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AIチューター | ヤロウゼ、宿題!

幾何学と測定

ベクトル解析 曲線と曲面の幾何学 - ベクトルの基礎

Q.01

原点 O と点 P(2,3,1) の距離を求めよ。
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Q.02

原点 O と点 P(-2,4,3) の距離を求めよ。
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Q.03

69 (2) x 軸方向に -2, y 軸方向に -3
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Q.04

69 (1) x 軸方向に 3/2, y 軸方向に 5/4
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Q.05

53 (1) x x 軸方向に 4,y 4, y 軸方向に -7 だけ 平行移動したもの (2) x x 軸方向に 52,y -\frac{5}{2}, y 軸方向に 354 -\frac{35}{4} だけ平行移動する
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Q.06

α=x2i,β=36i \alpha=x-2 i, \beta=3-6 i とする。2 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) と原点 O \mathrm{O} が一直線上にあるとき,実数 x x の値を求めよ。
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Q.07

ベクトルの成分表示 \( \vec{a}=(3,-4), \vec{b}=(-2,1) \) のとき, 次のベクトルを成分表示せよ。 (1) 2a 2 \vec{a} (2) b -\vec{b} (3) a+2b \vec{a}+2 \vec{b} (4) 2a3b 2 \vec{a}-3 \vec{b}
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Q.08

ベクトル方程式: OP=sOA+tOB \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}} を満たす点 P \mathrm{P} の存在範囲
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Q.09

ベクトルの係数の等しさについて: a0,b0\vec{a} \neq \overrightarrow{0}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0} のとき, sa+tb=sa+tbs \vec{a} + t \vec{b} = s^{\prime} \vec{a} + t^{\prime} \vec{b}s=s,t=ts = s^{\prime}, t = t^{\prime}
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Q.10

■ 三角形の重心の位置べクトル \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の重心Gの位置ベクトルについて, 次のことが成り立つ。3点 \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}), \\mathrm{C}(\\vec{c}) \\) を頂点とする \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の重心の位置ベクトルは\n\\\frac{\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}}{3}\\n
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Q.11

平面上のベクトルに関する問題を解いてください。
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Q.12

3 点 \( \mathrm{A}(1,1,0), \mathrm{B}(0,2,2), \mathrm{C}(1,2,1) \) を頂点とする ABC \triangle \mathrm{ABC} において、BAC \angle \mathrm{BAC} の大きさ θ \theta を求めよ。
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Q.13

次の各場合において, veca \\vec{a} vecb \\vec{b} のな角 theta \\theta を求めよ。\n(1) veca=1,vecb=2sqrt2,2veca3vecb=10 |\\vec{a}|=1,|\\vec{b}|=2 \\sqrt{2},|2 \\vec{a}-3 \\vec{b}|=10 のとき\n(2) veca=2,vecb=1 |\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=1 で, veca3vecb \\vec{a}-3 \\vec{b} 2veca+vecb 2 \\vec{a}+\\vec{b} が垂直であるとき
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Q.14

ベクトルの平行\nベクトル \\overrightarrow{0} \ でない 2 つのべクトル \vec{a}, \\\vec {b} \ は, 向きが同じか反対のとき平行であるといい, \\\vec {a}/\\vec {b}\ と書く。ベクトルの実数倍の定義から,次のことが成り立つ。\n\n次にサンプルベクトル \\\vecа=\(кращий))), \вейвек треба й дорівнювати \( 2 \\vec {b}\ 示してください。
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Q.15

空間において, 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) がある。線分 AB を m:n に外分する点の位置ベクトルを求めよ。
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Q.16

点 P(\\vec{p}) が 3 点 A(\\vec{a}), B(\\vec{b}), C(\\vec{c}) の定める平面上にある条件\n\\n\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{CA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{CB}}\\ \ Longleftrightarrow \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c}, \\ s+t+u=1\n\
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Q.17

右の図に示されたベクトルについて, 次の ようなべクトルの番号の組をすべてあげよ。\n(1) 大きさが等しいベクトル\n(2) 向きが同じベクトル\n(3) 等しいベクトル\n(4) 互いに逆ベクトル
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Q.18

TRAINING 36 ABC \triangle \mathrm{ABC} の内部に点 P \mathrm{P} があり, 2PA+3PB+5PC=0 2 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0} が成り立っている。 (1) 点 P \mathrm{P} はどのような位置にあるか。 (2)面積比 PBC:PCA:PAB \triangle \mathrm{PBC}: \triangle \mathrm{PCA}: \triangle \mathrm{PAB} を求めよ。
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Q.19

座標空間において、2点間の距離を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)の場合、AB間の距離は?
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Q.20

(4) \\( \\vec{a}=(3,5,-8), \\vec{b}=(2,4,-6) \\) と実数 \ t \ に対し, \\( \\vec{p}=(1-t) \\vec{a}+t \\vec{b} \\) とする。 \ |\\vec{p}| \ が最小となるときの \ t \ の値と, そのときの \ |\\vec{p}| \ を求めよ。
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Q.21

ベクトルの実数倍\実数 k k とベクトル \( \\vec{a}(\\neq \\overrightarrow{0}) \\) に対し, \\vec{a} \ k \ 倍のベクトル k \\vec{a} \ を次のように定める。\n1. k > 0 \ なら, \\vec{a} \ と同じ向き で, 大きさが k \ 倍 になります。特に 1 \\vec{a}=\\vec{a} \\n2. ¥(k < 0 \\) なら, \\vec{a} \ と反対向きで, 大きさが \( |k| \\ ) 倍 になります。特に \( \\quad (-1) \\vec{a}=-\\vec{a} \\)\n3. k=0 \ なら, \\overrightarrow{0} \ すなわち 0 \\vec{a}=\\overrightarrow{0} \\n\n次に与えられた例でこれを確認してください。例: ベクトル \( \\vec{a} = (3, -2) \\) に実数 k = 2, -3, 0 \ を掛ける。
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Q.22

ベクトルの分解 a0,b0,a×b \vec{a} \neq \overrightarrow{0}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0}, \vec{a} \times \vec{b} のとき, 任意のベクトル p \vec{p} は,実数 s,t s, t を用いてただ 1 通りにp=sa+tb\vec{p}=s \vec{a}+t \vec{b}の形に表される。
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Q.23

