モンスタークエスト:AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
幾何学と測定
幾何学と測定 - 相似と合同 | AIチューター ヤロウゼ、宿題!
Q.01
碁本列題 107 三角比の応用問題\nある建物の高さを測るため, その建物から 離れた地点で高さ の位置から建物の上端 の仰角を測ったところ であった。\n巻末の三角比の表を利用して,次の問いに答えよ。\n(1)この建物の高さを求めよ。ただし, 未満を四捨五入せよ。\n(2)この建物から 離れた地点から,上と同様に測った点 の仰角の大きさを求めよ。
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Q.02
EX \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, \\angle \\mathrm{C}=90^{\\circ}, \\mathrm{AB}: \\mathrm{AC}=5: 4 \ とする。辺 \\mathrm{BC} \ の点 \\mathrm{C} \ 側の延長上に, \\mathrm{CA}=\\mathrm{CD} \ 376 となる点 \\mathrm{D} と る 。 \ 辺 \\mathrm{AB} \ の中点を \\mathrm{E} \ とし, 点 \\mathrm{B} \ から直線 \\mathrm{AD} \ に下ろした垂線を \\mathrm{BF} \ とすると き,次の問いに答えよ。\n(1) \ \\mathrm{EF}=\\mathrm{EC} \ を示せ。\n(2)面積比 \ \\triangle \\mathrm{ABC}: \\triangle \\mathrm{CEF} \ を求めよ。\n[宮崎大]
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Q.03
65 正三角形でない の外心を O, 重心を G, 垂心を H とするとき, G は線分 上にあって, となることを, 以下に従って証明せよ。\n(1) 辺 BC の中点を , 線分 GH, AG の中点をそれぞれ とするとき, 四角形 OLMN は平行四辺形になることを証明せよ。ただし, であることを利用してよい。\n(2) 点 は線分 上にあることを証明せよ。\n(3) を証明せよ。
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Q.07
近くの公園に円形のプールがある。ある日,このプールの広さを測定しようと考え,私と友人は巻尺とチョークを持って出かけた。プールの縁の 3 カ所にチョークで印を付け、それぞれを A, B, C とした。AB, BC, CA の水平距離を測定すると,それぞれ であった。1. の正弦,余弦,正接の値を求めよ。2. このプールの面積を求めよ。(鳥取大)
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Q.08
図において, \ \\mathrm{AR}: \\mathrm{RB}=3: 2, \\mathrm{BP}: \\mathrm{CP}=5: 3 \ のとき\n\ \\mathrm{CQ}: \\mathrm{QA} \ を求めよ。
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Q.09
PRACTICE 108
θ は鋭角とする。 sin θ, cos θ, tan θ のうち 1 つが次の値をとるとき, 各場合につい て残りの 2 つの三角比の値を求めよ。
(1) sin θ=5/13
(2) cos θ=2/3
(3) tan θ=2√2
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Q.12
数学 I
PR において, とする。ただし, である。
(1) とするとき, と の値を で表せ。
(2) の面積の最大値と,そのときの の値を求めよ。
[類 東北学院大]
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Q.13
数学 PR 右の図のように, 円に内接する四角形 の辺 の延長 93 の交点を , 辺 の延長の交点を とする。また, か らこの円に接線 をく。このとき, であ ることを証明せよ。
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Q.15
チェバの定理\n定理 の 3 頂点 と, 三角形の辺上にもその延長上にもない点Oを結ぶ直線が,辺 またはその延長と交わるとき,交点をそれぞれ とすると\n\\n\\frac{\\mathrm{BP}}{\\mathrm{PC}} \\cdot \\frac{\\mathrm{CQ}}{\\mathrm{QA}} \\cdot \\frac{\\mathrm{AR}}{\\mathrm{RB}}=1\n\
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Q.16
112๑ において, とする。このとき, ア である。更に, 辺 の長さが 1 であるとき, の面積はイ である。
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Q.17
365
筫本列題 65 角の二等分線と比の利用
の の二等分線が辺 と交わる点を, それぞれ とする。 ならば, となることを証明せよ。
p. 361 基本事項 2
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Q.18
三角形の辺と角の大小関係\n定理\n14\n1. 一つの三角形において\n 1. 大きい辺に向かい合う角は, 小さい辺に向かい合う 角より大きい。\n 2. 大きい角に向かい合う辺は, 小さい角に向かい合う 辺より大きい。\nすなわち \ \\mathrm{AB}<\\mathrm{AC} \\Leftrightarrow \\angle \\mathrm{C}<\\angle \\mathrm{B} \
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Q.19
半径 5,8 の円 , が点Aで外接しているとき, この 2 円の共通外接 4 82線が円 と接する点を , C とする。また, BA の延長と円 と の交点をDとする。\n(1) であることを証明せよ。\n(2) 3 点 C, O', D は同一直線上にあることを証明せよ。\n(3) を求めよ。
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Q.20
PR \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 外接円の半径を とする。 のとき, と を求めよ。
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Q.21
交わる2弦 2 本の割線接線と割線 には方べきの定理\n[1]交わる2弦\n[2] 2本の割線\n\n[3]接線と割線\n数学 例題 89\n[2] (2 本の割線) の場合において, となるときを考えると, \( \mathrm{C}(\mathrm{D}) \) は円の接点となる。その接点を とすると, において から, [3] (接線と割線) の が得られる。また, チェバの定理, メネラウスの定理 と同様に,方べきの定理も逆が成り立つことを押さえておこう。また,円と線分 に交わる直線を引き,直線と円や線分との交点を図のように とする。 であるとき, 線分 の 長さを求めよ。
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Q.22
座標平面において, 7本の直線x=k(k=0,1,2, \cdots 6)と5本の直線y=l(l=0,1,2,3, 4)が交わってできる長方形 (正方形を含む) の個数。また、面積が4である長方形の個数。
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Q.23
三角形 ABC において, 余弦定理により\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\mathrm{AC}^{2}= & 2^{2}+(\sqrt{3}+1)^{2} \\\\\n & -2 \\cdot 2(\\sqrt{3}+1) \\cos 60^{\\circ} \\\\\n = & 6\n\\end{aligned}\n\\]\n
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Q.24
基 本例題 70 三角形の重心と面積比
右の図の において, 点 をそれぞれ辺 , の中点とし, 線分 と の交点を Gとする。 このとき, と の面積比を求めよ。
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Q.25
