrm{PBD} = \angle \mathrm{PEF}$ (2) 3 点 D, E, F は 1 つの直線上にある。 （この直線をシムソン線という）

右の図のように, $\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$ の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ の外側に, 正三角形 $\mathrm{BAD}$ と正三角形 $\mathrm{ACE}$ を作る。線分 $\mathrm{CD}$ と線分 $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{P}$ とするとき, 4 点 $\mathrm{C}, \mathrm{E}, \mathrm{A}, \mathrm{P}$ は 1 つの円周上にあることを証明せよ。

PR 右の図の P 地点から Q 地点に至る最短経路について次のことを満たす経路の総数を求めます。 （1）A地点を通る経路は何通りあるか。 （2）B地点を通る経路は何通りあるか。ただし，C地点は通れないものとする。

樹形図の利用

次の問題において、重心の性質と中線の関係を使いながら解答してください。 (1) 2本の中線に着目し、それが重心に関係することを示せ。 (2) 重心の性質「2:1の内分」を利用して、面積比を求めよ。

右の図のように, 円の弦 $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ の交点 $\mathrm{E}$ から $\mathrm{BC}$ に平行な直線を引き，線分 $\mathrm{AD}$ の延長との交点を $\mathrm{F}$ とする。 また，Fからこの円に接線 FGを引く。このとき， $\mathrm{FG}=\mathrm{EF}$ であることを証明せよ。

三角形 ABC の辺 BC, CA, AB またはその延長が、三角形の頂点を通らない直線 l とそれぞれ点 P, Q, R で交わるときに、メネラウスの定理を使って次を示せ。

図形の性質における重要定理についての問題を考えてみましょう。以下の図形の性質を用いて、指定された問題に対する証明を行います。

基本例題 82 円周角の定理の逆\n右の図で，L，M，N はそれぞれ，円に内接する 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の辺 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{AD}$ の中点である。 また, 直線 $M L$ と直線 DAの交点を $\mathrm{P}$, 直線 $\mathrm{NL}$ と直線 $\mathrm{CB}$ の交点を $\mathrm{Q}$ とする。このとき, 4 点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ は1つの円周上にあることを 証明せよ。

EX \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 辺 \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA}, \\mathrm{AB} \ に関して, 内心 \\mathrm{I} \ と対称な点をそれぞれ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R} \ とするとき, \\mathrm{I} \ は \\triangle \\mathrm{PQR} \ についてはどのような点か。

垂直二等分線: 点 \\mathrm{P} \ が線分 \\mathrm{AB} \ の垂直二等分線上にある。 \\Leftrightarrow \ 点 \\mathrm{P} \ が 2 点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ から等距離にある。

円の外部の 1 点 $\mathrm{P}$ からその円に引いた 2 本の接線の長さが等しいことを証明せよ。

63 重心と垂心が一致する $\triangle \mathrm{ABC}$ は正三角形であることを証明せよ。

基本例題 66 最大・最小の文章題 (1) BC=18, CA=6 である直角三角形 ABC の斜辺 AB 上に点 D とり, D から辺 BC, CA にそれぞれ垂線 DE, DF を下ろす。 △ADF と △DBE の面積 の合計が最小となるときの線分 DE の長さと, そのときの面積を求めよ。

右の図のように, 三角形 $\mathrm{ABC}$ がある。正方形 $\mathrm{PQRS}$ を,線分 $\mathrm{BC}$ 上に辺 $\mathrm{QR}$ があり, 頂点 $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{AB}$ 上, 頂点 $\mathrm{S}$ が線分 AC 上にあるように作図せよ。

図のような半円Oを，弦を折り目として折る。このとき，折られた弧の部分が直径上の点P・おいて, 直径に接するような折り目の線分ABを作図せよ。

直線 $\mathrm{AB}$ が $\triangle \mathrm{BDF}$ の外接円の接線であることを導く。

3直線AB, CD, PQが1点で交わることを証明せよ。ヒント: ABとPQの交点、CDとPQの交点が一致することを示す。

右の図は 30 人の生徒に対して理科のテ ストを行った結果の得点を箱ひげ図にし たものである。この箱ひげ図のもとになった得点をヒストグラムにしたとき，対応するものを次の０～２）から選べ。

EX右の図のように, \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の外接円上の点 \ \\mathrm{P} \ から直線 \ \\mathrm{AB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA} \ に, そ ⑦7 れぞれ垂線 PD, PE, PF を下ろす。このとき, 次のことを証明せよ。\n(1) \ \\angle \\mathrm{PBD}=\\angle \\mathrm{PEF} \\n(2) 3 点 D, E, F は 1 つの直線上にある。 (この直線をシムソン線という)\nHINT (1) 補助線 BP, CP を引いて, 円に内接する四角形を作る。\n(2) \ \\angle \\mathrm{DEP}+\\angle \\mathrm{PEF}=180^{\\circ} \ を示せばよい。

図から \n\ \\angle \\mathrm{ABD} \\n\\( =180^{\\circ}-\\left(58^{\\circ}+70^{\\circ}\\right) \\)\n\ =52^{\\circ} \\nよって \n\ \\angle \\mathrm{ABD}=\\angle \\mathrm{ACD} \\n\nゆえに, 4 点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C}, \\mathrm{D} \ は 1 つの円周上 にある。

4 点 A, B, P, Q が 1 つの円周上にあるための条件を円周角の定理を使って示せ。

角の二等分線: 点 \\mathrm{P} \ が \\angle \\mathrm{ABC} \ の二等分線上にある。 \\Leftrightarrow \ 点 \\mathrm{P} \ が 2 直線 \\mathrm{BA}, \\mathrm{BC} \ から等距離にある。

基本例題 83 四角形が円に内接することの証明\n右の図のように, 鋭角三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点 $\mathrm{A}$ から $\mathrm{BC}$ に下ろした垂線を $\mathrm{AD}$ とし, Dから $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ に下ろ した垂線をそれぞれDE，DF とするとき，B，C，F， Eは1つの円周上にあることを証明せよ。

PRACTICE 68\n鋭角三角形 $\mathrm{ABC}$ の垂心を $\mathrm{H}$, 外心を $\mathrm{O}$ とし, 辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$, 線分 $\mathrm{AH}$ の中点を $\mathrm{N}$ とする。線分 $\mathrm{MN}$ の長さは $\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円の半径に等しいことを, $\mathrm{AH}=2 \mathrm{OM}$ が成り立つことを用いて証明せよ。

PR $\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円と $\angle \mathrm{BAC}$ の二等分線との交点を $\mathrm{M}$ とするとき, $\mathrm{MA} = \mathrm{MB} + \mathrm{MC}$ ならば 84$\mathrm{AB} + \mathrm{AC} = 2 \mathrm{BC}$ であることを、トレミーの定理を用いて証明せよ。

三角形ABCの重心をGとする時、次の等式が成り立つことを証明せよ。AB² + BC² + CA² = 3(AG² + BG² + CG²)

