モンスタークエスト:AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
数と代数
基本的な数論 - 整数、分数、小数
Q.01
EX を自然数とする。 が 3 の倍数であるとき, または は 3 の倍数であることを証明せよ。 (3101\n与えられた命題の対偶は、「a, bがともに3の倍数でないならば, は 3 の倍数でない」 を 0 以上の整数とすると, がともに 3 の倍数でないの は,次の のいずれかの場合である。\n[1] のとき\n\[a b=(3 k+1)(3 l+1)=3(3 k l+k+l)+1\]\n[2] のとき\n\[a b=(3 k+1)(3 l+2)=3(3 k l+2 k+l)+2\]\n[3] のとき\n\[a b=(3 k+2)(3 l+1)=3(3 k l+k+2 l)+2\]\n[4] のとき\n\[a b=(3 k+2)(3 l+2)=3(3 k l+2 k+2 l+1)+1\]\nよって, [1] [4] のいずれの場合も は 3 の倍数でない。 したがって, 対偶が真であるから,もとの命題は真である。\n直接証明するのは難し いので, 対偶が真である ことを証明する。
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Q.02
PRACTICE \n は整数とする。 を 5 で割ると 2 余り, bを 5 で割ると 3 余る。次の数を 5 で割 った余りを求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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Q.04
36 (1) \ \\frac{4}{5}<x<4 \ (2) \ x \\leqq-2, \\quad 1 \\leqq x \ (3) \ 1<x<4 \
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Q.09
イ) のうち和が 3 の倍数になる 3 数の選び方は [1] \nの 2 通り\n[2] の 2 通り\n[1] 百の位は 0 でないから,各組について,3桁の整数は 2 \times 2!=4
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Q.10
次の問題について、得点の期待値の算出方法を解説し、その期待値を求めよ。
(2)
\[
\begin{aligned}
P\left(W_{2}\right) & =P\left(W_{1}\right) P_{W_{1}}\left(W_{2}\right)+P\left(R_{1}\right) P_{R_{1}}\left(W_{2}\right)+P\left(G_{1}\right) P_{G_{1}}\left(W_{2}\right) \\
& =\frac{10}{40} \times \frac{1}{3}+\frac{10}{40} \times \frac{2}{9}+\frac{20}{40} \times \frac{2}{9} \\
& =\frac{1}{4}
\end{aligned}
\]
(3)
\[
\begin{aligned}
P\left(R_{2}\right) & =P\left(W_{2}\right)=\frac{1}{4} \\
P\left(G_{2}\right) & =1-P\left(W_{2}\right)-P\left(R_{2}\right) \\
& =1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}
\end{aligned}
\]
よって, 求める得点の期待値は
\begin{tabular}{c||ccc|c}
\hline 得点 & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline 確率 & & & & 1 \\
\hline
\end{tabular}
\( \triangleleft(1) \) を利用。
白球と赤球の数は等しい。
余事象を利用して求め られる。
EX は を满たす自然数とする。袋の中に赤球 個と白球 個,あわせて 個の球 ③2 が入っている。この袋の中から 個の球を無作為に取り出し, そのうち赤球が 個のとき, 得点 kが得られる。
(1) のとき, 得点が 1 である確率を求めよ。
(2) とし, は 6 以上の自然数とするとき, 得点の期待值が 以下となる最小の の值 を求めよ。
[宮崎大]
(1)赤球 2 個と白球 3 個が入っている袋の中から 2 個の球を無作為に取り出し,そのうち赤球が1個である確率を求めれば よい。
よって
(2) のとき, 赤球 3 個と白球 個が入ってい る袋の中から 3 個の球を無作為に取り出すことを考える。
赤球が 1 個である場合の数は
通り
赤球が 2 個である場合の数は
通り
赤球が 3 個である場合の数は 通り
よって, 得点の期待値は
\[
\begin{aligned}
& 1 \times \frac{{ }_{3} \mathrm{C}_{1} \times{ }_{n-3} \mathrm{C}_{2}}{{ }_{n} \mathrm{C}_{3}}+2 \times \frac{{ }_{3} \mathrm{C}_{2} \times{ }_{n-3} \mathrm{C}_{1}}{{ }_{n} \mathrm{C}_{3}}+3 \times \frac{{ }_{3} \mathrm{C}_{3} \times{ }_{n-3} \mathrm{C}_{0}}{{ }_{n} \mathrm{C}_{3}} \\
= & \frac{6}{n(n-1)(n-2)}\left\{\frac{3}{2}(n-3)(n-4)+6(n-3)+3\right\} \\
= & \frac{6}{n(n-1)(n-2)} \times \frac{3}{2}\left(n^{2}-3 n+2\right)=\frac{9}{n}
\end{aligned}
\]
得点の期待値が 以下であるとき
これを解いて
したがって, 求める最小の の値は
18
不等式の両辺に (自然数)をかけても不等号 の向きは変わらない。
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Q.11
4. x+y+z=5, x \\geqq 0, y \\geqq 0, z \\geqq 0 \ を満たす整数の組 \( (x, y, z) \\) は全部で \\square \ 組ある。
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Q.12
数学 I\nD =a^{2}-4 \\cdot 1 \\cdot\\left(-a^{2}+a-1\\right)=5 a^{2}-4 a+4 \\\n=5\\left(a-\\frac{2}{5}\\right)^{2}+\\frac{16}{5}>0\n\nよって, D>0 は常に成り立つ。\n-3<-\frac{a}{2}<3 から -6<a<6\nf(-3)=-a^{2}-2 a+8 f(-3)>0 から\na^{2}+2 a-8<0\nこれを解いて -4<a<2\nf(3)=-a^{2}+4 a+8 f(3)>0 から\na^{2}-4 a-8<0\na^{2}-4 a-8=0 の解は a=2 \\pm 2 \\sqrt{3}\nよって 2-2 \\sqrt{3}<x<2+2 \\sqrt{3}\n\n(a+4)(a-2)<0\nnan0 \\lessgtr a= -(-2)\\pm \\sqrt{(-2)^{2}-1 \\cdot(-8)}\n\n(1), (2), (3) の共通範囲を求めて\n2-\\sqrt{3}<a<2
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Q.13
連続する 3 つの整数 m-1, m, m+1 の積 (m-1) m(m+1) は6の倍数である。 同様に, (n-1) n(n+1) も 6 の倍数である。 よって, m^{3} n-m n^{3} は6の倍数であることを証明せよ。
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Q.16
ガウス記号に関する問題を解きましょう。\n\n1. 実数 に対して、ガウス記号 を用いて , , および を求めてください。\n\n2. 実数 に対して を整数とするとき、 の条件下で、 であることを証明してください。\n\n3. 基本例題 27 の の整数部分と小数部分を求めてください。\n\n4. 関数 のグラフを の範囲で描いてください。
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Q.17
1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 の 8 個の数字を使って 8 桁の整数を作るとき、何個の整数が作れるか。
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Q.22