入方べきの定理の逆\n2 つの線分 と , または の延長と の延長が点 で交わるとき, が成り立つならば, 4 点 は 1 つの円周上にある。
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Q.27
123 A=75°, B=60°, a=√6+√2/2 または A=15°, B=120°, a=√6-√2/2
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Q.29
例題 124
三角形の最大角
において, 次が成り立つとき, この三角形の最も大きい角の大きさを求めよ。
(1)
(2)
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Q.30
半径 1 の円に内接する三角形 \ \\mathrm{ABC} \ は, \ \\mathrm{AB} = \\mathrm{AC} \ を満たしている。また, \ \\angle \\mathrm{CAB} = 2 \\alpha \, \ \\mathrm{AB} + \\mathrm{BC} + \\mathrm{CA}=l \, 三角形 \ \\mathrm{ABC} \ の面積を \ S \, 三角形 \ \\mathrm{ABC} \ の内接円の半径を \ r \ とする。\n(1) AC の長さを \ \\cos \\alpha \ を用いて表せ。\n(2) \ l \ を \ \\cos \\alpha \ と \ \\sin \\alpha \ を用いて表せ。\n(3) \ S \ を \ \\cos \\alpha \ と \ \\sin \\alpha \ を用いて表せ。\n(4) \ r \ を \ l \ と \ S \ 用いて表せ。\n(5) \ r \ を \ \\sin \\alpha \ を用いて表せ。
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Q.32
EX\n(1) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 次のものを求めよ。\n3106\n(ア) \ A=60^{\\circ}, c=1+\\sqrt{6}, a+b=5 \ のとき \ a \\n(1) \ A=60^{\\circ}, a=1, \\sin A=2 \\sin B-\\sin C \ のとき \ b, c \\n[(イ) 京都産大]\n(2) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, \ b=2, c=\\sqrt{5}+1, A=60^{\\circ} \ のとき, \ C \ は鋭角, 直角, 鈍角のいずれであ るかを調べよ。\n[(2) 類 岡山理科大]
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Q.33
57・1 辺の長さが の正三角形の折り紙 がある。辺 上の点 と辺 上の点 を, 線分 と辺 が平行になるようにとる。線分 DE で折り紙を折 るとき, 三角形 のうち, 四角形 と重なり合う部分の面積を とする。 が最大となるのは線分 の長さがア のときであり, このとき\n である。
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Q.34
EX の辺 の中点を とし, の二等分線が\n辺 と交わる点を とする。このとき, 線分 の長さを 求めよ。ただし, とする。
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Q.35
(2) である において, およびその外角 の二等分線が直線 と交わる点を,それぞれ D, E とする。線分 DEの 長さを求めよ。
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Q.36
PR 鋭角 の内部に, 2 点 が右の図のように与えられている。 半直線 上に, それぞれ点 をとり, を最小にするには, をそれぞれどのような位置にとればよいか。
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Q.37
PRACTICE 70°
右の図の において, Gは の重心で線分 は辺 と平行である。
このとき, と の面積比を求めよ。
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Q.38
三角形の內角の二等分線の長さ
において, の二等分線が辺 と交わる点を とし,\n\nとおくと\nが成り立つ。\n4章\n15\n のとき, 両辺を で割って \n のとき, は二等辺三角形であるから このとき, において, 三平方の定理から, が成り立ち, (2) に含めることができる。\n\[\begin{array}{l}(b-c) x^{2}=b c(b-c)+c q \cdot p-b p \cdot q \ =b c(b-c)-p q(b-c) \ =(b-c)(b c-p q) \ \end{array}\]\n前ページの基本例題 133 をこの式を用いて解いてみよう。
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Q.39
三角形 ABC において, 余弦定理により\n\n\\[\n\\begin{array}{l} \\cos \\angle \\mathrm{ACB}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}+(\\sqrt{6})^{2}-2^{2}}{2(\\sqrt{3}+1) \\cdot \\sqrt{6}} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}+6}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}(1+\\sqrt{3})}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\\n\\text { よって } \\quad \\angle \\mathrm{ACB}=45^{\\circ} \\\\\n\\text { ゆえに } \\quad \\angle \\mathrm{ACD}=75^{\\circ}-45^{\\circ}=30^{\\circ} \\\\n\\text { したがって }\n\\end{array}\n\\]\n
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Q.40
三角形 ABC の 6 つの要素 (3 辺 a, b, c と 3 角 A, B, C) のうち、三角形をただ 1 通りに決めるためには、少なくとも 1 つの辺を含む次の 3 つの要素が条件として必要である。
1. 1 辺とその両端の角
2. 2 辺とその間の角
3. 3 辺
これらの条件から、他の 3 つの要素を求めるとき、条件に応じた定理の使用法を整理せよ。
1. 1 辺とその両端の角 (a, B, C の条件から、b, c, A を求める)
A = 180° - (B + C)
正弦定理: a / sinA = b / sinB = c / sinC
2. 2 辺とその間の角 (b, c, A の条件から、a, B, C を求める)
余弦定理 a² = b² + c² - 2bc cosAから a
余弦定理 cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) から B
C = 180° - (A+B)
3. 3 辺 (a, b, c の条件から、A, B, C を求める)
余弦定理 cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)から A
余弦定理 cosB = (c² + a² - b²) / (2ca)から B
C = 180° - (A + B)から C
注意: 2 辺と 1 対角の条件が与えられた場合、三角形は 1 通りに決まらない可能性がある。
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Q.41
PR △ABC において、sin A: sin B: sin C=5: 16: 19のとき、この三角形の最も大きい角の大きさを求めよ。
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Q.43
PR 平行四辺形 において, 辺 の中点を と の交点\nをEとする。\nこのとき, の面積と平行四辺形 の面積の比を求めよ。\n\nHINT 補助線 を引, の重心がEであることを示す。\n線分 の交点をFとする。 において, 点Eは中線 AM, の交点であるから,重心である。 よって \( \mathrm{AE}: \mathrm{EM}=2: 1 \\
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Q.44
