モンスタークエスト：AIチューター | ヤロウゼ､宿題！

2 つの整数 $a, b$ に対して, $a+b$ と $a b$ が互いに素ならば, $a$ と $b$ は互いに素であることを証明せよ。

次のことを証明せよ。\n(1) n(n+1)(n+2)(n+3) は 24 の倍数である。\n(2) n(n+1)(n-4) は6の倍数である。

56 以下の自然数で、56 と互いに素であるものの個数を求めよ。

a, b を自然数とするとき, a + b = p + 4, ab^{2} = q を満たす素数 p, q を求めよ。

例 1 から 50 までの整数の中から相異なる 26 個の数をどのように選んでも,和が 51 になる 2 つの数の組が必ず含まれていることを示せ。

n^{2}+1 が 5 の倍数であることと, n を 5 で割つたときの余りが 2 または 3 であることは同値であることを証明せよ。

PR 3500 の正の約数について (27 (1) 約数は全部でいくつあるか。 (2) (1)の約数の総和を求めよ。 3500=2^{2} \cdot 5^{3} \cdot 7 であるから, 3500 の正の約数は として, 2^{a} \cdot 5^{b} \cdot 7^{c} と表される。 １） a の定め方は 3 通り。 そのおのおのに対して, bの定め方は 4 通り。 更に，そのおのおのに対して，cの定め方は２通り。 よって, 積の法則により 3 \times 4 \times 2=24 (個) (2) 3500 の正の約数は (1+2+2^{2})(1+5+5^{2}+5^{3})(1+7) を展開したときの項として1つずつ出てくる。 よって, 求める総和は 7 \times 156 \times 8=8736

2 以上の自然数で, 正の約数が 1 とその数自身のみである数を素数といい, 2 以上の自然数で, 素数でない数を合成数という。例 $2 , 3 , 5 , 7 , 11 , \cdots \cdots$ は素数であり，4，6，8，9，…は合成数である。

因数分解 (基本)

135 36

数学A\n[2] $p=3 k+2$ のとき\n\n4 p+1=4(3 k+2)+1=3(4 k+3)\n\n4 k+3 は 7 以上の自然数であるから，4 p+1 は素数ではない。以上から，p, 2 p+1,4 p+1 がいずれも素数となるような自然数 p は p=3\np が 5 以上の素数のとき は 2 p+1,4 p+1 のいず れかが 3 の倍数になると 見当がつく。\n\nPR文字はすべて整数とする。合同式を用いて，次の問いに答えよ。\n123 (1) $n$ を 5 で割つた余りが 3 であるとき, $2 n^{2}+n+2$ を 5 で割った余りを求めよ。\n(2) a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2} で d が 3 の倍数でないならば, a, b, c の中に 3 の倍数がちょうど 2 個あ ることを証明せよ。

（2） $13^{15}$ を 5 進法で表すとき，一の位の数字を求めよ。

以下の命題が真か偽か判断しなさい。\n(2) 28 の正の約数は $1,2,4,7,14,28$ の 6 個である。よって, 真の命題である。\n(3) $n=36$のとき, n\は 4 の倍数かつ 6 の倍数であるが，24 の倍数でない。\nよって, 偽の命題である \( \\left(n=36\\right)\\)が反例)。

1から30までの自然数の積 30!をN とする。 Nを素因数分解したとき、次の問いに答えよ。(1) 素因数 2 の個数を求めよ。(2) 素因数 5 の個数を求めよ。(3) Nを計算すると、末尾には 0 が連続して何個並ぶか。

素数の性質の利用

PRACTICE 106\n(1) 756 の正の約数の個数を求めよ。\n（２）自然数 $N$ を素因数分解すると, 素因数には $p$ と 5 があり, これら以外の素因数は ない。また, $N$ の正の約数は 8 個, 正の約数の総和は 90 である。素因数 $p$ と自然数 $N$ の値を求めよ。

互いに素に関する証明

連続する整数の積は 2 の倍数であることを証明せよ。

素数の問題はどう考えていけばよいのか，迷ってしまいます。 素数の定義は, 「2 以上の整数で, 1 とそれ自身以外に正の約数をもたない数」とシンプルです。これをどのように活かすかがポイントです。まず，次の性質（1)，２）を押さえておきましょう。 (1) 素数 $p$ の約数は $\pm 1$ と $\pm$ （正の約数は 1 と $p$ の 2 個） (2) 素数は 2 以上で, 偶数の素数は 2 だけである。また, 3 以上の素数はすべて奇数 である。 「素数 $p$ の約数は $\pm 1$ と $\pm p 」 の$ 利用 この性質を利用すると, \( (n-3)(n-9) \) が素数 $p$ に るには，右の (A)〜(D) 4 つの場合が考えられる。 ここで, $n-9<n-3$ と $, 1<p,-p<-1$ という大小関係を考慮すると, Ⓐ) (DD)うう適するのは (B) $n-9=1$ と (C) $n-3=-1$ のみとなる。特に, $\qquad$ （負の場合）は, $n-9=-1$ のような間違いをしやすいので注意したい。 \\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\\\hline n-3 \） & 1 & p & -1 & \( -p \\\hline$n-9$ & $p$ & 1 & $-p$ & -1 \\\hline \\end{tabular} 4永草 18 約 \\square \） 数 と 掊 \( \\square \） 数 「素数は 2 以上」, 「偶数の素数は 2 だけ, 3 以上の素数は奇数」の利用 まず, 4 以上の偶数は, \( 2 \times(2 以上の自然数 \( ) \) と表されるから，素数ではない。よって, 偶数の素数は 2 だけである。 これから， 2 以外の素数はすべて奇数であることもわかる。 $p, q$ を異なる素数 \( (p<q) \) とすると, p \geqq 2, q \geqq 3 \） であるから, \\[ p+q \geqq 5, p q \geqq 6 \text { といつた不等式が成り立つ。 }\\] また, \\( \quad p \\pm q = \） (奇数 \ \） や \\( \quad p q = \） (偶数) のときは, \$p, q$ の一方は偶数, 他方は奇数であるが, 偶数の素数は２だけであるから，\$p=2$. と決めることができる。 \$\\nLeftarrow \\\奇 \\ \\pm \） \\偶 \\ = 奇 奇 \\ \\pm$ 奇 \\ = 偶 偶 \\ \\pm 奇 \\ = 偶 \\素数の性質を利用することで, このような値の決め方ができる。 (2) では, \$a b = q$ から (1)を利用して, \$a=1, b=q \） を導いた後, その後の \\( a + b = p$ すなわち p = q + 1 \） から \( p, q を導くのに (2)を利用している。 以上のように, 素数の問題では, 積や和の形の式に, (1), (2) の性質が威力を発揮することが多いです。また，素数には他にもさま ざまな性質があります。次ページのSTEP UP でまとめている ので参考にしてください。

集合の要素の個数, 場合の数に関連する次の問題について答えなさい。\n(1) 次の数の正の約数の個数を求めなさい。360 = 2^3 * 3^2 * 5\n(2) 次の多項式の展開式の項の数を求めなさい。(a+b)(p+q+r)(x+y)\n

47 (1) すべての自然数 $n$ について $n^{2}-2 n-3 \neq 0$, 偽\n(2) ある実数 $x, y$ に対して $x^{2}+2 x y+y^{2} \leqq 0$, 真

正の約数の個数が 28 個である最小の正の整数を求めよ。

40 (1) $\{2,4,5,7,9\}$\n(2) $\{2,3,5\}$

互いに素である自然数の個数

次の命題の否定を述べよ。また，その真偽を調べよ。\n（1）すべての素数について，素数は奇数である。\n（2）ある実数 $a, b$ について \( (a+b)^{2} \leqq 0 \)

例 72 と 120 の最大公約数, 最小公倍数を求める。\n12 つの数に共通な素因数で割れるだけ割っていく。\nたとえば2で割っていきます。\n2) 72 \t 120\n2) 36 \t 60\n2) 18 \t 30\n最大公約数と最小公倍数を計算してください。

3 つの数 $p, 2 p+1,4 p+1$ がいずれも素数となるような自然数 $p$ をすべて求めよ。

$p, q$ は素数で $p<q$ とする。また $m, n$ は正の整数とし, $m \geqq 3, n \geqq 2$ と する。1 から $p^{m} q^{n}$ までの整数のうち, $p$ または $q$ の倍数の個数が 240 個 であるとする。これらの条件を満たす組（ \( p, q, m, n) \) を求めよ。