226 一一 数学 \n(5) とおくと\n\nこのとき, から \nよって, (4) と同様に考えると, 2 個の と 2 個の|を 1 列 に並べる順列の総数と等しいから\n\[{ }_{4} \mathrm{C}_{2}=6 \text { (組) }\]\n\n別解1 ○を 5 個並べる。\n条件を満たす整数の組 \( (x, y, z) \) の数は, ○と の間 4 か 所から 2 つを選んで仕切り|を入れる方法の数と等しいから\n\[{ }_{4} \mathrm{C}_{2}=6 \text { (組) }\]\n\n別解2 までは上と同様。)\n\[{ }_{3} \mathrm{H}_{2}={ }_{3+2-1} \mathrm{C}_{2}={ }_{4} \mathrm{C}_{2}=6 \text { (組) }\]\nは \( (x, y, z)=(1,3,1) \) を表す。
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Q.23
18 を 3 つの自然数の和として表す方法は何通りあるか。樹形図を利用して求めよ。 ただし,加える順序は問わないものとする。
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Q.24
211^{9} x, y, z を整数とする。
(1) 1 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 5 , 1 ≤ z ≤ 5 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部で [ ] 組ある。
(2) 1 ≤ x < y < z ≤ 5 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部で [ ] 組ある。
(3) 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 5 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部で [ ] 組ある。
(4) x + y + z = 5, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部 で [ ] 組ある。
(5) x + y + z = 5, x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部 で [ ]組ある。
[大阪経大]
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Q.25
基本列題 39 集合の要素の決定
整数を要素とする 2 つの集合 を , とする。また, とする。
(1)定数 の値を求めよ。
(2) を求めよ。
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Q.26
40整数 に関する次の命題の逆と対偶を述べ,それらの真偽を述べよ。 「 が奇数ならば のうち少なくとも 1 つは奇数である」
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Q.27
AさんとBさんはアルバイトでともに週4日勤務している。このとき,AさんとBさんがともに勤務する日が毎週少なくとも1日あることを示せ。
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Q.28
基本例題 25 四角形の個数と組合せ 右の図のように, 5 本の平行線と, それらに直交する 5 本の平行線が,それぞれ両方とも同じ間隔 \(a(a>0)\) で並んでいる。この10本の直線のうちの4本で囲まれる図形について,次の問いに答えよ。 (1)長方形(正方形を含む)は全部で何個あるか。 (2)正方形は全部で何個あるか。
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Q.31
(4) とする。 と の分銅を,他の質量の分銅の組み合わせに変える と,分銅をどのようにのせても天秤ばかりが釣り合わない場合がある。この場合の 分銅の質量の組み合わせを,次の(0)~(3)のうちから2つ選べ。ただし,2種類の分銅 は,皿 , 皿 Bのいずれにも何個でものせることができるものとする。また,解答 の順序は問わない。 \nツ , テ\n(0) と \n(1) と \n(2) と \n(3) と
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Q.32
PR\n(2)116\n は整数とする。 を5で割ると2余り, を5で割ると3余る。次の数を5で割った余りを求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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Q.33
(1)aは自然数とする。a+5は4の倍数であり,a+3は6の倍数であるとき, a+9は12の倍数であることを証明せよ。
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Q.35
p, q, r (p<q<r) を連続する 3 つの奇数とする。このとき, pqr + pq + qr + rp + p + q + r + 1 は 48 で割り切れることを示せ。
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Q.36
EX に関する方程式 \( k x^{2}-2(k+3) x+k+10=0 \) が実数解をもつような負でない整数 を求めよ。
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Q.40
[2] x < ア の場合の (a) の部分では, [1] x≥アの場合と同様にして, (2)を满たす x の値の範囲を求めている。その x の値の範囲を (4) とするとき, * に当てはまる内容として適切なものを,次の0~ろのうちから2つ選べ。
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Q.45
7つの数字 1, 2,3,4,5,6,7から同じ数字を繰り返し使わないで, 整数を作るとき, 次の問 (4) いに答えよ。\n(1) 5 桁の偶数は何通りできるか。
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Q.49
PRACTICE \n7 個の数字 から異なる 3 個の数字を選んで 3 桁の整数を作る。次のような整数は何個作れるか。\n(1) 3 桁の整数\n(2) 3 の倍数\n(3) 9 の倍数
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Q.50
PR 2 次方程式 \ x^{2}+a x-a^{2}+a-1=0 \ が \ -3 < x < 3 \ の範囲に異なる 2 つの実数解をもつような定数 \ a \ の値の範囲を求めよ。\n\\( f(x)=x^{2}+a x-a^{2}+a-1 \\) とすると, \\( y=f(x) \\) のグラフは下に凸の放物線で,その軸は直線 \ x=-\\frac{a}{2} \ である。\n方程式 \\( f(x)=0 \\) が \ -3 < x < 3 \ の範囲に異なる 2 つの実数解をもつための条件は, \\( y=f(x) \\) のグラフが \ x \ 軸の \ -3 < x < 3 \ の部分と異なる 2 点で交わることである。よって, \\( f(x)=0 \\) の判別式を \ D \ とすると, 次のことが同時に成り立つ。\n[1] \ D > 0 \\n[2] 軸が \ -3 < x < 3 \ の範囲にある\n[3] \\( f(-3)>0 \\)\n[4] \\( f(3)>0 \\)
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Q.51
(2)全体集合 U={x | 1 ≦ x ≦ 10, x は整数} の部分集合 A, B について, A \cap B = {3,6,8}, \bar{A} \cap \bar{B} = {4,5,7}, A \cap \bar{B} = {1,10} とする。 このとき, 集合 A, B, A \cup B を求めよ。
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Q.52
116^{3} (1)自然数のうち,10 進法で表しても 5 進法で表しても 3 桁になるものは 全部で何個あるか。\n(2)自然数のうち,10 進法で表しても 5 進法で表しても,ともに 4 桁にな るものは存在しないことを示せ。\n[類 東京女子大]
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Q.55
A 地点から 5 km 離れた B 地点まで行くのに, 初めは毎時 5 km の速さで歩き, 途中から毎時 10 km の速さで走ることにする。B 地点に着くまでの所要時間を 42 分以下にしたいとき,毎時 10 km の速さで走る距離を何 km 以上にすればよいか。
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Q.56
R-4.0 整数部分・小数部分の問題
例題 27 で整数部分と小数部分を次のように求めたら,不正解と言われました。どこが間違いなのでしょうか?
