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AIチューター | ヤロウゼ、宿題!

数と代数

基本的な数論 - 素数と素因数分解

Q.01

2 つの整数 a,b a, b に対して, a+b a+b ab a b が互いに素ならば, a a b b は互いに素であることを証明せよ。
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Q.02

次のことを証明せよ。\n(1) n(n+1)(n+2)(n+3) は 24 の倍数である。\n(2) n(n+1)(n-4) は6の倍数である。
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Q.03

56 以下の自然数で、56 と互いに素であるものの個数を求めよ。
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Q.04

a, b を自然数とするとき, a + b = p + 4, ab^{2} = q を満たす素数 p, q を求めよ。
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Q.05

例 1 から 50 までの整数の中から相異なる 26 個の数をどのように選んでも,和が 51 になる 2 つの数の組が必ず含まれていることを示せ。
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Q.06

n^{2}+1 が 5 の倍数であることと, n を 5 で割つたときの余りが 2 または 3 であることは同値であることを証明せよ。
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Q.07

PR 3500 の正の約数について (27 (1) 約数は全部でいくつあるか。 (2) (1)の約数の総和を求めよ。 3500=2^{2} \cdot 5^{3} \cdot 7 であるから, 3500 の正の約数は として, 2^{a} \cdot 5^{b} \cdot 7^{c} と表される。 1) a の定め方は 3 通り。 そのおのおのに対して, bの定め方は 4 通り。 更に,そのおのおのに対して,cの定め方は2通り。 よって, 積の法則により 3 \times 4 \times 2=24 (個) (2) 3500 の正の約数は (1+2+2^{2})(1+5+5^{2}+5^{3})(1+7) を展開したときの項として1つずつ出てくる。 よって, 求める総和は 7 \times 156 \times 8=8736
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Q.08

2 以上の自然数で, 正の約数が 1 とその数自身のみである数を素数といい, 2 以上の自然数で, 素数でない数を合成数という。例 2,3,5,7,11,2 , 3 , 5 , 7 , 11 , \cdots \cdots は素数であり,4,6,8,9,…は合成数である。
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Q.09

因数分解 (基本)
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Q.10

135 36
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Q.11

数学A\n[2] p=3k+2 p=3 k+2 のとき\n\n4 p+1=4(3 k+2)+1=3(4 k+3)\n\n4 k+3 は 7 以上の自然数であるから,4 p+1 は素数ではない。以上から,p, 2 p+1,4 p+1 がいずれも素数となるような自然数 p は p=3\np が 5 以上の素数のとき は 2 p+1,4 p+1 のいず れかが 3 の倍数になると 見当がつく。\n\nPR文字はすべて整数とする。合同式を用いて,次の問いに答えよ。\n123 (1) n n を 5 で割つた余りが 3 であるとき, 2n2+n+2 2 n^{2}+n+2 を 5 で割った余りを求めよ。\n(2) a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2} で d が 3 の倍数でないならば, a, b, c の中に 3 の倍数がちょうど 2 個あ ることを証明せよ。
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Q.12

(2) 1315 13^{15} を 5 進法で表すとき,一の位の数字を求めよ。
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Q.13

以下の命題が真か偽か判断しなさい。\n(2) 28 の正の約数は 1,2,4,7,14,281,2,4,7,14,28 の 6 個である。よって, 真の命題である。\n(3) n=36n=36のとき, n\は 4 の倍数かつ 6 の倍数であるが,24 の倍数でない。\nよって, 偽の命題である \( \\left(n=36\\right)\\)が反例)。
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Q.14

1から30までの自然数の積 30!をN とする。 Nを素因数分解したとき、次の問いに答えよ。(1) 素因数 2 の個数を求めよ。(2) 素因数 5 の個数を求めよ。(3) Nを計算すると、末尾には 0 が連続して何個並ぶか。
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Q.15

素数の性質の利用
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Q.16

PRACTICE 106\n(1) 756 の正の約数の個数を求めよ。\n(2)自然数 N N を素因数分解すると, 素因数には p p と 5 があり, これら以外の素因数は ない。また, N N の正の約数は 8 個, 正の約数の総和は 90 である。素因数 p p と自然数 N N の値を求めよ。
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Q.17

互いに素に関する証明
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Q.18

連続する整数の積は 2 の倍数であることを証明せよ。
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Q.19

素数の問題はどう考えていけばよいのか,迷ってしまいます。 素数の定義は, 「2 以上の整数で, 1 とそれ自身以外に正の約数をもたない数」とシンプルです。これをどのように活かすかがポイントです。まず,次の性質(1),2)を押さえておきましょう。 (1) 素数 p p の約数は ±1 \pm 1 ± \pm (正の約数は 1 と p p の 2 個) (2) 素数は 2 以上で, 偶数の素数は 2 だけである。また, 3 以上の素数はすべて奇数 である。 「素数 p p の約数は ±1 \pm 1 ±p」の \pm p 」 の 利用 この性質を利用すると, \( (n-3)(n-9) \) が素数 p p に るには,右の (A)〜(D) 4 つの場合が考えられる。 ここで, n9<n3 n-9<n-3 ,1<p,p<1 , 1<p,-p<-1 という大小関係を考慮すると, Ⓐ) (DD)うう適するのは (B) n9=1 n-9=1 と (C) n3=1 n-3=-1 のみとなる。特に, \qquad (負の場合)は, n9=1 n-9=-1 のような間違いをしやすいので注意したい。 \\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\\\hline n-3 \) & 1 & p & -1 & \( -p \\\hlinen9 n-9 & p p & 1 & p -p & -1 \\\hline \\end{tabular} 4永草 18 約 \\square \) 数 と 掊 \( \\square \) 数 「素数は 2 以上」, 「偶数の素数は 2 だけ, 3 以上の素数は奇数」の利用 まず, 4 以上の偶数は, \( 2 \times(2 以上の自然数 \( ) \) と表されるから,素数ではない。よって, 偶数の素数は 2 だけである。 これから, 2 以外の素数はすべて奇数であることもわかる。 p,q p, q を異なる素数 \( (p<q) \) とすると, p \geqq 2, q \geqq 3 \) であるから, \\[ p+q \geqq 5, p q \geqq 6 \text { といつた不等式が成り立つ。 }\\] また, \\( \quad p \\pm q = \) (奇数 \ \) や \\( \quad p q = \) (偶数) のときは, \p,q p, q の一方は偶数, 他方は奇数であるが, 偶数の素数は2だけであるから,\p=2 p=2 . と決めることができる。 \nLeftarrow\奇pm\)=奇奇pm \\nLeftarrow \\\奇 \\ \\pm \) \\偶 \\ = 奇 奇 \\ \\pm 奇 \\ = 偶 偶 \\ \\pm 奇 \\ = 偶 \\素数の性質を利用することで, このような値の決め方ができる。 (2) では, \ab=q a b = q から (1)を利用して, \a=1,b=q\)を導いた後,その後の(a+b=p a=1, b=q \) を導いた後, その後の \\( a + b = p すなわち p = q + 1 \) から \( p, q を導くのに (2)を利用している。 以上のように, 素数の問題では, 積や和の形の式に, (1), (2) の性質が威力を発揮することが多いです。また,素数には他にもさま ざまな性質があります。次ページのSTEP UP でまとめている ので参考にしてください。
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Q.20