EX: AB=AC である二等辺三角形 ABC の底辺 BC 上に 2 点 F, G をとり, 三角形 ABC の外接円の弦 AFD, AGE を引くとき, 次のことを証明せよ。 (1) AB² = AF * AD (2) 4 点 D, E, F, G は 1 つの円周上にある。

$\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\angle \mathrm{A}=\alpha, \angle \mathrm{B}=\beta, \angle \mathrm{C}=90^{\circ}$ とするとき, 次の不等式が 成り立つことを証明せよ。\n(1) $\sin \alpha + \sin \beta > 1$\n(2) $\cos \alpha + \cos \beta > 1$

長さ a, b の線分が与えられたとき, 2 次方程式 x^{2}+a x-b^{2}=0 の正の解を 長さとする線分を作図せよ。

三角形 ABC の辺長 a, b, c の値に関係なく、T₁ = T₂ = T₃ であることを示せ。

三角形 $\\mathrm{ABC}$ において, 辺 $BC$ の中点を $M$ とするとき, 等式 \( \\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2}=2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) \) (中線定理) を証明せよ。(防衛大)

PRACTICE 72®\n \\mathrm{AD} / / \\mathrm{BC}, \\mathrm{AD} \\neq \\mathrm{BC} \ である台形 \\mathrm{ABCD} \ において, 辺 \ \\mathrm{AD}, \\mathrm{BC} \ を等しい比 \ m \ : \ n \ に内分する点をそれぞれ \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ とする。このとき, 3 直線 \ \\mathrm{AB}, \\mathrm{CD}, \\mathrm{PQ} \ は, 1 点で交わることを証明せよ。

メネラウスの定理\n定理 $11 \triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ またはその延長が，三角形の頂点を通らない1つ の直線とそれぞれ点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ で交わるとき\n\\n\\frac{\\mathrm{BP}}{\\mathrm{PC}} \\cdot \\frac{\\mathrm{CQ}}{\\mathrm{QA}} \\cdot \\frac{\\mathrm{AR}}{\\mathrm{RB}}=1 \n\

例題 87 接弦定理を用いた証明問題 図のように, 大きい円に小さい円が点Tで接している。点 Sで小さい円に接する接線と大きい円との交点を A, B とするとき, $\angle \mathrm{ATS}$ と $\angle \mathrm{BTS}$ が等しいことを証明せよ。[神戸女学院大] [p. 394 基本事項 2] C HART & 7 HINKING 接線と弦には接弦定理 点Tにおける 2 つの円の接線と, 補助線 $\mathrm{SP}$ (Pは線分 AT と小さい円との交点) を引き, 接弦定理を利用する。接弦定理を用いて, 結論にある $\angle \mathrm{ATS}$ や $\angle \mathrm{BTS}$ と等しい角にどんどん印をつけていき、三角形の角の和の性質に関連付けて証明することを目指そう。 点Tにおける接線を引き, 図のように点Cを定める。また，線分AT と小さい円との交点をPとし, 点 $\mathrm{S}$ と点 $\mathrm{P}$ を結ぶ。 接点 $\mathrm{T}$ 対して, 接線 $\mathrm{TC}$ は小さい円，大きい円の共通接線であるから $\angle \mathrm{ATC} = \angle \mathrm{TSP} = \angle \mathrm{TBS}$ 接点 $S$ に対して, 接線 $A B$ は小さい円の接線であるから $\angle \mathrm{ASP} = \angle \mathrm{ATS}$ $\triangle \mathrm{TSB}$ において \[\begin{array}{ll} & \angle \mathrm{BTS} + \angle \mathrm{TBS} = \angle \mathrm{AST} \\ ここで & \angle \mathrm{AST} = \angle \mathrm{ASP} + \angle \mathrm{TSP} \\ よって & \angle \mathrm{BTS} + \angle \mathrm{TBS} = \angle \mathrm{ASP} + \angle \mathrm{TSP}\end{array}\] (1), (3) から $\angle \mathrm{BTS} = \angle \mathrm{ASP}$ ゆえに, (2)から $\angle \mathrm{BTS} = \angle \mathrm{ATS}$

右の図のように, Oを中心とする扇形 $\mathrm{OAB}$ がある。正方形 $\mathrm{PQRS}$ を，線分 $\mathrm{OA}$ 上に辺 $\mathrm{QR}$ があり, 頂点 $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{OB}$ 上，頂点 $\mathrm{S}$ が弧 $\mathrm{AB}$ 上にあるように作図せよ。

三角形の 3 つの内角の二等分線は 1 点で交わることをチェバの定理の逆を用いて証明せよ。

閫 5 (1) 正弦定理 a/sin A = b/sin B = c/sin C から a:b:c = sin A:sin B:sin C 条件から sin A:sin B:sin C = 7:5:3 よって a:b:c = 7:5:3 ゆえに, a = 7k, b = 5k, c = 3k (k > 0) と 表される。よって, a > b > c であるから A > B > C したがって, ∠A が最も大きい内角である。余弦定理により cos A = (5k)^2 + (3k)^2 - (7k)^2 / 2 ⋅ 5k ⋅ 3k = -15k^2 / 30k^2 = -1/2 よって, 求める角の大きさは A = 120°

振迤り図形の面積の考方方 ここまで面積を求める問題がたくさんありましたが，考え方の ポイントを教えてください。 定理や公式を利用するだけでなく, 図形をいくつかの三角形に分割 したり, 図形の量を 2 通りに表したりすることがポイントです。 図形をいくつかの三角形に分割する 与えられた辺の長さや角の大きさの条件を活かすには, どのように分割するのがよいか を見極めよう。 例 四角形 ABCD の面積 ( p.213 例題 132 (1))対角線 AC か BD で分割し，2つの三角形に分ける。 3 つの角が 30°, 60°, 90° または 45°, 45°, 90° の直角三角形 が出てくるときは, 辺の比 1: √3: 2 や 1: 1: √2 を利用 するのもよい。 例 正八角形の面積 (p.213 例題 132(2)) 正八角形を 8 個の合同な三角形に分ける。 → 正多角形は，外接円の中心と頂点を結ぶ線分で分割する。 15 図形の量を２通りに表す 線分の長さなどを求める際に, 面積などの同じ図形の量を 2 通りに表すことができれば, その等式から求めたいものが得られる。 例 角の二等分線の長さ ( p.214 例題 133) ∠A の二等分線 AD の長さを x として, △ABC の面積を 2 通りに表す。 例 内接円の半径 ( p.218 例題 136) 内接円の半径を r として, △ABC の面積を 2 通りに表す。 1/2 bc sinA = 1/2 r(a+b+c) このような考え方は, これから学習する空間図形でも用いられるので,意識しながら学習を進めましょう。

角度を求める問題のポイント (2)キーワード: 内心 → 角の二等分線を利用 参照例題: 基本例題 69 (4)キーワード: 円，接線 → 接弦定理を利用 参照例題: 基本例題 86

