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AIチューター | ヤロウゼ、宿題!

幾何学と測定

ベクトル解析 曲線と曲面の幾何学 - 内積と外積

Q.01

6 一数学 C C TR 14 右の図の直角三角形 ABC \mathrm{ABC} において, AB=a,AC=b,BC=c \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec{c} とすると き, 内積 ab,bc,ca \vec{a} \cdot \vec{b}, \vec{b} \cdot \vec{c}, \vec{c} \cdot \vec{a} をそれぞれ求めよ。であり, a=AB=2,b=AC=23,c=BC=4 |\vec{a}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=2,|\vec{b}|=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2 \sqrt{3},|\vec{c}|=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=4 であり, a \vec{a} b \vec{b} のなす角は 90 90^{\circ} である。
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Q.02

TRAINING 19\n(3)\na=1,b=2 |\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2 とする。次の問いに答えよ。\n(1) ab=1 \vec{a} \cdot \vec{b}=-1 のとき, ab |\vec{a}-\vec{b}| の値を求めよ。\n(2) a+b=1 |\vec{a}+\vec{b}|=1 のとき, ab \vec{a} \cdot \vec{b} 2a3b |2 \vec{a}-3 \vec{b}| の値を求めよ。
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Q.03

ベクトルの内積\n\ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ のなす角 \ \\theta \ について\n\\n\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\n\\]\n\\[\n\\cos \\theta =\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} =\\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}+a_{3}{ }^{2}} \\sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}+b_{3}{ }^{2}}\n\
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Q.04

次の 2 つのベクトル a,b \vec{a}, \vec{b} の内積となす角 θ \theta を求めよ。\n\\[ \vec{a} = (1,0,-1), \vec{b} = (-1,2,2) \\]
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Q.05

次の等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) \( 3 \vec{a} \cdot(3 \vec{a}-2 \vec{b})=9|\vec{a}|^{2}-6 \vec{a} \cdot \vec{b} \)\n(2) 4ab2=16a28ab+b2 |4 \vec{a}-\vec{b}|^{2}=16|\vec{a}|^{2}-8 \vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}
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Q.06

(1) 内積 OAOD,OBOD \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} を求めよ。
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Q.07

2 つのベクトル \( \vec{a}=(1,2,-1), \vec{b}=(-1, x, 0) \) のなす角が 45 45^{\circ} であるとき, x x の値を求めよ。
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Q.08

次の 2 つのベクトル a \vec{a} , b \vec{b} の内積となす角 θ \theta を求めよ。\n\\[ \vec{a} = (1,0,1), \vec{b} = (2,2,1) \\]
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Q.09

内積の性質\n\n次のベクトルの内積を計算し、内積の性質を確認してください。a=(2,3),b=(4,1)\vec{a}=\left(2, 3\right), \vec{b}=\left(4, -1\right)\n\n内積が 0\n\n内積の性質\nベクトルの内積について, 次の 1 〜 5 が成り立つ。\n1 aa=a2\vec{a} \cdot \vec{a}=|\vec{a}|^{2}\n2 ab=ba\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}\n3 (a+b)c=ac+bc(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c}=\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{c}\n4 a(b+c)=ab+ac\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}\n5 (ka)b=a(kb)=k(ab)(k \vec{a}) \cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot(k \vec{b})=k(\vec{a} \cdot \vec{b})\nただし, kは実数\n\n証明 a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2)\vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}\right), \vec{c}=\left(c_{1}, c_{2}\right) とする。
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Q.10

(1) 2veca3vecb=10 |2 \\vec{a}-3 \\vec{b}|=10 から quad2veca3vecb2=100 \\quad|2 \\vec{a}-3 \\vec{b}|^{2}=100 \nよって \( \\quad(2 \\vec{a}-3 \\vec{b}) \\cdot(2 \\vec{a}-3 \\vec{b})=100 \)\nゆえに quad4veca212vecacdotvecb+9vecb2=100 \\quad 4|\\vec{a}|^{2}-12 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+9|\\vec{b}|^{2}=100 \nveca=1,vecb=2sqrt2 |\\vec{a}|=1,|\\vec{b}|=2 \\sqrt{2} から \( \\quad 4 \\times 1^{2}-12 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+9(2 \\sqrt{2})^{2}=100 \)\nすなわち 412vecacdotvecb+72=100 4-12 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+72=100 よって vecacdotvecb=2 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=-2 \n! ゆえに costheta=fracvecacdotvecbvecavecb=frac21times2sqrt2=frac1sqrt2 \\cos \\theta=\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|}=\\frac{-2}{1 \\times 2 \\sqrt{2}}=-\\frac{1}{\\sqrt{2}} \n0circleqqthetaleqq180circ 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ} であるから quadtheta=135circ \\quad \\theta=135^{\\circ}
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Q.11

ベクトルの内積 ベクトルの内積となす角(空間)
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Q.12

TR実践 k k を実数の定数とする。ある平面上に点 P \mathrm{P} と三角形 ABC \mathrm{ABC} があり,次の等式を満たしている。\n3PA+4PB+5PC=kBC3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}}\n(1) 点 P \mathrm{P} が直線 AB \mathrm{AB} 上にあるとき, k= k=\square である。\n(2) 点 P \mathrm{P} が三角形 ABC \mathrm{ABC} の内部にあるとき, イウ <k< <k<\square である。ただし, 点 P \mathrm{P} は三角形 ABC \mathrm{ABC} の周上にはないものとする。
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Q.13

内積と仕事の関係
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Q.14

2 つのベクトル \( \vec{a}=(2,1,1), \vec{b}=(x, 1,-2) \) のなす角が 60 60^{\circ} であるとき, x x の値を求めよ。
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Q.15

ベクトル \( \\vec{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right), \\vec{b}=\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right) \\) において, a_{1} \\neq 0, b_{1} \\neq 0 \ であるとする。このとき,次のことが成り立つことを証明せよ。\n\ \\vec{a} / / \\vec{b} \\Longleftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}=0 \
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Q.16

13点が一直線上にあるための条件[共線条件][=例題 25] 2 点 A、B が異なるとき 点 C が直線 AB 上にある ⇔ AC=kAB\overrightarrow{\mathrm{AC}} = k \overrightarrow{\mathrm{AB}} となる実数 k がある 異なる 2 点 A, B を通る 直線 AB 上に点 C があるとき, AB//AC\overrightarrow{\mathrm{AB}} / / \overrightarrow{\mathrm{AC}} また は AC=0\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{0} である。
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Q.17