別解 DH \overrightarrow{\mathrm{DH}} の求め方(11 までは同じ) 点Dを始点とすると, b=DBDA,c=DCDA,d=DA \vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{DB}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{d}=-\overrightarrow{\mathrm{DA}} であるから, (1) より \[ \begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{DH}} & =\frac{1}{30} k(\overrightarrow{\mathrm{DB}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}})+\frac{1}{5} k(\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}})-\frac{9}{10} k(-\overrightarrow{\mathrm{DA}}) & =\frac{2}{3} k \overrightarrow{\mathrm{DA}}+\frac{1}{30} k \overrightarrow{\mathrm{DB}}+\frac{1}{5} k \overrightarrow{\mathrm{DC}} \end{aligned} \] 110+35+310=1 \leqslant \frac{1}{10}+\frac{3}{5}+\frac{3}{10}=1 を確認しておこう。
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Q.24

z=4+2i,α=1+3i z=4+2 i, \alpha=1+3 i とするとき, 点 \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{A}^{\prime}(-\alpha), \mathrm{B}(z+\alpha) \), \( \mathrm{C}(z-\alpha) \) を複素数平面上に図示せよ。
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Q.25

右の図の四角形 ABCD A B C D はひし形であり, 点 O O は対角線 AC A C mathrmBD \\mathrm{BD} の交点である。overrightarrowmathrmOA=veca,overrightarrowmathrmAB=vecb,overrightarrowmathrmCD=vecc \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}, \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{CD}}=\\vec{c} とするとき\n(1) vecavecb,vecavecc \\vec{a}-\\vec{b} , \\vec{a}-\\vec{c} を図示せよ。(2) vecb+vecc \\vec{b}+\\vec{c} はどのようなベクトルか。
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Q.26

発展例題 35 ベクトルの大きさの最小値(空間) \( \vec{a}=(2,-4,-3), \vec{b}=(1,-1,1) \) とする。 a+tb(t \vec{a}+t \vec{b}(t は実数 \( ) \) の大きさの最小値とそのときの t t の値を求めよ。 [千葉工大]
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Q.27

次の 2 つのベクトル a,b \vec{a}, \vec{b} が平行になるように, x x の値を定めよ。 (1) \( \vec{a}=(3, x), \vec{b}=(1,4) \) (2) \( \vec{a}=(2 x, 9), \vec{b}=(8, x) \)
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Q.28

ベクトルの加法について,図形的な意味を考えてみましょう。\n\n右のベクトル veca,vecb \\vec{a}, \\vec{b} について, veca+vecb \\vec{a}+\\vec{b} を図示せよ。
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Q.29

(1) 定点 O,A \mathrm{O}, \mathrm{A} と動点 P \mathrm{P} がある。 OA=a,OP=p \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\vec{p} とするとき, 6p3a=2 |6 \vec{p}-3 \vec{a}|=2 で表される点 P \mathrm{P} は, ある円の周上にある。その円の中心と半径を求めよ。 ただし, a0 \vec{a} \neq \overrightarrow{0} とする。
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Q.30

ベクトルの加法の図形的な意味を理解して,例題 2 を攻略!
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Q.31

ベクトルを使った三角形の面積の求め方を説明しなさい。
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Q.32

TRAINING 31 (3) OAB \triangle \mathrm{OAB} に対して, OP=sOA+tOB \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}} とする。実数 s,t s, t が次の式を満たすとき, 点 P \mathrm{P} の存在範囲を求めよ。 (1) s+t=2 s+t=2 (2) s+t=3,s0,t0 s+t=3, \quad s \geqq 0, \quad t \geqq 0
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Q.33

3点A、B、Cの重心の座標を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)、点Cの座標が(c1, c2, c3)の場合、重心の座標は?
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Q.34

z=3+2i,α=1i z=3+2 i, \alpha=1-i とするとき, 点 \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{P}^{\prime}(-z), \mathrm{B}(z+\alpha), \mathrm{C}(z-\alpha) \) を複素数平面上に図示せよ。
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Q.35

点Aの座標は (2,-4), 点 Bの座標は (-2,2),点Cの座標は (0,-4) です。次のベクトル a,b,c\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}について、以下の問題に答えなさい。\n(1) a,b,c\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} をそれぞれ成分表示せよ。\n(2) a,b,c|\vec{a}|,|\vec{b}|,|\vec{c}| をそれぞれ求めよ。
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Q.36

空間において, 始点を A, 終点を B とする有向線分 AB が表すベクトルを AB \overrightarrow{\mathrm{AB}} で表し,その大きさを AB |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| で表す。空間のベクトルも小文字を使って a,b \vec{a}, \vec{b} と表すことがある。空間のベクトルは,平面の場合とまったく同じように定義される。ベクトルの基本的な性質について以下の問いに答えなさい。 1. a \vec{a} b \vec{b} が向きが同じで大きさも等しい場合、どのように表せますか? 2. ベクトル a \vec{a} の逆ベクトルはどう表しますか? 3. 大きさが0のベクトルと、大きさが1のベクトルはそれぞれ何と呼ばれますか? 4. ベクトルの加法と減法、および実数倍の例を挙げてください。
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Q.37

TR z=3+2i,α=1i z=3+2 i, \alpha=1-i とするとき, 点 \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{P}^{\prime}(-z), \mathrm{B}(z+\alpha), \mathrm{C}(z-\alpha) \) を複素数平面 70 上に図示せよ。
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Q.38

直線のベクトル方程式を説明しなさい。
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Q.39

平面上に, ABC \triangle \mathrm{ABC} と点 P,Q \mathrm{P}, \mathrm{Q} があるとする。次の等式が成り立つとき, 点 P,Q \mathrm{P}, \mathrm{Q} はど のような位置にあるか答えよ。\n(1) 3APAB2AC=0 3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0} \n(2) 4AQ+BQ+2CQ=0 4 \overrightarrow{\mathrm{AQ}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{0}
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Q.40

右の図に示されたベクトルについて,次の ようなべクトルの番号の組をすべてあげよ。\n(1)大きさが等しいベクトル\n(2)向きが同じベクトル\n(3)等しいベクトル\n(4)互いに逆ベクトル
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Q.41

TRAINING 59 \( \vec{a}=(1,2,3), \vec{b}=(2,0,-1) \) があり, 実数 t t に対し, c=a+tb \vec{c}=\vec{a}+t \vec{b} とする。 c |\vec{c}| の最小値と, そのときの t t の値を求めよ。 [福岡工大]
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Q.42

位置ベクトル, 図形への応用 分点の位置ベクトル(空間)
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Q.43

第 1 章 平面上のベクトル- 23\nEX 3 点 \( \\mathrm{A}(1,1), \\mathrm{B}(3,2), \\mathrm{C}(5,-2) \\) がある。\n(1) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \ のなす角 \\theta \ に対して \ \\cos \\theta \ を求めよ。\n(2) \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積を求めよ。\n(3) ベクトル \ t \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \ の大きさを最小にする実数 t の值とその最小值を求めよ。
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Q.44