基本例題 106 正の約数の個数\n(1) 630 の正の約数の個数を求めよ。\n（2）自然数 $N$ を素因数分解すると，素因数には $p$ と 7 があり，これら以外の 素因数はない。また，Nの正の約数は 6 個，正の約数の総和は 104 である。素因数 $p$ と 自然数 $N$ の値を求めよ。

完全数と素数 n を自然数とする。 2^n - 1 の形をした自然数をメルセンヌ数といい、メルセンヌ数のうち、素数であるものをメルセンヌ素数という。 例: メルセンヌ数: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023 メルセンヌ素数: 3, 7, 31, 127 ユークリッドの「2^n - 1 が素数であるような自然数 n に対して、2^(n-1)(2^n -1) は完全数である」という命題を示せ。

(2) a は正の整数であり, p = a^2 + 1 は素数であるとする。このとき, n^2 + 1 が p の倍数であることと, n を p で割ったときの余りが a または p - a であることは同値である。

PR $n$ は整数とする。次のことを証明せよ。\n(1) $2 n^{2}-n+1$ は 3 で割り切れない。\n(2) $n$ が 5 で割り切れないとき, $n^{2}$ を 5 で割った余りは 1 または 4 である。\n$k$ を整数とする。

問題 105 (1) n=42 (2) n=360

(1) 11

2 つの整数 $a, b$ に対して, $a$ と $b$ が互いに素であるならば, $a+b$ と $a b$ も互 いに素であることを証明せよ。

次の 2 つの整数, 3 つの整数の最大公約数と最小公倍数を, 素因数分解を利用して それぞれ求めよ。\n(1) 168, 378\n(2) 65,156,234

114

1 枚の硬貨を繰り返し投げ，表が３回出たら賞品がもらえるゲームをする。ただし，投げられる回数は 5 回までとし，3 回目の表が出たらそれ以降は投げない。1 回目に 裏が出たとき, 賞品がもらえるための表裏の出方の順は何通りあるか。

PR(1) 432 以下の自然数で, 432 と互いに素であるものの個数を求めよ。 (4) 114

(2) 自然数 $P$ が2でも3でも割り切れないとき、$P^{2}-1$ が24で割り切れることを証明せよ。

52\n数学 I\n[2] $n=5k+2$ のとき\n\[ n^{2}=(5k+2)^{2}=25k^{2}+20k+4=5\\left(5k^{2}+4k\\right)+4 \]\n[3] $n=5k+3$ のとき\n\[ n^{2}=(5k+3)^{2}=25k^{2}+30k+9=5\\left(5k^{2}+6k+1\\right)+4 \]\n[4] $n=5k+4$ のとき\n\[ n^{2}=(5k+4)^{2}=25k^{2}+40k+16=5\\left(5k^{2}+8k+3\\right)+1 \]\nゆえに, $5k^{2}+2k, 5k^{2}+4k, 5k^{2}+6k+1,5k^{2}+8k+3$ はそれぞれ整数であるから，いずれの場合も， $n^{2}$ は 5 の倍数とはならない。\nよって, 対偶が真であるから，もとの命題は真である。\n(2) $\sqrt{5}$ が無理数でないと仮定する。\nこのとき $\sqrt{5}$ はある有理数に等しいから，1 以外に正の公約数を持たない 2 つの自然数 $a, b$ を用いて\n \\sqrt{5}=\きfrac{a}{b} \]\nと表される。\nゆえに\n\[ a=\\sqrt{5}b \]\n両辺を 2 乗すると\n\[ a^{2}=5b^{2} \nよって, $a^{2}$ は 5 の倍数である。\n$\nLeftarrow a$ とbは互いに素。\n(1)より, $a^{2}$ が 5 の倍数であれば, $a$ も 5 の倍数であるから, $k$ を自然数として $a=5k$ と表される。\nこれを (1)に代入して $25k^{2}=5b^{2}$\nすなわち \n$b^{2}=5k^{2}$\nよって, $b^{2}$ は 5 の倍数であるから, (1) より, $b$ も 5 の倍数である。ゆえに, $a$ とbは公約数 5 をもつ。\nこれは， $a$ とbが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾する。\nしたがって, $\\sqrt{5}$ は無理数である。

PR(2) 735 以下の自然数で, 735 と互いに素であるものの個数を求めよ。

正の約数の個数

13^{15} を 5 で割った余りを求めればよい。

101 ・a, b を自然数とする。a b が 3 の倍数であるとき, a または b は 3 の倍数であることを証明せよ。

N = 250!を素因数分解したとき，次の問いに答えよ。(1) 素因数 5 の個数を求めよ。\n(2) N を計算すると，末尾には 0 が連続して何個並ぶか。

432 以下の自然数で、432 と互いに素であるものの個数を求めよ。

PR 大小 2 個のさいころを投げるとき (38 （1）目の積が 3 の倍数になる場合は何通りあるか。 （2）目の積が6の倍数になる場合は何通りあるか。

131

D → A → B → C → E の順に塗る。D → A → B の塗り方は3! = 6 (通り)そのおのおのに対し, C, E の塗り 方は 1 通りずつある。よって, 求める塗り分け方の総数 は6 × 1 × 1=6 (通り)。

PR (1) 756 の正の約数の個数を求めよ。

PR (2) 自然数 $N$ を素因数分解すると、素因数にはpと5があり、それら以外の素因数はない。また、Nの正の約数は8個、正の約数の総和は90である。素因数 $p$ と自然数 $N$ の値を求めよ。

3つの数がすべて素数となる条件

自然数 $N$ の素因数分解が $N=p^a \cdot q^b \cdot r^c \cdots \cdots$ となるとき, $N$ の正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1) \cdots \cdots である。

次のような，年齢を当てるクイズがある。「私の年齢を 3 で割った余りは 1,5 で割った余りは 4,7 で割った余りは 1 です。私の年齢を当ててください。ただし，105歳より下です。」どのように答えを出せばよいだろうか？

1 次不定方程式\n整数 $a, b$ が互いに素であるとき, 整数 $c$ について, $a x+b y=c$ を満たす整数 $x, y$ が存在することを証明しなさい。

連続する4つの整数 \( n(n+1)(n+2)(n+3) \) は24の倍数であることを証明せよ。

完全順列

（2） n を自然数とするとき， 2n-1 と 2n+1 は互いに素であることを示せ。

自然数 P が 2 でも 3 でも割り切れないとき, P^2-1 が 24 で割り切れることを証明せよ。

73 略 76 (1) 略 (2) 48: 25

隣り合う順列, 隣り合わない順列

3 つの数がすべて素数となる条件\n$n$ を自然数とする。 $n, n+2, n+4$ がすべて素数となるのは $n=3$ の場合だ けであることを示せ。

鳩の巣原理 (部屋割り論法)

(1) $n$ は自然数とする。次の値が素数となるような $n$ をすべて求めよ。\n(ア) $n^{2} - 2n - 24$\n(イ) $n^{2} - 16n + 28$

素数の性質は？

n! に含まれる素因数の個数

大きな素数を発見する際の課題は？

（1） $\\sqrt{378 n}$ が自然数になるような最小の自然数 $n$ を求めよ。

1 を素数としないのはなぜ？

ケ に当てはまるものを，次の（）～７のうちから１つ選べ。\n| (0) | 1) | (2) | (3) | 4 | (5) | (6) | (7) |\n| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |\n|(a) | 正 | 正 | 正 | 誤 | 正 | 誤 | 誤 | 䛊 |\n|(b) | 正 | 正 | 誤 | 正 | 䛊 | 正 | 誤 | 䛊 |\n|(c) | 正 | 䛊 | 正 | 正 | 誤 | 誤 | 正 | 䛊 |

117

整数がいくつかの整数の積で表されるとき，積を作る1つ1つの整数を，もとの整数の因数という。素数である因数を素因数といい, 自然数を素数だけの積の形 に表すことを素因数分解するという。

