モンスタークエスト:AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
数と代数
数と代数 - 整数、分数、小数 | AIチューター ヤロウゼ、宿題!
Q.01
EX を自然数とする。 が 3 の倍数であるとき, または は 3 の倍数であることを証明せよ。 (3101\n与えられた命題の対偶は、「a, bがともに3の倍数でないならば, は 3 の倍数でない」 を 0 以上の整数とすると, がともに 3 の倍数でないの は,次の のいずれかの場合である。\n[1] のとき\n\[a b=(3 k+1)(3 l+1)=3(3 k l+k+l)+1\]\n[2] のとき\n\[a b=(3 k+1)(3 l+2)=3(3 k l+2 k+l)+2\]\n[3] のとき\n\[a b=(3 k+2)(3 l+1)=3(3 k l+k+2 l)+2\]\n[4] のとき\n\[a b=(3 k+2)(3 l+2)=3(3 k l+2 k+2 l+1)+1\]\nよって, [1] [4] のいずれの場合も は 3 の倍数でない。 したがって, 対偶が真であるから,もとの命題は真である。\n直接証明するのは難し いので, 対偶が真である ことを証明する。
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Q.02
PRACTICE \n は整数とする。 を 5 で割ると 2 余り, bを 5 で割ると 3 余る。次の数を 5 で割 った余りを求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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Q.04
36 (1) \ \\frac{4}{5}<x<4 \ (2) \ x \\leqq-2, \\quad 1 \\leqq x \ (3) \ 1<x<4 \
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Q.09
イ) のうち和が 3 の倍数になる 3 数の選び方は [1] \nの 2 通り\n[2] の 2 通り\n[1] 百の位は 0 でないから,各組について,3桁の整数は 2 \times 2!=4
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Q.10
次の問題について、得点の期待値の算出方法を解説し、その期待値を求めよ。
(2)
\[
\begin{aligned}
P\left(W_{2}\right) & =P\left(W_{1}\right) P_{W_{1}}\left(W_{2}\right)+P\left(R_{1}\right) P_{R_{1}}\left(W_{2}\right)+P\left(G_{1}\right) P_{G_{1}}\left(W_{2}\right) \\
& =\frac{10}{40} \times \frac{1}{3}+\frac{10}{40} \times \frac{2}{9}+\frac{20}{40} \times \frac{2}{9} \\
& =\frac{1}{4}
\end{aligned}
\]
(3)
\[
\begin{aligned}
P\left(R_{2}\right) & =P\left(W_{2}\right)=\frac{1}{4} \\
P\left(G_{2}\right) & =1-P\left(W_{2}\right)-P\left(R_{2}\right) \\
& =1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}
\end{aligned}
\]
よって, 求める得点の期待値は
\begin{tabular}{c||ccc|c}
\hline 得点 & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline 確率 & & & & 1 \\
\hline
\end{tabular}
\( \triangleleft(1) \) を利用。
白球と赤球の数は等しい。
余事象を利用して求め られる。
EX は を满たす自然数とする。袋の中に赤球 個と白球 個,あわせて 個の球 ③2 が入っている。この袋の中から 個の球を無作為に取り出し, そのうち赤球が 個のとき, 得点 kが得られる。
(1) のとき, 得点が 1 である確率を求めよ。
(2) とし, は 6 以上の自然数とするとき, 得点の期待值が 以下となる最小の の值 を求めよ。
[宮崎大]
(1)赤球 2 個と白球 3 個が入っている袋の中から 2 個の球を無作為に取り出し,そのうち赤球が1個である確率を求めれば よい。
よって
(2) のとき, 赤球 3 個と白球 個が入ってい る袋の中から 3 個の球を無作為に取り出すことを考える。
赤球が 1 個である場合の数は
通り
赤球が 2 個である場合の数は
通り
赤球が 3 個である場合の数は 通り
よって, 得点の期待値は
\[
\begin{aligned}
& 1 \times \frac{{ }_{3} \mathrm{C}_{1} \times{ }_{n-3} \mathrm{C}_{2}}{{ }_{n} \mathrm{C}_{3}}+2 \times \frac{{ }_{3} \mathrm{C}_{2} \times{ }_{n-3} \mathrm{C}_{1}}{{ }_{n} \mathrm{C}_{3}}+3 \times \frac{{ }_{3} \mathrm{C}_{3} \times{ }_{n-3} \mathrm{C}_{0}}{{ }_{n} \mathrm{C}_{3}} \\
= & \frac{6}{n(n-1)(n-2)}\left\{\frac{3}{2}(n-3)(n-4)+6(n-3)+3\right\} \\
= & \frac{6}{n(n-1)(n-2)} \times \frac{3}{2}\left(n^{2}-3 n+2\right)=\frac{9}{n}
\end{aligned}
\]
得点の期待値が 以下であるとき
これを解いて
したがって, 求める最小の の値は
18
不等式の両辺に (自然数)をかけても不等号 の向きは変わらない。
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Q.11
4. x+y+z=5, x \\geqq 0, y \\geqq 0, z \\geqq 0 \ を満たす整数の組 \( (x, y, z) \\) は全部で \\square \ 組ある。
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Q.12
数学 I\nD =a^{2}-4 \\cdot 1 \\cdot\\left(-a^{2}+a-1\\right)=5 a^{2}-4 a+4 \\\n=5\\left(a-\\frac{2}{5}\\right)^{2}+\\frac{16}{5}>0\n\nよって, D>0 は常に成り立つ。\n-3<-\frac{a}{2}<3 から -6<a<6\nf(-3)=-a^{2}-2 a+8 f(-3)>0 から\na^{2}+2 a-8<0\nこれを解いて -4<a<2\nf(3)=-a^{2}+4 a+8 f(3)>0 から\na^{2}-4 a-8<0\na^{2}-4 a-8=0 の解は a=2 \\pm 2 \\sqrt{3}\nよって 2-2 \\sqrt{3}<x<2+2 \\sqrt{3}\n\n(a+4)(a-2)<0\nnan0 \\lessgtr a= -(-2)\\pm \\sqrt{(-2)^{2}-1 \\cdot(-8)}\n\n(1), (2), (3) の共通範囲を求めて\n2-\\sqrt{3}<a<2
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Q.13
連続する 3 つの整数 m-1, m, m+1 の積 (m-1) m(m+1) は6の倍数である。 同様に, (n-1) n(n+1) も 6 の倍数である。 よって, m^{3} n-m n^{3} は6の倍数であることを証明せよ。
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Q.16
ガウス記号に関する問題を解きましょう。\n\n1. 実数 に対して、ガウス記号 を用いて , , および を求めてください。\n\n2. 実数 に対して を整数とするとき、 の条件下で、 であることを証明してください。\n\n3. 基本例題 27 の の整数部分と小数部分を求めてください。\n\n4. 関数 のグラフを の範囲で描いてください。
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Q.17
1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 の 8 個の数字を使って 8 桁の整数を作るとき、何個の整数が作れるか。
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Q.22
226 一一 数学 \n(5) とおくと\n\nこのとき, から \nよって, (4) と同様に考えると, 2 個の と 2 個の|を 1 列 に並べる順列の総数と等しいから\n\[{ }_{4} \mathrm{C}_{2}=6 \text { (組) }\]\n\n別解1 ○を 5 個並べる。\n条件を満たす整数の組 \( (x, y, z) \) の数は, ○と の間 4 か 所から 2 つを選んで仕切り|を入れる方法の数と等しいから\n\[{ }_{4} \mathrm{C}_{2}=6 \text { (組) }\]\n\n別解2 までは上と同様。)\n\[{ }_{3} \mathrm{H}_{2}={ }_{3+2-1} \mathrm{C}_{2}={ }_{4} \mathrm{C}_{2}=6 \text { (組) }\]\nは \( (x, y, z)=(1,3,1) \) を表す。
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Q.23
18 を 3 つの自然数の和として表す方法は何通りあるか。樹形図を利用して求めよ。 ただし,加える順序は問わないものとする。
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Q.24
211^{9} x, y, z を整数とする。
(1) 1 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 5 , 1 ≤ z ≤ 5 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部で [ ] 組ある。
(2) 1 ≤ x < y < z ≤ 5 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部で [ ] 組ある。
(3) 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 5 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部で [ ] 組ある。
(4) x + y + z = 5, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部 で [ ] 組ある。
(5) x + y + z = 5, x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部 で [ ]組ある。
[大阪経大]
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Q.25
基本列題 39 集合の要素の決定
整数を要素とする 2 つの集合 を , とする。また, とする。
(1)定数 の値を求めよ。
(2) を求めよ。
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Q.26
40整数 に関する次の命題の逆と対偶を述べ,それらの真偽を述べよ。 「 が奇数ならば のうち少なくとも 1 つは奇数である」
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Q.27
AさんとBさんはアルバイトでともに週4日勤務している。このとき,AさんとBさんがともに勤務する日が毎週少なくとも1日あることを示せ。
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Q.28
基本例題 25 四角形の個数と組合せ 右の図のように, 5 本の平行線と, それらに直交する 5 本の平行線が,それぞれ両方とも同じ間隔 \(a(a>0)\) で並んでいる。この10本の直線のうちの4本で囲まれる図形について,次の問いに答えよ。 (1)長方形(正方形を含む)は全部で何個あるか。 (2)正方形は全部で何個あるか。
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Q.31
(4) とする。 と の分銅を,他の質量の分銅の組み合わせに変える と,分銅をどのようにのせても天秤ばかりが釣り合わない場合がある。この場合の 分銅の質量の組み合わせを,次の(0)~(3)のうちから2つ選べ。ただし,2種類の分銅 は,皿 , 皿 Bのいずれにも何個でものせることができるものとする。また,解答 の順序は問わない。 \nツ , テ\n(0) と \n(1) と \n(2) と \n(3) と
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Q.32
PR\n(2)116\n は整数とする。 を5で割ると2余り, を5で割ると3余る。次の数を5で割った余りを求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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Q.33
(1)aは自然数とする。a+5は4の倍数であり,a+3は6の倍数であるとき, a+9は12の倍数であることを証明せよ。
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Q.35
p, q, r (p<q<r) を連続する 3 つの奇数とする。このとき, pqr + pq + qr + rp + p + q + r + 1 は 48 で割り切れることを示せ。
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Q.36
EX に関する方程式 \( k x^{2}-2(k+3) x+k+10=0 \) が実数解をもつような負でない整数 を求めよ。
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Q.40
[2] x < ア の場合の (a) の部分では, [1] x≥アの場合と同様にして, (2)を满たす x の値の範囲を求めている。その x の値の範囲を (4) とするとき, * に当てはまる内容として適切なものを,次の0~ろのうちから2つ選べ。
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Q.45
7つの数字 1, 2,3,4,5,6,7から同じ数字を繰り返し使わないで, 整数を作るとき, 次の問 (4) いに答えよ。\n(1) 5 桁の偶数は何通りできるか。
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Q.49
PRACTICE \n7 個の数字 から異なる 3 個の数字を選んで 3 桁の整数を作る。次のような整数は何個作れるか。\n(1) 3 桁の整数\n(2) 3 の倍数\n(3) 9 の倍数
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Q.50
PR 2 次方程式 \ x^{2}+a x-a^{2}+a-1=0 \ が \ -3 < x < 3 \ の範囲に異なる 2 つの実数解をもつような定数 \ a \ の値の範囲を求めよ。\n\\( f(x)=x^{2}+a x-a^{2}+a-1 \\) とすると, \\( y=f(x) \\) のグラフは下に凸の放物線で,その軸は直線 \ x=-\\frac{a}{2} \ である。\n方程式 \\( f(x)=0 \\) が \ -3 < x < 3 \ の範囲に異なる 2 つの実数解をもつための条件は, \\( y=f(x) \\) のグラフが \ x \ 軸の \ -3 < x < 3 \ の部分と異なる 2 点で交わることである。よって, \\( f(x)=0 \\) の判別式を \ D \ とすると, 次のことが同時に成り立つ。\n[1] \ D > 0 \\n[2] 軸が \ -3 < x < 3 \ の範囲にある\n[3] \\( f(-3)>0 \\)\n[4] \\( f(3)>0 \\)
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Q.51
(2)全体集合 U={x | 1 ≦ x ≦ 10, x は整数} の部分集合 A, B について, A \cap B = {3,6,8}, \bar{A} \cap \bar{B} = {4,5,7}, A \cap \bar{B} = {1,10} とする。 このとき, 集合 A, B, A \cup B を求めよ。
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Q.52
116^{3} (1)自然数のうち,10 進法で表しても 5 進法で表しても 3 桁になるものは 全部で何個あるか。\n(2)自然数のうち,10 進法で表しても 5 進法で表しても,ともに 4 桁にな るものは存在しないことを示せ。\n[類 東京女子大]
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Q.55
A 地点から 5 km 離れた B 地点まで行くのに, 初めは毎時 5 km の速さで歩き, 途中から毎時 10 km の速さで走ることにする。B 地点に着くまでの所要時間を 42 分以下にしたいとき,毎時 10 km の速さで走る距離を何 km 以上にすればよいか。
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Q.56
R-4.0 整数部分・小数部分の問題
例題 27 で整数部分と小数部分を次のように求めたら,不正解と言われました。どこが間違いなのでしょうか?
不正解とされた解答
であるから
よって, 整数部分は , 小数部分は である。
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Q.60
松男, 竹男, 梅男と, 3 人の女子: 雪美, 月美, 花美の計 6 人全員が手 をつないで輪を作る。このとき,次のような輪の作り方は何通りあるか。\n(1) 松男と雪美が手をつなぐ。\n(2) 男女が交互に手をつなぐ。\n(3) 男子,女子ともに 3 人続けて手をつなぐ。
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Q.61
131\n の 5 種類の数字を用いて 1 以上の整数を作り, 小さい順に並 べる。\n\n(1)2001 は何番目の数であるか。\n(2)2001 番目の数を求めよ。\n131\n
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Q.64
20 (1) (ア) \ \\frac{7}{9} \ (イ) \ \\frac{41}{11} \ (ウ) \ \\frac{45}{37} \ (2) 5
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Q.65
数学A\nR&W 質量 M(\\mathrm{~g}) の物体Xの質量を,天秤ばかりと分銅を用いて量る。(問題に) 天秤ばかりは支点の両側に皿 A,Bが取り付けられており,両側挑䄀 の皿にのせたものの質量が等しいときに釣り合うように作られて3 いる。3 \\mathrm{~g} と 14 \\mathrm{~g} の分銅を数多く用意したとし, それぞれ何個でものせることができるものとする。\n\n(1) 血 Aに物体 \\mathrm{X} と 14 \\mathrm{~g} の分銅 1 個をのせ, 皿 Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅 7 個をのせると, 天秤ばかりは釣り合った。このとき\n\nM+14 \\times \\square ア=3 \\times \\square\n\nが成り立ち, M=\\square である。\nア~ウに当てはまる数を答えよ。\n\n(2)皿 \\mathrm{A} に物体 \\mathrm{X} と 14 \\mathrm{~g} の分銅 x 個を,皿 Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅 y 個をのせると,天秤ばかりが釣り合うとする。このとき\n\\text { -エオ } x+\\square \\text { カ } y=M\n\nが成り立つ。 M=1 のとき, 皿 \\mathrm{A} に物体 \\mathrm{X} と 14 \\mathrm{~g} の分銅 キ 個をのせ, 皿 Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅 5 個をのせると釣り合う。よって,Mがどのような自然数であっても,皿Aに物体Xと 14 \\mathrm{~g} の分銅ク個をのせ,皿Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅口ケ個をのせることで釣り合うことになる。\nエオ 〜キに当てはまる数を答えよ。また, \\square ケ (0)〜 (5)うちから 1 つずつ選べ。ただし,同じものを選んでもよい。\n(0) M-1\n(1) M\n(2) M+1\n(3) M+4\n(4) 2 M-1\n(5) 5 M\n\n(3) M=20 のとき, 方程式 (1)のすべての整数解は, 整数 k を用いて x=\\square k+ サシ, y= スセ k+100 と表すことができる。したがって, 14 \\mathrm{~g} の分銅の個数が最小となるのは, x=\\square ソ, y=\\square タチ のときである。 コ ~タチに当てはまる数を答えよ。\n\n(4) M=\\square とする。 3 \\mathrm{~g} と 14 \\mathrm{~g} の分銅を, 他の質量の分銅の組み合わせに変えると,分銅 をどのようにのせても天秤ばかりが釣り合わない場合がある。この場合の分銅の質量の組み合わせを,次の0~3のうちから2つ選べ。ただし,2種類の分銅は,皿 A,皿Bのいずれにも何個でものせることができるものとする。また,解答の順序は問わない。\n(0) 3 \\mathrm{~g} と 10 \\mathrm{~g}\n(1) 3 \\mathrm{~g} と 27 \\mathrm{~g}\n(2) 10 \\mathrm{~g} と 14 \\mathrm{~g}\n(3) 14 \\mathrm{~g} と 27 \\mathrm{~g}
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Q.67
EX 整数 に関する次の命題の逆と対偶を述べ,それらの真偽を述べよ。 240 \left\ulcorner a^{2}+b^{2}+c^{2}\right. が奇数ならば のうち少なくとも 1 つは奇数である」 逆:「 のうち少なくとも 1 つが奇数ならば 命題 \left.\Gamma p \Longrightarrow q\right\lrcorner の は奇数である」逆は 偽 (反例: ) 対偶:「 がすべて偶数ならば は偶数である」 対偶は 真 (証明) がすべて偶数ならば,整数 を用いて と表され \( a^{2}+b^{2}+c^{2}=(2 k)^{2}+(2 l)^{2}+(2 m)^{2}=2\left(2 k^{2}+2 l^{2}+2 m^{2}\right)
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Q.69
103 a > 2 のとき x < a+1, 2a-1 < x
a=2 のとき 3 以外のすべての実数
a < 2 のとき x < 2a-1, a+1 < x
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Q.70
積の法則 (3つ以上の事柄についても,同じように成り立つ。) 事柄Aの起こり方が 通りあり, そのどの場合に対しても事柄Bの起こり方が 通り あれば,Aが起こり,そしてBが起こる場合は, 通りある。
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Q.71
[東京女子大] HINT 3 で割り切れる整数全体の集合を D として C ⊂ D かつ C ⊃ D を示す。3 で割り切れる整数全体の集合を D とする。 (4)36 C={x+y | x ∈ A, y ∈ B} とするとき, C は 3 で割り切れる整数全体の集合と一致することを示せ。
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Q.75
順列・円順列・重複順列
順列の数
_{n} P_{r} =n(n-1)(n-2) ... (n-r+1) =\frac{n!}{(n-r)!} (0 \leqq r \leqq n)
特に _{n} P_{n}=n! 円順列の数 (n-1)!=\frac{nP_{n}}{n}
じゅず順列の数 \frac{(n-1)!}{2}=\frac{円順列}{2}
重複順列の数 n^{r}(r>n であってもよい)
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Q.77
次の条件を満たす の範囲を図から読み取りなさい。\n(1) 右の図より \n(2) 右の図より \n(3) から右の図より
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Q.78
数学A\n㓢解 各位の 4 つの数字に, 0 から 5 までの数字を用いて 4 桁以下の整数を作ると\n\\[6^{4}=1296 \\text { (個) }\\]\n\nそのうち, 0000 の場合を除くと, 求める正の整数は全部で \ 6^{4}-1=1295 \ (個)
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Q.79
集合の要素の個数,場合の数 基 本 事 項 1) 集合の要素の個数 個数定理 を有限集合(要素の個数が有限である集合)とする。また, \( n(P) \) は 有限集合 の要素の個数を表す。 (1) 和集合の要素の個数 \( 1 \\quad n(A \\cup B)=n(A)+n(B)-n(A \\cap B) \\) 2 A \\cap B=\varnothing \ のとき \( \\quad n(A \\cup B)=n(A)+n(B) \\) (2) 補集合の要素の個数 \( n(\\bar{A})=n(U)-n(A) \\) ただし, U \ は全体集合 主意 本書では, 上の (1), (2)を個数定理とよぶ。集合については数学 I p.68, 69 も参照。
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Q.81
(3) のとき,方程式 (1)のすべての整数解は,整数 を用いてと表すことができる。したがって, の分銅の個数が最小となるのは,\n\nのときである。コ~タチに当てはまる数を答えよ。
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Q.83
平方根を筆算で求める方法を開平法という。\n例えば, を計算する手順は, 以下の通りである。\n(1) まず、小数点を基準に 2 桁ずつ区切る。\n(2) 最上位の 6 に注目し,平方した数が 6 以下になる最大の整数 2 を立てる。 左側に 2 を縦に重ねて書き, を 6 の下に書く。\n(3) を書く。\n から 5 を立て, 4 の右に 5 を縦に重ねて書く。\nまた, を 228 の下に書く。\n(4) を書く。\n は の方が大きいから 0 を立 て,50の右に0を縦に重ねて書く。\n(5) 同様にして 7 を立てて計算する。\nすると,右側は 0 となって計算が終わる。\nこうして得られた 25.07 が の値 である。
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Q.85
次の不等式を解け。
(1) |3x-4| < 2x
(2) 3|x+1| >= x+5
(3) 3|x-3| + |x| < 7
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Q.86
n が正の整数であるとする。次のことを証明せよ。
(1) n^2 + 1 が 5 の倍数であることと, n を 5 で割ったときの余りが 2 または 3 であることは同値である。
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Q.88
EX 2 個のさいころを同時に投げて, 出る 2 つの目の数のうち, 小さい方(両者が等しいときはその ③5 数)を X, 大きい方(両者が等しいときはその数)を Y とする。定数 a が 1 から 6 までのある整数とするとき, 次のようになる確率を求めよ。
(1) X>a
(2) X≤a
(3) X=a
[類 関西大]
(4) Y=a
2 個のさいころを同時に投げるとき,目の出方は 6^{2} 通り
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Q.89
数学A\n_{10}C_{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=210 \cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{105}{512}\n(イ) 点Pの座標が 19 以下であるとき\n5x-20 \leqq 19\nこれを解くと x \leqq \frac{39}{5}\nx は 0 \leqq x \leqq 10 を満たす整数であるから, (1) を満たす x は\nx=0,1,2,3,4,5,6,7\nx=8,9,10 のいずれかとなる場合の確率は\n_{10}\mathrm{C}_{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+_{10}\mathrm{C}_{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\n= \left({ }_{10} \mathrm{C}_{2}+_{10} \mathrm{C}_{1}+1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\n= 56 \cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{7}{128}\nしたがって, 求める確率は 1-\frac{7}{128}=\frac{121}{128} 反復試行の確率。直接求めるのは計算が 大変。余事象の確率を利用する。\n_{n} \mathrm{C}_{r}=_{n} \mathrm{C}_{n-r}
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Q.91
数学A\nPR ある高校の生徒 140 人を対象に, 国語, 数学, 英語の 3 教科のそれぞれについて, 得意か否かを (3)10調査した。その結果,国語が得意な人は 86 人,数学が得意な人は 40 人いた。そして,国語と数学がともに得意な人は 18 人,国語と英語がともに得意な人は 15 人,国語または英語が得意な人 は 101 人,数学または英語が得意な人は 55 人いた。また,どの教科についても得意でない人は 20 人いた。このとき, 3 教科のすべてが得意な人はア 人であり,3 教科中 1 教科のみ得意な 人はイ 人である。\n[名城大]\n全体集合を とし, 国語, 数学, 英語が 得意な人全体の集合をそれぞれ とする。右の図のように, 要素の個数 , を定めると
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Q.92
65 (1) x= ± 1 で最大値 5, 最小値はない
(2) x= 3/4 で最大値 71/64, 最小値はない
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Q.94
組合せ, 同じものを含む順列
組合せの数
_{n} C_{r}=\frac{{}_{n} P_{r}}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!} (0 \leqq r \leqq n)
特に _{n} C_{1}=n, _{n} C_{n}=1, _{n} C_{0}=1
_{n} C_{r} の性質
_{n} C_{r}={}_{n} C_{n-r} (0 \leqq r \leqq n)
_{n} C_{r}={}_{n-1} C_{r-1}+_{n-1} C_{r} (1 \leqq r \leqq n-1, n \geqq 2)
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Q.95
(2) は 5 以上の整数とする。10 進法で \( (n+2)^{2} \) と表される数を 進法で 表せ。\n[(2) 大阪経大]
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Q.96
(1)1,2,3の 3 種類の数字から重複を許して 3 つ選ぶ。選ばれた数の和が 3 の倍数となる組合せをすべて求めよ。\n(2) 1 の数字を書いたカードを 3 枚,2 2 数字を書いたカードを 3 枚, 3 の数字を書いたカード を 3 枚,計 9 枚用意する。この中から無作為に,一度に 3 枚のカードを選んだとき,カードに 書かれた数の和が 3 の倍数となる確率を求めよ。
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Q.97
コンピュータはオン/オフの2つの状態を表すスイッチから成り立っています。オンを1、オフを0と考えることで2進数が構造の基本となります。ビットは情報の量を表す最小単位です。nビットでは2^n通りの情報を表すことができます。
次に、4桁ごとに2進数を区切って16進数に変換することでデータの読みやすさが向上します。例えば、12ビットの110110110101を考えます。この2進数を4桁ずつ区切って16進数に変換してください。
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Q.01
組み合わせの計算を行う
(1) 7C2の計算
(2) 8C5の計算
(3) 5C0の計算
(4) nC2の一般式
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Q.02
次の実数の部分集合に関する問いに答えよ。\n[(1) 流通科学大]\n35 (1) 2 つの集合 につて, であるように, の値を定め, を求めよ。
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Q.05
(3) 53 でも 8 でも割り切れない整数」の集合 A ∩ B は, ド・モルガンの法則 A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B を利用して, 集合の個数を求めよう。補集合の個数は, 全体集合の個数から引 いて求める。
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Q.06
24 (1) \ 2 \\sqrt{6} \ (2) \ \\frac{2 \\sqrt{3}+3 \\sqrt{2}-\\sqrt{30}}{12} \
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Q.07
10 円硬貨 4 枚,100 円硬貨 6 枚,500 円硬貨 2 枚のとき、合計の金額が何通りできるか。ただし、全部 0 枚の場合は支払うことができない。
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Q.08
集合 A = \\{8, 12\\}, B = \\{4n \\mid 1 \\leqq n \\leqq 6, n \ は整数 \ \\} \ について (1) 集合 \ B \ を,要素を書き並べて表せ。
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Q.09
2 つの整数 にいて, ある整数 を用いて と表されるとき, は の約数であるといい, は bの倍数であるという。 のとき, \(a=(-b) \cdot(-k)\) でもあるから, が の約数ならば も の約数である。
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Q.11
Q4 (1) (1)\n は, (1) の整数解の 1 つである。\nよって \n(1)-(2) から\n\[ 8(x-2)-3(y-5)=0 \]\nすなわち \( \quad 8(x-2)=3(y-5) \)\n8 と 3 は互いに素であるから, は 3 の 倍数である。\nゆえに, を整数として, と表 される。\nこれを(3)に代入すると \nしたがって, (1)のすべての整数解は\n\[ x=3 k+2, y=8 k+5 \quad(k \text { は整数 }) \]
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Q.12
A地点から 5 km 離れたB地点まで行くのに, 初めは毎時 5 km の速さで歩き, 途中から毎時 10 km の速さで走ることにする。B地点に着くまでの所要時間を 42 分以下にしたいとき,毎時 10 km の速さで走る距離を何 km 以上にすればよいか。
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Q.15
116 a, b は整数とする。 a を 7 で割ると 3 余り, b を 7 で割ると 6 余る。次の数を 7 で割った余りを求めよ。
(1) a+b
(2) a-b
(3) a b
(4) a^2+b^2
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Q.16
1000 以下の自然数のうち\n(1) 2 で割り切れるまたは 7 で割り切れる数は何個あるか。\n(2) 2 で割り切れない数は何個あるか。\n(3) 2 でも 7 でも割り切れない数は何個あるか。
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Q.17
集合と必要条件・十分条件問題 4) 集合と必要条件・十分条件 条件 を満たすもの全体の集合を、それぞれ とすると, 次のことが成り立つ。\n\n が真」 は の十分条件, は の必要条件\n\n が真」 と は互いに同値\n\n次の集合関係が成り立つかどうか判断してください: (a) (b)
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Q.18
基 本 列題 282 重根号\n2 重根号をはずして, 次の式を簡単にせよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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Q.20
別解 目の積が 4 の倍数となるのは, 次の 3 つの場合がある。\n[1] 1 つの目が 4 で, 残りの 2 つの目が奇数の場合 4 の目が出るさいころが大,中,小の 3 通りあるから\n(1 \\times 3 \\times 3) \\times 3=27 (通り)\n[2] 2 つの目が偶数で, 残りの 1 つの目が奇数の場合 奇数の目が出るさいころが大,中,小の 3 通りあるから\n(3 \\times 3 \\times 3) \\times 3=81 (通り)\n[3] 3 つの目がすべて偶数の場合\n3 \\times 3 \\times 3=27 (通り) \n よって, 和の法則により, 求める場合の数は\n27+81+27=135 (通り)
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Q.21
合同式は, 学習指導要領の範囲外の内容であるが, 整数の問題を処理するときにはとても有用であるので, ここで扱っておく。\n\n以下では, は正の整数, は整数とする。\n\n[1] 合同式\n が の倍数であるとき, とbは を法として合同であるといい, \( a \equiv b(\bmod m) \) と表す。このような式を合同式という。 とがmを法として合同であることは、 を で割った余りと, を で割った余りが等しいということと同じである。補足 mod は法を意味する英語 modulusを略したものである。\n\n例\n1. であるから (3 の倍数)。よって \( 23 \equiv 5(\bmod 3) \)\n2. \( 13 = 7 \cdot 1 + 6, -8 = 7 \cdot (-2) + 6 \) であるから \( 13 - (-8) = 7 \cdot 3 \) (7 の倍数)。よって \( 13 \equiv -8(\bmod 7) \)\n3. であるから (4 の倍数)。よって \( 25 \equiv 1(\bmod 4) \) 等しい。\n
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Q.23
ある学校で, 清掃のためプールの水を完全に抜くことにした。ただし,ポンプで毎分一定の量を排水するものとする。\n排水を開始してから 分後におけるプールの水の残量を とするとき,表のような結果が得られた。\n\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\n\hline\( t \) & 100 & 300 & 600 \\\n\hline & 370 & \\\n\hline\n\end{array}\)\n(1)表のア にあてはまる数を求めよ。\n(2)排水開始前のプールの水の量はイ である。また,排水を開始してからちょうどウ 分後に完全に水がなくなる。
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Q.25
(2)ある 2 桁の自然数 を 9 倍して 72 を足すと, 百の位が 6 , 一の位が 5 であるとき, を求 めよ。
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Q.26
A の箱の重さは 95 g, B の箱の重さは 100 g である。1 個 12 g の球が 20 個あり,これらを A と B に分けて入れたところ、A の箱の方が重かった。そこで A の箱から B の箱に球を 1 個移したところ,今度は B の方が重くなった。最初, A の箱には何個の球を入れたか。
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Q.27
(4) となる場合の数は, の場合の数から の場合の数を引いたものである。 となる場合の数は, の 個の中 から重複を許して2個を取り出す順列の数で 通り のとき, となる場合の数は, , の中から重複を許して 2 個を取り出す順列の数 で \( \quad(a-1)^{2} \) 通り よって, となる場合の数は \( \quad a^{2}-(a-1)^{2} \) (通り) のとき, となるのは 1 通りであり, このときも 成り立つ。 ゆえに,求める確率は \( \quad \frac{a^{2}-(a-1)^{2}}{36}=\frac{a}{18}-\frac{1}{36} \)
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Q.28
PRACTICE
(1) 百の位の数が 3 , 十の位の数が 8 である 4 桁の自然数 A がある。 A が 5 の倍数 であり, 3 の倍数であるとき, A を求めよ。
(2)ある 2 桁の自然数 B を 9 倍して 72 を足すと, 百の位が 6 , 一の位が 5 であるとき, B を求めよ。
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Q.29
(2) 3 つの自然数の組 \( (a, b, c) \) は,条件 かつ を満たす。このよう な組 \( (a, b, c) の中で、cが最も小さいものをすべて求めよ。
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Q.30
ホタテのデータの 11 年間の平均値が 296,332 t であり, 新たに追加する 2017 年の漁獲量が 235,952 t であるから, 12 年間の平均値は?
