モンスタークエスト:AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
数と代数
数と代数 - 素数と素因数分解 | AIチューター ヤロウゼ、宿題!
Q.02
次のことを証明せよ。\n(1) n(n+1)(n+2)(n+3) は 24 の倍数である。\n(2) n(n+1)(n-4) は6の倍数である。
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Q.04
a, b を自然数とするとき, a + b = p + 4, ab^{2} = q を満たす素数 p, q を求めよ。
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Q.05
例 1 から 50 までの整数の中から相異なる 26 個の数をどのように選んでも,和が 51 になる 2 つの数の組が必ず含まれていることを示せ。
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Q.06
n^{2}+1 が 5 の倍数であることと, n を 5 で割つたときの余りが 2 または 3 であることは同値であることを証明せよ。
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Q.07
PR 3500 の正の約数について
(27 (1) 約数は全部でいくつあるか。
(2) (1)の約数の総和を求めよ。
3500=2^{2} \cdot 5^{3} \cdot 7 であるから, 3500 の正の約数は
として, 2^{a} \cdot 5^{b} \cdot 7^{c} と表される。
1) a の定め方は 3 通り。
そのおのおのに対して, bの定め方は 4 通り。
更に,そのおのおのに対して,cの定め方は2通り。
よって, 積の法則により
3 \times 4 \times 2=24 (個)
(2) 3500 の正の約数は
(1+2+2^{2})(1+5+5^{2}+5^{3})(1+7)
を展開したときの項として1つずつ出てくる。
よって, 求める総和は
7 \times 156 \times 8=8736
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Q.08
2 以上の自然数で, 正の約数が 1 とその数自身のみである数を素数といい, 2 以上の自然数で, 素数でない数を合成数という。例 は素数であり,4,6,8,9,…は合成数である。
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Q.11
数学A\n[2] のとき\n\n4 p+1=4(3 k+2)+1=3(4 k+3)\n\n4 k+3 は 7 以上の自然数であるから,4 p+1 は素数ではない。以上から,p, 2 p+1,4 p+1 がいずれも素数となるような自然数 p は p=3\np が 5 以上の素数のとき は 2 p+1,4 p+1 のいず れかが 3 の倍数になると 見当がつく。\n\nPR文字はすべて整数とする。合同式を用いて,次の問いに答えよ。\n123 (1) を 5 で割つた余りが 3 であるとき, を 5 で割った余りを求めよ。\n(2) a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2} で d が 3 の倍数でないならば, a, b, c の中に 3 の倍数がちょうど 2 個あ ることを証明せよ。
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Q.13
以下の命題が真か偽か判断しなさい。\n(2) 28 の正の約数は の 6 個である。よって, 真の命題である。\n(3) のとき, n\は 4 の倍数かつ 6 の倍数であるが,24 の倍数でない。\nよって, 偽の命題である \( \\left(n=36\\right)\\)が反例)。
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Q.14
1から30までの自然数の積 30!をN とする。 Nを素因数分解したとき、次の問いに答えよ。(1) 素因数 2 の個数を求めよ。(2) 素因数 5 の個数を求めよ。(3) Nを計算すると、末尾には 0 が連続して何個並ぶか。
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Q.16
PRACTICE 106\n(1) 756 の正の約数の個数を求めよ。\n(2)自然数 を素因数分解すると, 素因数には と 5 があり, これら以外の素因数は ない。また, の正の約数は 8 個, 正の約数の総和は 90 である。素因数 と自然数 の値を求めよ。
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Q.19
素数の問題はどう考えていけばよいのか,迷ってしまいます。 素数の定義は, 「2 以上の整数で, 1 とそれ自身以外に正の約数をもたない数」とシンプルです。これをどのように活かすかがポイントです。まず,次の性質(1),2)を押さえておきましょう。 (1) 素数 の約数は と (正の約数は 1 と の 2 個) (2) 素数は 2 以上で, 偶数の素数は 2 だけである。また, 3 以上の素数はすべて奇数 である。 「素数 の約数は と 利用 この性質を利用すると, \( (n-3)(n-9) \) が素数 に るには,右の (A)〜(D) 4 つの場合が考えられる。 ここで, と という大小関係を考慮すると, Ⓐ) (DD)うう適するのは (B) と (C) のみとなる。特に, (負の場合)は, のような間違いをしやすいので注意したい。 \\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\\\hline n-3 \) & 1 & p & -1 & \( -p \\\hline & & 1 & & -1 \\\hline \\end{tabular} 4永草 18 約 \\square \) 数 と 掊 \( \\square \) 数 「素数は 2 以上」, 「偶数の素数は 2 だけ, 3 以上の素数は奇数」の利用 まず, 4 以上の偶数は, \( 2 \times(2 以上の自然数 \( ) \) と表されるから,素数ではない。よって, 偶数の素数は 2 だけである。 これから, 2 以外の素数はすべて奇数であることもわかる。 を異なる素数 \( (p<q) \) とすると, p \geqq 2, q \geqq 3 \) であるから,
\\[
p+q \geqq 5, p q \geqq 6 \text { といつた不等式が成り立つ。 }\\]
また, \\( \quad p \\pm q = \) (奇数 \ \) や \\( \quad p q = \) (偶数) のときは, \ の一方は偶数, 他方は奇数であるが, 偶数の素数は2だけであるから,\. と決めることができる。 \ 奇 \\ = 偶 偶 \\ \\pm 奇 \\ = 偶 \\素数の性質を利用することで, このような値の決め方ができる。 (2) では, \ から (1)を利用して, \ すなわち p = q + 1 \) から \( p, q を導くのに (2)を利用している。 以上のように, 素数の問題では, 積や和の形の式に, (1), (2) の性質が威力を発揮することが多いです。また,素数には他にもさま ざまな性質があります。次ページのSTEP UP でまとめている ので参考にしてください。
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Q.20