302\nS ̇PU 最短経路の数を書き込んで求める\n基本例題 28 では最短経路の数を求めるとき, 右へ進む記号 \\rightarrow \, 上へ進む記号 \\uparrow \ のくつ かを並べる順列の総数として考えた。ここでは，場合の数を責き込んで求める方法を紹介する。\n右の図のような道路があり, 2 地点を結ぶ最短距離の 道順を考える。地点 \\mathrm{P} \ までの道順が p \ 通り, 地点 \\mathrm{Q} \ までの道順が q \ 通りあるとき，地点Ｒまでの道順は， p+q \ 通りある。\n\n解説 地点 \\mathrm{P} \ から \\mathrm{R} \ までは 1 通りであるから，地点 \\mathrm{P} \ を通る \\mathrm{R} \ までの道順は\n\\[p \\times 1=p \\text { (通り) }\\]\n\n同様に，地点 \\mathrm{Q} \ を通るR までの道順は \\quad q \\times 1=q \ (通り)\nしたがって, 地点Rまでの道順は，和の法則から \\quad p+q \ (通り)\nこの方法で, 基本例題 28 を解いてみよう。

双子素数と三つ子素数 n を自然数とする。 (n, n+2) の形をした素数の組を双子素数という。 また、(n, n+2, n+6) または (n, n+4, n+6) の形をした素数の組を三つ子素数という。 例: 双子素数: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31) 三つ子素数: (5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47) (1) 初めての双子素数と三つ子素数を求めよ。 (2) 双子素数の組み合わせを三つ以上挙げよ。

正の約数の個数が 28 個である最小の正の整数を求めよ。

素数の求め方 (エラトステネスのふるい)\n自然数 $n$ が $\sqrt{n}$ 以下のすべての素数で割り切れなければ, $n$ は素数である。\nこの法則を利用して、$n=50$ 以下の素数をすべて求める方法を考える。

約数の個数と総和

因数分解 (たすき掛け)

因数分解の要領

因数分解の基本を振り返ろう！

基本 11: 共通因数のくくり出しによる因数分解

次の命題を証明せよ。\n(2) $m n$ が奇数ならば, $m, n$ はともに奇数である。

次の (1)〜(5) の場合について、2 次関数 $y=x^{2}-2 a x+a$ の $1 \leqq x \leqq 2$ における最大値および最小値を求めよ。ただし，a は定数とする。\n(1) a<1\n(2) 1 \leqq a<\\frac{3}{2}\n(3) a=\\frac{3}{2}\n(4) \\frac{3}{2}<a \leqq 2\n(5) 2<a

1. $41^{3} x$ の 2 次関数 $y=x^{2}+2 b x+6+2 b$ の最小値を $m$ とする。\n(1) $m$ をbの式で表せ。\n（2） $b$ を変化させるとき， $m$ の最大値とそのときの $b$ の値を求めよ。

(1）連続する2つの整数の積は2の倍数であることを証明せよ。

2 つの整数 $a, b$ について, 共通な素因数がないとき, $a, b$ の最大公約数は 1 である。 2 つの整数 $a, b$ の最大公約数が 1 であるとき, $a$ と $b$ は互いに素であるという。

14 (1) 144 通り\n(2) 720 通り\n(3) 1440 通り

因数分解の基本的な手順をまとめておきましょう。因数分解の公式が適用できる形にするための手段として、以下の手順をまとめます。 共通因数をくくり出す 例 6a²b - 9ab² + 3ab = 3ab(2a - 3b + 1) 同じ式やまとまった式は、1つの文字でおき換える 例 (x + y)² - 10(x + y) + 25 を X と置き換えると、(X - 5)² = (x + y - 5)² になります。 次数を下げるために置き換え 例 a⁴ - b⁴ を x² - y² と置き換えると、(a² + b²)(a + b)(a - b) になります。 複数の種類の文字を含む式の因数分解で、上記の手段がうまくいかない場合の対策として、1つの文字について整理する方法を解説します。例題17のように、次数が最低の文字について整理することで、共通因数をくくり出すことができます。

1 個のさいころを 2 回投げるとき, 目の積が 12 の倍数となる場合の数は何通りあるか。

数学 (A) (2) p=a^{2}+2 a b+b^{2}-a-b =(a+b)^{2}-(a+b) =(a+b)(a+b-1) a \geqq 1, b \geqq 1 から a+b>a+b-1 \geqq 1 また, 刀 は素数であるから a+b-1=1 a+b=p (2) (1) から a+b=2 a \geqq 1, b \geqq 1 から a=1, b=1 このとき, (2)から p=2 となり, p は素数である。 よって, p が素数となるような a, b は a=1, b=1

(2) n³ - 3n² + 2n は 6 の倍数であることを証明せよ。

12^nの正の約数の個数が28個となるような自然数nを求めよ。

（1）60！を計算した結果は，3 で最大何回割り切れるか。 98\n（2） 50！を計算すると，末尾に0 は連続して何個並ぶか。

素数の性質の利用

（1）整数 n が 3 の倍数でないならば, n^2-1 は 3 の倍数であることを証明せよ。 （2）どのような整数 n に対しても， n^2+n+1 は 5 で割り切れないことを証明せよ。

共通因数をくくり出して因数分解しなさい。

95 (1) n=21 (2) n=30,270

次の 2 つの整数の最大公約数を，互除法を用いて求めよ。 (1) 221,91 (2) 418,247 (3) 1501,899 GUIDE 2 つの整数の最大公約数 GUIDE 簡単に素因数分解できないときは, 互除法が有効 a を b で割った余りが r ならば,次は b を r で割る。これを繰り返して, r=0 とな つたときの b が求める最大公約数である。a= b q1+r1 \quad a を b で割る\nb= r1 q2+r2 \quad b を r1 で割る r1= r2 q3+r3 \quad r1 を r2 で割る 余り r1 余り r2\n⋮ 余り r3 rn−1=rn qn+1 ← 割り切れたところで終了 rn が最大公約数

EX 51 p, 2p+1, 4p+1 がいずれも素数であるような p をすべて求めよ。 力が素数のとき, 2p+1, 4p+1 が素数になるかどうかを調べ る。

自然数 $a, b$ に対して, $a$ と $b$ が互いに素ならば, $a+b$ と $ab$ は互いに素であることを証明せよ。

自然数 $a, k$ に対して, $a$ と $k a+1$ は互いに素であることを証明せよ。

第 4 章 約数 と倍数—235 EX 50 n を 2 以上の自然数とするとき, n^{4}+4 は素数にならないことを示せ。 [宮崎大]

基本例題や標準例題を解いた後に取り組むとよい問題は何ですか？

以下の質問に答えてください。（1）60!を計算した結果、3で最大何回割り切れるかを求めてください。 （2）50!を計算すると、末尾に0がいくつ連続して現れるかを求めてください。

自然数 $a, b$ に対して、次のことを証明せよ。\n(1) $a$ と $b$ が互いに素ならば, $a^2$ と $b^2$ は互いに素である。\n(2) $a+b$ と $ab$ が互いに素ならば, $a$ と $b$ は互いに素である。

2 以上の自然数とするとき, n^4+4 は素数にならないことを示せ。

（2）次の 2 つの集合 $A, B$ の間に成り立つ関係を，記号 \\subset ,= \ を用いて表せ。 $A=\{n \mid n$は 7 以下の素数 \( \}, \quad B=\{2n-1 \mid n=2,3,4\}）

次の数式についての質問です。（1）10を2で割った商、4を2で割った商、2を2で割った商を用いて、2の倍数の個数を数える方法を用いたとき、10!が2で割り切れる最大の回数は何回ですか？ （2）10を5で割った商を用いて、10!を計算した結果、末尾に0がいくつ連続して現れるかを求めてください。

（1）720 の正の約数の個数を求めよ。\n\n（2）自然数 $N$ を素因数分解すると、素因数には 2 と 3 があり、それ以外の素因数はない。また、Nの正の約数はちょうど 10 個あるという。このような自然数 $N$ をすべて求めよ。

2 以上の自然数で，1とそれ自身以外に正の約数をもたない数を 素数 という。 2 以上の自然数で，素数でない数を合成数という。 (例) 素数: 2,3,5,7, 合成数: 4(=2 x 2), 6(=2 x 3), 8(=2^3), 9(=3^2) 注意 素数の中で，偶数は 2 だけであり， 3 以上の素数はすべて 奇数である。 素因数分解 整数がいくつかの整数の積で表されるとき，積を作る整数をもとの 整数の 因数 という。素数である因数を 素因数 という。 自然数を素数だけの積の形に表すことを素因数分解 するという。 なお, 合成数は必ず素因数分解でき, 1つの合成数の素因数分解は 積の順序を考えなければ1通りである。これを 素因数分解の一意性 という。素因数分解は，できるだけ小さい素数から順に，割り切れるだけ割 っていく。