不正解とされた解答
であるから
よって, 整数部分は , 小数部分は である。
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Q.60
松男, 竹男, 梅男と, 3 人の女子: 雪美, 月美, 花美の計 6 人全員が手 をつないで輪を作る。このとき,次のような輪の作り方は何通りあるか。\n(1) 松男と雪美が手をつなぐ。\n(2) 男女が交互に手をつなぐ。\n(3) 男子,女子ともに 3 人続けて手をつなぐ。
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Q.61
131\n の 5 種類の数字を用いて 1 以上の整数を作り, 小さい順に並 べる。\n\n(1)2001 は何番目の数であるか。\n(2)2001 番目の数を求めよ。\n131\n
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Q.64
20 (1) (ア) \ \\frac{7}{9} \ (イ) \ \\frac{41}{11} \ (ウ) \ \\frac{45}{37} \ (2) 5
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Q.65
数学A\nR&W 質量 M(\\mathrm{~g}) の物体Xの質量を,天秤ばかりと分銅を用いて量る。(問題に) 天秤ばかりは支点の両側に皿 A,Bが取り付けられており,両側挑䄀 の皿にのせたものの質量が等しいときに釣り合うように作られて3 いる。3 \\mathrm{~g} と 14 \\mathrm{~g} の分銅を数多く用意したとし, それぞれ何個でものせることができるものとする。\n\n(1) 血 Aに物体 \\mathrm{X} と 14 \\mathrm{~g} の分銅 1 個をのせ, 皿 Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅 7 個をのせると, 天秤ばかりは釣り合った。このとき\n\nM+14 \\times \\square ア=3 \\times \\square\n\nが成り立ち, M=\\square である。\nア~ウに当てはまる数を答えよ。\n\n(2)皿 \\mathrm{A} に物体 \\mathrm{X} と 14 \\mathrm{~g} の分銅 x 個を,皿 Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅 y 個をのせると,天秤ばかりが釣り合うとする。このとき\n\\text { -エオ } x+\\square \\text { カ } y=M\n\nが成り立つ。 M=1 のとき, 皿 \\mathrm{A} に物体 \\mathrm{X} と 14 \\mathrm{~g} の分銅 キ 個をのせ, 皿 Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅 5 個をのせると釣り合う。よって,Mがどのような自然数であっても,皿Aに物体Xと 14 \\mathrm{~g} の分銅ク個をのせ,皿Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅口ケ個をのせることで釣り合うことになる。\nエオ 〜キに当てはまる数を答えよ。また, \\square ケ (0)〜 (5)うちから 1 つずつ選べ。ただし,同じものを選んでもよい。\n(0) M-1\n(1) M\n(2) M+1\n(3) M+4\n(4) 2 M-1\n(5) 5 M\n\n(3) M=20 のとき, 方程式 (1)のすべての整数解は, 整数 k を用いて x=\\square k+ サシ, y= スセ k+100 と表すことができる。したがって, 14 \\mathrm{~g} の分銅の個数が最小となるのは, x=\\square ソ, y=\\square タチ のときである。 コ ~タチに当てはまる数を答えよ。\n\n(4) M=\\square とする。 3 \\mathrm{~g} と 14 \\mathrm{~g} の分銅を, 他の質量の分銅の組み合わせに変えると,分銅 をどのようにのせても天秤ばかりが釣り合わない場合がある。この場合の分銅の質量の組み合わせを,次の0~3のうちから2つ選べ。ただし,2種類の分銅は,皿 A,皿Bのいずれにも何個でものせることができるものとする。また,解答の順序は問わない。\n(0) 3 \\mathrm{~g} と 10 \\mathrm{~g}\n(1) 3 \\mathrm{~g} と 27 \\mathrm{~g}\n(2) 10 \\mathrm{~g} と 14 \\mathrm{~g}\n(3) 14 \\mathrm{~g} と 27 \\mathrm{~g}
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Q.67
EX 整数 に関する次の命題の逆と対偶を述べ,それらの真偽を述べよ。 240 \left\ulcorner a^{2}+b^{2}+c^{2}\right. が奇数ならば のうち少なくとも 1 つは奇数である」 逆:「 のうち少なくとも 1 つが奇数ならば 命題 \left.\Gamma p \Longrightarrow q\right\lrcorner の は奇数である」逆は 偽 (反例: ) 対偶:「 がすべて偶数ならば は偶数である」 対偶は 真 (証明) がすべて偶数ならば,整数 を用いて と表され \( a^{2}+b^{2}+c^{2}=(2 k)^{2}+(2 l)^{2}+(2 m)^{2}=2\left(2 k^{2}+2 l^{2}+2 m^{2}\right)
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Q.69
103 a > 2 のとき x < a+1, 2a-1 < x
a=2 のとき 3 以外のすべての実数
a < 2 のとき x < 2a-1, a+1 < x
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Q.70
積の法則 (3つ以上の事柄についても,同じように成り立つ。) 事柄Aの起こり方が 通りあり, そのどの場合に対しても事柄Bの起こり方が 通り あれば,Aが起こり,そしてBが起こる場合は, 通りある。
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Q.71
[東京女子大] HINT 3 で割り切れる整数全体の集合を D として C ⊂ D かつ C ⊃ D を示す。3 で割り切れる整数全体の集合を D とする。 (4)36 C={x+y | x ∈ A, y ∈ B} とするとき, C は 3 で割り切れる整数全体の集合と一致することを示せ。
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Q.75
順列・円順列・重複順列
順列の数
_{n} P_{r} =n(n-1)(n-2) ... (n-r+1) =\frac{n!}{(n-r)!} (0 \leqq r \leqq n)
特に _{n} P_{n}=n! 円順列の数 (n-1)!=\frac{nP_{n}}{n}
じゅず順列の数 \frac{(n-1)!}{2}=\frac{円順列}{2}
重複順列の数 n^{r}(r>n であってもよい)
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Q.77
次の条件を満たす の範囲を図から読み取りなさい。\n(1) 右の図より \n(2) 右の図より \n(3) から右の図より
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Q.78
数学A\n㓢解 各位の 4 つの数字に, 0 から 5 までの数字を用いて 4 桁以下の整数を作ると\n\\[6^{4}=1296 \\text { (個) }\\]\n\nそのうち, 0000 の場合を除くと, 求める正の整数は全部で \ 6^{4}-1=1295 \ (個)