集合の要素の個数, 場合の数に関連する次の問題について答えなさい。\n(1) 次の数の正の約数の個数を求めなさい。360 = 2^3 * 3^2 * 5\n(2) 次の多項式の展開式の項の数を求めなさい。(a+b)(p+q+r)(x+y)\n
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Q.25
次の命題の否定を述べよ。また,その真偽を調べよ。\n(1)すべての素数について,素数は奇数である。\n(2)ある実数 について \( (a+b)^{2} \leqq 0 \)
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Q.26
例 72 と 120 の最大公約数, 最小公倍数を求める。\n12 つの数に共通な素因数で割れるだけ割っていく。\nたとえば2で割っていきます。\n2) 72 \t 120\n2) 36 \t 60\n2) 18 \t 30\n最大公約数と最小公倍数を計算してください。
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Q.28
は素数で とする。また は正の整数とし, と する。1 から までの整数のうち, または の倍数の個数が 240 個 であるとする。これらの条件を満たす組( \( p, q, m, n) \) を求めよ。
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Q.29
基本例題 106 正の約数の個数\n(1) 630 の正の約数の個数を求めよ。\n(2)自然数 を素因数分解すると,素因数には と 7 があり,これら以外の 素因数はない。また,Nの正の約数は 6 個,正の約数の総和は 104 である。素因数 と 自然数 の値を求めよ。
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Q.30
完全数と素数
n を自然数とする。 2^n - 1 の形をした自然数をメルセンヌ数といい、メルセンヌ数のうち、素数であるものをメルセンヌ素数という。
例:
メルセンヌ数: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023
メルセンヌ素数: 3, 7, 31, 127
ユークリッドの「2^n - 1 が素数であるような自然数 n に対して、2^(n-1)(2^n -1) は完全数である」という命題を示せ。
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Q.31
(2) a は正の整数であり, p = a^2 + 1 は素数であるとする。このとき, n^2 + 1 が p の倍数であることと, n を p で割ったときの余りが a または p - a であることは同値である。
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Q.32
PR は整数とする。次のことを証明せよ。\n(1) は 3 で割り切れない。\n(2) が 5 で割り切れないとき, を 5 で割った余りは 1 または 4 である。\n を整数とする。
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Q.36
次の 2 つの整数, 3 つの整数の最大公約数と最小公倍数を, 素因数分解を利用して それぞれ求めよ。\n(1) 168, 378\n(2) 65,156,234
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Q.38
1 枚の硬貨を繰り返し投げ,表が3回出たら賞品がもらえるゲームをする。ただし,投げられる回数は 5 回までとし,3 回目の表が出たらそれ以降は投げない。1 回目に 裏が出たとき, 賞品がもらえるための表裏の出方の順は何通りあるか。
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Q.41
52\n数学 I\n[2] のとき\n\[ n^{2}=(5k+2)^{2}=25k^{2}+20k+4=5\\left(5k^{2}+4k\\right)+4 \]\n[3] のとき\n\[ n^{2}=(5k+3)^{2}=25k^{2}+30k+9=5\\left(5k^{2}+6k+1\\right)+4 \]\n[4] のとき\n\[ n^{2}=(5k+4)^{2}=25k^{2}+40k+16=5\\left(5k^{2}+8k+3\\right)+1 \]\nゆえに, はそれぞれ整数であるから,いずれの場合も, は 5 の倍数とはならない。\nよって, 対偶が真であるから,もとの命題は真である。\n(2) が無理数でないと仮定する。\nこのとき はある有理数に等しいから,1 以外に正の公約数を持たない 2 つの自然数 を用いて\n \\sqrt{5}=\きfrac{a}{b} \]\nと表される。\nゆえに\n\[ a=\\sqrt{5}b \]\n両辺を 2 乗すると\n\[ a^{2}=5b^{2} \nよって, は 5 の倍数である。\n とbは互いに素。\n(1)より, が 5 の倍数であれば, も 5 の倍数であるから, を自然数として と表される。\nこれを (1)に代入して \nすなわち \n\nよって, は 5 の倍数であるから, (1) より, も 5 の倍数である。ゆえに, とbは公約数 5 をもつ。\nこれは, とbが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾する。\nしたがって, は無理数である。
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Q.45
101 ・a, b を自然数とする。a b が 3 の倍数であるとき, a または b は 3 の倍数であることを証明せよ。
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Q.46
N = 250!を素因数分解したとき,次の問いに答えよ。(1) 素因数 5 の個数を求めよ。\n(2) N を計算すると,末尾には 0 が連続して何個並ぶか。
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Q.48
PR 大小 2 個のさいころを投げるとき
(38 (1)目の積が 3 の倍数になる場合は何通りあるか。
(2)目の積が6の倍数になる場合は何通りあるか。
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Q.50
D → A → B → C → E の順に塗る。D → A → B の塗り方は3! = 6 (通り)そのおのおのに対し, C, E の塗り 方は 1 通りずつある。よって, 求める塗り分け方の総数 は6 × 1 × 1=6 (通り)。
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Q.52
PR (2) 自然数 を素因数分解すると、素因数にはpと5があり、それら以外の素因数はない。また、Nの正の約数は8個、正の約数の総和は90である。素因数 と自然数 の値を求めよ。
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Q.54
自然数 の素因数分解が となるとき, の正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1) \cdots \cdots である。
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Q.55
次のような,年齢を当てるクイズがある。「私の年齢を 3 で割った余りは 1,5 で割った余りは 4,7 で割った余りは 1 です。私の年齢を当ててください。ただし,105歳より下です。」どのように答えを出せばよいだろうか?