集合の要素の個数, 場合の数に関連する次の問題について答えなさい。\n(1) 次の数の正の約数の個数を求めなさい。360 = 2^3 * 3^2 * 5\n(2) 次の多項式の展開式の項の数を求めなさい。(a+b)(p+q+r)(x+y)\n
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Q.21

47 (1) すべての自然数 n n について n22n30 n^{2}-2 n-3 \neq 0 , 偽\n(2) ある実数 x,y x, y に対して x2+2xy+y20 x^{2}+2 x y+y^{2} \leqq 0 , 真
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Q.22

正の約数の個数が 28 個である最小の正の整数を求めよ。
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Q.23

40 (1) {2,4,5,7,9} \{2,4,5,7,9\} \n(2) {2,3,5} \{2,3,5\}
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Q.24

互いに素である自然数の個数
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Q.25

次の命題の否定を述べよ。また,その真偽を調べよ。\n(1)すべての素数について,素数は奇数である。\n(2)ある実数 a,b a, b について \( (a+b)^{2} \leqq 0 \)
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Q.26

例 72 と 120 の最大公約数, 最小公倍数を求める。\n12 つの数に共通な素因数で割れるだけ割っていく。\nたとえば2で割っていきます。\n2) 72 \t 120\n2) 36 \t 60\n2) 18 \t 30\n最大公約数と最小公倍数を計算してください。
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Q.27

3 つの数 p,2p+1,4p+1 p, 2 p+1,4 p+1 がいずれも素数となるような自然数 p p をすべて求めよ。
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Q.28

p,q p, q は素数で p<q p<q とする。また m,n m, n は正の整数とし, m3,n2 m \geqq 3, n \geqq 2 と する。1 から pmqn p^{m} q^{n} までの整数のうち, p p または q q の倍数の個数が 240 個 であるとする。これらの条件を満たす組( \( p, q, m, n) \) を求めよ。
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Q.29

基本例題 106 正の約数の個数\n(1) 630 の正の約数の個数を求めよ。\n(2)自然数 N N を素因数分解すると,素因数には p p と 7 があり,これら以外の 素因数はない。また,Nの正の約数は 6 個,正の約数の総和は 104 である。素因数 p p と 自然数 N N の値を求めよ。
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Q.30

完全数と素数 n を自然数とする。 2^n - 1 の形をした自然数をメルセンヌ数といい、メルセンヌ数のうち、素数であるものをメルセンヌ素数という。 例: メルセンヌ数: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023 メルセンヌ素数: 3, 7, 31, 127 ユークリッドの「2^n - 1 が素数であるような自然数 n に対して、2^(n-1)(2^n -1) は完全数である」という命題を示せ。
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Q.31

(2) a は正の整数であり, p = a^2 + 1 は素数であるとする。このとき, n^2 + 1 が p の倍数であることと, n を p で割ったときの余りが a または p - a であることは同値である。
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Q.32

PR n n は整数とする。次のことを証明せよ。\n(1) 2n2n+1 2 n^{2}-n+1 は 3 で割り切れない。\n(2) n n が 5 で割り切れないとき, n2 n^{2} を 5 で割った余りは 1 または 4 である。\nk k を整数とする。
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Q.33

問題 105 (1) n=42 (2) n=360
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Q.34

(1) 11
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Q.35

2 つの整数 a,b a, b に対して, a a b b が互いに素であるならば, a+b a+b ab a b も互 いに素であることを証明せよ。
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Q.36

次の 2 つの整数, 3 つの整数の最大公約数と最小公倍数を, 素因数分解を利用して それぞれ求めよ。\n(1) 168, 378\n(2) 65,156,234
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Q.37

114
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Q.38

1 枚の硬貨を繰り返し投げ,表が3回出たら賞品がもらえるゲームをする。ただし,投げられる回数は 5 回までとし,3 回目の表が出たらそれ以降は投げない。1 回目に 裏が出たとき, 賞品がもらえるための表裏の出方の順は何通りあるか。
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Q.39

PR(1) 432 以下の自然数で, 432 と互いに素であるものの個数を求めよ。 (4) 114
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Q.40

(2) 自然数 P P が2でも3でも割り切れないとき、P21 P^{2}-1 が24で割り切れることを証明せよ。
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Q.41

52\n数学 I\n[2] n=5k+2n=5k+2 のとき\n\[ n^{2}=(5k+2)^{2}=25k^{2}+20k+4=5\\left(5k^{2}+4k\\right)+4 \]\n[3] n=5k+3 n=5k+3 のとき\n\[ n^{2}=(5k+3)^{2}=25k^{2}+30k+9=5\\left(5k^{2}+6k+1\\right)+4 \]\n[4] n=5k+4 n=5k+4 のとき\n\[ n^{2}=(5k+4)^{2}=25k^{2}+40k+16=5\\left(5k^{2}+8k+3\\right)+1 \]\nゆえに, 5k2+2k,5k2+4k,5k2+6k+1,5k2+8k+3 5k^{2}+2k, 5k^{2}+4k, 5k^{2}+6k+1,5k^{2}+8k+3 はそれぞれ整数であるから,いずれの場合も, n2 n^{2} は 5 の倍数とはならない。\nよって, 対偶が真であるから,もとの命題は真である。\n(2) 5 \sqrt{5} が無理数でないと仮定する。\nこのとき 5 \sqrt{5} はある有理数に等しいから,1 以外に正の公約数を持たない 2 つの自然数 a,b a, b を用いて\n \\sqrt{5}=\きfrac{a}{b} \]\nと表される。\nゆえに\n\[ a=\\sqrt{5}b \]\n両辺を 2 乗すると\n\[ a^{2}=5b^{2} \nよって, a2 a^{2} は 5 の倍数である。\na \nLeftarrow a とbは互いに素。\n(1)より, a2 a^{2} が 5 の倍数であれば, a a も 5 の倍数であるから, k k を自然数として a=5k a=5k と表される。\nこれを (1)に代入して 25k2=5b2 25k^{2}=5b^{2} \nすなわち \nb2=5k2 b^{2}=5k^{2} \nよって, b2 b^{2} は 5 の倍数であるから, (1) より, b b も 5 の倍数である。ゆえに, a a とbは公約数 5 をもつ。\nこれは, a a とbが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾する。\nしたがって, sqrt5 \\sqrt{5} は無理数である。
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Q.42