点Pが平面KLM上にある場合、ベクトルOPの大きさ|€{\vec{\mathrm{OP}}}|を求めよ。
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Q.45

3 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする ABC \triangle \mathrm{ABC} において, 辺 AB \mathrm{AB} の中点を P \mathrm{P} , 辺 BC \mathrm{BC} を 1:2 に外分する点を Q \mathrm{Q} , 辺 CA \mathrm{CA} 2:1 2: 1 に外分する点をRとし, AQR \triangle \mathrm{AQR} の重心を Gとする。次のベクトルを a,b,c \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} を用いて表せ。\n(1) 点Gの位置ベクトル\n(2) PG \overrightarrow{\mathrm{PG}}
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Q.46

TR 次の各場合において, \\vec{a} \ \\vec{b} \ のな角 \\theta \ を求めよ。\n(1) |\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=3,|2 \\vec{a}+\\vec{b}|=\\sqrt{13} \ のとき\n(2) |\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=\\sqrt{3} \ で, \\vec{a}-\\vec{b} \ 6 \\vec{a}+7 \\vec{b} \ が垂直であるとき
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Q.47

点 \( \mathrm{A}(4,2,2) \) を通り, \( \vec{n}=(2,-3,1) )に垂直な平面の方程式を求めよ。
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Q.48

次の等式が成り立つことを証明せよ。 (1) PQ+RS+QR+SP=0 \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\overrightarrow{0} (2) PB+DSPSXB=DX \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{DS}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}-\overrightarrow{\mathrm{XB}}=\overrightarrow{\mathrm{DX}}
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Q.49

点 \( \mathrm{A}(2,1,-5) \) を通り, \( \vec{n}=(1,-2,3) \) に垂直な平面の方程式を求めよ。
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Q.50

2 点 \( \mathrm{A}(a_{1}, a_{2}) \), \( \mathrm{B}(b_{1}, b_{2}) \) について\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}\right)\] \[|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}\]
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Q.51

ベクトル \\vec{a} と \\vec{b} が与えられている。|\\vec{a}| = 2\\sqrt{10}, |\\vec{b}| = \\sqrt{5}, \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = -10 であるとき、次の問いに答えよ。(1) 実数 t に対し, |\\vec{a} + t\\vec{b}| の最小値と、そのときの t の値を求めよ。(2) (1) で求めた t の値に対して, \\vec{a} + t\\vec{b} と \\vec{b} は垂直であることを示せ。
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Q.52

平面上に, ABC \triangle \mathrm{ABC} と点 P,Q \mathrm{P}, \mathrm{Q} があるとする。次の等式が成り立つとき, 点 P \mathrm{P} , Q \mathrm{Q} はどのような位置にあるか答えよ。\n(1) 5AP2AB3AC=0 5 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0} \n(2) 7AQ+2BQ+3CQ=0 7 \overrightarrow{\mathrm{AQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{0}
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Q.53

\(\vec{a}=(3,-4), \vec{b}=(-2,1)\) のとき、次のベクトルを成分表示せよ。\n(1) 2a2\vec{a}\n(2) b-\vec{b}\n(3) a+2b\vec{a}+2\vec{b}
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Q.54

空間のベクトルに関する問題を解いてください。
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Q.55

》発展例題 39 OAB \triangle \mathrm{OAB} に対して, OP=sOA+tOB \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}} とする。実数 s,t s, t s+t=13,s0,t0 s+t=\frac{1}{3}, s \geqq 0, t \geqq 0 を満たすとき, 点 P \mathrm{P} の存在範囲を求 めよ。
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Q.56

基 例題\n本 2 ベフトルの加法\n右の図のベクトル \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c}, \\vec{d} \ について, 次のベクトル を図示せよ。\n(1) \\vec{a}+\\vec{b} \\n(2) \\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c} \\n(3) \\vec{a}+\\vec{d} \
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Q.57

3点 O, P, C がこの順に一直線上 にあるのは, 直線 OC と球面 S との交点のうち, 点 O から近い方の点が P の ときである。 OC=√(0^2+1^2+2^2)=√5 であるから, 3点 O, P, C がこの順に一直線上に あるとき, 点 P の y 座標は何ですか?
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Q.58

(1) OAB \triangle \mathrm{OAB} において, OA=a,OB=b \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b} のとき, OAB \triangle \mathrm{OAB} の面積 S S a,b \vec{a}, \vec{b} を 用いて表せ。\n(2) (1) を利用して, OA=3,OB=4,OAOB=6 |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=3,|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=4, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-6 のとき, OAB \triangle \mathrm{OAB} の面積 S S を求めよ。
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Q.59

(1) \( \\vec{a}=(x+2,1) \) と \( \\vec{b}=(1,-6) \) が垂直になるような x x の値を求めよ。\n(2) \( \\vec{c}=(2,1) \) に垂直で,大きさが 2sqrt5 2 \\sqrt{5} であるベクトル vecd \\vec{d} を求めよ。
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Q.60

(1) 3overrightarrowmathrmAPoverrightarrowmathrmAB2overrightarrowmathrmAC=overrightarrow0 3 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-2 \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=\\overrightarrow{0}
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Q.61

次の条件を満たす直線の方程式を,ベクトルを用いて求めよ。\n(1)点 \( \mathrm{A}(-2,3) \) を通り,ベクトル \( \vec{d}=(2,1) \) に平行\n(2) 2 点 \( \mathrm{A}(-1,2), \mathrm{B}(3,1) \) を通る
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Q.62

次のベクトル veca,vecbについて, vecavecb \\vec{a}, \\vec{b} に つ い て, ~ \\vec{a}-\\vec{b} を図示せよ。
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Q.63

空間において, 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) がある。線分 AB を m:n に内分する点の位置ベクトルを求めよ。
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Q.64

線分ABをm:nに内分する点Pの座標を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)の場合、Pの座標は?
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Q.65

線分 AB の中点の座標\n\\ \ left(\\\frac{a_{1}+b_{1}}{2}, \\\frac{a_{2}+b_{2}}{2}, \\\frac{a_{3}+b_{3}}{2}\\n
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Q.66

2 \vec{a}-3 \vec{b}+\vec{c}
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Q.67

点が一致する条件\n点 P,Q \mathrm{P}, \mathrm{Q} が一致する\nLongleftrightarrowoverrightarrowmathrmOP=overrightarrowmathrmOQ \\Longleftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}} (位置ベクトルが一致する)\n\\& 50 参照。
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Q.68

