モンスタークエスト:AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
幾何学と測定
幾何学と測定 - ベクトルの基礎 | AIチューター ヤロウゼ、宿題!
Q.06
とする。2 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) と原点 が一直線上にあるとき,実数 の値を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.07
ベクトルの成分表示
\( \vec{a}=(3,-4), \vec{b}=(-2,1) \) のとき, 次のベクトルを成分表示せよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.10
■ 三角形の重心の位置べクトル \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の重心Gの位置ベクトルについて, 次のことが成り立つ。3点 \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}), \\mathrm{C}(\\vec{c}) \\) を頂点とする \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の重心の位置ベクトルは\n\\\frac{\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}}{3}\\n
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.12
3 点 \( \mathrm{A}(1,1,0), \mathrm{B}(0,2,2), \mathrm{C}(1,2,1) \) を頂点とする において、 の大きさ を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.14
ベクトルの平行\nベクトル \\overrightarrow{0} \ でない 2 つのべクトル \vec{a}, \\\vec {b} \ は, 向きが同じか反対のとき平行であるといい, \\\vec {a}/\\vec {b}\ と書く。ベクトルの実数倍の定義から,次のことが成り立つ。\n\n次にサンプルベクトル \\\vecа=\(кращий))), \вейвек треба й дорівнювати \( 2 \\vec {b}\ 示してください。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.15
空間において, 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) がある。線分 AB を m:n に外分する点の位置ベクトルを求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.16
点 P(\\vec{p}) が 3 点 A(\\vec{a}), B(\\vec{b}), C(\\vec{c}) の定める平面上にある条件\n\\n\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{CA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{CB}}\\ \ Longleftrightarrow \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c}, \\ s+t+u=1\n\
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.17
右の図に示されたベクトルについて, 次の ようなべクトルの番号の組をすべてあげよ。\n(1) 大きさが等しいベクトル\n(2) 向きが同じベクトル\n(3) 等しいベクトル\n(4) 互いに逆ベクトル
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.18
TRAINING 36
の内部に点 があり, が成り立っている。
(1) 点 はどのような位置にあるか。
(2)面積比 を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.19
座標空間において、2点間の距離を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)の場合、AB間の距離は?
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.20
(4) \\( \\vec{a}=(3,5,-8), \\vec{b}=(2,4,-6) \\) と実数 \ t \ に対し, \\( \\vec{p}=(1-t) \\vec{a}+t \\vec{b} \\) とする。 \ |\\vec{p}| \ が最小となるときの \ t \ の値と, そのときの \ |\\vec{p}| \ を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.21
ベクトルの実数倍\実数 とベクトル \( \\vec{a}(\\neq \\overrightarrow{0}) \\) に対し, \\vec{a} \ の k \ 倍のベクトル k \\vec{a} \ を次のように定める。\n1. k > 0 \ なら, \\vec{a} \ と同じ向き で, 大きさが k \ 倍 になります。特に 1 \\vec{a}=\\vec{a} \\n2. ¥(k < 0 \\) なら, \\vec{a} \ と反対向きで, 大きさが \( |k| \\ ) 倍 になります。特に \( \\quad (-1) \\vec{a}=-\\vec{a} \\)\n3. k=0 \ なら, \\overrightarrow{0} \ すなわち 0 \\vec{a}=\\overrightarrow{0} \\n\n次に与えられた例でこれを確認してください。例: ベクトル \( \\vec{a} = (3, -2) \\) に実数 k = 2, -3, 0 \ を掛ける。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.23
別解 の求め方(11 までは同じ)
点Dを始点とすると,
であるから, (1) より
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{DH}} & =\frac{1}{30} k(\overrightarrow{\mathrm{DB}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}})+\frac{1}{5} k(\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}})-\frac{9}{10} k(-\overrightarrow{\mathrm{DA}})
& =\frac{2}{3} k \overrightarrow{\mathrm{DA}}+\frac{1}{30} k \overrightarrow{\mathrm{DB}}+\frac{1}{5} k \overrightarrow{\mathrm{DC}} \end{aligned} \]
を確認しておこう。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.24
とするとき, 点 \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{A}^{\prime}(-\alpha), \mathrm{B}(z+\alpha) \), \( \mathrm{C}(z-\alpha) \) を複素数平面上に図示せよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.25
右の図の四角形 はひし形であり, 点 は対角線 と の交点である。 とするとき\n(1) を図示せよ。(2) はどのようなベクトルか。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.26
発展例題 35
ベクトルの大きさの最小値(空間)
\( \vec{a}=(2,-4,-3), \vec{b}=(1,-1,1) \) とする。 は実数 \( ) \) の大きさの最小値とそのときの の値を求めよ。
[千葉工大]
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.27
次の 2 つのベクトル が平行になるように, の値を定めよ。
(1) \( \vec{a}=(3, x), \vec{b}=(1,4) \)
(2) \( \vec{a}=(2 x, 9), \vec{b}=(8, x) \)
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.29
(1) 定点 と動点 がある。 とするとき, で表される点 は, ある円の周上にある。その円の中心と半径を求めよ。 ただし, とする。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.32
TRAINING 31 (3)
に対して, とする。実数 が次の式を満たすとき, 点 の存在範囲を求めよ。
(1)
(2)
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.33
3点A、B、Cの重心の座標を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)、点Cの座標が(c1, c2, c3)の場合、重心の座標は?