PR(2) 735 以下の自然数で, 735 と互いに素であるものの個数を求めよ。
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Q.43

正の約数の個数
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Q.44

13^{15} を 5 で割った余りを求めればよい。
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Q.45

101 ・a, b を自然数とする。a b が 3 の倍数であるとき, a または b は 3 の倍数であることを証明せよ。
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Q.46

N = 250!を素因数分解したとき,次の問いに答えよ。(1) 素因数 5 の個数を求めよ。\n(2) N を計算すると,末尾には 0 が連続して何個並ぶか。
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Q.47

432 以下の自然数で、432 と互いに素であるものの個数を求めよ。
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Q.48

PR 大小 2 個のさいころを投げるとき (38 (1)目の積が 3 の倍数になる場合は何通りあるか。 (2)目の積が6の倍数になる場合は何通りあるか。
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Q.49

131
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Q.50

D → A → B → C → E の順に塗る。D → A → B の塗り方は3! = 6 (通り)そのおのおのに対し, C, E の塗り 方は 1 通りずつある。よって, 求める塗り分け方の総数 は6 × 1 × 1=6 (通り)。
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Q.51

PR (1) 756 の正の約数の個数を求めよ。
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Q.52

PR (2) 自然数 N N を素因数分解すると、素因数にはpと5があり、それら以外の素因数はない。また、Nの正の約数は8個、正の約数の総和は90である。素因数 p p と自然数 N N の値を求めよ。
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Q.53

3つの数がすべて素数となる条件
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Q.54

自然数 NN の素因数分解が N=paqbrcN=p^a \cdot q^b \cdot r^c \cdots \cdots となるとき, NN の正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1) \cdots \cdots である。
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Q.55

次のような,年齢を当てるクイズがある。「私の年齢を 3 で割った余りは 1,5 で割った余りは 4,7 で割った余りは 1 です。私の年齢を当ててください。ただし,105歳より下です。」どのように答えを出せばよいだろうか?
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Q.56

1 次不定方程式\n整数 a,b a, b が互いに素であるとき, 整数 c c について, ax+by=c a x+b y=c を満たす整数 x,y x, y が存在することを証明しなさい。
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Q.57

連続する4つの整数 \( n(n+1)(n+2)(n+3) \) は24の倍数であることを証明せよ。
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Q.58

完全順列
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Q.59

(2) n を自然数とするとき, 2n-1 と 2n+1 は互いに素であることを示せ。
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Q.60

自然数 P が 2 でも 3 でも割り切れないとき, P^2-1 が 24 で割り切れることを証明せよ。
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Q.61

73 略 76 (1) 略 (2) 48: 25
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Q.62

隣り合う順列, 隣り合わない順列
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Q.63

3 つの数がすべて素数となる条件\nn n を自然数とする。 n,n+2,n+4 n, n+2, n+4 がすべて素数となるのは n=3 n=3 の場合だ けであることを示せ。
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Q.64

鳩の巣原理 (部屋割り論法)
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Q.65

(1) n n は自然数とする。次の値が素数となるような n n をすべて求めよ。\n(ア) n22n24 n^{2} - 2n - 24 \n(イ) n216n+28 n^{2} - 16n + 28
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Q.66

素数の性質は?
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Q.67

n! に含まれる素因数の個数
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Q.68

大きな素数を発見する際の課題は?
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Q.69

(1) sqrt378n \\sqrt{378 n} が自然数になるような最小の自然数 n n を求めよ。
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Q.70

1 を素数としないのはなぜ?
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Q.71

ケ に当てはまるものを,次の()~7のうちから1つ選べ。\n| (0) | 1) | (2) | (3) | 4 | (5) | (6) | (7) |\n| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |\n|(a) | 正 | 正 | 正 | 誤 | 正 | 誤 | 誤 | 䛊 |\n|(b) | 正 | 正 | 誤 | 正 | 䛊 | 正 | 誤 | 䛊 |\n|(c) | 正 | 䛊 | 正 | 正 | 誤 | 誤 | 正 | 䛊 |
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Q.72

117
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Q.73

整数がいくつかの整数の積で表されるとき,積を作る1つ1つの整数を,もとの整数の因数という。素数である因数を素因数といい, 自然数を素数だけの積の形 に表すことを素因数分解するという。
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Q.74

302\nS ̇PU 最短経路の数を書き込んで求める\n基本例題 28 では最短経路の数を求めるとき, 右へ進む記号 \\rightarrow \, 上へ進む記号 \\uparrow \ のくつ かを並べる順列の総数として考えた。ここでは,場合の数を責き込んで求める方法を紹介する。\n右の図のような道路があり, 2 地点を結ぶ最短距離の 道順を考える。地点 \\mathrm{P} \ までの道順が p \ 通り, 地点 \\mathrm{Q} \ までの道順が q \ 通りあるとき,地点Rまでの道順は, p+q \ 通りある。\n\n解説 地点 \\mathrm{P} \ から \\mathrm{R} \ までは 1 通りであるから,地点 \\mathrm{P} \ を通る \\mathrm{R} \ までの道順は\n\\[p \\times 1=p \\text { (通り) }\\]\n\n同様に,地点 \\mathrm{Q} \ を通るR までの道順は \\quad q \\times 1=q \ (通り)\nしたがって, 地点Rまでの道順は,和の法則から \\quad p+q \ (通り)\nこの方法で, 基本例題 28 を解いてみよう。
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Q.75

双子素数と三つ子素数 n を自然数とする。 (n, n+2) の形をした素数の組を双子素数という。 また、(n, n+2, n+6) または (n, n+4, n+6) の形をした素数の組を三つ子素数という。 例: 双子素数: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31) 三つ子素数: (5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47) (1) 初めての双子素数と三つ子素数を求めよ。 (2) 双子素数の組み合わせを三つ以上挙げよ。
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Q.76

正の約数の個数が 28 個である最小の正の整数を求めよ。
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Q.77