次の媒介変数表示された曲線は, どのような図形を描くか。\n(1) x=t+1,y=3t2 x=t+1, \quad y=3 t-2 \n(2) x=sqrtt1,y=t3sqrtt x=\\sqrt{t}-1, \quad y=t-3 \\sqrt{t} \n(3) x=2costheta,y=2sintheta x=2 \\cos \\theta, \quad y=2 \\sin \\theta
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Q.69

ベクトルの成分 ベクトルの分解と成分
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Q.70

(2) \\overrightarrow{\\mathrm{OC}} \ \\overrightarrow{\\mathrm{MN}} \ のなす角を求めよ。
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Q.71

線分ABの中点の座標を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)の場合、中点の座標は?
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Q.72

TRAINING 55\n3 点 \( \mathrm{A}(1,2,3), \mathrm{B}(-3,2,-1), \mathrm{C}(-4,2,1) \) について, 次のものを求めよ。\n(1) 2 点 B,C \mathrm{B}, \mathrm{C} 間の距離\n(2) 線分 BC を 1:3 1: 3 に内分する点 P \mathrm{P} の座標\n(3) 線分 AB \mathrm{AB} 2:3 2: 3 に外分する点 Q \mathrm{Q} の座標\n(4) 線分 CA の中点 R \mathrm{R} の座標\n(5) PQR \triangle \mathrm{PQR} の重心 G の座標
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Q.73

TR 次の等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) PQ+RS+QR+SP=0 \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\overrightarrow{0} \n(2) PB+DSPSXB=DX \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{DS}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}-\overrightarrow{\mathrm{XB}}=\overrightarrow{\mathrm{DX}}
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Q.74

右の図の正六角形 ABCDEF \mathrm{ABCDEF} において、対角線 AD \mathrm{AD} BE \mathrm{BE} の交点を O \mathrm{O} とし、 OA=a,OB=b \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b} とする。このとき,次のベクトルを a,b \vec{a}, \vec{b} を用いて表せ。\n(1) overrightarrowmathrmDE \\overrightarrow{\\mathrm{DE}} \n(2) overrightarrowmathrmFC \\overrightarrow{\\mathrm{FC}} \n(3) overrightarrowmathrmAC \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \n(4) overrightarrowmathrmBF \\overrightarrow{\\mathrm{BF}}
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Q.75

3 点 \( \mathrm{A}(1,-1,0), \mathrm{B}(3,1,2), \mathrm{C}(3,3,0) \) を通る平面の方程式を求めよ。
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Q.76

ベクトル \( \\vec{a}=(1,2) \) とのなす角が 45circ 45^{\\circ} で, 大きさが sqrt10 \\sqrt{10} であるベクトル vecb \\vec{b} を求 めよ。
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Q.77

ベクトルの成分\nベクトルの大きさ\n\\n|\\vec{a}|=\\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\n\
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Q.78

45 \\vec{d}=2 \\vec{a}-2 \\vec{b}+3 \\vec{c}
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Q.79

右の図の正六角形 ABCDEF \mathrm{ABCDEF} において, 対角線 AD \mathrm{AD} BE \mathrm{BE} の交点を O \mathrm{O} とし, OA=a,OB=b \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b} とする。このとき,次のベクトルを \( \vec{a}, \vec{b} を用いて表せ。(1) DE \overrightarrow{\mathrm{DE}} (2) FC \overrightarrow{\mathrm{FC}} (3) AC \overrightarrow{\mathrm{AC}} (4) BF \overrightarrow{\mathrm{BF}}
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Q.80

2点 \(A(a_1, a_2, a_3)\) と \(B(b_1, b_2, b_3)\) の間の距離を求めよ。
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Q.81

ベクトルの差を説明してください。
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Q.82

位置ベクトル, 図形への応用 直線と平面の交点の位置ベクトル
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Q.83

空間ベクトルのなす角を理解して, 例題 46 を 攻略!
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Q.84

第 1 章 平面上のベクトル- 5 TR \( \vec{a}=(2,3), \vec{b}=(-2,2), \vec{c}=(5,5) \) であるとき, c=xa+yb \vec{c}=x \vec{a}+y \vec{b} を満たす実数 x,y x, y の値を求め 11 よ。
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Q.85

右のベクトル a,b \vec{a}, \vec{b} につて, 次のベクトルを図示せよ。\n(1) 3a 3 \vec{a} \n(2) frac32b -\\frac{3}{2} \vec{b} \n(3) a+2b \vec{a}+2 \vec{b} \n(4) 2a3b 2 \vec{a}-3 \vec{b}
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Q.86

右のベクトル a,b \vec{a}, \vec{b} について, 次のベクトルを図示せよ。\n(1) 2a 2 \vec{a} \n(2) 13b \frac{1}{3} \vec{b} \n(3) 2a+13b 2 \vec{a}+\frac{1}{3} \vec{b}
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Q.87

次の等式が成り立つことを証明せよ。 (1) BC+ABAC=0 \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0} (2) KHRSSHNR=KN \overrightarrow{\mathrm{KH}}-\overrightarrow{\mathrm{RS}}-\overrightarrow{\mathrm{SH}}-\overrightarrow{\mathrm{NR}}=\overrightarrow{\mathrm{KN}}
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Q.88

\( \\vec{c}=(2,1) \) に垂直で、大きさが 2sqrt5 2 \\sqrt{5} であるベクトル \( \\vec{d}=(x, y) \) を求めよ。
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Q.89

TR a=1,b=2 |\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2 とする。次の問いに答えよ。\n(2) a+b=1 |\vec{a}+\vec{b}|=1 のとき, ab \vec{a} \cdot \vec{b} 2a3b |2 \vec{a}-3 \vec{b}| の値を求めよ。
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Q.90

(1) 点 \( \mathrm{P}(-3,5,1) \) から xy x y 平面, yz y z 平面, zx z x 平面にそれぞれ垂線 PA,PB,PC \mathrm{PA}, \mathrm{PB}, \mathrm{PC} を下ろす。 3 点 A,B,C \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} の座標を求めよ。\n(2) 点 \( \mathrm{P}(-3,5,1) \) と xy x y 平面, yz y z 平面, zx z x 平面に関して対称な点をそれぞれ D,E,F \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F} とする。 3 点 D,E,F \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F} の座標を求めよ。\n(3) 原点 \( \mathrm{O} )と点 \( \mathrm{P}(-3,5,1) \) の距離を求めよ。
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Q.91

