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AIチューター | ヤロウゼ、宿題!

幾何学と測定

平面幾何学 - 相似と合同

Q.01

碁本列題 107 三角比の応用問題\nある建物の高さを測るため, その建物から 10mathrm m10 \\mathrm{~m} 離れた地点で高さ 1.5mathrm m1.5 \\mathrm{~m} の位置から建物の上端 mathrmP\\mathrm{P} の仰角を測ったところ 65circ65^{\\circ} であった。\n巻末の三角比の表を利用して,次の問いに答えよ。\n(1)この建物の高さを求めよ。ただし, 1mathrm m1 \\mathrm{~m} 未満を四捨五入せよ。\n(2)この建物から 15mathrm m15 \\mathrm{~m} 離れた地点から,上と同様に測った点 mathrmP\\mathrm{P} の仰角の大きさを求めよ。
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Q.02

EX \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, \\angle \\mathrm{C}=90^{\\circ}, \\mathrm{AB}: \\mathrm{AC}=5: 4 \ とする。辺 \\mathrm{BC} \ の点 \\mathrm{C} \ 側の延長上に, \\mathrm{CA}=\\mathrm{CD} \ 376 となる点 \\mathrm{D} と る 。 \ \\mathrm{AB} \ の中点を \\mathrm{E} \ とし, 点 \\mathrm{B} \ から直線 \\mathrm{AD} \ に下ろした垂線を \\mathrm{BF} \ とすると き,次の問いに答えよ。\n(1) \ \\mathrm{EF}=\\mathrm{EC} \ を示せ。\n(2)面積比 \ \\triangle \\mathrm{ABC}: \\triangle \\mathrm{CEF} \ を求めよ。\n[宮崎大]
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Q.03

65 正三角形でない ABC \triangle \mathrm{ABC} の外心を O, 重心を G, 垂心を H とするとき, G は線分 OH \mathrm{OH} 上にあって, OG:GH=1:2 \mathrm{OG}: \mathrm{GH}=1:2 となることを, 以下に従って証明せよ。\n(1) 辺 BC の中点を L \mathrm{L} , 線分 GH, AG の中点をそれぞれ M,N \mathrm{M}, \mathrm{N} とするとき, 四角形 OLMN は平行四辺形になることを証明せよ。ただし,AH=2OL \mathrm{AH}=2 \mathrm{OL} であることを利用してよい。\n(2) 点 G G は線分 OH \mathrm{OH} 上にあることを証明せよ。\n(3) OG:GH=1:2 \mathrm{OG}: \mathrm{GH}=1:2 を証明せよ。
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Q.04

14 正弦定理と余弦定理: 三角形の辺と角度を求めなさい。
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Q.05

基本例題 131 三角形の面積 ABC \triangle \mathrm{ABC} において,面積を S S で表す。次のものを求めよ。 (1) a=4,b=5,c=6 a=4, b=5, c=6 のとき cosA,S \cos A, S (2) a=2,B=150,S=3 a=2, B=150^{\circ}, S=\sqrt{3} のとき b b
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Q.06

円周角: 1 つの弧に対する円周角の大きさは一定であり, その弧 に対する中心角の大きさの半分である。
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Q.07

近くの公園に円形のプールがある。ある日,このプールの広さを測定しようと考え,私と友人は巻尺とチョークを持って出かけた。プールの縁の 3 カ所にチョークで印を付け、それぞれを A, B, C とした。AB, BC, CA の水平距離を測定すると,それぞれ 9 m,6 m,12 m 9 \mathrm{~m}, 6 \mathrm{~m}, 12 \mathrm{~m} であった。1. anglemathrmABC \\angle \\mathrm{ABC} の正弦,余弦,正接の値を求めよ。2. このプールの面積を求めよ。(鳥取大)
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Q.08

図において, \ \\mathrm{AR}: \\mathrm{RB}=3: 2, \\mathrm{BP}: \\mathrm{CP}=5: 3 \ のとき\n\ \\mathrm{CQ}: \\mathrm{QA} \ を求めよ。
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Q.09

PRACTICE 108 θ は鋭角とする。 sin θ, cos θ, tan θ のうち 1 つが次の値をとるとき, 各場合につい て残りの 2 つの三角比の値を求めよ。 (1) sin θ=5/13 (2) cos θ=2/3 (3) tan θ=2√2
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Q.10

PRACTICE 133 133^{\circ} AB=3,AC=2,BAC=60 \mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=2, \angle \mathrm{BAC}=60^{\circ} ABC \triangle \mathrm{ABC} において, A \angle \mathrm{A} の二等分線と BC \mathrm{BC} との交点 をDとするとき, 線分 AD \mathrm{AD} の長さを求めよ。 [南山大]
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Q.11

三角形ABCにおいて、BD:DC = AB:AC = 2:1の場合のBDの長さを計算してください。
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Q.12

数学 I PR ABC \triangle \mathrm{ABC} において, AB=x,BC=2,CA=4x \mathrm{AB}=x, \mathrm{BC}=2, \mathrm{CA}=4-x とする。ただし, 1<x<3 1<x<3 である。 (1) ABC=θ \angle \mathrm{ABC}=\theta とするとき, cosθ \cos \theta sinθ \sin \theta の値を x x で表せ。 (2) ABC \triangle \mathrm{ABC} の面積の最大値と,そのときの x x の値を求めよ。 [類 東北学院大]
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Q.13

数学 A A PR 右の図のように, 円に内接する四角形 ABCD \mathrm{ABCD} の辺 AB,CD \mathrm{AB}, \mathrm{CD} の延長 93 の交点を E \mathrm{E} , 辺 BC,AD \mathrm{BC}, \mathrm{AD} の延長の交点を F \mathrm{F} とする。また, E,F \mathrm{E}, \mathrm{F} か らこの円に接線 EP,FQ \mathrm{EP}, \mathrm{FQ} をく。このとき, EP2+FQ2=EF2 \mathrm{EP}^{2}+\mathrm{FQ}^{2}=\mathrm{EF}^{2} であ ることを証明せよ。
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Q.14

三角形 ABC \triangle \mathrm{ABC} A,B,C \angle \mathrm{A}, \angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{C} の大きさを、それぞれ A,B,C A, B, C で表すとき、等式 cosA+B2=sinC2 \cos \frac{A+B}{2}=\sin \frac{C}{2} が成り立つことを証明せよ。
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Q.15

チェバの定理\n定理 9ABC 9 \triangle \mathrm{ABC} の 3 頂点 A,B,C \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} と, 三角形の辺上にもその延長上にもない点Oを結ぶ直線が,辺 BC,CA,AB \mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB} またはその延長と交わるとき,交点をそれぞれ P,Q,R \mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R} とすると\n\\n\\frac{\\mathrm{BP}}{\\mathrm{PC}} \\cdot \\frac{\\mathrm{CQ}}{\\mathrm{QA}} \\cdot \\frac{\\mathrm{AR}}{\\mathrm{RB}}=1\n\
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Q.16

112๑ ABC \triangle \mathrm{ABC} において, sinA:sinB:sinC=5:7:8 \sin A: \sin B: \sin C=5: 7: 8 とする。このとき, cosC= \cos C= \square である。更に, 辺 BC \mathrm{BC} の長さが 1 であるとき, ABC \triangle \mathrm{ABC} の面積はイ \square である。
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Q.17

365 筫本列題 65 角の二等分線と比の利用 ABC \triangle \mathrm{ABC} C,B \angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{B} の二等分線が辺 AB,AC \mathrm{AB}, \mathrm{AC} と交わる点を, それぞれ D,E \mathrm{D}, \mathrm{E} とする。 DE//BC \mathrm{DE} / / \mathrm{BC} ならば, AB=AC \mathrm{AB}=\mathrm{AC} となることを証明せよ。 p. 361 基本事項 2
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Q.18

三角形の辺と角の大小関係\n定理\n14\n1. 一つの三角形において\n 1. 大きい辺に向かい合う角は, 小さい辺に向かい合う 角より大きい。\n 2. 大きい角に向かい合う辺は, 小さい角に向かい合う 辺より大きい。\nすなわち \ \\mathrm{AB}<\\mathrm{AC} \\Leftrightarrow \\angle \\mathrm{C}<\\angle \\mathrm{B} \
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Q.19

半径 5,8 の円 O O , O \mathrm{O}^{\prime} が点Aで外接しているとき, この 2 円の共通外接 4 82線が円 O,O \mathrm{O}, \mathrm{O}^{\prime} と接する点を B \mathrm{B} , C とする。また, BA の延長と円 O \mathrm{O}^{\prime} と の交点をDとする。\n(1) ABAC \mathrm{AB} \perp \mathrm{AC} であることを証明せよ。\n(2) 3 点 C, O', D は同一直線上にあることを証明せよ。\n(3) AB:AC:BC \mathrm{AB}: \mathrm{AC}: \mathrm{BC} を求めよ。
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Q.20

PR \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 外接円の半径を R R とする。 A=30circ,B=105circ,a=5 A=30^{\\circ}, B=105^{\\circ}, a=5 のとき, R R c c を求めよ。
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Q.21

交わる2弦 2 本の割線接線と割線 には方べきの定理\n[1]交わる2弦\n[2] 2本の割線\nPAPB=PCPD \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} \n[3]接線と割線\n数学 A A 例題 89\n[2] (2 本の割線) の場合において, C=D \mathrm{C}=\mathrm{D} となるときを考えると, \( \mathrm{C}(\mathrm{D}) \) は円の接点となる。その接点を T \mathrm{T} とすると, PAPB=PCPD \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} において PC=PD=PT \mathrm{PC}=\mathrm{PD}=\mathrm{PT} から, [3] (接線と割線) の PAPB=PT2 \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PT}^{2} が得られる。また, チェバの定理, メネラウスの定理 と同様に,方べきの定理も逆が成り立つことを押さえておこう。また,円と線分 PQ \mathrm{PQ} に交わる直線を引き,直線と円や線分との交点を図のように A,B,C,D,E \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E} とする。 AB=6,BC=4,CD=3 \mathrm{AB}=6, \mathrm{BC}=4, \mathrm{CD}=3 であるとき, 線分 DE \mathrm{DE} の 長さを求めよ。
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Q.22

座標平面において, 7本の直線x=k(k=0,1,2, \cdots 6)と5本の直線y=l(l=0,1,2,3, 4)が交わってできる長方形 (正方形を含む) の個数。また、面積が4である長方形の個数。
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Q.23

三角形 ABC において, 余弦定理により\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\mathrm{AC}^{2}= & 2^{2}+(\sqrt{3}+1)^{2} \\\\\n & -2 \\cdot 2(\\sqrt{3}+1) \\cos 60^{\\circ} \\\\\n = & 6\n\\end{aligned}\n\\]\n
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Q.24

基 本例題 70 三角形の重心と面積比 右の図の ABC \triangle \mathrm{ABC} において, 点 M,N \mathrm{M}, \mathrm{N} をそれぞれ辺 BC \mathrm{BC} , AB \mathrm{AB} の中点とし, 線分 AM \mathrm{AM} CN \mathrm{CN} の交点を Gとする。 このとき, GNM \triangle \mathrm{GNM} ABC \triangle \mathrm{ABC} の面積比を求めよ。
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Q.25