素数の求め方 (エラトステネスのふるい)\n自然数 n n n \sqrt{n} 以下のすべての素数で割り切れなければ, n n は素数である。\nこの法則を利用して、n=50 n=50 以下の素数をすべて求める方法を考える。
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Q.78

約数の個数と総和
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Q.79

因数分解 (たすき掛け)
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Q.80

因数分解の要領
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Q.81

因数分解の基本を振り返ろう!
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Q.82

基本 11: 共通因数のくくり出しによる因数分解
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Q.83

次の命題を証明せよ。\n(2) mn m n が奇数ならば, m,n m, n はともに奇数である。
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Q.84

次の (1)〜(5) の場合について、2 次関数 y=x22ax+a y=x^{2}-2 a x+a 1x2 1 \leqq x \leqq 2 における最大値および最小値を求めよ。ただし,a は定数とする。\n(1) a<1\n(2) 1 \leqq a<\\frac{3}{2}\n(3) a=\\frac{3}{2}\n(4) \\frac{3}{2}<a \leqq 2\n(5) 2<a
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Q.85

1. 413x 41^{3} x の 2 次関数 y=x2+2bx+6+2b y=x^{2}+2 b x+6+2 b の最小値を m m とする。\n(1) m m をbの式で表せ。\n(2) b b を変化させるとき, m m の最大値とそのときの b b の値を求めよ。
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Q.86

(1)連続する2つの整数の積は2の倍数であることを証明せよ。
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Q.87

2 つの整数 a,ba, b について, 共通な素因数がないとき, a,ba, b の最大公約数は 1 である。 2 つの整数 a,ba, b の最大公約数が 1 であるとき, aabb は互いに素であるという。
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Q.88

14 (1) 144 通り\n(2) 720 通り\n(3) 1440 通り
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Q.89

因数分解の基本的な手順をまとめておきましょう。因数分解の公式が適用できる形にするための手段として、以下の手順をまとめます。 共通因数をくくり出す 例 6a²b - 9ab² + 3ab = 3ab(2a - 3b + 1) 同じ式やまとまった式は、1つの文字でおき換える 例 (x + y)² - 10(x + y) + 25 を X と置き換えると、(X - 5)² = (x + y - 5)² になります。 次数を下げるために置き換え 例 a⁴ - b⁴ を x² - y² と置き換えると、(a² + b²)(a + b)(a - b) になります。 複数の種類の文字を含む式の因数分解で、上記の手段がうまくいかない場合の対策として、1つの文字について整理する方法を解説します。例題17のように、次数が最低の文字について整理することで、共通因数をくくり出すことができます。
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Q.90

1 個のさいころを 2 回投げるとき, 目の積が 12 の倍数となる場合の数は何通りあるか。
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Q.91

数学 (A) (2) p=a^{2}+2 a b+b^{2}-a-b =(a+b)^{2}-(a+b) =(a+b)(a+b-1) a \geqq 1, b \geqq 1 から a+b>a+b-1 \geqq 1 また, 刀 は素数であるから a+b-1=1 a+b=p (2) (1) から a+b=2 a \geqq 1, b \geqq 1 から a=1, b=1 このとき, (2)から p=2 となり, p は素数である。 よって, p が素数となるような a, b は a=1, b=1
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Q.92

(2) n³ - 3n² + 2n は 6 の倍数であることを証明せよ。
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Q.93

12^nの正の約数の個数が28個となるような自然数nを求めよ。
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Q.94

(1)60!を計算した結果は,3 で最大何回割り切れるか。 98\n(2) 50!を計算すると,末尾に0 は連続して何個並ぶか。
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Q.95

素数の性質の利用
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Q.96

(1)整数 n が 3 の倍数でないならば, n^2-1 は 3 の倍数であることを証明せよ。 (2)どのような整数 n に対しても, n^2+n+1 は 5 で割り切れないことを証明せよ。
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Q.97

共通因数をくくり出して因数分解しなさい。
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Q.98

95 (1) n=21 (2) n=30,270
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Q.99

次の 2 つの整数の最大公約数を,互除法を用いて求めよ。 (1) 221,91 (2) 418,247 (3) 1501,899 GUIDE 2 つの整数の最大公約数 GUIDE 簡単に素因数分解できないときは, 互除法が有効 a を b で割った余りが r ならば,次は b を r で割る。これを繰り返して, r=0 とな つたときの b が求める最大公約数である。a= b q1+r1 \quad a を b で割る\nb= r1 q2+r2 \quad b を r1 で割る r1= r2 q3+r3 \quad r1 を r2 で割る 余り r1 余り r2\n⋮ 余り r3 rn−1=rn qn+1 ← 割り切れたところで終了 rn が最大公約数
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Q.00

EX 51 p, 2p+1, 4p+1 がいずれも素数であるような p をすべて求めよ。 力が素数のとき, 2p+1, 4p+1 が素数になるかどうかを調べ る。
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Q.01

自然数 a,ba, b に対して, aabb が互いに素ならば, a+ba+babab は互いに素であることを証明せよ。
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Q.02

自然数 a,k a, k に対して, a a ka+1 k a+1 は互いに素であることを証明せよ。
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Q.03

第 4 章 約数 と倍数—235 EX 50 n を 2 以上の自然数とするとき, n^{4}+4 は素数にならないことを示せ。 [宮崎大]
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Q.04

基本例題や標準例題を解いた後に取り組むとよい問題は何ですか?
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Q.05

以下の質問に答えてください。(1)60!を計算した結果、3で最大何回割り切れるかを求めてください。 (2)50!を計算すると、末尾に0がいくつ連続して現れるかを求めてください。
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Q.06

自然数 a,ba, b に対して、次のことを証明せよ。\n(1) aabb が互いに素ならば, a2a^2b2b^2 は互いに素である。\n(2) a+ba+babab が互いに素ならば, aabb は互いに素である。
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Q.07

2 以上の自然数とするとき, n^4+4 は素数にならないことを示せ。
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Q.08

(2)次の 2 つの集合 A,B A, B の間に成り立つ関係を,記号 \\subset ,= \ を用いて表せ。 A={nn A=\{n \mid n は 7 以下の素数 \( \}, \quad B=\{2n-1 \mid n=2,3,4\})
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Q.09

次の数式についての質問です。(1)10を2で割った商、4を2で割った商、2を2で割った商を用いて、2の倍数の個数を数える方法を用いたとき、10!が2で割り切れる最大の回数は何回ですか? (2)10を5で割った商を用いて、10!を計算した結果、末尾に0がいくつ連続して現れるかを求めてください。
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Q.10