AB=13, BC=15, CA=8 の △ABC において, 点 A から辺 BC に垂線 AD を下ろす。このとき, 次の値を求めよ。(1) BD の長さ(2) sin 角 B(3) tan 角 C
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Q.45
69 鋭角三角形 \\( \\mathrm{ABC}(\\mathrm{AB}>\\mathrm{AC}) \\) の, \\angle \\mathrm{A} \ の二等分線 \ \\mathrm{AD} \,中線 AM, 垂線 AHについて, 次のことを示せ。\n(1) 図のように \ \\mathrm{AM}=\\mathrm{A}^{\\prime} \\mathrm{M} \ として\n\\\angle \\mathrm{BAM}<\\angle \\mathrm{CAM}\\\\n(2) \ \\angle \\mathrm{BAH}>\\angle \\mathrm{CAH} \\\\n(3) 二等分線 \ A D \ は中線 \ A M \ と垂線 \ \\mathrm{AH} \ の間にある。
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Q.48
(3) であるから \( \mathrm{EQ}: \mathrm{BD} = \mathrm{AE}: \mathrm{AB} = 1:(1+k) \) よって また, であるから \( \mathrm{QF}: \mathrm{DC} = \mathrm{AF}: \mathrm{AC} = 1:(1+k) \) ゆえに したがって
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Q.49
四角形 \\mathrm{ABCD} \ が円 Oに外接している。辺 \\mathrm{AB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{CD}, \\mathrm{DA} \ と円Oとの接点をそれぞれ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ とし, 線分 \\mathrm{AP}, \\mathrm{BQ}, \\mathrm{CR}, \\mathrm{DS} \ の長さをそれぞれ a, b, c, d \ とする。 3 直線 \\mathrm{AC}, \\mathrm{PQ}, \\mathrm{RS} \ のどの 2 本も平行でないとき\n(1) 2 直線 \\mathrm{AC}, \\mathrm{PQ} \ の交点を \\mathrm{X} \ とるとき, \\mathrm{AX}: \\mathrm{XC}=a: c \ であることを示せ。\n(2) 2 直線 \\mathrm{AC}, \\mathrm{RS} \ の交点を \\mathrm{Y} \ とするき, \\mathrm{AY}: \\mathrm{YC}=\\mathrm{AX}: \\mathrm{XC} \ であることを 示せ。
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Q.51
二等辺三角形の つの底角は等しい。また、二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に 等分する。これを利用して次の問題を解きなさい。\n二等辺三角形ABCにおいて、頂角 である場合、底角 の角度は何度ですか?
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Q.52
EX \\triangle \\mathrm{ABC}\ の内部の 1 点 \\mathrm{O}\ と 3 頂点を結ぶ直線が, 辺 \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA}, \\mathrm{AB}\ と ⑦0交わる点をそれぞれ D, E, Fとし, FEのEを越える延長が辺 BCの 延長と交わる点を \\mathrm{G}\ とする。\n(1) \\mathrm{BD}: \\mathrm{DC}=\\mathrm{BG} \ :GC であることを証明せよ。\n(2) Oが \\triangle \\mathrm{ABC} \ の内心であるとき, \\angle \\mathrm{DAG}\ の大きさを求めよ。
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Q.53
381 荤本列題 76 三角形の周の長さとの比較\n の内部の 1 点を とするとき,\n\( \mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{CP}>\frac{1}{2}(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}) \) を証明せよ。
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Q.55
基本 例題 133 三角形の内角の二等分線の長さ (2)
である の の二等分線が辺 と交 わる点をDとするとき, 線分 AD の長さを求めよ。
[千葉工大]
基本 128,131
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Q.56
チェバの定理の逆\n定理 の辺 またはその延長上に,それぞ れ点 があり, この 3 点のうちの 1 個または 3 個が辺上 にあるとする。このとき, と が交わり, かつ\n\\n\\frac{\\mathrm{BP}}{\\mathrm{PC}} \\cdot \\frac{\\mathrm{CQ}}{\\mathrm{QA}} \\cdot \\frac{\\mathrm{AR}}{\\mathrm{RB}}=1 \n\\nが成り立つならば, 3 直線 は 1 点で交わる。
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Q.57
三角形 において, 辺 を に内分する点 P, 辺 を に内分する点 Q, 辺 を に内分する点 R とするとき, 3 直線 は1点で交わる。このことを, チェバの定理の逆を用いて証明せよ。
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Q.58
三角形 において, 次の等式が成り立つことを証明せよ。\\[ \\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\\\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\\\tan B \\\\](防衛大)
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Q.59
三角形 \\mathrm{ABC} \ の \\angle \\mathrm{B} \ の二等分線が辺 \\mathrm{AC} \ と交わる点を \\mathrm{D} \ とするとき, 線分 \\mathrm{BD} \ の長さを求めよ。\n(A) \\mathrm{AB}=6, \\mathrm{BC}=4, \\mathrm{CA}=5 \
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Q.60
三角形の辺の比率と長さに関連する以下の問題に答えなさい。\n\n1. 線分 を に内分する点 と外分する点 を下図に記入せよ。\n\n2. の辺 , , である。このとき、∠Aの二等分線と辺 BC の交点を とする。線分 BDの長さを求めよ。\n\n3. の外心 、内心 、重心 とする。下の図の角 と線分の長さ , を求めよ。
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Q.61
角度を求める問題のポイント
(1)キーワード: 外心
→ 二等辺三角形を利用
参照例題: 基本例題 66
(3)キーワード: 円に内接, 四角形
→ 円に内接する四角形を利用
参照例題: 基本例題 81
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Q.62
(2) とすると, ウ である。\nゆえに, のとき, である。\nただし, ウ につては, 当てはまるものを, 次の(1)〜(6)のうちから1つ選べ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6)
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Q.63
基本例題 68 三角形の外心,垂心の利用\n鋭角三角形 の垂心を , 外心を Oとし, O から辺 BC に下ろした垂線を とする。また, の外接円の周上に点 を取り, 線分 が円の直径になるようにする。このとき,次のことを証明せよ。\n(1) \n(2) 四角形 は平行四辺形である\n(3)