ベクトル OA \overrightarrow{\mathrm{OA}} OB \overrightarrow{\mathrm{OB}} の内積 OAOB \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} を求めなさい。3 点 O,A,B \mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B} をとり, OA \overrightarrow{\mathrm{OA}} OB \overrightarrow{\mathrm{OB}} のなす角を θ \theta とする。
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Q.18

内積を使ってベクトルが垂直であることを証明しなさい。
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Q.19

2 つのベクトル \( \\vec{a}=(s, 3 s-1, s-1), \\vec{b}=(t-1, 4, t-3) \) が平行であるとき, s,t s, t の値を求めよ。
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Q.20

次の 2 つのベクトル \ \\vec{a}, \\vec{b} \ が平行になるように, \ x \ の値を定めよ。\n(1) \\( \\vec{a}=(x,-2), \\vec{b}=(2,1) \\)\n(2) \\( \\vec{a}=(-9, x), \\vec{b}=(x,-1) \\)
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Q.21

ベクトルa \vec{a} b \vec{b} が垂直である条件を示しなさい。
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Q.22

TRAINING 実践 1 (4) \ k \ を実数の定数とする。ある平面上に点 \ \\mathrm{P} \ と三角形 \ \\mathrm{ABC} \ があり, 次の等式を満たして いる。\n\\n3 \\overrightarrow{\\mathrm{PA}}+4 \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}+5 \\overrightarrow{\\mathrm{PC}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{BC}}\n\\n(1) 点 \ \\mathrm{P} \ が直線 \ \\mathrm{AB} \ 上にあるとき, \ k=\\square \ である。\n(2) 点 \ \\mathrm{P} \ が三角形 \ \\mathrm{ABC} \ の内部にあるとき, \ <k<\\square \ である。ただし,点 \ \\mathrm{P} \ は三角形 \ \\mathrm{ABC} \ の周上にはないものとする。
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Q.23

1辺の長さが1の立方体 ABCDEFGH \mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH} において, 次の内積を求めよ。\n(1) ACHG \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HG}} \n(2) ACAF \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}} \n(3) AFAG \overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}
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Q.24

ベクトルの内積 図形とべクトルの内積(空間)(1)
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Q.25

ベクトルの内積 成分を求める(空間)
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Q.26

次の 2 つのベクトルの内積を求めてください:\n\nベクトル \(\\vec{a} = (3, 4)\) と ベクトル \(\\vec{b} = (1, 2)\)
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Q.27

次のベクトル veca \\vec{a} vecb \\vec{b} の内積を計算してください:\n\n veca=overrightarrowOA,vecb=overrightarrowOB \\vec{a} = \\overrightarrow{OA}, \\vec{b} = \\overrightarrow{OB} , 両ベクトルのなす角 theta=60circ \\theta = 60^{\\circ} で、| veca \\vec{a} | = 5, | vecb \\vec{b} | = 3 のとき
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Q.28

(1) \( \\vec{a}=(5,1) \) と \( \\vec{b}=(2, x) \) が垂直になるような x x の値を求めよ。\n(2) \( \\vec{c}=(\\sqrt{3}, 1) \) に垂直な単位ベクトル vece \\vec{e} を求めよ。
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Q.29

ゆえに, OC \overrightarrow{\mathrm{OC}} MN \overrightarrow{\mathrm{MN}} のなす角を θ \theta とすると\n\\[\n\\cos \\theta=\\frac{\\overrightarrow{\\mathrm{OC}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{MN}}}{|\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}||\\overrightarrow{\\mathrm{MN}}|}=\\frac{1}{2} \\div\\left(1 \\times \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]\n0circleqqthetaleqq180circ 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ} であるから quadtheta=45circ \\quad \\theta=45^{\\circ} \n〔 overrightarrow0 \\overrightarrow{0} でないべクトル vecp \\vec{p} , vecq \\vec{q} のなす角を theta \\theta とする\nと \\cos \\theta=\\frac{\\vec{p} \\cdot \\vec{q}}{|\\vec{p}||\\vec{q}|} \
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Q.30

次の内積を求めよ。 (1) \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}, (2) \overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}, (3) \overrightarrow{\mathrm{BH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}
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Q.31

EX ベクトル \( \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) において, a10,b10 a_{1} \neq 0, b_{1} \neq 0 であるとする。このとき, 次のことが成り立つことを証明せよ。 a//ba1b2a2b1=a1b3a3b1=0\vec{a} / / \vec{b} \Longleftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}=0
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Q.32

(2) \( (\\vec{a}-3 \\vec{b}) \\perp(2 \\vec{a}+\\vec{b}) \) から \( \\quad(\\vec{a}-3 \\vec{b}) \\cdot(2 \\vec{a}+\\vec{b})=0 \)\nよって \( \\quad \\vec{a} \\cdot(2 \\vec{a}+\\vec{b})-3 \\vec{b} \\cdot(2 \\vec{a}+\\vec{b})=0 \)\nゆえに quad2veca25vecacdotvecb3vecb2=0 \\quad 2|\\vec{a}|^{2}-5 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}-3|\\vec{b}|^{2}=0 \nveca=2,vecb=1 |\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=1 であるから quad2cdot225vecacdotvecb3cdot12=0 \\quad 2 \\cdot 2^{2}-5 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}-3 \\cdot 1^{2}=0 \n(1) よって vecacdotvecb=1 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=1 ゆえに costheta=fracvecacdotvecbvecavecb=frac12times1=frac12 \\cos \\theta=\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|}=\\frac{1}{2 \\times 1}=\\frac{1}{2} \ \\Leftrightarrow|\\vec{p}| \ は \ |\\vec{p}|^{2} \ として扱う。\n0circleqqthetaleqq180circ 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ} であるから quadtheta=60circ \\quad \\theta=60^{\\circ}
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Q.33

次の各場合において, OAB \triangle \mathrm{OAB} の面積 S S を求めよ。 (1) OA=2,OB=3,OAOB=2 |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{3}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2 のとき
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Q.34

右の図に示されたべクトルについて, 次のようなべ クトルの番号の組をすべてあげよ。\n(1) 大きさが等しいべクトル\n(2) 向きが同じベクトル\n(3) 等しいベクトル\n(4) 互いに逆ベクトル
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Q.35

ベクトルのなす角と垂直条件\n\n以下のベクトル a=(1,0),b=(0,1)\vec{a}=\left(1, 0\right), \vec{b}=\left(0, 1\right) のなす角を求め、そのベクトルが垂直であることを証明してください。\n\n0\overrightarrow{0} でない2つのベクトル a=(a1,a2),b=(b1,b2)\vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}\right) のなす角を θ\theta とする。このとき cosθ=abab=a1b1+a2b2a12+a22b12+b22\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}} ただし 0θ1800^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}
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Q.36