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Q.56
1 次不定方程式\n整数 が互いに素であるとき, 整数 について, を満たす整数 が存在することを証明しなさい。
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Q.71
ケ に当てはまるものを,次の()~7のうちから1つ選べ。\n| (0) | 1) | (2) | (3) | 4 | (5) | (6) | (7) |\n| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |\n|(a) | 正 | 正 | 正 | 誤 | 正 | 誤 | 誤 | 䛊 |\n|(b) | 正 | 正 | 誤 | 正 | 䛊 | 正 | 誤 | 䛊 |\n|(c) | 正 | 䛊 | 正 | 正 | 誤 | 誤 | 正 | 䛊 |
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Q.73
整数がいくつかの整数の積で表されるとき,積を作る1つ1つの整数を,もとの整数の因数という。素数である因数を素因数といい, 自然数を素数だけの積の形 に表すことを素因数分解するという。
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Q.74
302\nS ̇PU 最短経路の数を書き込んで求める\n基本例題 28 では最短経路の数を求めるとき, 右へ進む記号 \\rightarrow \, 上へ進む記号 \\uparrow \ のくつ かを並べる順列の総数として考えた。ここでは,場合の数を責き込んで求める方法を紹介する。\n右の図のような道路があり, 2 地点を結ぶ最短距離の 道順を考える。地点 \\mathrm{P} \ までの道順が p \ 通り, 地点 \\mathrm{Q} \ までの道順が q \ 通りあるとき,地点Rまでの道順は, p+q \ 通りある。\n\n解説 地点 \\mathrm{P} \ から \\mathrm{R} \ までは 1 通りであるから,地点 \\mathrm{P} \ を通る \\mathrm{R} \ までの道順は\n\\[p \\times 1=p \\text { (通り) }\\]\n\n同様に,地点 \\mathrm{Q} \ を通るR までの道順は \\quad q \\times 1=q \ (通り)\nしたがって, 地点Rまでの道順は,和の法則から \\quad p+q \ (通り)\nこの方法で, 基本例題 28 を解いてみよう。
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Q.75
双子素数と三つ子素数
n を自然数とする。 (n, n+2) の形をした素数の組を双子素数という。 また、(n, n+2, n+6) または (n, n+4, n+6) の形をした素数の組を三つ子素数という。
例:
双子素数: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31)
三つ子素数: (5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47)
(1) 初めての双子素数と三つ子素数を求めよ。
(2) 双子素数の組み合わせを三つ以上挙げよ。
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Q.77
素数の求め方 (エラトステネスのふるい)\n自然数 が 以下のすべての素数で割り切れなければ, は素数である。\nこの法則を利用して、 以下の素数をすべて求める方法を考える。
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Q.84
次の (1)〜(5) の場合について、2 次関数 の における最大値および最小値を求めよ。ただし,a は定数とする。\n(1) a<1\n(2) 1 \leqq a<\\frac{3}{2}\n(3) a=\\frac{3}{2}\n(4) \\frac{3}{2}<a \leqq 2\n(5) 2<a
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Q.85
1. の 2 次関数 の最小値を とする。\n(1) をbの式で表せ。\n(2) を変化させるとき, の最大値とそのときの の値を求めよ。
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Q.87
2 つの整数 について, 共通な素因数がないとき, の最大公約数は 1 である。 2 つの整数 の最大公約数が 1 であるとき, と は互いに素であるという。
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Q.89
因数分解の基本的な手順をまとめておきましょう。因数分解の公式が適用できる形にするための手段として、以下の手順をまとめます。
共通因数をくくり出す
例 6a²b - 9ab² + 3ab = 3ab(2a - 3b + 1)
同じ式やまとまった式は、1つの文字でおき換える
例 (x + y)² - 10(x + y) + 25 を X と置き換えると、(X - 5)² = (x + y - 5)² になります。
次数を下げるために置き換え
例 a⁴ - b⁴ を x² - y² と置き換えると、(a² + b²)(a + b)(a - b) になります。
複数の種類の文字を含む式の因数分解で、上記の手段がうまくいかない場合の対策として、1つの文字について整理する方法を解説します。例題17のように、次数が最低の文字について整理することで、共通因数をくくり出すことができます。
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Q.91
数学 (A) (2) p=a^{2}+2 a b+b^{2}-a-b =(a+b)^{2}-(a+b) =(a+b)(a+b-1) a \geqq 1, b \geqq 1 から a+b>a+b-1 \geqq 1 また, 刀 は素数であるから a+b-1=1 a+b=p (2) (1) から a+b=2 a \geqq 1, b \geqq 1 から a=1, b=1 このとき, (2)から p=2 となり, p は素数である。 よって, p が素数となるような a, b は a=1, b=1
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Q.94
(1)60!を計算した結果は,3 で最大何回割り切れるか。 98\n(2) 50!を計算すると,末尾に0 は連続して何個並ぶか。
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Q.96
(1)整数 n が 3 の倍数でないならば, n^2-1 は 3 の倍数であることを証明せよ。
(2)どのような整数 n に対しても, n^2+n+1 は 5 で割り切れないことを証明せよ。
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Q.99
次の 2 つの整数の最大公約数を,互除法を用いて求めよ。
(1) 221,91
(2) 418,247