(1)720 の正の約数の個数を求めよ。\n\n(2)自然数 N N を素因数分解すると、素因数には 2 と 3 があり、それ以外の素因数はない。また、Nの正の約数はちょうど 10 個あるという。このような自然数 N N をすべて求めよ。
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Q.11

2 以上の自然数で,1とそれ自身以外に正の約数をもたない数を 素数 という。 2 以上の自然数で,素数でない数を合成数という。 (例) 素数: 2,3,5,7, 合成数: 4(=2 x 2), 6(=2 x 3), 8(=2^3), 9(=3^2) 注意 素数の中で,偶数は 2 だけであり, 3 以上の素数はすべて 奇数である。 素因数分解 整数がいくつかの整数の積で表されるとき,積を作る整数をもとの 整数の 因数 という。素数である因数を 素因数 という。 自然数を素数だけの積の形に表すことを素因数分解 するという。 なお, 合成数は必ず素因数分解でき, 1つの合成数の素因数分解は 積の順序を考えなければ1通りである。これを 素因数分解の一意性 という。素因数分解は,できるだけ小さい素数から順に,割り切れるだけ割 っていく。
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Q.12

TANABATA の 8 文字をすべて使って文字列を作るとき, 文字列は何個作れるか。
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Q.13

数学 A (2)求める 2 つの自然数を 6 m, 6 n とする。ただし, m, n は互いに素な自然数とする。6 m>6,6 n>6 であるから m>1, n>1 条件から 4536=6 m・6 n すなわち m n=126 …. (2) m n は(自然数) 2 ではないから m ≠ n よって, 1<m<n として (2) を満たす m, n の組を求めると (m, n)=(2,63),(3,42),(6,21), (7,18), (9,14) このうち, m, n が互いに素であるのは (m, n)=(2,63),(7,18),(9,14) よって, 求める 2 つの自然数は 12, 378 または 42, 108 または 54, 84
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Q.14

2 進数 101 を 10 進法で表すとどのようになりますか?
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Q.15

addition という単語の 8 文字を横 1 列に並べるとき, 次のような並べ方は何通りある か。\n(1) すべての並べ方\n(2) 「not」という連続した 3 文字が現れるような並べ方\n(3) n の方が o より左に現れる並べ方
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Q.16

倍数の判定法をマスターして, 例題 85 を攻略!
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Q.17

8 個の正の約数をもつ最小の自然数を求めよ。
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Q.18

TRAINING 99 (1) n は自然数とする。次の式の値が素数になるような n をすべて求めよ。 (ア) n^{2}+6 n-27 (イ) n^{2}-16 n+39 (2) a, b は自然数で, p=a^{2}-a+2 a b+b^{2}-b とする。 p が素数となるような a, b をすべて求めよ。
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Q.19

(1) 5進法で表すと3桁となるような自然数Nは何個あるか。
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Q.20

4 個の正の約数をもつ最小の自然数を求めよ。
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Q.21

答 の 部 数 学 50 略 51 (1) {1,2,3,4,5,6,7,9,12,18} (2) {1,2,3,6}
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Q.22

25 (2) (J) 3
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Q.23

p, 2p+1,4p+1 がいずれも素数であるような p をすべて求めよ。
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Q.24

順序が定まった順列。 標準 20 順序が定まった順列。
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Q.25

99 (1) (ア) n=4 (1) n=2,14 (2) a=1, b=1
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Q.26

約数の個数とその総和。 標準 7 約数の個数とその総和。
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Q.27

TR 101 a, k は自然数とする。 a と k a+1 は互いに素であることを証明せよ。
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Q.28

ある工場で作る部品 A,B,C はネジをそれぞれ 7 個,9 個,12 個使ってい る。出荷後に残ったこれらの部品のネジをすべて外したところ,ネジが全部 で 35 個あった。残った部品 A,B,C A, B, C の個数をそれぞれ l,m,n l, m, n として,可能性のある組 \( (l, m, n) \) をすべて求めよ。
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Q.29

自然数 n n は, 1 と n n 以外にちょうど 4 個の正の約数をもつとする。このような自然数 n n の中で, 最小の数はア \square であり, 最小の奇数はイ \square である。
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Q.30

例題 83 を, 最大値, 最小値に分けて考えると, 次のようになりますね。
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Q.31

1800 の正の約数の個数を求めよ。
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Q.32

1次不定方程式の整数解を求める問題 (3)(互除法の利用)。
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Q.33

UP 1 次不定方程式の整数解の求め方を振り返ろう!\n整数解が簡単に見つからないときは,互除法を利用しよう。互除法の計算を 逆にたどって, 整数解を見つけられます。
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Q.34

a と b が互いに素でない,すなわち a と b が共通な素因数 p をもつと仮定すると a=p k, b=p l (k, l は自然数) と表される。このとき a+b=p(k+l), a b=p^{2} k l よって, a+b と a b はともに素因数 p をもつ。このことは, a+b と a b が互いに素であることに矛盾する。 したがって, a とbは互いに素である。
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Q.35

大小 2 個のさいころを同時に投げるとき,1の目が1個も出ない目の出方は何通りあるか。
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Q.36

TRAINING 47\n(1) 3 の正の倍数のうち, 20 以下のもの全体の集合を A A とするとき, 次の \square に適 する記号 \in またはを入れよ。\n(ア) 9 \square A\n(イ) 14 \square A A \n(ウ) 0 \square A A \n(2)次の 2 つの集合 A,B A, B の間に成り立つ関係を,記号 ,= \subset,= を用いて表せ。 A={nn A=\{n \mid n は 7 以下の素数 },B={2n1n=2,3,4} \}, \quad B=\{2 n-1 \mid n=2,3,4\}
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Q.37

x x 軸上に点 P \mathrm{P} がある。さいころを投げて,6の約数の目が出たとき P \mathrm{P} x x 軸上の正の方向に 1 だけ進み, 6 の約数でない目が出たとき P \mathrm{P} x x 軸上の負の方向に 2 だけ進むことにする。さいころを 4 回投げたとき, 原点から出発した点 P \mathrm{P} x=2 x=-2 の点にある確率はア \square ,原点にある確率はイ \square である。
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Q.38

648 の正の約数の個数と, その総和を求めよ。
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Q.39

14で割ると5余り, 9で割ると7余る自然数 n n のうち, 3桁で最大のものを求めよ。
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Q.40