3 点 \( \mathrm{A}(4, 3, -3), \mathrm{B}(3, 1, 0), \mathrm{C}(5, -2, 1) \) を頂点とする ABC \triangle \mathrm{ABC} において、内積 BABC \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} および ABC \angle \mathrm{ABC} の大きさ θ \theta を求めよ。
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Q.37

\\triangle \\mathrm{ABC} の内部に点 \\mathrm{P} があり, 2 \\overrightarrow{PA} + 3 \\overrightarrow{PB} + 5 \\overrightarrow{PC} = \\overrightarrow{0} が成り立っている。(1) 点 \\mathrm{P} はどのような位置にあるか。(2) 面積比 \\triangle \\mathrm{PBC} : \\triangle \\mathrm{PCA} : \\triangle \\mathrm{PAB} を求めよ。
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Q.38

辺の長さが 2 の正方形 ABCD \mathrm{ABCD} において, 次の内積を求めよ。\n(1) ABAC \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} \n(2) ABCA \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \n(3) ABDA \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}}
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Q.39

平行四辺形 mathrmABCD \\mathrm{ABCD} において, 等式 \( 2\\left(\\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{BC}^{2}\\right)=\\mathrm{AC}^{2}+\\mathrm{BD}^{2} \) が成り立つこと を,ベクトルを用いて証明せよ。 [近畿大]
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Q.40

4 点 \( \\mathrm{A}(2,1,2), \\mathrm{B}(-2,2,1), \\mathrm{C}(-3,-4,2), \\mathrm{D}(a, b, 5) \\) がある。\n(1) \\mathrm{AB} / / \\mathrm{CD} \ であるとき, a, b \ の値を求めよ。\n(2) 四角形 \\mathrm{ABCE} \ が平行四辺形となるとき,点 \\mathrm{E} \ の座標を求めよ。
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Q.41

基本例題 22 標準例題 33 OAB \triangle \mathrm{OAB} の辺 OA \mathrm{OA} 2:1 2: 1 に内分する点を D \mathrm{D} 、辺 OB \mathrm{OB} 3:2 3: 2 に内分する点を E \mathrm{E} とし、線分 AE \mathrm{AE} BD \mathrm{BD} の交点を P \mathrm{P} とする。 OA=a,OB=b \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b} とするとき、 OP \overrightarrow{\mathrm{OP}} a,b \vec{a}, \vec{b} を用いて表せ。
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Q.42

四面体 O A B C において, 辺 O A の中点を P, 辺 BC の中点を Q, 線分 PQ を 1: 2 に 内分する点を R とし, 直線 OR と平面 ABC の交点を S とする。 OA=vec{a}, OB=vec{b}, OC=vec{c} とするとき, OS を vec{a}, vec{b}, vec{c} を用いて表せ。
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Q.43

第 2 章空間のベクトル- 39 (1) P(x, y, z) とすると   \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\left(x-\frac{1}{2}, y+\frac{3}{2}, z-1\right) 点 \mathrm{P} は直線 \mathrm{AB} 上にあるから, \overrightarrow{\mathrm{AP}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}} となる実数 t があ る。 \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2},-4\right) であるから \[\left(x-\frac{1}{2}, y+\frac{3}{2}, z-1\right)=t\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2},-4\right)\] ゆえに \left(x-\frac{1}{2}, y+\frac{3}{2}, z-1\right)=\left(\frac{3}{2} t, \frac{5}{2} t,-4 t\right) よって \quad x=\frac{3}{2} t+\frac{1}{2}, y=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}, z=-4 t+1 点 \mathrm{P} は y z 平面上にあるから, \overrightarrow{\mathrm{OP}} の x 成分は 0 すなわち, \frac{3}{2} t+\frac{1}{2}=0 から \quad t=-\frac{1}{3} よって, 点 \mathrm{P} の座標は \quad\left(0,-\frac{7}{3}, \frac{7}{3}\right) (2) (1) から, \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\left(\frac{3}{2} t+\frac{1}{2}, \frac{5}{2} t-\frac{3}{2},-4 t+1\right) と表される。 \mathrm{AB} \perp \mathrm{OH} であるから \quad \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}=0 ゆえに \quad \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2} t+\frac{1}{2}\right)+\frac{5}{2}\left(\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}\right)-4(-4 t+1)=0 これを解くと \quad t=\frac{2}{7} よって, 点 \mathrm{H} の座標は \left(\frac{13}{14},-\frac{11}{14},-\frac{1}{7}\right) \[\begin{array}{l} \leftarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}} =\left(2-\frac{1}{2}, 1-\left(-\frac{3}{2}\right),-3-1\right) \end{array}\] T R \Leftarrow y z 平面の方程式は x=0 \Leftrightarrow t=-\frac{1}{3} を (1) に代入。 \leftarrow 点 \mathrm{H} は直線 \mathrm{AB} 上に ある。 \leftarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2},-4\right) \leftarrow \frac{49}{2} t-7=0 \Leftrightarrow t=\frac{2}{7} を(1)に代入。
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Q.44

\ \\triangle \\mathrm{OAB} \ において, \ \\mathrm{OA}=2, \\mathrm{OB}=3, \\mathrm{AB}=\\sqrt{7} \ とし,垂心を Hとする。 \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b} \ とするとき, 次の問いに答えよ。\n(1)内積 \ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} \ を求めよ。\n(2) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OH}} \ を \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \ を用いて表せ。
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Q.45

次の 2 つのベクトル veca\\vec{a}, vecb\\vec{b} の内積となす角 \\theta\ を求めよ。\n\n\\[\\vec{a}=(1,0,-1), \\vec{b}=(-1,2,2)\\]
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Q.46

次のベクトル a \vec{a} , b \vec{b} の内積となす角 θ \theta を求めよ。(1) \( \vec{a}=(3,4), \vec{b}=(7,1) \)(2) \( \vec{a}=(1, \sqrt{3}), \vec{b}=(-\sqrt{3},-1) \)(3) \( \vec{a}=(\sqrt{2},-2), \vec{b}=(-1, \sqrt{2}) \)(4) \( \vec{a}=(-1,2), \vec{b}=(6,3) \)
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Q.47

右の図の直角三角形 ABC \mathrm{ABC} において, AB=a,AC=b \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{b} , BC=c \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec{c} とするとき, 内積 ab,bc,ca \vec{a} \cdot \vec{b}, \vec{b} \cdot \vec{c}, \vec{c} \cdot \vec{a} をそれぞれ求めよ。
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Q.48