PR 円Oに, 円外の点 $\mathrm{P}$ から接線 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ を引き, 線分 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{PO}$ の交点 $\mathrm{M}$ 30 を通る円Oの弦 $\mathrm{CD}$ を引く。このとき, 4 点 $\mathrm{P}, \mathrm{C}, \mathrm{O}, \mathrm{D}$ は1つの円周上にあることを証明せよ。ただし，C，D は直線ＰO上にないものとす る。

円Oの周上および円の内部にそれぞれ定点 $\mathrm{A}, \mathrm{M}$ が与えられている。いま, $\mathrm{M}$ を通る弦 $\mathrm{PQ}$ を引て, $\mathrm{AM}$ が $\angle \mathrm{PAQ}$ の二等分線となるようにしたい。そのような弦 $\mathrm{PQ}$ を作図せよ。

点 $\mathrm{P}$ で外接する 2 つの円 $\mathrm{O}, \mathrm{O}^{\prime}$ の共通外接線の接点をそれぞれ C，，とする。$\mathrm{P}$ を通る直線と 2 つの円 $\mathrm{O}, \mathrm{O}^{\prime}$ との交点をそれぞれ $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ とすると $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$ であることを証明せよ。

円Oの周上および円の内部にそれぞれ定点A, Mが与えられている。いま，点Mを通る弦PQを引いて，AMが∠PAQの二等分線となるようにしたい。そのような弦PQを作図せよ。

ド・モルガンの法則\n全体集合 U の部分集合 A, B について\n\ \\overline{A \\cap B}=\\bar{A} \\cup \\bar{B}, \\quad \\overline{A \\cup B}=\\bar{A} \\cap \\bar{B} \\quad \ (ド・モルガンの法則)\nが成り立つ。このことを，図を用いて確かめよ。

ベン図を使いこなして, 例題 49 を攻略！

TRAINING 73 (2)\n長さが１の線分 \\mathrm{AB} \ と長さが a, b \ の線分が与えられたとき, 長さが \\frac{b}{3 a} \ の線分を作図 せよ。

鋭角三角形 PQR の辺 QR, RP, PQ の中点を、それぞれ A, B, C とするとき、ΔABC の垂心と ΔPQR の外心は一致することを証明せよ。 ΔABC の頂点 A, B, C から対辺に引いた垂線をそれぞれ AD, BE, CF とする。

TRAINING 25 右の図の A, B, C, D, E 各領域を色分けしたい。隣り合った領域には異なる色を用いて塗り分けるとき, 塗り分け方はそれぞれ 何通りか。 (1) 4 色以内で塗り分ける。 (2) 3 色で塗り分ける。

右の図のような, 鋭角三角形 $\mathrm{ABC}$ の内部に, $2 \mathrm{PQ}=\mathrm{QR}$ である長方形 $\mathrm{PQRS}$ を, 辺 $\mathrm{QR}$ が辺 $\mathrm{BC}$ 上,頂点 $\mathrm{P}$ が辺 $\mathrm{AB}$ 上, 頂点 $\mathrm{S}$ が辺 $\mathrm{CA}$ 上にあるように作図せよ(作図の方法だけ答えよ)。

B 3^3 4^4 AB=5, BC=6, CA=4 である ΔABC において, ∠B の外角の二等分線と ∠C の外角の二等分線の交点を P とする。(2) 直線 AP は ∠A を 2 等分することを証明せよ。

ひし形の周の長さを $l \mathrm{~cm}$ とすると \n\\[\n\\begin{aligned}\n\\left(\\frac{l}{4}\\right)^{2} & =\\left(\\frac{x}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{10-x}{2}\\right)^{2} \\\\l^{2} & =4\\left\{x^{2}+(10-x)^{2}\\right\} \\\\& =8\\left(x^{2}-10 x+50\\right) \\\\\n& =8\\left(x^{2}-10 x+5^{2}-5^{2}\\right)+8 \\cdot 50 \\\\\n& =8\\left(x^{2}-10 x+5^{2}\\right)-8 \\cdot 5^{2}+400 \\\\\n& =8(x-5)^{2}+200\n\\end{aligned}\\] \n(1)の範囲において, $l^{2}$ は,$x=5$ のとき最小値 200 をとる。 $l>0$ であるから, $l^{2}$ が最小のとき, $l$ も最小となる。 よって, $l$ は $x=5 \mathrm{~cm}$ のとき最小値 \( \sqrt{200}=10 \sqrt{2}(\mathrm{~cm}) \) を とる。\n \ \\leftarrow \ 三平方の定理。 \ \\Leftarrow \ この断り書きは重要。

EX右の図で, △ABC, △CDE はともに正三角形で, 3 つの頂点 B, C, D は一直線上にある。 AD と BE との交点を F とするとき, 4 点 A, B, C, F は１つの円周上にあることを証明せよ。

命題を証明する方法として対偶や背理法を学びましょう。次の命題を背理法で証明してください。「12個のお菓子をA, B, Cの3人で分けるとき、少なくとも1人は4個以上もらう。」

右の図のA, B, C, D, E各領域を色分けしたい。隣り合った領域に異なる色を用いて塗り分けるとき，塗り分け方はそれぞれ何通りか。(2) 3色で塗り分ける。

題目 永さが比の值, 積て表された線分の作図\n長さが 1 の線分 \\mathrm{AB} \ と長さが a, b \ の線分が与えられたとき:\n(1) 長さが \\frac{a}{b} \ の線分を作図せよ。\n(2) 長さが 2 a b \ の線分を作図せよ。

接線の長さ・接弦定理を振り返ろう！

鋭角三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ から対辺に下ろした垂線を $\mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ とし， $\mathrm{BE}$ と $\mathrm{CF}$ の交点を Hとする。直線 $\mathrm{AH}$ と 辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とするとき, $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ であることを証明せよ。

三角形の角に関する等式の証明

四角形 ABCD は円に内接し, AB=4, BC=2, DA=DC である。対角線 AC, BD の交点を E, 線分 AD を 2: 3 の比に内分する点を F, 直線 FE, DC の交点を Gとする。(2) 直線 AB が点 G を通る場合について考える。このとき, 三角形 AGD の辺 AG 上に点 B があるから, BG= = である。また, 直線 AB と直線 DC が点 G で交わり, 4 点 A, B, C, D は同一円周上にあるから, DC= である。

証明 $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\angle \mathrm{B}$ の二等分線と $\angle \mathrm{C}$ の二等分線の交点 をI とし, I から辺 BC, CA, AB に引いた垂線をそれぞれ IP, $\mathrm{IQ}, \mathrm{IR}$ とすると $\quad \mathrm{IR}=\mathrm{IP}, \mathrm{IP}=\mathrm{IQ}$ よって $\quad \mathrm{IR}=\mathrm{IQ}$ さなわち $\mathrm{IP}=\mathrm{IQ}=\mathrm{IR}$ ゆえに, 点 I は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線上にもある。したがって, $\triangle \mathrm{ABC}$ の 3 つの内角の二等分線は 1 点 I で交わる。 この三角形の 3 つの内角の二等分線が交わる点 を, 三角形の内心といい, 内心を中心として 3 辺に接する円を内接円という。