入方べきの定理の逆\n2 つの線分 AB \mathrm{AB} CD \mathrm{CD} , または AB \mathrm{AB} の延長と CD \mathrm{CD} の延長が点 P \mathrm{P} で交わるとき, PAPB=PCPD \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} が成り立つならば, 4 点 A,B,C,D \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D} は 1 つの円周上にある。
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Q.26

次の三角形について余弦定理を使って角度を求めなさい: a = 7, b = 8, c = 5。
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Q.27

123 A=75°, B=60°, a=√6+√2/2 または A=15°, B=120°, a=√6-√2/2
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Q.28

2) 余弦定理 ABC \triangle \mathrm{ABC} について a2=b2+c22bccosA,b2=c2+a22cacosB,c2=a2+b22abcosC a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A, b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \cos B, c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C
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Q.29

例題 124 三角形の最大角 ABC \triangle \mathrm{ABC} において, 次が成り立つとき, この三角形の最も大きい角の大きさを求めよ。 (1) a13=b8=c7 \frac{a}{13}=\frac{b}{8}=\frac{c}{7} (2) sinA:sinB:sinC=1:2:5 \sin A: \sin B: \sin C=1: \sqrt{2}: \sqrt{5}
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Q.30

半径 1 の円に内接する三角形 \ \\mathrm{ABC} \ は, \ \\mathrm{AB} = \\mathrm{AC} \ を満たしている。また, \ \\angle \\mathrm{CAB} = 2 \\alpha \, \ \\mathrm{AB} + \\mathrm{BC} + \\mathrm{CA}=l \, 三角形 \ \\mathrm{ABC} \ の面積を \ S \, 三角形 \ \\mathrm{ABC} \ の内接円の半径を \ r \ とする。\n(1) AC の長さを \ \\cos \\alpha \ を用いて表せ。\n(2) \ l \ を \ \\cos \\alpha \ と \ \\sin \\alpha \ を用いて表せ。\n(3) \ S \ を \ \\cos \\alpha \ と \ \\sin \\alpha \ を用いて表せ。\n(4) \ r \ を \ l \ と \ S \ 用いて表せ。\n(5) \ r \ を \ \\sin \\alpha \ を用いて表せ。
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Q.31

正弦定理を利用して、次の三角形の他の辺長を求めなさい: A が 45° で、対辺 a の長さが 2 である。
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Q.32

EX\n(1) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 次のものを求めよ。\n3106\n(ア) \ A=60^{\\circ}, c=1+\\sqrt{6}, a+b=5 \ のとき \ a \\n(1) \ A=60^{\\circ}, a=1, \\sin A=2 \\sin B-\\sin C \ のとき \ b, c \\n[(イ) 京都産大]\n(2) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, \ b=2, c=\\sqrt{5}+1, A=60^{\\circ} \ のとき, \ C \ は鋭角, 直角, 鈍角のいずれであ るかを調べよ。\n[(2) 類 岡山理科大]
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Q.33

57・1 辺の長さが 10 cm 10 \mathrm{~cm} の正三角形の折り紙 ABC \mathrm{ABC} がある。辺 AB \mathrm{AB} 上の点 D \mathrm{D} と辺 AC \mathrm{AC} 上の点 E \mathrm{E} を, 線分 DE \mathrm{DE} と辺 BC \mathrm{BC} が平行になるようにとる。線分 DE で折り紙を折 るとき, 三角形 ADE \mathrm{ADE} のうち, 四角形 BCED \mathrm{BCED} と重なり合う部分の面積を S S とする。 S S が最大となるのは線分 DE \mathrm{DE} の長さがア cm \square \mathrm{cm} のときであり, このとき\nS= S= cm2 \square \mathrm{cm}^{2} である。
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Q.34

EX ABC \triangle \mathrm{ABC} の辺 BC \mathrm{BC} の中点を M \mathrm{M} とし, AMB,AMC \angle \mathrm{AMB}, \angle \mathrm{AMC} の二等分線が\n辺 AB,AC \mathrm{AB}, \mathrm{AC} と交わる点を D,E \mathrm{D}, \mathrm{E} とする。このとき, 線分 DE \mathrm{DE} の長さを 求めよ。ただし, BC=60,AM=20 \mathrm{BC}=60, \mathrm{AM}=20 とする。
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Q.35

(2) AB=4,BC=3,CA=2 \mathrm{AB}=4, \mathrm{BC}=3, \mathrm{CA}=2 である ABC \triangle \mathrm{ABC} において, A \angle \mathrm{A} およびその外角 の二等分線が直線 BC \mathrm{BC} と交わる点を,それぞれ D, E とする。線分 DEの 長さを求めよ。
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Q.36

PR 鋭角 XOY \mathrm{XOY} の内部に, 2 点 A,B \mathrm{A}, \mathrm{B} が右の図のように与えられている。 480 { }^{4} 80 半直線 OX,OY \mathrm{OX}, \mathrm{OY} 上に, それぞれ点 P,Q \mathrm{P}, \mathrm{Q} をとり, AP+PQ+QB \mathrm{AP} + \mathrm{PQ} + \mathrm{QB} を最小にするには, P,Q \mathrm{P}, \mathrm{Q} をそれぞれどのような位置にとればよいか。
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Q.37

PRACTICE 70° 右の図の ABC \triangle \mathrm{ABC} において, Gは ABC \triangle \mathrm{ABC} の重心で線分 GD \mathrm{GD} は辺 BC \mathrm{BC} と平行である。 このとき, DBC \triangle \mathrm{DBC} ABC \triangle \mathrm{ABC} の面積比を求めよ。
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Q.38

三角形の內角の二等分線の長さ ABC \triangle \mathrm{ABC} において, A \angle \mathrm{A} の二等分線が辺 BC \mathrm{BC} と交わる点を D \mathrm{D} とし,\nAC=b,AB=c,BD=p,CD=q \mathrm{AC}=b, \quad \mathrm{AB}=c, \quad \mathrm{BD}=p, \quad \mathrm{CD}=q \nとおくと\nAD2=bcpq\mathrm{AD}^{2}=b c-p qが成り立つ。\n4章\n15\nbc b \neq c のとき, 両辺を bc b-c で割って x2=bcpq \quad x^{2}=b c-p q \nb=c b=c のとき, ABC \triangle \mathrm{ABC} は二等辺三角形であるから p=q \quad p=q このとき, ABD \triangle \mathrm{ABD} において, 三平方の定理から, x2=c2p2 x^{2}=c^{2}-p^{2} が成り立ち, (2) に含めることができる。\n\[\begin{array}{l}(b-c) x^{2}=b c(b-c)+c q \cdot p-b p \cdot q \ =b c(b-c)-p q(b-c) \ =(b-c)(b c-p q) \ \end{array}\]\n よって, x2=AD2=bcpq が成り立つ。 \text { よって, } x^{2}=\mathrm{AD}^{2}=b c-p q \text { が成り立つ。 }前ページの基本例題 133 をこの式を用いて解いてみよう。
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Q.39

三角形 ABC において, 余弦定理により\n\n\\[\n\\begin{array}{l} \\cos \\angle \\mathrm{ACB}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}+(\\sqrt{6})^{2}-2^{2}}{2(\\sqrt{3}+1) \\cdot \\sqrt{6}} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}+6}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}(1+\\sqrt{3})}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\\n\\text { よって } \\quad \\angle \\mathrm{ACB}=45^{\\circ} \\\\\n\\text { ゆえに } \\quad \\angle \\mathrm{ACD}=75^{\\circ}-45^{\\circ}=30^{\\circ} \\\\n\\text { したがって }\n\\end{array}\n\\]\n
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Q.40

三角形 ABC の 6 つの要素 (3 辺 a, b, c と 3 角 A, B, C) のうち、三角形をただ 1 通りに決めるためには、少なくとも 1 つの辺を含む次の 3 つの要素が条件として必要である。 1. 1 辺とその両端の角 2. 2 辺とその間の角 3. 3 辺 これらの条件から、他の 3 つの要素を求めるとき、条件に応じた定理の使用法を整理せよ。 1. 1 辺とその両端の角 (a, B, C の条件から、b, c, A を求める) A = 180° - (B + C) 正弦定理: a / sinA = b / sinB = c / sinC 2. 2 辺とその間の角 (b, c, A の条件から、a, B, C を求める) 余弦定理 a² = b² + c² - 2bc cosAから a 余弦定理 cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) から B C = 180° - (A+B) 3. 3 辺 (a, b, c の条件から、A, B, C を求める) 余弦定理 cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)から A 余弦定理 cosB = (c² + a² - b²) / (2ca)から B C = 180° - (A + B)から C 注意: 2 辺と 1 対角の条件が与えられた場合、三角形は 1 通りに決まらない可能性がある。
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Q.41

PR △ABC において、sin A: sin B: sin C=5: 16: 19のとき、この三角形の最も大きい角の大きさを求めよ。
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Q.42

(1) OAB=OBA=20 \angle \mathrm{OAB} = \angle \mathrm{OBA} = 20^{\circ} であるから OAC=50 \angle \mathrm{OAC} = 50^{\circ}
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Q.43

PR 平行四辺形 ABCD \mathrm{ABCD} において, 辺 BC \mathrm{BC} の中点を Mとし,AM \mathrm{M} と し, \mathrm{AM} BD \mathrm{BD} の交点\nをEとする。\nこのとき, BME \triangle \mathrm{BME} の面積と平行四辺形 ABCD \mathrm{ABCD} の面積の比を求めよ。\n\nHINT 補助線 AC \mathrm{AC} を引, ABC \triangle \mathrm{ABC} の重心がEであることを示す。\n線分 AC,BD \mathrm{AC}, \mathrm{BD} の交点をFとする。ABC \triangle \mathrm{ABC} において, 点Eは中線 AM, BF \mathrm{BF} の交点であるから,重心である。 よって \( \mathrm{AE}: \mathrm{EM}=2: 1 \\
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Q.44

AB=13, BC=15, CA=8 の △ABC において, 点 A から辺 BC に垂線 AD を下ろす。このとき, 次の値を求めよ。(1) BD の長さ(2) sin 角 B(3) tan 角 C
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Q.45

69 鋭角三角形 \\( \\mathrm{ABC}(\\mathrm{AB}>\\mathrm{AC}) \\) の, \\angle \\mathrm{A} \ の二等分線 \ \\mathrm{AD} \,中線 AM, 垂線 AHについて, 次のことを示せ。\n(1) 図のように \ \\mathrm{AM}=\\mathrm{A}^{\\prime} \\mathrm{M} \ として\n\\\angle \\mathrm{BAM}<\\angle \\mathrm{CAM}\\\\n(2) \ \\angle \\mathrm{BAH}>\\angle \\mathrm{CAH} \\\\n(3) 二等分線 \ A D \ は中線 \ A M \ と垂線 \ \\mathrm{AH} \ の間にある。
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Q.46

円に内接する四角形 ABCD \mathrm{ABCD} がある。 AB=8,BC=3,BD=7,AD=5 \mathrm{AB}=8, \mathrm{BC}=3, \mathrm{BD}=7, \mathrm{AD}=5 であるとき,A A と辺 CD \mathrm{CD} の長さを求めよ。また, 四角形 ABCD \mathrm{ABCD} の面積 S S を求めよ。
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Q.47