\( \\vec{a}=(x+2,1) \) と \( \\vec{b}=(1,-6) \) が垂直になるような x x の値を求めよ。
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Q.49

△OAB に対し、→OP=s→OA+t→OB とする。実数 s, t が次の条件を満たしながら動くとき、点 P の存在範囲を求めよ。(1) s+t=3 (2) 2s+3t=1, s≥0, t≥0 (3) 2s+3t≤6, s≥0, t≥0
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Q.50

\\( 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = \\frac{1}{p^{2} - p + 1}\\{(1 - p) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} + p \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\} \\)
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Q.51

(1) \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AF}}+\\overrightarrow{\\mathrm{FC}}=\\vec{b}+2 \\vec{a} \\n \\vec{b}=\\overrightarrow{\\mathrm{AF}} \ であるから \( \\quad \\vec{a}=\\frac{1}{2}(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AF}}) \\)\nよって \( \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=2 s \\vec{a}+(3-3 s) \\vec{b} \\)\n\\[\n\\begin{array}{l}\n=2 s \\cdot \\frac{1}{2}(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AF}})+(3-3 s) \\overrightarrow{\\mathrm{AF}} \\\\\n=s \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}+(3-4 s) \\overrightarrow{\\mathrm{AF}}\n\\end{array}\n\\]\n\n点 Pが \\triangle \\mathrm{ACF} \ の内部に存在するための条件は\n\\[\ns>0,3-4 s>0, s+(3-4 s)<1\n\\]\n\nゆえに s>0, s<\\frac{3}{4}, s>\\frac{2}{3} \\nしたがって, 求める実数 s \ の値の範囲は \\quad \\frac{2}{3}<s<\\frac{3}{4} \\n1両辺を k \ で割って,\n \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=s^{\\prime} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+t^{\\prime} \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \\n s^{\\prime}+t^{\\prime}=1, \\quad s^{\\prime} \\geqq 0, t^{\\prime} \\geqq 0 \\nの形に変形する。\n \\overrightarrow{\\mathrm{B}^{\\prime} \\mathrm{C}^{\\prime}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}^{\\prime}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}^{\\prime}} \\n1 内積と三角形の面積公式については, 例題 5 参照。\n \\triangle \\triangle \\mathrm{ADG} \\triangle \\triangle \\mathrm{AEF} \,\n\ \\mathrm{AD}: \\mathrm{AE}=1: 2 \ から\n\ S_{1}: S_{2}=1^{2}: 2^{2} \\n\\( \\varangle \\vec{a}=\\frac{1}{2}(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\vec{b}) \\)\n\ \\triangle \\mathrm{ACF} \ について考え ながら,\n \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}+\\square \\overrightarrow{\\mathrm{AF}} \ の形に変形する。\n1点 \\mathrm{P} \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の内部 に存在するための条件は\n\\n\\begin{\overlineray}{l}\n\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \\\\\ns>0, \\quad t>0, s+t<1\n\\end{\overlineray}\n\\n4共通範囲をとる。
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Q.52

(2) \vec{a}+t \vec{b} と \vec{a}+3 t \vec{b} が垂直であるための条件は (\vec{a}+t \vec{b}) \cdot(\vec{a}+3 t \vec{b})=0 すなわち 3|\vec{b}|^{2} t^{2}+4 \vec{a} \cdot \vec{b} t+|\vec{a}|^{2}=0 |\vec{b}| \neq 0 であるから, (1) 満たす実数 t がただ 1 つ存在するための条件は, t についての 2 次方程式 (1) の判別式を D とすると D=0 ここで \quad \frac{D}{4}=4(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}-3|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}=4(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta)^{2}-3|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} =|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}(4 \cos ^{2} \theta-3) よって, D=0 から \quad|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}(4 \cos ^{2} \theta-3)=0 |\vec{a}| \neq 0,|\vec{b}| \neq 0 であるから \quad 4 \cos ^{2} \theta-3=0 したがって \quad \cos θ= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} 0^{°} \leqq θ \leqq 180^{°} であるから \quad \theta=30^{°}, 150^{°}
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Q.53

演習 5 III → 本冊 p .78\n\(\begin{array}{l}4 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\overrightarrow{0} \text { から } \\4 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3(\overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})+2(\overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})+(\overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}})=\overrightarrow{0} \\ \text { よって } 10 \overrightarrow{\mathrm{AP}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}} \\=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}})+\overrightarrow{\mathrm{AD}} \\ =5 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{AD}} \end{array}\)
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Q.54