[TRAINING 83] 右の図のような, Oを中心とする扇形 $\mathrm{OAB}$ の内部に正方形 $\mathrm{PQRS}$ を，辺 $\mathrm{QR}$ が線分 $\mathrm{OA}$ 上，頂点 $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{OB}$ 上，頂点 $\mathrm{S}$ が弧 $\mathrm{AB}$ 上にあるように作図せよ(作図の方法だけ答えよ)。

色の塗り分け（平面）。 発展 25 色の塗り分け（平面）。

与えられた線分 $\mathrm{AB}$ を $3: 2$ に内分する点を作図せよ。

■ 作図 線分 AB の垂直二等分線の作図 (1) 2 点 A, B をそれぞれ中心として, 等しい半径の円をかき, 2 つの円の交点を C, D とする。 (2) 直線 CD を引く。

次の (1), (2) それぞれについて, 指示に従って線分 AD の長さを求めよ。\n(1) $\\triangle \\mathrm{ABC}$ において, $\\angle \\mathrm{A}=60^{\\circ}, \\mathrm{AB}=2, \\mathrm{AC}=1+\\sqrt{3}$ であるとき, 三角形の面積について, $\\triangle \\mathrm{ABC}=\\triangle \\mathrm{ABD}+\\triangle \\mathrm{ADC}$ であることを利用する。\n(2) $\\triangle \\mathrm{ABC}$ において, $a=6, b=5, c=7$ であるとき, 角の二等分線の性質 \\mathrm{BD}: \\mathrm{DC}=\\mathrm{AB} \ : $\\mathrm{AC}$ を利用する。

EX右の図のように, 半径の異なる 2 つの円が点Aで接している。内側の円に { }^{3} 30 \点 \\mathrm{D} \ で接する直線を引き, 外側の円との交点を \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ とする。このとき, \\mathrm{AD} \ は \\angle \\mathrm{BAC} \ を 2 等分することを証明せよ。

発 例題 25 色の遂り分け(平面) 右の図の 5 つの領域 A, B, C, D, E を，隣り合う領域 が異なる色になるように塗り分ける方法は何通りあるか。 （1）赤，青，黄の 3 色をすべて使って塗る場合 （2）赤，青，黄，緑，紫の 5 色のうち 3 色を使って塗る場合

TR全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について，次の等式が成り立つことを，図を用いて確かめよ。 \n \\[ \\overline{(\\bar{A} \\cap B)}=A \\cup \\bar{B} \\] \n\ \\bar{A} \\cap B \ は, [図 1]の斜線部分であるから, \\( \\overline{(\\bar{A} \\cap B)} \\) は[図 2 ] の斜線部分である。これは \ A \\cup \\bar{B} \ と一致するから 〔図1〕 〔図2〕 \nCHART \n集合 図に表す ↔図をかいて, \\( \\overline{(\\bar{A} \\cap B)} \\) が表す部分と \ A \\cup \\bar{B} \ が表す部分が一致する ことを確かめる。

EX \\triangle \\mathrm{ABC} \ とその外接円があり, 辺 \\mathrm{BC} \ 上に点 \ \\mathrm{D} \ を \\angle \\mathrm{BAD}=\\angle \\mathrm{CAD} \ となるようにとる。また, 点Aにおける円の接線と直線 \\mathrm{BC} \ との交点を \ \\mathrm{P} \ とする。このとき, \ \\mathrm{PA}=\\mathrm{PD} \ であることを証明せよ。

右の図のような, \ \\mathrm{O} \ を中心とする扇形 \ \\mathrm{OAB} \ の内部に正方形 \ \\mathrm{PQRS} \ を, 辺 \ \\mathrm{QR} \ が線分 \ \\mathrm{OA} \ 上, 頂点 \ \\mathrm{P} \ が線分 \ \\mathrm{OB} \ 上, 頂点 \ \\mathrm{S} \ が弧 \ \\mathrm{AB} \ 上 にあるように作図せよ(作図の方法だけ答えよ)。

右の図のA, B, C, D, E各領域を色分けしたい。隣り合った領域に異なる色を用いて塗り分けるとき，塗り分け方はそれぞれ何通りか。(1) 4色以内で塗り分ける。

交わる 2 つの円 $\mathrm{O}, \mathrm{O}^{\prime}$ において, 共通な弦 $\mathrm{AB}$ 上の点 \mathrm{P} \ を通る円 \ \\mathrm{O} \ の弦を \ \\mathrm{CD} \, 円 \ \\mathrm{O}^{\\prime} \ の弦を \ \\mathrm{EF} \ とするとき, 4 点 C, D, E, F は1つの円周上にあることを証明せよ。ただし， 4 点 C, D, E, Fは一直線上にないものとする。

正四面体 ABCD において，次が成り立つことを証明せよ。 (ア) 辺 AD の中点を M とすると AD ⊥ (平面 MBC ) (イ) AD ⊥ BC

平面 α と α 上に直線 ℓ がある。 α 上にない点 A, ℓ 上の点 B, および α 上にあるが ℓ 上にな い点Ｏについて，次が成り立つことを示せ。 OB ⊥ ℓ, AB ⊥ ℓ, OA ⊥ OB ならば OA ⊥ α

2 点 \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ で交わる 2 つの円 \\mathrm{O}, \\mathrm{O}^{\\prime} \ がある。点 \\mathrm{P} \ を通る直線が円 \\mathrm{O}, \\mathrm{O}^{\\prime} \ と交わる点をそれぞれ A, B とし，2 点 $\\mathrm{A}$, \\mathrm{Q} \ を通る直線が円 \\mathrm{O}^{\\prime} \ と交わる点を C とする。点 \\mathrm{A} \ における円Oの接線を \\mathrm{AD} \ とすると, \\mathrm{AD} / / \\mathrm{BC} \ であることを証明せよ。

P から直線 BC, AC に垂線を下ろし，それぞれの交点を E, F とする。三角形 PBD≡三角形 PBE, 三角形 PCE≡三角形 PCF, 三角形 PAD≡三角形 PAF を利用して, AD を AB, BC, CA を用いて表す。

右の図において， x, y, z を求めよ。ただし， ℓは円 Oの接線であり，点 A は接点である。また，(2)では ∠ABD=∠CBD である。

右の図のように, 2 点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ で交わる 2 つの円 $\mathrm{O}, \mathrm{O}^{\prime}$ がある。点 $\mathrm{P}$ における円 $\mathrm{O}$ の接線と円 $\mathrm{O}^{\prime}$ の交点を $\mathrm{A}$, 直線 $\mathrm{AQ}$ と円 Oの交点を $\mathrm{B}$,直線 $\mathrm{BP}$ と円 $\mathrm{O}^{\prime}$ の交点を $\mathrm{C}$ とする。このとき $\mathrm{AC}=\mathrm{AP}$ であること を証明せよ。