TANABATA の 8 文字をすべて使って文字列を作るとき, 文字列は何個作れるか。

数学 A （2）求める 2 つの自然数を 6 m, 6 n とする。ただし， m, n は互いに素な自然数とする。6 m>6,6 n>6 であるから m>1, n>1 条件から 4536=6 m・6 n すなわち m n=126 …. (2) m n は(自然数) 2 ではないから m ≠ n よって, 1<m<n として (2) を満たす m, n の組を求めると (m, n)=(2,63),(3,42),(6,21), (7,18), (9,14) このうち, m, n が互いに素であるのは (m, n)=(2,63),(7,18),(9,14) よって, 求める 2 つの自然数は 12, 378 または 42, 108 または 54, 84

2 進数 101 を 10 進法で表すとどのようになりますか？

addition という単語の 8 文字を横 1 列に並べるとき, 次のような並べ方は何通りある か。\n(1) すべての並べ方\n(2) 「not」という連続した 3 文字が現れるような並べ方\n(3) n の方が o より左に現れる並べ方

倍数の判定法をマスターして, 例題 85 を攻略！

8 個の正の約数をもつ最小の自然数を求めよ。

TRAINING 99 (1) n は自然数とする。次の式の値が素数になるような n をすべて求めよ。 (ア) n^{2}+6 n-27 (イ) n^{2}-16 n+39 (2) a, b は自然数で, p=a^{2}-a+2 a b+b^{2}-b とする。 p が素数となるような a, b をすべて求めよ。

(1) 5進法で表すと3桁となるような自然数Nは何個あるか。

4 個の正の約数をもつ最小の自然数を求めよ。

答 の 部 数 学 50 略 51 (1) {1,2,3,4,5,6,7,9,12,18} (2) {1,2,3,6}

25 (2) (J) 3

p, 2p+1,4p+1 がいずれも素数であるような p をすべて求めよ。

順序が定まった順列。 標準 20 順序が定まった順列。

99 (1) (ア) n=4 (1) n=2,14 (2) a=1, b=1

約数の個数とその総和。 標準 7 約数の個数とその総和。

TR 101 a, k は自然数とする。 a と k a+1 は互いに素であることを証明せよ。

ある工場で作る部品 A，B，C はネジをそれぞれ 7 個，9 個，12 個使ってい る。出荷後に残ったこれらの部品のネジをすべて外したところ，ネジが全部 で 35 個あった。残った部品 $A, B, C$ の個数をそれぞれ $l, m, n$ として,可能性のある組 \( (l, m, n) \) をすべて求めよ。

自然数 $n$ は, 1 と $n$ 以外にちょうど 4 個の正の約数をもつとする。このような自然数 $n$ の中で, 最小の数はア $\square$ であり, 最小の奇数はイ $\square$ である。

例題 83 を, 最大値, 最小値に分けて考えると, 次のようになりますね。

1800 の正の約数の個数を求めよ。

1次不定方程式の整数解を求める問題 (3)（互除法の利用）。

UP 1 次不定方程式の整数解の求め方を振り返ろう！\n整数解が簡単に見つからないときは，互除法を利用しよう。互除法の計算を 逆にたどって, 整数解を見つけられます。

a と b が互いに素でない，すなわち a と b が共通な素因数 p をもつと仮定すると a=p k, b=p l (k, l は自然数) と表される。このとき a+b=p(k+l), a b=p^{2} k l よって, a+b と a b はともに素因数 p をもつ。このことは, a+b と a b が互いに素であることに矛盾する。 したがって, a とbは互いに素である。

大小 2 個のさいころを同時に投げるとき，1の目が１個も出ない目の出方は何通りあるか。

TRAINING 47\n(1) 3 の正の倍数のうち, 20 以下のもの全体の集合を $A$ とするとき, 次の $\square$ に適 する記号 $\in$ またはを入れよ。\n(ア) 9 $\square$ A\n(イ) 14 $\square$ $A$\n(ウ) 0 $\square$ $A$\n（2）次の 2 つの集合 $A, B$ の間に成り立つ関係を，記号 $\subset,=$ を用いて表せ。 $A=\{n \mid n$ は 7 以下の素数 $\}, \quad B=\{2 n-1 \mid n=2,3,4\}$

$x$ 軸上に点 $\mathrm{P}$ がある。さいころを投げて，6の約数の目が出たとき $\mathrm{P}$ は $x$ 軸上の正の方向に 1 だけ進み, 6 の約数でない目が出たとき $\mathrm{P}$ は $x$ 軸上の負の方向に 2 だけ進むことにする。さいころを 4 回投げたとき, 原点から出発した点 $\mathrm{P}$ が $x=-2$ の点にある確率はア $\square$ ，原点にある確率はイ $\square$ である。

648 の正の約数の個数と, その総和を求めよ。

14で割ると5余り, 9で割ると7余る自然数 $n$ のうち, 3桁で最大のものを求めよ。

EX人の子どもに 180 個のみかんを a 個ずつ， 252 個のキャンディーを b 個ずつ残さずすべて配り n の最大値とそのときの a, b の値を求めよ。ただし，文字はすべて自然数を表す。

因数分解の要領

ユークリッドの互除法\n自然数 $a, b$ について, $a$ を $b$ で割つた余りを $r$ とすると $a$ と $b$ の最大公約数は, $b$ と $r$ の最大公約数に等しい。\n\nこのことを繰り返し利用すると，2つの自然数の最大公約数を求めることができる。これを，ユークリッドの互除法，または単に互除法という。\n例 319 と 143 の最大公約数を求める\n319 を 143 で割った割り算の等式 $319=143 \cdot 2+33$ に注目すると,定理により, 319 と 143 の最大公約数を求める代わりに，割る数 143 と余り 33 の最大公約数を求めればよいことがわかる。 この操作を繰り返していくと，次のように出てくる余りは小さく なっていく。更に，余りは０以上であるから，いずれ余りは 0 に なる。その余りが 0 となるときの割る数が, 求める最大公約数 である。

数学 A TR （1）合同式を利用して, 次のものを求めよ。 12^{1000} を 11 で割った余り 13^{81} の一の位の数 （2）整数 a, b, c が a^2+b^2=c^2 を満たすとき, a, b のうち少なくとも 1 つは 3 の倍数である ことを，合同式を利用して証明せよ。

5390 を自然数 n で割って, 余りが 0 で, 商が自然数の平方になるようにしたい。そのよう な n の最小値を求めよ。

TRAINING 104 (5)\n（1）合同式を利用して, 次のものを求めよ。\n(ア) $12^{1000}$ を 11 で割った余り\n(イ) $13^{81}$ の一の位の数\n(2) D. 463 の例題 103(2)を，合同式を利用して解け。

因数分解の基本を振り返ろう！

8 個の正の約数をもつ最小の自然数を求めよ。

（1） n は整数とする。 (n-4)(n+8) が素数となるような n をすべて求めよ。 (2) a, b は異なる自然数とするとき, a b=p (1), a+b=q をともに満たす素数 p, q を求めよ。

自然数 N を素因数分解すると，素因数には 3 と 5 があり，それ以外の素因数はない。また，N の正の約数はちょうど 6 個あるという。このような自然数 N をすべて求めよ。

対偶を利用した証明方法を説明し、次の命題Tを対偶を使って証明してください。 命題T: 「もしxが3で割り切れないならば、xは奇数である」

自然数の正の約数の個数を求めよ。

10000の約数の個数を求めよ。

10000 の約数の個数を求めよ。

TR a, b は自然数とする。このとき, 次のことを証明せよ。 (1) a と bが互いに素ならば, a^{2} と b^{2} は互いに素である。 (2) a+b と a b が互いに素ならば, a とbは互いに素である。