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Q.33
3 が記されたカードと 7 が記されたカードの 2 種類のカードが, 全部で 30 枚以上ある。また,各カードの数字をすべて合計すると 110 になる。この とき,3のカード,7のカードの枚数をそれぞれ求めよ。
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Q.38
PRACTICE 38
実数全体を全体集合とし, A={x ∣−1 ≤ x < 5}, B={x ∣−3 < x ≤ 4}, C={x ∣ k−6 < x < k+1} ( k は定数)とする。
(1) 次の集合を求めよ。
(ア) A ∩ B
(イ) A ∪ B
(ウ) Ā
(エ) Ā ∪ B
(2) A ⊂ C となる k の値の範囲を求めよ。
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Q.39
EX 1 から 6 までの自然数の各数字を1つずつ記入した 6 枚のカードがある。これらを の 3 つの箱に分けて入れる。\n(1)空の箱があってもよいものとすると,分け方は何通りあるか。\n(2) どれか 1 つの箱だけが空になる分け方は何通りあるか。\n(3)空の箱があってはならないとすると,分け方は何通りあるか。
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Q.42
100 図略
(1) y ≤ 0
(2) y ≤ 1/2
(3) 0 ≤ y ≤ 6
(4) 1 ≤ y < 4
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Q.43
5 個の数字 を使って作った,各位の数字がすべて異なる 5 桁の整数について、これらの数を小さいものから順に並べたとする。ただし、同じ数字は 2 度以上使わないものとする。\n(1) 43210 は何番目になるか。\n(2) 90 番目の数は何か。\n(3) 30142 は何番目になるか。\n(4) 70 番目の数は何か。
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Q.47
2]2つの目が奇数で,残りの 1 つの目が2または6の場合 2 または6の目が出るさいころが大中小の 3 通りあるから\n(3 \\times 3 \\times 2) \\times 3=54 (通り)\n\nよって, 求める場合の数は\n216-(27+54)=216-81=135 (通り)
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Q.48
30 (1) \ x \\leqq-\\frac{7}{3} \ (2) 解はない (3) \ \\frac{5}{3}<x \\leqq \\frac{11}{6} \
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Q.49
を定数とし, (1), ② とする。(1), (2)を同時に満たす の値はなく, (1) または (2) を満たす の値の範囲が であるとき, ٢ , 亿である。
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Q.51
PR 合同式を用いて, 次の問いに答えよ。\n(4124 (1) 13^{2017} を5 で割ったときの余りを求めよ。\n(2)すべての正の整数 n に対して, 3^{3n-2}+5^{3n-1} が 7 の倍数であることを証明せよ。
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Q.53
AかF_{1}への道順であり, \\rightarrow 6 \ 個, \\uparrow 3 \ 個の順列で表されるから \\quad \\frac{9!}{6!3!}=84 \ (通り)
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Q.58
兄弟が合わせて 52 本の鉛筆を持っている。いま, 兄が弟に自分が持っている鉛筆のちょうど をあげてもまだ兄の方が多く,更に 3 本あげると弟の方が多くなる。兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求めよ。
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Q.59
42 人の生徒のうち, 自転車利用者は 35 人, 電車利用者は 30 人である。このとき, どちらも利用していない生徒は多くてもア 人であり, 両方とも利用している生徒は少なくてもイ 人はいる。自転車だけ利用している生徒は少なくてもウ 人,多くてもエ 人までである。
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Q.61
U = {x | x は 15 以下の正の整数} を全体集合とする。U の部分集合 A, B, C について, A = {x | x は 3 の倍数, x ∈ U}, C = {2,3,5,7,9,11,13,15} であり, C = (A ∪ B) ∩ (¬(A ∩ B)) が成り立っている。\n(1) 集合 A を要素を書き並べる形で表せ。\n(2)斜線部分が集合 C を表している図として最も適当なものを,次の 0~3 の中から 1 つ選べ。\n(3) A ∩ B = A ∩ ¬C であることに注意して, 集合 A ∩ B を要素を書き並べる形で表せ。\n(4) 集合 B の要素の個数と, Bの要素のうち最大のものを求めよ。
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Q.62
92・4つの数字 を並べ替えてできる 4 桁の数を とし, の各位の 数を逆順に並べてできる 4 桁の数を とすると, は 99 の倍数となる ことを示せ。
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Q.64
Q8
x-1 < x < x+1 であるから,3つの数 x-1, x, x+1 が三角形の3辺となる条件は x-1>0 かつ x+1<(x-1)+x よって x>2
(1)のとき,最大の辺 x+1 の対角が鈍角になるための条件は
(x+1)^2 > (x-1)^2 + x^2 よって x(x-4)<0
ゆえに 0 < x < 4
(1) かつ (2) から 2 < x < 4
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Q.65
の正の約数について\n(1)偶数であるものの個数を求めよ。\n(2) 5 の倍数であるもののすべての和を求めよ。
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Q.69
PR (1) HGAKUEN の 7 文字から 6 文字を選んで文字列を作り, それを辞書式に配列するとき,GAKUEN は初めから数えて何番目の文字列か。ただし,同じ文字は繰り返して用いないものとする。
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Q.70
倍数の判定法
(1)百の位の数が 2 である 3 桁の自然数 A がある。 A が 5 の倍数であり, 3 の倍数であるとき, A を求めよ。
(2)ある 2 桁の自然数 B を 9 倍して 45 を足すと, 百の位が 8 , 十の位が 2 で あるとき, B を求めよ。
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Q.71
集合 \ \\{a, b, c, d, e\\} \ の要素の個数は 5 個それぞれの要素が部分集合に属するか, 属さないかを決めると,部分集合が 1 つ決まる。よって, 部分集合の個数は \ 2^{5}=32 \ (個)
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Q.73
次の 2 つの不等式を同時に満たす x の範囲を求めよ。
(1) x > 0, x <= 3
(2) x < -3, x <= -4
(3) x + 2 >= 0, x - 1 > 0
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Q.74
ある物質を水で溶かした 1%, 5%, 10% の水溶液がある。これら 2 種または 3 種の水溶液を混ぜ合わせて, 7.3% の水溶液を 100g 作る場合, 1% 水溶液は何 g まで使用することが可能か。 また, 10% 水溶液の使用にはどのような制限があるか。
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Q.77
10進法で表された正の整数を8進法に直すと3桁の数 abc(8) となり、7進法に直すと3桁の数 cba_(7) となるとする。この数を10進法で書け。
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Q.80
次のような立体の塗り分け方は何通りあるか。ただし,立体を回転させて一致する塗り方は同 (4) 22 じとみなす。 (1)正四角錐の各面を異なる 5 色すべてを使って塗る方法 (2)正三角柱の各面を異なる 5 色すべてを使って塗る方法
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Q.84
コンピュータにおける文字の表現では、文字1個に「文字コード」と呼ばれる数値1個を割り当てます。次の表を利用して、文字'A'の2進数表示を答えてください。
| 文字 | A (半角) | z (半角) | 数 (全角) | 学 (全角) |
|------|-----------|-----------|-------------|-------------|
| 16進数表示 | 41 | 7A | 3F 74 | 3358 |
| 2進数表示 | 01000001 | 01111010 | 0011111101110100 | 0011001101011000 |
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Q.86
PRACTICE 21\n(1)HGAKUEN の 7 文字から 6文字を選んで文字列を作り, それを辞書式に配列するとき, GAKUEN は初めから数えて何番目の文字列か。ただし,同じ文字は繰り返して用いないものとする。\n[北海学園大]\n(2)異なる 5 つの文字 A,B,,,D,Eを1つずつ,すべてを使ってできる順列を,辞書式配列法によって順に並べるとき, 63 番目にある順列は何か。
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Q.87
282\n基本例題 140 を含む数字の順列\n から異なる 3 個の数字を選んで作る 3 桁の整数は,全部で ア 個ある。そのうち 3 の倍数になるものはイ 個である。
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Q.89
生徒101人の中でバナナが好きな人が43人、イチゴが好きな人が39人、バナナとイチゴのどちらも好きでない人が51人いた。
(1)バナナとイチゴの両方を好きな人は何人か。
(2)バナナだけ、またはイチゴだけ好きな人は何人か。
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Q.91
第1章 場合の数——217\n3x \u2265 x+y+z=10 \u3088\u3063\u3066 x \u2265 \\frac{10}{3}\nx \u306f\u81ea\u7136\u6570\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089 x \u2265 4\n\u307e\u305f, y \u2265 z \u2265 1 \u304b\u3089 x \u2264 8\n\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066 \\quad 4 \u2265 x \u2265 8\nx=4 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=6\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(4,2),(3,3) \u306e 2 \u901a\u308a\u3002\nx=5 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=5\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(4,1),(3,2) \u306e 2 \u901a\u308a\u3002\nx=6 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=4\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(3,1),(2,2) \u306e 2 \u901a\u308a\u3002\nx=7 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=3\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(2,1) \u306e 1 \u901a\u308a\u3002\nx=8 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=2\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(1,1) \u306e 1 \u901a\u308a\u3002\n\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066, 10 \u3092 3 \u3064\u306e\u81ea\u7136\u6570\u306e\u548c\u3068\u3057\u3066\u8868\u3059\u65b9\u6cd5\u306f 2+2+2+1+1=8 (\u901a\u308a)
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Q.92
EX あるデパートの友の会の会費は 2000 円で, 会員はこのデパートの品物を 7 % 引きで買うことが32できる。 1 個 500 円の品物を買うとき, 何個以上買うと, 友の会に入会して買った方が, 入会せ ずに買うより合計金額が安くなるか。ただし,消費税は考えない。
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Q.94
次式 \( f(n) \) が整数である条件\n整式 \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c(a, b, c \) は実数 \( ) \) を考える。 \( f(-1), f(0) \), \( f(1) がすべて整数ならば,すべての整数 に対し, \( f(n) は整数であることを 示せ。\n[類 名古屋大]
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Q.00
100 人のうち, A市に行ったことのある人は 50 人,B市に行ったことのある 人は 13 人,C市に行ったことのある人は 30 人であった。A市とB市に行っ たことのある人は 人, A市とC市に行ったことのある人は 9 人,B市と C 市に行ったことのある人は 10 人であった。A市とB市とC市に行ったこと のある人は 3 人, 市にも 市にも 市にも行ったことのない人は 28 人であ った。このとき, の値を求めよ。
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Q.02
19・次の計算は誤りである。(1)から )の等号の中で誤っているものをすべてあげ,誤りと判断した理由を述べよ。\n\[ 8=\sqrt{64}=\sqrt{2^{6}}=\sqrt{(-2)^{6}}=\sqrt{\left\{(-2)^{3}\right\}^{2}}=(-2)^{3}=-8 \]
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Q.04
2. 1 \\leqq x<y<z \\leqq 5 \ を満たす整数の組 \( (x, y, z) \\) は全部で \\square \ 組ある。
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Q.05
(1) 1 次不定方程式
(a x+b y=c の整数解 ( a と b は互いに素な整数 )
まず, 1 組の解 x=p, y=q を見つけることがカギ。簡単に見つからないとき は,互除法の計算 または係数を小さくする方法を利用する。解が見つかれば, a(x-p)=-b(y-q) の形に変形することで, すべての整数解が求められる。
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Q.07
31 (1) \ a>0 \\ のとき \\( x>\\frac{1}{a} \ \\ a=0 \\ のとき 解はない \\ a<0 \\ のとき \ x<\\frac{1}{a} \ (2) \ a>-1 \\ のとき \\( x>2 \ \\ a=-1 \\ のとき 解はない \\ a<-1 \\ のとき \ x<2 \
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Q.08
(2)\n\n(1番目)\n は、整数解の1つである。\n\(22 \cdot(-5) + 37 \cdot 3 = 1\)\nこの解をもとに、両辺に2を掛けると、\n\[22 \cdot(-10) + 37 \cdot 6 = 2\]\n(2番目)\n(1)-(2) から\n\[22(x + 10) + 37(y - 6) = 0\]\nすなわち、\n\[22(x + 10) = -37(y - 6)\]\n22と37は互いに素であるから、 は37の倍数である。\nゆえに、を整数として、\nx + 10 = 37k\]\nこれを代入すると、\n\[y - 6 = -22k\nよって、解は、\n\[x = 37k - 10, y = -22k + 6 (kは整数)\]
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Q.09
PR 7 個の数字 0,1,2,3,4,5,6 から異なる 3 個の数字を選んで 3 桁の整数を作る。
(2) 14
整数は何個作れるか。
(1) 3 桁の整数
(2) 3 の倍数
(3) 9 の倍数
(1) 百の位には 0 以外の数字が入るから 6 通り。そのおのおのに対して, 十, 一の位の数字の並べ方は, 残りの 6 個から 2 個取る順列で
_{6}P_{2}=6 ⋅ 5=30 (通り)
よって, 求める整数の個数は 6 × 30=180 (個)
(2) 3 の倍数になるのは, 各位の数字の和が 3 の倍数のとき。
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Q.10
集合の要素の個数, 場合の数 A 102 つの集合を とし, \( n(A)+n(B)=10 \) かつ \( n(A \\cup B)=7 \) とするとき, \( n(\\bar{A} \\cap B)+n(A \\cap \\bar{B}) \) を求めよ。なお, \( n(X) \) は, 集合 の要素の個数を表すものとする。
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Q.11
(2) を満たす整数がちょうど 3 個( x=2 , 3 , 4 )\nとなるためには, \( a の値を変化させながら整数の個数を調べてみると,次のようになる。\n[1] \n\n[2] \n\nの 2 個\nの 2 個\n[3] \n\nの 3 個\nの 3 個\n[4] \n\nの 3 個\n[5] \n\nの 4 個\n[1]〜[5] から,適する の値の範囲は であることがわかる。\n\n注意 に等号がついていないので, のとき であり, は含まれない。例題 33 (2) のように不等式を満たす最大(または最小)の整数を考える場合は、 がちようどその端点の値をとるときを具体的に考えて,等号の有無をきちんと判断するようにしましょう。
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Q.13
PR連続した 3 つの自然数のうち, 最小のものの平方が, 他の 2 数の和に等しい。この 3 数を求めよ。 \n最小のものを とすると,他の 2 数は と表される。連続した自然数。\n条件から \( \quad n^{2}=(n+1)+(n+2) \)\nすなわち よって \( \quad(n+1)(n-3)=0 \)\n は自然数であるから \nゆえに, 求める 3 数は \n別解 最小のものを とすると, 他の 2 数は と表 される。\n条件から \( \quad(n-1)^{2}=n+(n+1) \)\nすなわち よって \( n(n-4)=0 \)\n は自然数であるから \nゆえに, 求める 3 数は \n«解は \n解の吟味。 は自然数。\n↔連続した自然数。\n々解は \n解の吟味。 は自然数。
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Q.14
次の計算の結果を, [ ] 内の記数法で表せ。\n(1) \( 10010_{(2)}+10111_{(2)} \quad \) [2 進法]\n(2) \( 2422_{(5)}-1431_{(5)} \)\n[ 5 進法]\n(3) \( 10111_{(2)} \times 1011_{(2)} \quad \) [2 進法]\n(4) \( 110001_{(2)} \\div 111_{(2)} \)\n[2 進法]
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Q.15
(5) 2017 年のホタテの漁獲量は, 235,952 (t) であった。このとき, 2006 年から 2017 年までの 12 年間のホタテの漁獲量の平均値は コ \( (\\mathrm{t}) \\) となる。ただし,小数第 1 位を四捨五入するものとする。:コ に当てはまるものを次の(0~3)のうちから1 つ選べ。\n(0) 281300\n(1) 291300\n(2) 301300\n(3) 311300
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Q.16
EX\n100から200までの整数のうち, 次のような整数は何個あるか。\n\n(1) 4で割り切れない整数\n(2) 4で割り切れるが, 5で割り切れない整数\n(3) 4でも5でも割り切れない整数\n\n100から200までの整数全体を全体集合 とし, そのうち4で割り切れる数全体の集合を , 5で割り切れる数全体の集合を とする。
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Q.18
(2) 2つの部屋を仮に A,B とする。空の部屋があってもよい ものとして,9人を A,B部屋に入れる方法は\n\2^{9}=512 \\text { (通り) }\\n\n一方の部屋が空になる場合を除いて\n\\[512-2=510 \\text { (通り) }\\]\n\n最後に, A, B の区別をなくして, 求める場合の数は\n\\[510 \\div 2=255 \\text { (通り) }\\]
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Q.19
100 から 200 までの整数のうち, 次のような整数は何個あるか。\n(1) 4 で割り切れない整数\n(2) 4 で割り切れるが, 5 で割り切れない整数\n(3) 4 でも 5 でも割り切れない整数
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Q.20
命題「nは整数とする。n^2が3の倍数ならば,nは3の倍数である」は真である。これを利用して,√3が無理数であることを証明せよ。
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Q.22
(2) は整数とする。次のことを証明せよ。 (ア) が 8 の倍数ならば, は 8 の倍数である。 (イ) が 7 の倍数ならば, は 7 の倍数である。
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Q.23
x は実数, a は正の定数とする。2 < x < 3 が a < x < 2a の十分条件となるような a の値の範囲を求めよ。
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Q.25
3 実 数\nA 17 ・ が次の値をとるとき, の値を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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Q.26
右の図のようなマス目を考える。どの行(横の並び)にも,どの列(縦の並び)にも同じ数が現れないように 1 から 4 までの自然数を入れる場合の数を求めよ。
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Q.32
119 (1) 7^50 を 6 で割った余りを求めよ。
(2) 3^30 を 8 で割った余りを求めよ。
(3) 5^50 を 13 で割った余りを求めよ。
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Q.33
A 8 ・ 1 から 3 までの各数字を 1 つずつ記入した赤色のボール 3 個と, 1 から 2 までの各数字を 1 つずつ記入した青色のボール 2 個と, 1 から 2 までの各数字を 1 つずつ記入した黒色のボール 2 個がある。これら 7 個のボールを横1列に並べる作業を行う。\n(1) 7 個のボールの並べ方は全部で 通りある。\n(2) 3 個の赤色のボールが連続して並ぶような並べ方は 通りある。\n(3) 2の数字が書かれたボールが両端にあるような並べ方は 通りある。\n(4) 両端のボールの色が異なるような並べ方は 通りある。
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Q.34
[a] は実数 a を超えない最大の整数を表すものとする。
(1) \left[\frac{1}{\sqrt{3}}\right],\left[-\frac{1}{2}\right], \frac{[-1]}{2} の値を求めよ。
(2) 関数 y=2[x] と y=[2 x] のグラフを -1 \leqq x \leqq 2 の範囲でかけ。
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Q.37
EX の 5 種類の数字を用いて 1 以上の整数を作り、小さい順に並べる。\n\n(1) 2001 は何番目の数であるか。\n(2) 2001 番目の数を求めよ。
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Q.47
次の等式を満たす整数 x, y の組をすべて求めよ。
(1) (x+2)(y-1)=-6
(2) 2 x y-2 x-5 y=0
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Q.48
次の文に集合の記号を適切に入れよ。
(1) A ______ {0}
(2) √28 ______ B
(3) A = {0} ______ A
(4) ∅ = A ______ B
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Q.49
(1)集合 \ A \ を求めよ。\n(2) 集合 \ \\bar{B} \\cap \\bar{C} \ を求めよ。
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Q.50
次の方程式の整数解をすべて求めよ。また,(2)の整数解のうち, が最小の自然数であるときの の組を求めよ。\n(1) \n(2)
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Q.53
8 (1) (ア) \n(イ) \n(ウ) \n(I) であるから よって \( \\quad|\\pi-5|=-(\\pi-5)=-\\pi+5 \)\n(2) (ア) \n(イ) \( |5-(-2)|=|5+2|=|7|=7 \)\n(ウ) \( |-4-(-1)|=|-4+1|=|-3|=3 \)
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Q.54
次の(1)(6)の文中の空欄に当てはまるものを,下の選択肢()のうちから1つ選べ。ただし, はともに実数とする。\n(1) は のための \n(2) \left\ulcorner x=0\right. 」は \left\ulcorner x^{2}+y^{2}=0 」\right. のための \( \square 。\n(3) は かつ y=0 」 のための \( \square 。\n(4) \left\ulcorner x^{2}+y^{2}=1 」\right. は \( 「 x+y=0 」 のための 。\n(5) 「すべての にいて である」は「 のための 。\n(6) 「( \( x y)^{2} \) が無理数である」は「 または が無理数である」のための 。\n[選択肢] (1) 必要十分条件である (2) 十分条件であるが必要条件ではない (3) 必要条件であるが十分条件ではない (4) 必要条件でも十分条件でもない
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Q.58
PR 1, 2, 3, 4, 5 の 5 個の数字を並べ替えて 5 桁の整数を作る。このとき, 異なる整数は全部で
(2) 13 🔲通りできる。そのうち末尾が2となるものはイ 🔲通りで, 奇数となるものはウ 🔲通 りである。
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Q.59
男子 4 人,女子 5 人が 1 列に並ぶとき,次のような並び方は何通りあるか。\n(1)男子 4 人が皆隣り合う\n(2)男子どうしが隣り合わない
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Q.61
整数解に関する条件を満たす定数の値の範囲\n例題 33 (2) で,不等号に等号がつく場合とつかない場合の違いがわかりにくいです。どのように考えればよいですか?\n例(1) を満たす整数がちょうど 3 個となるためには,最大の整数 4 が含まれて, 5 が含まれないような の値の範囲を定めればよい。 の値を変化させながら整数の個数を調べてみると,次のようになる。\n[1] \nの 2 個\nの 2 個\n[2] \n\nの 3 個\nの 3 個\n[3] \n\nの 3 個\nの 3 個\n[4] \n\nの 4 個\n[5] \n\nの 4 個\n[1]〜[5] から,適する の値の範囲は であることがわかる。注意 に等号がついているので, のとき であるから も含まれる。
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Q.62
2つの数a, bの値の範囲が-2 ≤ a ≤ 1, 0 < b < 3のとき、1/2a - 3bのとりうる値の範囲を求めよ。
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Q.63
(2) 集合 が全体集合 の部分集合で \( n(U)=50, n(A)=30 \), \( n(B)=15, n(A \\cap B)=10 \) であるとき, 次の集合の要素の個数を求めよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ) \n(工)
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Q.65
EX 右の図のようなマス目を考える。どの行(横の並び)にも,どの列(縦の並び) にも同じ数が現れないように 1 から 4 まで自然数を入れる入れ方の場合の数 を求めよ。
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Q.66
整数を 3 で割った余りを使って分類するにはどのような方法がありますか?それぞれの方法のメリットを説明してください。
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Q.68
51 (1) \( P_{n}=\frac{(n-1)(n-2)}{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3}\left(\frac{1}{6}\right)^{3} \)\n(2)
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Q.69
数学A
(2)まず,女子 5 人が並ぶ方法は
5!=5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=120 (通り)
次に,女子と女子の間および両端の 6 個の場所に,男子 4 人 が並ぶ方法は
_{6}P_{4}=6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3=360 (通り)
よって, 求める並び方の総数は
120 × 360=43200 (通り)
先に女子が並び,
🔲 女 🔲 女 🔲 女 🔲 女 🔲 女 🔲 の 🔲 に男子を入れる。
個の場所から 4 個取る順列。
↔積の法則。
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Q.70
PR 実数を係数とする2次方程式 が, 次の条件を満たすとき, 定数 の値の範囲を求めよ。 (1)正の解と負の解をもつ。 (2)異なる2つの負の解をもつ。
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Q.73
p, q, r が連続する 3 つの奇数であり、 p=2 n-1, q=2 n+1, r=2 n+3 ( n は整数 ) と表されるとき, p q r+p q+q r+r p+p+q+r+1 は48で割り切れることを証明せよ。
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Q.74
整数の個数の問題の扱い方 問題文の「少なくとも」などの言葉を集合の条件に直すときに, どのようにすればよいのか迷っています。
次のように,問題の内容と集合の記号を対応させることがポイントになる。 「 A かつ B 」, 「 A でも B でも」, 「 A, B ともに」 → A ∩ B, 「 A または B 」、「 A, B 少なくとも一方」 → A ∪ B, 「 A ではない」 → ¬A. 1 から 100 までの整数全体の集合を U, その部分集合で 3 の倍数全体の集合を A, 8 の倍数全体の集合を B とし, ベン図を対応させて考えるとわかりやすい。
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Q.75
基本例題 28 (1)\nO地点を出発し, A地点に行くから, 線分 OAを 1 つの対角線とする長方形内にあるそれぞれの地点ま での道順の数を書き込む。更に, A 地点から \\mathrm{P} \ 地点 までについても同様に書き込む。\nこの結果, \\mathrm{O} \\rightarrow \\mathrm{A} \ の道順は 10 通り, \\mathrm{O} \\rightarrow \\mathrm{A} \\rightarrow \\mathrm{P} \ の道順は 150 通りあることがわかる。
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Q.76
合同式を用いて,次の問いに答えよ。
(1) 13^{2017} を 5 で割ったときの余りを求めよ。
(2) すべての正の整数 n に対して, 3^{3 n-2}+5^{3 n-1} が 7 の倍数であることを証明せよ。
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Q.77
EX のとき, の関数 \( f(x, y)=x^{2}-4 x y+5 y^{2}+2 y+2 \) の最小值を求めよ。また,このときの の值を求めよ。
[北星学園大]
\[
\begin{aligned}
f(x, y) & =x^{2}-4 x y+5 y^{2}+2 y+2
& =\left\{(x-2 y)^{2}-(2 y)^{2}\right\}+5 y^{2}+2 y+2
& =(x-2 y)^{2}+y^{2}+2 y+2
& =(x-2 y)^{2}+\left\{(y+1)^{2}-1^{2}\right\}+2
& =(x-2 y)^{2}+(y+1)^{2}+1
\end{aligned}
\]
のとき はすべての実数
よって \( \quad(y+1)^{2} \geqq 1,(x-2 y)^{2} \geqq 0 \)
ゆえに \( \quad f(x, y) \geqq 2 \)
したがって, , すなわち で最小値 2 をとる。
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Q.78
次の表は, 総菜を製造販売するある会社における,おにぎりAの 1 個あたりの価格と販売数の関係をまとめたものである。
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 1 個あたりの価格 (円) & 150 & 200 & 250 \
\hline 販売数(個) & 65 & 50 & 35 \