第 2 章 空間のベクトル\n37\nTR \\( \\vec{a}=(1,2,3), \\vec{b}=(2,0,-1) \\) があり, 実数 \ t \ に対し, \ \\vec{c}=\\vec{a}+t \\vec{b} \ とする。 \ |\\vec{c}| \ の最小値と, 59 そのときの \ t \ の値を求めよ。\n[福岡工大]\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\vec{c} & =\\vec{a}+t \\vec{b}=(1,2,3)+t(2, \\quad 0,-1) \\\\\n& =(2 t+1, \\quad 2,-t+3)\n\\end{aligned}\n\\]\n
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Q.92

3 略, 3t=2 3 t=-2 のとき \( \\vec{p}=(-5,0), t=1 \) のとき \( \\vec{p}=(4,3) \)
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Q.93

3 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする ABC \triangle \mathrm{ABC} において, 辺 AB \mathrm{AB} 2:1 2: 1 に内分する点を P \mathrm{P} , 辺 BC \mathrm{BC} 2:5 2: 5 に外分する点を Q \mathrm{Q} とする。次のベクトルを a,b \vec{a}, \vec{b} , c \vec{c} を用いて表せ。\n(1) 点 P,Q \mathrm{P}, \mathrm{Q} の位置ベクトル\n(2) PQ \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \n(3) CPQ \triangle \mathrm{CPQ} の重心Gの位置ベクトル
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Q.94

3点が一直線上にあるための条件 [共線条件] 2 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) が異なるとき,点 \( \mathrm{C}(\vec{c}) \) に対して\n3 点 A,B,C \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} が一直線上にある\n \Longleftrightarrow C \mathrm{C} が直線 AB \mathrm{AB} 上にある\nAC//AB \Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AC}} / / \overrightarrow{\mathrm{AB}} または AC=0 \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0} \nAC=kAB \Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AC}}=k \overrightarrow{\mathrm{AB}} となる実数 k k がある\n...... (1)\nc=sa+tb,s+t=1 \Longleftrightarrow \vec{c}=s \vec{a}+t \vec{b}, s+t=1 \nとなる実数 s,t s, t がある\nとなる実数 s,t s, t がある \qquad \n補足 (1)において, AC=ca,AB=ba \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}-\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}-\vec{a} であるから \( \vec{c}-\vec{a}=k(\vec{b}-\vec{a}) \)\n整理すると \( \quad \vec{c}=(1-k) \vec{a}+k \vec{b} \)\n1k=s,k=t 1-k=s, k=t とおくと, (2)が得られる。
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Q.95

等しいベクトル\n向きが同じで大きさも等しい2つのベクトル \\vec{a}, \\vec{b} \ は等しいとい い, \\vec{a}=\\vec{b} \ と表す。\n \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\overrightarrow{\\mathrm{CD}} \ であるとき, 有向線分 \\mathrm{AB} \ を平行移動して有向線分 \\mathrm{CD} \ に重ね合わせることができる。\nすなわち, \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\overrightarrow{\\mathrm{CD}} \ であることは, 有向線分 \\mathrm{AB}, \\mathrm{CD} \ について,次の [1], [2] が同時に成り立つことである。\n1]向きが同じ \\longleftrightarrow \ 矢印の向きが同じ\n[2] 大きさが等しい \\longleftrightarrow A B=C D \
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Q.96

EX 2 つのベクトル \( \\vec{a}=(1,2), \\vec{b}=(3,1) \) と実数 t t に対して vecp=veca+tvecb \\vec{p}=\\vec{a}+t \\vec{b} とおくとき, \\vec{p} \ の大 3 きさが 5 となる t t の值と \\vec{p} \ を求めよ。
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Q.97

Oを極とする極座標において, 次の直線の極方程式を求めよ。 (1)始線 OX 上の点 A(3/2, 0) を通り,始線に垂直な直線 (2)極 O を通り,始線とのなす角が -π/4 の直線
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Q.98

左の例題で, 点 P を線分 AE を m: n に内分する点 [AP: PE=m: n] とすると \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{n \overrightarrow{\mathrm{OA}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}}}{m+n}=\frac{n}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{m}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OE}} \] と表すことができる。係数の和が 1 に着目して, \[ \frac{m}{m+n}=s \] とおく。したがって, \[ \frac{n}{m+n}=1-s となり, (A) を \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{OE}} \] と表すことができる。
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Q.99

数学 C\nTR右の図の四角形 ABCD \mathrm{ABCD} はひし形であり, 点 O \mathrm{O} は対角線 AC \mathrm{AC} BD \mathrm{BD} の交点 3 である。 OA=a,AB=b,CD=c \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\vec{c} とするとき\n(1) ab,ac \vec{a}-\vec{b} , \vec{a}-\vec{c} を図示せよ。\n(2) b+c \vec{b}+\vec{c} はどのようなベクトルか。
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Q.00

1辺の長さが 2 の正方形 ABCD \mathrm{ABCD} において、 AB=b,AC=c \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \vec{c} とする。\n(1) 辺 AD \mathrm{AD} を 2:1 に内分する点 E \mathrm{E} に対して、 DE \overrightarrow{\mathrm{DE}} b,c \vec{b}, \vec{c} を用いて表せ。\n(2) c \vec{c} と反対向きの単位ベクトル d \vec{d} c \vec{c} を用いて表せ。
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Q.01

ベクトル \( \\vec{a}=(-1,1) \) とのなす角が 60circ 60^{\\circ} で, 大きさが 2sqrt2 2 \\sqrt{2} であるベクトル vecb \\vec{b} を求めよ。
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Q.02

ベクトルの成分 ベクトルの成分計算と 2 点間の距離
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Q.03

媒介変数表示の曲線
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Q.04

以下の文を読み、次の問いに答えなさい。\n\n線分 AB \mathrm{AB} の内分点・外分点 P \mathrm{P} の位置ベクトルを求めなさい。AP:PB=m:n \mathrm{AP}: \mathrm{PB}=m: n とする。
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Q.05

TRAINING\n次の計算をせよ。\n(1) 3a+2a 3 \vec{a}+2 \vec{a} \n(2) \( 5 \vec{b}-2(-6 \vec{b}) \)\n(3) \( -2(3 \vec{a}-2 \vec{b})+4(\vec{a}-\vec{b}) \)\n(4) \( \frac{1}{2}(\vec{a}+2 \vec{b})+\frac{3}{2}(\vec{a}-2 \vec{b}) \)\n(5) \( \frac{2}{3}(2 \vec{a}-3 \vec{b})+\frac{1}{2}(-\vec{a}+5 \vec{b}) \)
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Q.06