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.34
とするとき, 点 \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{P}^{\prime}(-z), \mathrm{B}(z+\alpha), \mathrm{C}(z-\alpha) \) を複素数平面上に図示せよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.35
点Aの座標は (2,-4), 点 Bの座標は (-2,2),点Cの座標は (0,-4) です。次のベクトル について、以下の問題に答えなさい。\n(1) をそれぞれ成分表示せよ。\n(2) をそれぞれ求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.36
空間において, 始点を A, 終点を B とする有向線分 AB が表すベクトルを で表し,その大きさを で表す。空間のベクトルも小文字を使って と表すことがある。空間のベクトルは,平面の場合とまったく同じように定義される。ベクトルの基本的な性質について以下の問いに答えなさい。
1. と が向きが同じで大きさも等しい場合、どのように表せますか?
2. ベクトル の逆ベクトルはどう表しますか?
3. 大きさが0のベクトルと、大きさが1のベクトルはそれぞれ何と呼ばれますか?
4. ベクトルの加法と減法、および実数倍の例を挙げてください。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.37
TR とするとき, 点 \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{P}^{\prime}(-z), \mathrm{B}(z+\alpha), \mathrm{C}(z-\alpha) \) を複素数平面 70 上に図示せよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.39
平面上に, と点 があるとする。次の等式が成り立つとき, 点 はど のような位置にあるか答えよ。\n(1) \n(2)
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.40
右の図に示されたベクトルについて,次の ようなべクトルの番号の組をすべてあげよ。\n(1)大きさが等しいベクトル\n(2)向きが同じベクトル\n(3)等しいベクトル\n(4)互いに逆ベクトル
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.41
TRAINING 59
\( \vec{a}=(1,2,3), \vec{b}=(2,0,-1) \) があり, 実数 に対し, とする。 の最小値と, そのときの の値を求めよ。
[福岡工大]
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.43
第 1 章 平面上のベクトル- 23\nEX 3 点 \( \\mathrm{A}(1,1), \\mathrm{B}(3,2), \\mathrm{C}(5,-2) \\) がある。\n(1) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ と \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \ のなす角 \\theta \ に対して \ \\cos \\theta \ を求めよ。\n(2) \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積を求めよ。\n(3) ベクトル \ t \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \ の大きさを最小にする実数 t の值とその最小值を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.45
3 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする において, 辺 の中点を , 辺 を 1:2 に外分する点を , 辺 を に外分する点をRとし, の重心を Gとする。次のベクトルを を用いて表せ。\n(1) 点Gの位置ベクトル\n(2)
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.46
TR 次の各場合において, \\vec{a} \ と \\vec{b} \ のな角 \\theta \ を求めよ。\n(1) |\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=3,|2 \\vec{a}+\\vec{b}|=\\sqrt{13} \ のとき\n(2) |\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=\\sqrt{3} \ で, \\vec{a}-\\vec{b} \ と 6 \\vec{a}+7 \\vec{b} \ が垂直であるとき
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.47
点 \( \mathrm{A}(4,2,2) \) を通り, \( \vec{n}=(2,-3,1) )に垂直な平面の方程式を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.49
点 \( \mathrm{A}(2,1,-5) \) を通り, \( \vec{n}=(1,-2,3) \) に垂直な平面の方程式を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.50
2 点 \( \mathrm{A}(a_{1}, a_{2}) \), \( \mathrm{B}(b_{1}, b_{2}) \) について\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}\right)\] \[|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}\]
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.51
ベクトル \\vec{a} と \\vec{b} が与えられている。|\\vec{a}| = 2\\sqrt{10}, |\\vec{b}| = \\sqrt{5}, \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = -10 であるとき、次の問いに答えよ。(1) 実数 t に対し, |\\vec{a} + t\\vec{b}| の最小値と、そのときの t の値を求めよ。(2) (1) で求めた t の値に対して, \\vec{a} + t\\vec{b} と \\vec{b} は垂直であることを示せ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.52
平面上に, と点 があるとする。次の等式が成り立つとき, 点 , はどのような位置にあるか答えよ。\n(1) \n(2)
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.53
\(\vec{a}=(3,-4), \vec{b}=(-2,1)\) のとき、次のベクトルを成分表示せよ。\n(1) \n(2) \n(3)
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.56
基 例題\n本 2 ベフトルの加法\n右の図のベクトル \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c}, \\vec{d} \ について, 次のベクトル を図示せよ。\n(1) \\vec{a}+\\vec{b} \\n(2) \\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c} \\n(3) \\vec{a}+\\vec{d} \
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.57
3点 O, P, C がこの順に一直線上 にあるのは, 直線 OC と球面 S との交点のうち, 点 O から近い方の点が P の ときである。 OC=√(0^2+1^2+2^2)=√5 であるから, 3点 O, P, C がこの順に一直線上に あるとき, 点 P の y 座標は何ですか?