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Q.64
[5] できる図形が,正三角形でない二等辺三角形のときその三角形の等しい 2 辺を除いた残りの 1 辺の長さは (1)から \nその辺を底辺として考えると,高さは である。よって このような三角形は 6 個あるから,場合の数は (通り)\n以上から となる確率は となる確率は となる確率は となる確率は \( \quad 1-\left(\frac{10}{36}+\frac{1}{36}+\frac{6}{36}\right)=\frac{19}{36} \)
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Q.65
円に内接する四角形\n一般に, 多角形のすべての頂点が1つの円周上にあるとき, その多角形は円に内接するといい, その円を多角形の外接円という。\n定理 19 円に内接する四角形について, 次の 1,2 が成り立つ。\n1 対角の和は である。\n多角形\n2 内角は, その対角の外角に等しい。\n定理 20 次の 1 または 2 が成り立つ四角形は,円に内接する。\n11 組の対角の和が である。\n2 内角が, その対角の外角に等しい。\n2 内角が,その対角の外角に等しい。\n定理 19,20 を合わせて,次のようにして覚えておくと便利。\n円に内接する四角形 (内角 \( )+( \) 対角 \( )=180^{\circ} \)\n円に内接する四角形 (内角 \( )= \) (対角の外角 \( ) \)\n注意 四角形において, 1つの角と向かい合う角を,その角の対角という。\n右の図において, 角 を求めよ。ただし,Oは円の中心である。
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Q.66
雨覀例題 78 チェバの定理の逆\n(1)三角形の3つの中線は1点で交わることをチェバの定理の逆を用いて証明せよ。\n(2)\ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の内接円と3辺 \ \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA}, \\mathrm{AB} \ との接点を、それぞれ \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R} \ とするとき, 3直線 \ \\mathrm{AP}, \\mathrm{BQ}, \\mathrm{CR} \ は1点で交わる。このことを, チェバの定理の逆を用いて証明せよ。
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Q.67
基本列題 90 方べきの定理の逆\n点Aで外接する 2 円 \\mathrm{O}, \\mathrm{O}^{\\prime} \ がある。Aにおける共通接線上 の点 \\mathrm{B} \ を通る 1 本の直線が円 \\mathrm{O} \ と 2 点 \\mathrm{C}, \\mathrm{D} \ で交わり, B を通る他の直線が円 \\mathrm{O}^{\\prime} \ と 2 点 \\mathrm{E}, \\mathrm{F} \ で交わるとする。こ のとき, 4 点 C, D, E, F は 1つの円周上にあることを証明せよ。
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Q.68
EX鋭角三角形である の頂点 から, それぞれの対辺に下ろした垂線を BD, CE とする。 の大きさを で表すとき, 線分 の長さを を用いて表せ。なお, 線分 に対し ならば, 点 は線分 を直径とする円周上にあることを使って よいものとする。
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Q.69
数学A\nは, 4 点 A', P, Q, B' が 1 つの直線上にあるときである。 したがって, 半直線 OX に関して点 A と対称な点を A', 半直線 OY に関して点 B と対称な点を B' として, 直線 A'B' と半直線 OX の交点を P, 直線 A'B' と半直線 OY の交点を Q とすれば よい。\n\nPR (1) 右の図において, x を求めよ。ただし, (2) 81 点Oは円の中心であり, である。\n(2)右の図のように,円Oに内接する四角形 ABCD がある。 のとき, y を求めよ。
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Q.71
鋭角三角形である の頂点 から, それぞれの対辺に下ろした垂線を とする。 \( \\mathrm{BC}=a, \\angle \\mathrm{A} を用いて表せ。なお, 線分 \\mathrm{PQ} に対し \\angle \\mathrm{PRQ}=90^{\\circ} ならば,点Rは線分 \\mathrm{PQ} を直径とする円周上にあることを使ってよいものとする。
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Q.72
[問題]\n\ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の辺 \ \\mathrm{AB} \ 上(ただし, 頂点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ を除く)の点を \ \\mathrm{E} \ と し, 辺 \ \\mathrm{AC} \ 上に \ \\mathrm{BC} / / \\mathrm{EF} \ となるような点\\\mathrm{F}\をとる。また, \ \\mathrm{BF} \ と \ \\mathrm{CE} \ の交点を \ \\mathrm{P} \, 直線 \ \\mathrm{AP} \ と辺 \ \\mathrm{BC} \ の交点を \ \\mathrm{D} \ とする。 このとき, 比の値 \ \\frac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}} \ を求めよ。\n(1) ア, イにに当てはまる数を答えよ。\n(2) ウに当てはまるものを,次の0~5のうちから1つ選べ。\n(0) \n(1) 1\n(2) \ \\frac{2}{3} \\n(3) \ \\frac{3}{2} \\n(4) \ \\frac{4}{5} \\n(5) \ \\frac{5}{4} \\n(3) [問題]において, 線分 \ \\mathrm{AD} \ と線分 \ \\mathrm{EF} \ の交点を \ \\mathrm{Q} \ とすると, \ \\frac{\\mathrm{EQ}}{\\mathrm{QF}}=\\square \ エ となる。\n\ \\square \ に当てはまるものを,次の0~5のうちから1つ選べ。\n(0) \ \\frac{1}{2} \\n(1) 1\n(2) \ \\frac{2}{3} \\n(3) \ \\frac{3}{2} \\n(4) \ \\frac{4}{5} \\n(5) \ \\frac{5}{4} \
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Q.73
PRACTICE 6°
AC=BC, AB=6 の直角二等辺三角形 ABC の中に, 縦の長さが 等しい2つの長方形を右の図のように作る。2つの長方形の面積の 和が最大になるように作ったとき,その最大値を求めよ。
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Q.74
鋭角三角形 の垂心を ,外心を とし,辺 の中点を , 線分 の中点を とする。線分 MN の長さは の外接円の半径に等しいことを, が成り立つことを用いて証明せよ。
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Q.75
2 部分の直線と平面の関係\n1) 直線 と平面 の位置関係には,次の 3 つの場合がある。\n[1] は 含まれる\n[2] 1 点で交わる\n[3] 平行である\n( は 上にある)
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Q.76
図において, \ \\mathrm{AR}: \\mathrm{RB}=3: 4, \\mathrm{BP}=\\mathrm{PC} \ のとき\n\ \\mathrm{AQ} \: QC を求めよ。
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Q.80
正弦定理と余弦定理のどちらを適用するの?正弦定理も余弦定理も, 辺の長さや角の大きさを求めることができて,問題によっては、どれを使えばよいのかわからなくなることがあります。判断する方法はあるのですか?