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Q.79
集合の要素の個数,場合の数 基 本 事 項 1) 集合の要素の個数 個数定理 を有限集合(要素の個数が有限である集合)とする。また, \( n(P) \) は 有限集合 の要素の個数を表す。 (1) 和集合の要素の個数 \( 1 \\quad n(A \\cup B)=n(A)+n(B)-n(A \\cap B) \\) 2 A \\cap B=\varnothing \ のとき \( \\quad n(A \\cup B)=n(A)+n(B) \\) (2) 補集合の要素の個数 \( n(\\bar{A})=n(U)-n(A) \\) ただし, U \ は全体集合 主意 本書では, 上の (1), (2)を個数定理とよぶ。集合については数学 I p.68, 69 も参照。
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Q.81
(3) のとき,方程式 (1)のすべての整数解は,整数 を用いてと表すことができる。したがって, の分銅の個数が最小となるのは,\n\nのときである。コ~タチに当てはまる数を答えよ。
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Q.83
平方根を筆算で求める方法を開平法という。\n例えば, を計算する手順は, 以下の通りである。\n(1) まず、小数点を基準に 2 桁ずつ区切る。\n(2) 最上位の 6 に注目し,平方した数が 6 以下になる最大の整数 2 を立てる。 左側に 2 を縦に重ねて書き, を 6 の下に書く。\n(3) を書く。\n から 5 を立て, 4 の右に 5 を縦に重ねて書く。\nまた, を 228 の下に書く。\n(4) を書く。\n は の方が大きいから 0 を立 て,50の右に0を縦に重ねて書く。\n(5) 同様にして 7 を立てて計算する。\nすると,右側は 0 となって計算が終わる。\nこうして得られた 25.07 が の値 である。
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Q.85
次の不等式を解け。
(1) |3x-4| < 2x
(2) 3|x+1| >= x+5
(3) 3|x-3| + |x| < 7
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Q.86
n が正の整数であるとする。次のことを証明せよ。
(1) n^2 + 1 が 5 の倍数であることと, n を 5 で割ったときの余りが 2 または 3 であることは同値である。
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Q.88
EX 2 個のさいころを同時に投げて, 出る 2 つの目の数のうち, 小さい方(両者が等しいときはその ③5 数)を X, 大きい方(両者が等しいときはその数)を Y とする。定数 a が 1 から 6 までのある整数とするとき, 次のようになる確率を求めよ。
(1) X>a
(2) X≤a
(3) X=a
[類 関西大]
(4) Y=a
2 個のさいころを同時に投げるとき,目の出方は 6^{2} 通り
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Q.89
数学A\n_{10}C_{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=210 \cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{105}{512}\n(イ) 点Pの座標が 19 以下であるとき\n5x-20 \leqq 19\nこれを解くと x \leqq \frac{39}{5}\nx は 0 \leqq x \leqq 10 を満たす整数であるから, (1) を満たす x は\nx=0,1,2,3,4,5,6,7\nx=8,9,10 のいずれかとなる場合の確率は\n_{10}\mathrm{C}_{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+_{10}\mathrm{C}_{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\n= \left({ }_{10} \mathrm{C}_{2}+_{10} \mathrm{C}_{1}+1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\n= 56 \cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{7}{128}\nしたがって, 求める確率は 1-\frac{7}{128}=\frac{121}{128} 反復試行の確率。直接求めるのは計算が 大変。余事象の確率を利用する。\n_{n} \mathrm{C}_{r}=_{n} \mathrm{C}_{n-r}
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Q.91
数学A\nPR ある高校の生徒 140 人を対象に, 国語, 数学, 英語の 3 教科のそれぞれについて, 得意か否かを (3)10調査した。その結果,国語が得意な人は 86 人,数学が得意な人は 40 人いた。そして,国語と数学がともに得意な人は 18 人,国語と英語がともに得意な人は 15 人,国語または英語が得意な人 は 101 人,数学または英語が得意な人は 55 人いた。また,どの教科についても得意でない人は 20 人いた。このとき, 3 教科のすべてが得意な人はア 人であり,3 教科中 1 教科のみ得意な 人はイ 人である。\n[名城大]\n全体集合を とし, 国語, 数学, 英語が 得意な人全体の集合をそれぞれ とする。右の図のように, 要素の個数 , を定めると
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Q.92
65 (1) x= ± 1 で最大値 5, 最小値はない
(2) x= 3/4 で最大値 71/64, 最小値はない
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Q.94
組合せ, 同じものを含む順列
組合せの数
_{n} C_{r}=\frac{{}_{n} P_{r}}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!} (0 \leqq r \leqq n)
特に _{n} C_{1}=n, _{n} C_{n}=1, _{n} C_{0}=1
_{n} C_{r} の性質
_{n} C_{r}={}_{n} C_{n-r} (0 \leqq r \leqq n)
_{n} C_{r}={}_{n-1} C_{r-1}+_{n-1} C_{r} (1 \leqq r \leqq n-1, n \geqq 2)
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Q.95
(2) は 5 以上の整数とする。10 進法で \( (n+2)^{2} \) と表される数を 進法で 表せ。\n[(2) 大阪経大]
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Q.96
(1)1,2,3の 3 種類の数字から重複を許して 3 つ選ぶ。選ばれた数の和が 3 の倍数となる組合せをすべて求めよ。\n(2) 1 の数字を書いたカードを 3 枚,2 2 数字を書いたカードを 3 枚, 3 の数字を書いたカード を 3 枚,計 9 枚用意する。この中から無作為に,一度に 3 枚のカードを選んだとき,カードに 書かれた数の和が 3 の倍数となる確率を求めよ。
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Q.97
コンピュータはオン/オフの2つの状態を表すスイッチから成り立っています。オンを1、オフを0と考えることで2進数が構造の基本となります。ビットは情報の量を表す最小単位です。nビットでは2^n通りの情報を表すことができます。