右の図のように, 2 点 \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ で交わる 2 つの円 \\mathrm{O}, \\mathrm{O}^{\\prime} \ がある。点P おおる円 O の接線と円 \\mathrm{O}^{\\prime} \ の交点を \\mathrm{A} \, 直線 \\mathrm{AQ} \ と円 \\mathrm{O} \ の交点を \\mathrm{B} \, 直線 \\mathrm{BP} \ と円 \\mathrm{O}^{\\prime} \ の交点を Cとする。このとき \\mathrm{AC} = \\mathrm{AP} \ であることを証明せよ。

チェバの定理の逆 $\triangle \mathrm{ABC}$ の内接円と 3 辺 $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ との接点を，それぞれ $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ とする とき, 3 直線 $\mathrm{AP}, \mathrm{BQ}, \mathrm{CR}$ は 1 点で交わる。このことを, チェバの定理の逆 を用いて証明せよ。

円周上に 3 点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{Q}$ があり，点 $\mathrm{P}$ が直線 $\mathrm{AB}$ に関して点 $\mathrm{Q}$ と 同じ側にあるとき，次が成り立つことを示しなさい。\n1. 点 $\mathrm{P}$ が円の周上にある⇒ $\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{AQB}$\n2. 点 $\mathrm{P}$ が円の内部にある⇒ $\angle \mathrm{APB}>\angle \mathrm{AQB}$\n3. 点 $\mathrm{P}$ が円の外部にある⇒ $\angle \mathrm{APB}<\angle \mathrm{AQB}$

全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について, 次の等式が成り立つことを, 図を用いて確かめよ。\n\\[\n\\overline{(\\bar{A} \\cap B)}=A \\cup \\bar{B}\n\\]

■ 角 AOB の二等分線の作図 (1) 点 O を中心とする適当な半径の円をかき, 半直線 OA, OB との交点をそれぞれ C, D とする。 (2) 2 点 C, D をそれぞれ中心として, 等しい半径の円をかき, 2 つの円の交点の 1 つを Eとする。 (3) 半直線 OE を引く。

次の図において, α, β を求めよ。ただし, ℓ は円 O の接線であり, 点 A は接点 である。また, (3) では PQ // CB である。\n(1)\n(2)\n(3)\nCHART 接線と三角形に注目し 接弦定理\n(2) ∠CAB の大きさは円周角の定理で求められる。\n(3) PQ // CB から ∠ABC=∠BAQ\n（1）直線 ℓ 上に点 D を右の図のように とると\n\n∠BAD =∠OAD-∠OAB\n=90°-20°=70°\n\nよって α=∠BAD=70°

■ 平行線の作図 (*)のあとに PQに対する垂線を作図することで， l と平行な直線が作れる。

243 㟥考 $\triangle \mathrm{ABC}$ の $\angle \mathrm{A}$ の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とするとき \n\\n\\mathrm{AD}^{2}=\mathrm{AB} \\cdot \\mathrm{AC}-\\mathrm{BD} \\cdot \\mathrm{DC}\n\\nが成り立つ。\nLecture 角の二等分線の性質 $\triangle \mathrm{ABC}$ の $\angle \mathrm{A}$ の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする。このとき，次の関係が成り立つことを例題（2）で利用した。\n\\n\\mathrm{BD}: \\mathrm{DC}=\\mathrm{AB}: \\mathrm{AC}\n\\n三角形の面積比を 2 通りに表して,（*)を証明してみよう。\n証明 頂点Aから辺 BC またはその延長に垂線 AHを下ろす。\n\ \\triangle \\mathrm{ABD} \ と \ \\triangle \\mathrm{ADC} \ は, 底辺をそれぞれ辺 \\mathrm{BD}, \\mathrm{DC} \ とすると,高さは \\mathrm{AH} \ で共通となるから\n\ \\triangle \\mathrm{ABD}: \\triangle \\mathrm{ADC}=\\mathrm{BD}: \\mathrm{DC} \\leftarrow \\\n 等高なら底辺の比\n一方, \( \\angle \\mathrm{BAD}=\\angle \\mathrm{DAC}=\\theta とすると\n\\n\\begin{aligned}\n\\triangle \\mathrm{ABD}: \\triangle \\mathrm{ADC} & =\\frac{1}{2} \\mathrm{AB} \\cdot \\mathrm{AD} \\sin \\theta: \\frac{1}{2} \\mathrm{AD} \\cdot \\mathrm{AC} \\sin \\theta \n& =\\mathrm{AB}: \\mathrm{AC} \n\\text { よって } \\quad \\mathrm{BD}: \\mathrm{DC} & =\\mathrm{AB}: \\mathrm{AC}\n\\end{aligned}\n\\n角の二等分線が関係する問題では, 性質 \( \\(*) \\) が有効なことが多い。

■ 線分 PQ の垂線の作図 (1) 点 P を中心とする適当な半径の円をかき, 直線 l との交点 を A, Bとする。 (2) 2 点 A, B をそれぞれ中心として, 等しい半径の円をかき, その 2 つの円の交点の 1 つを Q とする。 (3) 直線 PQ を引く。

次のことをチェバの定理の逆を用いて証明せよ。 （1）三角形の 3 つの中線は 1 点で交わる。 （2）三角形の 3 つの角の二等分線は 1 点で交わる。

右の図のように, 半径の異なる 2 つの円が点 A で接して いる。内側の円に点 D で接する直線を引き，外側の円と の交点を $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ とする。このとき, $\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{BAC}$ 等分することを証明せよ。

点 P(2,3,1) と xy 平面， yz 平面， zx 平面に関して対称な点をそれぞれ D, E, F とする。3 点 D, E, F の座標を求めよ。

等しい円周角に対する弧の長さは等しいという性質を証明しなさい。

与えられた線分 $\mathrm{AB}$ と $5: 1$ に外分する点を作図せよ。

点 \\mathrm{P}\ で内接する 2 つの円がある。右の図のように、点 \\mathrm{P}\ を通る 2 本の直線と、外側の円との交点を \\mathrm{A}, \\mathrm{B}\、内側の円との交点を \\mathrm{C}, \\mathrm{D}\ とする。このとき、\\mathrm{AB}\ と \\mathrm{CD}\ は平行であることを証明せよ。

右の図で, 点 I は $\triangle \mathrm{ABC}$ の内心である。次のものを求めよ。\n(1) $\alpha$\n(2) CI : ID

TRAINING 64\n（1）右の四角形 \\mathrm{ABCD} \ のうち円に内接するも のはどれか。\n（2）鋭角三角形 \\mathrm{ABC} \ の辺 \\mathrm{BC} \ 上に点 \\mathrm{D} \ (点 \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ とは異なる)をとり, 点 D から辺 \\mathrm{AB}, AC \ にそれぞれ垂線 DE，DF を引く。このとき，四角形 AEDF は円に内接することを証明せよ。