PRACTICE 123 123^{\circ} ABC \triangle \mathrm{ABC} において, C=45,b=3,c=2 C=45^{\circ}, b=\sqrt{3}, c=\sqrt{2} のとき, A,B,a A, B, a を求めよ。
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Q.48

(3) EQ//BD \mathrm{EQ} / / \mathrm{BD} であるから \( \mathrm{EQ}: \mathrm{BD} = \mathrm{AE}: \mathrm{AB} = 1:(1+k) \) よって EQ=BD1+k \mathrm{EQ} = \frac{\mathrm{BD}}{1+k} また, QF//DC \mathrm{QF} / / \mathrm{DC} であるから \( \mathrm{QF}: \mathrm{DC} = \mathrm{AF}: \mathrm{AC} = 1:(1+k) \) ゆえに QF=DC1+k \mathrm{QF} = \frac{\mathrm{DC}}{1+k} したがって EQQF=BDDC=1 \frac{\mathrm{EQ}}{\mathrm{QF}} = \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} = 1
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Q.49

四角形 \\mathrm{ABCD} \ が円 Oに外接している。辺 \\mathrm{AB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{CD}, \\mathrm{DA} \ と円Oとの接点をそれぞれ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ とし, 線分 \\mathrm{AP}, \\mathrm{BQ}, \\mathrm{CR}, \\mathrm{DS} \ の長さをそれぞれ a, b, c, d \ とする。 3 直線 \\mathrm{AC}, \\mathrm{PQ}, \\mathrm{RS} \ のどの 2 本も平行でないとき\n(1) 2 直線 \\mathrm{AC}, \\mathrm{PQ} \ の交点を \\mathrm{X} \ とるとき, \\mathrm{AX}: \\mathrm{XC}=a: c \ であることを示せ。\n(2) 2 直線 \\mathrm{AC}, \\mathrm{RS} \ の交点を \\mathrm{Y} \ とするき, \\mathrm{AY}: \\mathrm{YC}=\\mathrm{AX}: \\mathrm{XC} \ であることを 示せ。
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Q.50

次の三角形の angleA \\angle A の性質を述べなさい: a2=64,b2+c2=61 a^{2} = 64, b^{2} + c^{2} = 61
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Q.51

二等辺三角形の 2 2 つの底角は等しい。また、二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に 2 2 等分する。これを利用して次の問題を解きなさい。\n二等辺三角形ABCにおいて、頂角A=100\angle A = 100^\circ である場合、底角 B\angle B の角度は何度ですか?
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Q.52

EX \\triangle \\mathrm{ABC}\ の内部の 1 点 \\mathrm{O}\ と 3 頂点を結ぶ直線が, 辺 \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA}, \\mathrm{AB}\ と ⑦0交わる点をそれぞれ D, E, Fとし, FEのEを越える延長が辺 BCの 延長と交わる点を \\mathrm{G}\ とする。\n(1) \\mathrm{BD}: \\mathrm{DC}=\\mathrm{BG} \ :GC であることを証明せよ。\n(2) Oが \\triangle \\mathrm{ABC} \ の内心であるとき, \\angle \\mathrm{DAG}\ の大きさを求めよ。
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Q.53

381 荤本列題 76 三角形の周の長さとの比較\nABC \triangle \mathrm{ABC} の内部の 1 点を P \mathrm{P} とするとき,\n\( \mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{CP}>\frac{1}{2}(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}) \) を証明せよ。
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Q.54

(1) ABC \triangle \mathrm{ABC} の各辺が下の図のように,点 P,Q,R \mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R} で円に接している。このとき,線分 AQ,BC \mathrm{AQ}, \mathrm{BC} の長さを求めよ。
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Q.55

基本 例題 133 三角形の内角の二等分線の長さ (2) A=120,AB=3,AC=1 \angle \mathrm{A}=120^{\circ}, \mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=1 である ABC \triangle \mathrm{ABC} A \angle \mathrm{A} の二等分線が辺 BC \mathrm{BC} と交 わる点をDとするとき, 線分 AD の長さを求めよ。 [千葉工大] 基本 128,131
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Q.56

チェバの定理の逆\n定理 10ABC 10 \triangle \mathrm{ABC} の辺 BC,CA,AB \mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB} またはその延長上に,それぞ れ点 P,Q,R \mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R} があり, この 3 点のうちの 1 個または 3 個が辺上 にあるとする。このとき, BQ \mathrm{BQ} CR \mathrm{CR} が交わり, かつ\n\\n\\frac{\\mathrm{BP}}{\\mathrm{PC}} \\cdot \\frac{\\mathrm{CQ}}{\\mathrm{QA}} \\cdot \\frac{\\mathrm{AR}}{\\mathrm{RB}}=1 \n\\nが成り立つならば, 3 直線 AP,BQ,CR \mathrm{AP}, \mathrm{BQ}, \mathrm{CR} は 1 点で交わる。
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Q.57

三角形 ABC \triangle \mathrm{ABC} において, 辺 BC \mathrm{BC} m:n m: n に内分する点 P, 辺 CA \mathrm{CA} l:m l: m に内分する点 Q, 辺 AB \mathrm{AB} n:l n: l に内分する点 R とするとき, 3 直線 AP,BQ,CR \mathrm{AP}, \mathrm{BQ} , \mathrm{CR} は1点で交わる。このことを, チェバの定理の逆を用いて証明せよ。
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Q.58

三角形 mathrmABC \\mathrm{ABC} において, 次の等式が成り立つことを証明せよ。\\[ \\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\\\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\\\tan B \\\\](防衛大)
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Q.59

三角形 \\mathrm{ABC} \ \\angle \\mathrm{B} \ の二等分線が辺 \\mathrm{AC} \ と交わる点を \\mathrm{D} \ とするとき, 線分 \\mathrm{BD} \ の長さを求めよ。\n(A) \\mathrm{AB}=6, \\mathrm{BC}=4, \\mathrm{CA}=5 \
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Q.60

三角形の辺の比率と長さに関連する以下の問題に答えなさい。\n\n1. 線分 AB \mathrm{AB} 1:4 1: 4 に内分する点 P \mathrm{P} と外分する点 Q \mathrm{Q} を下図に記入せよ。\n\n2. ABC \triangle \mathrm{ABC} の辺 AB=4 \mathrm{AB}=4 , BC=5 \mathrm{BC}=5 , CA=2 \mathrm{CA}=2 である。このとき、∠Aの二等分線と辺 BC の交点を D \mathrm{D} とする。線分 BDの長さを求めよ。\n\n3. ABC \triangle \mathrm{ABC} の外心 O \mathrm{O} 、内心 I \mathrm{I} 、重心 G \mathrm{G} とする。下の図の角 α,β \alpha, \beta と線分の長さ x x , y y を求めよ。
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Q.61

角度を求める問題のポイント (1)キーワード: 外心 → 二等辺三角形を利用 参照例題: 基本例題 66 (3)キーワード: 円に内接, 四角形 → 円に内接する四角形を利用 参照例題: 基本例題 81
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Q.62

(2) A=2a,B=2b,C=2c \angle \mathrm{A}=2 a, \angle \mathrm{B}=2 b, \angle \mathrm{C}=2 c とすると, BIC=1+ \angle \mathrm{BIC}=1 \square^{\circ}+ \square である。\nゆえに, BIC=125 \angle \mathrm{BIC}=125^{\circ} のとき, BOC= \angle \mathrm{BOC}=ェ \square である。\nただし, ウ \square につては, 当てはまるものを, 次の(1)〜(6)のうちから1つ選べ。\n(1) a a \n(2) b b \n(3) c c \n(4) 2a 2 a \n(5) 2b 2 b \n(6) 2c 2 c
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Q.63

基本例題 68 三角形の外心,垂心の利用\n鋭角三角形 ABC \mathrm{ABC} の垂心を H \mathrm{H} , 外心を Oとし, O から辺 BC に下ろした垂線を OM \mathrm{OM} とする。また, ABC \triangle \mathrm{ABC} の外接円の周上に点 K \mathrm{K} を取り, 線分 CK \mathrm{CK} が円の直径になるようにする。このとき,次のことを証明せよ。\n(1) BK=2OM \mathrm{BK}=2 \mathrm{OM} \n(2) 四角形 AKBH \mathrm{AKBH} は平行四辺形である\n(3) AH=2OM \mathrm{AH}=2 \mathrm{OM}
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Q.64

[5] できる図形が,正三角形でない二等辺三角形のときその三角形の等しい 2 辺を除いた残りの 1 辺の長さは (1)から 3 \sqrt{3} \nその辺を底辺として考えると,高さは 12 \frac{1}{2} である。よって X=12×3×12=34 X=\frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} このような三角形は 6 個あるから,場合の数は 6×3!=6×6=36 6 \times 3!=6 \times 6=36 (通り)\n以上から X=34 X=\frac{\sqrt{3}}{4} となる確率は 24+3663=1036 \quad \frac{24+36}{6^{3}}=\frac{10}{36} X=3 X=\sqrt{3} となる確率は 663=136 \quad \frac{6}{6^{3}}=\frac{1}{36} X=32 X=\frac{\sqrt{3}}{2} となる確率は 3663=636 \quad \frac{36}{6^{3}}=\frac{6}{36} X=0 X=0 となる確率は \( \quad 1-\left(\frac{10}{36}+\frac{1}{36}+\frac{6}{36}\right)=\frac{19}{36} \)
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Q.65

円に内接する四角形\n一般に, 多角形のすべての頂点が1つの円周上にあるとき, その多角形は円に内接するといい, その円を多角形の外接円という。\n定理 19 円に内接する四角形について, 次の 1,2 が成り立つ。\n1 対角の和は 180 180^{\circ} である。\n多角形\n2 内角は, その対角の外角に等しい。\n定理 20 次の 1 または 2 が成り立つ四角形は,円に内接する。\n11 組の対角の和が 180 180^{\circ} である。\n2 内角が, その対角の外角に等しい。\n2 内角が,その対角の外角に等しい。\n定理 19,20 を合わせて,次のようにして覚えておくと便利。\n円に内接する四角形 \Longleftrightarrow (内角 \( )+( \) 対角 \( )=180^{\circ} \)\n円に内接する四角形 \Longleftrightarrow (内角 \( )= \) (対角の外角 \( ) \)\n注意 四角形において, 1つの角と向かい合う角を,その角の対角という。\n右の図において, 角 α \alpha を求めよ。ただし,Oは円の中心である。
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Q.66

雨覀例題 78 チェバの定理の逆\n(1)三角形の3つの中線は1点で交わることをチェバの定理の逆を用いて証明せよ。\n(2)\ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の内接円と3辺 \ \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA}, \\mathrm{AB} \ との接点を、それぞれ \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R} \ とするとき, 3直線 \ \\mathrm{AP}, \\mathrm{BQ}, \\mathrm{CR} \ は1点で交わる。このことを, チェバの定理の逆を用いて証明せよ。
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Q.67