1 次独立と 1 次従属\nn n 個のベクトル a1,a2,,an \overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \cdots \cdots, \overrightarrow{a_{n}} を用いて, x1a1+x2a2++xnan(x1,x2 x_{1} \overrightarrow{a_{1}}+x_{2} \overrightarrow{a_{2}}+\cdots \cdots+x_{n} \overrightarrow{a_{n}}\left(x_{1}, x_{2}\right. , \qquad xn x_{n} は実数)の形に表されたべクトルを, a1,a2,,an \overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \cdots \cdots, \overrightarrow{a_{n}} の 1 次結合 という。そして x1a1+x2a2++xnan=0 x_{1} \overrightarrow{a_{1}}+x_{2} \overrightarrow{a_{2}}+\cdots \cdots+x_{n} \overrightarrow{a_{n}}=\overrightarrow{0} ならば x1=x2=cdots=xn=0 \quad x_{1}=x_{2}=\\cdots \cdots=x_{n}=0 \nが成り立つとき, これら n n 個のベクトル a1,a2,,an \overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \cdots \cdots, \overrightarrow{a_{n}} は 1 次独立であるという。 また, 1 次独立でないベクトルは, 1 次従属 であるという。\n\n平面上のベクトルの 1 次独立と 1 次従属\n平面上の 0 \overrightarrow{0} でない 2 つのベクトル a,b \vec{a}, \vec{b} について, s,t s, t を実数として\nsa+tvecb=overrightarrow0 ならば s=t=0 s \vec{a}+t \\vec{b}=\\overrightarrow{0} \text { ならば } \quad s=t=0 \n\nが成り立つとき, veca \\vec{a} vecb \\vec{b} は 次独立であるという。また, 1 次独立でないベクトルは 1 次従属 であるという。\n例えば, \( \\vec{a}=(2,1), \\vec{b}=(1,-1), \\vec{c}=(4,2) \) のとき\n\[\\begin{aligned}\ns \\vec{a}+t \\vec{b}=\\overrightarrow{0} & \\Longrightarrow(2 s+t, s-t)=(0,0) \\newline & \\Longrightarrow 2 s+t=0, s-t=0\\Longrightarrow s=t=0 \\\n\\end{aligned}\n\\]\n\nよって, veca \\vec{a} vecb \\vec{b} は 1 次独立である。\n\[\\begin{aligned}\ns \\vec{a}+t \\vec{c}=\\overrightarrow{0} & \\Longrightarrow(2 s+4 t, s+2 t)=(0,0) \\quad \\Delta \\vec{a} / / \\vec{c} \\newline & \\Longrightarrow 2 s+4 t=0, s+2 t=0\n\\end{aligned}\n\\]\n \\Longrightarrow s=-2 k, t=k \ ( \ k \ は任意の実数)\nよって, veca \\vec{a} vecc \\vec{c} は 1 次従属である。\n一般に, 平面上の 2 つのベクトル \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \ について, 次のことが成り立つ。\n\ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ が 1 次独立 \ \\Leftrightarrow \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b} \\n\n㱏明 \\( (\\Longrightarrow) \\vec{a}, \\vec{b} \\) の少なくとも 1 つが 0 のとき, \ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ は 1 次従属 である。\n0 でない実数ににつ いて \ k \\overrightarrow{0}=\\overrightarrow{0} \\n\ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} / / \\vec{b} \ のとき, \ \\vec{b}=k \\vec{a} \ となる 0 でない実数 \ k \ が\n存在する。このとき, \ k \\vec{a}-\\vec{b}=\\overrightarrow{0} \ となり, \ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ は 1 次従属である。\nよって \ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ が 1 次独立 \ \\Longrightarrow \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b} \~\ \\Longleftrightarrow \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b} \ とし,実数 \ s, t \ に対して, \ s \\vec{a}+t \\vec{b}=\\overrightarrow{0} \ とする。\n\ s \\neq 0 \ と仮定すると, \ \\vec{a}=-\\frac{t}{s} \\vec{b} \ となり \ \\vec{a} / / \\vec{b} \\quad \ これは \ \\vec{a} \\times \\vec{b} \ と矛盾する。\nゆえに \ s=0 \ 同様にして \ t=0 \ であることも示すことができる。\nよって \ \\quad \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b} \\Longrightarrow \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ は 1 次独立以上より \ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ が 1 次独立 \ \\Leftrightarrow \\vec{a} \\neq \\$\\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b} \\nD. 19, 24 で学んだことと合わせ, 次のことは重要であるから, ここにまとめておく。 \ \\vec{a}, \\vec{b} \ が 1 次独立であるとき, すなわち, \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b} \ であるとき\n(1) 任意のベクトル \ \\vec{p} \ は, \ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ の 1 次結合 \ (\\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \ の形) で, ただ 1 通りに表される。\n(2) \ s \\vec{a}+t \\vec{b}=\\overrightarrow{0} \\Longleftrightarrow s=t=0 \
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Q.55

P \mathrm{P} は辺 OA \mathrm{OA} 上を動くから, \( \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}(0 \leqq s \leqq 1) \) と表される。 また, 点 Q \mathrm{Q} は辺 BC \mathrm{BC} 上を動くから, \( \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OB}}+t \overrightarrow{\mathrm{OC}} \) 0t1 ( 0 \leqq t \leqq 1 ) と表される。 このとき PQ \overrightarrow{\mathrm{PQ}} の二乗の最小値を求めよ。
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Q.56

点Oを原点とする座標空間において, \( \mathrm{A}(5,4,-2) \) とする。 OP22OAOP+36=0 |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}-2 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}+36=0 を満たす点 \( \mathrm{P}(x, y, z) \) の集合はどのような図形を表すか。また, その方程式を x,y,z x, y, z で表せ。
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Q.57

数学C -13 練習 7 本冊 p .35 (1) (\vec{a}+2 \vec{b}) \perp(\vec{a}-2 \vec{b}) であるから (\vec{a}+2 \vec{b}) \cdot(\vec{a}-2 \vec{b})=0 よって \quad|\vec{a}|^{2}-4|\vec{b}|^{2}=0 すなわち |\vec{a}|^{2}=4|\vec{b}|^{2} |\vec{a}|>0,|\vec{b}|>0 であるから \quad|\vec{a}|=2|\vec{b}| また, |\vec{a}+2 \vec{b}|=2|\vec{b}| から \quad|\vec{a}+2 \vec{b}|^{2}=4|\vec{b}|^{2} よって \quad|\vec{a}|^{2}+4 \vec{a} \cdot \vec{b}+4|\vec{b}|^{2}=4|\vec{b}|^{2} ゆえに \quad \vec{a} \cdot \vec{b}=-\frac{1}{4}|\vec{a}|^{2} すなわち |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta=-\frac{1}{4}|\vec{a}|^{2} (1) を代入して 2|\vec{b}|^{2} \cos \theta=-|\vec{b}|^{2} |\vec{b}|>0 であるから \quad \cos \theta=-\frac{-1}{2} 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} であるから \quad \theta=120^{\circ}
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Q.58

以下のベクトル問題を解きなさい。 \ a \\overrightarrow{\\mathrm{PA}}+b \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}+c \\overrightarrow{\\mathrm{PC}}=\\overrightarrow{0} \から\n\\(-a \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+b(\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})+c(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})=\\overrightarrow{0}\\)\n
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Q.59

ABPH \overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PH}} より, ABPH=0 \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PH}}=0 であるから\( 2(2 k-9)+1 \times(k-6)-1 \times(-k)=0 \) ゆえに k=4 k=4
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Q.60

179 練習 137 本冊 p.260 OC = r0, 円 C の半径を a とし, P(r1, θ1), Q(r, θ) とする。 ΔOCP に余弦定理を適用すると r1^2 + r0^2 - 2 r0 r1 cos θ1 = a^2 ... (1) r = 2/3 r1, θ = θ1 であるから r1 = 3/2 r, θ1 = θ これを (1) に代入すると (3/2 r)^2 + r0^2 - 2 r0 * (3/2 r) * cos θ = a^2 よって, OC = r0 としたとき, 求める極方程式は r^2 + (2/3 r0)^2 - 2 * (2/3 r0) r cos θ = (2/3 a)^2
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Q.61

ベクトルのなす角(垂直条件) a25b \vec{a}-\frac{2}{5} \vec{b} a+b \vec{a}+\vec{b} が垂直, a \vec{a} ab \vec{a}-\vec{b} が垂直であるとき, a \vec{a} b \vec{b} のなす角 θ \theta を求めよ。
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Q.62