定理 17 「2 つの線分 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{CD}$, または $\mathrm{AB}$ の延長と $\mathrm{CD}$ の延長の交点を $\mathrm{P}$ と するとき, $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}$ が成り立てば, 4 点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ は 1 つの円周上にある。」（方べきの定理の逆）を証明せよ。

証明 $\angle \mathrm{BAT}=\angle \mathrm{ACB}$ を証明する。\n[1] $\angle \mathrm{BAT}$ が直角のとき\n$\mathrm{BA}$ は円の直径となるから, $\angle \mathrm{ACB}$ も直角である。よって $\angle \mathrm{BAT}=\angle \mathrm{ACB}$\n[2] $\angle \mathrm{BAT}$ が鋭角のとき\n直径 $\mathrm{AD}$ を引く。 $\angle \mathrm{DAT}=90^{\circ}$ であるから\n$\angle \mathrm{BAT}=90^{\circ}-\angle \mathrm{BAD}\n\angle \mathrm{ACD}=90^{\circ} であるから\\\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}-\angle \mathrm{BCD}\n$\nここで, $\angle \mathrm{BAD}, \angle \mathrm{BCD}$ はともに $\overparen{\mathrm{BD}}$ に対する円周角である から $\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{BCD}$\n(1) 〜(3) から $\angle \mathrm{BAT}=\angle \mathrm{ACB}$\n[3] $\angle \mathrm{BAT}$ が鈍角のとき\n直径 $\mathrm{AD}$ を引く。 $\angle \mathrm{DAT}=90^{\circ}$ であるから\n$\angle \mathrm{BAT}=90^{\circ}+\angle \mathrm{BAD}\n$\n \angle \mathrm{ACD}=90^{\circ} であるから\n\(\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}+\angle \mathrm{BCD}\n\nここで, $\angle \mathrm{BAD}, \angle \mathrm{BCD}$ はともに $\overparen{\mathrm{BD}}$ に対する円周角であるから\n$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{BCD}$\n(4) （6) から $\angle \mathrm{BAT}=\angle \mathrm{ACB}$\n[1]〜[3] から, $\angle \mathrm{BAT}$ が直角, 鋭角, 鈍角のいずれのときも $\angle \mathrm{BAT}=\angle \mathrm{ACB}$\nなお, $\angle \mathrm{CAS}=\angle \mathrm{ABC}$ も同様にして証明できる。\nまた，接弦定理はその逆も成り立つことが知られている。

右の図において, $\\angle \\mathrm{CAD}=\\angle \\mathrm{EBC}$ であるから，四角形 $\\mathrm{ABDE}$ は円に内接する。よって, 円周角の定理により, \\angle \\mathrm{ADE}= \\angle \\mathrm{ABE}\ である。また, \\angle \\mathrm{BEC}=90^{\\circ}, \\angle \\mathrm{ADC}= 90^{\\circ} \ であるから, 四角形 CEHD は円に内接する。\ \\angle \\mathrm{HEC} + \\angle \\mathrm{HDC} =180^{\\circ} \\n\n対角の和が $180^{\\circ}$ であるから，四角形 CEHDは円に内接する。

異なる 3 直線 $\ell, m, n$ について, $\ell / / m, m / / n$ ならば $\ell / / n$ である。この性質を証明してください。

証明 $\triangle \mathrm{ABC}$ において, 辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{D}$, 辺 $\mathrm{AC}$ の中点を $\mathrm{E}$ とすると $\quad \mathrm{DE} / / \mathrm{BC}, \quad \mathrm{DE}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$。三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分を，三角形の中線という。三角形の 3 本の中線に注目すると, 次の性質がある。定理 5 三角形の 3 本の中線は 1 点で交わり, その点は各中線を $2: 1$ に内分する。

与えられた線分 $\mathrm{AB}$ を $1: 4$ に内分する点を作図せよ。

鋭角三角形 $\mathrm{ABC}$ の内心を $\mathrm{I}$ とし，直線 $\mathrm{BI}, \mathrm{CI}$ が辺 $\mathrm{AC}, \mathrm{AB}$ と交わる 点をそれぞれ $\mathrm{E}, \mathrm{D}$ とする。 $\mathrm{DE} / / \mathrm{BC}$ ならば $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ であることを証明せよ。

426 発 例 題 81 折れ線の長さの最小値 $\mathrm{AB}=2, \mathrm{BC}=4$ である長方形 $\mathrm{ABCD}$ において, 辺 $\mathrm{CD}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。辺 $\mathrm{BC}$ 上を点 $\mathrm{P}$ が動くとき, $\mathrm{AP}+\mathrm{PM}$ の最小値を求めよ。

■チェバの定理 定理 6: 三角形 ABC の内部に点 O がある。頂点 A, B, C と O を結ぶ直線が向かい合う辺と、それぞれ点 P, Q, R で交わるとき $\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

座標平面上の3点A(-2,-2), B(2,6), C(5,-3)について: (1) 線分ABの垂直二等分線の方程式を求めよ。 (2) △ABCの外心の座標を求めよ。

第3章 図形と方程式 97 （2）直線 $\mathrm{BC}$ を $x$ 軸に, 点 $\mathrm{D}$ を通り 直線 BC に垂直な直線を $y$ 軸にと ると, 点Dは原点 $\mathrm{O}$ にな, \( \mathrm{A}(a, b), \mathrm{B}(-3 c, 0), \mathrm{C}(2 c, 0) \) と表すことができる。 このとき $2 \mathrm{AB}^{2}+3 \mathrm{AC}^{2}$ \[ =2\left\{(-3 c-a)^{2}+(-b)^{2}\right\}+3\left\{(2 c-a)^{2}+(-b)^{2}\right\} \\ =5 a^{2}+5 b^{2}+30 c^{2} \\ =5\left(a^{2}+b^{2}+6 c^{2}\right) \] また \[ 3 \mathrm{AD}^{2}+2 \mathrm{BD}^{2} & =3\left\{(-a)^{2}+(-b)^{2}\right\}+2(3 c)^{2} \\ & =3\left(a^{2}+b^{2}+6 c^{2}\right) \cdots \cdots(2) \] (1), (2) から \( 3\left(2 \mathrm{AB}^{2}+3 \mathrm{AC}^{2}\right)=5\left(3 \mathrm{AD}^{2}+2 \mathrm{BD}^{2}\right) \)

POINT 定理や公式, 重要な性質をまとめた。

図の斜線部分は、どのような不等式で表せるか。以下の手順で示せ。\n\n(1) 円 $x^{2}+y^{2}=4$ の外部を領域 $A$、円 \( (x-2)^{2}+y^{2}=1 \) の内部を領域 $B$、$x$ 軸の上側を領域 $C$ とすると、与えられた図の斜線部分は $A \cap B \cap C$ である。求める不等式を示せ。\n\n(2) 放物線 $y=x^{2}-1$ の上側を領域 $A$、下側を領域 $B$、放物線 $y=-x^{2}+1$ の上側を領域 $C$、下側を領域 $D$ とすると、与えられた図の斜線部分は \( (A \cap C) \cup (B \cap D) \) である。求める不等式を示せ。