(3) 1501,899
GUIDE 2 つの整数の最大公約数
GUIDE
簡単に素因数分解できないときは, 互除法が有効
a を b で割った余りが r ならば,次は b を r で割る。これを繰り返して, r=0 とな
つたときの b が求める最大公約数である。a= b q1+r1 \quad a を b で割る\nb= r1 q2+r2 \quad b を r1 で割る
r1= r2 q3+r3 \quad r1 を r2 で割る
余り r1 余り r2\n⋮ 余り r3
rn−1=rn qn+1 ← 割り切れたところで終了 rn が最大公約数
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Q.00
EX 51 p, 2p+1, 4p+1 がいずれも素数であるような p をすべて求めよ。 力が素数のとき, 2p+1, 4p+1 が素数になるかどうかを調べ る。
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Q.03
第 4 章 約数 と倍数—235 EX 50 n を 2 以上の自然数とするとき, n^{4}+4 は素数にならないことを示せ。 [宮崎大]
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Q.05
以下の質問に答えてください。(1)60!を計算した結果、3で最大何回割り切れるかを求めてください。
(2)50!を計算すると、末尾に0がいくつ連続して現れるかを求めてください。
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Q.06
自然数 に対して、次のことを証明せよ。\n(1) と が互いに素ならば, と は互いに素である。\n(2) と が互いに素ならば, と は互いに素である。
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Q.08
(2)次の 2 つの集合 の間に成り立つ関係を,記号 \\subset ,= \ を用いて表せ。 は 7 以下の素数 \( \}, \quad B=\{2n-1 \mid n=2,3,4\})
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Q.09
次の数式についての質問です。(1)10を2で割った商、4を2で割った商、2を2で割った商を用いて、2の倍数の個数を数える方法を用いたとき、10!が2で割り切れる最大の回数は何回ですか?
(2)10を5で割った商を用いて、10!を計算した結果、末尾に0がいくつ連続して現れるかを求めてください。
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Q.10
(1)720 の正の約数の個数を求めよ。\n\n(2)自然数 を素因数分解すると、素因数には 2 と 3 があり、それ以外の素因数はない。また、Nの正の約数はちょうど 10 個あるという。このような自然数 をすべて求めよ。
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Q.11
2 以上の自然数で,1とそれ自身以外に正の約数をもたない数を 素数 という。
2 以上の自然数で,素数でない数を合成数という。
(例)
素数: 2,3,5,7,
合成数: 4(=2 x 2), 6(=2 x 3), 8(=2^3), 9(=3^2)
注意 素数の中で,偶数は 2 だけであり, 3 以上の素数はすべて 奇数である。
素因数分解
整数がいくつかの整数の積で表されるとき,積を作る整数をもとの 整数の 因数 という。素数である因数を 素因数 という。
自然数を素数だけの積の形に表すことを素因数分解 するという。 なお, 合成数は必ず素因数分解でき, 1つの合成数の素因数分解は 積の順序を考えなければ1通りである。これを 素因数分解の一意性 という。素因数分解は,できるだけ小さい素数から順に,割り切れるだけ割 っていく。
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Q.13
数学 A
(2)求める 2 つの自然数を 6 m, 6 n とする。ただし, m, n は互いに素な自然数とする。6 m>6,6 n>6 であるから m>1, n>1 条件から 4536=6 m・6 n すなわち m n=126 …. (2) m n は(自然数) 2 ではないから m ≠ n よって, 1<m<n として (2) を満たす m, n の組を求めると (m, n)=(2,63),(3,42),(6,21), (7,18), (9,14) このうち, m, n が互いに素であるのは (m, n)=(2,63),(7,18),(9,14) よって, 求める 2 つの自然数は 12, 378 または 42, 108 または 54, 84
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Q.15
addition という単語の 8 文字を横 1 列に並べるとき, 次のような並べ方は何通りある か。\n(1) すべての並べ方\n(2) 「not」という連続した 3 文字が現れるような並べ方\n(3) n の方が o より左に現れる並べ方
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Q.18
TRAINING 99
(1) n は自然数とする。次の式の値が素数になるような n をすべて求めよ。
(ア) n^{2}+6 n-27
(イ) n^{2}-16 n+39
(2) a, b は自然数で, p=a^{2}-a+2 a b+b^{2}-b とする。 p が素数となるような a, b をすべて求めよ。
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Q.21
答 の 部 数 学 50 略 51 (1) {1,2,3,4,5,6,7,9,12,18} (2) {1,2,3,6}
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Q.28
ある工場で作る部品 A,B,C はネジをそれぞれ 7 個,9 個,12 個使ってい る。出荷後に残ったこれらの部品のネジをすべて外したところ,ネジが全部 で 35 個あった。残った部品 の個数をそれぞれ として,可能性のある組 \( (l, m, n) \) をすべて求めよ。
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Q.29
自然数 は, 1 と 以外にちょうど 4 個の正の約数をもつとする。このような自然数 の中で, 最小の数はア であり, 最小の奇数はイ である。
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Q.33
UP 1 次不定方程式の整数解の求め方を振り返ろう!\n整数解が簡単に見つからないときは,互除法を利用しよう。互除法の計算を 逆にたどって, 整数解を見つけられます。
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Q.34