自然数 $a$ に対し， $a$ と $a+1$ は互いに素であることを証明せよ。

TRAINING 109 (3) 23 で割ると 8 余り, 15 で割ると 5 余る自然数のうち, 4 桁で最小のものを求めよ。

150 に 2 桁の自然数 n を掛け, ある自然数の平方になるようにしたい。そのような n の最大値を求めよ。

大中小 3 個のさいころを同時に投げるとき，どの目も奇数になる目の出方は何通り あるか。

(1) \\\\( 72^{\\circ} \\\\\\\n(2) \\\\( \\frac{\\sqrt{5}-1}{2} \\\\\\\n(3) \\\\( \\frac{\\sqrt{5}+1}{4} \\\\\\\n

500 以下の自然数の中で, 次の集合の要素の個数を求めよ。\n(1) 3 で割り切れる数の集合\n(2) 3 でも 5 でも 7 でも割り切れる数の集合\n(3) 3 で割り切れるが， 5 で割り切れない数の集合\n(4) 3 でも 5 でも割り切れない数の集合\n(5) 3 で割り切れるが, 5 でも 7 でも割り切れない数の集合

（1）1800 の正の約数の個数を求めよ。\n\n（2）自然数 $N$ を素因数分解すると, 素因数には 3 と 5 があり, それ以外の素因数はない。また、$N$ の正の約数はちょうど 6 個あるという。このような自然数 $N$ をすべて求めよ。

（2） 0 でない実数 x, y, z が, 2^{x}=5^{y}=10^{\frac{z}{2}} を満たすとき, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z} の値を求めよ。

3次方程式 x^3-3x^2-9x+k=0 の異なる実数解の個数を調べよ。

方程式 \ x^{3}=1 \ の虚数解の 1 つを \ \\omega \ とする。このとき \ \\frac{1}{\\omega}+\\frac{1}{\\omega^{2}}+1= \u25A1, \\omega^{100}+\\omega^{50}= \u25A1 \ である。

数列 1, 17, 35, 57, 87, 133, 211, …の一般項を求めよ。

0 でない実数 x, y, z が, 2^{x}=5^{y}=10^{\frac{z}{2}} を満たすとき, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z} の値を求めよ。

1 と 10 の間にあって, 素数 $p$ を分母とする既約分数の総和が 198 であるとき, pの値を求めよ。

〔2〕 1 と10の間にあって, 素数 を分母とする既約分数の総和が 198 であるとき, pの値を求めよ。

基 本 例題 5 二項定理を利用する式の値 次の値を求めよ。\n(1) ${ }_{n} \mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \mathrm{C}_{2}+\cdots \cdots+{ }_{n} \mathrm{C}_{r}+\cdots \cdots+{ }_{n} \mathrm{C}_{n}$\n(2) \( { }_{n} \mathrm{C}_{0}-{ }_{n} \mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \mathrm{C}_{2}-\cdots \cdots+(-1)^{r}{ }_{n} \mathrm{C}_{r}+\cdots \cdots+(-1)^{n}{ }_{n} \mathrm{C}_{n} \)\n(3) \( { }_{n} \mathrm{C}_{0}-2{ }_{n} \mathrm{C}_{1}+2^{2}{ }_{n} \mathrm{C}_{2}-\cdots \cdots+(-2)^{r}{ }_{n} \mathrm{C}_{r}+\cdots \cdots+(-2)^{n}{ }_{n} \mathrm{C}_{n} \)\n

3. \ { }_{n} \\mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{2}+\\cdots \\cdots+{ }_{n} \\mathrm{C}_{n}=2^{n} \

EX 1 から 300 までのすべての整数を考える。\n(2)（1）３で割り切れるが9では割り切れないものをすべて足し合わせた数を求めよ。\n(2) 3 でも 7 でも割り切れないものをすべて足し合わせた数を求めよ。

数列 $a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ で定められる数列 $\left\{ a_{n}\right\}$ の一般項を求めよ。

次の０～５のうちから１つ選べ。\n(0) p_{4}<p_{5}\n(1) p_{4}=p_{5}\n(2) p_{4}>p_{5}

2乗すると $8 i$ になるような複素数 $z=x+y i(x, y$ は実数)はちょうど2つ存在する。この $z$ を求めよ。

（2）等比数列であるとすると，公比は\frac{6}{3}=2第 \u2099 項が 1500 とすると 3* 2^{n-1}=1500 よって 2^{n-1}=500\n500=2^{2}* 5^{3}であるから，この等式を満たす自然数nは存在しない。\nゆえに，等比数列になることはない。

187 最大値 \( 32, C(1,8) \)

すべての正の整数 $n$ に対して、 $3^{3n-2}+5^{3n-1}$ が 7 の倍数であることを証明せよ。

すべての正の整数 $n$ に対して, $3^{3 n-2}+5^{3 n-1}$ が 7 の倍数であることを証明せよ。 [弘前大] \left\ulcorner 3^{3 n-2}+5^{3 n-1}\right. が 7 の倍数である」を（A）とする。 [1] $n=1$ のとき $3^{1}+5^{2}=28=7 \cdot 4$ よって, $n=1$ のとき (A) は成り立つ。 [2] $n=k$ のとき (A) が成り立つと仮定すると， $m$ を整数と して, $3^{3 k-2}+5^{3 k-1}=7 m$ と表される。 \[ \begin{array}{l} \text { よって } \quad 5^{3 k-1}=7 m-3^{3 k-2} \\ n=k+1 \text { のとき } \\ 3^{3(k+1)-2}+5^{3(k+1)-1}=3^{3} \cdot 3^{3 k-2}+5^{3} \cdot 5^{3 k-1} \\ =27 \cdot 3^{3 k-2}+125\left(7 m-3^{3 k-2}\right) \\ =125 \cdot 7 m-98 \cdot 3^{3 k-2} \\ =7\left(125 m-14 \cdot 3^{3 k-2}\right) \\ \end{array} \] $125 m-14 \cdot 3^{3 k-2}$ は整数であるから, \( 3^{3(k+1)-2}+5^{3(k+1)-1} \) は 7 の倍数である。 したがって, $n=k+1$ のときにも（A）は成り立つ。 [1], [2] から, すべての正の整数 $n$ に対して (A) は成り立つ。 別解 7 を法とする合同式を利用する。 \[ \begin{aligned} 3^{3} \equiv 27 \equiv 6(\bmod 7), & 5^{3} \equiv 125 \equiv 6(\bmod 7) \text { であり } \\ 3^{3 n-2}=3^{3(n-1)+1} & =\left(3^{3}\right)^{n-1} \cdot 3 \\ 5^{3 n-1}=5^{3(n-1)+2} & =\left(5^{3}\right)^{n-1} \cdot 5^{2} \\ \text { よって } \quad 3^{3 n-2}+5^{3 n-1} & \equiv\left(3^{3}\right)^{n-1} \cdot 3+\left(5^{3}\right)^{n-1} \cdot 5^{2} \\ & \equiv 6^{n-1} \cdot 3+6^{n-1} \cdot 5^{2} \\ & \equiv 6^{n-1}\left(3+5^{2}\right) \\ & \equiv 6^{n-1} \cdot 28 \equiv 0(\bmod 7) \end{aligned} \] ゆえに，すべての正の整数 $n$ に対して， $3^{3 n-2}+5^{3 n-1}$ は 7 の 倍数である。

35 (1) $x^{2}+y^{2}=3^{2}$ すなわち $x^{2}+y^{2}=9$

綀習 命題「整数 n が 5 の倍数でなければ, n^{2} は 5 の倍数ではない。」が真であることを証明せよ。また, この命題を用いて √5 は有理数でないことを背理法により証明せよ。

EX k を正の整数とする。 5 n^{2}-2 k n+1<0 を満たす整数 n が, ちょうど 1 個であるような k の値を すべて求めよ。

次のアからエのうち、正しいものを選びなさい。 (1) A の要素の個数が 2 であることは, a が素数であるためのア ◻️。 (2) A ∩ B= \{1,2\} であることは, a と b がともに偶数であるためのイ ◻️。 (3) a ≤ b であることは, A ⊆ B であるためのウ ◻️。

2 つの方程式 $x^{2}-x+a=0, x^{2}+2 a x-3 a+4=0$ について, 次の条件が成り立つように, 定数 $a$ の値の範囲を定めよ。\n（1）両方とも実数解をもつ\n（2）少なくとも一方が実数解をもたない\n（3）一方だけが実数解をもつ