EX人の子どもに 180 個のみかんを a 個ずつ, 252 個のキャンディーを b 個ずつ残さずすべて配り n の最大値とそのときの a, b の値を求めよ。ただし,文字はすべて自然数を表す。
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Q.41

因数分解の要領
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Q.42

ユークリッドの互除法\n自然数 a,b a, b について, a a b b で割つた余りを r r とすると a a b b の最大公約数は, b b r r の最大公約数に等しい。\n\nこのことを繰り返し利用すると,2つの自然数の最大公約数を求めることができる。これを,ユークリッドの互除法,または単に互除法という。\n例 319 と 143 の最大公約数を求める\n319 を 143 で割った割り算の等式 319=1432+33 319=143 \cdot 2+33 に注目すると,定理により, 319 と 143 の最大公約数を求める代わりに,割る数 143 と余り 33 の最大公約数を求めればよいことがわかる。 この操作を繰り返していくと,次のように出てくる余りは小さく なっていく。更に,余りは0以上であるから,いずれ余りは 0 に なる。その余りが 0 となるときの割る数が, 求める最大公約数 である。
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Q.43

数学 A TR (1)合同式を利用して, 次のものを求めよ。 12^{1000} を 11 で割った余り 13^{81} の一の位の数 (2)整数 a, b, c が a^2+b^2=c^2 を満たすとき, a, b のうち少なくとも 1 つは 3 の倍数である ことを,合同式を利用して証明せよ。
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Q.44

5390 を自然数 n で割って, 余りが 0 で, 商が自然数の平方になるようにしたい。そのよう な n の最小値を求めよ。
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Q.45

TRAINING 104 (5)\n(1)合同式を利用して, 次のものを求めよ。\n(ア) 121000 12^{1000} を 11 で割った余り\n(イ) 1381 13^{81} の一の位の数\n(2) D. 463 の例題 103(2)を,合同式を利用して解け。
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Q.46

因数分解の基本を振り返ろう!
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Q.47

8 個の正の約数をもつ最小の自然数を求めよ。
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Q.48

(1) n は整数とする。 (n-4)(n+8) が素数となるような n をすべて求めよ。 (2) a, b は異なる自然数とするとき, a b=p (1), a+b=q をともに満たす素数 p, q を求めよ。
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Q.49

自然数 N を素因数分解すると,素因数には 3 と 5 があり,それ以外の素因数はない。また,N の正の約数はちょうど 6 個あるという。このような自然数 N をすべて求めよ。
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Q.50

対偶を利用した証明方法を説明し、次の命題Tを対偶を使って証明してください。 命題T: 「もしxが3で割り切れないならば、xは奇数である」
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Q.51

自然数の正の約数の個数を求めよ。
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Q.52

10000の約数の個数を求めよ。
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Q.53

10000 の約数の個数を求めよ。
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Q.54

TR a, b は自然数とする。このとき, 次のことを証明せよ。 (1) a と bが互いに素ならば, a^{2} と b^{2} は互いに素である。 (2) a+b と a b が互いに素ならば, a とbは互いに素である。
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Q.55

自然数 a a に対し, a a a+1 a+1 は互いに素であることを証明せよ。
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Q.56

TRAINING 109 (3) 23 で割ると 8 余り, 15 で割ると 5 余る自然数のうち, 4 桁で最小のものを求めよ。
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Q.57

150 に 2 桁の自然数 n を掛け, ある自然数の平方になるようにしたい。そのような n の最大値を求めよ。
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Q.58

大中小 3 個のさいころを同時に投げるとき,どの目も奇数になる目の出方は何通り あるか。
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Q.59

(1) \\\\( 72^{\\circ} \\\\\\\n(2) \\\\( \\frac{\\sqrt{5}-1}{2} \\\\\\\n(3) \\\\( \\frac{\\sqrt{5}+1}{4} \\\\\\\n
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Q.60

500 以下の自然数の中で, 次の集合の要素の個数を求めよ。\n(1) 3 で割り切れる数の集合\n(2) 3 でも 5 でも 7 でも割り切れる数の集合\n(3) 3 で割り切れるが, 5 で割り切れない数の集合\n(4) 3 でも 5 でも割り切れない数の集合\n(5) 3 で割り切れるが, 5 でも 7 でも割り切れない数の集合
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Q.61

(1)1800 の正の約数の個数を求めよ。\n\n(2)自然数 N N を素因数分解すると, 素因数には 3 と 5 があり, それ以外の素因数はない。また、N N の正の約数はちょうど 6 個あるという。このような自然数 N N をすべて求めよ。
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Q.62

(2) 0 でない実数 x, y, z が, 2^{x}=5^{y}=10^{\frac{z}{2}} を満たすとき, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z} の値を求めよ。
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Q.63

3次方程式 x^3-3x^2-9x+k=0 の異なる実数解の個数を調べよ。
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Q.64

方程式 \ x^{3}=1 \ の虚数解の 1 つを \ \\omega \ とする。このとき \ \\frac{1}{\\omega}+\\frac{1}{\\omega^{2}}+1= \u25A1, \\omega^{100}+\\omega^{50}= \u25A1 \ である。
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Q.65

数列 1, 17, 35, 57, 87, 133, 211, …の一般項を求めよ。
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Q.66

0 でない実数 x, y, z が, 2^{x}=5^{y}=10^{\frac{z}{2}} を満たすとき, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z} の値を求めよ。
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Q.67

1 と 10 の間にあって, 素数 p p を分母とする既約分数の総和が 198 であるとき, pの値を求めよ。
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Q.68

〔2〕 1 と10の間にあって, 素数 を分母とする既約分数の総和が 198 であるとき, pの値を求めよ。
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Q.69

基 本 例題 5 二項定理を利用する式の値 次の値を求めよ。\n(1) nC0+nC1+nC2++nCr++nCn { }_{n} \mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \mathrm{C}_{2}+\cdots \cdots+{ }_{n} \mathrm{C}_{r}+\cdots \cdots+{ }_{n} \mathrm{C}_{n} \n(2) \( { }_{n} \mathrm{C}_{0}-{ }_{n} \mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \mathrm{C}_{2}-\cdots \cdots+(-1)^{r}{ }_{n} \mathrm{C}_{r}+\cdots \cdots+(-1)^{n}{ }_{n} \mathrm{C}_{n} \)\n(3) \( { }_{n} \mathrm{C}_{0}-2{ }_{n} \mathrm{C}_{1}+2^{2}{ }_{n} \mathrm{C}_{2}-\cdots \cdots+(-2)^{r}{ }_{n} \mathrm{C}_{r}+\cdots \cdots+(-2)^{n}{ }_{n} \mathrm{C}_{n} \)\n
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Q.70