長方形 ABCD \mathrm{ABCD} AB=3,AD=4 \mathrm{AB}=3, \mathrm{AD}=4 である。AB=b,AC=c \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c} とする。\n(1) 辺 AD \mathrm{AD} の中点を E \mathrm{E} とするとき, DE \overrightarrow{\mathrm{DE}} b \vec{b} , c \vec{c} を用いて表せ。\n(2) c \vec{c} と同じ向きの単位ベクトル d \vec{d} c \vec{c} を用いて表せ。
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Q.07

ベクトルの成分表示 \( \vec{a}=(3,-2), \vec{b}=(-1,2) \) のとき,次のベクトルを成分表示せよ。 (1) a+b \vec{a}+\vec{b} (2) ab \vec{a}-\vec{b} (3) 5b 5 \vec{b} (4) 2a+3b -2 \vec{a}+3 \vec{b}
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Q.08

ベクトルの和, 差, 実数倍\n\\[\ns \\vec{a}+t \\vec{b}=s\\left(a_{1}, \\quad a_{2}, a_{3}\\right)+t\\left(b_{1}, \\quad b_{2}, \\quad b_{3}\\right)\n\\]
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Q.09

空間の点とベクトルの関係\n2 点 \\( \\mathrm{A}(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \\mathrm{B}(b_{1}, b_{2}, b_{3}) \\) について\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\left(b_{1}-a_{1}, \\quad b_{2}-a_{2}, \\quad b_{3}-a_{3}\\right) \\\\\n|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}|=\\sqrt{\\left(b_{1}-a_{1}\\right)^{2}+\\left(b_{2}-a_{2}\\right)^{2}+\\left(b_{3}-a_{3}\\right)^{2}}\n\\end{array}\n\\]
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Q.10

極座標 ↔ 直交座標
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Q.11

第 2 章 空間のベクトル 2 つのベクトル \\( \\vec{a}=(1,2,-1), \\vec{b}=(-1, x, 0) \\) のなす角が \ 45^{\\circ} \ であるとき, \ x \ の值を求めよ。
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Q.12

(1) 点 \( \mathrm{A}(3,1) \) を通り, ベクトル \( \vec{n}=(3,-7) \) に垂直な直線の方程式を求めよ。
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Q.13

STEP into ここで整理 OP=sOA+tOB \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}} を満たす点 P \mathrm{P} の存在範囲 OAB \triangle \mathrm{OAB} に対して, OP=sOA+tOB \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}} を満たす点 P \mathrm{P} の存在範囲について整理して おきましょう。 まず, s,t s, t の条件式について, 基本となる次の 4 つのタイプがある。 [1] s+t=1 s+t=1 (係数の和が 1 ) \Longleftrightarrow 直線 AB \mathrm{AB} [2] s+t=1,s0,t0 s+t=1, s \geqq 0, t \geqq 0 \Longleftrightarrow 線分 AB \mathrm{AB} \longrightarrow 例題 31 [3] s+t1,s0,t0OAB s+t \leqq 1, s \geqq 0, t \geqq 0 \Longleftrightarrow \triangle \mathrm{OAB} の周および内部 \longrightarrow 例題 39 (1) [4] 0s1,0t1 0 \leqq s \leqq 1,0 \leqq t \leqq 1 \Longleftrightarrow 平行四辺形 OACB \mathrm{OACB} の周および内部 \( (\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}) \longrightarrow \) 例題 39 (2) [1], [2] については, 7.59 で触れているので, ここでは[3],[4]について説明しておこう。
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Q.14

(2) 4overrightarrowmathrmAQ+overrightarrowmathrmBQ+2overrightarrowmathrmCQ=overrightarrow0 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AQ}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BQ}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{CQ}}=\\overrightarrow{0}
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Q.15

50 \\overrightarrow{\\mathrm{MN}}=\\frac{-2 \\vec{a}-\\vec{b}+3 \\vec{c}}{4}, \\overrightarrow{\\mathrm{GN}}=\\frac{-4 \\vec{a}-\\vec{b}+9 \\vec{c}}{12}
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Q.16

右のベクトル a,b \vec{a}, \vec{b} について, 次のベクトルを図示せよ。\n(1) 3a 3 \vec{a} \n(2) 32b -\frac{3}{2} \vec{b} \n(3) a+2b \vec{a}+2 \vec{b} \n(4) 2a3b 2 \vec{a}-3 \vec{b}
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Q.17

極座標が次のような点の直交座標を求めよ。 A(2, 11/4 π), B(1, -5/2 π), C(3, 3 π), D(3, 0)
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Q.18

右の図の正六角形 ABCDEF \mathrm{ABCDEF} において, AB=a,AF=b \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\vec{b} とする。次のベクトルを a,b \vec{a}, \vec{b} を 用いて表せ。(1) CE \overrightarrow{\mathrm{CE}} (2) EA \overrightarrow{\mathrm{EA}} (3) AD \overrightarrow{\mathrm{AD}}
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Q.19

(2) 3 点 \( \mathrm{A}(3,1), B(-2,2), C(1,-5) \) について, 点Cを通り, 直線 AB \mathrm{AB} に 垂直な直線の方程式を, ベクトルを用いて求めよ。
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Q.20

次の各場合において, \\vec{a} \ \\vec{b} \ のなす角 theta \\theta を求めよ。\n(1) veca=2,vecb=3,2veca+vecb=sqrt13 |\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=3,|2 \\vec{a}+\\vec{b}|=\\sqrt{13} のとき\n(2) veca=2,vecb=sqrt3 |\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=\\sqrt{3} で, vecavecb \\vec{a}-\\vec{b} 6veca+7vecb 6 \\vec{a}+7 \\vec{b} が垂直であるとき
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Q.21

7 \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\frac{4}{9} \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\frac{1}{6} \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}
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Q.22

空間のベクトルと平行(成分)
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Q.23

前ページの例題の結果に注目してみましょう。 3 つのベクトル CE,EA,AD \overrightarrow{\mathrm{CE}}, \overrightarrow{\mathrm{EA}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}} はすべて, 2 つのべクトル a,b \vec{a}, \vec{b} を用いて a+b \vec{a}+\vec{b} の形に表されていますね。一般に, 平面上のベクトルについて, 次のことがいえます。0 \overrightarrow{0} でない2つのベクトル a,b \vec{a}, \vec{b} が平行でないとき, どんなベクトル p \vec{p} a,b \vec{a}, \vec{b} と適当な実数 s,t s, t を用いて p=sa+tb \vec{p}=s \vec{a}+t \vec{b} の形に表すことができる。しかも, この表し方はただ1通りである。
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Q.24