a と b が互いに素でない,すなわち a と b が共通な素因数 p をもつと仮定すると a=p k, b=p l (k, l は自然数) と表される。このとき a+b=p(k+l), a b=p^{2} k l よって, a+b と a b はともに素因数 p をもつ。このことは, a+b と a b が互いに素であることに矛盾する。 したがって, a とbは互いに素である。
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Q.36
TRAINING 47\n(1) 3 の正の倍数のうち, 20 以下のもの全体の集合を とするとき, 次の に適 する記号 またはを入れよ。\n(ア) 9 A\n(イ) 14 \n(ウ) 0 \n(2)次の 2 つの集合 の間に成り立つ関係を,記号 を用いて表せ。 は 7 以下の素数
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Q.37
軸上に点 がある。さいころを投げて,6の約数の目が出たとき は 軸上の正の方向に 1 だけ進み, 6 の約数でない目が出たとき は 軸上の負の方向に 2 だけ進むことにする。さいころを 4 回投げたとき, 原点から出発した点 が の点にある確率はア ,原点にある確率はイ である。
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Q.40
EX人の子どもに 180 個のみかんを a 個ずつ, 252 個のキャンディーを b 個ずつ残さずすべて配り n の最大値とそのときの a, b の値を求めよ。ただし,文字はすべて自然数を表す。
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Q.42
ユークリッドの互除法\n自然数 について, を で割つた余りを とすると と の最大公約数は, と の最大公約数に等しい。\n\nこのことを繰り返し利用すると,2つの自然数の最大公約数を求めることができる。これを,ユークリッドの互除法,または単に互除法という。\n例 319 と 143 の最大公約数を求める\n319 を 143 で割った割り算の等式 に注目すると,定理により, 319 と 143 の最大公約数を求める代わりに,割る数 143 と余り 33 の最大公約数を求めればよいことがわかる。 この操作を繰り返していくと,次のように出てくる余りは小さく なっていく。更に,余りは0以上であるから,いずれ余りは 0 に なる。その余りが 0 となるときの割る数が, 求める最大公約数 である。
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Q.43
数学 A
TR
(1)合同式を利用して, 次のものを求めよ。
12^{1000} を 11 で割った余り
13^{81} の一の位の数
(2)整数 a, b, c が a^2+b^2=c^2 を満たすとき, a, b のうち少なくとも 1 つは 3 の倍数である ことを,合同式を利用して証明せよ。
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Q.44
5390 を自然数 n で割って, 余りが 0 で, 商が自然数の平方になるようにしたい。そのよう な n の最小値を求めよ。
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Q.45
TRAINING 104 (5)\n(1)合同式を利用して, 次のものを求めよ。\n(ア) を 11 で割った余り\n(イ) の一の位の数\n(2) D. 463 の例題 103(2)を,合同式を利用して解け。
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Q.48
(1) n は整数とする。 (n-4)(n+8) が素数となるような n をすべて求めよ。
(2) a, b は異なる自然数とするとき, a b=p (1), a+b=q をともに満たす素数 p, q を求めよ。
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Q.49
自然数 N を素因数分解すると,素因数には 3 と 5 があり,それ以外の素因数はない。また,N の正の約数はちょうど 6 個あるという。このような自然数 N をすべて求めよ。
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Q.50
対偶を利用した証明方法を説明し、次の命題Tを対偶を使って証明してください。
命題T: 「もしxが3で割り切れないならば、xは奇数である」
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Q.54
TR a, b は自然数とする。このとき, 次のことを証明せよ。 (1) a と bが互いに素ならば, a^{2} と b^{2} は互いに素である。 (2) a+b と a b が互いに素ならば, a とbは互いに素である。
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Q.56
TRAINING 109 (3)
23 で割ると 8 余り, 15 で割ると 5 余る自然数のうち, 4 桁で最小のものを求めよ。
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Q.57
150 に 2 桁の自然数 n を掛け, ある自然数の平方になるようにしたい。そのような n の最大値を求めよ。
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Q.59
(1) \\\\( 72^{\\circ} \\\\\\\n(2) \\\\( \\frac{\\sqrt{5}-1}{2} \\\\\\\n(3) \\\\( \\frac{\\sqrt{5}+1}{4} \\\\\\\n
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Q.60
500 以下の自然数の中で, 次の集合の要素の個数を求めよ。\n(1) 3 で割り切れる数の集合\n(2) 3 でも 5 でも 7 でも割り切れる数の集合\n(3) 3 で割り切れるが, 5 で割り切れない数の集合\n(4) 3 でも 5 でも割り切れない数の集合\n(5) 3 で割り切れるが, 5 でも 7 でも割り切れない数の集合
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Q.61
(1)1800 の正の約数の個数を求めよ。\n\n(2)自然数 を素因数分解すると, 素因数には 3 と 5 があり, それ以外の素因数はない。また、 の正の約数はちょうど 6 個あるという。このような自然数 をすべて求めよ。
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Q.62
(2) 0 でない実数 x, y, z が, 2^{x}=5^{y}=10^{\frac{z}{2}} を満たすとき, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z} の値を求めよ。
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Q.64