\hline
\end{tabular}
1 個あたりの価格を 円, 販売数を 個とし, は の 1 次関数で表されると仮定して考えることとする。また,価格 は 10 円単位とし, を満たすとする。なお,以下において,消費税は考えないものとする。
(1) を 式で表せ。
(2)おにぎりAの 1 個あたりの価格と販売数の積を売り上げとする。売り上げが最大となる価格 と販売数 を求めよ。
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Q.79
(2) 方べきの定理により\n\[ \begin{array}{r} \mathrm{AD} \cdot \mathrm{AB}=\mathrm{AE} \cdot \mathrm{AC} \\ \text { よって } \quad 2 a(2 a+3 b) \\ =3 a(3 a+b) \end{array} \]
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Q.83
渡された4つの数字 3, 4, 5, 6 を並べ替えてできる4桁の数を m とし、m の各位の数を逆順に並べ替えてできる4桁の数を n とすると、m+n が99の倍数となることを証明せよ。
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Q.84
基 本 例題 38 不等式で表される集合
実数全体を全体集合とし, A={x ∣−2 ≤ x < 6}, B={x ∣−3 ≤ x < 5}, C={x ∣ k−5 ≤ x ≤ k+5} ( k は定数)とする。
(1) 次の集合を求めよ。
(ア) A ∩ B
(イ) A ∪ B
(ウ) B̄
(エ) A ∪ B̄
(2) A ⊂ C となる k の値の範囲を求めよ。
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Q.85
1000 以下の自然数のうち\n(1) 2で割り切れるまたは7で割り切れる数は何個あるか。\n(2) 2で割り切れない数は何個あるか。\n(3) 2でも7でも割り切れない数は何個あるか。\n1000以下の自然数全体の集合を全体集合 とし、そのうち2で割り切れる数全体の集合を 、7で割り切れる数全体の集合を とする。
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Q.86
兄弟が合わせて 52 本の鉛筆を持っている。いま,兄が弟に自分が持っている鉛筆のちょうど 1/3 をあげてもまだ兄の方が多く, 更に 3 本あげると弟の方が多くなる。兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求めよ。
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Q.87
次の不定方程式の自然数解を求めなさい。\n等式 を満たす自然数 の組は何組あるでしょうか。さらに、x が 2 桁で最小となる組を求めなさい。
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Q.88
次の等式を満たす整数 x, y の組をすべて求めよ。
(1) (x-1)(y+1)=4
(2) x y-3 x-2 y+3=0
[創価大]
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Q.89
整数部分が求めにくいときの対処法
の値が大きいとき, の近似値は簡単にはわからない。そのようなときは, \( n^{2} \leqq \square < (n+1)^{2} \) となるような自然数 を見つけて, 各辺の平方根を考えるとよい。
例えば, の整数部分が 3 であることは, 次のようにして求められます。 から よって
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Q.91
次の一次不定方程式を解き、整数 x, y の解を1つ求めなさい。\n\n(1) 5x - 3y = 1\n(2) 2x + 3y = 1
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Q.93
(2)異なる5つの文字 を1つずつ,すべてを使ってできる順列を,辞書式配列法によって順に並べるとき, 63 番目にある順列は何か。
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Q.98
次の等式を満たす自然数 の組をすべて求めよ。\n(1) \n(2) \(xyz=x+y+z(x \leqq y \leqq z)\)
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Q.99
(1) 10 進法で表された正の整数を 8 進法に直すと 3 桁の数 \( a b c_{(8)} \) となり, 7 進法に直すと 3 桁の数 \( c b a_{(7)} \) となるとする。この数を10 進法で書け。\n(2)4進法で表すと 5 桁となるような自然数は何個あるか。
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Q.00
次の命題の真偽を調べよ。ただし,a ,b は整数とする。a^2+b^2 が偶数ならば, a + b は偶数である。
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Q.01
亘匯例題 11 整数の個数 ( 3 つの集合)
1 から 200 までの整数全体の集合を U とし, A, B, C を U の部分集合とす る。 A は 3 の倍数全体の集合, B は 5 の倍数全体の集合, C は 7 の倍数全体 の集合である。このとき, n(A ∩ B ∩ C), n(A ∪ B ∪ C) を求めよ。
基本 2, 重要 10
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Q.03
PR整数を要素とする 2 つの集合 A=\\left\\{2,6,5 a-a^{2}\\right\\}, B=\\{3,4,3a-1,a+b\\} \ がある。また, \ 39 A \\cap B=\\{4,6\\} \ とする。\n(1)定数 \ a, b \ の値を求めよ。\n(2) \ A \\cup B \ を求めよ。
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Q.04
1 から 14 までの 14 個の自然数の中から,異なる 3 個の数を取って組を作るとき,次のような組の数を求めよ。(1)奇数だけからなる組(2)1 を含む組(3)3 の倍数を少なくとも 1 個含む組
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Q.05
(2) における \(f(x)\) の最大値を 、2 \leqq x \leqq 6 における \(f(x)\) の最大値を とする。\n イのとき、 である。イに当てはまるものを、次の(0)~(3)のうちから1つ選べ。\n(0) \n(1) \n(2) \n(3)
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Q.06
すべての整数 は,ある自然数 で割った余りによって, 通りの表し方に分けられる。例えば, 5 で割った余りは の 5 通りがあり のいずれかで表される。
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Q.09
10 を 3 つの自然数の和として表す方法は何通りあるか。また,4つの自然数の和として表す方法は何通りあるか。ただし,加える順序は問わないものとする。[広島文教女子大]
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Q.11
203 基本列題 125 鈍角 (鋭角) 三角形となる条件
△ABC において, a=4, b=5 とする。
(1)辺の長さ c の値の範囲を求めよ。
(2) △ABC が鈍角三角形のとき, 辺の長さ c の値の範囲を求めよ。
(0) p .194,195 基本事項 3, 4
C. HART & SOLUTION
三角形の成立条件 a<b+c, b<c+a, c<a+b
∠A が鋭角 ⇔ a²<b²+c²
辺と角の関係
∠A が直角 ⇔ a²=b²+c²
∠A が鈍角 ⇔ a²>b²+c²
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Q.12
(5) 2017 年のホタテの漁獲量は、235,952(t) であった。このとき、2006 年から 2017 年までの 12 年間のホタテの漁獲量の平均値はコ(t)となる。ただし、小数第 1 位を四捨五入するもの とする。 コ に当てはまる値を、次の(0)〜(3)の値から1つ選べ。
0: 281300
1: 291300
2: 301300
3: 311300
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Q.14
ある企業 Xが, 自社製品の鉛筆 A と, 他社 Y の鉛筆 B のうちどちらの方が書きやすいかを調査するアンケートを実施したところ, 回答者全員のうち 2/3 の人が, 「Aの方が書きやすい」と回答した。その後,他社YがBを改良したため,改めてアンケートを実施したところ,30人中 14 人が 「Aの方が書きやすい」と回答した。Bに比べて, Aの書きやすさが下がったと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い, 次の各場合について考察せよ。ただし, 公正なさいころを 30 個投げて, 1 から 4 までのいずれかの目が出た個数を記録する実験を 200 回行ったところ, 次の表 のようになったとし, この結果を用いよ。
1 〜 4 の個数: 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 計
度数: 1 0 2 5 9 14 22 27 32 29 24 17 11 4 2 1 200
(1) 基準となる確率を 0.05 とする。
(2) 基準となる確率を 0.01 とする。
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Q.16
36 で割り切れる整数全体の集合を A, 15 で割り切れる整数全体の集合を B とする。C = {x+y | x ∈ A, y ∈ B} とするとき, C は 3 で割り切れる整数全体の集合と一致することを示せ。
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Q.19
n 人の子どもに 252 個のチョコレートを a 個ずつ, 360 個のキャンディーを b 個ずつ 残さずすべて配りたい。 n の最大値とそのときの a, bの値を求めよ。ただし, 文字 はすべて自然数を表す。
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Q.21
数学 I (3) とする。 から よって ゆえに 一方 したがって, が成り立つ。 のとき \n\n\|x|<c \Longleftrightarrow-c<x<c\よって, 命題は 真
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Q.22
横 1 列に並んだ 7 つのマス目を, 赤, 青, 緑の 3 色すべてを使い, 隣り合うマス目が同じ色にならないように塗り分けたい。このとき, マス目の色が左右対称になるような塗り分け方は何通りあるか求めよ。
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Q.23
Aさんと Bさんはアルバイトでともに週 4 日勤務している。このとき, Aさんと Bさんがともに勤務する日が毎週少なくとも 1 日あることを示せ。
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Q.26
(4) a g の分銅と b g の分銅をそれぞれいくつかのせて天秤ばかりが釣り合うとき、不定方程式 ax + by = 7 は整数解をもつ。 よって,分銅の質量を係数とする不定方程式が整数解をもつかどうかを考える。 (0) 3x + 10y = 7 は, 整数解 x = -1, y = 1 をもつ。(1) 3x + 27y = 7 を変形すると 3(x + 9y) = 7 x + 9y は整数であるから,左辺は 3 の倍数であるが,右辺は 3 の倍数ではない。したがって, 3x + 27y = 7 は整数解をもたない。(2) 10x + 14y = 7 を変形すると 2(5x + 7y) = 7
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Q.29
問3 10L の桶に油が 10L 入っている。 5L 入る杆と 3L 入る枡を 1 つずつ使って, この油を 6L と 4L に分ける手順を考える。ただし,桶や枡には目盛りがなく,次の操作 (a)〜(c)しかできないものとする。操作 (a)の回数が最小となるような手順を答えよ。 (a)桶から 5L 枡に 5L の油を入れる。 (b)5L 枡から 3L 枡に移せるだけ油を移す。 (c)3L 枡から桶に 3L の油を戻す。
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Q.32
(1)次の命題の真偽を調べよ。ただし, は整数とする。\n(ア) が偶数ならば, は奇数である。\n(イ) が偶数ならば, は偶数である。
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Q.33
命題と条件問題 1) 命題と条件 文や式で表された事柄で, 正しい(真である) か正しくない(偽である)かが定まるものを命題という。また,文字 を含んだ文や式で,文字に値を代入することで真偽が定まるものを,xに関する条件という。2つの条件 について, 「 ならば 」 すなわち の形で表される命題では, を仮定, を結論という。 また,「 ならば かつ ならば と書く。 \n この説明に基づいて、以下の命題の真偽を判断してください: \n (a) ならば \n (b) ならば
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Q.34
完全数
その数自身を除くすべての正の約数の和が、その数に等しくなる自然数のことを完全数という。
例:
6 (= 1 + 2 + 3), 28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14)
(1) 1 万以下の完全数を求めよ。
(2) 奇数の完全数が存在するかどうかを述べよ。
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Q.36
(1)aは自然数とする。a+5は4の倍数であり,a+3は9の倍数であるとき,a+21 は36 の倍数であることを証明せよ。
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Q.39
-1 \leqq a \leqq 1 のとき f(x) は x=a で最小となる。ゆえに f(a)=-a^{2}-a+6 \geqq 0 よって a^{2}+a-6 \leqq 0 左辺を変形して(a+3)(a-2) \leqq 0 これを解いて-3 \leqq a \leqq 2 これと -1 \leqq a \leqq 1 の共通範囲は -1 \leqq a \leqq 1
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Q.41
A={3,6,9,12,15,18}
B={1,4,7,10,13,16,19}
C={2,5,8,11,14,17,20}
2 枚のカードの整数の和が 3 の倍数になるのは,
[1] A から 2 枚取り出す
[2] B, C からそれぞれ 1 枚取り出す のいずれかであり, それぞれの場合の数は
[1] { }_{6} C_{2}=\frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}=15 (通り)
[2] { }_{7} C_{1} \times{ }_{7} C_{1}=7 \times 7=49 (通り)
よって, 求める確率は \quad \frac{15+49}{190}=\frac{64}{190}=\frac{32}{95}
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Q.42
358
数学 I
イウ~スセに当てはまる数を答えよ。また,ソ准当てはまるものを,次の0~⑤の うちから 1 つ選べ。
(0) 9.68
(1) 9.97
(2) 10.09
(3) 10.33
(4) 10.42
(5) 10.55
[類 共通テスト]
(1)平均速度すなわち 1 秒あたりの進む距離は (1 秒あたりの歩数) ×(1 歩あたりの進む距離)
=z × x=x z
よって タイム = 100/(x z)
(2) 1 次関数と仮定するから, a, b を実数として, z=a x+b と 表される。表より,
x=2.05 のとき, z=4.7 から 4.7=2.05 a+b
x=2.1 のとき, z=4.6 から 4.6=2.1 a+b
(A)-(B) から 0.1=-0.05 a よって a=-2
ゆえに, (A) から b=4.7-2.05 ×(-2)=8.8=44/5
よって z=イウ -2 x+44/5
(2)は, x=2.15, z=4.5 のとき成り立つ。
z ≤ 4.80 であるから -2 x+44/5 ≤ 4.80
これを解くと x ≥ 2
x ≤ 2.40 であるから, x の値の範囲は
2.00 ≤ x ≤ 2.40
y=x z とすると, (2) から
y=x(-2 x+44/5)=-2 x^2+44/5 x=-2(x-11/5)^2+242/25
(3)において, y は x=11/5 すなわち x=2.20 のときに最大値 242/25 をとる。
このとき z=-2 ⋅ 11/5+44/5=22/5=4.40
また, タイムは
100 ÷ 242/25=1250/121=10.330 ⋅ ⋅ ⋅ ≒ 10.33
別解 100 m を走るのに かかった歩数を h, タイムを t とすると, x=100/h, z=h/t から
(平均速度)
= 100/t=100/h ⋅ h/t
=x z
『ストライドが 0.05大きくなるとピッチが 0.1小さくなることに着目し,a=-0.1/0.05=-2 と考えてもよい。
問題文の「ピッチの最大値 4.80」から。
問題文の「ストライドの最大値 2.40 」から。
変域において,y の最大値を求める。
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Q.43
3 辺の長さがそれぞれ である三角形を考え, 各辺 を 間隔に等分する。このときの分点(各辺の両端,すなわち三角形 の頂点を含む)の総数は である。これらの 12 個の点のう ちの 3 個の点を頂点とする三角形の総数を求めよ。
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Q.44
第4章 数学と人間の活動\nEX (1) 自然数のうち,10進法で表しても5進法で表しても 3 桁になるものは全部で何個あるか。
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Q.45
EX\n10円硬貨 6枚, 100円硬貨 4枚, 500円硬貨 2枚の全部または一部を使って支払える金額は何通りあるか。また,10円硬貨 4枚, 100円硬貨 6枚, 500円硬貨 2枚のときは何通りあるか。\n[神戸国際大]\n
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Q.47
340\n数学A\n[1] のとき\n\[P^{2}-1=(P+1)(P-1)=(6 k+2) \cdot 6 k=12 k(3 k+1)\] が偶数のとき, が 24 の倍数であり, は 24 で 割り切れる。また, が奇数のとき, は偶数となり, は 24 で割り切れる。\n[2] のとき \( P^{2}-1=(P+1)(P-1)=(6 k+6)(6 k+4)=12(k+1)(3 k+2) \) が偶数のとき, は偶数となり, は 24 で割 り切れる。また, が奇数のとき, は偶数となり, は 24 で割り切れる。\nしたがって,いずれの場合も題意は成り立つ。\n (奇数) は奇数。
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Q.53
次の余りを求めよ。\n(1) 15^{30} を 7 で割った余りを求めよ。\n(2) 7^{80} を 8 で割った余りを求めよ。\n(3) 13^{30} を 17 で割った余りを求めよ。
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Q.54
[2] 合同式の性質 1\n反射律 \( a \equiv a(\bmod m) \)\n対称律 \( a \equiv b(\bmod m) \) のとき \( b \equiv a(\bmod m) \)\n推移律 \( a \equiv b(\bmod m), b \equiv c(\bmod m) \) のとき \( a \equiv c(\bmod m) \)\n\n主意 \( a \equiv b(\bmod m), b \equequ c(\bmod m) \) は \( a \equiv b \equiv c(\bmod m) \) と書いてもよい。\n
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Q.56
3つの異なる実数a, b, cに対して、等式a + b + c = abcが成り立つとき、a, b, cの1つが1であるかどうか証明せよ。
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Q.57
100^{(1)} n は整数とし, N=2 n^{3}+4 n とする。n が偶数のとき N は 24 で割り切れ, n が奇数のとき N は 4 で割り切れないことを示せ。
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Q.58
不等式(1)において, a=0 のときを考えると, b>0 であることは、(1) を満たす実数 x が存在するための 。
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Q.60
関数 \( y=a x-a+3(0 \leqq x \leqq 2) \) の値域が であるとき, 定数 の 値を求めよ。
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Q.62
EX 1 から 8 までの整数の中から異なる 3 つを選ぶとき, 次のような選び方は, それぞれ何通りある (2) 16 か。\n(1)最大の数が 7 以下で,最小の数が 3 以上である選び方\n(2)最大の数が 6 である選び方\n(3)最大の数が 7 以上である選び方
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Q.64
(1) U={1,2,3,4,5,6,7,8} を全体集合とする。 U の部分集合 A={2,5,6}, B={1,3,5} について, 集合 A \cap \bar{B}, \bar{A} \cup B を求めよ。
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Q.65
次の条件を満たす分数を求めよ:分数 34/5, 51/10, 85/8 と与えられたとき、求める分数 b/a(a, b は互いに素である自然数) とする。b/a を自然数にするためには、それぞれの分数に a/b を掛けた結果が自然数となる条件を満たす必要がある。
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Q.68
次の計算の結果を, [ ] 内の記数法で表せ。\n(1) \( 1111_{(2)}+110_{(2)} \) [2進法]\n(2) \( 3420_{(5)}-2434_{(5)} \)\n[ 5 進法]\n(3) \( 1101_{(2)} \times 101_{(2)} \quad \) [ 2 進法]\n(4) \( 1101001_{(2)} \div 101_{(2)} \)\n22進法]
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Q.71
(1) 「3 と8 の少なくとも一方で割り切れる整数」とは, 「3 で割り切れる整数」か「8 で割り切れる整数」の集合。
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Q.73
横1列に並んだ 7 つのマス目を, 赤, 青, 緑の3色すべてを使い, 隣り合うマス目が同じ色にならないように塗り分けたい。このとき,マス目の色が左右対称になるような塗り分け方は何通りあるか求めよ。
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Q.75
EX 10 個の文字, N, A, G, A, R, A, G, A, W, A を左から右へ横1列に並べる。(1)この 10 個の文字の並べ方は全部で何通りあるか。(2)「NAGARA」という連続した6文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか。(3) N,R,Wの 3 文字が,この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか。ただし, N, が連続しない場合も含める。
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Q.76
と進む場合が重複しているから、\( 20 \\times 1=20 \\text { (通り) } \\)の通りを重複して数えている。よって, 求める場合の数は \\quad 84+84-20=148 \ (通り)
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Q.77
数学A
よって 4b+c=6q+r+4
(1) から2+b+c=1+q+r
よって b+c=q+r-1
(4), (5) から 3b=5q+5=5(q+1)
abc は 4進数であるから, b は 0以上 3以下の整数である。 よって, ⑥を満たすbの値はないから,不適。
[2] a=3 のとき(3) から 16・3+4b+c=36+6q+r
よって 4b+c=6q+r-12
(1) から 3+b+c=1+q+r
よって b+c=q+r-2
(7), (8) から 3b=5q-10=5(q-2)
abc は 4進数であるから, b は 0以上 3以下の整数である。 pq r は 6進数であるから, q は 0以上 5以下の整数である。 よって, (9)を満たす b, qの値は b=0, q=2
以上から, (1) は 3+0+c=1+2+r すなわち c=r また abc_{(4)}=16・3+c=48+c
abc は 4進数であるから, c は 0以上 3以下の整数である。 したがって, 求める数は 48+c=48, 49, 50, 51
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Q.79
a, b, c はどの 2 つも互いに素である自然数とする。 a^{2}+b^{2}=c^{2} であるとき a, b の一方は偶数で他方は奇数であることを証明せよ。
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Q.84
ある学級で, 12種類の本について,それを読んだかどうかを調査した。その結果,Aを読んだ者は全体の 1/2, B を読んだ者は全体の 1/3, 両方とも読んだ者は全体の 1/14, どちらも読まなかった者は 10 人であった。この学級の人数は何人か。\n[広島文教女子大]
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Q.85
PR生徒 101 人の中でバナナが好きな人が 43 人, イチゴが好きな人が 39 人, バナナとイチゴのどちらも好きでない人が 51 人いた。\n(1) バナナとイチゴの両方を好きな人は何人か。\n(2) バナナだけ,またはイチゴだけ好きな人は何人か。\n全体集合を とし, バナナが好き な人の集合を , イチゴが好きな人の集合を とする。
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Q.86
問題 78 (1) a=3 (2) b=\frac{4+\sqrt{2}}{2}, c=\frac{4-\sqrt{2}}{2}
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Q.87
数字 1 から 3 までの各数字を 1 つずつ記入した赤色のボール 3 個と, 1 から 2 までの各数字を 1 つずつ記入した青色のボール 2 個と, 1 から 2 までの各数字を 1 つずつ記入した黒色のボール 2 個がある。これら 7 個のボールを横 1 列に並べる作業を行う。\n(1) 7 個のボールの並べ方は全部で 通りある。\n(2) 3 個の赤色のボールが連続して並ぶような並べ方は 通りある。\n(3) 2 の数字が書かれたボールが両端にあるような並べ方は 通りある。\n(4) 両端のボールの色が異なるような並べ方は 通りある。
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Q.88
(2) 131\n(1)10 進数 28 を, 2 進法と 3 進法で表せ。\n(2) 10 進数 0.248 を, 5 進法で表せ。
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Q.89
(1) 10 以下の正の整数全体の集合を全体集合 とし, の部分集合 を とするとき, 次の集合を求めよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ) \n(エ)
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Q.91
次の命題 の真偽を調べよ。また,命題 の否定を述べ,その真偽を調べよ。\n(1) : 「すべての整数 について, である。」\n(2) : 「ある素数 について, は偶数である。」
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Q.94
TRAINING 60
は実数 \} を全体集合とする。 の部分集合 , について, となるとき, 定数 の値を求めよ。
[富山県大]
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Q.98
(1) 10 以下の自然数全体の集合を全体集合 とし, の部分集合 を とする。次の集合を求めよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ) \n(エ)
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Q.00
(1) 24 の正の約数全体の集合を とするとき,次の に適する記号 また は を入れよ。\n(ア) 6 A\n(イ) 9 A\n(ウ) -2 A\n(2)次の 2 つの集合 の間に成り立つ関係を,記号 を用いて表せ。 (ア) は 5 以下の自然数 \n(个) \( A=\{5 n \mid n=1,2\}, \quad B=\{x \mid(x-5)(x-10)=0\} \)
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Q.01
ある事柄について,正しいか正しくないかを判断するにはどのようにしたらよいでしょうか。ここでは, その判断をするときに必要となる考え方を学んでいきましょう。
命題と条件
一般に, 正しいか正しくないかがはっきり定まる文や式を命題という。命題が正しいとき,命題は真であるといい,正しくないとき,命題は偽であるという。
例 「日本は広い」は命題とはいえない。
(理由)広いと思う人もいれば, 狭いと思う人もいるから,正しいか正しくないかがはっきり定まらない。
「2本の直線が平行ならば同位角は等しい」は命題であり,真である。 x=1 や x^{2}=1 のように文字 x を含んだ文や式で, x に値を代入することで真偽が定まるものを, x に関する条件という。条件を考える場合には,条件に含まれる文字がどんな集合の要素かをはっきりさせておく。この集合を,その条件の全体集合という。
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Q.03
《基本例題 55\nn を整数とし,命題 A を「nは 4 の倍数 ⟹ n は 8 の倍数」で定める。(1)命題 A の逆・対偶を述べ,それらの真偽を調べよ。(2)命題 A の裏を述べよ。\n命題 p ⟹ q の逆・対偶・裏\n(1) 命題 p ⟹ q の逆は q ⟹ p。また, 否定 \\bar{p}, \\bar{q} を作って命題 p ⟹ q の対偶は\n(2) 命題 p ⟹ q の裏は\n
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Q.04
補足 1.ド・モルガンの法則の具体例\n全体集合Uを 1 から 9 までの自然数全体の集合とし, Uの 部分集合 \ A, B \ を \ A=\\{1,3,9\\}, B=\\{3,6,9\\} \ とする。\nこのとき, \ A \\cap B=\\{3,9\\} \ であるから\n\\n\\overline{A \\cap B}=\\{1,2,4,5,6,7,8\\}\n\\nまた, \ \\bar{A}=\\{2,4,5,6,7,8\\}, \\bar{B}=\\{1,2,4,5,7,8\\} \\nであるから \ \\bar{A} \\cup \\bar{B}=\\{1,2,4,5,6,7,8\\} \\n\A \\cup B=\\{1,3,6,9\\} \ であるから\n\\n\\overline{A \\cup B}=\\{2,4,5,7,8\\}\n\\nまた, \ \\bar{A}=\\{2,4,5,6,7,8\\}, \\bar{B}=\\{1,2,4,5,7,8\\} \ であるから\n\\n\\bar{A} \\cap \\bar{B}=\\{2,4,5,7,8\\}\n\\n確かに, \ \\overline{A \\cap B}=\\bar{A} \\cup \\bar{B}, \\overline{A \\cup B}=\\bar{A} \\cap \\bar{B} \ が成り立っている。
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Q.06
(1)不等式 \( \\frac{n+1}{7}+n \\leqq \\frac{3(n-1)}{2} \) を満たす最小の自然数 の値を求めよ。
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Q.08
ある学校で学校祭のパンフレットを作ることになった。印刷の費用は 100 枚までは 4000 円であるが, 100 枚を超えた分については, 1 枚につき 27 円かかるという。 1 枚 あたりの印刷の費用を 30 円以下にするためには,少なくとも何枚印刷すればよいか。 ただし,消費税は考えない。
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Q.11
(1)循環小数 をそれぞれ分数で表せ。(2) (ア) 、(イ) を小数で表したとき, 小数第 200 位の数字を求めよ。
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Q.12
例 「12 個のお菓子を A,B,Cの 3 人で分けるとき,少なくとも 1 人は 4 個以上もらう」という命題を背理法で証明すると,次のようになる。
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Q.14
のとき, 次の に不等号 または<を入れ,正しい不等式にせよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6)
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Q.20
A={n | n は 12 の正の約数}, B={n | n は 18 の正の約数}, C={n | n は 7 以下の自然数} とするとき, 次の集合を求めよ。
(1) A ∪ B ∪ C
(2) A ∩ B ∩ C
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Q.21
m ,n を整数とするとき,対偶を利用して,次の命題を証明せよ。\n(1) n^{2}+4 n+3 が 4 の倍数ならば,n は奇数である。\n(2) m n が偶数ならば, m, n のうち少なくとも 1 つは偶数 である。
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Q.24
TRAINING 33
2<x<5,-1<y<3 のとき, 次の式のとりうる値の範囲を求めよ。
(1) x-5
(2) 3 y
(3) x+y
(4) x-2 y
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Q.29
(2) 連立不等式 \( \\left\\{\\begin{array}{l}2 x-1<3(x+1) \\ x-4 \\leqq-2x+3\\end{array}\\right\\} \) を満たす整数 の値をすべて求めよ。
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Q.33
次の集合 A, B, C について, A ∩ B ∩ C と A ∪ B ∪ C を求めよ。
A={1,3,4,5,7}, B={1,3,5,9}, C={2,3,5,7}