基 例 題 》標準例題 45 本 11 ベフトルの分解と成分 (》) \( \vec{a}=(2,1), \vec{b}=(-1,1) \) であるとき, ベクトル \( \vec{p}=(1,5) \), 適当な実数 s s , t t を用いて sa+tb s \vec{a}+t \vec{b} の形に表せ。
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Q.25

空間におけるベクトルの成分表示について説明しなさい。
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Q.26

次の条件を満たす直線の方程式を, ベクトルを用いて求めよ。\n1. 点 \( \\mathrm{A}(-3,5) \\) を通り, ベクトル \( \\vec{d}=(1,-\\sqrt{3}) \\) に平行\n2. 2 点 \( \\mathrm{A}(-7,-4), \\mathrm{B}(5,5) \\) を通る
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Q.27

四面体 OABC \mathrm{OABC} において、 OA=a,OB=b,OC=c \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c} とする。辺 AB \mathrm{AB} の中点を M \mathrm{M} 、辺 BC \mathrm{BC} 3:1 3: 1 に内分する点を N,OAB \mathrm{N}, \triangle \mathrm{OAB} の重心を Gとするとき、ベクトル MN,GN \overrightarrow{\mathrm{MN}}, \overrightarrow{\mathrm{GN}} a,b,c \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} を用いて表せ。
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Q.28

通る1点と傾き(方向)が与えられた直線について考えよう。点A(\\vec{a}\)を通り、0でないベクトル\\vec{d}\に平行な直線をgとすると直線g(点Aを除く)上の任意の点P(\\vec{p}\)について、次のことが成り立つ。\n点P(\\vec{p}\)がg上にあることの条件を示せ。具体的には、方向ベクトルを用いて直線の方程式を導け。
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Q.29

ベクトルの相等\n\\n\\vec{a}=\\vec{b} \\Longleftrightarrow a_{1}=b_{1}, \\quad a_{2}=b_{2}, \\quad a_{3}=b_{3}\n\
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Q.30

数学の問題:三角形 \\triangle OAB \ の重心 G の位置ベクトルを求める問題です。点 G \ は三角形の重心であるから、点 G \ の位置ベクトルは以下のように求められます。\n\n1. overrightarrowOG=fracoverrightarrowOO+overrightarrowOA+overrightarrowOB3=fracveca+vecb3 \\overrightarrow{OG} = \\frac{\\overrightarrow{OO} + \\overrightarrow{OA} + \\overrightarrow{OB}}{3} = \\frac{\\vec{a} + \\vec{b}}{3} \n2. よって \( \\overrightarrow{GN} = \\overrightarrow{ON} - \\overrightarrow{OG} = \\frac{\\vec{b} + 3 \\vec{c}}{4} - \\frac{\\vec{a} + \\vec{b}}{3} = \\frac{3(\\vec{b} + 3 \\vec{c}) - 4(\\vec{a} + \\vec{b})}{12} = \\frac{-4 \\vec{a} - \\vec{b} + 9 \\vec{c}}{12} \)
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Q.31

点 \\( \\mathrm{A}(1,2,3), \\mathrm{B}(-3,2,-1), \\mathrm{C}(-4,2,1) \\) について, 次のものを求めよ。\n(1) 2 点 \ \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ 間の距離\n(2) 線分 \ \\mathrm{BC} \ を \ 1: 3 \ に内分する点 \ \\mathrm{P} \ の座標\n(3) 線分 \ \\mathrm{AB} \ を \ 2: 3 \ に外分する点 \ \\mathrm{Q} \ の座標\n(4) 線分 CA の中点Rの座標\n(5) \ \\triangle \\mathrm{PQR} \ の重心 Gの座標
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Q.32

3 点 \( \mathrm{A}(0,3,7), \mathrm{B}(3,-3,1), \mathrm{C}(-6,2,-1) \) について, 次のものを求めよ。\n(1) 2 点 A,B \mathrm{A}, \mathrm{B} 間の距離\n(2) 線分 AB \mathrm{AB} 2:1 2: 1 に内分する点の座標\n(3) 線分 AB \mathrm{AB} 3:2 3: 2 に外分する点の座標\n(4) 線分 BC \mathrm{BC} の中点の座標\n(5) ABC \triangle \mathrm{ABC} の重心の座標
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Q.33

逆べクトル\nベクトル \\vec{a} \ と大きさが等しく向きが反対のベクトルを \\vec{a} \ の逆ベクトルといい, -\\vec{a} \ で表す。\n \\vec{a}=\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ のとき, -\\vec{a}=\\overrightarrow{\\mathrm{BA}} \ であるから, \\overrightarrow{\\mathrm{BA}}=-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ が成り立つ。
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Q.34

ベクトル \ \\vec{n} \ に垂直な直線\n最後に,內積を利用して直線を表すことを考えてみよう。\n点 \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}) \\) を通り, \ \\overrightarrow{0} \ でないべクトル \ \\vec{n} \ に垂直な直線を \ g \ とし,直線 \ g \ 上の任意の点を \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\) とすると \ \\vec{n} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \ または \ \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{0} \\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=0 \\\\\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot(\\vec{p}-\\vec{a})=0\n\\end{array}\n\\]\n(D) は, 点 \ \\mathrm{A} \ を通り, \ \\vec{n} \ に垂直な直線 \ g \\nのベクトル方程式である。また, \ \\vec{n} \ を直\n線 \ g \ の法線ベクトルという。\n\ -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{0} \ となるのは, PがAに一致するとき。\n直線 \ g \ の法線ベクトル は, \ g \ に垂直。\nでは, ベクトル方程式の問題を解いてみましょう。
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Q.35

ベクトルの加法\n[1] 2 つのベクトル \\vec{a}=\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ \\vec{b} \ があ る。このとき, \\overrightarrow{\\mathrm{BC}}=\\vec{b} \ となるように 点Cをとる。このようにして定まる ベクトル \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \ を, \\vec{a} \ \\vec{b} \ の和といい, \\vec{a}+\\vec{b} \ と書く。このとき\n\noverrightarrowmathrmAB+overrightarrowmathrmBC=overrightarrowmathrmAC \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \n\n[2] 図 [2] の平行四辺形 \\mathrm{ABCD} \ において \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\overrightarrow{\\mathrm{BC}} \ であるから, [1] より\n\noverrightarrowmathrmAB+overrightarrowmathrmAD=overrightarrowmathrmAB+overrightarrowmathrmBC=overrightarrowmathrmAC \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \n\nベクトルの加法について, 次の性質が成り立つ。\n1 交換法則 \\vec{a}+\\vec{b}=\\vec{b}+\\vec{a} \\n2 結合法則 \( (\\vec{a}+\\vec{b})+\\vec{c}=\\vec{a}+(\\vec{b}+\\vec{c}) \\)\n\nこれらは,右の図を用いて確かめられる。結合法則が成り立つから, \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \ の和を 単に \\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c} \ と書く。
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Q.36