(1) 証明せよ。 \begin{array}{l} 2\left(|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}\right)-2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) \ =\left(|\vec{a}|^{2}-2 \vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}\right)-\left(|\vec{b}|^{2}-2 \vec{b} \cdot \vec{c}+|\vec{c}|^{2}\right)+\left(|\vec{c}|^{2}-2 \vec{c} \cdot \vec{a}+|\vec{a}|^{2}\right) \ =|\vec{a}-\vec{b}|^{2}+|\vec{b}-\vec{c}|^{2}+|\vec{c}-\vec{a}|^{2} \geqq 0 \ 上って \quad 2\left(|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}\right) \geqq 2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) \end{array} \text { ゆえに } \quad|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2} \geqq \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a} 等号は ab=0 \vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{0} かつ bc=0 \vec{b}-\vec{c}=\overrightarrow{0} かつ ca=0 \vec{c}-\vec{a}=\overrightarrow{0} , すなわち a=b=c \vec{a}=\vec{b}=\vec{c} のときのみ成り立つ。
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Q.63

例 10 内積の計算(定義) 1 辺の長さが 2 で, AC=2 \mathrm{AC}=2 であるようなひし形 ABCD \mathrm{ABCD} において, 対角線 AC \mathrm{AC} BD \mathrm{BD} の交点を O \mathrm{O} とするとき, 次 の内積を求めよ。 (1) ABAC \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} (2). ABOD \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} (3) ABBC \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} (4) BCDA \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}}
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Q.64

練頨 次の不等式を証明せよ。\n(1) a2+b2+c2ab+bc+ca |\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2} \geqq \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a} \n等号は a=b=c \vec{a}=\vec{b}=\vec{c} のときのみ成立。\n(2) \( |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2} \geqq 3(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) \quad \) 等号は a=b=c \vec{a}=\vec{b}=\vec{c} のときのみ成立。
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Q.65

四面体 ABCD \mathrm{ABCD} において, 辺 AB \mathrm{AB} の中点を M \mathrm{M} , 辺 CD \mathrm{CD} の中点を N \mathrm{N} とする。\n(1) 等式 PA+PB=PC+PD \overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}} を満たす点 P \mathrm{P} は存在するか。証明をつけて答えよ。
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Q.66

58 的自 22 内積の等式と三角形の形状 ABC \triangle \mathrm{ABC} において, 次の等式が成り立つとき, この三角形はどのような形か。 (1) ABAB=ABAC+BABC+CACB \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}} [類 学習院大] (2) \( (\overrightarrow{\mathrm{DB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{DB}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}-2 \overrightarrow{\mathrm{DA}})=0 \) [類 広島大] 例題 21 廹鈄 三角形の形状問題 \cdots 辺の関係 (2 (2 辺が等しい, 3 辺が等しい, 三平方) または 2 辺のなす角 (30,45,60,90 \left(30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}\right. になるかなど)を調べる。 線分の長さ,角の大きさを調べるには、内積を利用する。 特に, ( \quad( 内積 \)=0 \Leftrightarrow \) 垂直または 0 \overrightarrow{0} は重要。 (1) 右辺の式を左辺に移して変形。 (2) Dを消すために 2DA=DADA -2 \overrightarrow{\mathrm{DA}}=-\overrightarrow{\mathrm{DA}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}} とする。
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Q.67

ベクトルの内積の計算方法を説明し、具体的な例を用いて計算を行いなさい。
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Q.68

例題 18 三角形の垂心の位置ベクトル\n \\triangle \\mathrm{OAB} \ において, \\mathrm{OA}=5, \\mathrm{OB}=6, \\mathrm{AB}=7 \ とし, 垂心を \\mathrm{H} \ とする。 overrightarrowmathrmOA=veca \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a} , \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b} \ とするとき,次の問いに答えよ。\n(1) 内積 \\vec{a} \\cdot \\vec{b} \ を求めよ。\n(2) \\overrightarrow{\\mathrm{OH}} \veca \\vec{a} , \\vec{b} \ を用いて表せ。
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Q.69

また, nOR \vec{n} \perp \overrightarrow{\mathrm{OR}} から nOR=0 \quad \vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}=0 ここで \( \quad \vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{2}{3} \cdot 4 t-\frac{2}{3}(-4 t+4)-\frac{1}{3}(4 t+1)=4 t-3=0 \) ゆえに t=34 \quad t=\frac{3}{4} \quad よって \( \quad \overrightarrow{\mathrm{OR}}=(3,1,4) \) したがって, 点Rの座標は \( \quad(3,1,4) \)
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Q.70

四面体 OABC において, ⃗a=⇀OA, ⃗b=⇀OB, ⃗c=⇀OC とする。線分 OA, OB, OC, BC, CA, AB の中点をそれぞれ L, M, N, P, Q, R とし, ⃗p=⇀LP, ⃗q=⇀MQ, ⃗r=⇀NR とする。 (1) ⃗a, ⃗b, ⃗c を ⃗p, ⃗q, ⃗r を用いて表せ。 (2) 直線 LP, MQ, NR が互いに直交するとする。 X を ⇀AX=⇀LP なる空間の点と するとき,四面体 XABC および四面体 OABC の体積を |⃗p|,|⃗q|,|⃗r| を用いて 表せ。
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Q.71

內積による直線のベクトル方程式\n点 \\( \\mathrm{A} (\\vec{a}) \\) を通り, \\( \\vec{n} (\\neq \\overrightarrow{0}) \\) に垂直な直線のベクトル方程式 \\( \\vec{n} \\cdot (\\vec{p} - \\vec{a}) = 0 \\)
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Q.72

ベクトルの内積を求め、その幾何学的意味を説明しなさい。
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Q.73

到題 10 ベクトルの不等式の証明\n次の不等式を証明せよ。\n(1) ababab -|\vec{a}||\vec{b}| \leqq \vec{a} \cdot \vec{b} \leqq|\vec{a}||\vec{b}| \n(2) aba+ba+b |\vec{a}|-|\vec{b}| \leqq|\vec{a}+\vec{b}| \leqq|\vec{a}|+|\vec{b}|
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Q.74

(1) \ \\mathrm{AB} \\parallel \\mathrm{DE} \ であるから, \ \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ となる実数 \ k \ を求め、\\( \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-3,0,4), \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=(6, a+1, b+3) \\) のときの \ a \ および \ b \ の値を求めよ。
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Q.75

內積と成分 \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\quad \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \ とする。\n\ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ のなす角を \\( \\theta (0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}) \\) とすると\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\n\\( \\vec{a} = (a_1, a_2), \\vec{b} = (b_1, b_2) \\) のとき\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2\\]\n\\( \\cos \\theta = \\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|} = \\frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\
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Q.76