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Q.82
710 四角形 \ \\mathrm{ABCD} \ の対角線 \ \\mathrm{AC} \ の長さがいずれの辺よりも小さいとき, 対角線 BD の長さはいずれの辺よりも大きいことを証明せよ。
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Q.83
PR \\triangle \\mathrm{ABC} の辺 \\mathrm{AB} の中点を \\mathrm{M} , 線分 \\mathrm{CM} の中点を \\mathrm{N} , 直線 \\mathrm{AN} と辺 \\mathrm{BC} の交点を \\mathrm{P} とする。このとき, 次の比をそれぞれ求めよ。\n(1) \\mathrm{BP}: \\mathrm{PC}\n(2) AN : NP\n(3) \\triangle \\mathrm{NPC}: \\triangle \\mathrm{ABC}
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Q.84
数学 I\nPR水平な地面の地点 \\mathrm{H} \ に, 地面に垂直にポールが立っている。 2 つの地点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ からポールの先 3127端を見ると,仰角はそれぞれ 30^{\\circ} \ と 60^{\\circ} \ であった。また,地面上の測量では \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ 間の距離が 20 \\mathrm{~m}, \\angle \\mathrm{AHB}=60^{\\circ} \ であった。このとき, ポールの高さを求めよ。ただし, 目の高さは考えな いものとする。
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Q.85
第4章 図形と計量 EX 円に内接する四角形 において, であり, 対角線 の交点を とするとき, は線分 を に内分する。\n(1) ア である。\n(2) である。\n(3) オ 力 である。\n(4) 円の半径を 1 とすると, キ であり, 四角形 の面積 は r であ る。\n[類 慶応大]
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Q.86
円に内接する四角形 において, であり, とする。このとき, であり, 四角形 の面積はイ である。[早稲田大]
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Q.87
A 67^{\\circ} \\triangle \\mathrm{ABC} \ の辺 \\mathrm{BC} \ の中点を \\mathrm{M} \ とする。線分 \\mathrm{AM} \ 上に \\mathrm{A}, \\mathrm{M} \ と異なる点 \\mathrm{P} \ をと, \\mathrm{BP} \ と辺 \\mathrm{AC}, \\mathrm{CP} \ と辺 \\mathrm{AB} \ の交点をそれぞれ D, Eとする。\n(1) DE// BC であることを証明せよ。\n(2) EDと AMの交点を \\mathrm{Q} \ とするとき, \\mathrm{Q} \ は線分 \\mathrm{DE} \ の中点であることを証明せよ。
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Q.88
PR 与えられた線分 に対して, 次の点を作図せよ。(1) 線分 を に内分する点 (2) 線分 を に外分する点
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Q.91
数学 I\n点 B を x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ移動したときに点Aに重なると すると\n-\n\-\\frac{5}{2}+p=\\frac{3}{2}, \\quad \\frac{33}{4}+q=\\frac{5}{4}\\n\nこれを解いて よって, 放物線 (1)は,放物線 (2)を\nx 軸方向に 4, y 軸方向に -7 だけ平行移動したもの である。\n(2) \( y=3 x^{2}-6 x+5=3(x-1)^{2}+2 \)\n(2)\n\n放物線 (1) の頂点を A とすると\n\( \\mathrm{A}(1,2) \)\n\( y=3 x^{2}+9 x=3\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}-\\frac{27}{4} \)\n放物線 (2) の頂点を B とすると 点 \ \\mathrm{A} \ を x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ移動したときに点Bに重なると すると\n1+p=−\\frac{3}{2}, \\quad 2+q=−\\frac{27}{4}\\]\n\nこれを解いて よって, 放物線 (1)を\nx 軸方向に \ だけ平行移動すると放物線 (2)に重なる。\n劋閩 (1)(後半)頂点\nの座標の差は\n\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\frac{3}{2}-\\left(-\\frac{5}{2}\\right)=4,\n\\frac{5}{4}-\\frac{33}{4}=-7\\end{array}\]\n\nよって, x 軸方向に 4, y 軸方向に -7 だけ平行移動。\n\\[\n\\begin{aligned}\n& 3\\left(x^{2}-2 x\\right)+5 \n= & 3\\left\\{(x-1)^{2}-1^{2}\\right\\}+5 &= \\3(x-1)^{2}-3+5\n& 3\left(x^{2}+3 x\\right)\n= & 3\\left\\{\\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}-\\left(\\frac{3}{2}\\right)^{2}\\right\\}\n= & 3\\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}-3\\left(\\frac{3}{2}\\right)^{2}\\end{aligned}\n\n剧解 (2) (後半) 頂点\nの座標の差は\n\\n\nよって, \ x \ 軸方向に \\(-\\frac{5}{2}, y 軸方向に -\\frac{35}{4}) だけ平行移動。
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Q.92
EX の重心を , 外心を , 内心を とする。\n\n(1) のとき, の面積の大きさを比較すると, 次のよう になる。\n ٢ \nア に当てはまるものを,次の(1)〜(3) のうちから1つ選べ。\n(1) \n(2) \n(3)
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Q.93
基本 列題 122 三角形の解法 (1)\n次の各場合について, \\triangle \\mathrm{ABC} \ の残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。\n(1) \n(2)
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Q.94
1) 正弦定理
の外接円の半径を とすると
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R \]すなわち\[ a=2 R \sin A, \quad b=2 R \sin B, c=2 R \sin C