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.58
(1) において, のとき, の面積 を を 用いて表せ。\n(2) (1) を利用して, のとき, の面積 を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.59
(1) \( \\vec{a}=(x+2,1) \) と \( \\vec{b}=(1,-6) \) が垂直になるような の値を求めよ。\n(2) \( \\vec{c}=(2,1) \) に垂直で,大きさが であるベクトル を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.61
次の条件を満たす直線の方程式を,ベクトルを用いて求めよ。\n(1)点 \( \mathrm{A}(-2,3) \) を通り,ベクトル \( \vec{d}=(2,1) \) に平行\n(2) 2 点 \( \mathrm{A}(-1,2), \mathrm{B}(3,1) \) を通る
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.63
空間において, 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) がある。線分 AB を m:n に内分する点の位置ベクトルを求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.64
線分ABをm:nに内分する点Pの座標を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)の場合、Pの座標は?
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.65
線分 AB の中点の座標\n\\ \ left(\\\frac{a_{1}+b_{1}}{2}, \\\frac{a_{2}+b_{2}}{2}, \\\frac{a_{3}+b_{3}}{2}\\n
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.70
(2) \\overrightarrow{\\mathrm{OC}} \ と \\overrightarrow{\\mathrm{MN}} \ のなす角を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.71
線分ABの中点の座標を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)の場合、中点の座標は?
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.72
TRAINING 55\n3 点 \( \mathrm{A}(1,2,3), \mathrm{B}(-3,2,-1), \mathrm{C}(-4,2,1) \) について, 次のものを求めよ。\n(1) 2 点 間の距離\n(2) 線分 BC を に内分する点 の座標\n(3) 線分 を に外分する点 の座標\n(4) 線分 CA の中点 の座標\n(5) の重心 G の座標
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.74
右の図の正六角形 において、対角線 と の交点を とし、 とする。このとき,次のベクトルを を用いて表せ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.75
3 点 \( \mathrm{A}(1,-1,0), \mathrm{B}(3,1,2), \mathrm{C}(3,3,0) \) を通る平面の方程式を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.77
ベクトルの成分\nベクトルの大きさ\n\\n|\\vec{a}|=\\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\n\
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.79
右の図の正六角形 において, 対角線 と の交点を とし, とする。このとき,次のベクトルを \( \vec{a}, \vec{b} を用いて表せ。(1) (2) (3) (4)
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.80
2点 \(A(a_1, a_2, a_3)\) と \(B(b_1, b_2, b_3)\) の間の距離を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.84
第 1 章 平面上のベクトル- 5
TR \( \vec{a}=(2,3), \vec{b}=(-2,2), \vec{c}=(5,5) \) であるとき, を満たす実数 の値を求め 11 よ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.88
\( \\vec{c}=(2,1) \) に垂直で、大きさが であるベクトル \( \\vec{d}=(x, y) \) を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.90
(1) 点 \( \mathrm{P}(-3,5,1) \) から 平面, 平面, 平面にそれぞれ垂線 を下ろす。 3 点 の座標を求めよ。\n(2) 点 \( \mathrm{P}(-3,5,1) \) と 平面, 平面, 平面に関して対称な点をそれぞれ とする。 3 点 の座標を求めよ。\n(3) 原点 \( \mathrm{O} )と点 \( \mathrm{P}(-3,5,1) \) の距離を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.91
第 2 章 空間のベクトル\n37\nTR \\( \\vec{a}=(1,2,3), \\vec{b}=(2,0,-1) \\) があり, 実数 \ t \ に対し, \ \\vec{c}=\\vec{a}+t \\vec{b} \ とする。 \ |\\vec{c}| \ の最小値と, 59 そのときの \ t \ の値を求めよ。\n[福岡工大]\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\vec{c} & =\\vec{a}+t \\vec{b}=(1,2,3)+t(2, \\quad 0,-1) \\\\\n& =(2 t+1, \\quad 2,-t+3)\n\\end{aligned}\n\\]\n
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.92
3 略, のとき \( \\vec{p}=(-5,0), t=1 \) のとき \( \\vec{p}=(4,3) \)