次の $\square$ に最も適する語句を，上の例題の選択肢（ア）（I）から選べ。ただし， $a, x$, y は実数とする。\n(4) $A, B$ を 2 つの集合とする。 $a$ が $A \cup B$ の要素であることは, $a$ が $A$ の要素で あるための $\square$ (4) 掟南大] p.101 EX44,45>

具本 44 集合の記号と表し方\n(1) 42 の正の約数全体の集合を $A$ とする。次の $\square$ の中に, $\in$ または $\notin$ のい ずれか適するものを書き入れよ。\n(ア) 7 $\square$ A\n(イ) 9 $\square$ A\n(ウ) -2 $\square$ $A$\n(2) 次の集合を，要素を書き並べて表せ。\n(ア) $A=\{x \mid-2 \leqq x<4, x$ は整数 $\}$\n(イ) $B=\{x \mid x$ は 24 の正の約数\}\n(3) 3 つの集合 $A=\{3,6,9\}, B=\{x \mid x$ は 18 の正の約数 $\}$, $C=\{x \mid 1 \leqq x \leqq 10, x$ は整数で 3 の倍数 $\}$ について，次の $\qquad$ の中に, $\subset$, $\supset$, $=$ のうち，最も適するものを書き入れよ。\n(ア) $A$ $\square$ $B$\n(イ) $B \square$ $\square$ C\n(ウ) $A$ $\square$ C

130 (1) (2) (2) (4) (6) (7) (9) (3) (10) (12)

178 8 通り

実数 $x, y$ が $x^{2}+y^{2}=2$ を満たすとき, $2 x+y$ のとりうる値の最大値と最小値を 求めよ。また, そのときの $x, y$ の値を求めよ。

ガウス記号とグラフ (Gauss 記号)

180 (1), (3)

（1） $x$ の 2 次方程式 \( x^{2}+(2 k-1) x+(k-1)(k+3)=0 \) が実数解をもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

連続した 3 つの自然数のうち,最小のものの平方が, 他の 2 数の和に等しい。この 3 数を求めよ。 ${ }^{3} 80$\n最小のものを $n$ とると，他の 2 数は $n+1, n+2$ と表される。条件から \( \quad n^{2}=(n+1)+(n+2) \)\nすなわち $n^{2}-2 n-3=0$ よって \( \quad(n+1)(n-3)=0 \)\n$n$ は自然数であるから $n=3$\nゆえに，求める 3 数は $3,4,5$\n別解 最小のものを $n-1$ とすると, 他の 2 数は $n, n+1$ と表 される。\n条件から \( \quad(n-1)^{2}=n+(n+1) \)\nすなわち $n^{2}-4 n=0$ よって \( n(n-4)=0 \)\n$n-1$ は自然数であるから $\quad n=4$\nゆえに，求める 3 数は $3,4,5$\nふ連続した自然数。\n『解は $n=-1,3$\nふ解の吟味。 $n$ は自然数。\nઐ連続した自然数。\n解は $n=0,4$\nઐ解の吟味。 $n-1$ は自然数。

EX整数 $a, b, c$ に関する次の命題の逆と対偶を述べ，それらの真偽を述べよ。\n「 a^{2}+b^{2}+c^{2} \ が奇数ならば $a, b, c$ のうち少なくとも 1 つは奇数である」

(1) 「大きい」の意味が明確でないから,正しいか正しくないかが定まらない。よって, 命題ではない。 (2) 28 の正の約数は $1,2,4,7,14,28$ の 6 個である。よって, 真の命題である。 (3) $n=36$ のとき, $n$ は 4 の倍数かつ 6 の倍数であるが, 24 の倍数でない。よって, 偽の命題である $(n=36$ が反例)。

2 次方程式 \( x^{2}+(a-3) x-a+6=0 \) が実数解をもたないような，定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

定数 $a$ を用いた放物線 $y = 2x^2 + 3x - a + 1$ と $x$ 軸の共有点の個数を求めよ。

2 因数分解

数学 I\n(1) 次の命題を証明せよ。\n「nが5で割り切れるなら、nの二乗は5で割り切れる。」

127 (3), (5)

146 (1), (3)

因数分解された2次不等式の解を求めよ。次の不等式に対する解を見つけてください。\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) > 0 \)\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) \geq 0 \)\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) < 0 \)\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) \leq 0 \)\nまた、特別な場合として平方の2次不等式についても考える。\n- \( (x - \alpha)^2 > 0 \)\n- \( (x - \alpha)^2 \geq 0 \)\n- \( (x - \alpha)^2 < 0 \)\n- \( (x - \alpha)^2 \leq 0 \)

(2) 交代式が \( (a-b)(b-c)(c-a) \) を因数にもつことを証明してください。

2 (問題例)：$p$ より大きい解と $p$ より小さい解を持つ条件を求めよ。

(1) $\{2,4,5,7,9\}$\n(2) $\{2,3,5\}$

《基本例題 76 z=1+i とする。 （2） z^n が純虚数となる最小の自然数 n の値を求めよ。

17 (3) 1

(4) $a_{1}, b_{1}$ を互いに素な正の整数とし, $a_{2}, b_{2}$ も互いに素な正の整数とする。集合 $Q_{1}$ と $Q_{2}$ を\n$Q_{1}=\left\{z \mid z\right.$ は整数 $k$ を用いて \( \left(\cos \frac{2 a_{1}}{b_{1}} \pi+i \sin \frac{2 a_{1}}{b_{1}} \pi\right)^{k} \) と表される複素数 $\}$ $Q_{2}=\left\{z \mid z\right.$ は整数 $k$ を用いて \( \left(\cos \frac{2 a_{2}}{b_{2}} \pi+i \sin \frac{2 a_{2}}{b_{2}} \pi\right)^{k} \) と表される複素数 $\}$ で定め, 集合 $R$ を\n $R=\left\{z \mid z\right.$ は集合 $Q_{1}$ の要素と集合 $Q_{2}$ の要素の積で表される複素数 $\}$ で定める。 $b_{1}$ と $b_{2}$ が互いに素ならば，集合 $R$ の要素の個数 \( n(R) \) はウ $\square$ で ある。 $b_{1}$ と $b_{2}$ が互いに素でないとき, それらの最大公約数を $d$ とすれば, 集合 $R$ の要素の個数 \( n(R) \) はエ $\square$ である。

11 (3) 0

数学C 139 [2] $k=-\frac{1}{2}$ のとき \n\\[\n\\begin{array}{l}\nz_{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i=\cos \frac{2}{3} \pi+i \sin \frac{2}{3} \pi \\\\\nz_{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i=\cos \left(-\frac{2}{3} \pi\right)+i \sin \left(-\frac{2}{3} \pi\right)\n\\end{array}\n\\]\n[1], [2] のそれぞれの場合における 3 点 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ の位置関係は 次の図のようになる。\n[1]\n[2]\nゆえに, 6 点 $w_{1}, w_{2}, w_{3}, \overline{w_{1}}, \overline{w_{2}}, \overline{w_{3}}$ が正六角形の頂点となる のは, 3 点 $w_{1}, w_{2}, w_{3}$ が次の図のようになる場合である。\nただし [1] [2] $\longrightarrow$ (2), (3), (4) (1) (3) (2) (4)\n4点 $z_{1}$ の回転について 考えると， $w_{1}, w_{2}, w_{3}$, $\overline{w_{1}}, \overline{w_{2}}, \overline{w_{3}}$ を頂点とす る正六角形の頂点に移る とき, 回転角 $\theta$ は $0 \leqq \theta \leqq \pi$ の範囲で,\n\\n\\theta=\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5}{6} \pi\n\\nの 3 通りある。\n[1] では $\theta=\frac{\pi}{2}$ のとき 条件を満たす。\nしたがって $\quad k=\frac{1}{2} \quad$ のとき $\quad \theta=\frac{\pi}{2}$;\n\\nk=-\frac{1}{2} のとき \theta=\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5}{6} \pi\n\