次に、4桁ごとに2進数を区切って16進数に変換することでデータの読みやすさが向上します。例えば、12ビットの110110110101を考えます。この2進数を4桁ずつ区切って16進数に変換してください。
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Q.01
組み合わせの計算を行う
(1) 7C2の計算
(2) 8C5の計算
(3) 5C0の計算
(4) nC2の一般式
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Q.02
次の実数の部分集合に関する問いに答えよ。\n[(1) 流通科学大]\n35 (1) 2 つの集合 につて, であるように, の値を定め, を求めよ。
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Q.05
(3) 53 でも 8 でも割り切れない整数」の集合 A ∩ B は, ド・モルガンの法則 A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B を利用して, 集合の個数を求めよう。補集合の個数は, 全体集合の個数から引 いて求める。
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Q.06
24 (1) \ 2 \\sqrt{6} \ (2) \ \\frac{2 \\sqrt{3}+3 \\sqrt{2}-\\sqrt{30}}{12} \
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Q.07
10 円硬貨 4 枚,100 円硬貨 6 枚,500 円硬貨 2 枚のとき、合計の金額が何通りできるか。ただし、全部 0 枚の場合は支払うことができない。
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Q.08
集合 A = \\{8, 12\\}, B = \\{4n \\mid 1 \\leqq n \\leqq 6, n \ は整数 \ \\} \ について (1) 集合 \ B \ を,要素を書き並べて表せ。
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Q.09
2 つの整数 にいて, ある整数 を用いて と表されるとき, は の約数であるといい, は bの倍数であるという。 のとき, \(a=(-b) \cdot(-k)\) でもあるから, が の約数ならば も の約数である。
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Q.11
Q4 (1) (1)\n は, (1) の整数解の 1 つである。\nよって \n(1)-(2) から\n\[ 8(x-2)-3(y-5)=0 \]\nすなわち \( \quad 8(x-2)=3(y-5) \)\n8 と 3 は互いに素であるから, は 3 の 倍数である。\nゆえに, を整数として, と表 される。\nこれを(3)に代入すると \nしたがって, (1)のすべての整数解は\n\[ x=3 k+2, y=8 k+5 \quad(k \text { は整数 }) \]
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Q.12
A地点から 5 km 離れたB地点まで行くのに, 初めは毎時 5 km の速さで歩き, 途中から毎時 10 km の速さで走ることにする。B地点に着くまでの所要時間を 42 分以下にしたいとき,毎時 10 km の速さで走る距離を何 km 以上にすればよいか。
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Q.15
116 a, b は整数とする。 a を 7 で割ると 3 余り, b を 7 で割ると 6 余る。次の数を 7 で割った余りを求めよ。
(1) a+b
(2) a-b
(3) a b
(4) a^2+b^2
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Q.16
1000 以下の自然数のうち\n(1) 2 で割り切れるまたは 7 で割り切れる数は何個あるか。\n(2) 2 で割り切れない数は何個あるか。\n(3) 2 でも 7 でも割り切れない数は何個あるか。
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Q.17
集合と必要条件・十分条件問題 4) 集合と必要条件・十分条件 条件 を満たすもの全体の集合を、それぞれ とすると, 次のことが成り立つ。\n\n が真」 は の十分条件, は の必要条件\n\n が真」 と は互いに同値\n\n次の集合関係が成り立つかどうか判断してください: (a) (b)
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Q.18
基 本 列題 282 重根号\n2 重根号をはずして, 次の式を簡単にせよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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Q.20
別解 目の積が 4 の倍数となるのは, 次の 3 つの場合がある。\n[1] 1 つの目が 4 で, 残りの 2 つの目が奇数の場合 4 の目が出るさいころが大,中,小の 3 通りあるから\n(1 \\times 3 \\times 3) \\times 3=27 (通り)\n[2] 2 つの目が偶数で, 残りの 1 つの目が奇数の場合 奇数の目が出るさいころが大,中,小の 3 通りあるから\n(3 \\times 3 \\times 3) \\times 3=81 (通り)\n[3] 3 つの目がすべて偶数の場合\n3 \\times 3 \\times 3=27 (通り) \n よって, 和の法則により, 求める場合の数は\n27+81+27=135 (通り)
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Q.21
合同式は, 学習指導要領の範囲外の内容であるが, 整数の問題を処理するときにはとても有用であるので, ここで扱っておく。\n\n以下では, は正の整数, は整数とする。\n\n[1] 合同式\n が の倍数であるとき, とbは を法として合同であるといい, \( a \equiv b(\bmod m) \) と表す。このような式を合同式という。 とがmを法として合同であることは、 を で割った余りと, を で割った余りが等しいということと同じである。補足 mod は法を意味する英語 modulusを略したものである。\n\n例\n1. であるから (3 の倍数)。よって \( 23 \equiv 5(\bmod 3) \)\n2. \( 13 = 7 \cdot 1 + 6, -8 = 7 \cdot (-2) + 6 \) であるから \( 13 - (-8) = 7 \cdot 3 \) (7 の倍数)。よって \( 13 \equiv -8(\bmod 7) \)\n3. であるから (4 の倍数)。よって \( 25 \equiv 1(\bmod 4) \) 等しい。\n
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Q.23
ある学校で, 清掃のためプールの水を完全に抜くことにした。ただし,ポンプで毎分一定の量を排水するものとする。\n排水を開始してから 分後におけるプールの水の残量を とするとき,表のような結果が得られた。\n\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\n\hline\( t \) & 100 & 300 & 600 \\\n\hline & 370 & \\\n\hline\n\end{array}\)\n(1)表のア にあてはまる数を求めよ。\n(2)排水開始前のプールの水の量はイ である。また,排水を開始してからちょうどウ 分後に完全に水がなくなる。