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Q.95
2〔1]花子さんと太郎さんは, 次の [問題] こいて, 図形描画ソフトを使って考え てみることにした。
[問題]
の辺 上(ただし,頂点 を除く)の点 を と, 辺 上に となるような点 を とる。また, と の交点を , 直線 と辺 の交点をDとする。このとき, 比の値 を求めよ。
花子:点 を を満たしながらそれぞれ辺 上で動かすと,点 の位置は動くけど, 点Dの位置は動かないよ。
太郎:本当だ。どうしてだろう…。そうだ,チェバの定理を用いて考えてみよう。太郎さんのノート
チェバの定理から
\( \mathrm{AE}: \mathrm{EB}=1: k(k>0) \) とすると
から ゆえに
太郎:比の値 が,点 の位置に関係なく一定であることが示せたから,
点Dは動かない, ということになるのだね。
(1) ア, イ に当てはまる数を答えよ。
(2) ウウに当てはまるものを,次の()~5のうちから1つ選べ。
(0)
(1) 1
(2)
(3)
(4)
(5)
(3) [問題]において, 線分 と線分 の交点を とすると, と とる。エに当てはまるものを,次の()~5のうちから1つ選べ。
(0)
(1) 1
(2)
(3)
(4)
(5)
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Q.96
点 \ \\mathrm{P} \ が線分 \ \\mathrm{AB} \ 上にあって, \ \\mathrm{AP}: \\mathrm{PB}=m: n \が成り立つとき,辺の長さを \ k \ で表す。円に内接する四角形において, 対角線で作られる三角形の相似性 を利用。
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Q.97
三角形 の の大きさを、それぞれ で表すとき、等式 \( \left(1+\tan ^{2} \frac{A}{2}\right) \sin ^{2} \frac{B+C}{2}=1 \) が成り立つことを証明せよ。
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Q.98
(4) のうち, 外接円の半径が最も小さいものを求める。 のとき, は であり ( の外接円の半径) は ( の外接円の半径) であるから,外接円の半径が最も小さい三角形は のとき, である。 のとき, である。次の各解答群から1つずつ選びなさい。ス の解答群 : 同じものを繰り返し選んでもよい。 (0) (1) (2) タ (0) (1) (2) (3)
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Q.99
道路や鉄道の傾斜具合を表す言葉に勾配がある。「三角比の表」を用いて,次の問いに答えよ。(1) 道路の勾配には, 百分率(%,パーセント)がよく用いられる。百分率は,水平方向に 100m 進んだときに, 何 m 標高が高くなるかを表す。ある道路 では, 23% と表示された標識がある。この道路の傾斜は約何度か。(2) 鉄道の勾配には,千分率(‰,パーミル)がよく用いられる。千分率は、水平方向に 1000m 進んだときに, 何 m 標高が高くなるかを表す。ある鉄道路線では, 18‰ と表示された標識がある。この鉄道路線の傾斜は約何度か。
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Q.00
(2) と直線 YRにメネラウスの定理 を用いると\n \frac{\mathrm{AS}}{\mathrm{SD}} \cdot \frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{RC}} \cdot \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{YA}}=1 \]\nここで,条件から\n\[ \mathrm{AS}=\mathrm{AP}=a, \quad \mathrm{DR}=\mathrm{DS}=d \nよって \nゆえに \n(1)から
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Q.02
において, とする。辺 の点 側の 延長上に, となる点 をる。辺 の中点を とし, 点 から直線 に下ろした垂線を BF とするとき,次の問いに答えよ。[宮崎大]
(1) を示せ。
(2)面積比 を求めよ。
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Q.03
(5) から よって (1), (2) から \[ \begin{array}{l} \mathrm{BP} \cdot \mathrm{BQ} = \mathrm{BD} \cdot \mathrm{BC} \\ \mathrm{BE} \cdot \mathrm{BA} = \mathrm{BD} \cdot \mathrm{BC} \end{array} \] 方べきの定理の逆により, (3)から, 4 点 は1つ の円周上にある。また, (4)から, 4 点 D, A, C, Eも1つの円周上にある。
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Q.04
(2)余弦定理により
\[
\begin{aligned}
\cos A & =\frac{4^{2}+5^{2}-(\sqrt{21})^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 5}=\frac{20}{2 \cdot 4 \cdot 5}=\frac{1}{2} \\
\text{よって} A & =60^{\circ}
\end{aligned}
\]
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Q.06
次の用語の意味を説明しなさい: 同位角, 錯角, 鋭角, 鈍角, 内角, 外角, 合同, 相似, 垂直二等分線, 角の二等分線, 鋭角三角形, 直角三角形, 鈍角三角形, 弦, 弧, 中心角, 円周角, 円の接線, 対辺, 対角, 平行四辺形。
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Q.07
正八角形について, 次の数を求めよ。\n(1) 4 個の頂点を結んでできる四角形の個数\n(2)3個の頂点を結んでできる三角形のうち, 正八角形と辺を共有する三角形の個数
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Q.08
右の図のように, 円 \\mathrm{V} \ に内接する \\triangle \\mathrm{ABC} \ と \\mathrm{A} \ における接線 \\ell \ 87 がある。ただし, \\mathrm{AC}<\\mathrm{BC} \ とする。辺 \\mathrm{BC} \ 上に \\mathrm{AD} = \\mathrm{BD} \ となるように点 \\mathrm{D} \ をとり、線分 \\mathrm{AD} \ の延長と円 O の交点を \\mathrm{E} \、線分 \\mathrm{EC} \ の延長と \\ell \ の交点を F とする。このとき, \\triangle \\mathrm{ABC} \ と \\triangle \\mathrm{AEF} \ が相似であることを証明せよ。
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Q.09
例 2: 同心円と平行線\n右のような, 同じ間隔で描いた同心円と平行線でできた図の中には, いくつもの放物線がかくれている。\n問: 同心円と平行線が交わるポイントはどのように計算される?