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Q.35
上の 5 枚のカードを見てください。そして各カードの中にあなたの誕生日があるかないかを答えてください。それだけで誕生日を直ちに当てることができます。もしあなたが「僕の誕生日はAとBとEのカードにあります」と答えたら,A と と のカードの左上の数を加えて \( (16+8+1=25) \), すぐに「誕生日は25日でしょう」と当てることができます。1~31のどの数でも同じように当てることができますから,このカードを作って試してみてください。
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Q.36
111 (1) (ア) 0.5625 (イ) 0.92 (2) (ア) 0.11_{(2)} (イ) 0 . \dot{2} \dot{0}_{(3)}
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Q.37
連立不等式 \( \left\{\begin{array}{l}2 x-1<3(x+1) \\ x-4 \leqq-2 x+3\end{array}\right. \) を満たす整数 の値をすべて求めよ。
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Q.39
400 以下の自然数のうち, 次のような数の個数を求めよ。
(1) 4 の倍数
(2) 4 の倍数でない数
(3) 4 の倍数かつ 10 の倍数
(4) 4 の倍数または 10 の倍数
U の部分集合で, 4 の倍数全体の集合を A, 10 の倍数全体の集合を B とすると
A = {4 ⋅ 1, 4 ⋅ 2, …, 4 ⋅ 100}
B = {10 ⋅ 1, 10 ⋅ 2, …, 10 ⋅ 40}
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Q.40
448 整数の和,差,積を割った余り
m, k を正の整数とする。2つの整数 a, b を m で割った余りをそれぞれ r, r^{\prime} とすると,次の関係が成り立つ。
1. a+b を m で割った余りは, r+r^{\prime} を m で割った余りに等しい。
2. a-b を m で割った余りは, r-r^{\prime} を m で割った余りに等しい。
3. a b を m で割った余りは, r r^{\prime} を m で割った余りに等しい。
4. a^{k} を m で割った余りは, r^{k} を m で割った余りに等しい。
証明 a= m q+r, b=m q^{\prime}+r^{\prime}(q, q^{\prime} は整数 ) と表される。
[1について]
a+b=(m q+r)+ (m q^{\prime}+r^{\prime})= m(q+q^{\prime})+r+r^{\prime}
q+q^{\prime} は整数であるから, m(q+q^{\prime}) は m の倍数である。よって, a+b を m で割った余りは r+r^{\prime} を m で割った余りに等しい。
[2,3 につついて]
1 と同様に考えると
a-b=(m q+r)- (m q^{\prime}+r^{\prime})=m(q-q^{\prime})+r-r^{\prime}
ab=(m q+r)(m q^{\prime}+r^{\prime})=m^{2} q q^{\prime}+m q r^{\prime}+r m q^{\prime}+r r^{\prime}=m(m q q^{\prime}+q r^{\prime}+q^{\prime} r)+r r^{\prime}
q-q^{\prime}, m q q^{\prime}+q r^{\prime}+q^{\prime} r は整数であるから, m(q-q^{\prime}), m(m q q^{\prime}+q r^{\prime}+q^{\prime} r) は m の倍数である。よって, a-b を m で割った余りは, r-r^{\prime} を m で割った余りに等しい。
[Aについて]
a^{2}=(m q+r)^{2}=m(m q^{2}+2 q r)+r^{2}
a^{3}=(m q+r)^{3}=m(m^{2} q^{3}+3 m q^{2} r+3 q r^{2})+r^{3}
a^{k}=(m q+r)^{k}=m \times(m, q, r の和と積のみで表される式 )+r^{k}m, q, r の和と積のみで表される式は整数であるから, m \times(m, q, r の和と積のみで表される式)は m の倍数である。よって, a^{k} を m で割った余りは r^{k} を m で割った余りに等しい。
整数の和は整数。整数の和, 差, 積は整数。整数の和,積は整数。
A 次のページからは,問題を解くことで,整数の割り算について学んでいきましょう。
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Q.41
TRAINING 33 (3)
2<x<5,-1<y<3 のとき, 次の式のとりうる値の範囲を求めよ。
(1) x-5
(2) 3 y
(3) x+y
(4) x-2 y
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Q.42
a は自然数とする。 a+4 が 5 の倍数であり, a+6 が 8 の倍数であるとき, a+14 は 40 の倍数であることを証明せよ。
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Q.43
53 (1) x=32 k+13, y=-37 k-15 ( k は整数) (2) x=91 k+2, y=138 k+3 ( k は整数 ) (3) x=68 k-84, y=-97 k+120 ( k は整数 )
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Q.44
は 3 以上の自然数とする。 2 進数 \(11010_{(2)}\) を 進法で表すと \(222_{(n)}\) となる ような の値を求めよ。
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Q.50
大中小 3 個のさいころを同時に投げるとき, 次の場合の数を求めよ。(1)出る 3 つの目の積が 5 の倍数となる場合(2)出る 3 つの目の積が 4 の倍数となる場合
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Q.51
集合の要素の個数
数学では「 2 桁の 7 の倍数の集まり」のように, 範囲がはっきりした「もの」の集まりを集合といい,集合を構成している1つ1つのものを,その集合の要素という。14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98
要素
こであ、いろいろな集合の要素の佝数について考えていきましょう。
集合の要素の個数
集合 A の要素の個数が有限であるとき, その個数を n(A) で表す。また, 空集合は要素の個数が 0 であるから, n(∅)=0 である。例 全体集合を U={x | x は 5 以下の自然数 } とし, その部分集合 A, B を A={1,2,5}, B={2,4} とする。このとき n(U)=5, n(A)=3, n(B)=2
和集合,補集合の要素の個数
上の例において, 和集合や補集合の要素の個数を数えると A ∪ B={1,2,4,5} から n(A ∪ B)=4
A̅={3,4} から n(A̅)=2
である。
次に, 集合の要素の個数のみが与えられているときの一般の場合の 和集合や補集合の要素の個数について考えてみよう。全体集合 U の部分集合 A, B に対して n(A)=a, n(B)=b, n(A ∩ B)=c とする。
(1) 和集合の要素の個数右の図から要素が1つもない集合 を空集合といい, ∅ で 表す。要素を書き並べると U={1,2,3,4,5}
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Q.53
数学 A\n5 個の数字 を左から右に1列に並べた順列 \( \cdots \cdots(*) \) を考える。順列(*)は全部でア!個ある。\n並べた数字を左から とする。\n例えば, 順列 51324 では, である。\n(1)(i) 順列(*)のうち, 31542 のように「数字 1 と 2 が 1 , 2 の順に並んでいる順列」…‥11がいくつあるかを考えよう。\n順列(*)のうち,31542のように「 かつ である順列」 はイ!個ある。数字 1 と 2 がこの順で他の位置に並ぶ順列も,それぞ れイ! 個ずつあるから,順列 (1) は口ウ個ある。 の解答群\n(0) \n(1) \n(2) \n(ii) (i)について, 次のように考えることもできる。\n\n順列(*)のうち,「数字 1 と 2 が 2, 1 の順に並んでいる順列」 (3) は,順列 (1) と同じ個数だけあるから, 順列 (1)の総数はエと表すこともで きる。また, これと同じように考えると, 順列(*)のうち,\n「数字 1, 2, 3 がこの順に並んでいる順列」\n\nの総数はオ オ表すことができる。\n, 才 の解答群\n(0)\n\n(1)\n !\n(2)\n\n(3)\n\n(2) 順列(*)のうち, 51234 のように\n かつ である順列」がいくつあるかを,集合を利用して考えてみよう。\n順列 (*)の集合を全体集合 とし,部分集合として「 である順列」の 集合を である順列」の集合を とする。\nこのとき,\n\[n(U)=\square \text { ア !, } \quad n(A)=n(B)=\square \text { カ!, } \quad n(A \cap B)=\square \text { キ }\]\n\nであるから, \( n(A \cup B)= \) クケ となり, 順列 (5) はロサ個あることがわ かる。
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Q.55
a, b, c はどの 2 つも 1 以外の共通な約数をもたない自然数とする。 a, b, c が a^{2}+b^{2}=c^{2} を満たしているとき、次のことを証明せよ。(1) a, b の一方は偶数で他方は奇数である。
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Q.56
(1)「1のみを要素にもつ集合は集合 の部分集合である」という事柄を,記号 を用いて表したとき,最も適当なものを次の(1)〜(4)の中から1つ選べ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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Q.59
(1) n は整数とする。 n^{2} を 3 で割った余りを求めよ。
(2)整数 a, b, c が a^{2}+b^{2}=c^{2} を満たすとき, a, b のうち少なくとも 1 つは 3 の倍数であることを証明せよ。
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Q.60
n は整数とする。次のことを利用して, (1), (2)を証明せよ。\n連続する 2 つの整数の積は 2 の倍数である\n連続する3つの整数の積は 6 の倍数である\n(1) n が奇数のとき, n^{2}+2 を 8 で割つた余りは 3 である。\n(2) n^{3}-3 n^{2}+2 n は 6 の倍数である。
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Q.61
あるクラスの生徒50人のうち, 通学に電車を利用している人は30人, バスを利用している人は40人, 両方を利用している人は26人である。このクラスで,電車もバスも利用していない人はア 人, 電車を利用しているがバスは利用していない人はイ 人いる。
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Q.62
次の集合 A, B, C について, A ∩ B ∩ C と A ∪ B ∪ C を求めよ。
A={1,3,4,5,7}, B={1,3,5,9}, C={2,3,5,7}
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Q.63
TR は実数とする。次の に適するものを,下の1〜3)ら選べ。\n(1) は, かつ であるための 。\n(2) かつ は, であるための 。\n(3) で, は であるための 。
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Q.64
(1) \\\\( -\\frac{3}{8} \\\\\\\n(2) \\\\( -\\frac{11}{16} \\\\\\\n
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Q.67
4 < 8 のとき、4 + 2 < 8 + 2, 4 - 2 < 8 - 2, 4 * 2 < 8 * 2, 4 / 2 < 8 / 2, 4 * (-2) > 8 * (-2), 4 / (-2) > 8 / (-2) という不等式が成り立ちます。具体例を示しなさい。
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Q.70
次の足し算・引き算を, [ ]内の表し方で表せ。\n(1) \( 10101_{(2)}+1101_{(2)} \quad \) [ 2 進法]\n(2) \( 11100_{(2)}-1011_{(2)} \quad \) [ 2 進法]\n(3) \( 1343_{(5)}+234_{(5)} \quad[5 進法 \n(4) \( 302_{(4)}-133_{(4)} \quad \) [4 進法]
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Q.71
TRAINING 26\n(1) 循環小数 をそれぞれ分数で表せ。\n()(ア)(イ) を小数で表したとき,小数第 200 位の数字を求めよ。
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Q.72
数直線上で、原点から実数 a を表す点までの距離を、実数 a の絶対値といい、これを |a| で表す。実数 a の絶対値について、次のことが成り立つ。a が正の数または0のとき、|a|=a となるが、a が負の数のとき、|a|はどうなるか?
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Q.76
次不定方程式の整数解(3)(互除法の利用)\n(1) 方程式 \n(1) の整数解をすべて求めよ。\n(2) 方程式 \n(2) の整数解をすべて求めよ。
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Q.78
A,Bの 2 人が球の入った袋を持っている。Aの袋には 1 , 3 , 5 , 7 , 9 の数字が 1 つずつ書かれた 5 個の球が入っており, Bの袋には 2, 4, 6, 8 の数字が1つずつ書かれた 4 個の球が入っている。
AとBが各自の袋から球を 1 個取り出し,書かれた数が大きい方の人を勝ちとする。また, 勝ったときには自分が出した数を得点とし,負けたときには得点は0とする。このとき, A, B のどちらの方が有利か。
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Q.81
ある学校で学校祭のパンフレットを作ることになった。印刷の費用は 100 枚までは 4000 円であるが, 100 枚を超えた分については, 1 枚につき 27 円かかるという。 1 枚 あたりの印刷の費用を 30 円以下にするためには,少なくとも何枚印刷すればよいか。 ただし,消費税は考えない。
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Q.82
118 (1) 100010_{(2)} (2) 10001_{(2)} (3) 2132_{(5)} (4) 103_{(4)}
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Q.83
EX の不等式 \( x^{2}+2 x-8>0, x^{2}-(a+3) x+3 a<0 \) を同時に満たす整数 が 3 つあるとき, 定数 の値の範囲を求めよ。\n から \( \quad(x+4)(x-2)>0 \)\nよって \nまた, \( x^{2}-(a+3) x+3 a<0 \) から \( \quad(x-3)(x-a)<0 \quad \cdots \cdots \). (2)\n のとき, (2) の解は \n\nのとき,\n(2) は \( (x-3)^{2}<0 \)\nゆえに, 解はない。\n\nのとき,\n(2) の解は\n \n\n[1] のとき\n(1)(3) を同時に満たす整数 が3つあるのは,右の図から, のときである。\n2] のとき\n(1), (4)を同時に満たす整数 が3つあるのは,右の図から, のときである。\n以上から, 求める定数 の値の範\n[類 東北工大]\nHINT まず, 各不等式 を解く。不等式 \( x^{2}-(a+3)+3 a<0 \) は,場合分けして解く。\nすべての実数 に対 して \( (x-3)^{2} \geqq 0 \)\n の範囲に整数は含まれない。 -8 , -7 を の値の範囲に 含めるかどうかを慎重 に見極める。\n6,7 を の値の範囲 に含めるかどうかに注意。\n\n囲は
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Q.84
《発展例題 158\n4 人が 50 点満点のゲームを行ったときの得点は, (点)であ つた。ただし, は整数値で, である。この得点のデ -夕の平均値が 43 点, 分散が 6.5 , 範囲が 7 点であったとき, 次の問いに答 えよ。\n(1) とするとき, の 値を求めよ。\n(2) の値を求めよ。\n[類 センター試験〕
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Q.87
次の (1)〜(4)のうち,正しいものをすべて選べ。\n(1) 7 の平方根は である。\n(2) 7 の平方根は のみである。\n(3) である。\n(4) である。
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Q.88
52 (1) x=18 k-1, y=-17 k+1 ( k は整数) (2) x=19 k-1, y=37 k-2 ( k は整数) (3) x=7 k+1, y=-12 k+1 ( k は整数 )
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Q.91
(1)1 個のさいころを 3 回投げ,その目の和が 7 となる場合は何通りあるか。\n(2)A, B の 2 人が試合を行い, 先に 3 勝した方が勝ちである。引き分けはなしで 5 回以内で勝負がつくのは何通りの場合があるか。
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Q.95
10 以下の正の整数全体の集合を全体集合 とし, の部分集合 を とするとき, 次の集合を求めよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ) \n(エ) \n上の例題 (2) に関して, 集合 をそれぞれ求めよ。
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Q.96
自然数 N を 5進法と 7進法で表すと、共に2桁の数であり、各位の数の並びが逆になるという。N を 10進法で表せ。
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Q.99
また,集合 と集合 の要素がすべて一致しているとき, と は等しいといい, で表す。例 を 1 桁の正の偶数全体の集合とし, とする。
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Q.00
62 (1) \frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n} \leqq \frac{3}{l} (2) (l, m, n)=(1,3,6),(1,4,4), (2,2,2)
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Q.03
(2) 3!\\times 4 \ の計算式として正しいのはどちらか。 (1) \( 3!\\times 4!=(3 \\cdot 2 \\cdot 1) \\times(4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1) \) (2)
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Q.05
次のことを証明せよ。\n(1) が 6 の倍数ならば, は 6 の倍数である。\n(2) が -2 の倍数ならば, は 4 の倍数である。\n(3) が 9 の倍数ならば, は 9 の倍数である。
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Q.06
次の関係を利用し、特定状態の整数の組数計算せよ。\n\((A ∩ \bar{B})=n(A)-n(A ∩ B) ,\n (A ∩ \bar{B} ∩ \bar{C})=n(A)-n(A ∩ B)-n(A ∩ C)+n(A ∩ B ∩ C)\)
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Q.08
次の不等式を解け。
(1) 8x + 13 > 5x - 8
(2) 3(x - 3) ≥ 5(x + 1)
(3) (4 - x) / 2 < 7 + 2x
(4) 1 / 2(1 - 3x) ≥ 2 / 3(x + 7) - 5
(5) 0.2x - 7.1 ≤ -0.5(x + 3)
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Q.11
107 (1) x=11 k, y=12 k ( k は整数) (2) x=8 k-1, y=-23 k+3 ( k は整数)
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Q.13
実数 x に関する 2 つの条件 p, q を次のように定める。\np:-1 \\leqq x \\leqq 3\\n q:|x-a|>3条件 p, q の否定をそれぞれ \\bar{p}, \\bar{q} で表す。1. 命題 p \\Longrightarrow q が真であるような a の値の範囲は、a の値の範囲は \\square \\leqq a \\leqq \\square の形式で答えてください。2. a= \\square のとき, x= \\square は命題 p \\Longrightarrow q の反例である。
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Q.14
は整数とする。 を 11 で割ると 7 余り, を 11 で割ると 4 余る。このとき, 次 の数を 11 で割った余りを求めよ。 (1) (2) (3) (4)
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Q.15
120 (1) 100 個 (2) 2^{18} \leqq N<2^{19} のとき 19 桁, 2^{19} \leqq N<2^{20} のとき 20 桁
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Q.17
次の を埋めてみよう。\n\\n{ }_{5} \mathrm{C}_{3}=\frac{\square \times \square \times \square}{\square \times \square \times \square},{ }_{8} \mathrm{C}_{3}=\frac{\square \times \square \times \square}{\square \times \square \times \square},{ }_{12} \mathrm{C}_{3}=\frac{\square \times \square \times \square}{\square \times \square \times \square},{ }_{11} \mathrm{C}_{8}={ }_{11} \mathrm{C}_{\square}\n\\n\n最初の 3 問はどの計算式も分母と分子が 3 つの数の 積になっています。
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Q.21
三 角 比- 111\nTR 三角比の表を用いて, 次のものを求めよ。\n (1) の値\n(2) を満たす鋭角 \n(3)右の図の の値と角 のおよその大きさ。ただし, は小数第 2 位を四捨五入せよ。
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Q.23
1 個 100 円の品物を何個か買うとき, 買う個数が決まるとそれに応じて代金が決まります。また, 車が時速 60 km で走るとき, 走る時間が決まるとそれに応じて走行距離が決まります。このように「ある数量に応じて他の数量が決まる関係」について学習しましょう。
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Q.27
(1)を有理数全体の集合とするとき、 \\in\\{\\text{0}\\})である。\( \square \ に適する記号を\,48 C。つの中から1つ選べ。
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Q.28
赤い玉が 4 個, 白い玉が 2 個,青い玉が 1 個ある。\n(1)7個すべての玉を円形に並べる方法は何通りあるか。\n(2)7個すべての玉にひもを通し,首飾りを作るとき,何通りの首飾りができる か。\n[西南学院大]
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Q.36
1 個 210 円の商品 と, 1 個 170 円の商品 Bをそれぞれいくつか買ったら, 代金が 4400 円になった。購入した商品 A,Bの個数を求めよ。
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Q.37
EX自然数 n を 9 で割った商が m で余りが 5 である。商 m が奇数のとき, n^2 を 18 で割つた余りを求めよ。
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Q.38
集合では, 最初に 1 つの集合 を決めて, の部分集合について考えることが多い。このとき, Uを全体集合という。 の部分集合 に対して, の要素のうち に属さない要素全体の集合を, に関する の補集合といい, で表す。
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Q.39
事象 A, B が互いに排反であるとき、次の性質を証明しなさい:
\[n(A ∪ B) = n(A) + n(B)\]
さらに、全事象を U とすると、次の関係が成り立つことを示しなさい:
\[\frac{n(A ∪ B)}{n(U)} = \frac{n(A)}{n(U)} + \frac{n(B)}{n(U)}\]
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Q.41
EX自然数 を 5 進法と 7 進法で表すと,ともに 2 桁の数であり,各位の数の並びが逆になるとい う。 を 10 進法で表せ。 \(N=a b_{(5)}\) とすると,条件から よって \(a b_{(5)}=b a_{(7)}\) \nここで, で, \(a b_{(5)}\) の各位の数は 4 以下であるこ とから \(1 \leqq a \leqq 4,\quad 1 \leqq b \leqq 4 (1)\) から \(a \cdot 5^{1}+b \cdot 5^{0}=b \cdot 7^{1}+a \cdot 7^{0} すなわち 5 a+b=7 b+a 整理して 2 a=3 b ゆえに 2 a は 3 の倍数であるが, 2 と 3 は互いに素であるか ら, a は 3 の倍数である。1 \leqq a \leqq 4 であるから a=3 このとき,2 \cdot 3=3 b から b=2 これは, 1 \leqq b \leqq 4 を満たす。したがって N=3 \cdot 5^{1}+2 \cdot 5^{0}=17各位の数の並びが逆。\n —最高位の数は 0 では ない。 \n← 2 a=3 b — N=a b に代入。
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Q.42
24(2)逆: n が奇数 \Longrightarrow n^{2}+1 は偶数,真対偶: n が偶数 \Longrightarrow n^{2}+1 は奇数, 真 裏 : n^{2}+1 が奇数 \Longrightarrow n は偶数
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Q.45
5人の大人と3人の子どもが、円形のテーブルの周りに座る。子どもどうしが隣り合わない座り方は全部で何通りある。ただし、回転して一致するものは同じ座り方とみなす。
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Q.53
三つの集合の共通部分と和集合を求める方法を用いて、次の集合V, W, Xで具体的に求めてください。
例: V = {1, 4}, W = {4, 5}, X = {4, 6}
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Q.54
本 , bの式を主然数で割った余りの決定 は整数とする。 を 8 で割ると 3 余り, を 8 で割ると 6 余る。このとき,次の数を 8 で割った余りを求めよ。 (1) (2) (3) (4)
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Q.55
1,2,3,4,5 の 5 種類の数字を用いて 2 桁の整数はいくつ作ることができるか。ただし,同じ数字を繰り返し用いてもよい。
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Q.56
次の \ \square \ に適するものを,上の例題の選択肢 (1)〜(3) から選べ。\n(1) \ x y=1 \ は, \ x=1 \ かつ \ y=1 \ であるための \ \square \ .\n(2) \ x>0 \ かつ \ y>0 \ は, \ x y>0 \ であるための \ \square \ 。\n(3) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ で, \ \\mathrm{AB} = \\mathrm{BC} = \\mathrm{CA} \ は \ \\angle \\mathrm{A} = \\angle \\mathrm{B} = \\angle \\mathrm{C} \ であるための \ \square \ 。
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Q.60
和の法則は、 D .287 \ で学んだ A ∩ B = ∅ \ ならば \( n(A ∪ B) = n(A) + n(B) \) に対応している。\n和の法則の例では、 で始まるものと で始まるもので樹形図の形が異なるから、積の法則は使えない。
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Q.62
-2<x<5,-7<y<4 のとき, 次の式のとりうる値の範囲を求めよ。
(1) x+3
(2) 2 x
(3) x+y
(4) x-y
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Q.64
次のデータはある 8 店舗での, あたりのみかんの価格である。ただし, の値は自然数 156 である。\n530, 550, 499, 560, 550, 555, 500, a (円)\n の値がわからないとき, 8 店舗の価格の中央値として何通りの値がありうるか。\n店舗数が 8 であるから,安い方から 4 番目と 5 番目の価格の平均が中央值となる。\n 以外の価格を安い方から順に並べると\n499,500, \underset{\sim}{530}, \underset{\sim}{550}, 550,555,560\n のとき,価格の中央値は (円)\n のとき,価格の中央値は (円)\n のとき,価格の中央値は 円と 550 円の平均 であり,530<a<550 を満たす自然数 の値は\nよって,価格の中央値は \(1+1+(549-531+1)=21\) (通り)の 値がありうる。
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Q.67
「すべての〜」と「ある〜」の命題の否定について説明し、次の命題の否定を導いてください。
命題V: 「すべての自然数nに対して、nは偶数である」
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Q.69
110 (1) (ア) 85 (イ) 63 (ウ) 125 (2) (ア) 110110_{(2)} (イ) 13000_{(5)} (ウ) 14003_{(7)}
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Q.70
男 2 人,女 3 人の 5 人が 1 列に並ぶとき,次のような並び方は何通りあるか。(1) 両端が女である。(2) 男 2 人が隣り合う。(3) 男が隣り合わない。
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Q.71
10 個の文字,N,A,G,A,R,A,G,A,W,A を左から右へ横 1 列に並べる。\n(1)「NAGARA」という連続した6 文字が現れるような並べ方は全部で何通り あるか。\n(2) N,R,W の 3 文字が,この順に現れるような並べ方は全部で何通りある か。ただし,N,R,W が連続しない場合も含める。
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Q.74
TRAINING 110 (1)\n(1) 次の数を 10 進法で表せ。\n(ア) \( 1010101_{(2)} \)\n(イ) \( 333_{(4)} \)\n(ウ) \( 175_{(8)} \)\n\n(2) 次の 10 進数を [ ] 内の表し方で表せ。\n(ア) 54 [2 進法]\n(イ) 1000 [5 進法]\n(ウ) 3776 [7 進法]
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Q.76
EX 500 以下の自然数の中で, 次の集合の要素の個数を求めよ。\n(1) 3 で割り切れる数の集合\n(2) 3 でも 5 でも 7 でも割り切れる数の集合\n(3) 3 で割り切れるが, 5 で割り切れない数の集合\n(4) 3 でも 5 でも割り切れない数の集合\n(5) 3 で割り切れるが, 5 でも 7 でも割り切れない数の集合\n[日本女子大]
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Q.77
56 (1) 逆: x \neq-1 \Longrightarrow x^{2} \neq-x, 偽対偶 : x=-1 \Longrightarrow x^{2}=-x, 真裏: x^{2}=-x \Longrightarrow x=-1, 偽 (2) 逆: x または y は有理数 \Longrightarrow x+y は有理数, 偽 対偶: x, y はともに無理数 \Longrightarrow x+y は無理数, 偽 裏 : x+y は無理数 \Longrightarrow x, y はともに無理数, 偽
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Q.80
順列に関連する問題:
1. 順列の総数 (n個からr個取る場合) を求めよ
2. 円順列の総数を求めよ
3. じゅず順列の総数を求めよ
4. 重複順列の総数を求めよ
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Q.82
( ∘sqrt{3} )^2, ( - sqrt{3/2} )^2, sqrt{(-7)^2}, - sqrt{(-9)^2}の値をそれぞれ求めよ。
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Q.84
(2) x \geqq 0, y \geqq 0, x+y=2 のとき、x^2+y^2 の最大値と最小値を求めよ。
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Q.86
次の計算を, Lecture を参考にして2進数のまま行い,結果も 2 進法で表せ。\n(1) \( 1110_{(2)}+1011_{(2)} \)\n(2) \( 11001_{(2)}-1010_{(2)} \)
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Q.89
例 とすると, は の部分集合であり, である。補足) 右のような図をベン図という。ベン図に要素を書き込むと, 各要素がど の集合に属しているかわかりやすい。
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Q.93