内分点と外分点の位置ベクトルを求めなさい。
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Q.37

以下の文を読み、次の問いに答えなさい。\n\n2点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) について、ベクトル AB \overrightarrow{\mathrm{AB}} を求めなさい。
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Q.38

四角形 \\mathrm{ABCD} \ を底面とする四角錐 \ \\mathrm{OABCD} \ は \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \ を満たしてお り, 0 と異なる 4 つの実数 \ p, q, r, s \ に対して 4 点 \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ を \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \ によって定める。このとき, \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ が同 じ平面上にあれば \ \\frac{1}{p}+\\frac{1}{r}=\\frac{1}{q}+\\frac{1}{s} \ が成り立つことを示せ。
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Q.39

(1) AB=b,AC=c,AD=d,AP=p \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}, \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\vec{p} とすると, 等式から\n\[\n\vec{p}+2(\vec{p}-\vec{b})+4(\vec{p}-\vec{c})+6(\vec{p}-\vec{d})=\overrightarrow{0}\n\]\nよって \( \quad \vec{p}=\frac{2(\vec{b}+2 \vec{c}+3 \vec{d})}{13} \)\nゆえに p=1213b+2c+3d6 \vec{p}=\frac{12}{13} \cdot \frac{\vec{b}+2 \vec{c}+3 \vec{d}}{6} \nよって p=12133b+2c2+1+3d3+3 \vec{p}=\frac{12}{13} \cdot \frac{3 \cdot \frac{\vec{b}+2 \vec{c}}{2+1}+3 \vec{d}}{3+3} \nここで, b+2c2+1=e \frac{\vec{b}+2 \vec{c}}{2+1}=\vec{e} とし, e+d2=f \frac{\vec{e}+\vec{d}}{2}=\vec{f} とすると\n\np=1213f\n\n\vec{p}=\frac{12}{13} \vec{f}\n\nしたがって, 辺 BC \mathrm{BC} 2:1 2: 1 に内分する点を Eとし \mathrm{E} と し , 線分 EDの 中点を F \mathrm{F} とすると, P \mathrm{P} は線分 AF \mathrm{AF} 12:1 12: 1 に内分する点である。
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Q.40

練習 \[\mathrm{OB}^{2}-\mathrm{OC}^{2}-\left(\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}\right) \] =|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^{2}-|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^{2}-\left(|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}-|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^{2}\right)
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Q.41

3 (1) \\frac{2 \\vec{a}+3 \\vec{b}}{5} \\n(2) 2 \\vec{a}-\\vec{b} \\n(3) \\frac{\\vec{a}+\\vec{b}}{2} \
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Q.42

点 \( \mathrm{P}(5,-3,7), \mathrm{Q}(7,1,2) \) について, PQ \overrightarrow{\mathrm{PQ}} の成分と大きさを求めよ。
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Q.43

極座標と点, 極座標と直交座標 (1) 極座標が次のような点の位置を図示せよ。 \[ \mathrm{A}(3, \frac{3}{4} \pi), \quad \mathrm{B}(2,-\frac{\pi}{3}) \] (2) (1)の点 A,B \mathrm{A}, \mathrm{B} の直交座標を求めよ。また, 直交座標が次のような点 P \mathrm{P} と点 Q \mathrm{Q} の極座標 \( (r, \theta)(r>0,0 \leqq \theta<2 \pi) \) を求めよ。 \[ \mathrm{P}(\sqrt{3},-1), \quad \mathrm{Q}(-2,-2 \sqrt{3}) \]
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Q.44

点 \( \\mathrm{P}(\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}) = s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} + t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \), 0 \\leqq s + t \\leqq 1, s \\geqq 0, t \\geqq 0 を満たしながら動くとき, 点 \\mathrm{P} の存在範囲について述べよ。
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Q.45

点 \( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \) が異なる 2 点 \( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}) \) を通る直線 mathrmAB \\mathrm{AB} 上にあるための必要十分条件を求めよ。
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Q.46

重要例題 63 | 共通垂線の長さ\n座標空間において, 点 \( \mathrm{A}(1,3,0) \) を通り \( \vec{a}=(-1,1,-1) \) に平行な直線を \ell , 点 \( \mathrm{B}(-1,3,2) \) を通り \( \vec{b}=(-1,2,0) \) に平行な直線を m m とする。P \mathrm{P} は直線 \ell 上の点, Q \mathrm{Q} は直線 m m 上の点とする。 PQ \overrightarrow{\mathrm{PQ}} の大きさ PQ |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| の最小値と, そのときの点 P,Q \mathrm{P}, \mathrm{Q} の座標を求めよ。
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Q.47

ベクトルの平行条件 \\( (\\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} ) \\) \ \\vec{a} / / \\vec{b} \\Leftrightarrow \\vec{b}=k \\vec{a} \ となる実数 \ k \ がある
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Q.48

△OAB に対し、→OP=s→OA+t→OB とする。実数 s, t が次の関係を満たしながら動くとき、点 P の存在範囲を求めよ。(1) 3s+t=2 (2) 2s+t≤1, s≥0, t≥0
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Q.49

異なる 2 点 \( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}) \) を通る直線のベクトル方程式を求めよ。
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Q.50

線分 AB \mathrm{AB} と点 P \mathrm{P} があり, AP+3BP+4AB=0 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{0} が成り立つとき, 点 P \mathrm{P} はどのような 位置にあるか。
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Q.51

練習 38:\n(1) (ア) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-2,1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=(a-1,-2,3) であるから\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=-2\\cdot (a-1)+1\\cdot(-2)+2\\cdot 3=-2a+6\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\right|=\\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}=3\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\right|=\\sqrt{(a-1)^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{a^{2}-2a+14}\n
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Q.52

対角線 \ \\mathrm{RT} \ の中点を \ \\mathrm{G} \ とし, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=\\vec{p}, \\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=\\vec{r}, \\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=\\vec{s} \ とします。
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Q.53

ベクトルの演算法則について説明し、それらの法則を使って性質を証明してください。
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