6 順に (1) \\( (-4,-1,6), \\sqrt{53} \\)\n(2) \\( (12,-3,-4), 13 \\)\n(3) \\(

漸化式を利用した無限級数の和 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ は, $a_{1}=a_{2}=1$ かつ漸化式 \( a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) を満た すものとする。自然数 $n$ に対して, 実数 $\theta_{n}$ を $0<\theta_{n}<\frac{\pi}{2}$ かつ $\tan \theta_{n}=\frac{1}{a_{n}}$ となるように定める。 (1) \( a_{n}\left(a_{n+2}+a_{n+1}\right)=a_{n+1} a_{n+2}-(-1)^{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) が成り立つことを証明せよ。 (2) \( \theta_{2 k+1}+\theta_{2 k+2}=\theta_{2 k}(k=1,2,3, \cdots \cdots) \) が成り立つことを証明せよ。 (3) $\sum_{k=1}^{\infty} \theta_{2 k-1}$ を求めよ。 [京都府医大]

b1 と b2 が互いに素でないという条件を，最大公約数を d として式で表す。

\\( \{(k+1)!\\}^{2} = \\{(k+1) \\cdot k!\\}^{2} = (k+1)^{2} \\cdot (k!)^{2} \\geqq (k+1)^{2}(k+1)^{k-1} = (k+1)^{k+1} \\) を示せ。

10 (1) 2 (2) 順に \( (\alpha, \beta)=(2,3),(3,2) \); $a_{n}=2 \cdot 3^{n-1}-2^{n-1}, \infty$

(2) $l$ をkと互いに素な自然数とする。このとき, 複素数 $z^{l}, z^{2 l}, z^{3 l}, \cdots \cdots, z^{k l}$ は すべて異なることを示せ。

\\( (x+2)(2 x-3)<(x+2)^{2} \\) を解け。

8 (1) 正しくない\n(2) 正しくない\n(3) 正しくない\n(4) 正しい

(イ) \( (n!)^{2} \geqq n^{n} \) …... (1) とする。 [1] \ n=1 \ のとき \\((\\text { 左辺 })=(1!)^{2}=1, \\quad(\\text { 右辺 })=1^{1}=1 よって, (左辺) \ \\geqq \ (右辺) であり, (1) は成り立つ。 [2] \ n=k \ のとき, (1)が成り立つ, すなわち \\(k!)^{2} \\geqq k^{k} が成り立つと仮定する。 (ア)の結果から, \ k \\geqq 1 \ のとき \\( k^{k} \\geqq(k+1)^{k-1} \\) が成り立つ。これと (2) から \\( \\quad(k!)^{2} \\geqq(k+1)^{k-1} \\)

一一 数学 𝕀 3^x の 2 次方程式 (1) を解くと \quad 3^x=y \pm \sqrt{y^2-1} 3^x \geqq 1, y \geqq 1 であるから \quad 3^x=y+\sqrt{y^2-1} したがって \quad x=\log_3(y+\sqrt{y^2-1}) x とyを入れ替えて \quad y=\log_3(x+\sqrt{x^2-1})(x \geqq 1)

ここで， $n$ 番目の素数 $p_{n}$ は $p_{n}>n$ を満たし， $1 \\leq k \\leq n$ を満たすすべての自然数 $k$ は, 素数 $p_{1}, p_{2}, \cdots , p_{n}$ を用いて \( k = p_1^{ m_1(k) } \\times p_2^{ m_2(k) } \\times \\cdots \\times p_n^{ m_n(k) }\) と表される［ただし， \( m_1(k), m_2(k), \\cdots , m_n(k) \) は 0 以上 $n$ 以下の整数 ］。 \nゆえに \( \\frac{1}{k} = \\frac{1}{p_1^{ m_1(k) } \\times p_2^{ m_2(k) } \\times \\cdots \\times p_n^{ m_n(k) }} \)

数学 $\\mathbb{I}$（4）Cが優勝する確率の条件から $\\quad \\frac{2 p^{2}}{p^{2}-p+2} \\geqq \\frac{1}{3}$ \( p^{2}-p+2=\\left(p-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\frac{7}{4}>0 \) であるから, 分母を払って整理すると\n\\n5 p^{2}+p-2 \\geqq 0\n\\nこれを解くと $\\quad p \\leqq \\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}, \\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p$\nここで $\\quad \\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}<0$\nまた, $6<\\sqrt{41}<7$ から $\\quad \\frac{1}{2}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10}<\\frac{3}{5}$\nゆえに, $0<p<1$ であるから $\\quad \\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p<1$\n次に, $\\frac{n-1}{100}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq \\frac{n}{100} \\cdots \\cdots$ (1) を満たす自然数 $n$ を 求める。\n\\n\\begin{\overlineray}{l}\n\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10}=\\frac{-10+10 \\sqrt{41}}{100}=\\frac{-10+\\sqrt{4100}}{100} \\text { であり, } \\\\\n64^{2}=4096,65^{2}=4225 \\text { であるから } \\quad 64<\\sqrt{4100}<65 \\\\\n\\text { よって } \\quad 54<-10+\\sqrt{4100}<55\n\\end{\overlineray}\n\\n$n$ は単調に増加するから（1)を満たす $n$ は 55\nしたがって, 求める $N$ の最小値は\n55

整数では、例えば 45 と 105 について素因数分解を利用して、最大公約数と最小公倍数を求めることができます。では、整式の場合も同様に、因数分解を利用して、最大公約数と最小公倍数を求める方法を示しなさい。\n\n例：整式 $x^{3}+3 x^{2}+2 x$ と $x^{3}+x^{2}$ に対して、整式の最大公約数と最小公倍数を求めよ。

弦をはじいたときの音は，弦の長さが半分になると1 オクターブ高い音になる。ここで, ドと1オクターブ上のドの間を，隣り合う 2 つの音の弦の長さの比が等しくなるように 12 分割した音の並びを（十二）平均律音階という。これが日常的によく用いられている 音階である。\n\n隣り合う 2 つの音の弦の長さの比を x とすると x^{12}=2^{-1} すなわち x=2^{-\frac{1}{12}} 両辺の常用対数をとると \log _{10} x=-\frac{1}{12} \log _{10} 2 \fallingdotseq-\frac{1}{12} \times 0.3010 \fallingdotseq-0.025 よって \log _{10} \frac{1}{x}=0.025 常用対数表から \frac{1}{x} \fallingdotseq 1.06 ゆえに x=\frac{1}{1.06} \fallingdotseq 0.94 よって, 弦の長さを約 0.94 倍すると音は半音上がることがわかる。例えば, ドの音の弦 \left(\fallingdotseq 0.94^{4}\right) にするとファ\#の音になる。

(-1+sqrt(3)i)^3 の実部はア, 虚部はイである。

(2) 29^{51} を 900 で割ったときの余りを求めよ。

EX (1) 正の実数 $x, y$ が $9 x^{2}+16 y^{2}=144$ を満たしているとき, $x y$ の最大值は $\square$ である。

nを整数とし, $p$ を 2 以上の整数で素数とする。 3 次方程式 $x^{3}+n x^{2}+n^{2} x=p$ が正の整数 $x=\alpha$ を解にもつとき，次の問いに答えよ。\n(1) $\alpha=1$ であることを示せ。\n（2）上の 3 次方程式が $k+\sqrt{2} i(k$ は実数, $i$ は虚数単位 \( ) \) を解にもつとき, $p$ の値 を求めよ。

数学 $I$ EX $x^{2}+1$ で割ると $3 x+2$ 余り, $x^{2}+x+1$ で割ると $2 x+3$ 余るような $x$ の多項式のうちで, 次数が48最小のものを求めよ。

正の整数 n で n^{n}+1 が 3 で割り切れるものをすべて求めよ。

\( f(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1 \) ( $n$ は自然数) が \( (x-1)^{2} \) で割り切れるように, 定数 $a$, $b$ の値を定めよ。

91 (1) 4 個

剩余の定理と因数定理

169 (3) 2

16 44

$p$ を 3 以上の素数とする。 $2^{p}$ をで割った余りが 2 であることを示せ。

$p$ を素数とし, 整数 $r$ が $1 \leqq r \leqq p-1$ を満たすとする。このとき, $p_{r}$ が $p$ で割り切れることを示せ。

91（2） 5 個

a, b が素数であって, x の 2 次方程式 3 x^{2}-12 a x+a b=0 が 2 つの整数解をもつとき, a, b の値とその整数解を求めよ。

(2) \ \\sqrt{d}=\\sqrt{a b^{2} c^{3}}=b c \\sqrt{a c} \ \ \\sqrt{d} \ が整数であるための条件は, 積\a c\ が平方数となることです。そのような自然数\\(a, c(a>c>1)\\)のうち, 最小のものは \n\ a=2^{3}, c=2 \ \b=3\とすると\d=2^{3} \\cdot 3^{2} \\cdot 2^{3}=576\。