基本列題 90 方べきの定理の逆\n点Aで外接する 2 円 \\mathrm{O}, \\mathrm{O}^{\\prime} \ がある。Aにおける共通接線上 の点 \\mathrm{B} \ を通る 1 本の直線が円 \\mathrm{O} \ と 2 点 \\mathrm{C}, \\mathrm{D} \ で交わり, B を通る他の直線が円 \\mathrm{O}^{\\prime} \ と 2 点 \\mathrm{E}, \\mathrm{F} \ で交わるとする。こ のとき, 4 点 C, D, E, F は 1つの円周上にあることを証明せよ。
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Q.68

EX鋭角三角形である ABC \triangle \mathrm{ABC} の頂点 B,C \mathrm{B}, \mathrm{C} から, それぞれの対辺に下ろした垂線を BD, CE とする。 BC=a,A \mathrm{BC}=a, \angle \mathrm{A} の大きさを A A で表すとき, 線分 DE \mathrm{DE} の長さを a,A a, A を用いて表せ。なお, 線分 PQ \mathrm{PQ} に対し PRQ=90 \angle \mathrm{PRQ}=90^{\circ} ならば, 点 R \mathrm{R} は線分 PQ \mathrm{PQ} を直径とする円周上にあることを使って よいものとする。
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Q.69

数学A\nは, 4 点 A', P, Q, B' が 1 つの直線上にあるときである。 したがって, 半直線 OX に関して点 A と対称な点を A', 半直線 OY に関して点 B と対称な点を B' として, 直線 A'B' と半直線 OX の交点を P, 直線 A'B' と半直線 OY の交点を Q とすれば よい。\n\nPR (1) 右の図において, x を求めよ。ただし, (2) 81 点Oは円の中心であり, \overparenCD:\overparenDE:\overparenEA=1:2:1\overparen{\mathrm{CD}}: \overparen{\mathrm{DE}}: \overparen{\mathrm{EA}}=1: 2: 1 である。\n(2)右の図のように,円Oに内接する四角形 ABCD がある。 BAC=18,ABO=40\angle \mathrm{BAC}=18^{\circ}, \angle \mathrm{ABO}=40^{\circ} のとき, y を求めよ。
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Q.70

(1) AB=8,BC=3,CA=6 \mathrm{AB}=8, \mathrm{BC}=3, \mathrm{CA}=6 である ABC \triangle \mathrm{ABC} において, A \angle \mathrm{A} の外角の二等分線が直線 BC \mathrm{BC} と交わる点を D とする。線分 CD の長さを求めよ。
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Q.71

鋭角三角形である mathrmABC \\mathrm{ABC} の頂点 mathrmB,mathrmC \\mathrm{B}, \\mathrm{C} から, それぞれの対辺に下ろした垂線を mathrmBD,mathrmCE \\mathrm{BD}, \\mathrm{CE} とする。 \( \\mathrm{BC}=a, \\angle \\mathrm{A} を用いて表せ。なお, 線分 \\mathrm{PQ} に対し \\angle \\mathrm{PRQ}=90^{\\circ} ならば,点Rは線分 \\mathrm{PQ} を直径とする円周上にあることを使ってよいものとする。
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Q.72

[問題]\n\ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の辺 \ \\mathrm{AB} \ 上(ただし, 頂点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ を除く)の点を \ \\mathrm{E} \ と し, 辺 \ \\mathrm{AC} \ 上に \ \\mathrm{BC} / / \\mathrm{EF} \ となるような点\\\mathrm{F}\をとる。また, \ \\mathrm{BF} \ と \ \\mathrm{CE} \ の交点を \ \\mathrm{P} \, 直線 \ \\mathrm{AP} \ と辺 \ \\mathrm{BC} \ の交点を \ \\mathrm{D} \ とする。 このとき, 比の値 \ \\frac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}} \ を求めよ。\n(1) ア, イにに当てはまる数を答えよ。\n(2) ウに当てはまるものを,次の0~5のうちから1つ選べ。\n(0) frac12 \\frac{1}{2} \n(1) 1\n(2) \ \\frac{2}{3} \\n(3) \ \\frac{3}{2} \\n(4) \ \\frac{4}{5} \\n(5) \ \\frac{5}{4} \\n(3) [問題]において, 線分 \ \\mathrm{AD} \ と線分 \ \\mathrm{EF} \ の交点を \ \\mathrm{Q} \ とすると, \ \\frac{\\mathrm{EQ}}{\\mathrm{QF}}=\\square \ エ となる。\n\ \\square \ に当てはまるものを,次の0~5のうちから1つ選べ。\n(0) \ \\frac{1}{2} \\n(1) 1\n(2) \ \\frac{2}{3} \\n(3) \ \\frac{3}{2} \\n(4) \ \\frac{4}{5} \\n(5) \ \\frac{5}{4} \
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Q.73

PRACTICE 6° AC=BC, AB=6 の直角二等辺三角形 ABC の中に, 縦の長さが 等しい2つの長方形を右の図のように作る。2つの長方形の面積の 和が最大になるように作ったとき,その最大値を求めよ。
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Q.74

鋭角三角形 ABC \mathrm{ABC} の垂心を H \mathrm{H} ,外心を O \mathrm{O} とし,辺 BC \mathrm{BC} の中点を M \mathrm{M} , 線分 AH \mathrm{AH} の中点を N \mathrm{N} とする。線分 MN の長さは ABC \triangle \mathrm{ABC} の外接円の半径に等しいことを, AH=2OM \mathrm{AH}=2 \mathrm{OM} が成り立つことを用いて証明せよ。
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Q.75

2 部分の直線と平面の関係\n1) 直線 \ell と平面 α \alpha の位置関係には,次の 3 つの場合がある。\n[1] \ell α \alpha 含まれる\n[2] 1 点で交わる\n[3] 平行である\n( \ell α \alpha 上にある)
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Q.76

図において, \ \\mathrm{AR}: \\mathrm{RB}=3: 4, \\mathrm{BP}=\\mathrm{PC} \ のとき\n\ \\mathrm{AQ} \: QC を求めよ。
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Q.77

長さ a の線分 AB と, 長さ b, c の 2 つの線分が与えられたとき,長さ acb \frac{a c}{b} の線分を作図せよ。
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Q.78

次の三角形の angleA \\angle A を求め、その面積を計算しなさい: B = 30°, C = 105°, bc = 2
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Q.79

次の三角形について余弦定理を使って辺長を求めなさい: b = 3, c = √2, A = 45°。
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Q.80

正弦定理と余弦定理のどちらを適用するの?正弦定理も余弦定理も, 辺の長さや角の大きさを求めることができて,問題によっては、どれを使えばよいのかわからなくなることがあります。判断する方法はあるのですか?
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Q.81

線分 BF の長さを求めよ。
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Q.82

710 四角形 \ \\mathrm{ABCD} \ の対角線 \ \\mathrm{AC} \ の長さがいずれの辺よりも小さいとき, 対角線 BD の長さはいずれの辺よりも大きいことを証明せよ。
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Q.83

PR \\triangle \\mathrm{ABC} の辺 \\mathrm{AB} の中点を \\mathrm{M} , 線分 \\mathrm{CM} の中点を \\mathrm{N} , 直線 \\mathrm{AN} と辺 \\mathrm{BC} の交点を \\mathrm{P} とする。このとき, 次の比をそれぞれ求めよ。\n(1) \\mathrm{BP}: \\mathrm{PC}\n(2) AN : NP\n(3) \\triangle \\mathrm{NPC}: \\triangle \\mathrm{ABC}
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Q.84

数学 I\nPR水平な地面の地点 \\mathrm{H} \ に, 地面に垂直にポールが立っている。 2 つの地点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ からポールの先 3127端を見ると,仰角はそれぞれ 30^{\\circ} \ 60^{\\circ} \ であった。また,地面上の測量では \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ 間の距離が 20 \\mathrm{~m}, \\angle \\mathrm{AHB}=60^{\\circ} \ であった。このとき, ポールの高さを求めよ。ただし, 目の高さは考えな いものとする。
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Q.85

第4章 図形と計量 EX 円に内接する四角形 ABCD \mathrm{ABCD} において, DA=2AB,BAD=120 \mathrm{DA}=2 \mathrm{AB}, \angle \mathrm{BAD}=120^{\circ} であり, 対角線 BD,AC \mathrm{BD}, \mathrm{AC} の交点を E \mathrm{E} とするとき, E \mathrm{E} は線分 BD \mathrm{BD} 3:4 3: 4 に内分する。\n(1) BD= \mathrm{BD}= \square AB,AE=1 \mathrm{AB}, \mathrm{AE}=1 \square AB \mathrm{AB} である。\n(2) CE= \mathrm{CE}=ウ \square \square AB,BC=I \mathrm{AB}, \mathrm{BC}=I \square \square AB \mathrm{AB} である。\n(3) AB:BC:CD:DA=1: \mathrm{AB}: \mathrm{BC}: \mathrm{CD}: \mathrm{DA}=1: : \square: :2 \square: 2 である。\n(4) 円の半径を 1 とすると, AB= \mathrm{AB}= \qquad であり, 四角形 ABCD \mathrm{ABCD} の面積 S S S= S= r \qquad であ る。\n[類 慶応大]
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Q.86

円に内接する四角形 ABCD \mathrm{ABCD} において, AB=2,BC=1,CD=3 \mathrm{AB}=2, \mathrm{BC}=1, \mathrm{CD}=3 であり, cosBCD=16 \cos \angle \mathrm{BCD}=-\frac{1}{6} とする。このとき, AD= \mathrm{AD}= \square であり, 四角形 ABCD \mathrm{ABCD} の面積はイ \square である。[早稲田大]
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Q.87

A 67^{\\circ} \\triangle \\mathrm{ABC} \ の辺 \\mathrm{BC} \ の中点を \\mathrm{M} \ とする。線分 \\mathrm{AM} \ 上に \\mathrm{A}, \\mathrm{M} \ と異なる点 \\mathrm{P} \ をと, \\mathrm{BP} \ と辺 \\mathrm{AC}, \\mathrm{CP} \ と辺 \\mathrm{AB} \ の交点をそれぞれ D, Eとする。\n(1) DE// BC であることを証明せよ。\n(2) EDと AMの交点を \\mathrm{Q} \ とするとき, \\mathrm{Q} \ は線分 \\mathrm{DE} \ の中点であることを証明せよ。
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Q.88

PR 与えられた線分 AB A B に対して, 次の点を作図せよ。(1) 線分 AB \mathrm{AB} 3:2 3: 2 に内分する点 E \mathrm{E} (2) 線分 AB \mathrm{AB} 3:1 3: 1 に外分する点 F \mathrm{F}
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Q.89

(1) AB=3,BC=4,CA=6 \mathrm{AB}=3, \mathrm{BC}=4, \mathrm{CA}=6 である ABC \triangle \mathrm{ABC} において, A \angle \mathrm{A} の外角の二等分線が直線 BC と交わる点を D \mathrm{D} とする。線分 BD の長さを求めよ。
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Q.90

下の図の三角形 ABC \mathrm{ABC} , 平行四辺形 ABCD \mathrm{ABCD} の面積を求めよ。
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Q.91