方程式 \ x^{3}=1 \ の虚数解の 1 つを \ \\omega \ とする。このとき \ \\frac{1}{\\omega}+\\frac{1}{\\omega^{2}}+1= \u25A1, \\omega^{100}+\\omega^{50}= \u25A1 \ である。
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Q.66
0 でない実数 x, y, z が, 2^{x}=5^{y}=10^{\frac{z}{2}} を満たすとき, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z} の値を求めよ。
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Q.69
基 本 例題 5 二項定理を利用する式の値 次の値を求めよ。\n(1) \n(2) \( { }_{n} \mathrm{C}_{0}-{ }_{n} \mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \mathrm{C}_{2}-\cdots \cdots+(-1)^{r}{ }_{n} \mathrm{C}_{r}+\cdots \cdots+(-1)^{n}{ }_{n} \mathrm{C}_{n} \)\n(3) \( { }_{n} \mathrm{C}_{0}-2{ }_{n} \mathrm{C}_{1}+2^{2}{ }_{n} \mathrm{C}_{2}-\cdots \cdots+(-2)^{r}{ }_{n} \mathrm{C}_{r}+\cdots \cdots+(-2)^{n}{ }_{n} \mathrm{C}_{n} \)\n
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Q.70
3. \ { }_{n} \\mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{2}+\\cdots \\cdots+{ }_{n} \\mathrm{C}_{n}=2^{n} \
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Q.71
EX 1 から 300 までのすべての整数を考える。\n(2)(1)3で割り切れるが9では割り切れないものをすべて足し合わせた数を求めよ。\n(2) 3 でも 7 でも割り切れないものをすべて足し合わせた数を求めよ。
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Q.73
次の0~5のうちから1つ選べ。\n(0) p_{4}<p_{5}\n(1) p_{4}=p_{5}\n(2) p_{4}>p_{5}
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Q.75
(2)等比数列であるとすると,公比は\frac{6}{3}=2第 \u2099 項が 1500 とすると 3* 2^{n-1}=1500 よって 2^{n-1}=500\n500=2^{2}* 5^{3}であるから,この等式を満たす自然数nは存在しない。\nゆえに,等比数列になることはない。
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Q.78
すべての正の整数 に対して, が 7 の倍数であることを証明せよ。
[弘前大]
\left\ulcorner 3^{3 n-2}+5^{3 n-1}\right. が 7 の倍数である」を(A)とする。
[1] のとき
よって, のとき (A) は成り立つ。
[2] のとき (A) が成り立つと仮定すると, を整数と して, と表される。
\[
\begin{array}{l}
\text { よって } \quad 5^{3 k-1}=7 m-3^{3 k-2} \\
n=k+1 \text { のとき } \\
3^{3(k+1)-2}+5^{3(k+1)-1}=3^{3} \cdot 3^{3 k-2}+5^{3} \cdot 5^{3 k-1} \\
=27 \cdot 3^{3 k-2}+125\left(7 m-3^{3 k-2}\right) \\
=125 \cdot 7 m-98 \cdot 3^{3 k-2} \\
=7\left(125 m-14 \cdot 3^{3 k-2}\right) \\
\end{array}
\]
は整数であるから, \( 3^{3(k+1)-2}+5^{3(k+1)-1} \) は 7 の倍数である。
したがって, のときにも(A)は成り立つ。
[1], [2] から, すべての正の整数 に対して (A) は成り立つ。
別解 7 を法とする合同式を利用する。
\[
\begin{aligned}
3^{3} \equiv 27 \equiv 6(\bmod 7), & 5^{3} \equiv 125 \equiv 6(\bmod 7) \text { であり } \\
3^{3 n-2}=3^{3(n-1)+1} & =\left(3^{3}\right)^{n-1} \cdot 3 \\
5^{3 n-1}=5^{3(n-1)+2} & =\left(5^{3}\right)^{n-1} \cdot 5^{2} \\
\text { よって } \quad 3^{3 n-2}+5^{3 n-1} & \equiv\left(3^{3}\right)^{n-1} \cdot 3+\left(5^{3}\right)^{n-1} \cdot 5^{2} \\
& \equiv 6^{n-1} \cdot 3+6^{n-1} \cdot 5^{2} \\
& \equiv 6^{n-1}\left(3+5^{2}\right) \\
& \equiv 6^{n-1} \cdot 28 \equiv 0(\bmod 7)
\end{aligned}
\]
ゆえに,すべての正の整数 に対して, は 7 の 倍数である。
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Q.80
綀習 命題「整数 n が 5 の倍数でなければ, n^{2} は 5 の倍数ではない。」が真であることを証明せよ。また, この命題を用いて √5 は有理数でないことを背理法により証明せよ。
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Q.81
EX k を正の整数とする。 5 n^{2}-2 k n+1<0 を満たす整数 n が, ちょうど 1 個であるような k の値を すべて求めよ。
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Q.82
次のアからエのうち、正しいものを選びなさい。
(1) A の要素の個数が 2 であることは, a が素数であるためのア ◻️。
(2) A ∩ B= \{1,2\} であることは, a と b がともに偶数であるためのイ ◻️。
(3) a ≤ b であることは, A ⊆ B であるためのウ ◻️。
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Q.83
2 つの方程式 について, 次の条件が成り立つように, 定数 の値の範囲を定めよ。\n(1)両方とも実数解をもつ\n(2)少なくとも一方が実数解をもたない\n(3)一方だけが実数解をもつ