ある工場で作る部品 A, B, C はネジをそれぞれ 7 個, 9 個, 12 個使っている。出荷後に残ったこれらの部品のネジをすべて外したところ,ネジが全部で 35 個あった。残った部品 A, B, C の個数をそれぞれ l, m, n として, 可能性のある組 l, m, n をすべて求めよ。
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Q.94
\ \\sqrt{x} = \\sqrt{17 + \\sqrt{253}} - \\sqrt{17 - \\sqrt{253}} \ が成り立つような整数 \ x \ を求めよ。
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Q.97
Lecture 最短経路の数を書き込んで求める
最短経路の総数を求める問題は, 順列・組合せの公式を知らなく ても求めることができる。
例えば,右の図のような街路で
までの道順が 通り
までの道順が 通り
あれば, までの道順は, \( (p+q) \) 通りである。
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline \multirow{2}{*}{\multicolumn{2}{|c|}{6}} & 18 & \begin{tabular}{|l|l}
36
\end{tabular} & 60 \
\hline & & 12 & 18 & 24 \
\hline 3 & & 6 & 6 & 6 \
\hline & 3 & & & \
\hline & & & & \
\hline
\end{tabular}
1표 o
4
組
合
せ
TRAINING 21 (3)
右の図のように道路が碁盤の目のようになった町で, A地点 からB地点へ最短距離で行く。
(1)すべての道順は何通りあるか。
(2)(1)のうちで,C地点を通る道順は何通りあるか。
(3)(1)のうちで,C地点を通らない道順は何通りあるか。
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Q.98
異なる 個の円順列の総数は \( (n-1)! \) 通り\n■じゅず順列\n異なる 5 個の玉を糸でつないで輪にし て裏返すと,右の 2 つは同じものにな る。このように, 異なるいくつかのものを 円形に並べて,回転または裏返して,一致するものは同じものとみるとき,その並べ方をじゅず順列という。じゅず順列の総数は, 円順列の中に同じものが 2 つずつあるから円順列の総数の半分である。\n異なる 個のじゅず順列の総数については,次のことがいえる。\nじゆす順列の総数異なる 個のじゅず順列の総数は \( \\frac{(n-1)!}{2} \) 通り
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Q.99
84 例題\n本 47 集合の素し方, 包含関原\n(1) 24 の正の約数全体の集合を とするとき,次の に適する記号 また は を入れよ。\n(ア) 6 A\n(イ) 9 A\n(ウ) -2 A\n(2)次の 2 つの集合 の間に成り立つ関係を,記号 を用いて表せ。\n(ア) は 5 以下の自然数 \n(イ) \( A=\{5 n \mid n=1,2\}, \quad B=\{x \mid(x-5)(x-10)=0\} \)
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Q.00
n を整数とするとき,次のことを証明せよ。
(1) n^{2}+5 n+1 を 2 で割った余りは 1 である。
(2) n^{2}+1 は 3 の倍数ではない。
2 k, 2 k+1 ; 3 k, 3 k+1,3 k+2 などの形で表される
(1) 2 で割るから, すべての整数 n を 2 k, 2 k+1 ( k は整数)に分類。
(2) 3 の倍数ではないことを示すから, すべての整数 n を 3 k, 3 k+1,3 k+2 ( k は整数)に分類。
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Q.01
関数 f(x)=x^{2}+a x+b の 0 \leqq x \leqq 1 における最小値を m とするとき, m を a と b で表せ。
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Q.03
集合の共通部分と和集合・補集合を定義し、例を用いて説明してください。
例: E = {1, 3, 5}, F = {3, 4, 5}
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Q.05
10 以下の自然数全体の集合を全体集合 とし, の部分集合 を とする。次の集合を求めよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ) \n(エ) \n実数全体を全体集合とし,その部分集合 を\n は実数 は実数 とするとき,集合 をそれぞれ求めよ。
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Q.08
m, n を整数とするとき, 対偶を利用して, 次の命題を証明せよ。
(1) n^{2}+4 n+3 が 4 の倍数ならば, n は奇数である。
(2) m n が偶数ならば, m, n のうち少なくとも 1 つは偶数 である。
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Q.11
次の条件の否定を述べよ。ただし,x, y, m, n は実数とする。
(1) x は正の数である
(2) x ≠ 0 または y = 0
(3) 0 ≤ x < 1
(4) x, y の少なくとも一方は無理数である
(5) m, n はともに正の数である
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Q.13
次のような最短の道順は何通りあるか。\n(1) AからBまで行く\n(2) AからCを通ってBへ行く\n(3) AからCを通らずにBまで行く
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Q.14
集合とその要素の概念を使って問題を解きましょう。次の集合 A を考えます。\n\nA=\{1, 2, 3, 4, 5\}\n\nこの集合 A のすべての部分集合を書き出してください。
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Q.16
(1)百の位の数は 3 か 4 か 5 であるから,その選び方は 3 通り そのどの場合に対しても十の位,一の位には残りの 4 個の数字 から2個を取って並べるから,その並べ方は 4P2 通り よって, 積の法則から 3 × 4P2=3 × 4 × 3=36 (個)
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Q.17
254 一数学 EX 進法で表された 3 桁の数 \( a b c_{(n)} \) があり, とする。 \( a b c_{(n)} \) と \( c b a_{(n)} \) の差が 10 進法 (4) 63 で 15 になるように 定め, \( a b c_{(n)} \) を 10 進法で表せ。条件から\nまた \( \quad a n^{2}+b n+c-\left(c n^{2}+b n+a\right)=15 \)よって \( \quad(a-c) n^{2}-(a-c)=15 \)ゆえに \( \quad(a-c)\left(n^{2}-1\right)=15 \cdots \cdots \) は2以上の自然数であるから よって ゆえに, (2)から \すなわち \n は平方数であるから, のみが適する。 よって [1] のとき, (1) から この不等式を満たす整数 は存在しない。\n[2] のとき, であるから, の組は \( \quad(a, c)=(2,1),(3,2) \)。bは のいずれでもよい。\n以上から このとき, \( a b c_{(n)} \) は\( 201_{(4)} \) は 10 進法で \n\( 302_{(4)} \) は 10 進法で \n\( a b c_{(4)} \) は, bが 1 増えるごとに 10 進法では 4 ずつ増えるから,\n(4)の各数を 10 進法で表すと,順に \nCHAR\n 進法の扱い 10 進法で考える。\n\( a b c_{(n)} \) は 10 進法で\n« は 15 の約数。 \[\leftarrow(a-c) \cdot 15=15\]
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Q.18
108 (1) x=16 k+7, y=55 k+24 ( k は整数) (2) x=16 k+14, y=55 k+48 ( k は整数 )
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Q.19
5 個の数字 0, 1, 2, 3, 4 から異なる 3 個の数字を取って 3 桁の整数を作るとき、次のような数はいくつできるか。
(1) 整数
(2)偶数
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Q.20
次の等式を満たす整数 x, y の組をすべて求めよ。 (1) (x+3)(y-4)=5 (2) x y-6 x+3 y=20
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Q.22
3x + 5y = 7 を満たす整数 x, y で, 100 ≤ x + y ≤ 200 となる (x, y) の個数は 個である。 [関西大]
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Q.23
次の1~4のうち,正しいものをすべて選べ。(1) −sqrt{0.25}= & ±0.5 である。(2) −sqrt{0.25}=0.5 である。(3) −49/−64 の平方根は ±7/±8 である。(4) −49/−64 の平方根は ±7/±8 のみである。
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Q.27
A の袋には 1,3,5,7,9 の数字が 1 つずつ書かれ た 5 個の球が入っており, B の袋には 2,4,6,8 の数字が 1 つずつ書かれた 4 個の球が入って いる。
A と Bが各自の袋から球を 1 個取り出し, 書かれた数が大きい方の人を勝ちとする。また, 勝っ たときには自分が出した数を得点とし,負けたときには得点は 0 とする。このとき,A,Bのど ちらの方が有利か。
球の取り出し方の総数は 5 \times 4=20 通り
A が勝つ場合は (3,2),(5,2),(5,4),(7,2),(7,4),(7,6),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8)
Bが勝つ場合は (2,1), (4,1),(4,3),(6,1),(6,3),(6,5),(8,1),(8,3),(8,5),(8,7)
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Q.29
したがって, 「誕生日が A,B,Eのカードにある」ということは,その誕生日が 「16と 8 と 1 の和で表される」ことを意味する。この はカードの左上に書いてあるから,これを足すだけです ぐに当てることができるというわけである。他に 13 の場合も考えてみる。13 は B, C, Eのカードにある。「誕生日が B, C,Eのカードにある」ということは,その誕生日が「 と 4 と 1 の和で 表される」ことを意味するから, より, 13 日であることがわかる。なるほど。だから, 誕生日が当てられるんですね。ところで, すでに気付いた人もいるかもしれませんが, この表の作り方の原理は, 2 進法と密接に関連しています。
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Q.30
4 人の生徒に 1 本 50 円の鉛筆と 1 冊 70 円のノートを買って配りたい。鉛筆が 1 人 1 人の生徒に114 同じ本数ずつ渡るように, また, ノートも 1 人 1 人の生徒に同じ冊数ずつ渡るように買ったところ, 代金の合計が 1640 円になった。買った鉛筆の本数とノートの冊数をそれぞれ求めよ。生徒 1 人あたりの鉛筆の本数を x 本, ノートの冊数を y 冊とすると x ≥ 1, y ≥ 1 条件から 50 × 4x + 70 × 4y = 1640
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Q.31
4 個の果物 (A), (B), (C), (D) から異なる 3 個を選ぶとき, 選び方は次の 4 通りある。
{(A), (B), (C)},
{(A), (B), (D)},
{(A), (C), (D)},
{(B), (C), (D)}
このように、ものを取り出す順序を無視した組を作るとき、これら の組の 1 つ1つを組合せという。
一般に、r <= n のとき、異なる n 個のものから異なる r 個を取り出して作る組合せを n 個から r 個取る組合せといい、その総数を nCr で表す。
例:4 個から 3 個取る組合せの総数は、4C3 で表される。組合せの総数 nCr
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Q.32
TR 0, 1, 2, 3, 4, 5 の 6 個の数字から異なる 4 個の数字を取って作られる 4 析の整数のうち, 次 312 のような数は何個あるか。
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Q.33
のとき次の集合を求めよ。\n(ア) \ A \\cap B \\n(イ) \ A \\cup B \\n(ウ) \\bar{A} \\n(エ) A \\cap \bar{B} \
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Q.34
n+2016 が 5 の倍数で, n+2017 が 12 の倍数であるような自然数 n のうち、3桁で最大のものを求めよ。
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Q.35
ある商品は単価が10円のとき1日100個売れる。単価を1円上げるごとに、1日の売り上げは5個ずつ減り、単価を1円下げるごとに、1日の売り上げは5個ずつ増える。単価をいくらにすると1日の売上金額が最大になるか。売上金額の最大値とそのときの単価を求めよ。ただし、消費税は考えない。
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Q.36
円順列\nものを円形に並べる順列を円順列という。円順列では,適当に回転して並びが同じになるものは同じ並び方とみなす。具体的に, A, B, C, Dの 4 人が円形に並ぶ円順列を考える。 まず, 4 人が 1 列に並ぶ順列を作る。これは全部で { }_{4} \mathrm{P}_{4}=4!=24 通りあり,列挙すると次のようになる。
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Q.37
次のような数は何通りあるか。5 個の数字 1 , 2,3,4,5 から異なる 3 個の数字を取って 3 桁の整数を作るとき, (2) 奇数
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Q.40
5 人の生徒に英語の試験を実施したところ,5 人の得点は 58,65,72, x, 76 (点) であった。この 5 人の得点の平均が 71 (点)のとき, \ x \ の値を求めよ。
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Q.42
三つの集合の共通部分と和集合を定義し、具体例を使って説明してください。
例: G = {1, 2}, H = {2, 3}, I = {3, 4}
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Q.44
方程式 \ \\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}=\\frac{1}{2} \ を満たす自然数 \ x, y \ の組をすべて求めよ。ただし, \ x .. y \ とする。
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Q.49
300 以下の自然数のうち、次のような数の個数を求めよ。
(1) 5 の倍数
(2) 8 の倍数
(3) 5 の倍数でない数
(4) 5 の倍数かつ 8 の倍数
(5) 5 の倍数または 8 の倍数
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Q.50
527\n99 (1) \ -2<x<-1,2<x<4 \\n(2) \ -2<x<-1,-1<x<3 \\n(3) \ -3 \\leqq x<\\frac{1}{3} \\n(4) \ 1<x<\\frac{1+\\sqrt{13}}{2} \\n\ 1001 \\leqq x \\leqq 4-\\sqrt{3}, 4+\\sqrt{3} \\leqq x \\leqq 7 \\n101 (1) \ a<0 \\n(2) \ -\\frac{b}{2 a}>0 \\n(3) \ b>0 \\n(4) \ c<0 \\n(5) \ b^{2}-4 a c=0 \\n\ 102 m=-\\frac{7}{2} \, 共通解 \ x=2 \\n103 (1) \ a \\neq \\pm 1 \ のとき \ x=-\\frac{1}{a+1} \, \ -\\frac{1}{a-1} ; a=-1 \ のとき \ x=\\frac{1}{2} \; \ a=1 \ のとき \ x=-\\frac{1}{2} \\n(2) \ a>0 \ のとき \ -a<x<3 a \, \ a=0 \ のとき 解はない, \ a<0 \ のとき \ 3 a<x<-a \\n104 (1) \ a=-\\frac{5}{2}, \\quad b=-\\frac{3}{2} \\n(2) \ a=-1, \\quad b=2 \\n105 (ア) -3\n(イ) 2\n(ウ) -7\n() \ \\frac{7}{3} \\n106 (1) \ 1<a<2 \\n(2) \ a<1 \\n107 (1) \\( (-2,-1),(3,14) \\)\n(2) \\( (3,-3) \\)\n(3)共有点はない\n\ 108 x=0, y=5 \ のとき最大値 75\n\ x=0, y=-1 \ のとき最小値 3\n109 略\n110\n(1) \ -5<x<4 \\n(2) \ x \\leqq 5, \\quad 9 \\leqq x \\nEXERCISES の解答\n\\( 50(2 a,-4 a-3 b+9), a=1, b=1 \\)\n51 (1) \ a=4,20 \\n(2) 5 個\n\ 52 a=-1 \\n53 (1) \ -1 \\leqq m \\leqq \\frac{1}{3} \\n(2) \ m<2-2 \\sqrt{3}, 2+2 \\sqrt{3}<m \\n(3) \ m>\\frac{3}{2} \\n(4) \ m<-2,3<m \\n\ 54 k \\geqq \\frac{-2+\\sqrt{13}}{2} \\n55 (1) \ 3-\\sqrt{2} \\leqq x<2, \\quad 4<x \\leqq 3+\\sqrt{2} \\n(2) \ -\\frac{5}{2}<x<-1 \\n(3) \ x=0,3 \\n56 (1) 略 (2) \ -2<a<6 \\n57 (1) \ 0<a<6 \ (2) \ -2<a \\leqq 0,6 \\leqq a<8 \\n58 (2), (4)\n59 (1) \ x=1 \\n(2) \ b=-a-1, \\quad a \\neq-\\frac{1}{2} \\n(3) 略\n\ 60-8 \\leqq a<-7, \\quad 6<a \\ leqq 7 \\n61 (1) \ -2<a<2 \\n(2) \ -\\sqrt{5}<a<\\sqrt{5} \\n(3) \ a \\leqq-\\frac{5}{2} \\n62 (ア) -1\n(イ) 7 (ウ) \ \\frac{7}{2} \\n(I) 7\n63 (1) \ b \\geqq-4 \\n(2) \ b=-4 \, 接点の座標は \\( (3,2) \\)\n答\nの\n部\n数\n学\nI\n答\nの\n部\n数\n学\nI
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Q.51
基 例 題\n本45期待値の計算\n(1)さいころを1個投げ,出た目を得点とする。得点の期待値を求めよ。\n(2) 2 枚の 10 円硬貨を同時に 1 回投げ,表が出た硬貨をもらうとき,もらえる 金額の期待値を求めよ。
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Q.52
324 発 例題
《基本例題 9
SHUDAI の 6 文字を全部使ってできる文字列(順列)をアルファベット順の辞書式に並べる。ただし,ADHISUを1番目,ADHIUSを2番目, USIHDA を最後の文字列とする。
[広島修道大]
(1) 110 番目の文字列は何か。
(2)文字列 SHUDAI は何番目か。
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Q.53
次の方程式の整数解をすべて求めよ。
(1) 37x + 32y = 1
[類: 鹿児島大]
(3) 97x + 68y = 12
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Q.56
10人の生徒をいくつかのグループに分ける。このとき (1) 2人、3人、5人の3つのグループに分ける分け方は何通りあるか。 (2) 3人、3人、4人の3つのグループに分ける分け方は何通りあるか。 (3) 2人、2人、3人、3人の4つのグループに分ける分け方は何通りあるか。
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Q.58
部分集合とは何かを定義し、次の例を用いて部分集合を確認してください。
例: C = {a, b}, D = {a, b, c}
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Q.63
a は自然数とする。 a+2 が 7 の倍数であり, a+3 が 3 の倍数であるとき, a+9 は 21 の倍数であることを証明せよ。
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Q.64
数学 A\n(1) x^{2}+3 y^{2}=36 を満たす整数 x, y の組をすべて求めよ。\n(2) x^{2}+x y+y^{2}=19 を満たす自然数 x, y の組をすべて求めよ。
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Q.66
三角数
下の図のように小石を三角形状に並べると, 図に含まれる小石の個数は順に 1, 1+2,1+2+3,1+2+3+4 … となります。このような数を三角数といいま
…
T_{3}
T_{4}
以下,上の図のように三角形状に並べた小石を「三角図」と呼ぶことにし,一番下の行の小石の個数が n である三角図を T_{n}, T_{n} に含まれる小石の個数を S_{n} とする。
n が大きくなると,三角数を計算するのは大変そうです。
例えば, S_{50} を求めるには, 1 から 50 まで足すことになります。
和を計算すると大変ですが,三角図を組み合わせることによって, 三角数を求めることができますよ。
右の図のように 2 つの三角図 T_{50} を並べると長方形ができます。このことから, S_{50} を求めてみましょう。
縦に 50 個, 横に (50+1) 個の小石が並んでいるから
2 S_{50}=50 · 51 よって S_{50}=1275
この考え方を用いれば,大きな三角数も簡単に求めることができます。
そうですね。同じように考えれば
S_{n}=½ n(n+1)
であることがわかります。
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Q.67
4 人の生徒に 1 本 50 円の鉛筆と 1 冊 70 円のノートを買って配りたい。鉛筆が 1 人 1 人 の生徒に同じ本数ずつ渡るように,また,ノートも 1 人 1 人の生徒に同じ冊数ずつ渡る ように買ったところ, 代金の合計が 1640 円になった。買った鉛筆の本数とノートの冊数をそれぞれ求めよ。
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Q.68
7 個の値 \ 1,5,8,12,17,25, a \ からなるデータの平均値が 12 であるとき, \ a \ の値を求めよ。
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Q.71
(2)一の位の数は 1 か 3 か 5 であるから,その選び方は 3 通り そのどの場合に対しても百の位, 十の位には残りの 4 個の数字 から 2 個を取って並べるから,その並べ方は 4P2 通り よって, 積の法則から 3 × 4P2=3 × 4 × 3=36 (個)
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Q.73
5 個の数字 1 ,2,3,4,5から異なる 3 個の数字を取って 3 桁の整数を作るとき, 次の ような数はいくつできるか。\n(1) 300 以上の数\n(2)奇数
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Q.78
就業者数について, (男性の就業者数) + (女性の就業者数) (就業者数全体) であることに注意する。例えば,男性の就業者数割合が であれば,女性の就業者数割合は である。
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Q.80
方程式 3 x y=4 x+2 y を満たす自然数 x, y の組をすべて求めよ。ただし, x ≧ y とする。\n x ≧ y であるから 4 x+2 y ≤ 4 y+2 y これと 3 x y=4 x+2 y から 3 x y ≤ 6 y よって x ≤ 2 ゆえに x=1,2\n[x=1 のとき] 方程式は 3 y=4+2 y よって y=4\n[x=2 のとき] 方程式は 6 y=8+2 y よって y=2\n以上から,求める x, y の組は (x, y)=(1,4),(2,2)
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Q.83
自然数 を 7 進法と 5 進法で表すと,ともに 3 桁の数であり,各位の数の 並びが逆になるという。 を 10 進法で表せ。
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Q.84
集合 と の基本的な関係とド・モルガンの法則を説明せよ。\n(1) 部分集合: \n(2) 空集合: \n(3) 共通部分: \n(4) 和集合: \n(5) 補集合: \nド・モルガンの法則:,
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Q.86
先生が男女 1 人ずつと生徒が男女 3 人ずつ, 合計 8 人が円卓に等間隔に座るとき, 次の ような並び方の総数をそれぞれ求めよ。
(1)男女が交互に並ぶ並び方
(2) 先生が向かい合う並び方
(3)先生が隣り合う並び方
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Q.88
400 以下の自然数のうち、次のような数の個数を求めよ。
(1) 4 の倍数
(2) 4 の倍数でない数
(3) 4 の倍数かつ 10 の倍数
(4) 4 の倍数または 10 の倍数
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Q.90
集合の表し方と包含関係について説明し、次の例を使ってそれらを示してください。
例: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}
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Q.92
1 個 160 円のりんごと 1 個 130 円のみかんを合わせて 20 個買い, これを 200 円 のかごに入れ,代金の合計を 3000 円以下にしたい。りんごをできるだけ多く買 うとすると,りんごは何個買えるか。ただし,消費税は考えない。
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Q.93
例 整数を 2 で割ると,余りは 0 か 1 であるから,すべての整数は,整数 k を用いて のいずれかの形で表される。 また,整数を 3 で割ると,余りは 0 か 1 か 2 であるから,すべての整数は、 整数 を用いて のいずれかの形で表される。
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Q.94
(ア) \\\\( \\frac{1}{4} \\\\\\\n(1) \\\\( \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\\\\\\n(ウ) \\\\( \\frac{3 \\sqrt{6}}{8} \\\\\\\n(I) \\\\( \\frac{7}{8} \\\\\\\n(J) 224
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Q.96
分散の公式 s² = x̄² - (x̄)² を利用して, 6 個の値 10, 7, 8, 0, 4, 2 からなるデータの分散を求めよ。ただし, 小数第 2 位を四捨五入せよ。
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Q.99
62\n基 例題\n本 32 不等式の性質の利用 (1)\n のとき, 次の 2 数の大小関係を調べて,不等式で表せ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6)
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Q.00
次の等式を満たす正の整数 の組をすべて求めよ。\n(1) \n(2) \n[(1) 金沢工大 (2)類 名古屋大]
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Q.01
TR n を整数とするとき, 次のことを証明せよ。\n92\n(1) n^{2}+3 n+6 は偶数である。\n(2) n(n+1)(5 n+1)\nは 3 の倍数である。
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Q.03
TR は自然数とする。 が 5 の倍数であり, が 8 の倍数であるとき, は 40 の倍数 90 であることを証明せよ。
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Q.04
次の 10 進数を[]内の表し方で表せ。\n(ア) 54 [2 進法]\n(イ) 1000 [5 進法]\n(ウ) 3776 [7 進法]
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Q.06
ある数値列において、すべての要素の和を計算せよ。例えば、数値列が [1, 2, 3, 4, 5] の場合、和は 15 となる。
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Q.07
赤玉 1 個,青玉 2 個,黄玉 2 個,白玉 2 個がある。\n(1) 7 個すべての玉を円形に並べる方法は何通りあるか。\n(2)7個すべての玉に糸を通し,腕輪を作るとき,何通りの腕輪ができるか。
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Q.09
1 から 100 までの整数のうち, 次のような数はいくつあるか。\n(1) 3 で割り切れない数\n(2) 3 でも 8 でも割り切れない数\n1 から 100 までの整数全体の集合を U とし, の部分集合で 3 で割り切れる数( 3 の倍数)全体の集合を A, 8 で割り切れる数( 8 の倍数)全体の集合を B とすると , \( B=\{8 \cdot 1,8 \cdot 2, \cdots \cdots, 8 \cdot 12\} よって n(A)=33, n(B)=12 である。
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Q.10
縦 3m 24cm, 横 1m 80cm の長方形の壁に, 1 辺の長さが整数で表される同じ大きさの正方形の紙をすき間なく貼りたい。貼る紙をできるだけ大きくするには 1 辺の長さ を何 cm にすればよいか。また,そのときの紙の枚数を求めよ。
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Q.12
49 (1) (ア) {3,6,8} (イ) {1,2,3,6,8,9,10} (ウ) {2,4,5,7,9} (I) {1,10} (2) \bar{A}={x \mid x<-1,2<x, x は実数}, \bar{A} \cap B={x \mid 2<x<3, xは実数}
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Q.13
全体集合を , その部分集合を とする。 であるとき, , は,それぞれ次の(1~(3) のどの集合と一致するか。
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Q.14
次の集合を求めよ。
A={n | n は 12 の正の約数}, B={n | n は 18 の正の約数}, C={n | n は 7 以下の自然数}
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Q.15
2 つの集合 と のどちらにも属する要素全体 の集合を と の共通部分といい, と表す。また, 集合 と の少なくとも一方に属する要素全体の集合を と の和集合といい, と表す。
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Q.16
55 (1) x は正の数でない ( x は 0 以下の数である) (2) x=0 かつ y \neq 0 (3) x<0 または x \geqq 1 (4) x, y はともに無理数でない ( x, y はともに有理数である ) (5) m, n のうち少なくとも一方は 0 以下の数で ある (m \leqq 0 または n \leqq 0)
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Q.18
x の不等式 x^{2}+2 x-8>0, x^{2}-(a+3) x+3 a<0 を同時に満たす整数 x が 3 つあるとき, 定数 a の値の範囲を求めよ。
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Q.19
「 m または n が偶数ならば, m n は偶数である」 m が偶数のとき, m=2k ( k は整数)と表され mn = 2k • n = 2 • kn kn は整数であるから, m n は偶数である。 n が偶数のときも, 同様にして m n が偶数であることが示され る。よって,対偶は真である。したがって, もとの命題も真である。 ← q の対偶は 㥦耟 すべての整数は k を整数として, 次の (1) や (2) などで表される。
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Q.20
5 人の大人と 3 人の子どもが, 円形のテーブルの周りに座る。子どもどうし が隣り合わない座り方は全部で 何通りある。ただし,回転して一致する ものは同じ座り方とみなす。
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Q.21
次の数のうち,2,3,4,5,9の倍数をそれぞれ選べ。1012, 1050, 1521, 2055, 3224, 21102
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Q.23
次の方程式の整数解をすべて求めよ。\n(1) 12x - 11y = 0 \\n(2) 23x + 8y = 1 \
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Q.26
EX を満たす整数 で, となる \( (x, y) \) の個数は ¥( \square ¥) 個である。 ¥( ¥qquad ¥)\n[関西大] (1) とする。\n は(1)の整数解の 1 つである。\nよって\n\[3\cdot(-1)+5\cdot2=7\]\n(1)-(2) から\n\[3(x+1)+5(y-2)=0\]\nすなわち ¥( 3(x+1)=-5(y-2) ¥) \(¥qquad ¥)\n3 と 5 は互いに素であるから, 3 る。\nゆえに, ¥( k¥) を整数として, と表される。\nこれを (3) に代入して \nしたがって, ① のすべての整数解は\n¥[ \\begin{array}{lc}\nx=5k-1, & y=-3k+2 \(\\quad(k \\text{ は整数 }) ¥)\n\\100 \\leqq x+y \\leqq 200\\text{から }\n \\text{sなわち}\n \\frac{99}{2} \\leqq k \\leqq \\frac{199}{2} \\]¥\n ¥(\ the range for k \ is 50 to 99. Therefore, there are solutions.