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Q.11
(2) において, とする。 およびその外角の二等分線が直線 BC と交わる点をそれぞれ D, E とするとき, 線分 DEの長さを求めよ。
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Q.12
次の三角形の問題において、外心、内心、垂心、重心の性質と定義を使いながら解答してください。
(1) 外心の定義に基づいて、直線OMが辺BCの垂直二等分線であることを示せ。
(2) 垂心の定義と「直径の円周角は90度」であることを用いて、2組の対辺が平行であることを示せ。
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Q.13
別解(11 を導くまでは同じ)\n (1) から \ \\triangle \\mathrm{AQC}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{ADC}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \ 同様にして\n\n \\triangle \\mathrm{BRA}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{BEA}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{BCA}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \\ \\triangle \\mathrm{CPB}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{CFB}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{CAB}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \n よって \\triangle \\mathrm{PQR}=\\triangle \\mathrm{ABC}-(\\triangle \\mathrm{AQC}+\\triangle \\mathrm{BRA}+\\triangle \\mathrm{CPB}) \\=\n \\triangle \\mathrm{ABC}-3 \\cdot \\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} であるから \\ \n \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{7} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{4}=\\frac{\\sqrt{3}}{28}
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Q.14
基 本 例題 802 次方程式の応用\n右の図のように, の三角形 がある。辺 上に となるように2点 D, Eをとり, D, Eから辺 に 垂線を引き,その交点をそれぞれ F, G とする。長方形 DFGE の面積が となるとき,辺 の長さを求めよ。
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Q.15
メネラウスの定理の逆\n定理\n12 △ABC の辺 BC, CA, AB またはその延長上に, それぞれ点 P, Q, R があり, この 3 点のうちの 1 個また は 3 個が辺の延長上にあるとする。\nこのとき,\n\ \\frac{\\mathrm{BP}}{\\mathrm{PC}} \\cdot \\frac{\\mathrm{CQ}}{\\mathrm{QA}} \\cdot \\frac{\\mathrm{AR}}{\\mathrm{RB}}=1 \\nが成り立つならば, P, Q, R は 1 つの直線上にある。\n証明は 7.384 の INFORMATION 参照。
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Q.16
298 数学A
△ABI:△BCI=BA:BC (1), (2) から △ABI:△BCI:△CAI=AB:BC:CA (2) AP と BC の交点を D, BP と CA の交点をEとする。 △ABP=△CAP であるから,それぞ れの三角形の底辺を AP と考えると BD=DC すなわち, AD は △ABC の中線である。 同様に考えて, △ABP=△BCP であるから AE=EC すなわち, BE は △ABC の中線である。 ①,2)か,Pは △ABC の重心である。
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Q.17
円に内接する四角形 \\mathrm{ABCD}\ がある。 \\mathrm{AB}=8, \\mathrm{BC}=3, \\mathrm{BD}=7, \\mathrm{AD}=5 \ であるとき、 \\mathrm{CD}\ の長さを求めよ。また、四角形 \\mathrm{ABCD} \ の面積 S \ を求めよ。
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Q.18
基本例題 1142 直線のなす角
(1)直線 y=-\frac{1}{\sqrt{3}} x と x 軸の正の向きとのなす角 \alpha, 直線 y=\frac{1}{\sqrt{3}} x と x 軸の正の向きとのなす角 \beta をそれぞれ求めよ。また,2 直線のなす鋭角を求めよ。ただし, 0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}, 0^{\circ}<\beta<180^{\circ} とする。
(2) 2 直線 y=-\sqrt{3} x, y=x+1 のなす鋭角 \theta を求めよ。
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Q.19
PR の直角二等辺三角形 の中に縦の長さが等しい 2 つの長方形を右の図のように作る。2 つの長方形の面積の和が最大になるように作ったとき、その最大値を求めよ。\n与えられた条件から \n\n図のように、点 を取り、長方形の縦の長さを とすると\n\n\(\begin{array}{l}\text{DE}=\text{AE}=\text{AC}-\text{CE}=3\sqrt{2}-2x\\ \text{FG}=\text{AG}=\text{AC}-\text{GC}=3\sqrt{2}-x\end{array}\)\n\nまた、 であるから\n\n\n2 つの長方形の面積の和を とすると\n\(\begin{aligned} y &= x(3\sqrt{2}-2x) + x(3\sqrt{2}-x)\\& = -3x^2 + 6\sqrt{2}x\\& = -3(x-\sqrt{2})^2 + 6 \end{aligned}\)\n\n(1)において、 は で最大値 6 を取る。
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Q.20
問2(1) と直線 DF にメネラウス の定理を用いると\n\[ \begin{array}{ll} & \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} \cdot \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}} \cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1 \\ \text { すなわち } & \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AE}} \cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{BD}} \cdot \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{CF}}=1 \\ \text { よって } & \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{CF}}=1 \\ \text { ゆえに } & \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{CF}}=\frac{9}{2} \end{array} \]
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Q.21
三角形の相似条件: 次のいずれか 1 つの条件が成り立つとき, 2 つの三角形は相似である。[1] 3 組の辺の比が等しい。[2] 2 組の辺の比が等しく,その間の角が等しい。[3] 2 組の角がそれぞれ等しい。
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Q.22
PR次の等式を満たす ∆ABC はどのような形をしているか。
(1) b sin^2 A+a cos^2 B= a
(2) a/ cos A = b/ cos B = c/ cos C
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Q.23
三角形 ABC の頂点 A, B, C と辺上またはその延長上にない点 O を結ぶ直線が、向かい合う辺またはその延長とそれぞれ点 P, Q, R で交わるとき、チェバの定理を使って次を示せ。
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Q.24
において, 辺 BCの中点をMとし, の二等分線が辺 と交わる点をそれぞれ D, E とする。このとき, \\mathrm{DE} // \\mathrm{BC} \ であることを証明せよ。
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Q.26
次の条件を満たす は正三角形であることを示せ。\n(1) 重心と外心が一致する。\n(2) 外心と内心が一致する。
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Q.28