数学 I\n点 B を x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ移動したときに点Aに重なると すると\n-\n\-\\frac{5}{2}+p=\\frac{3}{2}, \\quad \\frac{33}{4}+q=\\frac{5}{4}\\n\nこれを解いて p=4,q=7 \quad p=4, q=-7 よって, 放物線 (1)は,放物線 (2)を\nx 軸方向に 4, y 軸方向に -7 だけ平行移動したもの である。\n(2) \( y=3 x^{2}-6 x+5=3(x-1)^{2}+2 \)\n(2)\nqquad \\qquad \n放物線 (1) の頂点を A とすると\n\( \\mathrm{A}(1,2) \)\n\( y=3 x^{2}+9 x=3\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}-\\frac{27}{4} \)\n放物線 (2) の頂点を B とすると 点 \ \\mathrm{A} \ を x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ移動したときに点Bに重なると すると\n1+p=−\\frac{3}{2}, \\quad 2+q=−\\frac{27}{4}\\]\n\nこれを解いて p=frac52,q=frac354 p=−\\frac{5}{2}, q=−\\frac{35}{4} よって, 放物線 (1)を\nx 軸方向に \frac52,y軸方向にfrac354 -\\frac{5}{2}, y 軸方向に -\\frac{35}{4} だけ平行移動すると放物線 (2)に重なる。\n劋閩 (1)(後半)頂点\nの座標の差は\n\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\frac{3}{2}-\\left(-\\frac{5}{2}\\right)=4,\n\\frac{5}{4}-\\frac{33}{4}=-7\\end{array}\]\n\nよって, x 軸方向に 4, y 軸方向に -7 だけ平行移動。\n\\[\n\\begin{aligned}\n& 3\\left(x^{2}-2 x\\right)+5 \n= & 3\\left\\{(x-1)^{2}-1^{2}\\right\\}+5 &= \\3(x-1)^{2}-3+5\n& 3\left(x^{2}+3 x\\right)\n= & 3\\left\\{\\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}-\\left(\\frac{3}{2}\\right)^{2}\\right\\}\n= & 3\\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}-3\\left(\\frac{3}{2}\\right)^{2}\\end{aligned}\n\n剧解 (2) (後半) 頂点\nの座標の差は\n\\nbegin\overlinerayl\nfrac321=frac52\nfrac2742=frac354\nend\overlineray\n\\begin{\overlineray}{l}\n\\-\\frac{3}{2}-1=−\\frac{5}{2}\n\\-\\frac{27}{4}-2=−\\frac{35}{4}\n\\end{\overlineray}\n\nよって, \ x \ 軸方向に \\(-\\frac{5}{2}, y 軸方向に -\\frac{35}{4}) だけ平行移動。
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Q.92

EX ABC \triangle \mathrm{ABC} の重心を G \mathrm{G} , 外心を O \mathrm{O} , 内心を I \mathrm{I} とする。\n362 { }^{3} 62 \n(1) BC>CA>AB \mathrm{BC}>\mathrm{CA}>\mathrm{AB} のとき, GBC,GCA,GAB \triangle \mathrm{GBC}, \triangle \mathrm{GCA}, \triangle \mathrm{GAB} の面積の大きさを比較すると, 次のよう になる。\nGBC \triangle \mathrm{GBC} ٢ GCAGAB \square \triangle \mathrm{GCA} \longrightarrow \square \triangle \mathrm{GAB} \nア \square に当てはまるものを,次の(1)〜(3) のうちから1つ選べ。\n(1) < < \n(2) = = \n(3) > >
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Q.93

基本 列題 122 三角形の解法 (1)\n次の各場合について, \\triangle \\mathrm{ABC} \ の残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。\n(1) a=sqrt3,B=45circ,C=15circ a=\\sqrt{3}, B=45^{\\circ}, C=15^{\\circ} \n(2) b=2,quadc=sqrt3+1,quadA=30circ b=2, \\quad c=\\sqrt{3}+1, \\quad A=30^{\\circ}
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Q.94

1) 正弦定理 ABC \triangle \mathrm{ABC} の外接円の半径を R R とすると \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R \]すなわち\[ a=2 R \sin A, \quad b=2 R \sin B, c=2 R \sin C
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Q.95

2〔1]花子さんと太郎さんは, 次の [問題] こいて, 図形描画ソフトを使って考え てみることにした。 [問題] ABC \triangle \mathrm{ABC} の辺 AB \mathrm{AB} 上(ただし,頂点 A,B \mathrm{A}, \mathrm{B} を除く)の点 を E \mathrm{E} と, 辺 AC \mathrm{AC} 上に BC//EF \mathrm{BC} / / \mathrm{EF} となるような点 F \mathrm{F} を とる。また, BF \mathrm{BF} CE \mathrm{CE} の交点を P \mathrm{P} , 直線 AP \mathrm{AP} と辺 BC \mathrm{BC} の交点をDとする。このとき, 比の値 BDDC \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} を求めよ。 花子:点 E,F \mathrm{E}, \mathrm{F} BC//EF \mathrm{BC} / / \mathrm{EF} を満たしながらそれぞれ辺 AB,AC \mathrm{AB}, \mathrm{AC} 上で動かすと,点 P \mathrm{P} の位置は動くけど, 点Dの位置は動かないよ。 太郎:本当だ。どうしてだろう…。そうだ,チェバの定理を用いて考えてみよう。太郎さんのノート チェバの定理から BDDCCFFAAEEB= \quad \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} \cdot \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FA}} \cdot \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}=\square \( \mathrm{AE}: \mathrm{EB}=1: k(k>0) \) とすると AEEB=1k \quad \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}=\frac{1}{k} BC//EF \mathrm{BC} / / \mathrm{EF} から BDDCk1k= \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} \cdot \frac{k}{\square イ} \cdot \frac{1}{k}=\square ゆえに BDDC= \quad \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\square 太郎:比の値 BDDC \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} が,点 E \mathrm{E} の位置に関係なく一定であることが示せたから, 点Dは動かない, ということになるのだね。 (1) ア, イ に当てはまる数を答えよ。 (2) ウウに当てはまるものを,次の()~5のうちから1つ選べ。 (0) 12 \frac{1}{2} (1) 1 (2) 23 \frac{2}{3} (3) 32 \frac{3}{2} (4) 45 \frac{4}{5} (5) 54 \frac{5}{4} (3) [問題]において, 線分 AD \mathrm{AD} と線分 EF \mathrm{EF} の交点を Q \mathrm{Q} とすると, EQQF= \frac{\mathrm{EQ}}{\mathrm{QF}}=\square と とる。エに当てはまるものを,次の()~5のうちから1つ選べ。 (0) 12 \frac{1}{2} (1) 1 (2) 23 \frac{2}{3} (3) 32 \frac{3}{2} (4) 45 \frac{4}{5} (5) 54 \frac{5}{4}
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Q.96

点 \ \\mathrm{P} \ が線分 \ \\mathrm{AB} \ 上にあって, \ \\mathrm{AP}: \\mathrm{PB}=m: n \が成り立つとき,辺の長さを \ k \ で表す。円に内接する四角形において, 対角線で作られる三角形の相似性 を利用。
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Q.97

三角形 ABC \triangle \mathrm{ABC} A,B,C \angle \mathrm{A}, \angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{C} の大きさを、それぞれ A,B,C A, B, C で表すとき、等式 \( \left(1+\tan ^{2} \frac{A}{2}\right) \sin ^{2} \frac{B+C}{2}=1 \) が成り立つことを証明せよ。
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Q.98

(4) ABC,AID,BEF,CGH \triangle \mathrm{ABC}, \triangle \mathrm{AID}, \triangle \mathrm{BEF}, \triangle \mathrm{CGH} のうち, 外接円の半径が最も小さいものを求める。 0<A<900^{\circ} < A < 90^{\circ} のとき, ID \operatorname{ID} BC \mathrm{BC} であり ( AID \triangle \mathrm{AID} の外接円の半径) は ( ABC \triangle \mathrm{ABC} の外接円の半径) であるから,外接円の半径が最も小さい三角形は 0<A<B<C<90 0^{\circ} < A < B < C < 90^{\circ} のとき, \square である。 0<A<B<90<C 0^{\circ} < A < B < 90^{\circ} < C のとき, \square である。次の各解答群から1つずつ選びなさい。ス \square の解答群 : 同じものを繰り返し選んでもよい。 (0) < < (1) = = (2) > > タ (0) ABC \triangle \mathrm{ABC} (1) AID \triangle \mathrm{AID} (2) BEF \triangle \mathrm{BEF} (3) CGH \triangle \mathrm{CGH}
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Q.99

道路や鉄道の傾斜具合を表す言葉に勾配がある。「三角比の表」を用いて,次の問いに答えよ。(1) 道路の勾配には, 百分率(%,パーセント)がよく用いられる。百分率は,水平方向に 100m 進んだときに, 何 m 標高が高くなるかを表す。ある道路 では, 23% と表示された標識がある。この道路の傾斜は約何度か。(2) 鉄道の勾配には,千分率(‰,パーミル)がよく用いられる。千分率は、水平方向に 1000m 進んだときに, 何 m 標高が高くなるかを表す。ある鉄道路線では, 18‰ と表示された標識がある。この鉄道路線の傾斜は約何度か。
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Q.00

(2) ACD \triangle \mathrm{ACD} と直線 YRにメネラウスの定理 を用いると\n \frac{\mathrm{AS}}{\mathrm{SD}} \cdot \frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{RC}} \cdot \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{YA}}=1 \]\nここで,条件から\n\[ \mathrm{AS}=\mathrm{AP}=a, \quad \mathrm{DR}=\mathrm{DS}=d \nよって addcCYYA=1 \frac{a}{d} \cdot \frac{d}{c} \cdot \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{YA}}=1 \nゆえに AY:YC=a:c \mathrm{AY}: \mathrm{YC}=a: c \n(1)から AY:YC=AX:XC \mathrm{AY}: \mathrm{YC}=\mathrm{AX}: \mathrm{XC}
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Q.01

3) 三角形の辺と角の大小関係 (1) A<90a2<b2+c2A A<90^{\circ} \Leftrightarrow a^{2}<b^{2}+c^{2} \longleftarrow \angle \mathrm{A} が鋭角であるための条件 A=90a2=b2+c2A A=90^{\circ} \Leftrightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2} \longleftarrow \angle \mathrm{A} が直角であるための条件 A>90a2>b2+c2A A>90^{\circ} \Leftrightarrow a^{2}>b^{2}+c^{2} \longleftarrow \angle \mathrm{A} が鈍角であるための条件
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Q.02

ABC \triangle \mathrm{ABC} において, C=90,AB:AC=5:4 \angle \mathrm{C}=90^{\circ}, \mathrm{AB}: \mathrm{AC}=5: 4 とする。辺 BC \mathrm{BC} の点 C \mathrm{C} 側の 延長上に, CA=CD \mathrm{CA} = \mathrm{CD} となる点 D \mathrm{D} をる。辺 AB \mathrm{AB} の中点を E \mathrm{E} とし, 点 B \mathrm{B} から直線 AD \mathrm{AD} に下ろした垂線を BF とするとき,次の問いに答えよ。[宮崎大] (1) EF=EC \mathrm{EF} = \mathrm{EC} を示せ。 (2)面積比 ABCCEF \triangle \mathrm{ABC} : \triangle \mathrm{CEF} を求めよ。
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Q.03