77 (2) \ -2x^{2} - 1 < 0 \ であるから，求める面積を求めよ

基本例題 74 座標を利用した証明 (2), 垂心\n座標平面上の 3 点 \( \\mathrm{O}(0,0), \\mathrm{A}(2,5), \\mathrm{B}(6,0) \\) を頂点とする \\triangle \\mathrm{OAB} \ の各頂点 から対辺に下ろした 3 つの垂線は 1 点で交わることを証明せよ。

PRACTICE 74\n xy \ 平面上に 3 点 \( \\mathrm{A}(2,-2), \\mathrm{B}(5,7), \\mathrm{C}(6,0) \\) がある。 \\triangle \\mathrm{ABC} \ の各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ（この交点は、 \\triangle \\mathrm{ABC} \ の外接円の中心であり外心といいます）。

PR $x y$ 平面上に 3 点 \( \mathrm{A}(2,-2), \mathrm{B}(5,7), \mathrm{C}(6,0) \) がある。 $\triangle \mathrm{ABC}$ の各辺の垂直二等分線は 1 点で交わることを証明せよ(この交点は, $\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円の中心であり外心という)。 HINT 線分 AC の垂直二等分線と線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線の交点が, 線分 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線上に あることを示す。

EX平面上の 2 点 (5,0) および (3,6) から, 直線 ℓ に下ろした垂線の長さが等しいとき, 直線 ℓ の方程式を求めよ。ただし，直線 ℓ は原点を通るものとする。[青山学院大]

次の不等式の表す領域を図示せよ。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}3 x+2 y-2 \geqq 0 \\ (x+2)^{2}+(y-2)^{2}<4\end{array}\right. \) (2) \( \left\{\begin{array}{l}y \leqq-x^{2}+4 x+1 \\ y \leqq x+1\end{array}\right. \) (3) $1 \leqq x^{2}+y^{2} \leqq 3$

平面上の2点 (5,0) および (3,6) から、直線 l に下ろした垂線の長さが等しいとき、直線 l の方程式を求めよ。ただし、直線 l は原点を通るものとする。

円の方程式と直線の方程式から y を消去してできる x の 2 次方程式 a x^{2}+b x+c=0 の判別式 D=b^{2}-4 a c による円と直線の位置関係を求めなさい。

△ABCの辺BCの中点をMとするとき, AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) (中線定理)が成り立つことを証明せよ。

$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ の上に, それぞれ点 $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ をとり, $\mathrm{BD}: \mathrm{DC}=\mathrm{CE}: \mathrm{EA}=\mathrm{AF}: \mathrm{FB}$ となるようにするとき, $\triangle \mathrm{DEF}$ の重心と $\triangle \mathrm{ABC}$ の重心は一致することを証明せよ。

迤り円の接線の方程式の求め方\n例題 91 や 92 で円の接線の方程式を求める方法がたくさん 出てきました。どのように使い分ければよいのでしょうか。大きく分けると，接点の座標を活用する方法1と活用しない方法2 があります。詳しく見ておきましょう。

第3章 図形と方程式\n2 直線 (1)，(2) が垂直であるための条件は\n-3 \cdot\left(-\\frac{1}{a}\\right)=-1 これを解いて a=\\uparrow-3\n別解 2 直線 (1), (2) が平行であるための条件は\n\3 \\cdot a-1 \\cdot 1=0 よって a=\\frac{1}{3}\\n2 直線 (1), (2) が垂直であるための条件は\n\3 \\cdot 1+1 \\cdot a=0 よって a=\\uparrow-3\\n垂直 \\Leftrightarrow 傾きの積が -1\\hookleftarrow 2 直線\na_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 と\na_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0 が\n平行 \\Leftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=0\n垂直 \\Leftrightarrow a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=0

放物線 $y=x^{2}$ 上の点 $P$ から 2 直線 $y=x-1, y=5 x-7$ にそれぞれ垂線 $PQ, PR$ を下ろしたとき、点 $P$ がこの放物線上を動くとき、長さの積 $PQ \cdot PR$ の最小値を求めよ。また、そのときの点 $P$ の座標を求めよ。

3 点 \( \mathrm{A}(a,-1), \mathrm{B}(1,3), \mathrm{C}(4,-2) \) が同じ直線上にあるとき, 定数 $a$ の値を求めよ。

直線の方程式には以下の形式があります：\n1. 傾きが $m$ で切片が $n$ の場合： $y = mx + n$\n2. 点 \( (p, 0) \) を通り、x 軸に垂直な場合： $x = p$\n一般形： $ax + by + c = 0$ （ここで a, b, c は定数で、 $a \neq 0$ または $b \neq 0$）\n\nまた、次のような条件で直線の平行・垂直を考えます:\n1. 2直線 $y=m_{1} x + n_{1}$ と $y = m_{2} x + n_{2}$ が平行である条件: $m_{1} = m_{2}$\n2. 2直線が垂直である条件: $m_{1} m_{2} = -1$\n\n次の一般形の直線 $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ と $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ について、平行・垂直条件を求めよ。\n平行条件: \n垂直条件:

△ABCの重心をGとするとき, AB^2 + BC^2 + CA^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC^2)が成り立つことを証明せよ。

第3章 図形と方程式\n121\n直線 2x - y + 3 = 0 に関して点 Q と対称な点を P とする。点 Q が直線 3x + y - 1 = 0 上を動くとき、点 P の軌跡を求めよ。

図形と方程式 103 別解 x+y-4=0, 2x-y+1=0 を連立させて解くと, この2直線の交点の座標は (1,3) よって, 2点 (1,3),(-2,1) を通る直線の方程式は y-3=\frac{1-3}{-2-1}(x-1) すなわち 2x-3y+7=0 （2） k を定数とするとき、次の方程式(1) は、2直線の交点を通る直線を表す。 k(x-2y+2)+(x+2y-3)=0 すなわち (k+1)x-2(k-1)y+2k-3=0 直線 (1)' は直線 5x+4y+7=0 と垂直であるから 5(k+1)+4\{-2(k-1)\}=0 ゆえに -3k+13=0 よって k=\frac{13}{3} 求める直線の方程式は, k=\frac{13}{3} を (1) に代入して \frac{16}{3}x-2 \cdot \frac{10}{3}y+\frac{26}{3}-3=0 すなわち 16x-20y+17=0 別解 x-2y+2=0, x+2y-3=0 を連立させて解くと, この2直線の交点の座標は \left(\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right) この点を通り, 直線 5x+4y+7=0 に垂直な直線の方程式は y-\frac{5}{4}=\frac{4}{5}\left(x-\frac{1}{2}\right) すなわち 16x-20y+17=0