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Q.84
次の に最も適する語句を,上の例題の選択肢(ア)(I)から選べ。ただし, , y は実数とする。\n(4) を 2 つの集合とする。 が の要素であることは, が の要素で あるための (4) 掟南大] p.101 EX44,45>
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Q.85
具本 44 集合の記号と表し方\n(1) 42 の正の約数全体の集合を とする。次の の中に, または のい ずれか適するものを書き入れよ。\n(ア) 7 A\n(イ) 9 A\n(ウ) -2 \n(2) 次の集合を,要素を書き並べて表せ。\n(ア) は整数 \n(イ) は 24 の正の約数\}\n(3) 3 つの集合 は 18 の正の約数 , は整数で 3 の倍数 について,次の の中に, , , のうち,最も適するものを書き入れよ。\n(ア) \n(イ) C\n(ウ) C
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Q.91
(1) の 2 次方程式 \( x^{2}+(2 k-1) x+(k-1)(k+3)=0 \) が実数解をもつような定数 の値の範囲を求めよ。
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Q.92
連続した 3 つの自然数のうち,最小のものの平方が, 他の 2 数の和に等しい。この 3 数を求めよ。 \n最小のものを とると,他の 2 数は と表される。条件から \( \quad n^{2}=(n+1)+(n+2) \)\nすなわち よって \( \quad(n+1)(n-3)=0 \)\n は自然数であるから \nゆえに,求める 3 数は \n別解 最小のものを とすると, 他の 2 数は と表 される。\n条件から \( \quad(n-1)^{2}=n+(n+1) \)\nすなわち よって \( n(n-4)=0 \)\n は自然数であるから \nゆえに,求める 3 数は \nふ連続した自然数。\n『解は \nふ解の吟味。 は自然数。\nઐ連続した自然数。\n解は \nઐ解の吟味。 は自然数。
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Q.93
EX整数 に関する次の命題の逆と対偶を述べ,それらの真偽を述べよ。\n「 a^{2}+b^{2}+c^{2} \ が奇数ならば のうち少なくとも 1 つは奇数である」
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Q.94
(1) 「大きい」の意味が明確でないから,正しいか正しくないかが定まらない。よって, 命題ではない。
(2) 28 の正の約数は の 6 個である。よって, 真の命題である。
(3) のとき, は 4 の倍数かつ 6 の倍数であるが, 24 の倍数でない。よって, 偽の命題である が反例)。
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Q.95
2 次方程式 \( x^{2}+(a-3) x-a+6=0 \) が実数解をもたないような,定数 の値の範囲を求めよ。
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Q.01
因数分解された2次不等式の解を求めよ。次の不等式に対する解を見つけてください。\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) > 0 \)\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) \geq 0 \)\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) < 0 \)\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) \leq 0 \)\nまた、特別な場合として平方の2次不等式についても考える。\n- \( (x - \alpha)^2 > 0 \)\n- \( (x - \alpha)^2 \geq 0 \)\n- \( (x - \alpha)^2 < 0 \)\n- \( (x - \alpha)^2 \leq 0 \)
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Q.07
(4) を互いに素な正の整数とし, も互いに素な正の整数とする。集合 と を\n は整数 を用いて \( \left(\cos \frac{2 a_{1}}{b_{1}} \pi+i \sin \frac{2 a_{1}}{b_{1}} \pi\right)^{k} \) と表される複素数 は整数 を用いて \( \left(\cos \frac{2 a_{2}}{b_{2}} \pi+i \sin \frac{2 a_{2}}{b_{2}} \pi\right)^{k} \) と表される複素数 で定め, 集合 を\n は集合 の要素と集合 の要素の積で表される複素数 で定める。 と が互いに素ならば,集合 の要素の個数 \( n(R) \) はウ で ある。 と が互いに素でないとき, それらの最大公約数を とすれば, 集合 の要素の個数 \( n(R) \) はエ である。
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Q.09
数学C 139 [2] のとき \n\\[\n\\begin{array}{l}\nz_{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i=\cos \frac{2}{3} \pi+i \sin \frac{2}{3} \pi \\\\\nz_{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i=\cos \left(-\frac{2}{3} \pi\right)+i \sin \left(-\frac{2}{3} \pi\right)\n\\end{array}\n\\]\n[1], [2] のそれぞれの場合における 3 点 の位置関係は 次の図のようになる。\n[1]\n[2]\nゆえに, 6 点 が正六角形の頂点となる のは, 3 点 が次の図のようになる場合である。\nただし [1] [2] (2), (3), (4) (1) (3) (2) (4)\n4点 の回転について 考えると, , を頂点とす る正六角形の頂点に移る とき, 回転角 は の範囲で,\n\\n\\theta=\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5}{6} \pi\n\\nの 3 通りある。\n[1] では のとき 条件を満たす。\nしたがって のとき ;\n\\nk=-\frac{1}{2} のとき \theta=\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5}{6} \pi\n\