(5) BC=9,BD:DC=4:5 \mathrm{BC} = 9, \mathrm{BD}: \mathrm{DC} = 4: 5 から BD=49BC=499=4 \mathrm{BD}=\frac{ 4}{9} \mathrm{BC}=\frac{ 4}{9} \cdot 9=4 よって BDBC=49=36 \mathrm{BD} \cdot \mathrm{BC} =4 \cdot 9 = 36 (1), (2) から \[ \begin{array}{l} \mathrm{BP} \cdot \mathrm{BQ} = \mathrm{BD} \cdot \mathrm{BC} \\ \mathrm{BE} \cdot \mathrm{BA} = \mathrm{BD} \cdot \mathrm{BC} \end{array} \] 方べきの定理の逆により, (3)から, 4 点 D,C,P,Q \mathrm{D}, \mathrm{C}, \mathrm{P}, \mathrm{Q} は1つ の円周上にある。また, (4)から, 4 点 D, A, C, Eも1つの円周上にある。
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Q.04

(2)余弦定理により \[ \begin{aligned} \cos A & =\frac{4^{2}+5^{2}-(\sqrt{21})^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 5}=\frac{20}{2 \cdot 4 \cdot 5}=\frac{1}{2} \\ \text{よって} A & =60^{\circ} \end{aligned} \]
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Q.05

三角形 ABC において、角 A の範囲による a², b², c² の関係を示せ。
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Q.06

次の用語の意味を説明しなさい: 同位角, 錯角, 鋭角, 鈍角, 内角, 外角, 合同, 相似, 垂直二等分線, 角の二等分線, 鋭角三角形, 直角三角形, 鈍角三角形, 弦, 弧, 中心角, 円周角, 円の接線, 対辺, 対角, 平行四辺形。
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Q.07

正八角形について, 次の数を求めよ。\n(1) 4 個の頂点を結んでできる四角形の個数\n(2)3個の頂点を結んでできる三角形のうち, 正八角形と辺を共有する三角形の個数
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Q.08

右の図のように, 円 \\mathrm{V} \ に内接する \\triangle \\mathrm{ABC} \ \\mathrm{A} \ における接線 \\ell \ 87 がある。ただし, \\mathrm{AC}<\\mathrm{BC} \ とする。辺 \\mathrm{BC} \ 上に \\mathrm{AD} = \\mathrm{BD} \ となるように点 \\mathrm{D} \ をとり、線分 \\mathrm{AD} \ の延長と円 O の交点を \\mathrm{E} \、線分 \\mathrm{EC} \ の延長と \\ell \ の交点を F とする。このとき, \\triangle \\mathrm{ABC} \ \\triangle \\mathrm{AEF} \ が相似であることを証明せよ。
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Q.09

例 2: 同心円と平行線\n右のような, 同じ間隔で描いた同心円と平行線でできた図の中には, いくつもの放物線がかくれている。\n問: 同心円と平行線が交わるポイントはどのように計算される?
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Q.10

右の図で,直線 PQ \mathrm{PQ} は点 B \mathrm{B} における円の接線である。 \overparenAD=\overparenDC,ABP=54,CBQ=24 \overparen{\mathrm{AD}}=\overparen{\mathrm{DC}}, \quad \angle \mathrm{ABP}=54^{\circ}, \angle \mathrm{CBQ}=24^{\circ} のとき, BAD \angle \mathrm{BAD} の大きさを求めよ。
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Q.11

(2) trianglemathrmABC \\triangle \\mathrm{ABC} において, mathrmBC=5,mathrmCA=3,mathrmAB=7 \\mathrm{BC}=5, \\mathrm{CA}=3, \\mathrm{AB}=7 とする。 anglemathrmA \\angle \\mathrm{A} およびその外角の二等分線が直線 BC と交わる点をそれぞれ D, E とするとき, 線分 DEの長さを求めよ。
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Q.12

次の三角形の問題において、外心、内心、垂心、重心の性質と定義を使いながら解答してください。 (1) 外心の定義に基づいて、直線OMが辺BCの垂直二等分線であることを示せ。 (2) 垂心の定義と「直径の円周角は90度」であることを用いて、2組の対辺が平行であることを示せ。
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Q.13

別解(11 を導くまでは同じ)\n (1) から \ \\triangle \\mathrm{AQC}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{ADC}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \ 同様にして\n\n \\triangle \\mathrm{BRA}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{BEA}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{BCA}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \\ \\triangle \\mathrm{CPB}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{CFB}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{CAB}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \n よって \\triangle \\mathrm{PQR}=\\triangle \\mathrm{ABC}-(\\triangle \\mathrm{AQC}+\\triangle \\mathrm{BRA}+\\triangle \\mathrm{CPB}) \\=\n \\triangle \\mathrm{ABC}-3 \\cdot \\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} であるから \\ \n \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{7} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{4}=\\frac{\\sqrt{3}}{28}
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Q.14

基 本 例題 802 次方程式の応用\n右の図のように, BC=20 cm,AB=AC,A=90 \mathrm{BC}=20 \mathrm{~cm}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}, \angle \mathrm{A}=90^{\circ} の三角形 ABC \mathrm{ABC} がある。辺 AB,AC \mathrm{AB}, \mathrm{AC} 上に AD=AE \mathrm{AD}=\mathrm{AE} となるように2点 D, Eをとり, D, Eから辺 BC \mathrm{BC} に 垂線を引き,その交点をそれぞれ F, G とする。長方形 DFGE の面積が 20 cm2 20 \mathrm{~cm}^{2} となるとき,辺 FG \mathrm{FG} の長さを求めよ。
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Q.15

メネラウスの定理の逆\n定理\n12 △ABC の辺 BC, CA, AB またはその延長上に, それぞれ点 P, Q, R があり, この 3 点のうちの 1 個また は 3 個が辺の延長上にあるとする。\nこのとき,\n\ \\frac{\\mathrm{BP}}{\\mathrm{PC}} \\cdot \\frac{\\mathrm{CQ}}{\\mathrm{QA}} \\cdot \\frac{\\mathrm{AR}}{\\mathrm{RB}}=1 \\nが成り立つならば, P, Q, R は 1 つの直線上にある。\n証明は 7.384 の INFORMATION 参照。
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Q.16

298 数学A △ABI:△BCI=BA:BC (1), (2) から △ABI:△BCI:△CAI=AB:BC:CA (2) AP と BC の交点を D, BP と CA の交点をEとする。 △ABP=△CAP であるから,それぞ れの三角形の底辺を AP と考えると BD=DC すなわち, AD は △ABC の中線である。 同様に考えて, △ABP=△BCP であるから AE=EC すなわち, BE は △ABC の中線である。 ①,2)か,Pは △ABC の重心である。
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Q.17

円に内接する四角形 \\mathrm{ABCD}\ がある。 \\mathrm{AB}=8, \\mathrm{BC}=3, \\mathrm{BD}=7, \\mathrm{AD}=5 \ であるとき、 \\mathrm{CD}\ の長さを求めよ。また、四角形 \\mathrm{ABCD} \ の面積 S \ を求めよ。
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Q.18

基本例題 1142 直線のなす角 (1)直線 y=-\frac{1}{\sqrt{3}} x と x 軸の正の向きとのなす角 \alpha, 直線 y=\frac{1}{\sqrt{3}} x と x 軸の正の向きとのなす角 \beta をそれぞれ求めよ。また,2 直線のなす鋭角を求めよ。ただし, 0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}, 0^{\circ}<\beta<180^{\circ} とする。 (2) 2 直線 y=-\sqrt{3} x, y=x+1 のなす鋭角 \theta を求めよ。
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Q.19

PR AC=BC,AB=6 \text{AC}=\text{BC}, \text{AB}=6 の直角二等辺三角形 ABC \text{ABC} の中に縦の長さが等しい 2 つの長方形を右の図のように作る。2 つの長方形の面積の和が最大になるように作ったとき、その最大値を求めよ。\n与えられた条件から AC=BC=62=32\text{AC}=\text{BC}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\n\n図のように、点 D,E,F,G \text{D}, \text{E}, \text{F}, \text{G} を取り、長方形の縦の長さを x x とすると\n\n\(\begin{array}{l}\text{DE}=\text{AE}=\text{AC}-\text{CE}=3\sqrt{2}-2x\\ \text{FG}=\text{AG}=\text{AC}-\text{GC}=3\sqrt{2}-x\end{array}\)\n\nまた、0<CE<AC0<\text{CE}<\text{AC} であるから\n0<2x<32 すなわち 0<x<3220<2x<3\sqrt{2}\text{ すなわち }0<x<\frac{3\sqrt{2}}{2}\n\n2 つの長方形の面積の和を y y とすると\n\(\begin{aligned} y &= x(3\sqrt{2}-2x) + x(3\sqrt{2}-x)\\& = -3x^2 + 6\sqrt{2}x\\& = -3(x-\sqrt{2})^2 + 6 \end{aligned}\)\n\n(1)において、y y x=2 x=\sqrt{2} で最大値 6 を取る。
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Q.20

問2(1) ABC \triangle \mathrm{ABC} と直線 DF にメネラウス の定理を用いると\n\[ \begin{array}{ll} & \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} \cdot \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}} \cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1 \\ \text { すなわち } & \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AE}} \cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{BD}} \cdot \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{CF}}=1 \\ \text { よって } & \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{CF}}=1 \\ \text { ゆえに } & \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{CF}}=\frac{9}{2} \end{array} \]
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Q.21

三角形の相似条件: 次のいずれか 1 つの条件が成り立つとき, 2 つの三角形は相似である。[1] 3 組の辺の比が等しい。[2] 2 組の辺の比が等しく,その間の角が等しい。[3] 2 組の角がそれぞれ等しい。
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Q.22

PR次の等式を満たす ∆ABC はどのような形をしているか。 (1) b sin^2 A+a cos^2 B= a (2) a/ cos A = b/ cos B = c/ cos C
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Q.23

三角形 ABC の頂点 A, B, C と辺上またはその延長上にない点 O を結ぶ直線が、向かい合う辺またはその延長とそれぞれ点 P, Q, R で交わるとき、チェバの定理を使って次を示せ。
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Q.24

trianglemathrmABC \\triangle \\mathrm{ABC} において, 辺 BCの中点をMとし, anglemathrmAMB,anglemathrmAMC \\angle \\mathrm{AMB}, \\angle \\mathrm{AMC} の二等分線が辺 mathrmAB,mathrmAC \\mathrm{AB}, \\mathrm{AC} と交わる点をそれぞれ D, E とする。このとき, \\mathrm{DE} // \\mathrm{BC} \ であることを証明せよ。
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Q.25

対角線の長さの和が 10 cm 10 \mathrm{~cm} のひし形について\n(1)面積の最大値を求めよ。\n(2) 周の長さの最小値を求めよ。
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Q.26

次の条件を満たす ABC \triangle \mathrm{ABC} は正三角形であることを示せ。\n(1) 重心と外心が一致する。\n(2) 外心と内心が一致する。
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Q.27

対角線の長さの和が 10 cm 10 \mathrm{~cm} のひし形について:\n(1)面積の最大値を求めよ。\n(2)周の長さの最小値を求めよ。
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Q.28