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Q.25
(2)ある 2 桁の自然数 を 9 倍して 72 を足すと, 百の位が 6 , 一の位が 5 であるとき, を求 めよ。
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Q.26
A の箱の重さは 95 g, B の箱の重さは 100 g である。1 個 12 g の球が 20 個あり,これらを A と B に分けて入れたところ、A の箱の方が重かった。そこで A の箱から B の箱に球を 1 個移したところ,今度は B の方が重くなった。最初, A の箱には何個の球を入れたか。
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Q.27
(4) となる場合の数は, の場合の数から の場合の数を引いたものである。 となる場合の数は, の 個の中 から重複を許して2個を取り出す順列の数で 通り のとき, となる場合の数は, , の中から重複を許して 2 個を取り出す順列の数 で \( \quad(a-1)^{2} \) 通り よって, となる場合の数は \( \quad a^{2}-(a-1)^{2} \) (通り) のとき, となるのは 1 通りであり, このときも 成り立つ。 ゆえに,求める確率は \( \quad \frac{a^{2}-(a-1)^{2}}{36}=\frac{a}{18}-\frac{1}{36} \)
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Q.28
PRACTICE
(1) 百の位の数が 3 , 十の位の数が 8 である 4 桁の自然数 A がある。 A が 5 の倍数 であり, 3 の倍数であるとき, A を求めよ。
(2)ある 2 桁の自然数 B を 9 倍して 72 を足すと, 百の位が 6 , 一の位が 5 であるとき, B を求めよ。
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Q.29
(2) 3 つの自然数の組 \( (a, b, c) \) は,条件 かつ を満たす。このよう な組 \( (a, b, c) の中で、cが最も小さいものをすべて求めよ。
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Q.30
ホタテのデータの 11 年間の平均値が 296,332 t であり, 新たに追加する 2017 年の漁獲量が 235,952 t であるから, 12 年間の平均値は?
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Q.33
3 が記されたカードと 7 が記されたカードの 2 種類のカードが, 全部で 30 枚以上ある。また,各カードの数字をすべて合計すると 110 になる。この とき,3のカード,7のカードの枚数をそれぞれ求めよ。
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Q.38
PRACTICE 38
実数全体を全体集合とし, A={x ∣−1 ≤ x < 5}, B={x ∣−3 < x ≤ 4}, C={x ∣ k−6 < x < k+1} ( k は定数)とする。
(1) 次の集合を求めよ。
(ア) A ∩ B
(イ) A ∪ B
(ウ) Ā
(エ) Ā ∪ B
(2) A ⊂ C となる k の値の範囲を求めよ。
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Q.39
EX 1 から 6 までの自然数の各数字を1つずつ記入した 6 枚のカードがある。これらを の 3 つの箱に分けて入れる。\n(1)空の箱があってもよいものとすると,分け方は何通りあるか。\n(2) どれか 1 つの箱だけが空になる分け方は何通りあるか。\n(3)空の箱があってはならないとすると,分け方は何通りあるか。
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Q.42
100 図略
(1) y ≤ 0
(2) y ≤ 1/2
(3) 0 ≤ y ≤ 6
(4) 1 ≤ y < 4
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Q.43
5 個の数字 を使って作った,各位の数字がすべて異なる 5 桁の整数について、これらの数を小さいものから順に並べたとする。ただし、同じ数字は 2 度以上使わないものとする。\n(1) 43210 は何番目になるか。\n(2) 90 番目の数は何か。\n(3) 30142 は何番目になるか。\n(4) 70 番目の数は何か。
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Q.47
2]2つの目が奇数で,残りの 1 つの目が2または6の場合 2 または6の目が出るさいころが大中小の 3 通りあるから\n(3 \\times 3 \\times 2) \\times 3=54 (通り)\n\nよって, 求める場合の数は\n216-(27+54)=216-81=135 (通り)
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Q.48
30 (1) \ x \\leqq-\\frac{7}{3} \ (2) 解はない (3) \ \\frac{5}{3}<x \\leqq \\frac{11}{6} \
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Q.49
を定数とし, (1), ② とする。(1), (2)を同時に満たす の値はなく, (1) または (2) を満たす の値の範囲が であるとき, ٢ , 亿である。
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Q.51
PR 合同式を用いて, 次の問いに答えよ。\n(4124 (1) 13^{2017} を5 で割ったときの余りを求めよ。\n(2)すべての正の整数 n に対して, 3^{3n-2}+5^{3n-1} が 7 の倍数であることを証明せよ。
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Q.53
AかF_{1}への道順であり, \\rightarrow 6 \ 個, \\uparrow 3 \ 個の順列で表されるから \\quad \\frac{9!}{6!3!}=84 \ (通り)
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Q.58
兄弟が合わせて 52 本の鉛筆を持っている。いま, 兄が弟に自分が持っている鉛筆のちょうど をあげてもまだ兄の方が多く,更に 3 本あげると弟の方が多くなる。兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求めよ。
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Q.59
42 人の生徒のうち, 自転車利用者は 35 人, 電車利用者は 30 人である。このとき, どちらも利用していない生徒は多くてもア 人であり, 両方とも利用している生徒は少なくてもイ 人はいる。自転車だけ利用している生徒は少なくてもウ 人,多くてもエ 人までである。
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Q.61
U = {x | x は 15 以下の正の整数} を全体集合とする。U の部分集合 A, B, C について, A = {x | x は 3 の倍数, x ∈ U}, C = {2,3,5,7,9,11,13,15} であり, C = (A ∪ B) ∩ (¬(A ∩ B)) が成り立っている。\n(1) 集合 A を要素を書き並べる形で表せ。\n(2)斜線部分が集合 C を表している図として最も適当なものを,次の 0~3 の中から 1 つ選べ。\n(3) A ∩ B = A ∩ ¬C であることに注意して, 集合 A ∩ B を要素を書き並べる形で表せ。\n(4) 集合 B の要素の個数と, Bの要素のうち最大のものを求めよ。