PRACTICE 224°\n2 曲線 \( y=x^{3}-(2 a+1) x^{2}+a(a+1) x, y=x^{2}-a x \) が囲む 2 つの部分の面積が等しく なるように, 正の定数 $a$ の値を定めよ。[類 立教大]

点 \\( \\mathrm{P}(4,2) \\) を, 点 \\( \\mathrm{A}(2,5) \\) を中心として \ \\frac{\\pi}{3} \ だけ回転させた点 \ \\mathrm{Q} \ の座標を求めよ。

2直線の交点を通る直線 交わる2直線 (a₁)x+(b₁)y+c₁=0 ...(A), (a₂)x+(b₂)y+c₂=0 ...(B) に対し、k を定数とすると、方程式 k(a₁x+b₁y+c₁)+a₂x+b₂y+c₂=0 は、2直線の交点 P を通る直線を表す。

次の不等式の表す領域を，それぞれ xy平面に図示せよ。 (1) |2x+5y| ≤ 4 (2) |x| + |y+1| ≤ 2

3直線 x - y + 1 = 0, 2x + y - 2 = 0, x + 2y = 0 で作られる三角形の面積を求めよ。

114 (1) △ABC において, 次の等式が成り立つことを証明せよ。 (b²+c²-a²) tan A=(c²+a²-b²) tan B

三角形の辺の長さと三角比との関係を表すもので，次のようなものもある。$\triangle \mathrm{ABC}$ において\n\(\begin{array}{l}\u2028a=c \cos B+b \cos C, \u2028b=a \cos C+c \cos A, \u2028c=b \cos A+a \cos B \quad \text { が成り立つ。 }\u2028\end{array}\)\n証明 $a=c \cos B+b \cos C$ を示す。\n[1] $0^{\circ}<C<90^{\circ}$ のとき頂点 A から辺 BC に垂線 $\mathrm{AH}$ を下ろすと$\begin{aligned}a & =\mathrm{BC}=\mathrm{BH} + \mathrm{HC} \u2028& =c \cos B+b \cos C\end{aligned}$\n[2] $C=90^{\circ}$ のとき[2] $\cos B=\frac{a}{c}, \cos C=0$ であるから,[3]\[\begin{array}{l}\mathrm{BH}=c \cos B \mathrm{CH}=b \cos \left(180^{\circ}-C\right)=-b \cos C\u2028\end{array}\]\nであるから$a=\mathrm{BH}-\mathrm{HC}=c \cos B+b \cos C$\nである。\n\( \begin{array}{l} \text { また, } \mathrm{BH}=c \cos B \mathrm{CH}=b \cos \left(180^{\circ}-C\right)=-b \cos C \ \text { であるから } a=\mathrm{BH}-\mathrm{HC}=c \cos B+b \cos C \ \text { 上より, } a=c \cos B+b \cos C \text { が成り立つ。 }\end{array} \)\n$\qquad$ [3] $90^{\circ}<C<180^{\circ}$ のとき頂点 $\mathrm{A}$ から直線 BC に垂線 $\mathrm{AH}$ を下ろすと$a=\mathrm{BC}=\mathrm{BH}-\mathrm{HC}$\n以上より, $a=c \cos B+b \cos C$ が成り立つ。\n$b=a \cos C+c \cos A, c=b \cos A+a \cos B$ も同様に示すことができる。これを第 1 余弦定理, p.248の2を第 2 余弦定理ということがある。上の証明のように, 三角形の 1 つの頂点から対辺に垂線を下ろすことで, 直ちに示すこと ができる。この定理を記憶してもよいが，すぐに導けるようにしておくとよいだろう。

三角形ABCの内角A, B, Cのそれぞれの大きさを示す等式を証明せよ。

次の用語の関連するページを示しなさい。①条件 ②推移律(不等式) ③接点

三角形 ABC の面積を S とすると次の公式が成り立ちます。以下の証明をしてみましょう。\n\n(1) $S=\frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} c a \sin B = \frac{1}{2} a b \sin C$\n(2) ヘロンの公式： $2s=a+b+c$ とすると \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

EX (2) ∆ABC の内角 ∠A, ∠B, ∠C の大きさを、それぞれ A, B, Cで表すとき, 等式 (1+tan²(A/2))sin²((B+C)/2)=1 が成り立つことを証明せよ。

問題3 空間図形と測量 Pさん, QさんとT先生の3人は東西に流れる川の向こうに見える山の高さを計測しようとしている。3人の会話を読み，次の問いに答えよ。 T先生：今日は，川の向こうに見える山の高さを計測してみましょう。Pさん : 川の向こうの山の高さなんて,わかるのですか？Qさん：山に登るのは大変そうですが....... T先生：実際に山に登るわけではありません。3人で協力して求めます。今いる地点をOとしましょう。Pさんは地点Oから西へa m進んだ地点Aから,Qさんは東へb m進んだ地点Bから,そして,私はこの地点Oから山の頂上を見上げたときの角度を測定します。後は，計算で山の高さを求められます。 Qさん：三角比の考えを使うのでは？以前の授業で似た問題に取り組んだと思います。 T先生：そうですね。三角比を利用して求めます。では，実際に計測に行く前に，Pさん, Qさん，私がそれぞれ計測した角度をα, β, γ，山の高さをx mとして,xとa, b, α, β, γを用いて表すことができるかどうか,図をかいて考えてみましょう。考えやすいように，目の高さは無視するものとし，山の頂上をM, 頂上から地平に引いた垂線と地平との交点をHとして考えてみてください。 次のようなPさんの構想で，xはa, b, α, β, γを用いて表すことができる。【Pさんの構想】 △MAHにおいて,∠MAH=α, MH ⊥ AH, MH=x からAH= 同様に, BH, OHもそれぞれβ, γ, およびxを用いて表せる。∠HOA=θとして, △OAHにおいて余弦定理を用いると ²=²+²-2cosθ 同様に, △OBHにおいて余弦定理を用いると オ²=カ²+キ²-2カキ cos(180°-θ) cos(180°-θ)=クであるから, (1) × b+ (2) × aによりθを消去すれば, xとa, b, α, β, γの式ができる。 これを整理すると，xをa, b, α, β, γを用いて表すことができる。

（3）右の図のように，正十二角形を対角線によって 12 個の合同な三角形に分 け, 3 点 $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$ をとると $\angle \mathrm{AOB}=360^{\circ} \div 12=30^{\circ}$ \n$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=a$ とすると, $\triangle \mathrm{OAB}$ にお いて, 余弦定理により \nすなわち \(\quad 1=(2-\sqrt{3}) a^{2}\) \nゆえに \(\quad a^{2}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}\)\nよって S=12 \triangle \mathrm{OAB}=12 \cdot \frac{1}{2} a^{2} \sin 30^{\circ}=3(2+\sqrt{3})