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Q.10
6 順に (1) \\( (-4,-1,6), \\sqrt{53} \\)\n(2) \\( (12,-3,-4), 13 \\)\n(3) \\(
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Q.11
漸化式を利用した無限級数の和
数列 は, かつ漸化式 \( a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) を満た すものとする。自然数 に対して, 実数 を かつ となるように定める。
(1) \( a_{n}\left(a_{n+2}+a_{n+1}\right)=a_{n+1} a_{n+2}-(-1)^{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) が成り立つことを証明せよ。
(2) \( \theta_{2 k+1}+\theta_{2 k+2}=\theta_{2 k}(k=1,2,3, \cdots \cdots) \) が成り立つことを証明せよ。
(3) を求めよ。
[京都府医大]
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Q.13
\\( \{(k+1)!\\}^{2} = \\{(k+1) \\cdot k!\\}^{2} = (k+1)^{2} \\cdot (k!)^{2} \\geqq (k+1)^{2}(k+1)^{k-1} = (k+1)^{k+1} \\) を示せ。
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Q.18
(イ) \( (n!)^{2} \geqq n^{n} \) …... (1) とする。 [1] \ n=1 \ のとき \\((\\text { 左辺 })=(1!)^{2}=1, \\quad(\\text { 右辺 })=1^{1}=1 よって, (左辺) \ \\geqq \ (右辺) であり, (1) は成り立つ。 [2] \ n=k \ のとき, (1)が成り立つ, すなわち \\(k!)^{2} \\geqq k^{k} が成り立つと仮定する。 (ア)の結果から, \ k \\geqq 1 \ のとき \\( k^{k} \\geqq(k+1)^{k-1} \\) が成り立つ。これと (2) から \\( \\quad(k!)^{2} \\geqq(k+1)^{k-1} \\)
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Q.19
一一 数学 𝕀
3^x の 2 次方程式 (1) を解くと \quad 3^x=y \pm \sqrt{y^2-1}
3^x \geqq 1, y \geqq 1 であるから \quad 3^x=y+\sqrt{y^2-1}
したがって \quad x=\log_3(y+\sqrt{y^2-1})
x とyを入れ替えて \quad y=\log_3(x+\sqrt{x^2-1})(x \geqq 1)
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Q.20
ここで, 番目の素数 は を満たし, を満たすすべての自然数 は, 素数 を用いて \( k = p_1^{ m_1(k) } \\times p_2^{ m_2(k) } \\times \\cdots \\times p_n^{ m_n(k) }\) と表される[ただし, \( m_1(k), m_2(k), \\cdots , m_n(k) \) は 0 以上 以下の整数 ]。 \nゆえに \( \\frac{1}{k} = \\frac{1}{p_1^{ m_1(k) } \\times p_2^{ m_2(k) } \\times \\cdots \\times p_n^{ m_n(k) }} \)
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Q.21
数学 (4)Cが優勝する確率の条件から \( p^{2}-p+2=\\left(p-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\frac{7}{4}>0 \) であるから, 分母を払って整理すると\n\\n5 p^{2}+p-2 \\geqq 0\n\\nこれを解くと \nここで \nまた, から \nゆえに, であるから \n次に, (1) を満たす自然数 を 求める。\n\\n\\begin{\overlineray}{l}\n\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10}=\\frac{-10+10 \\sqrt{41}}{100}=\\frac{-10+\\sqrt{4100}}{100} \\text { であり, } \\\\\n64^{2}=4096,65^{2}=4225 \\text { であるから } \\quad 64<\\sqrt{4100}<65 \\\\\n\\text { よって } \\quad 54<-10+\\sqrt{4100}<55\n\\end{\overlineray}\n\\n は単調に増加するから(1)を満たす は 55\nしたがって, 求める の最小値は\n55
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Q.22
整数では、例えば 45 と 105 について素因数分解を利用して、最大公約数と最小公倍数を求めることができます。では、整式の場合も同様に、因数分解を利用して、最大公約数と最小公倍数を求める方法を示しなさい。\n\n例:整式 と に対して、整式の最大公約数と最小公倍数を求めよ。
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Q.23
弦をはじいたときの音は,弦の長さが半分になると1 オクターブ高い音になる。ここで, ドと1オクターブ上のドの間を,隣り合う 2 つの音の弦の長さの比が等しくなるように 12 分割した音の並びを(十二)平均律音階という。これが日常的によく用いられている 音階である。\n\n隣り合う 2 つの音の弦の長さの比を x とすると x^{12}=2^{-1} すなわち x=2^{-\frac{1}{12}} 両辺の常用対数をとると \log _{10} x=-\frac{1}{12} \log _{10} 2 \fallingdotseq-\frac{1}{12} \times 0.3010 \fallingdotseq-0.025 よって \log _{10} \frac{1}{x}=0.025 常用対数表から \frac{1}{x} \fallingdotseq 1.06 ゆえに x=\frac{1}{1.06} \fallingdotseq 0.94 よって, 弦の長さを約 0.94 倍すると音は半音上がることがわかる。例えば, ドの音の弦 \left(\fallingdotseq 0.94^{4}\right) にするとファ\#の音になる。
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Q.27
nを整数とし, を 2 以上の整数で素数とする。 3 次方程式 が正の整数