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Q.62
92・4つの数字 を並べ替えてできる 4 桁の数を とし, の各位の 数を逆順に並べてできる 4 桁の数を とすると, は 99 の倍数となる ことを示せ。
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Q.64
Q8
x-1 < x < x+1 であるから,3つの数 x-1, x, x+1 が三角形の3辺となる条件は x-1>0 かつ x+1<(x-1)+x よって x>2
(1)のとき,最大の辺 x+1 の対角が鈍角になるための条件は
(x+1)^2 > (x-1)^2 + x^2 よって x(x-4)<0
ゆえに 0 < x < 4
(1) かつ (2) から 2 < x < 4
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Q.65
の正の約数について\n(1)偶数であるものの個数を求めよ。\n(2) 5 の倍数であるもののすべての和を求めよ。
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Q.69
PR (1) HGAKUEN の 7 文字から 6 文字を選んで文字列を作り, それを辞書式に配列するとき,GAKUEN は初めから数えて何番目の文字列か。ただし,同じ文字は繰り返して用いないものとする。
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Q.70
倍数の判定法
(1)百の位の数が 2 である 3 桁の自然数 A がある。 A が 5 の倍数であり, 3 の倍数であるとき, A を求めよ。
(2)ある 2 桁の自然数 B を 9 倍して 45 を足すと, 百の位が 8 , 十の位が 2 で あるとき, B を求めよ。
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Q.71
集合 \ \\{a, b, c, d, e\\} \ の要素の個数は 5 個それぞれの要素が部分集合に属するか, 属さないかを決めると,部分集合が 1 つ決まる。よって, 部分集合の個数は \ 2^{5}=32 \ (個)
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Q.73
次の 2 つの不等式を同時に満たす x の範囲を求めよ。
(1) x > 0, x <= 3
(2) x < -3, x <= -4
(3) x + 2 >= 0, x - 1 > 0
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Q.74
ある物質を水で溶かした 1%, 5%, 10% の水溶液がある。これら 2 種または 3 種の水溶液を混ぜ合わせて, 7.3% の水溶液を 100g 作る場合, 1% 水溶液は何 g まで使用することが可能か。 また, 10% 水溶液の使用にはどのような制限があるか。
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Q.77
10進法で表された正の整数を8進法に直すと3桁の数 abc(8) となり、7進法に直すと3桁の数 cba_(7) となるとする。この数を10進法で書け。
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Q.80
次のような立体の塗り分け方は何通りあるか。ただし,立体を回転させて一致する塗り方は同 (4) 22 じとみなす。 (1)正四角錐の各面を異なる 5 色すべてを使って塗る方法 (2)正三角柱の各面を異なる 5 色すべてを使って塗る方法
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Q.84
コンピュータにおける文字の表現では、文字1個に「文字コード」と呼ばれる数値1個を割り当てます。次の表を利用して、文字'A'の2進数表示を答えてください。
| 文字 | A (半角) | z (半角) | 数 (全角) | 学 (全角) |
|------|-----------|-----------|-------------|-------------|
| 16進数表示 | 41 | 7A | 3F 74 | 3358 |
| 2進数表示 | 01000001 | 01111010 | 0011111101110100 | 0011001101011000 |
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Q.86
PRACTICE 21\n(1)HGAKUEN の 7 文字から 6文字を選んで文字列を作り, それを辞書式に配列するとき, GAKUEN は初めから数えて何番目の文字列か。ただし,同じ文字は繰り返して用いないものとする。\n[北海学園大]\n(2)異なる 5 つの文字 A,B,,,D,Eを1つずつ,すべてを使ってできる順列を,辞書式配列法によって順に並べるとき, 63 番目にある順列は何か。
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Q.87
282\n基本例題 140 を含む数字の順列\n から異なる 3 個の数字を選んで作る 3 桁の整数は,全部で ア 個ある。そのうち 3 の倍数になるものはイ 個である。
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Q.89
生徒101人の中でバナナが好きな人が43人、イチゴが好きな人が39人、バナナとイチゴのどちらも好きでない人が51人いた。
(1)バナナとイチゴの両方を好きな人は何人か。
(2)バナナだけ、またはイチゴだけ好きな人は何人か。
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Q.91
第1章 場合の数——217\n3x \u2265 x+y+z=10 \u3088\u3063\u3066 x \u2265 \\frac{10}{3}\nx \u306f\u81ea\u7136\u6570\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089 x \u2265 4\n\u307e\u305f, y \u2265 z \u2265 1 \u304b\u3089 x \u2264 8\n\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066 \\quad 4 \u2265 x \u2265 8\nx=4 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=6\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(4,2),(3,3) \u306e 2 \u901a\u308a\u3002\nx=5 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=5\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(4,1),(3,2) \u306e 2 \u901a\u308a\u3002\nx=6 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=4\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(3,1),(2,2) \u306e 2 \u901a\u308a\u3002\nx=7 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=3\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(2,1) \u306e 1 \u901a\u308a\u3002\nx=8 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=2\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(1,1) \u306e 1 \u901a\u308a\u3002\n\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066, 10 \u3092 3 \u3064\u306e\u81ea\u7136\u6570\u306e\u548c\u3068\u3057\u3066\u8868\u3059\u65b9\u6cd5\u306f 2+2+2+1+1=8 (\u901a\u308a)