別解 (ア) a,b \vec{a} , \vec{b} と同じ向きの単位 ベクトルをそれぞれ OA,OB \overrightarrow{\mathrm{OA}^{\prime}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}^{\prime}} とすると\nOA=aa,OB=bb \overrightarrow{\mathrm{OA}^{\prime}}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}, \quad \overrightarrow{\mathrm{OB}^{\prime}}=\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} OA+OB=OC \overrightarrow{\mathrm{OA}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} とすると, 四角形 OACB \mathrm{OA}^{\prime} \mathrm{CB}^{\prime} はひし形であるから,点 C \mathrm{C} O \angle \mathrm{O} の二等分線上にある。よって,求めるベクトルは, k k k0 k \neq 0 である実数として \( k \overrightarrow{\mathrm{OC}}=k\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}^{\prime}}\right)=k\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right) \) と表される。
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Q.77

P(0,s,0), Q(t+1,t+3,-t)とおける。 PQ^2 = (t+1)^2 + (t+3-s)^2 + (-t)^2 = s^2 - 2st + 3t^2 - 6s + 8t + 10 = s^2 - 2(t+3)s + 3t^2 + 8t + 10 = {s-(t+3)}^2 - (t+3)^2 + 3t^2 + 8t + 10 = (s-t-3)^2 + 2t^2 + 2t + 1 = (s-t-3)^2 + 2(t+1/2)^2 + 1/2 PQ^2は s-t-3=0 かつ t+1/2=0 すなわち s=5/2, t=-1/2 のとき最小値 1/2 をとる。 よって, PQ は s=5/2, t=-1/2 のとき最小値1/√2をとる。 すなわち P(0,5/2,0), Q(1/2,5/2,1/2)のとき最小値1/√2。
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Q.78

空間の4点O, A, B, Cが同じ平面上にないとき、OA=a,OB=b,OC=c\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}とすると、任意のベクトルp\vec{p}は次の形にただ1通りに表すことができる。\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c} \quad (s, t, u \text { は実数 })\)これを証明しなさい。
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Q.79

0˘3b1+t0˘3b22˘2650|\u03b1 + t \u03b2| \u2265 0 であるから, 0˘3b1+t0˘3b22|\u03b1 + t \u03b2|^{2} が最小のとき 0˘3b1+t0˘3b2|\u03b1 + t \u03b2| も最小となる。したがって, 0˘3b1+t0˘3b2|\u03b1 + t \u03b2|t=1t=-1 のとき最小値 2˘21a26\u221a{26} をとる。 別解 O を原点とし, 0˘3b1=OA,0˘3b2=OB\u03b1 = \mathbb{OA}, \u03b2 = \mathbb{OB} とすると, 0˘3b1+t0˘3b2=OC\u03b1 + t \u03b2 = \mathbb{OC} で定まる点 C は, 点 A を通り OB\mathbb{OB} に平行な直線上にある。よって, 0˘3b1+t0˘3b2|\u03b1 + t \u03b2| = OC|\mathbb{OC}| が最小となるのは, (0˘3b1+t0˘3b2)0˘3b2(\u03b1 + t \u03b2) \perp \u03b2 となるときである。このとき (0˘3b1+t0˘3b2)0˘3b2=0(\u03b1 + t \u03b2) \cdot \u03b2 = 0 ゆえに (2 + t) x 1 + (-4 - t) x (-1) + (-3 + t) x 1 = 0 よって 3t + 3 = 0 ゆえに t = -1 このとき 0˘3b1+t0˘3b2|\u03b1 + t \u03b2| = 0˘3b10˘3b2|\u03b1 - \u03b2| = 2˘21a12+(3)2+(4)2\u221a{1^{2} + (-3)^{2} + (-4)^{2}} = 2˘21a26\u221a{26} したがって, 0˘3b1+t0˘3b2|\u03b1 + t \u03b2|t=1t=-1 のとき最小値 2˘21a26\u221a{26} をとる。
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Q.80

追加の参考\n参考: \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} と \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} の外積 \\vec{u} を求めると\n\n\\vec{u}=(1 \\cdot 0-(-2)\\cdot 4, (-2)\\cdot 3-2 \\cdot 0,2 \\cdot 4-1\\cdot 3) = (8,-6,5)
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Q.81

1. ベクトルの内積の最大値・最小値 2. ベクトルと軌跡, 領域 3. 四面体の体積の最大値 4. ベクトル方程式の扱い 5. 空間における図形 (球面) 6. 複素数平面上を移動する点の極限 7. 複素数平面上の点の存在範囲 8. 複素数と整数の性質の融合問題 9. 媒介変数表示と軌跡 10. 複素数平面と式と曲線の融合問題
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Q.82

例 11 | 内積の計算(成分) 次のベクトル a,b \vec{a}, \vec{b} の内積と, そのなす角 θ \theta を求めよ。 (1) \( \vec{a}=(3,4), \vec{b}=(7,1) \) (2) \( \vec{a}=(2,-1), \vec{b}=(-2+\sqrt{3}, 1+2 \sqrt{3}) \)
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Q.83

(2) の続き\nゆえに|\\vec{b}+t\\vec{c}|^{2}=|\\vec{b}|^{2}+2t\\vec{b}\\cdot \\vec{c}+ t^{2}|\\vec{c}|^{2}=14+6t+6t^{2}
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Q.84

辺の長さが 2 の正四面体 ABCD \mathrm{ABCD} において, ABAC \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} を求めよ。
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Q.85

(2) \( \vec{a} \cdot \vec{b}=2 \times(-2+\sqrt{3})+(-1) \times(1+2 \sqrt{3})=-5 \)\nまた \( |\vec{a}|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{5} \),\n\n\[\|\vec{b}|=\sqrt{(-2+\sqrt{3})^{2}+(1+2 \sqrt{3})^{2}}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5}\]\n\nよって cosθ=abab=55×25=12 \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-5}{\sqrt{5} \times 2 \sqrt{5}}=-\frac{1}{2} \n0θ180 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} であるから θ=120 \quad \theta=120^{\circ}
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Q.86

A(r1,θ1)およびB(r2,θ2)[r1 > 0, r2 > 0]とする。余弦定理を用いて、点Aと点Bの距離ABを求めなさい。
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Q.87

向きが同じで大きさが等しいベクトル a \vec{a} b \vec{b} が等しいことをどのように表現しますか?
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Q.88

一般に,空間のベクトル \ \\overrightarrow{u_{1}}, \\overrightarrow{u_{2}}, \\overrightarrow{u_{3}} \ が次の条件を満たす:\\( \\overrightarrow{u_{i}} \\cdot \\overrightarrow{u_{j}}=\\left\\{\\begin{array}{ll}1 & (i=j) \\\\ 0 & (i \\neq j) \\end{array}\\right. \\)
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Q.89