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Q.28
3 つの集合の要素の個数\n(1) 全体集合 部分集合 について, 次の等式を証明せよ。\n\\[\n\\begin{aligned}\nn(A \\cup B \\cup C)=n & (A)+n(B)+n(C) \\\n& -n(A \\cap B)-n(B \\cap C)-n(C \\cap A)+n(A \\cap B \\cap C)\n\\end{aligned}\n\\]\n(2) 4 または 6 または 9 で割り切れる, 1000 以下の自然数の個数を求めよ。
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Q.29
次のような数は何通りあるか。5 個の数字 1 , 2,3,4,5 から異なる 3 個の数字を取って 3 桁の整数を作るとき, (1) 300 以上の数
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Q.32
次の数を 10 進法で表せ。\n(ア) 1010101_{(2)}\n(イ) 333_{(4)}\n(ウ) 175_{(8)}
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Q.33
集合 P = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\} について、次の要素が P に属するかどうか判断してください。\n\n(a) 2\n(b) 7\n(c) 10\n(d) 15
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Q.36
ある国ではこの数年間に石油の消費量が 1 年に ずつ増加している。このままの 状態で石油の消費量が増加し続けると,3年後には現在の消費量の約ア 倍になる。 また,石油の消費量が初めて現在の 10 倍以上になるのはイ 年後である。ただし, とし, には自然数を入れよ。\n[類 慶応大]
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Q.38
次の等差数列の一般項を求めよ。\n(ア) \n(イ) , \n(2) 第 9 項が 26 , 第 18 項が 53 である等差数列において, 134 はこの数列の第何項か。 また,第何項が初めて 1000 を超えるか。
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Q.41
この工場において、1日で作ることができる製品 P, Q の量の合計 x+y(kg) は, (x, y)= (トト, ナニ) のとき最大となり, そのとき, x+y= 又ネ である。 トト~ナニに当てはまる数をそれぞれ答えよ。
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Q.43
次の問いに答えよ。ただし,m は自然数とする。
(1) 10 以上 100 以下の自然数のうち,3 で割り切れるものの和を求めよ。
(2) 10 以上 3m 以下の自然数のうち,3 で割り切れるものの和が 3657 であるとする。このとき, m の値を求めよ。
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Q.45
点 の座標は \( \left(\frac{(-2) \cdot 8+3 \cdot 7}{3-2}, \frac{(-2) \cdot 1+3 \cdot 6}{3-2}\right) \)。 点 の座標は \( \left(\frac{2 \cdot 7+3 \cdot(-3)}{3+2}, \frac{2 \cdot 6+3 \cdot 1}{3+2}\right) \)。 よって、重心の座標を求めなさい。
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Q.46
次の条件によって定められる数列 の一般項を求めよ。
(1)
(2) \( \quad a_{1}=2, \quad n a_{n+1}=(n+1) a_{n}+1 \)
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Q.47
1 等差数列
A 10 数列 {a_n} は, 初項 a および公差 d が整数であるような等差数列であり,
8 ≤ a_2 ≤ 10, 14 ≤ a_4 ≤ 16, 19 ≤ a_5 ≤ 21
を満たしているとする。このような数列 {a_n} をすべて求めよ。
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Q.48
1 から順に自然数を並べて,下のように 1 個, 2 個,4個,…‥となるよ うに群に分ける。ただし,第 群が含む数の個数は 個である。\n1|2 , 3| 4 , 5 , 6,7 | 8, \cdots \cdots\n(1) 第 5 群の初めの数と終わりの数を求めよ。\n(2) 第 群に含まれる数の総和を求めよ。\n[類 京都産大] 重要 24
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Q.49
次の等式を証明せよ。
(1) ただし \( n \geqq 2,1 \leqq k \leqq n) \)
(2) (ただし \( \left.n \geqq 1\right) \)
(3) \( 2 \cdot 1 \cdot{ }_{n} \mathrm{C}_{2}+3 \cdot 2 \cdot{ }_{n} \mathrm{C}_{3}+\cdots \cdots+n(n-1)_{n} \mathrm{C}_{n}=n(n-1) 2^{n-2} \) (ただし \( \left.n \geqq 2\right) \)
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Q.52
次の数列が等比数列であるとき, その公比をいえ。また, に適する数を求めよ。\n(1) , \n(2) ...... ,
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Q.53
自然数 \( n(n \\geqq 2) \), 正の数 に対して,\n\\\frac{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}}{n} \\geqq \\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \\cdots \\cdots a_{n}}\\n(等号が成り立つのは のとき)\n例えば, のとき \\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3} \\geqq \\sqrt[3]{a_{1} \\alpha_{2} a_{3}} \\n\n=4 \\text { のとき } \\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4} \\geqq \\sqrt[4]{a_{1} \\alpha_{2} \\alpha_{3} \\alpha_{4}} \\text { となる。 }\
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Q.54
以下の項の初項と二項を求めよ: (1) (2) (3) \( a_{n}=-\frac{2}{3} \cdot\left(\frac{5}{3}\right)^{n-1}+1 \) (4) \( S_{n}=-\left(\frac{5}{3}\right)^{n}+n+1 \)
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Q.56
(1) は何桁の数で, 最高位の数字と末尾の数字は何か。\n\n\n\n\n(2) は小数第何位に初めて 0 以外の数字が現れるか。また,その数字は何か。\n\n
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Q.61
次の等比数列で, 公比は実数とする。指定されたものを求めよ。\n(1) 初項が -128 , 第 6 項が 4 のとき, 公比\n(2) 第 3 項が 72 , 第 6 項が 243 のとき, 初項と公比\n(3) 第 2 項が 6 , 第 6 項が のとき, 一般項
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Q.62
PRACTICE 137^{3} \\n関数 \( f(\\theta)=8 \\sqrt{3} \\cos^{2} \\theta + 6 \\sin \\theta \\cos \\theta + 2 \\sqrt{3} \\sin^{2} \\theta (0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi) \) の最大値と最小値を 求めよ。
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Q.63
次の定義を使って問題を解いてください: 定義: a が 2、m が 3 のとき、a^{-m} の値を求めてください。
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Q.65
EX初項 200 , 公差 -6 の等差数列の初項から第 項までの和を とする。 の最大値はア で, ③) そのときの 6 の値は である。 が初めて負になるときの の値はウ で,その ときの の値は である。
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Q.67
次の式を求めよ:\n16. (1) \frac{3}{(x-3)(x+3)}\n(2) \frac{3}{(a-1)(a+2)}
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Q.69
第 1 章 数列\n349\nn=7 k+5, \nn=13 l+11\nよって 7 k+5=13 l+11\nゆえに 7 k-13 l=6\nk=l=-1 は(1)の整数解の 1 つであるから, (1) は\n7(k+1)-13(l+1)=0 と変形できる。\nよって 7(k+1)=13(l+1)\n7 と13は互いに素であるから,mを整数としてk+1=13 m すなわち k=13 m-1 と表される。このときn=7 k+5=7(13 m-1)+5=91 m-2\n200 ≤ 91 m-2 ≤ 500 とすると 202/91 ≤ m ≤ 502/91を満たす整数m は3,4,5\nよって, 条件を満たす自然数は 3 個あり, その 3 個の自然数 の和は (91 * 3-2)+(91 * 4-2)+(91 * 5-2)=1086
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Q.70
校長先生の調査によると、全く読書をしなかった生徒は 36 人であり、同様の調査を図書委員会も行った。100 人の生徒を無作為に抽出したその調査における、全く読書をしなかった生徒の数を とする。以下の選択肢から正しいものを選べ。 \n\n選択肢: \n (0) は必ず 36 に等しい \n (1) は必ず 36 未満である \n (2) は必ず 36 より大きい \n (3) と 36 との大小はわからない
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Q.72
PR 1, 2, 3 の数字を記入した球が, それぞれ 1 個, 4 個, 5 個の計 10 個袋の中に入っている。これ 70 を母集団として, 次の問いに答えよ。\n(1)球に書かれている数字を変量 としたとき,母集団分布を示せ。\n(2) 母平均 , 母標準偏差 を求めよ。
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Q.79
次の数列の第 項を求めよ。また, 初項から第 項までの和を求めよ。(2) 19 (2) また,初項から第 項までの和を求めよ。
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Q.80
(1) \( a_{n}=2 n\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \)\n(2) \( a_{n}=\frac{n(3 n+1)}{2} \)
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Q.81
4 初項から第 10 項までの和が 100 ,初項から第 20 項までの和が 350 である等差数列の初項と公差を求めよ。また, この数列の, 第 21 項から第 30 項までの和を求めよ。
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Q.82
PR 1 から 100 までの整数について, 次の数の和を求めよ。\n(1) 5 で割って 2 余る数\n(2) 3 で割り切れない数\n(3) 3 の倍数または 5 の倍数
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Q.85
数学 \nEX \( a_{1}=1, a_{n+1}=\left(1+\frac{2}{n}\right) a_{n}(n \geqq 1) \) を満たす数列 がある。この数列の一般項を求めよ。\n[立命館大]
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Q.88
ある月に生まれた1対(オス1匹,メス1匹)のウサギは,生まれた月の翌々月か ら毎月 1 対の子どもを産み,新たに生まれた対のウサギも同様であるとする。この ように増えていくとき, 今月に生まれたばかりの 1 対のウサギから始めて, n か月後には何対のウサギになっているであろうか。\n\nこれは, 13 世紀の数学者フィボナッチが著書で取り上げた問題です。1 対のウサギを,右図のように○,○,口などと表し,月末ごとに何対になっているか 確認してみましょう。\n\n月末ごとのウサギの数 (何対か)を並べると\n1,1,2,3,5,8,13,21, \cdots \cdots\nとなります。この数列 {aₙ} をフィボナッチ数列といい, 漸化式で表すと\na₁=1, a₂=1, aₙ₊₂=aₙ₊₁+aₙ\nとなります。
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Q.92
次のように食塩水の操作を行う。
1. 容器 A から 20 g の食塩水を取り出し、容器 B に移す。
2. 次に、容器 B から 20 g の食塩水を取り出し、容器 A に戻す。
この操作を繰り返した場合、それぞれの操作後に容器 A および容器 B の食塩の量を求める漸化式を導出し、最終的に容器 A に含まれる食塩の量が一定の値以上になるまでの操作回数を求めよ。
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Q.93
数学 B\n(1) (i) \ a_{n+1}=3 a_{n}+8 \\n......11 とする。\n(1) を変形すると\n\\[\n\\begin{array}{l}\na_{n+1}+ア 4=3\\left(a_{n}+4\\right) \\quad \cdots \\cdots(1)^{\\prime} \\\np_{1}=a_{2}-a_{1}=\\{3 \\cdot(-2)+8\\}-(-2) \\\\n\\quad=\\uparrow 4\n\\end{array}\n\\]\n\nまた\n\\[\n\\begin{aligned}\np_{1} & =a_{2}-a_{1}=\\{3 \\cdot(-2)+8\\}-(-2) \\\n& =14\n\\end{aligned}\n\\]\n(1) でnの代わりに \ n+1 \ とおくと\n\\[\n\\begin{array}{ll}\n\\text { (2)-(1)から } & a_{n+2}=3 a_{n+1}+8 \\quad \\cdots \\cdots \\text { (2) } \\\n\\text { よって } & a_{n+2}-a_{n+1}=3\\left(a_{n+1}-a_{n}\\right) \\\np_{n+1}=\\eta_{n}\n\\end{array}\n\\]\n(ii) \<\ 解法 \1>\\cdots \\cdots \ 特性方程式を利用 \ a_{1}+4=-2+4=2 \ であるから, (1) より数列 \ \\left\\{a_{n}+4\\right\\} \ は初項 2 ,公比 3 の等比数列である。\n\\\text { よって } \\quad a_{n}+4=2 \\cdot 3^{n-1}\\nゆえに \ \\quad a_{n}= \ エ \2 \\cdot \ オ \3^{n-1}\-カ 4\n<解法 \2>\\cdots \\cdots \ 階差数列を利用\n数列 \ \\left\\{p_{n}\\right\\} \ は初項 4 , 公比 3 の等比数列であるから\n\p_{n}=4 \\cdot 3^{n-1}\\nゆえに, \ n \\geqq 2 \ のとき\n\\[\n\\begin{aligned}\na_{n} & =a_{1}+\\sum_{k=1}^{n-1} 4 \\cdot 3^{k-1} \\\n& =-2+\\frac{4\\left(3^{n-1}-1\\right)}{3-1} \\\n& =2 \\cdot 3^{n-1}-4 \\quad \\cdots \\cdots\n\\end{aligned}\n\\]\n\ n=1 \ とすると \ 2 \\cdot 3^{0}-4=-2 \\\n\ a_{1}=-2 \ であるから, (3) は \ n=1 \ のときにも成り立つ。\n\n参考 <解法 \2> \ で数列 \ \\left\\{p_{n}\\right\\} \ の一般項を求めた後は, 次のよう にして,数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めてもよい。\n\\n\\begin{\overlineray}{c}\np_{n}=4 \\cdot 3^{n-1} \\text { から } \\\na_{n+1}-a_{n}=4 \\cdot 3^{n-1} \\\na_{n+1}=3 a_{n}+8 \\text { を代入すると } \\\n3 a_{n}+8-a_{n}=4 \\cdot 3^{n-1} \\\n\\text { よって } \\quad a_{n}=2 \\cdot 3^{n-1}-4\n\\end{\overlineray}\n\
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Q.94
10 以上 以下の自然数のうち, 3 で割り切れるものの和が 3657 であるとする。このとき, の値を求めよ。
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Q.96
次の等式が についての恒等式となるように, 定数 の値を定めよ。\n(1) \( a(x-1)^{2}+b(x-1)+c=x^{2}+x \)
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Q.99
自然数の和 1+2+3+...+n=\sum_{k=1}^{n} k=\frac{1}{2} n(n+1) を証明してください。
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Q.00
53 (1) \( 27^{\frac{1}{3}}=\left(3^{3}\right)^{\frac{1}{3}}=3 \)
(2) \( 64^{\frac{2}{3}}=\left(4^{3}\right)^{\frac{2}{3}}=4^{2}=16 \)
(3) \( 81^{-\frac{3}{4}}=\left(3^{4}\right)^{-\frac{3}{4}}=3^{-3}=\frac{1}{3^{3}}=\frac{1}{27} \)
(4) \( 32^{0.2}=32^{\frac{1}{5}}=\left(2^{5}\right)^{\frac{1}{5}}=2 \)
(5) \( 0.04^{\frac{3}{2}}=\left(\frac{1}{25}\right)^{\frac{3}{2}}=\left\{\left(\frac{1}{5}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}=\left(\frac{1}{5}\right)^{3} \)
別解 \( 0.04^{\frac{3}{2}}=\left(0.2^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=0.2^{3}=0.008 \)
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Q.01
実数の大小関係 任意の 2 つの実数 a, b においては a>b, a=b, a<b のうち, どれか 1 つの関係だけが成り立つ。
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Q.03
n が 10 以上の自然数であるとき, 不等式 2^n > 10n^2 が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ。
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Q.04
(1) 大小関係の基本性質 1. a>b, b>c ⇒ a>c 2. a>b ⇒ a+c>b+c, a-c>b-c 3. a>b, c>0 ⇒ ac>bc, a/c>b/c - a>b, c<0 ⇒ ac<bc, a/c<b/c 更に a>0, b>0 ⇒ a+b>0 a>0, b>0 ⇒ ab>0
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Q.05
2. 次の等式を証明せよ。
(1) \[a^{4}+4b^{4}=(a+b)^{2}+b^{2})(a-b)^{2}+b^{2})\]
(2) \[\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-d^{2}\right)=(ac+bd)^{2}-(ad+bc)^{2}\]
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Q.09
PR\n(1) 和 \\( 1 \\cdot 1+4 \\cdot 2+7 \\cdot 2^{2}+\\cdots \\cdots+(3 n-2) \\cdot 2^{n-1} \\) を求めよ。\n22\n(2) 和 \ 1 \\cdot 5+2 \\cdot 5^{2}+3 \\cdot 5^{3}+\\cdots \\cdots+n \\cdot 5^{n} \ を求めよ。
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Q.10
5 相加平均と相乗平均の大小関係 (a+b)/2 を a と b の相加平均, a>0, b>0 のとき √(ab) を a と b の相乗平均という。 a>0, b>0 のとき (a+b)/2 ≥ √(ab) 等号が成り立つのは a=b のとき
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Q.12
次の数列の初項から第 n 項までの和を求めよ。
(1) \frac{2}{1 \cdot 3}, \frac{2}{3 \cdot 5}, \frac{2}{5 \cdot 7},
(2) \frac{1}{1 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 9}, \frac{1}{9 \cdot 13}
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Q.13
5 1 から 300 までのすべての整数を考える。(1) 3 で割り切れるが 9 では割り切れないものをすべて足し合わせた数を求めよ。
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Q.14
次の証明を行え:\n33 証明略(1) 等号は a=b=c=0 のとき成り立つ(2)等号は a=b=c>0 のとき成り立つ
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Q.15
次の証明を行え:\n29 略\n30 証明略(1) 等号は a=\frac{3}{2} のとき成り立つ(2) 等号は a d=b c のとき成り立つ
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Q.16
(2)a>0 とし, p を実数とする。座標平面上の曲線 y=f(x) と直線 y=p が 3 個 の共有点をもつような p の値の範囲は ウ <p< である。
p= のとき, 曲線 y=f(x) と直線 y=p は 2 個の共有点をもつ。それらの x 座標を q, r(q<r) とする。曲線 y=f(x) と直線 y=p が点 (r, p) で接する ことに注意すると
q= オカ a^{1/2},
r= a^{1/2}
と表せる。
ウ,
に当てはまるものを,次の解答群から1つずつ選べ。また, オカ に当てはまる数を答えよ。
工 の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
(0) 2sqrt{2}a^{3/2}+16
(1) -2sqrt{2}a^{3/2}+16
(2) 4sqrt{2}a^{3/2}+16
(3) -4sqrt{2}a^{3/2}+16
(4) 8sqrt{2}a^{3/2}+16
(5) -8sqrt{2}a^{3/2}+16
(3) 方程式 f(x)=0 の異なる実数解の個数を n とする。次の()~(5)のうち,正しい ものは ケ と コ である。
ケ, コ に当てはまるものを,次の解答群から1つずつ選べ。
ケ, コ解答群(解答の順序は問わない。)
(0) n=1 ならば a<0
(1) a<0 ならば n=1
(2) n=2 ならば a<0
(3) a<0 ならば n=2
(4) n=3 ならば a>0
(5) a>0 ならば n=3
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Q.18
2 4 つの整数 a, b, c, d (a < d) は, この順に等差数列をなしており, 4つの数の和は 32 である。また, bc = ad + 8 を満たしている。このとき, a の値を求めよ。
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Q.19
x>0 のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。また,等号が成り立つのはどのようなときか。
(1) x+\frac{4}{x} \geqq 4
(2) \left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{4}{x}\right) \geqq 9
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Q.21
銀行などから借りた金額を一定の期間をかけて定額で返済していく例について考えてみ よう。\n\n問題 今年の初めに年利率 の自動車ローンを 100 万円借りた。年末に一定額を返済し, 15 年で全額返済しようとする場合, 毎年返済する金額を求め よ。ただし, 1 年ごとの複利法で計算し, とする。\n〔類 東京農大〕
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Q.22
は整数とする。 2 次方程式 \( (3 a-4) x^{2}-2 a x+a=0 \) が整数解をもつとき, の値および,そのときの方程式の解をすべて求めよ。
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Q.23
(2) 求める総和は\n\[
\begin{aligned}
& \left(1+2+2^{2}+\cdots \cdots+2^{50}\right)\left(1+3+3^{2}+\cdots \cdots+3^{70}\right) \\
= & \frac{2^{51}-1}{2-1} \times \frac{3^{71}-1}{3-1}=\frac{\left(2^{51}-1\right)\left(3^{71}-1\right)}{2}
\end{aligned}
\]
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Q.24
(2)イ に当てはまるものを,次の(0~2)のうちから1つ選べ。
(0) a b=c d
(1) a c=b d
(2) a d=b c
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Q.25
この工場において,1日で作ることができる製品 の量の合計 \( x+y(\mathrm{~kg}) \) は, (x, y)=(\u30C6\u30C8, ナニ ) のとき最大となり, そのとき, \( x+y= \u30CC\u30CD である。 テト~ヌネ に当てはまる数をそれぞれ答えよ。
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Q.26
初項 77, 公差 -5 の等差数列 において
(1) 第何項から負の数となるか。
(2) 初項から第何項までの和が最大となるか。また,その最大値を求めよ。
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Q.29
次のような和を求めよ。\n(1) 等差数列 \\frac{1}{3}, \\frac{5}{3}, 3, \cdots \cdots, 27 の和\n(2) 初項 -6 , 公差 -8 の等差数列の初項から第 n 項までの和\n(3) 第 5 項が 2, 第 36 項が -60 の等差数列の第 19 項から第 51 項までの和
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Q.30
第1章 数列。連続する3つの整数の積として\( n(n+1)(n+2) \) を使って、 が3の倍数であることを証明せよ。
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Q.31
以下では, k, m は自然数とする。\n\na_{2 k-1}+a_{2 k} =(-1)^{2 k-1}(2 k-1)(2 k)+(-1)^{2 k}(2 k)(2 k+1) \n=- (2 k-1)(2 k)+2 k(2 k+1) \n=4 k\n\n[1] n=2 m のとき\nS_{2 m} = \\sum_{k=1}^{m}(a_{2 k-1}+a_{2 k})=\\sum_{k=1}^{m} 4 k = 4 \\sum_{k=1}^{m} k= 4 \\cdot \\frac{1}{2} m(m+1) = 2 m(m+1) \\ m=\\frac{n}{2} であるから S_{n}=2 \\cdot \\frac{n}{2}(\\frac{n}{2}+1)=\\frac{1}{2} n(n+2)\n\n[2] n=2 m-1 のとき a_{2 m}=(-1)^{2 m}(2 m)(2 m+1)=2 m(2 m+1), \\ \n text{[1] から } S_{2 m-1}=S_{2 m}-a_{2 m}=2 m(m+1)-2 m(2 m+1) = -2 m^{2}\n m=\\frac{n+1}{2} であるから S_{n}=-2(\\frac{n+1}{2})^{2}=-\\frac{1}{2}(n+1)^{2}\n [1], [2] から n が偶数のとき S_{n}=\\frac{1}{2} n(n+2)\n n が奇数のとき S_{n}=-\\frac{1}{2}(n+1)^{2}
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Q.32
PRすべての自然数 n に対して, 次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ。
45
1 \cdot 3+2 \cdot 4+3 \cdot 5+\cdots \cdots+n(n+2)=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+7)
この等式を (A) とする。
[1] n=1 のとき
( 左辺 )=1 \cdot 3=3, ( 右辺 )=\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot(1+1)(2 \cdot 1+7)=3
ゆえに, (A) は成り立つ。
[2] n=k のとき (A) が成り立つと仮定すると
1 \cdot 3+2 \cdot 4+3 \cdot 5+\cdots \cdots+k(k+2)=\frac{1}{6} k(k+1)(2 k+7)
n=k+1 のとき
1 \cdot 3+2 \cdot 4+3 \cdot 5+\cdots \cdots+k(k+2)+(k+1)(k+3)
=\frac{1}{6} k(k+1)(2 k+7)+(k+1)(k+3)
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Q.34
32\n(1) のときは成り立たない が,それ以外の場合は成り立つ\n(2) のときは成り立たない が、それ以外の場合は成り立つ
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Q.38
n は自然数とする。 2 数 x, y の和と積が整数ならば, x^{n}+y^{n} は整数であるこ とを数学的帰納法によって証明せよ。
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Q.39
次の数列について、a_{0} < a_{1} < a_{2} < a_{3}, a_{3} > a_{4} > a_{5} > ... > a_{12} となるkを求める。
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Q.40
等差数列の一般項\n(1)次の等差数列の一般項 を求めよ。\n(ア) ,\n(イ) 初項が -6 , 第 6 項が 14\n(2) 第 3 項が 70 , 第 8 項が 55 である等差数列 につて\n(ア)この数列の一般項を求めよ。\n(イ)19 は第何項か。また,第何項が初めて負の数になるか。
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Q.42
ある正の数 s に対し, (x, y) = (0, s) のみで利益が最大となる,という条件を考える。直線 (1), (5)の傾きの大小に注目する。 -a/3=-1/5 のときは,線分 y=-a/3 x+l/3, 0 ≤ x ≤ 10 上のすべて の点 (x, y) でlは最大となる。よって -a/3 ≠ -1/5
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Q.45
EX(1) 初項a \u2081がア ▢, 公比rが 呚(r>0)である等比数列{a \u2099}においては, a \u2082=2-√2, a \u2084=10-7√2である。
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Q.46
基本例題 41 重解・虚数解をもつ条件\n2 次方程式 \( x^{2}+(5-m) x-2 m+7=0 \) について\n(1) が整数のとき, 虚数解をもつような定数 の値を求めよ。\n(2)重解をもつような定数 の値と,そのときの重解を求めよ。
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Q.47