定理 2: AB ≠ AC である三角形 ABC の ∠A の外角の二等分線 と辺 BC の延長との交点は, 辺 BC を AB : AC に外分する。
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Q.29

TR ABC \triangle \mathrm{ABC} の辺 AB \mathrm{AB} の中点を D \mathrm{D} , 線分 CD\mathrm{CD} の中点を E\mathrm{E}, AE\mathrm{AE} BC\mathrm{BC} との交点を F\mathrm{F} とするとき, 比 AE:EF \mathrm{AE}: \mathrm{EF} を求めよ。
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Q.30

次の三角形に関する問題を解いてください。 EX ABC \triangle \mathrm{ABC} において, AB=AC=1,ABC=72 \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1, \angle \mathrm{ABC}=72^{\circ} とする。辺 AC \mathrm{AC} 上に, ABD=CBD \angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{CBD} を満たす点Dをとる。 (1) BDC \angle B D C を求めよ。 (2) 辺 BC の長さを求めよ。 (3) cos36 \cos 36^{\circ} の値を求めよ。
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Q.31

ベン図を使いこなして, 例題 49 を攻略!
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Q.32

例題 138: 正弦・余弦定理を利用した測量 (2)\n三角形の辺の長さが a, b, c で、角度 A, B, C のいずれかが与えられている場合、正弦定理や余弦定理を使って残りの辺や角度を求める。
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Q.33

EX 四角形 \\mathrm{ABCD} \ は円に内接し, \\mathrm{AB}=4, \\mathrm{BC}=2, \\mathrm{DA}=\\mathrm{DC} \ である。対角線 \\mathrm{AC}, \\mathrm{BD} \ の交点 46 を \\mathrm{E} \, 線分 \\mathrm{AD} \ を 2: 3 の比に内分する点を \\mathrm{F} \, 直線 FE, DC の交点を Gとする。\n(2) 直線 \\mathrm{AB} \ が点 Gを通る場合について考える。\nこのとき, \\triangle \\mathrm{AGD} \ の辺 \\mathrm{AG} \ 上に点 \\mathrm{B} \ があるから, \\mathrm{BG}= \ オ \ \\square \ である。\nまた, 直線 \\mathrm{AB} \ と直線 \\mathrm{DC} \ が点 \\mathrm{G} \ で交わり, 4 点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C}, \\mathrm{D} \ は同一円周上にあるから, \\mathrm{DC}= \ 力 \ \\square \ である。\n[類 センター試験]\n(1) \\mathrm{DA}=\\mathrm{DC} \ から\n\n\\angle \\mathrm{DAC}=\\angle \\mathrm{DCA}\n\nまた, 円周角の定理により\n\n\\begin{aligned}\n\\angle \\mathrm{DAC} & =\\angle \\mathrm{DBC}, \\\\\n& \\angle \\mathrm{DCA}=\\angle \\mathrm{ABD} \\\\\n\\angle \\mathrm{ABD} & =\\angle \\mathrm{DBC}\n\\end{aligned}\n\nゆえに, 線分 \\mathrm{BD} \ \\angle \\mathrm{ABC} \ の二等分線であるから\n\n\\mathrm{AE}: \\mathrm{EC}=\\mathrm{AB}: \\mathrm{BC}=4: 2={ }^{\\top} 2:{ }^{1} 1\n\n次に, \ \\triangle \\mathrm{ACD} \ と直線 FEについて, メネラウスの定理により\n\n\\begin{aligned}\n& \\frac{\\mathrm{DG}}{\\mathrm{GC}} \\cdot \\frac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}} \\cdot \\frac{\\mathrm{AF}}{\\mathrm{FD}}=1 \\\\\n\\text { よって } \\quad & \\frac{\\mathrm{DG}}{\\mathrm{GC}} \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{3}=1\n\\end{aligned}\n\nゆえに \ \\quad \\frac{\\mathrm{GC}}{\\mathrm{DG}}=\\frac{1}{3} \\nすなわち \ G C: G D={ }^{\\ゥ} 1:{ }^{I} 3 \
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Q.34

378 基 例題\n本 52 三角形の刍の二等分繳と比\n \\mathrm{AB}=10, \\mathrm{BC}=5, \\mathrm{CA}=6 \ である \\triangle \\mathrm{ABC} \ におい て, \\angle \\mathrm{A} \ およびその外角の二等分線が辺 \\mathrm{BC} \ また はその延長と交わる点を,それぞれ \\mathrm{D}, \\mathrm{E} \ とする。 このとき, 線分 DE の長さを求めよ。
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Q.35

正弦定理をマスターして, 例題 126 を攻略!
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Q.36

余弦定理によりcosAを求め、その結果を使って三角形の面積と高さを求めなさい。
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Q.37

次の各問いに答えよ。ただし,小数第 2 位を四捨五入せよ。 (2)水平面との傾きが 8° の下り坂の道を 80 m 進むと, 水平方向に何 m 進んだことになるか。また,鉛直方向には何 m 下ったことになるか。
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Q.38

2 辺とその間の角が与えられたときは余弦定理を利用しましょう。 2 辺とその間の角から残りの辺の長さを求める。 ……例題 127 (1) と同じ。 ABC \triangle \mathrm{ABC} において, 余弦定理により \[ \begin{array}{l} b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \cos B \\ \text { よって } \quad \mathrm{AC}^{2}=2^{2}+3^{2}-2 \cdot 2 \cdot 3 \cos 60^{\circ}=4+9-2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} \end{array} \]
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Q.39

1 辺の長さが 1 の正三角形 ABC\mathrm{ABC} がある。その外接円の頂点 A\mathrm{A} を含まない弧 BC\mathrm{BC} 上に点 P\mathrm{P} をと, \(\mathrm{PA}=a, \mathrm{~PB}=b, \mathrm{PC}=c \quad(b>c)\) とする。 a2+b2+c2a^{2}+b^{2}+c^{2} の値を計算してみよう。APB=APC=\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{APC}= アイ ^{\circ} であるから, ABP\triangle \mathrm{ABP} に余弦定理を用いると
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Q.40

1 km 離れた海上の 2 地点 A, B から,同じ山頂Cを見たところ,A の東の方向,見上げた 角が 30°, B の北東の方向,見上げた角が 45° の位置に見えた。この山の高さ CD を求めよ。 ただし,地点 D はCの真下にあり,3点 A, B, D は同じ水平面上にあるものとする。また, sqrt(6)=2.45 とする。
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Q.41

基本例題 1\n30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ} の三角比の値\n30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ} の正弦, 余弦, 正接の値を求めよ。\nGUIDE 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ} の三角比\n三角定規の図をかいてみよう
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Q.42

【問題】 90^{\\circ}<A<180^{\\circ} のとき 右の図で,線分 BD は △ABC の外接円の直径とする。このとき \ \\angle BAC + \\angle BDC = 180^{\\circ} \ すなわち \ \\angle BDC = 180^{\\circ} - A \ ゆえに \ a = \\mathrm{BD} \\sin \\angle \\mathrm{BDC} \ \\( = \\mathrm{BD} \\sin (180^{\\circ} - A) \\) \ = \\mathrm{BD} \\sin A \ \ \mathrm{BD} = 2 R \ であるから \ \\quad a = 2 R \\sin A \
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Q.43

数学 I \mathrm{I} \nまた, \( \triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2} r(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}) \) であるから\n\[4 \sqrt{2}=\frac{1}{2} r(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}+3 \sqrt{2})\]\nすなわち 42r=42 \quad 4 \sqrt{2} r=4 \sqrt{2} \quad したがって r=1 \quad r=1 \nTR \mathrm{TR} 次の等式が成り立つとき, ABC \triangle \mathrm{ABC} はどのような形をしているか。
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Q.44

直線 \ell と平面 α \alpha の位置関係には,次の 3 つの場合がある。\n[1] \ell α \alpha 含まれる ( \ell α \alpha 上にある)\n[2] 1 点で交わる\n[3] 平行である\n直線 \ell と平面 α \alpha が平行であるとき, //α \ell / / \alpha と書く。\n直線 \ell が平面 α \alpha 上のすべての直線に垂直であるとき, \quad \ell α \alpha に 垂直である,または \ell α \alpha に直交するといい, α \ell \perp \alpha と書く。 このとき, \quad \ell を平面 α \alpha の垂線 という。 また,次のことが成り立つ。\n直線 \ell が平面 α \alpha 上の交わる 2 直線 m,n m, n に垂直ならば,直線 \ell は平面 α \alpha に垂直である。
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Q.45

発 例題\n展 143 辺や角の等式から三角形の形纻決定\n \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, c \\cos B=b \\cos C \ が成り立つとき, この三角形はどのような 形をしているか。\n[法政大]
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Q.46

次の各問いに答えよ。ただし,小数第 2 位を四捨五入せよ。 (1)木の根元から 5 m 離れた地点に立って木の先端を見上げると,水平面とのなす角 が 55° であった。目の高さを 1.6 m として木の高さを求めよ。
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Q.47

H \mathrm{H} DFE \angle \mathrm{DFE} の二等分線と FDE \angle \mathrm{FDE} の二等分線の交点であるから, DEF \triangle \mathrm{DEF} の内心である。
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Q.48

三角形の角の二等分線と比の性質を説明してください。
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Q.49

ABC \triangle \mathrm{ABC} において, a2cosAsinB=b2cosBsinA a^{2} \cos A \sin B=b^{2} \cos B \sin A が成り立つとき, ABC \triangle \mathrm{ABC} はどのような形をしているか。
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Q.50

EX ABC \triangle \mathrm{ABC} において, a2cosAsinB=b2cosBsinA a^{2} \cos A \sin B=b^{2} \cos B \sin A が成り立つとき, ABC \triangle \mathrm{ABC} はどのような形をしているか。\n[横浜国大]
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Q.51

鋭角三角形 ABC \mathrm{ABC} の外心を Oとする。 BAO \angle \mathrm{BAO} の二等分線が ABC \triangle \mathrm{ABC} の外接円と交わる点をDとすると, AB//OD \mathrm{AB} / / \mathrm{OD} であることを証明せよ。
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Q.52

点 D から辺 AB に垂線を引き, その交点 をHとすると AH=BH=\\frac{1}{2} よって, (2)から\n\n\\cos 36^{\\circ} =\\frac{AH}{AD}=\\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}=\\frac{1}{\\sqrt{5}-1} \\ =\\frac{\\sqrt{5}+1}{(\\sqrt{5}-1)(\\sqrt{5}+1)}=\\frac{\\sqrt{5}+1}{4} DAHに着目する。\n\n参考 頂点Aから辺 BC に垂線を引き, その交点を E とすると BE=\\frac{1}{2} BC=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}\n\nゆえに \\cos 72^{\\circ}=\\frac{BE}{AB}=\\frac{\\sqrt{5}-1}{4}\n二等辺三角形の頂角 の二等分線は,底辺を 垂直に 2 等分する。
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Q.53

P \mathrm{P} で内接する 2 つの円がある。右の図のように, 点 P \mathrm{P} を通る 2 本の直線 と,外側の円との交点を A,B \mathrm{A}, \mathrm{B} ,内側の円との交点を C,D \mathrm{C}, \mathrm{D} とする。この とき, AB \mathrm{AB} と CD は平行であることを証明せよ。
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Q.54