3. \ { }_{n} \\mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{2}+\\cdots \\cdots+{ }_{n} \\mathrm{C}_{n}=2^{n} \
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Q.71

EX 1 から 300 までのすべての整数を考える。\n(2)(1)3で割り切れるが9では割り切れないものをすべて足し合わせた数を求めよ。\n(2) 3 でも 7 でも割り切れないものをすべて足し合わせた数を求めよ。
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Q.72

数列 a1=1,a2=1,an+2=an+1+an a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n} で定められる数列 {an} \left\{ a_{n}\right\} の一般項を求めよ。
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Q.73

次の0~5のうちから1つ選べ。\n(0) p_{4}<p_{5}\n(1) p_{4}=p_{5}\n(2) p_{4}>p_{5}
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Q.74

2乗すると 8i 8 i になるような複素数 z=x+yi(x,y z=x+y i(x, y は実数)はちょうど2つ存在する。この z z を求めよ。
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Q.75

(2)等比数列であるとすると,公比は\frac{6}{3}=2第 \u2099 項が 1500 とすると 3* 2^{n-1}=1500 よって 2^{n-1}=500\n500=2^{2}* 5^{3}であるから,この等式を満たす自然数nは存在しない。\nゆえに,等比数列になることはない。
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Q.76

187 最大値 \( 32, C(1,8) \)
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Q.77

すべての正の整数 n n に対して、 33n2+53n1 3^{3n-2}+5^{3n-1} が 7 の倍数であることを証明せよ。
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Q.78

すべての正の整数 n n に対して, 33n2+53n1 3^{3 n-2}+5^{3 n-1} が 7 の倍数であることを証明せよ。 [弘前大] \left\ulcorner 3^{3 n-2}+5^{3 n-1}\right. が 7 の倍数である」を(A)とする。 [1] n=1 n=1 のとき 31+52=28=74 3^{1}+5^{2}=28=7 \cdot 4 よって, n=1 n=1 のとき (A) は成り立つ。 [2] n=k n=k のとき (A) が成り立つと仮定すると, m m を整数と して, 33k2+53k1=7m 3^{3 k-2}+5^{3 k-1}=7 m と表される。 \[ \begin{array}{l} \text { よって } \quad 5^{3 k-1}=7 m-3^{3 k-2} \\ n=k+1 \text { のとき } \\ 3^{3(k+1)-2}+5^{3(k+1)-1}=3^{3} \cdot 3^{3 k-2}+5^{3} \cdot 5^{3 k-1} \\ =27 \cdot 3^{3 k-2}+125\left(7 m-3^{3 k-2}\right) \\ =125 \cdot 7 m-98 \cdot 3^{3 k-2} \\ =7\left(125 m-14 \cdot 3^{3 k-2}\right) \\ \end{array} \] 125m1433k2 125 m-14 \cdot 3^{3 k-2} は整数であるから, \( 3^{3(k+1)-2}+5^{3(k+1)-1} \) は 7 の倍数である。 したがって, n=k+1 n=k+1 のときにも(A)は成り立つ。 [1], [2] から, すべての正の整数 n n に対して (A) は成り立つ。 別解 7 を法とする合同式を利用する。 \[ \begin{aligned} 3^{3} \equiv 27 \equiv 6(\bmod 7), & 5^{3} \equiv 125 \equiv 6(\bmod 7) \text { であり } \\ 3^{3 n-2}=3^{3(n-1)+1} & =\left(3^{3}\right)^{n-1} \cdot 3 \\ 5^{3 n-1}=5^{3(n-1)+2} & =\left(5^{3}\right)^{n-1} \cdot 5^{2} \\ \text { よって } \quad 3^{3 n-2}+5^{3 n-1} & \equiv\left(3^{3}\right)^{n-1} \cdot 3+\left(5^{3}\right)^{n-1} \cdot 5^{2} \\ & \equiv 6^{n-1} \cdot 3+6^{n-1} \cdot 5^{2} \\ & \equiv 6^{n-1}\left(3+5^{2}\right) \\ & \equiv 6^{n-1} \cdot 28 \equiv 0(\bmod 7) \end{aligned} \] ゆえに,すべての正の整数 n n に対して, 33n2+53n1 3^{3 n-2}+5^{3 n-1} は 7 の 倍数である。
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Q.79

35 (1) x2+y2=32 x^{2}+y^{2}=3^{2} すなわち x2+y2=9 x^{2}+y^{2}=9
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Q.80

綀習 命題「整数 n が 5 の倍数でなければ, n^{2} は 5 の倍数ではない。」が真であることを証明せよ。また, この命題を用いて √5 は有理数でないことを背理法により証明せよ。
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Q.81

EX k を正の整数とする。 5 n^{2}-2 k n+1<0 を満たす整数 n が, ちょうど 1 個であるような k の値を すべて求めよ。
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Q.82

次のアからエのうち、正しいものを選びなさい。 (1) A の要素の個数が 2 であることは, a が素数であるためのア ◻️。 (2) A ∩ B= \{1,2\} であることは, a と b がともに偶数であるためのイ ◻️。 (3) a ≤ b であることは, A ⊆ B であるためのウ ◻️。
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Q.83

2 つの方程式 x2x+a=0,x2+2ax3a+4=0 x^{2}-x+a=0, x^{2}+2 a x-3 a+4=0 について, 次の条件が成り立つように, 定数 a a の値の範囲を定めよ。\n(1)両方とも実数解をもつ\n(2)少なくとも一方が実数解をもたない\n(3)一方だけが実数解をもつ
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Q.84

次の \square に最も適する語句を,上の例題の選択肢(ア)(I)から選べ。ただし, a,x a, x , y は実数とする。\n(4) A,B A, B を 2 つの集合とする。 a a AB A \cup B の要素であることは, a a A A の要素で あるための \square (4) 掟南大] p.101 EX44,45>
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Q.85

具本 44 集合の記号と表し方\n(1) 42 の正の約数全体の集合を A A とする。次の \square の中に, \in または \notin のい ずれか適するものを書き入れよ。\n(ア) 7 \square A\n(イ) 9 \square A\n(ウ) -2 \square A A \n(2) 次の集合を,要素を書き並べて表せ。\n(ア) A={x2x<4,x A=\{x \mid-2 \leqq x<4, x は整数 } \} \n(イ) B={xx B=\{x \mid x は 24 の正の約数\}\n(3) 3 つの集合 A={3,6,9},B={xx A=\{3,6,9\}, B=\{x \mid x は 18 の正の約数 } \} , C={x1x10,x C=\{x \mid 1 \leqq x \leqq 10, x は整数で 3 の倍数 } \} について,次の \qquad の中に, \subset , \supset , = = のうち,最も適するものを書き入れよ。\n(ア) A A \square B B \n(イ) B B \square \square C\n(ウ) A A \square C
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Q.86