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.93
3 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする において, 辺 を に内分する点を , 辺 を に外分する点を とする。次のベクトルを , を用いて表せ。\n(1) 点 の位置ベクトル\n(2) \n(3) の重心Gの位置ベクトル
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.94
3点が一直線上にあるための条件 [共線条件] 2 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) が異なるとき,点 \( \mathrm{C}(\vec{c}) \) に対して\n3 点 が一直線上にある\n 点 が直線 上にある\n または \n となる実数 がある\n...... (1)\n\nとなる実数 がある\nとなる実数 がある \n補足 (1)において, であるから \( \vec{c}-\vec{a}=k(\vec{b}-\vec{a}) \)\n整理すると \( \quad \vec{c}=(1-k) \vec{a}+k \vec{b} \)\n とおくと, (2)が得られる。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.95
等しいベクトル\n向きが同じで大きさも等しい2つのベクトル \\vec{a}, \\vec{b} \ は等しいとい い, \\vec{a}=\\vec{b} \ と表す。\n \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\overrightarrow{\\mathrm{CD}} \ であるとき, 有向線分 \\mathrm{AB} \ を平行移動して有向線分 \\mathrm{CD} \ に重ね合わせることができる。\nすなわち, \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\overrightarrow{\\mathrm{CD}} \ であることは, 有向線分 \\mathrm{AB}, \\mathrm{CD} \ について,次の [1], [2] が同時に成り立つことである。\n1]向きが同じ \\longleftrightarrow \ 矢印の向きが同じ\n[2] 大きさが等しい \\longleftrightarrow A B=C D \
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.96
EX 2 つのベクトル \( \\vec{a}=(1,2), \\vec{b}=(3,1) \) と実数 に対して とおくとき, \\vec{p} \ の大 3 きさが 5 となる の值と \\vec{p} \ を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.97
Oを極とする極座標において, 次の直線の極方程式を求めよ。
(1)始線 OX 上の点 A(3/2, 0) を通り,始線に垂直な直線
(2)極 O を通り,始線とのなす角が -π/4 の直線
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.98
左の例題で, 点 P を線分 AE を m: n に内分する点 [AP: PE=m: n] とすると
\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{n \overrightarrow{\mathrm{OA}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}}}{m+n}=\frac{n}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{m}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OE}} \] と表すことができる。係数の和が 1 に着目して, \[ \frac{m}{m+n}=s \] とおく。したがって, \[ \frac{n}{m+n}=1-s となり, (A) を \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{OE}} \] と表すことができる。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.99
数学 C\nTR右の図の四角形 はひし形であり, 点 は対角線 と の交点 3 である。 とするとき\n(1) を図示せよ。\n(2) はどのようなベクトルか。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.00
1辺の長さが 2 の正方形 において、 とする。\n(1) 辺 を 2:1 に内分する点 に対して、 を を用いて表せ。\n(2) と反対向きの単位ベクトル を を用いて表せ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.05
TRAINING\n次の計算をせよ。\n(1) \n(2) \( 5 \vec{b}-2(-6 \vec{b}) \)\n(3) \( -2(3 \vec{a}-2 \vec{b})+4(\vec{a}-\vec{b}) \)\n(4) \( \frac{1}{2}(\vec{a}+2 \vec{b})+\frac{3}{2}(\vec{a}-2 \vec{b}) \)\n(5) \( \frac{2}{3}(2 \vec{a}-3 \vec{b})+\frac{1}{2}(-\vec{a}+5 \vec{b}) \)
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.06
長方形 で である。 とする。\n(1) 辺 の中点を とするとき, を , を用いて表せ。\n(2) と同じ向きの単位ベクトル を を用いて表せ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.07
ベクトルの成分表示
\( \vec{a}=(3,-2), \vec{b}=(-1,2) \) のとき,次のベクトルを成分表示せよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.08
ベクトルの和, 差, 実数倍\n\\[\ns \\vec{a}+t \\vec{b}=s\\left(a_{1}, \\quad a_{2}, a_{3}\\right)+t\\left(b_{1}, \\quad b_{2}, \\quad b_{3}\\right)\n\\]
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.09