(2) \( P(x) \) を \( (x-1)^{2} \) で割つたときの余りが定数であるとき, \( P(x) \) を \( (x-1)^{2}(x+1) \) で割ったときの余りを求めよ。

$p$ を 5 以上の素数とする。 $3^{p}$ をで割った余りを求めよ。

練習（1） $x$ の 2 次方程式 \( (x-a)(x-b)-2 x+1=0 \) の解を \\alpha, \\beta \ とする。このとき，\n(3) \( 48(x-\\alpha)(x-\\beta)+2 x-1=0 \\) の解を求めよ。\n[大阪経大]\n(2) 2 次方程式 \\( (x-1)(x-2)+(x-2) x+x(x-1)=0 \\) の 2 つの解を \ \\alpha, \\beta \ とするとき, \\( \\frac{1}{\\alpha \\beta}+\\frac{1}{(\\alpha-1)(\\beta-1)}+\\frac{1}{(\\alpha-2)(\\beta-2)} \\) の値を求めよ。

1042

練習 複素数平面上の正方形において, 1 組の隣り合った 2 頂点が点 1 と点 $3+3 i$ であるとき, 他の 2 頂点を表す複素数を求めよ。

143

119 (1) 3

154

158

121 (1) 2

n を正の整数とし, n^2+3 と n+1 の最大公約数を d_n とおく。\n(1) d_1, d_2, d_3, d_4, d_5 を求めよ。\n(2) \((n^2+3)-(n-1)(n+1)=4\)を用いて, d_n は1, 2, 4 のいずれかであることを示せ。\n(3) $\sum_{n=1}^{610} d_n$ を求めよ。\n(4) 極限値 $\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{k} \sum_{n=1}^{k} d_{n}$ を求めよ。 〔首都大東京〕

169

すべての自然数 $n$ に対して, $2^{n}>n$ であることを示せ。〔広島大〕

[(i)の後半の証明] 1 の原始 $n$ 乗根 $z_{k}$ について, z_{k}, z_{k}{ }^{2}, z_{k}{ }^{3}, \cdots \cdots, z_{k}{ }^{n} の偏角は順に \(\frac{k}{n} \cdot 2 \pi, \frac{2 k}{n} \cdot 2 \pi, \frac{3 k}{n} \cdot 2 \pi, \cdots \cdots, \frac{n k}{n} \cdot 2 \pi \triangleleft \frac{n k}{n} \cdot 2 \pi=2 \pi k

複素数 $z$ の実数条件と純虚数条件\n$z=a+b i(a, b$ は実数）とする。\n・ $z$ が実数 $\Leftrightarrow \bar{z}=z$\n$\bar{z}=z$ が成り立つとき, $a-b i=a+b i$ から $\quad-b=b$ すなわち $\quad b=0$ よって, $z=a$ となり, $z$ は実数となる。\nこれを複素数平面上で考えると, 点 $z$ と点 $\bar{z}$ は実軸に関して対称な 2 点であり, こ の 2 点が一致するのは, 実軸上の点だけであるから， zは実数である。\n・ zが純虚数 $\Leftrightarrow \bar{z}=-z$ かつ $z \neq 0$\n$\bar{z}=-z$ かつ $z \neq 0$ が成り立つとき, $a-b i=-a-b i$ から\n$a=-a$ すなわち $a=0$\nよって, $z=b i$ となり, $z \neq 0$ より $b \neq 0$ であるから $z$ は純虚数となる。\nこれを複素数平面上で考えると, 点 $\bar{z}$ と点 $-z$ は虚軸に関して対称な 2 点であり, この 2 点が一致するのは, 虚軸上の点だけである。このうち, 原点 O以外の点は純虚数である。よって, $z$ は純虚数である。

81 \\sqrt{5}-1

139\n(1) 2\n(2) \(\\frac{\\pi}{8}(2 \\pi+3 \\sqrt{3})\\)

EX |z|=|w|=1, z w \\neq 1 \ を満たす複素数 $z, w$ に対して, \\frac{z-w}{1-z w} \ は実数であることを証明せよ。

101 (2) 4

75 (2) 1

5 個の数字 0 , 1，2，3，4 全部を並べてできる 5 桁の数は全部でア 個ある。 これらの整数を小さい方から順に並べたとき, 40 番目の数はイ であり, 32104 はウ 番目の数である。

自然数 $n, k$ が $2 \leqq k \leqq n-2$ を満たすとき, ${ }_{n} \mathrm{C}_{k}>n$ であることを示せ。

エラトステネスの篩を用いて、1000 以下の素数でない整数が 750 個以上あることを証明せよ。\n1 以上 1000 以下の整数のうち，2 の倍数，3の倍数，5の倍数全体の集合を，それぞれ A, B, C とすると, 1000=2・500, 1000=3・333+1,1000=5・200 であるから n(A)=500, n(B)=333, n(C)=200。

ブラーマグプタの公理の内容を説明してください。

（2）求めるｎの最大値は，50！を計算したときの末尾に並ぶ 0 の個数, すなわち 50 ! を素因数分解したときの素因数 5 の個数に一致 する。1から 50 までの自然数のうち, 5の倍数の個数は, 50 を 5 で割った商で 10 (5^{2} の倍数の個数は, 50 を 5^{2} で割った商で 2 50<5^{3} であるから, 5^{n}(n \geqq 3) の倍数はない。 よって, 素因数 5 の個数は 10+2=12 (個) したがって, 求める n の最大値は 12 練習 78 ⇒ 本冊 p .399

自然数 $n$ に対して, \( f(n)=5^{3 n}+5^{2 n}+5^{n}+1 \) とする。 $n$ が 4 の倍数でないとき, \( f(n) \) は 13 の倍数であることを証明せよ。

ユークリッドの互除法の手順を述べ、具体例を示してください。

a, b が互いに素で, a k が b の倍数であるならば, k は b の倍数である。

素数 $p$ に対して、 $n = p^{14}$ と表されるとき $n \geqq 1900$ となるような最小の $p$ を求めてください。

自然数 $n$ に対して, $n^{5}-n$ は 15 の倍数であることを証明せよ。

連続する整数の積に関して。\n1. 連続する 2 つの整数の積が 2 の倍数であることを証明しなさい。\n2. 連続する 3 つの整数の積が 6 の倍数であることを証明しなさい。\n3. 一般に、連続する $n$ 個の整数の積が $n!$ の倍数であることを証明しなさい。

演習 6 III -> 本冊 p .59 \\[ x = \\sqrt{12 + 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) + 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} + \\sqrt{5} \\\\\\ y = \\sqrt{12 - 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) - 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} - \\sqrt{5} \\\\\\ \\sqrt{\\frac{x}{y}} = \\sqrt{\\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{7} - \\sqrt{5}}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{(\\sqrt{7} - \\sqrt{5})(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{7 - 5}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{2}} = \\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) \\sqrt{2}}{(\\sqrt{2})^{2}} = \\frac{\\sqrt{14} + \\sqrt{10}}{2} \\]

定理 2 以上の自然数は素因数分解できる。\n合成数 $a$ について, 定理 1 （ $p$. 392）より $a$ を割り切る素数 $p_{1}$ が存在し, $\frac{a}{p_{1}}$ は自然数である。\n$\frac{a}{p_{1}}$ が素数のとき, $\frac{a}{p_{1}}=p_{2}$ とおくと, $a=p_{1} p_{2}$ である。\n$\frac{a}{p_{1}}$ が素数でないとき, 再び定理 1 より, $\frac{a}{p_{1}}$ を割り切る素数 $p_{2}$ が存在する。\nこれを繰り返すと，自然数の列 $a>\frac{a}{p_{1}}>\frac{a}{p_{1} p_{2}}>\cdots \cdots>0$ が得られるが, 自然数であるから，このような操作は有限回（ $n$ 回とする）で終了し，\n$\frac{a}{p_{1} p_{2} \cdots \cdots p_{n}}=p_{n+1}$ となる。すなわち $\quad a=p_{1} p_{2} \cdots \cdots p_{n+1} \quad$ （素因数分解）。\n