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Q.92
EX あるデパートの友の会の会費は 2000 円で, 会員はこのデパートの品物を 7 % 引きで買うことが32できる。 1 個 500 円の品物を買うとき, 何個以上買うと, 友の会に入会して買った方が, 入会せ ずに買うより合計金額が安くなるか。ただし,消費税は考えない。
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Q.94
次式 \( f(n) \) が整数である条件\n整式 \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c(a, b, c \) は実数 \( ) \) を考える。 \( f(-1), f(0) \), \( f(1) がすべて整数ならば,すべての整数 に対し, \( f(n) は整数であることを 示せ。\n[類 名古屋大]
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Q.00
100 人のうち, A市に行ったことのある人は 50 人,B市に行ったことのある 人は 13 人,C市に行ったことのある人は 30 人であった。A市とB市に行っ たことのある人は 人, A市とC市に行ったことのある人は 9 人,B市と C 市に行ったことのある人は 10 人であった。A市とB市とC市に行ったこと のある人は 3 人, 市にも 市にも 市にも行ったことのない人は 28 人であ った。このとき, の値を求めよ。
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Q.02
19・次の計算は誤りである。(1)から )の等号の中で誤っているものをすべてあげ,誤りと判断した理由を述べよ。\n\[ 8=\sqrt{64}=\sqrt{2^{6}}=\sqrt{(-2)^{6}}=\sqrt{\left\{(-2)^{3}\right\}^{2}}=(-2)^{3}=-8 \]
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Q.04
2. 1 \\leqq x<y<z \\leqq 5 \ を満たす整数の組 \( (x, y, z) \\) は全部で \\square \ 組ある。
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Q.05
(1) 1 次不定方程式
(a x+b y=c の整数解 ( a と b は互いに素な整数 )
まず, 1 組の解 x=p, y=q を見つけることがカギ。簡単に見つからないとき は,互除法の計算 または係数を小さくする方法を利用する。解が見つかれば, a(x-p)=-b(y-q) の形に変形することで, すべての整数解が求められる。
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Q.07
31 (1) \ a>0 \\ のとき \\( x>\\frac{1}{a} \ \\ a=0 \\ のとき 解はない \\ a<0 \\ のとき \ x<\\frac{1}{a} \ (2) \ a>-1 \\ のとき \\( x>2 \ \\ a=-1 \\ のとき 解はない \\ a<-1 \\ のとき \ x<2 \
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Q.08
(2)\n\n(1番目)\n は、整数解の1つである。\n\(22 \cdot(-5) + 37 \cdot 3 = 1\)\nこの解をもとに、両辺に2を掛けると、\n\[22 \cdot(-10) + 37 \cdot 6 = 2\]\n(2番目)\n(1)-(2) から\n\[22(x + 10) + 37(y - 6) = 0\]\nすなわち、\n\[22(x + 10) = -37(y - 6)\]\n22と37は互いに素であるから、 は37の倍数である。\nゆえに、を整数として、\nx + 10 = 37k\]\nこれを代入すると、\n\[y - 6 = -22k\nよって、解は、\n\[x = 37k - 10, y = -22k + 6 (kは整数)\]
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Q.09
PR 7 個の数字 0,1,2,3,4,5,6 から異なる 3 個の数字を選んで 3 桁の整数を作る。
(2) 14
整数は何個作れるか。
(1) 3 桁の整数
(2) 3 の倍数
(3) 9 の倍数
(1) 百の位には 0 以外の数字が入るから 6 通り。そのおのおのに対して, 十, 一の位の数字の並べ方は, 残りの 6 個から 2 個取る順列で
_{6}P_{2}=6 ⋅ 5=30 (通り)
よって, 求める整数の個数は 6 × 30=180 (個)
(2) 3 の倍数になるのは, 各位の数字の和が 3 の倍数のとき。
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Q.10
集合の要素の個数, 場合の数 A 102 つの集合を とし, \( n(A)+n(B)=10 \) かつ \( n(A \\cup B)=7 \) とするとき, \( n(\\bar{A} \\cap B)+n(A \\cap \\bar{B}) \) を求めよ。なお, \( n(X) \) は, 集合 の要素の個数を表すものとする。
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Q.11
(2) を満たす整数がちょうど 3 個( x=2 , 3 , 4 )\nとなるためには, \( a の値を変化させながら整数の個数を調べてみると,次のようになる。\n[1] \n\n[2] \n\nの 2 個\nの 2 個\n[3] \n\nの 3 個\nの 3 個\n[4] \n\nの 3 個\n[5] \n\nの 4 個\n[1]〜[5] から,適する の値の範囲は であることがわかる。\n\n注意 に等号がついていないので, のとき であり, は含まれない。例題 33 (2) のように不等式を満たす最大(または最小)の整数を考える場合は、 がちようどその端点の値をとるときを具体的に考えて,等号の有無をきちんと判断するようにしましょう。
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Q.13
PR連続した 3 つの自然数のうち, 最小のものの平方が, 他の 2 数の和に等しい。この 3 数を求めよ。 \n最小のものを とすると,他の 2 数は と表される。連続した自然数。\n条件から \( \quad n^{2}=(n+1)+(n+2) \)\nすなわち よって \( \quad(n+1)(n-3)=0 \)\n は自然数であるから \nゆえに, 求める 3 数は \n別解 最小のものを とすると, 他の 2 数は と表 される。\n条件から \( \quad(n-1)^{2}=n+(n+1) \)\nすなわち よって \( n(n-4)=0 \)\n は自然数であるから \nゆえに, 求める 3 数は \n«解は \n解の吟味。 は自然数。\n↔連続した自然数。\n々解は \n解の吟味。 は自然数。