空間の点とベクトルの関係\n2 点 \\( \\mathrm{A}(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \\mathrm{B}(b_{1}, b_{2}, b_{3}) \\) について\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\left(b_{1}-a_{1}, \\quad b_{2}-a_{2}, \\quad b_{3}-a_{3}\\right) \\\\\n|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}|=\\sqrt{\\left(b_{1}-a_{1}\\right)^{2}+\\left(b_{2}-a_{2}\\right)^{2}+\\left(b_{3}-a_{3}\\right)^{2}}\n\\end{array}\n\\]
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.11
第 2 章 空間のベクトル 2 つのベクトル \\( \\vec{a}=(1,2,-1), \\vec{b}=(-1, x, 0) \\) のなす角が \ 45^{\\circ} \ であるとき, \ x \ の值を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.12
(1) 点 \( \mathrm{A}(3,1) \) を通り, ベクトル \( \vec{n}=(3,-7) \) に垂直な直線の方程式を求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.13
STEP into ここで整理
を満たす点 の存在範囲
に対して, を満たす点 の存在範囲について整理して おきましょう。
まず, の条件式について, 基本となる次の 4 つのタイプがある。
[1] (係数の和が 1 ) 直線
[2] 線分 例題 31
[3] の周および内部 例題 39 (1)
[4] 平行四辺形 の周および内部
\( (\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}) \longrightarrow \) 例題 39 (2)
[1], [2] については, 7.59 で触れているので, ここでは[3],[4]について説明しておこう。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.15
50 \\overrightarrow{\\mathrm{MN}}=\\frac{-2 \\vec{a}-\\vec{b}+3 \\vec{c}}{4}, \\overrightarrow{\\mathrm{GN}}=\\frac{-4 \\vec{a}-\\vec{b}+9 \\vec{c}}{12}
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.17
極座標が次のような点の直交座標を求めよ。
A(2, 11/4 π), B(1, -5/2 π), C(3, 3 π), D(3, 0)
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.19
(2) 3 点 \( \mathrm{A}(3,1), B(-2,2), C(1,-5) \) について, 点Cを通り, 直線 に 垂直な直線の方程式を, ベクトルを用いて求めよ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.20
次の各場合において, \\vec{a} \ と \\vec{b} \ のなす角 を求めよ。\n(1) のとき\n(2) で, と が垂直であるとき
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.21
7 \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\frac{4}{9} \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\frac{1}{6} \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.23
前ページの例題の結果に注目してみましょう。
3 つのベクトル はすべて, 2 つのべクトル を用いて
の形に表されていますね。一般に, 平面上のベクトルについて, 次のことがいえます。 でない2つのベクトル が平行でないとき, どんなベクトル も と適当な実数 を用いて
の形に表すことができる。しかも, この表し方はただ1通りである。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.24
基 例 題
》標準例題 45
本 11 ベフトルの分解と成分
(》)
\( \vec{a}=(2,1), \vec{b}=(-1,1) \) であるとき, ベクトル \( \vec{p}=(1,5) \), 適当な実数 , を用いて の形に表せ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.26
次の条件を満たす直線の方程式を, ベクトルを用いて求めよ。\n1. 点 \( \\mathrm{A}(-3,5) \\) を通り, ベクトル \( \\vec{d}=(1,-\\sqrt{3}) \\) に平行\n2. 2 点 \( \\mathrm{A}(-7,-4), \\mathrm{B}(5,5) \\) を通る
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.27
四面体 において、 とする。辺 の中点を 、辺 を に内分する点を の重心を Gとするとき、ベクトル を を用いて表せ。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.28
通る1点と傾き(方向)が与えられた直線について考えよう。点A(\\vec{a}\)を通り、0でないベクトル\\vec{d}\に平行な直線をgとすると直線g(点Aを除く)上の任意の点P(\\vec{p}\)について、次のことが成り立つ。\n点P(\\vec{p}\)がg上にあることの条件を示せ。具体的には、方向ベクトルを用いて直線の方程式を導け。
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.29
ベクトルの相等\n\\n\\vec{a}=\\vec{b} \\Longleftrightarrow a_{1}=b_{1}, \\quad a_{2}=b_{2}, \\quad a_{3}=b_{3}\n\
Ask Monster Quest : AI tutor for answer!
Q.30
数学の問題:三角形 \\triangle OAB \ の重心 G の位置ベクトルを求める問題です。点 G \ は三角形の重心であるから、点 G \ の位置ベクトルは以下のように求められます。\n\n1.