EX 右の図において, L, M, N は △ABC の辺と内接円との接点であり, ∠C=90°, AL=3, BM=10 である。(1) 内接円の半径を r とするとき, AC, BC の長さをそれぞれ r で表せ。(2) r の値を求めよ。
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Q.55

三角形 の边と角の決定 (1) △ 標 において, b=2 √6, c=3√2+√6, A=60° のとき,残りの边の長さと角の大きさを求めよ。
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Q.56

三角形 ABC において, AB=AC=5, BC=√5 とする。辺 AC 上に点 D を AD=3 となるようにとり, 辺 BC の B の側の延長と三角形 ABD の外接円との交点でBと異なるものを E とする。(3) DE= EP= である。
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Q.57

数学 I \mathrm{I} \nEX 78\n■ AD//BC,AB=5,BC=7,CD=6,DA=3 \mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \mathrm{AB}=5, \mathrm{BC}=7, \mathrm{CD}=6, \mathrm{DA}=3 である台形 ABCD \mathrm{ABCD} において, D \mathrm{D} を通り AB \mathrm{AB} に平行な直線と辺 BC \mathrm{BC} の交点を Eとし,DEC=θ \mathrm{E} と し, \angle \mathrm{DEC}=\theta とする。次のものを求めよ。\n(1) 線分 DE, EC の長さ\n(2) cosθ \cos \theta の値\n(3) 台形 ABCD \mathrm{ABCD} の面積
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Q.58

第 7 章 三角形への応用\n135\nEXŁ ABC \triangle \mathrm{ABC} において, AB=7,BC=42,ABC=45 \mathrm{AB}=7, \mathrm{BC}=4 \sqrt{2}, \angle \mathrm{ABC}=45^{\circ} とし, ABC \triangle \mathrm{ABC} の外接円の中心を O \mathrm{O} と 74 する。\n(1) CA= \mathrm{CA}= ` \square であり, 外接円Oの半径はへ \square である。\n(2)外接円 O \mathrm{O} 上の点 A \mathrm{A} を含まない弧 BC \mathrm{BC} 上に,点 D \mathrm{D} CD=10 \mathrm{CD}=\sqrt{10} であるようにとる。このとき, ADC= \angle \mathrm{ADC}=\square^{\circ} であるから, AD=x \mathrm{AD}=x とすると x= x=\sqrt{ } \square である。\n[類 センター試験]
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Q.59

正弦定理か余弦定理か\n余弦定理で a a を求めた後, 解法が複数考えられ, 解法によっては答が得られ ないこともあります。詳しく見てみましょう。\n\n余弦定理を用いて B B を求めてみよう。\na=6 a=6 を求めた後, \\triangle \\mathrm{ABC} \ について, 3 辺がわかっている状態になる。そこで, 余弦定理を利用して B B を求めてみよう。\n余弦定理により \( \\cos B=\\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}=\\frac{(3 \\sqrt{2}+\\sqrt{6})^{2}+6^{2}-(2 \\sqrt{6})^{2}}{2 \\cdot(3 \\sqrt{2}+\\sqrt{6}) \\cdot 6} \\)\n\\[=\n\\frac{18+12 \\sqrt{3}+6+36-24}{12 \\sqrt{2}(3+\\sqrt{3})}=\\frac{12(3+\\sqrt{3})}{12 \\sqrt{2}(3+\\sqrt{3})}=\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\]\n\nよって\n\B=45^{\\circ}\\n⒐ 左の例題の正弦定理を用いた解法は, 計算はそれほど煩雑ではないですが, B B が 2 通り導かれ, 残りの角 C C についの吟味が必要になりましたよね。 この違いはどこからくるのでしょうか。\n\n先にC を正弦定理で求めようとするとどうなるか。\n正弦定理により \\quad \\frac{6}{\\sin 60^{\\circ}}=\\frac{3 \\sqrt{2}+\\sqrt{6}}{\\sin C} \\quad \\longleftarrow \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{c}{\\sin C} \\nよって \\sin C=\\frac{3 \\sqrt{2}+\\sqrt{6}}{6} \\cdot \\sin 60^{\\circ}=\\frac{3 \\sqrt{2}+\\sqrt{6}}{6} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4} \\nこれでは C C が求められません。\n正弦定理自体は成り立ちますが, C C が直ちに求められません。また, C C を余弦定理で求めようとしても, 同様に求めることができません。\nこのように, 辺や角の選び方によっては,うまくいかないこともあります。 そのようなときは別の辺や角を試してみましょう。
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Q.60

TR ABC \triangle \mathrm{ABC} の辺 AB \mathrm{AB} 3:2 3: 2 に内分する点を D \mathrm{D} , 辺 AC \mathrm{AC} 4:3 4: 3 に内分する点を E \mathrm{E} とし, BE\mathrm{BE} CD\mathrm{CD} 158 { }^{1} 58 の交点と A\mathrm{A} を結ぶ直線が BC\mathrm{BC} と交わる点を F\mathrm{F} とするとき, 比 BF:FC \mathrm{BF}: \mathrm{FC} を求めよ。
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Q.61

半径 r r の円 Oにおいて, 弦 AB \mathrm{AB} に対する中心角 AOB \angle \mathrm{AOB} の大きさを 2θ 2 \theta とし, Oから AB に下ろした垂線を OH \mathrm{OH} とする。\nこのとき, 弦 AB \mathrm{AB} と垂線 OH \mathrm{OH} の長さを r r θ \theta で表せ。
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Q.62

L,M,N \mathrm{L}, \mathrm{M}, \mathrm{N} ABC \triangle \mathrm{ABC} の辺 と内接円との接点であり, C=90 \angle \mathrm{C}=90^{\circ} , AL=3,BM=10 \mathrm{AL}=3, \mathrm{BM}=10 である。 (1) 内接円の半径を r r とするとき, AC, BC の長さをそれぞれrで表せ。 (2) r r の値を求めよ。
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Q.63

ABC \triangle \mathrm{ABC} の重心を G \mathrm{G} , 直線 AG,BG \mathrm{AG}, \mathrm{BG} と辺 BC,AC \mathrm{BC}, \mathrm{AC} の交点をそれぞれ D,E \mathrm{D}, \mathrm{E} とする。また,点 E \mathrm{E} を通り BC \mathrm{BC} に平行な直線と直線 AD \mathrm{AD} の交点をFとする。 (1) AD=a \mathrm{AD}=a とおくとき, 線分 AG,FG \mathrm{AG}, \mathrm{FG} の長さを a a を用いて表せ。 (2)面積比 GBD:ABC \triangle \mathrm{GBD}: \triangle \mathrm{ABC} を求めよ。
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Q.64

2地点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ から用水路を隔てた対岸の2地点 \\mathrm{C}, \\mathrm{D} \ を観測したところ, 右の地図のようになった。なお, 4地点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C}, \\mathrm{D} \ は同じ高さにあるものとする。\n(1) \\mathrm{BD} \ および \\mathrm{BC} \ の長さ \( (\\mathrm{m}) \\) を求めよ。\n(2) CD の長さ \( (\\mathrm{m}) \\) を求めよ。\n\nただし,答えに根号がついたままでよい。\n&~GUIDE 正弦定理,余弦定理を利用できる三角形を見つける。\n(1) \\triangle \\mathrm{ABD} \ において, 1辺と2つの角がわかるから,正弦定理を利用。\n(2) \\triangle \\mathrm{BDC} \ において, 2辺とその間の角がわかるから,余弦定理を利用。
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Q.65

▶ 発展例題 123 本 111 直角三角形と三角比の値 右の図の直角三角形において, A=α,B=β \angle \mathrm{A}=\alpha, \angle \mathrm{B}=\beta とする。 α,β \alpha, \beta の正弦, 余弦, 正接の値を, それぞれ求めよ。 CHART 当てはめる。 \square \qquad ! ! sinθ= 対辺  斜辺, ,cosθ= 隣辺  斜辺 ,tanθ= 対辺  隣辺  \sin \theta=\frac{\text { 対辺 }}{\text { 斜辺, }}, \cos \theta=\frac{\text { 隣辺 }}{\text { 斜辺 }}, \tan \theta=\frac{\text { 対辺 }}{\text { 隣辺 }} θ \theta を左下,直角を右下にして直角三角形をかく 隣辺 と, 考えやすい。
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Q.66

387\n基 例題\n本 59 メネラウスの定理\nABC \triangle \mathrm{ABC} の辺 AB \mathrm{AB} 1:2 1: 2 に内分する点を D \mathrm{D} , 線分 BC \mathrm{BC} 4:3 4: 3 に内分する点を E \mathrm{E} , AE \mathrm{AE} CD \mathrm{CD} の交点を F とするとき,次の比を求めよ。\n(1) AF:FE \mathrm{AF}: \mathrm{FE} \n(2) DF:FC \mathrm{DF}: \mathrm{FC}
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Q.67

測量への応用 (1)
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Q.68

数学 A (2) (1) B 通り, 直線 AB と異なる半直線 l を引く。 (2) l 上に, B から等間隔に点をとり, 3 番目の点を C, 5 番目の点 をDとする。 このとき BC: CD=3: 2 (3) Dを通り, 直線 CA に平行な直線を引き, 直線 AB と の交点を E とする。点 E が求める点である。 ← AC // ED から AE: EB=CD: DB =2: 5
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Q.69

次の三角形の問題について答えなさい。\n(1)b=4b=4c=6c=6、角B=60°のとき、余弦定理を利用して辺aを求めよ。\n(2)a=3a=3b=2b=\sqrt{2}c=17c=\sqrt{17}のとき、余弦定理を利用して角Cの大きさを求めよ。\n(3)a=3a=\sqrt{3}b=2b=2C=60°角C=60°のとき、余弦定理を利用して辺cを求めよ。
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Q.70

三角形ABCにおいて、∠B > ∠Cであるならば、b > cであることを証明せよ。
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Q.71

第 3 章 図 形 の 性 質\nさらに, AFE \triangle \mathrm{AFE} ABC \triangle \mathrm{ABC} において\nA \angle \mathrm{A} は共通, AFE=ABC \angle \mathrm{AFE}=\angle \mathrm{ABC} \nゆえに, 2 組の角がそれぞれ等しいから AFEABC \triangle \mathrm{AFE} \propto \triangle \mathrm{ABC} \nAF:AB=1:2 \mathrm{AF}: \mathrm{AB}=1: 2 であるから\nAFE:ABC=12:22=1:4 \triangle \mathrm{AFE}: \triangle \mathrm{ABC}=1^{2}: 2^{2}=1: 4 \nしたがって AFE=14ABC=1412S=3S \triangle \mathrm{AFE}=\frac{1}{4} \triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{4} \cdot 12 S=3 S \n(2) (1) から, 四角形 AFGE \mathrm{AFGE} の面積を T T とおくと\nT=EFG+AFE=S+3S=4S T=\triangle \mathrm{EFG}+\triangle \mathrm{AFE}=S+3 S=4 S \nよって, (1), (2)から ABCT=12S4S=3 \frac{\triangle \mathrm{ABC}}{T}=\frac{12 S}{4 S}=3