31\n(1) \( (a, b) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \)\n(2)
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Q.48
2つの正の数 が を満たすとき, 次の式の大小を比較せよ。\n\a+b, \quad a^{2}+b^{2}, \quad a b, \quad \sqrt{a}+\sqrt{b}\
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Q.49
次の計算をせよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \( (\\sqrt{3}+\\sqrt{-1})(1-\\sqrt{-3}) \)\n(6)
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Q.50
③ (1) 調和数列 の に当てはまる数を求めよ。\n(2) 第 5 項が , 第 9 項が であるような調和数列 の一般項を求めよ。
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Q.52
10 (1) 実部は3, 虚部は (2) から 実部は, 虚部は (3) から 実部は0, 虚部は4 (4) から 実部は, 虚部は0
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Q.53
初項 3, 公比 3 の等比数列 と、初項 5, 公差 4 の等差数列 に共通して含まれる数を小さいものから順に並べた数列を とすると, ア であり, の一般項は, \( \square (n=1,2,3, \cdots \cdots) \) である。[類 大阪工大]
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Q.54
EX 初項 , 公差 の等差数列 と, 初項 が整数で公比 が正の整数の等比数列 がある。 (313 \( c_{n}=2 a_{n}+3 b_{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) とするとき, であるとする。このとき, の值を求めよ。また, 数列 の一般項を求めよ。
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Q.55
PR 異なる3直線 x-y=1 (1), 2x+3y=1 (2), ax+by=1 (3) が1点で交わると81き, 3点(1,-1),(2,3),(a,b)は, 同じ直線上にあることを示せ。 (1), (2)を連立して解くと x=4/5, y=-1/5 よって, 2直線(1), (2)の交点の座標は (4/5,-1/5) この交点(4/5,-1/5)は直線(3)上にもあるから 4/5 a - 1/5 b = 1 ゆえに 4a - b = 5 また, 2点(1,-1),(2,3)を通る直線の方程式は y-(-1) = (3-(-1))/(2-1)(x-1) すなわち 4x - y = 5 (4) から, x=a, y=bは4x - y = 5を満たす。よって, 点(a,b)は, 直線4x - y=5上にある。したがって, 3点(1,-1),(2,3),(a,b)は, 同じ直線4x - y=5上にある。
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Q.56
次の証明を行え:\n27 証明略(3)等号は x=y=0 のとき成り立つ 28 証明略(1) 等号は a=0 のとき成り立つ(2) 等号は a=b のとき成り立つ
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Q.59
製品P, Q1 kg 当たりの利益はそれぞれ a 万円,3万円であるとする。このとき, 1 日当たりの利益について考える。ただし, a は正の数とする。(i) a=1 の場合, 利益を最大にする x, y は, (x, y)= (ノハ, ヒフ) である。(ii) への場合, 製品Pは作らず, 製品Q のみを作れるだけ作るときに限り利益が最大となり, そのときの利益の最大値はムミミ円である。 ノハ,ヒフ,ムミミに当てはまる数をそれぞれ答えよ。また, へ, ムに当てはまるものを次の0~のうちから1つずつ選べ。(0) 0<a<3/5 (1) 3/5<a<9/4 (2) 9/4<a<15/2 (3) a>15/2 (4) a=3/5 (5) a=9/4 (6) a=15/2
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Q.60
EX次の等式が成り立つことを証明せよ。 (3) 2nC0 + 2nC2 + 2nC4 + ⋯⋯ + 2nC2n = 2nC1 + 2nC3 + 2nC5 + ⋯⋯ + 2nC2n-1 = 2^{2n-1}
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Q.61
(3)ウに当てはまるものを, 次の0~3のうちから1つ選べ。
(0) f-e=d-c
(1) \( \log_{10}(f-e)=\log_{10}(d-c) \)
(2)
(3)
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Q.62
1から200までの整数のうち、次のような数の和を求めよ。
(1) 4で割って1余る数
(2) 4の倍数または6の倍数
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Q.67
a, b, x, y が正の数で a+b=1 のとき, \sqrt{a x+b y} \geqq a \sqrt{x}+b \sqrt{y} が成り立つことを示せ。また,等号が成り立つのはどのようなときか。 [愛知学院大]
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Q.68
123 つの数 \ \\sqrt[3]{\\frac{4}{9}}, \\sqrt[4]{\\frac{8}{27}}, \\sqrt[3]{\\frac{9}{16}} \ の大小を不等号を用いて表せ。
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Q.69
次の式の商と余りを求めよ:\n12. (1) (ア) 商 2 x+y, 余り 3 y^{2}\n(イ) 商 4 y-x, 余り 3 x^{2}\n(2) 商 2 x-3 y+4, 余り 0
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Q.72
数列 におて, 各項が 0 と異なり, その逆数を項とする数列 が等差数列を なすとき,もとの数列 を調和数列という。すなわち \( \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}=d \quad \text { (一定) }\)
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Q.75
(6)次の(あ)の等式を満たす x の値,および(い)と(う)の値を計算尺を用いて調べるとき,計算尺の用法として最も適当なものを,次の0~3のうちから1つずつ選べ。ただし,同じものを選んでもよい。
(あ)比例式 2.3: 4.2=3.1: x
(い) 商
(う)積 2.3 \Times 4.2
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Q.76
数列 \( \frac{1}{1 \cdot 4 \cdot 7}, \frac{1}{4 \cdot 7 \cdot 10}, \frac{1}{7 \cdot 10 \cdot 13}, \cdots \cdots, \frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)(3 n+4)} \) の和 を求めよ。
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Q.77
(1)等比数列 , の初項から第 項までの和を求めよ。 (2)等比数列 の第 11 項から第 15 項までの和を求めよ。
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Q.78
初項 77, 公差 -5 の等差数列 {a_{n}} において\n(1)第何項から負の数となるか。\n(2)初項から第何項までの和が最大となるか。また,その最大値を求めよ。
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Q.79
初項 1 の等差数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ と初項 1 の等比数列 \\left\\{b_{n}\\right\\} \ が a_{3}=b_{3}, a_{4}=b_{4}, a_{5} \\neq b_{5} \ を満たすとき, a_{2}, b_{2} \ の値を求めよ。
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Q.80
数列 が、 \( a_1 = 1, a_2 = 7, a_{n+2} = 2 \left( a_{n+1} + a_n \right) \) を満たすとき、 を 3 で割った余りを求めよ。
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Q.82
|a|<1,|b|<1,|c|<1 のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。(1) a b+1>a+b (2) a b c+2>a+b+c
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Q.84
4 (2) 商 余り 6\( \begin{array}{r} 3 x^{2}+6 x \) \frac{x+8}{6} \end{\overlineray}
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Q.85
次の条件を満たす f(x) と g(x) を作れ。\ns=3, t=3, p=-sqrt(3), q=sqrt(3)
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Q.86
348 数学 \( S_{n}=\frac{1}{2} n\{2 \cdot 200+(n-1) \cdot(-6)\}=n(-3 n+203) =-3 n^{2}+203 n =-3\left(n-\frac{203}{6}\right)^{2}+\frac{203^{2}}{12} よって, は が に最も近い自然数のとき, すなわち のとき最大となり, 最大値は \( S_{34}=34(-3 \cdot 34+203)={ }^{\top} 3434 \) また, とすると \( n(-3 n+203)<0 \) であるから ゆえに よって, は のときに初めて負になる。このとき \( S_{68}=68(-3 \cdot 68+203)=-68 \) 別解 の最大值は,次のようにして求めても よい。与えられた等差数列の一般項は 200+(n-1) \cdot(-6) =-6 n+206 である。 -6 n+206 \geqq 0 とすると n \leqq 34.3 \cdots \cdots よって, は のとき最大となり, 最大值は \( S_{34}= & \frac{1}{2} \cdot 34 & \times\{2 \cdot 200+33 \cdot(-6)\} = & 3434
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Q.88
次の数列の初項から第 n 項までの和を求めよ。
(2) 17
3, 33, 333, 3333,
第 k 項は 3 が k 個並ぶから、その値は
3+3・10+3・10^2+...+3・10^(k-2)+3・10^(k-1) = 3(10^k-1)/9 となる。
従って、求める和は
∑(k=1>n) 3(10^k-1)/9 = 1/3{10(10^n-1)/9-n} = 10^(n+1)/27-1/3 n-10/27
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Q.89
a は整数とする。2 次方程式 \( (3 a-4) x^{2}-2 a x+a=0 \) が整数解をもつとき, の値および, そのときの方程式の解をすべて求めよ。
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Q.90
数直線上に 3 点 \( \mathrm{A}(3), \mathrm{B}(-3), \mathrm{C}(5) \) がある。線分 を に内分する点を , 線分 を に外分する点を とするとき, 線分 を に内分する点の座標を求めよ。
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Q.92
数学 \\mathbb{I} \ EX \\quad x \ についての整式 \( P(x) \\) は, \( (x+1)^{2} \\) で割ると -x+4 \ 余り, \( (x-1)^{2} \\) で割ると 2 x+5 \ 余るとする。 (4) 54 (1) \( P(x) \\) を \( (x+1)(x-1) \\) で割ったときの余りを求めよ。
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Q.95
異なる数 について, 数列 は等差数列で, 数列 は等比数列であるとき, (2)10 で, 等比数列の公比はイ である。数列 が等差数列であるから\n\n数列 が等比数列であるから\n\[ (\sqrt{3})^{2}=a b \]\n(2) から \n(4)を(3)に代入して整理すると \nゆえに \( \quad(2 a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})=0 \)\nよって \n のとき, (4) から \nこれは 11満たす。\n のとき, (4)から \nこれは① を満たさない。したがって \nまた,等比数列 の公比は -2\n数列 が等差数列\n\n数列 が等比数列
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Q.96
PR 2 次方程式 が 2 つの整数解 をもつとき, の値を求めよ。\n451\n解と係数の関係により\n\[\\alpha+\\beta=-m \cdots \\cdots(1), \\quad \\alpha \\beta=m+2\n\](2) + (1) から \nゆえに \( \\quad (\\alpha + 1)(\\beta + 1) - 1 = 2 \)\nよって \( \\quad (\\alpha + 1)(\\beta + 1) = 3 \)\n\ a \\leqq \\beta \ とすると \n は整数であるから\n\[\\\alpha+1, \\beta+1\\\=(1,3),(-3,-1)\n\]\nゆえに \( \\quad (\\alpha, \\beta)\\=(0,2),(-4,-2)\n(1)より, m=-\\(\\alpha+\\beta\ \) であるから \ninf. のとき 解は \n\ m=6\ のとき 解は \n
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Q.99
EX 2 次方程式 について, 次の条件を満たすような定数 の範囲を求めよ。\n(1) 1 より大きい解と小さい解をもつ\n(2) すべての解が 2 以上である
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Q.00
次の数列はどのような規則で作られているかを考え, その規則にもとづいて, それぞ れ第 20 項を求めよ。
(1)
(2)
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Q.01
EX次を証明せよ。\n(1) で が 2 以上の自然数のとき \( (1+h)^{n}>1+n h \) である。\n(2) が 2 以上の自然数のとき \( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}>2 \) である。\n(3) が 6 以上の自然数のとき \( \left(\frac{n}{2}\right)^{n}>n \) ! である。\n[東北学院大]
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Q.03
EX の 2 次方程式 \( x^{2}-(k+4) x+2 k+10=0 \) の 2 つの解が, ともに整数であるような整数 の値 447をすべて求めよ。\n2 次方程式 \( x^{2}-(k+4) x+2 k+10=0 \) の 2 つの解を \( (\alpha \leqq \beta) \) とすると, 解と係数の関係から\n\n\nkを消去すると \( \quad \alpha \beta=2(\alpha+\beta-4)+10 \)\nよって \( \quad \alpha \beta-2(\alpha+\beta)=2 \)\nしたがって \( \quad(\alpha-2)(\beta-2)=6 \)\n は を満たす整数であるから, は を満たす整数である。\nよって, (1) を満たす の組は\n\n\( (\alpha-2, \beta-2)= & (-6,-1),(-3,-2), \\\n & (1,6),(2,3) \)\n\nゆえに \( (\alpha, \beta)=(-4,1),(-1,0),(3,8),(4,5) \) であるから \n別解 \( x^{2}-(k+4) x+2 k+10=0 \) を解くと\n\n\n\nよって, が整数であるためには が平方数であることが必要である。\n\( k^{2}-24=m^{2}(m \geqq 0) \) とすると \( \quad(k+m)(k-m)=24 \)\n かつ \( (k+m)-(k-m)=2 m \) (偶数) であるから \( (k+m, k-m)=(12,2),(6,4) \), \( (-4,-6),(-2,-12) \) ゆえに
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Q.04
数列 は初項 1 , 公比 5 の等比数列である。 を満 たす最小の を求めよ。ただし, とする。\n[学習院大]
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Q.05
すべての自然数 n について x^{n}+\frac{1}{x^{n}} は t=x+\frac{1}{x} の n 次式になること を数学的帰納法によって証明せよ。
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Q.06
次の条件によって定められる数列 の一般項を求めよ。\n(1) \n(2) \n(1)漸化式は次のように変形できる。\n \( \begin{array}{l} a_{n+2}-2 a_{n+1}=-3\left(a_{n+1}-2 a_{n}\right) \\ a_{n+2}+3 a_{n+1}=2\left(a_{n+1}+3 a_{n}\right) \end{array} \)\n(1)より, 数列 \left\{a_{n+1}-2 a_{n}\right\} は初項 \( a_{2}-2 a_{1}=3-2 \cdot 1=1 , 公比 -3 の等比数列であるから\n \( a_{n+1}-2 a_{n}=(-3)^{n-1} \)\n(2) より, 数列 \left\{a_{n+1}+3 a_{n}\right\} は初項 \( a_{2}+3 a_{1}=3+3 \cdot 1=6 , 公比 2 の等比数列であるから\n
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Q.08
オ, カ に当てはまる最も適当なものを, 次の()~3のうちから1つずつ 選べ。ただし,同じものを選んでもよい。\n()向かい合った目盛りの和が一定\n(1) 向かい合った目盛りの差が一定\n(2) 向かい合った目盛りの積が一定\n(3) 向かい合った目盛りの比が一定
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Q.10
1. \ { }_{n} \\mathbf{C}_{r}={ }_{n} \\mathbf{C}_{n-r} \
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Q.16
基 本 例題 18 第 項に を含む数列の和\n次の数列の和を求めよ。\n\\[\n1 \\cdot(n+1), 2 \\cdot n, 3 \\cdot(n-1), \\cdots \\cdots,(n-1) \\cdot 3, n \\cdot 2\n\\]
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Q.18
初項 51 , 公差 -4 の等差数列 において
(1) 第何項から負の数となるか。
(2) 初項から第何項までの和が最大となるか。また,その最大値を求めよ。
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Q.20
(6)次の(あ)の等式を満たす x の値,および(い)と(う)の値を計算尺を用いて調べるとき, 計算尺の用法として最も適当なものを, 次の()6のうちから1つずつ選べ。ただし,同じものを選んでもよい。\n(あ)比例式 2.3: 4.2=3.1: x\n(い) 商 \n(う)積 2.3 x 4.2
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Q.22
第1 章 数列\nEX数列 \ \left\\{a_{n}\right\\} \ が \\( , a_{1}=1, a_{2}=7, a_{n+2}=2\\left(a_{n+1}+a_{n}\\right) \\) を満たすとき, \ a_{n} \ を 3 で割った余りを求めよ。
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Q.24
PRACTICE\n次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。ただし, \ n \ は自然数と する。\n(1) \ x \\geqq 0, \\quad y \\geqq 0, x+3 y \\leqq 3 n \\n(2) \ 0 \\leqq x \\leqq n, \\quad y \\geqq x^{2}, \\quad y \\leqq 2 x^{2} \
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Q.26
PRACTICE (2) 実数 を公比とする等比数列 \( a_{n}=a r^{n-1}(n=1,2, \cdots) \) において, 初項か ら第 5 項までの和は 16 で, 第 6 項から第 10 項までの和は 144 である。このとき,第 11 項から第 20 項までの和を求めよ。
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Q.27
(4) 自転車の総数を 20 台とする。拠点 の最大収容数を 8 台としたとき, 何日後 かにAの最大収容数を超えることがあるか。
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Q.28
2 (1) 符号を無視すると, 奇数の数列。 また,奇数項は正,偶数項は負。ゆえに,第 20 項の奇数は , 符号は負。よって -39\ninf. 一般項は \( (2 n-1) \cdot(-1)^{n-1} \)\n(2) であるから, 分母が奇数の数列,分子が偶数の数列である。ゆえに,第 20 項は \ninf. 一般項は
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Q.29
240\n国国国列題 150 指数閉数の最大・最小 (2)\n について\n(1) とおいて, を の式で表せ。\n(2) の最小値と,そのときの の値を求めよ。\n基本 144,149\nC. HART & SOLUTION\n の関数の最大・最小\nおき換え で の関数へ変域に注意……1\n(1) \( x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2 x y \) を利用して, を で表す。\n(2) の変域は, であるから, (相加平均) 相乗平均)を利用して求めるこ とができる。 は の 2 次式で表され, 2 次関数の最大・最小の問題に帰着。
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Q.30
3次方程式 x^{3}-3x-2-a=0 の異なる実数解の個数が、定数 a の値によってどのように変わるかを調べよ。
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Q.31
168 (1) は何析の数で, 最高位の数字と末尾の数字は何か。\n[立命館大](2) は小数第何位に初めて 0 以外の数字が現れるか。また,その数字は何か。\n[慶応大]\n(1)\n\\[ \n\\begin{array}{l} \n\\log _{10} 18^{18}=18 \\log _{10}\\left(2 \\cdot 3^{2}\\right)=18\\left(\\log _{10} 2+2 \\log _{10} 3\\right) \n=18(0.3010+2 \times 0.4771)=22.5936 \n\\text { よって } 22<\\log _{10} 18^{18}<23 \\text { ゆえに } 10^{22}<18^{18}<10^{23} \\text { したがって, } 18^{18} は 23 桁の数である。 \\log _{10} 18^{18}=22.5936=22+0.5936 \\text { ここで, } \\log _{10} 3=0.4771, \\log _{10} 4=2 \\log _{10} 2=0.6020 \\text { から } \\n
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Q.33
次の値を求めよ:\n5. \frac{1}{2^{n}} \n6. (1) 12\n(2) 6\n7. -7510\n8. (1) 20\n(2) -126\n9. (1) 771\n(2) 1\n
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Q.34
群数列では次のような規則性に注目することがポイントです。
1. もとの数列の規則, 群の分け方の規則
2. 群数列の第 n 群について, その最初の項, 項数などの規則
例題 23 について, 詳しくみていきましょう。
群数列の様子を整理し,規則性を把握する
各群と,その群に含まれる数の個数は次のようになる。
上のような模式図をかいて, 群数列の規則性を把握することが大切である。群数列の第 k 群に着目すると, 第 k 群は 2^{k-1} 個の数を含むから, 第 1 群から第 (n-1) 群の末項までに, 1+2+4+⋯+2^{n-2}=2^{n-1}-1 (個) ← 初項 1 , 公比 2 , 項数 (n-1) の等比数列の和 の数を含むことがわかる。第 n 群の初めの数は, もとの数列の第 (n-1) 群の末項までの項数 +1 番目の数, すなわち, (2^{n-1}-1)+1=2^{n-1} 番目の自然数である。
解答するときは, 第 (n-1) 群までの項数を利用するから, n ≥ 2 のときという条件を つけ, n=1 のときの処理も忘れないようにしよう。
第 n 群をひとつの数列として考える
もとの数列が自然数の列, すなわち等差数列であるから, 第 n 群も等差数列となる。第 n 群の初項は上で求めた通り 2^{n-1}, 公差は 1 , 項数は 2^{n-1} であるから, 次の等差数列の和の公式から求めればよい。
(1/2) n{2a+(n-1)d} ← n: 項数, a : 初項, d : 公差
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Q.37
(5)オ, カ に当てはまる最も適当なものを, 次の0~3のうちから1つずつ選べ。た だし, 同じものを選んでもよい。
(0) 向かい合った目盛りの和が一定
(1)向かい合った目盛りの差が一定
(2) 向かい合った目盛りの積が一定
(3) 向かい合った目盛りの比が一定
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Q.38
EX a, b を 0 でない実数とする。下の(1), (2)の等式は a>0, b>0 の場合には成り立つが, それ以 外の場合はどうか。次の各場合に分けて調べよ。
[1] a>0, b<0
[2] a<0, b>0
[3] a<0, b<0
(1) √a √b=√ab
(2) √a/√b=√(a/b)
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Q.39
3 各項の逆数を項とする数列が等差数列をなす数列を, 調和数列という。(1) 調和数列 30,20,,…… の に当てはまる数を求めよ。(2) 第5項が 1/3, 第9項が 1/5 であるような調和数列 {a_n} の一般項を求めよ。
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Q.40
1から100までの整数について、次の数の和を求めよ。
(1) 5で割って2余る数
(2) 3で割り切れない数
(3) 3の倍数または5の倍数
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Q.41
数列 \\( a_{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \\) の各項 \ a_{n} \ は自然数であり, また, \ m<n \ ならば \ a_{m}<a_{n} \ がすべての自然数 \ m, n \ に対して成り立つとする。このとき, \ n \\leqq a_{n} \ がすべての自然数 \ n \ について成り 立つことを示せ。
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Q.43
数列 a_n の初項から第 n 項までの和 S_n が S_n =3/4 n(n+3)(n=1,2,3 ...) と表されている。
(1)a_n を求めよ。
(2)∑(k=1>n) k a_k が3の倍数となることを証明せよ。
(1)a_1 = S_1 = 3/4・1・4=3
n≧ 2のときa_n =S_n -S_(n-1) = 3/4・n(n+3) -3/4(n-1)(n+2) = 3/2(n+1)
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Q.44
数列 が \( a_{1}=1, a_{n+1}=\left(1+\frac{2}{n}\right) a_{n} (n \geqq 1) \) を満たす。この数列の一般項を求めよ。
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Q.47
問1 数列 は (1) ,\n(2) 等比数列 のパターン 数列 の一般項を,次の方針1 または方針2を用いて求める。\n\n方針 1 : (1) の両辺を で割り, とおく。\n方針 2 : (1) の両辺を で割り, とおく。\n(1)方針 1 を用いて, 数列 の一般項を求めよ。\n(2)方針2を用いて,数列 の一般項を求めよ。\n(3)(1)または(2)の結果から, 数列 の一般項を求めよ。
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Q.49
次の数列の初項から第 n 項までの和を求めよ。\n(2) 17 (1) 3^{2}, 6^{2}, 9^{2}, 12^{2}, \cdots \cdots (2) 1 \\cdot 5,2 \\cdot 7,3 \\cdot 9,4 \\cdot 11, \cdots \cdots (3) 2,2+4,2+4+6,2+4+6+8, \cdots \cdots
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Q.53
次の不等式が成り立つことを証明せよ。また, 等号が成り立つ のはどのようなときか。 (1) (2) \( \sqrt{2(a+b)} \geqq \sqrt{a} + \sqrt{b} \)
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Q.54
(3)最初,容器 A,Bの食塩水に含まれる食塩の量はそれぞれ 5 \mathrm{~g} , 20 \mathrm{~g} である。1 回目の【操作 Q 】における [1] で, 容器 Aから取り出す 20 \mathrm{~g} の 食塩水に含まれる食塩の量は 5 \times \frac{20}{100} = 1(\mathrm{~g}) よって,1 回目の【操作 Q 】における [2] で,容器 B から取り出す 20 \mathrm{~g} の食塩水に含まれる食塩の量は (20+1) \times \frac{20}{120} = 3.5(\mathrm{~g}) ゆえに, 【操作 Q 】を 1 回行った後, 容器 A に含まれる食塩の量は?
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Q.55
初項 3, 公比 2 の等比数列において, 初めて 1000 を超えるのは第何項 か。また,初項からの和が初めて 10000 を超えるのは第何項までの和か。
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Q.56
(2) (1) の各辺を 2 で割ると
ここで, を整数とすると のとき
のとき
\[
\begin{array}{l}
\frac{\pi}{4}+(2 k+1) \pi=\frac{\pi}{4}+2 k \pi+\pi=\frac{5}{4} \pi+2 k \pi \\
\frac{\pi}{2}+(2 k+1) \pi=\frac{\pi}{2}+2 k \pi+\pi=\frac{3}{2} \pi+2 k \pi
\end{array}
\]
となるから
よって, は,第 1 象限または第 3 象限の角になりうる。
(3) の各辺を 3 で割ると
ここで, を整数とすると のとき
のとき
\[
\begin{array}{l}
\frac{\pi}{6}+\frac{2(3 k+1)}{3} \pi=\frac{\pi}{6}+2 k \pi+\frac{2}{3} \pi=\frac{5}{6} \pi+2 k \pi \\
\frac{\pi}{3}+\frac{2(3 k+1)}{3} \pi=\frac{\pi}{3}+2 k \pi+\frac{2}{3} \pi=\pi+2 k \pi
\end{array}
\]
となるから
のとき
\[
\begin{array}{l}
\frac{\pi}{6}+\frac{2(3 k+2)}{3} \pi=\frac{\pi}{6}+2 k \pi+\frac{4}{3} \pi=\frac{3}{2} \pi+2 k \pi \\
\frac{\pi}{3}+\frac{2(3 k+2)}{3} \pi=\frac{\pi}{3}+2 k \pi+\frac{4}{3} \pi=\frac{5}{3} \pi+2 k \pi
\end{array}
\]
となるから
よって, は,第 1 象限または第 2 象限または第 4 象限の角 になりうる。左の不等式から直ちに は第 1 象限の角と答 えると誤り!