定理 2: AB ≠ AC である三角形 ABC の ∠A の外角の二等分線 と辺 BC の延長との交点は, 辺 BC を AB : AC に外分する。
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Q.30
次の三角形に関する問題を解いてください。
EX において, とする。辺 上に, を満たす点Dをとる。
(1) を求めよ。
(2) 辺 BC の長さを求めよ。
(3) の値を求めよ。
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Q.32
例題 138: 正弦・余弦定理を利用した測量 (2)\n三角形の辺の長さが a, b, c で、角度 A, B, C のいずれかが与えられている場合、正弦定理や余弦定理を使って残りの辺や角度を求める。
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Q.33
EX 四角形 \\mathrm{ABCD} \ は円に内接し, \\mathrm{AB}=4, \\mathrm{BC}=2, \\mathrm{DA}=\\mathrm{DC} \ である。対角線 \\mathrm{AC}, \\mathrm{BD} \ の交点 46 を \\mathrm{E} \, 線分 \\mathrm{AD} \ を 2: 3 の比に内分する点を \\mathrm{F} \, 直線 FE, DC の交点を Gとする。\n(2) 直線 \\mathrm{AB} \ が点 Gを通る場合について考える。\nこのとき, \\triangle \\mathrm{AGD} \ の辺 \\mathrm{AG} \ 上に点 \\mathrm{B} \ があるから, \\mathrm{BG}= \ オ \ \\square \ である。\nまた, 直線 \\mathrm{AB} \ と直線 \\mathrm{DC} \ が点 \\mathrm{G} \ で交わり, 4 点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C}, \\mathrm{D} \ は同一円周上にあるから, \\mathrm{DC}= \ 力 \ \\square \ である。\n[類 センター試験]\n(1) \\mathrm{DA}=\\mathrm{DC} \ から\n\n\\angle \\mathrm{DAC}=\\angle \\mathrm{DCA}\n\nまた, 円周角の定理により\n\n\\begin{aligned}\n\\angle \\mathrm{DAC} & =\\angle \\mathrm{DBC}, \\\\\n& \\angle \\mathrm{DCA}=\\angle \\mathrm{ABD} \\\\\n\\angle \\mathrm{ABD} & =\\angle \\mathrm{DBC}\n\\end{aligned}\n\nゆえに, 線分 \\mathrm{BD} \ は \\angle \\mathrm{ABC} \ の二等分線であるから\n\n\\mathrm{AE}: \\mathrm{EC}=\\mathrm{AB}: \\mathrm{BC}=4: 2={ }^{\\top} 2:{ }^{1} 1\n\n次に, \ \\triangle \\mathrm{ACD} \ と直線 FEについて, メネラウスの定理により\n\n\\begin{aligned}\n& \\frac{\\mathrm{DG}}{\\mathrm{GC}} \\cdot \\frac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}} \\cdot \\frac{\\mathrm{AF}}{\\mathrm{FD}}=1 \\\\\n\\text { よって } \\quad & \\frac{\\mathrm{DG}}{\\mathrm{GC}} \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{3}=1\n\\end{aligned}\n\nゆえに \ \\quad \\frac{\\mathrm{GC}}{\\mathrm{DG}}=\\frac{1}{3} \\nすなわち \ G C: G D={ }^{\\ゥ} 1:{ }^{I} 3 \
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Q.34
378 基 例題\n本 52 三角形の刍の二等分繳と比\n \\mathrm{AB}=10, \\mathrm{BC}=5, \\mathrm{CA}=6 \ である \\triangle \\mathrm{ABC} \ におい て, \\angle \\mathrm{A} \ およびその外角の二等分線が辺 \\mathrm{BC} \ また はその延長と交わる点を,それぞれ \\mathrm{D}, \\mathrm{E} \ とする。 このとき, 線分 DE の長さを求めよ。
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Q.37
次の各問いに答えよ。ただし,小数第 2 位を四捨五入せよ。
(2)水平面との傾きが 8° の下り坂の道を 80 m 進むと, 水平方向に何 m 進んだことになるか。また,鉛直方向には何 m 下ったことになるか。
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Q.38
2 辺とその間の角が与えられたときは余弦定理を利用しましょう。
2 辺とその間の角から残りの辺の長さを求める。
……例題 127 (1) と同じ。
において, 余弦定理により
\[
\begin{array}{l}
b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \cos B \\
\text { よって } \quad \mathrm{AC}^{2}=2^{2}+3^{2}-2 \cdot 2 \cdot 3 \cos 60^{\circ}=4+9-2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}
\end{array}
\]
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Q.39
1 辺の長さが 1 の正三角形 がある。その外接円の頂点 を含まない弧 上に点 をと, \(\mathrm{PA}=a, \mathrm{~PB}=b, \mathrm{PC}=c \quad(b>c)\) とする。 の値を計算してみよう。 アイ であるから, に余弦定理を用いると
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Q.40
1 km 離れた海上の 2 地点 A, B から,同じ山頂Cを見たところ,A の東の方向,見上げた 角が 30°, B の北東の方向,見上げた角が 45° の位置に見えた。この山の高さ CD を求めよ。 ただし,地点 D はCの真下にあり,3点 A, B, D は同じ水平面上にあるものとする。また, sqrt(6)=2.45 とする。
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Q.41
基本例題 1\n30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ} の三角比の値\n30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ} の正弦, 余弦, 正接の値を求めよ。\nGUIDE 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ} の三角比\n三角定規の図をかいてみよう
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Q.42
【問題】 90^{\\circ}<A<180^{\\circ} のとき 右の図で,線分 BD は △ABC の外接円の直径とする。このとき \ \\angle BAC + \\angle BDC = 180^{\\circ} \ すなわち \ \\angle BDC = 180^{\\circ} - A \ ゆえに \ a = \\mathrm{BD} \\sin \\angle \\mathrm{BDC} \ \\( = \\mathrm{BD} \\sin (180^{\\circ} - A) \\) \ = \\mathrm{BD} \\sin A \ \ \mathrm{BD} = 2 R \ であるから \ \\quad a = 2 R \\sin A \
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Q.43
数学 \nまた, \( \triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2} r(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}) \) であるから\n\[4 \sqrt{2}=\frac{1}{2} r(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}+3 \sqrt{2})\]\nすなわち したがって \n 次の等式が成り立つとき, はどのような形をしているか。
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Q.44
直線 と平面 の位置関係には,次の 3 つの場合がある。\n[1] は 含まれる ( は 上にある)\n[2] 1 点で交わる\n[3] 平行である\n直線 と平面 が平行であるとき, と書く。\n直線 が平面 上のすべての直線に垂直であるとき, は に 垂直である,または は に直交するといい, と書く。 このとき, を平面 の垂線 という。 また,次のことが成り立つ。\n直線 が平面 上の交わる 2 直線 に垂直ならば,直線 は平面 に垂直である。
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Q.45
発 例題\n展 143 辺や角の等式から三角形の形纻決定\n \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, c \\cos B=b \\cos C \ が成り立つとき, この三角形はどのような 形をしているか。\n[法政大]