線分 AB \mathrm{AB} と点 P \mathrm{P} がある。次の等式が成り立つとき, 点 P \mathrm{P} はどのような位置にあるか。 2. AP3BP+4BA=0 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{0}
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Q.90

O \mathrm{O} を原点とする座標空間において, 次の条件を満たす点 \( \mathrm{P}(x, y, z) \) の集合はどのような図形を表すか。また,その方程式を x,y,z x, y, z で表せ。\n(1) \( \mathrm{A}(3,-6,2) \) とするとき, 点 P \mathrm{P} OP2+2OPOA+45=0 |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}+2 \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}+45=0 を満たす。\n(2) \( \mathrm{A}(1,0,0), \mathrm{B}(0,2,0), \mathrm{C}(0,0,3) \) とするとき, 点 P \mathrm{P} は \( \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{BP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{CP}})=0 \) を満たす。
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Q.91

点 H は垂心であるから\n\n1. overrightarrowmathrmOH=sveca+tvecb(s,t \\overrightarrow{\\mathrm{OH}}=s \\vec{a}+t \\vec{b}(s, t は実数)\n2. overrightarrowmathrmOHperpoverrightarrowmathrmAB \\overrightarrow{\\mathrm{OH}} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} より overrightarrowmathrmOHcdotoverrightarrowmathrmAB=0 \\overrightarrow{\\mathrm{OH}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=0 \n3. overrightarrowmathrmAHperpoverrightarrowmathrmOB \\overrightarrow{\\mathrm{AH}} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} より overrightarrowmathrmAHcdotoverrightarrowmathrmOB=0 \\overrightarrow{\\mathrm{AH}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=0 \n\nこれらの条件をもとに、\ \\overrightarrow{\\mathrm{OH}}\ を求めよ。
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Q.92

献題 31 | 円のベクトル方程式\n平面上の \\triangle \\mathrm{OAB} \ と任意の点 \\mathrm{P} \ に対し, 次のベクトル方程式は円を表す。どのような円か。\n(1) |3 \\overrightarrow{\\mathrm{PA}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}|=5 \\n(2) \( \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}})=\\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \\)
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Q.93

(2) \\[\\begin{aligned}|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2 \\overrightarrow{\\mathrm{BP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}| &=|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2(\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}})- (\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AC}})| &=| -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}|\\end{aligned}\\] (1) より, \ 2 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=3 \\overrightarrow{\\mathrm{AD}} \ であるから\|3 \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}|=a\
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Q.94

R \mathrm{R} ABC \triangle \mathrm{ABC} の内部および辺上を動くとき、PQOR\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}} を求めよ。
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Q.95

(2) \( \mathrm{O}(0,0,0), \mathrm{A}(2,1,-2), \mathrm{B}(3,4,0) \) について, OA,OB \overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} のどちらにも垂直 で大きさが 5 \sqrt{5} のベクトルを求めよ。
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Q.96

(2) 求めるベクトルを \( \vec{p}=(x, y, z) \) とする。 OAp,OBp \overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \vec{p}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \perp \vec{p} であるから OAp=0,OBp=0 \quad \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \vec{p}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \vec{p}=0 \n OAp=0 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \vec{p}=0 から 2x+y2z=0 \quad 2 x+y-2 z=0 \qquad \n OBp=0 \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \vec{p}=0 から 3x+4y=0 \quad 3 x+4 y=0 \n また, p=5 |\vec{p}|=\sqrt{5} であるから\n x2+y2+z2=5 x^{2}+y^{2}+z^{2}=5
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Q.97

次のことを示せ。\n(1) P の速度ベクトルと加速度ベクトルは垂直である。\n(2) P \mathrm{P} の速度ベクトルとベクトル \( (A x, B y) \) は垂直である。
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Q.98

(1) 平面上の異なる 2 つの定点 mathrmA,mathrmB \\mathrm{A}, \\mathrm{B} と任意の点 mathrmP \\mathrm{P} に対し, ベクトル方程式\n\ |3 \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}-5 \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}|=5 \ はどのような図形を表すか。\n(2) 平面上に点 mathrmP \\mathrm{P} trianglemathrmABC \\triangle \\mathrm{ABC} がある。条件 2overrightarrowmathrmPAcdotoverrightarrowmathrmPB=3overrightarrowmathrmPAcdotoverrightarrowmathrmPC 2 \\overrightarrow{\\mathrm{PA}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}=3 \\overrightarrow{\\mathrm{PA}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{PC}} を満たす点 mathrmP \\mathrm{P} の集合を求めよ。
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Q.99

(1) 平面上の異なる 4 点 mathrmA,mathrmB,mathrmC,mathrmD \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C}, \\mathrm{D} と直線 mathrmAB \\mathrm{AB} 上にない点 mathrmO \\mathrm{O} に対して, overrightarrowmathrmOA=veca,overrightarrowmathrmOB=vecb \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b} とする。 overrightarrowmathrmOC=3veca2vecb,overrightarrowmathrmOD=3veca+4vecb \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=3 \\vec{a}-2 \\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{OD}}=-3 \\vec{a}+4 \\vec{b} であるとき, overrightarrowmathrmAB//overrightarrowmathrmCD \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} / / \\overrightarrow{\\mathrm{CD}} であることを証明せよ。\n(2) mathrmAB=5,mathrmAC=6 \\mathrm{AB}=5, \\mathrm{AC}=6 であるひし形 mathrmABCD \\mathrm{ABCD} がある。 overrightarrowmathrmAB=vecb,overrightarrowmathrmAD=vecd \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\vec{d} とするとき, overrightarrowmathrmBD \\overrightarrow{\\mathrm{BD}} と平行で向きが反対の単位ベクトルを vecb,vecd \\vec{b}, \\vec{d} で表せ。
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Q.00

四角形 ABCD \mathrm{ABCD} と点 O \mathrm{O} があり、 OA=a,OB=b,OC=c,OD=d \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}, \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\vec{d} とおく。 a+c=b+d \vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d} かつ ac=bd \vec{a} \cdot \vec{c}=\vec{b} \cdot \vec{d} のとき, この四角形の形を調べよ。
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Q.01

座標平面上の2点 A(x, y), B(x y^{2}-2 y, 2 x+y^{3}) について, 点 A が楕円 x23+y2=1 \frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1 上を動くとき, 内積 OAOB \overrightarrow{OA} ⋅ \overrightarrow{OB} </