第 1 象限にある。
第 1 象限にある。
第 2 象限にある。
き第 4 象限にある。
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Q.57
次の等比数列の初項から第 10 項までの和を求めよ。\n(1)初項 -1 , 公比 2\n(2)初項 3, 公比 1
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Q.59
平方数の和 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) を証明してください。
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Q.60
任意の自然数 に対して, 次の等式, 不等式が成り立つことを, 数学的帰納法によって証明せよ。 (1) \( (n+1)(n+2)(n+3) \cdots \cdots(2 n)=2^{n} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdots \cdots \cdot(2 n-1) \)
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Q.61
相加平均・相乗平均や多項式の割り算の問題
Q1 (1) (a+1/b)(b+9/a)=ab+9+1+9/ab = ab+9/ab+10
a>0, b>0 より ab>0, 9/ab>0 であるから, 相加平均と相乗平均の大小関係により
ab+9/ab ≧ 2√(ab ⋅ 9/ab) = 2 ⋅ 3 = 6
ゆえに ab+9/ab+10 ≧ 16
等号が成り立つのは ab=9/ab かつ ab>0 すなわち ab=3 のとき。
よって, ab=3 で最小値 16 をとる。
(2) t=3^x+9^y=3^x+(3^2)^y=3^x+3^(2y)
3^x>0,3^(2y)>0 であるから, 相加平均と相乗平均の大小関係により
t=3^x+3^(2y) ≧ 2√(3^x ⋅ 3^(2y)) = 2√(3^(x+2y))
x+2y=2 から
t ≧ 2√(3^2) = 6
等号が成り立つのは 3^x=3^(2y) かつ x+2y=2 のとき。
このとき, x=2y かつ x+2y=2 から
x=1, y=1/2
よって, t は x=1, y=1/2 で最小値 6 を とる。
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Q.64
PRACTICE \ 51^{\\circ} \ 2 次方程式 \ x^{2}+m x+m+2=0 \ が 2 つの整数解 \ \\alpha, \\beta \ をもつとき, \ m \ の値を求めよ。 [類 早稲田大]
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Q.67
次のような和を求めよ。\n(1) 等差数列 の和\n(2) 初項 -6, 公差 -8 の等差数列の初項から第 項までの和\n(3) 第 5 項が 2、第 36 項が -60 の等差数列の第 19 項から第 51 項までの和を求めよ。
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Q.68
498\n問題に挑戦\n2 3 種類の材料 から 2 種類の製品 を作っている工場がある。製品 を 作るには,材料 A,B,Cをそれぞれ 必要とし,製品Qを 作るには,材料 A,B,C をそれぞれ 必要とする。 また,1日に仕入れることができる材料 A,B,Cの量の上限はそれぞれ , である。\nこの工場で 1 日に製品 を ,製品 を 作るとするとき,次の問いに答えよ。 ただし, とする。\n(1) が満たすべき条件について考える。\nである。\nアイ~タチツに当てはまる数をそれぞれ答えよ。
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Q.69
518
問題に挑戦
1 太郎さんと花子さんは, 数列の漸化式に関する[問題A], [問題B]について話して いる。2人の会話を読んで,1<wide>(3)の問いに答えよ。
[問題 A] 次のように定められた数列 の一般項を求めよ。
\[ a_{1}=-2, \quad a_{n+1}=3 a_{n}+8 \quad(n=1,2,3, \cdots \cdots) \]
太郎 : を ア ア \( ) \) と変形すれば, 等比数列 に結びつけることができて, 一般項を求められるね。
花子:階差数列を考える方法もあるよ。数列 の階差数列 を,
\[ p_{n}=a_{n+1}-a_{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \]
とすると, イ, ウ となるね。
太郎:そうだね。これで数列 の一般項を導くことができるから,数列 の一般項も求められるね。
(1) (i) ア 〜 に当てはまる数を答えよ。
(ii) 数列 の一般項は, エ. オ カ である。
エ~カに当てはまる数を答えよ。
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Q.71
初項 , 公差 , 末項 , 項数 の等差数列の和を とする。\(S_{n}=\frac{1}{2} n(a+l) \)
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Q.72
(3) 実数の平方 7. a^2 ≥ 0 等号が成り立つのは a=0 のとき 8. a^2 + b^2 ≥ 0 等号が成り立つのは a=b=0 のとき
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Q.74
第 1 章 数列
341
Y_{n+1} が 3 で割り切れるのは,
[1] Y_{n} が 3 で割り切れ, x_{n+1}=3 となる
[2] Y_{n} が 3 で割ると 1 余る数で, x_{n+1}=2,5 となる
[3] Y_{n} が 3 で割ると 2 余る数で, x_{n+1}=1,4 となる
の 3 通りの場合があり, これらは互いに排反である。
よって a_{n+1}=a_{n} \times \frac{1}{5}+b_{n} \times \frac{2}{5}+c_{n} \times \frac{2}{5}
ここで, Y_{n} は「3 で割り切れる」, 「3 で割って 1 余る」, 「3 で割 って2余る」のいずれかであるから
a_{n}+b_{n}+c_{n}=1
ゆえに a_{n+1}=\frac{1}{5} a_{n}+\frac{2}{5}\left(b_{n}+c_{n}\right)
=\frac{1}{5} a_{n}+\frac{2}{5}\left(1-a_{n}\right)
=-\frac{1}{5} a_{n}+\frac{2}{5}
よって a_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{5}\left(a_{n}-\frac{1}{3}\right)
また a_{1}-\frac{1}{3}=\frac{1}{5}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{15}
ゆえに, 数列 \left\{a_{n}-\frac{1}{3}\right\} は初項 -\frac{2}{15}, 公比 -\frac{1}{5} の等比数列で あるから a_{n}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{15}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}
したがって a_{n}=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n}+\frac{1}{3}
1章 \square
PR
\nLeftarrow a_{n+1} を a_{n} で表す。
\hookleftarrow \alpha=-\frac{1}{5} \alpha+\frac{2}{5} を解 くと \alpha=\frac{1}{3}
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Q.77
対偶を考えることにより,次の命題を証明せよ。ただし, は整数とする。 が奇数ならば, のうち奇数の個数は 1 個また は 2 個である。
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Q.79
63 (1) a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{2} のとき最小値 \frac{1}{4} (2) x=2, y=1 のとき最小值 12
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Q.80
共通部分, 和集合\n共通部分 ( A \\cap B ) はAとBのどちらにも属する要素全体の集合。和 集 合 ( A \\cup B ) はAとBの少なくとも一方に属する要素全体の集合。
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Q.82
61 から 49 までの自然数からなる集合を全体集合 とする。 の要素のうち, 50 と の最大公約数が 1 より大きいもの全体からなる集合を , また, の要素のうち,偶数であるもの全体からなる集合を とする。いま と は 部分集合で,次の2つの条件を満たすとするとき,集合 の要素をすべて求めよ。\n(i) \n(ii)
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Q.83
1 から 1000 までの整数全体の集合を全体集合 とし, その部分集合 , を とする。このとき, であることを示せ。
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Q.84
65
例題 33 不等式の性質と式の値の範囲 (2)
(1) 10010
x, y を正の数とする。 x, 3 x+2 y を小数第 1 位で四捨五入すると,それぞれ 6 , 21 になるという。
(1) x の値の範囲を求めよ。
(2) y の値の範囲を求めよ。
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Q.85
1から1000までの整数全体の集合 U に対し、次の条件を満たす集合 A, B, C を定義する。\nA = {n | n は奇数, n ∈ U}\nB = {n | n は 3 の倍数でない, n ∈ U}\nC = {n | n は 18 の倍数でない, n ∈ U}\nこのとき、A ∪ B ⊂ C であることを証明しなさい。
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Q.88
次の命題 (A), (B) を両方満たす,5個の互いに異なる実数は存在しないことを証明せよ。\n④7 (A) 5 個の数のうち, どの 1 つを選んでも残りの 4 個の数の和よりも小さい。\n(B) 5 個の数のうち任意に 2 個選ぶ。この 2 個の数を比較して大きい方の数は, 小さい方の数の 2 倍より大きい。
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Q.90
EX を自然数全体の集合とする。\n36 (1) 「1 は の要素である」を, 集合の記号を用いて表せ。\n(2) 「1 のみを要素にもつ集合は, の部分集合である」を,集合の記号を用いて表せ。
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Q.91
59 (1) x=0 で最小値 -1 ; x=\frac{2+2 \sqrt{6}}{5} で最大値 \frac{2+2 \sqrt{6}}{5} (2) (p, q)=\left(-1, \frac{1}{4}\right),\left(-1, \frac{2+2 \sqrt{6}}{5}\right)
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Q.93
総合 実数 aに対して, a 以下の最大の整数を [a] で表す。
(1) a と b が実数のとき, a ≤ b ならば [a] ≤ [b] であることを示せ。
(2)nを自然数とするとき, [√n] = √n であるための必要十分条件は, n が平方数であることを示せ。ただし,平方数とは整数の2乗である数をいう。
(3)nを自然数とするとき, [√n]-[√n-1] = 1 となるための必要十分条件は, n が平方数であることを示せ。
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Q.95
9 (1) \\( \\sqrt{9 + 4 \\sqrt{5}} x + (1 + 3 \\sqrt{5}) y = 8 + 9 \\sqrt{5} \\) を満たす整数 , の組を求めよ。\n(2) 正の整数 \ x, y\ について \ \\sqrt{12 - \\sqrt{x}} = y - \\sqrt{3} \ が成り立つとき, \ x= \ ア \ \\square \ , \ y= \ イ \ \\square \ である。
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Q.96
数学 I (2) a<0 のとき, f(x) の最大値が 3 であるとすると -a=3 よって a=-3 これは a<0 を満たす。 0 ≤ a ≤ 10 のとき, f(x) の最大値が 3 であるとすると
rac{a^{2}}{4}-a=3
よって a^{2}-4 a-12=0 ゆえに (a+2)(a-6)=0 0 ≤ a ≤ 10 であるから a=6 の場合ごとに、求めた最大値(aの式)を=3とおいた方程 式を解く。なお a の値を求めた後、場合分けの条件を満たしているかどうかの確認を忘れずに。 10<a のとき, f(x) の最大値が 3 であるとすると
よって a=7 これは 10<a を満たさず,不適。 求める a の値は a=-3,6
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Q.97
受験者数が 100 人の試験が実施され, この試験を受験した智子さんの得点は 84 (点)であった。また, この試験の得点の平均値は 60 (点) であった。なお, 得点の平均値が (点), 標準偏差が (点) である試験において, 得点が (点) である受験者の偏差値は \( 50+\frac{10(x-m)}{s} \) となることを用いてよい。(1)智子さんの偏差値は 62 であった。したがって, 100 人の受験者の得点の標準偏差はア (点) である。(2)この試験において, 得点が (点) である受験者の偏差値が 65 以上であるための必要十分条件は である。(3)後日,この試験を新たに 50 人が受験し,受験者数は合計で 150 人となった。その結果, 試験の得点の平均値が 62 (点) となり, 智子さんの偏差値は 60 となった。したがって, 150 人の受験者の得点の標準偏差はウ (点) である。また,新たに受験した 50 人の受験者の得点について,平均値はエ (点) であり, 標準偏差は才吅 (点) である。
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Q.98
第2章 集合と命題\n6 命題と条件\n問題\n次の命題の真偽を判断せよ。\n(a) すべての偶数は2で割り切れる。\n(b) すべての奇数は2で割り切れる。
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Q.99
次の命題について、否定の命題が真か偽かも答えなさい。\n(1) 否定:すべての自然数 n について n^2 - 5n - 6 ≠ 0 偽 もとの命題は真\n(2) 否定:ある実数 x, y について 9x^2 - 12xy + 4y^2 ≤ 0 真 もとの命題は偽\n(3) 否定:すべての自然数 m, n について 2m + 3n ≠ 6 真 もとの命題は偽
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Q.00
次の和集合と交集合を求めなさい。\nA={1,2,3,4,5}\nB={-2,0,2,4,6}\nA ∩ B, A ∪ B, \overline{A} ∩ B
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Q.01
EX (1) 家から駅までの距離は 1.5 km である。最初毎分 60 m で歩き, 途中から毎分 180 m で走る。12 分以内で駅に着くためには, 最初に歩く距離を何 m 以内にすればよいか。
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Q.02
空集合\n空 集 合 ( \\varnothing ) 要素を 1 つももたない集合。任意の集合 ( A ) について ( \\varnothing \subset A ) と約束する。
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Q.04
[a] は実数 a を超えない最大の整数を表すものとする。 (4) 70 (1) の値を求めよ。 (2) \( y=-[x](-3 ≤ x ≤ 2) \) のグラフをかけ。 (3) \( y=x+2[x](-2 ≤ x ≤ 2) \) のグラフをかけ。
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Q.05
縵習 \ \\mathrm{AB}=x, \\mathrm{BC}=x-3, \\mathrm{CA}=x+3 \ である \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ がある。[類 久留米大]\n(1) \ x \ のとりうる値の範囲を求めよ。\n(2) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ が鋭角三角形であるとき, \ x \ の値の範囲を求めよ。\n\ \\underline{\\text { p. } 263 \\text { EX } 113>} \
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Q.06
次のデータは 10 人の生徒のある教科のテストの得点である。ただし, の値は正の整数である。 (単位は点) の値がわからないとき, このデータの中央値として何通りの値がありうるか。
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Q.07
点 (2x-3,-3x+5) が第2象限にあるように, x の値の範囲を定めよ。また, x がどのような値であってもこの点が存在しない象限をいえ。
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Q.08
兄弟合わせて 52 本の鉛筆を持っている。今,兄が弟に自分が持っている鉛筆のちょうど をあげてもまだ兄の方が多く, 更に 3 本あげると弟の方が多くなる。兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求めよ。
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Q.09
2つの集合 , は 4 未満の自然数 は 6 の正の約数 について, 次の の中に, ⊆, ⊂, =のうち, 最も適するものを書き入れよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ)
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Q.10
家から駅までの距離は1.5kmである。最初毎分60mで歩き, 途中から毎分 180m で走る。家を出発してから12分以内で駅に着くためには、最初に歩く距離を何m以内にすればよいか。
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Q.13
(2) 5 % の食塩水と 8 % の食塩水がある。5 % の食塩水 800 g と 8 % の食塩水を何 g か混ぜ合わせて 6 % 以上 6.5 % 以下の食塩水を作りたい。8 % の食塩水を何 g 以上何 g 以下混ぜればよいか。
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Q.14
2 つの変量 の 10 個のデータ \( \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{10}, y_{10}\right) \) が与えられており, これらのデータから , , が得られている。また, 2 つの変量 の 10 個のデータ \( \left(z_{1}, w_{1}\right),\left(z_{2}, w_{2}\right), \cdots,\left(z_{10}, w_{10}\right) \) はそれぞれ \( (i=1,2, \cdots, 10) \) で得られるとする。\n(1)変量 の平均 をそれぞれ求めよ。\n(2) 変量 の分散を とし,2 つの変量 の共分散を とする。このとき, 2 つの等式 \( x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}+\cdots+x_{10}{ }^{2}=10\left\{s_{x}{ }^{2}+(\bar{x})^{2}\right\} \), \( x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots \cdots+x_{10} y_{10}=10\left(s_{x y}+\bar{x} \bar{y}\right) \) がそれぞれ成り立つことを示せ。\n(3) と の共分散 および相関係数 をそれぞれ求めよ。また, とwの共分散 および相関係数 をそれぞれ求めよ。ただし, は小数第 3 位 を四捨五入せよ。
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Q.16
3 つの集合の共通部分, 和集合\n共通部分 ( A \\cap B \\cap C ) はA, B, Cのどれにも属する要素全体の集合。和 集 合 ( A \\cup B \\cup C ) はA, B, Cの少なくとも1つに属する要素全体の集合。
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Q.17
平方根の性質\\( 1 a \geqq 0) のとき \\((\\sqrt{a})^{2}=a, \\quad(-\\sqrt{a})^{2}=a, \\quad \\sqrt{a} \\geqq 0 \\)\ 2 a \\geqq 0 \ のとき \ \\sqrt{a^{2}}=a \\ a<0 \ のとき \ \\sqrt{a^{2}}=-a \\\すなわち \ \\quad \\sqrt{a^{2}}=|a| \ \ a>0, \\quad b>0, k>0 \ のとき \\
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Q.18
[3] すなわち のとき求める条件は \( h(1) \geqq 0 \)\nすなわち \nよって \n との共通範囲はない
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Q.19
次の命題 (A), (B) を両方満たす,5個の互いに異なる実数は存在しないことを証明せよ。\n④7 (A) 5 個の数のうち, どの 1 つを選んでも残りの 4 個の数の和よりも小さい。\n(B) 5 個の数のうち任意に 2 個選ぶ。この 2 個の数を比較して大きい方の数は, 小さい方の数の 2 倍より大きい。\n命題 (A), (B) を両方満たす, 5 個の互いに異なる実数が存在する と仮定して,それらを とし, と する。
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Q.21
実数全体を全体集合とし,その部分集合 A, B, C について,次の問いに答えよ。
(1) A={x | -3 ≤ x ≤ 2}, B={x | 2x - 8 > 0}, C={x | -2 < x < 5} とするとき, 次の集合を求めよ。
(ア) B̅
(1) A ∩ B̅
(ウ) B̅ ∪ C
(2) A={x | -2 ≤ x ≤ 3}, B={x | k-6 ≤ x ≤ k} (k は定数)とするとき, A ⊂ B となる k の値の範囲を求めよ。
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Q.22
(3) 10 匹のうち体長の大きい方から 5 匹の体長の平均値はヶ口である。(2) で求めた平均値 と異なるのは, 体長の大きい 5 匹のうち番号 の個体が種類 B だからである。
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Q.24
ある正の数の平方根を求める場合、それが大きな数や小数の場合は電卓やコンピュータを使って計算するのが普通であるが、実は筆算で計算することもできる。平方根を求める計算を開平というが、ここでその筆算による方法を、具体例をあげて紹介しよう。
例: の開平
以下の手順に従い、筆算する。
1. 小数点の位置から2桁ずつ区切る。
2. 最も高い桁の区分にある6について、6以下で6に最も近い平方数 を見つけ、2を立てる。
3. から205を下ろす。
4. を計算し、 が205以下で205に最も近いの数4を求め、それを立てる。
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline & 2 & 4 \\
\hline 2 & & \\
\hline 2 & & \\
\hline 4\( \left.]^{4}\right)^{4} \) & 20 & \\
\hline 4 & 17 & 6 \\
\hline & 2 & 916 \\
\hline 6 & 2 & 916 \\
\hline
\end{tabular}
5. から2916を下ろす。
6. を計算し、 が2916以下で、2916に最も近くなるの数を求めると、から6が立ち、2916に一致して計算が終わる。
以上から、 と計算できる。
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Q.25
次の式の 2 重根号をはずして簡単にせよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
指針 の形の数は, (和が , 積が ) となる 2 数 \( (a>0, b>0) \) が見つかれば, 次のように変形できる。\n のとき
\begin{array}{r}
\sqrt{p+2 \sqrt{q}}=\sqrt{(a+b)+2 \sqrt{a b}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \\ \n a>b>0 \text { のとき } \quad a>b \text { より } \ \sqrt{a}-\sqrt{b}>0 \\ \n \sqrt{p-2 \sqrt{q}}=\sqrt{(a+b)-2 \sqrt{a b}}=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} \end{array} \n (1) \n (2) となる 2 数 を見つける。
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Q.27
次の値を求めよ。(1) (ア) (イ) (ウ) (2)数直線上において,次の 2 点間の距離を求めよ。(ア) \( \mathrm{P}(2), \mathrm{Q}(5) \) (イ) \( \mathrm{A}(2), \mathrm{B}(-3) \) (ウ) \( \mathrm{C}(-6), \mathrm{D}(-2) \) (3) のとき, の値をそれぞれ求めよ。
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Q.28
EX を整数全体の集合とし, とするとき, であるが ④1 であることを証明せよ。 とすると \[\n\\begin{array}{l}\nx=6 n+5 \\\nx=6 n+3+2=3(2 n+1)+2\n\\end{array}\n\] とおくと, は整数で ゆえに よって, ならば が成り立つから 次に, であるが であるから (*) したがって, であるが である。 を示すために, 整数 \( )+2 \) の形にする。 (*) であるが, である が 1 つでもあれば A \\neq B \\n
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Q.29
[a] は実数 a を超えない最大の整数を表すものとする。 (1) [2.3],[1],[-√2] の値を求めよ。 (2) 関数 y=[2x](-1 ≤ x ≤ 1) のグラフをかけ。 (3) 関数 y=x-[x](-1 ≤ x ≤ 2) のグラフをかけ。
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Q.30
次の集合に関する問題に答えなさい。\n(1) ア:含まれる イ:含まれない ふ:含まれない\n(2) P = {-2, -1, 0, 1}\n答えなさい。
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Q.31
EX を1からの自然数の集合とする。 の部分集合 について, 以下が成り立つ。\nA ∪ B=\\{1, 2, 4, 5, 7, 8, 9}, A ∪ C=\\{1, 2, 4, 5, 6, 7, 9\\}, B ∪ C=\\{1, 4, 6, 7, 8, 9\\}, A ∩ B=\\{4, 9\\}, A ∩ C=\\{7\\}, B ∩ C=\\{1\\}, A ∩ B ∩ C=∅
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Q.32
(1) 実数 \ x \ に対して \ t=x^{2}+2 x \ とおく。 \ t \ のとりうる値の範囲は \ t \\geq ア \\square \ \ \\square \ である。また, \ x \ の 65 関数 \ y=-x^{4}-4 x^{3}-2 x^{2}+4 x+1 \ を \ t \ の式で表すと \ y=1 \\square \ である。以上から, \ y \ は \ x= \ \ \\square \, エ \ \\square \ で最大値 \ \\square \ をとる。 (2) \ a \ を実数とする。 \ x \ の関数 \\( y=-x^{4}-4 x^{3}+(2 a-4) x^{2}+4 a x-a^{2}+2 \\) の最大値が (1) で求めた値 \ \\square \ であるとする。このとき, \ a \ のとりうる値の範囲は \ a \\geqq \ カ \ \\square \ である。
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Q.33
徚習 であるとき, 次の式のとりうる値の範囲を求めよ。\n(1) 32\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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Q.34
3 つの赤の帽子と 2 つの白の帽子がある。前から1列に並んだ A,B,Cの3人に,この中から赤,白いずれかの帽子をかぶせ,残りの帽子は隠す。このとき, 3 人は自分がどの色の帽子をかぶっているかはわからないが,BはAの帽子が,CはA,Bの帽子が見えるものとする。また, 3 人は, 3 つの赤の帽子と 2 つの白の帽子の中から選ばれていることを知っているものとする。その後, 列の 1 番後ろの C から 1 人ずつ順に, 自分の帽子の色がわかるかどうか尋ねたところ,Cは「わかりません。」と答え,続いて,Bも「わかりません。」と答えた。そして, 最後にAに尋ねたところ, 「私の帽子の色は赤です。」と答えた。
誰の帽子も見られない A は, なぜ自分の帽子の色がわかったのか?
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Q.35
実数 a に対して,2つの集合を
A=\left\{a-1,4, a^{2}-5 a+6\right\}, B=\left\{1, a^{2}-4, a^{2}-7 a+12,4\right\}
とする。 A ∩ B=\{0,4\} であるとき, a の値を求めよ。
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Q.36
兄弟合わせて52本の鉛筆を持っている。いま, 兄が弟に自分が持っている鉛筆のちょうど をあげてもまだ兄の方が多く, 更に3本あげると弟の方が多くなる。兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求めよ。
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Q.37
(2)余弦定理により,
であるから
\[\(\sqrt{6})^{2}=c^{2}+2^{2}-2 \cdot c \cdot 2 \cos 60^{\circ}\]
ゆえに
これを解いて
\[\begin{aligned}
c & =-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-1 \cdot(-2)}
& =1 \pm \sqrt{3}
\end{aligned}\]
であるから
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Q.38
⑬6 を自然数全体の集合とする。\n(1) 「1 は の要素である」を,集合の記号を用いて表せ。\n(2)「1のみを要素にもつ集合は, の部分集合である」を, 集合の記号を用いて表 せ。
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Q.39
対偶を考えることにより,次の命題を証明せよ。ただし, は整数とする。 が偶数ならば, のうち少なくとも 1 つは偶数である。
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Q.40
(1)次の分数を小数に直し,循環小数の表し方で書け。
(ア)
(イ)
(ウ)
(2) 次の循環小数を分数で表せ。
(ア)
(1)
(ウ)
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Q.41
次の計算は誤りである。11から(6)の等号の中で誤っているものをすべてあげ, 誤りと判断した理由を述べよ。
27=√729=√3^6=√(-3)^6=√{(-3)^3}^2=(-3)^3=-27
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Q.45
次の値を求めよ。\n(ア) \\( \\\\\\\\sqrt{(-3)^{2}} \\)\n(1) \\( \\\\\\\\sqrt{(-15)(-45)} \\)\n(ウ) \ \\\\\\\\sqrt{15} \\\\\\\\sqrt{35} \\\\\\\\sqrt{42} \
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Q.47
次の値を求めよ。(ア,(イ)の値を求めよ。(ウ)は \ \\\\\\sqrt{ } \ がつかない形にせよ。\n(ア) \\( \\\\\\sqrt{(-5)^{2}} \\)\n(イ) \\( \\\\\\sqrt{(-8)(-2)} \\)\n(ウ) \\( \\\\\\sqrt{a^{2} b^{2}}(a>0, \\\\\\quad b<0) \\)
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Q.48
数直線上において,次の 2 点間の距離を求めよ。
(ア) \( \mathrm{P}(-2), \mathrm{Q}(5) \)
(イ) \( \mathrm{A}(8), \mathrm{B}(3) \)
(ウ) \( \mathrm{C}(-4), \mathrm{D}(-1) \)
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Q.49
x は実数とする。集合を利用して, 次の命題の真偽を調べよ。
(1) |x|<2 ならば -3<x<3
(2) |x-1|>1 ならば 2|x-2| \geqq 1
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Q.50
数学 I\n-131\na=\\frac{3}{4} のとき, \\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}<0 となり解はない\n\n\\frac{3}{4}<a<4 のとき -2 a < x < 2 a-3\n(2) -2 a < 0 < a であるから, (3), (4) を同時に満たす x は存在しない。また, (3), (5) を同時に満たす x も存在しない。\n(3), (6) を同時に満たす x が存在するのは, a < 2 a - 3 のときである。 a < 2 a - 3 を解くと a > 3\nよって, a > 3 と \\frac{3}{4} < a < 4 の共通範囲を求めて 3 < a < 4\n(3) [1] (2) と同様に考えると, 2 a - 3 <= a すなわち 0 < a <= 3 のとき (1), (2) を同時に満たす x は存在しない。すなわち, 題意を満たす。\n[2] 3 < a < 4 のとき, 3 < a から a + 3 < 2 a よって a < 2 a - 3\nまた, 2 \\cdot 3 - 3 < 2 a - 3 < 2 \\cdot 4 - 3 から 3 < 2 a - 3 < 5\n3 + 3 < a + 3 < 4 + 3 から 6 < a + 3 < 7\n(7), (8) から 2 a - 3 < a + 3\nよって, (1), (2) を同時に満たす x の範囲は a < x < 2 a - 3\nこのとき,題意を満たすための条件は 2 a - 3 <= 4 ... (*) ゆえに a <= \\frac{7}{2}\n3 < a < 4 との共通範囲を求めて 3 < a <= \\frac{7}{2}\n[1], [2] を合わせて, 求める範囲は 0 < a <= \\frac{7}{2}\n3章
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Q.52
次のことを証明せよ。ただし, Z は整数全体の集合とする。 (1) A=\{3n-1 | n ∈ Z\}, B=\{6n+5 | n ∈ Z\} ならば A ⊇ B (2) A=\{2n-1 | n ∈ Z\}, B=\{2n+1 | n ∈ Z\} ならば A=B
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Q.53
xは実数とする。集合を利用して, 次の命題の真偽を調べよ。
(1) 0 ≤ x ≤ 1 ならば |x|<1
(2) |x-1|<2 ならば |x|<3
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Q.54
14 実数 に対して, を満たす整数 を で表す。(1) を満たす整数 をすべて求めよ。(2) を満たす実数 の値の範囲を求めよ。(3) は(2) で求めた範囲にあるものとする。 を満たす の値をすべて求めよ。
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Q.58
(3) \\( (b+c):(c+a):(a+b)=4: 5: 6, R=1 \\) のとき \ A, a, b, c \
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Q.59
次の値を求めよ。
(ア) \( \sqrt{(-3)^{2}} \)
(イ) \( \sqrt{(-15)(-45)} \)
(ウ)
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Q.61
1 から 49 までの自然数からなる集合を全体集合 とする。 の要素のうち, 50 との最大公約数が 1 より大きいもの全体からなる集合を , また, の要素のうち, 偶数であるもの全体から なる集合を とする。いま と は の部分集合で,次の 2 つの条件を満たすとするとき,集合 の要素をすべて求めよ。\n(i) \n(ii) \n[岩手大]