130 (1) (2) (2) (4) (6) (7) (9) (3) (10) (12)
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Q.87

178 8 通り
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Q.88

実数 x,y x, y x2+y2=2 x^{2}+y^{2}=2 を満たすとき, 2x+y 2 x+y のとりうる値の最大値と最小値を 求めよ。また, そのときの x,y x, y の値を求めよ。
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Q.89

ガウス記号とグラフ (Gauss 記号)
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Q.90

180 (1), (3)
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Q.91

(1) x x の 2 次方程式 \( x^{2}+(2 k-1) x+(k-1)(k+3)=0 \) が実数解をもつような定数 k k の値の範囲を求めよ。
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Q.92

連続した 3 つの自然数のうち,最小のものの平方が, 他の 2 数の和に等しい。この 3 数を求めよ。 380 { }^{3} 80 \n最小のものを n n とると,他の 2 数は n+1,n+2 n+1, n+2 と表される。条件から \( \quad n^{2}=(n+1)+(n+2) \)\nすなわち n22n3=0 n^{2}-2 n-3=0 よって \( \quad(n+1)(n-3)=0 \)\nn n は自然数であるから n=3 n=3 \nゆえに,求める 3 数は 3,4,5 3,4,5 \n別解 最小のものを n1 n-1 とすると, 他の 2 数は n,n+1 n, n+1 と表 される。\n条件から \( \quad(n-1)^{2}=n+(n+1) \)\nすなわち n24n=0 n^{2}-4 n=0 よって \( n(n-4)=0 \)\nn1 n-1 は自然数であるから n=4 \quad n=4 \nゆえに,求める 3 数は 3,4,5 3,4,5 \nふ連続した自然数。\n『解は n=1,3 n=-1,3 \nふ解の吟味。 n n は自然数。\nઐ連続した自然数。\n解は n=0,4 n=0,4 \nઐ解の吟味。 n1 n-1 は自然数。
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Q.93

EX整数 a,b,c a, b, c に関する次の命題の逆と対偶を述べ,それらの真偽を述べよ。\n「 a^{2}+b^{2}+c^{2} \ が奇数ならば a,b,c a, b, c のうち少なくとも 1 つは奇数である」
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Q.94

(1) 「大きい」の意味が明確でないから,正しいか正しくないかが定まらない。よって, 命題ではない。 (2) 28 の正の約数は 1,2,4,7,14,28 1,2,4,7,14,28 の 6 個である。よって, 真の命題である。 (3) n=36 n=36 のとき, n n は 4 の倍数かつ 6 の倍数であるが, 24 の倍数でない。よって, 偽の命題である (n=36 (n=36 が反例)。
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Q.95

2 次方程式 \( x^{2}+(a-3) x-a+6=0 \) が実数解をもたないような,定数 a a の値の範囲を求めよ。
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Q.96

定数 a a を用いた放物線 y=2x2+3xa+1 y = 2x^2 + 3x - a + 1 x x 軸の共有点の個数を求めよ。
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Q.97

2 因数分解
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Q.98

数学 I\n(1) 次の命題を証明せよ。\n「nが5で割り切れるなら、nの二乗は5で割り切れる。」
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Q.99

127 (3), (5)
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Q.00

146 (1), (3)
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Q.01

因数分解された2次不等式の解を求めよ。次の不等式に対する解を見つけてください。\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) > 0 \)\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) \geq 0 \)\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) < 0 \)\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) \leq 0 \)\nまた、特別な場合として平方の2次不等式についても考える。\n- \( (x - \alpha)^2 > 0 \)\n- \( (x - \alpha)^2 \geq 0 \)\n- \( (x - \alpha)^2 < 0 \)\n- \( (x - \alpha)^2 \leq 0 \)
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Q.02

(2) 交代式が \( (a-b)(b-c)(c-a) \) を因数にもつことを証明してください。
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Q.03

2 (問題例):p p より大きい解と p p より小さい解を持つ条件を求めよ。
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Q.04

(1) {2,4,5,7,9} \{2,4,5,7,9\} \n(2) {2,3,5} \{2,3,5\}
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Q.05

《基本例題 76 z=1+i とする。 (2) z^n が純虚数となる最小の自然数 n の値を求めよ。
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Q.06

17 (3) 1
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Q.07

(4) a1,b1 a_{1}, b_{1} を互いに素な正の整数とし, a2,b2 a_{2}, b_{2} も互いに素な正の整数とする。集合 Q1 Q_{1} Q2 Q_{2} を\nQ1={zz Q_{1}=\left\{z \mid z\right. は整数 k k を用いて \( \left(\cos \frac{2 a_{1}}{b_{1}} \pi+i \sin \frac{2 a_{1}}{b_{1}} \pi\right)^{k} \) と表される複素数 } \} Q2={zz Q_{2}=\left\{z \mid z\right. は整数 k k を用いて \( \left(\cos \frac{2 a_{2}}{b_{2}} \pi+i \sin \frac{2 a_{2}}{b_{2}} \pi\right)^{k} \) と表される複素数 } \} で定め, 集合 R R を\n R={zz R=\left\{z \mid z\right. は集合 Q1 Q_{1} の要素と集合 Q2 Q_{2} の要素の積で表される複素数 } \} で定める。 b1 b_{1} b2 b_{2} が互いに素ならば,集合 R R の要素の個数 \( n(R) \) はウ \square で ある。 b1 b_{1} b2 b_{2} が互いに素でないとき, それらの最大公約数を d d とすれば, 集合 R R の要素の個数 \( n(R) \) はエ \square である。
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Q.08

11 (3) 0
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Q.09

数学C 139 [2] k=12k=-\frac{1}{2} のとき \n\\[\n\\begin{array}{l}\nz_{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i=\cos \frac{2}{3} \pi+i \sin \frac{2}{3} \pi \\\\\nz_{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i=\cos \left(-\frac{2}{3} \pi\right)+i \sin \left(-\frac{2}{3} \pi\right)\n\\end{array}\n\\]\n[1], [2] のそれぞれの場合における 3 点 z1,z2,z3z_{1}, z_{2}, z_{3} の位置関係は 次の図のようになる。\n[1]\n[2]\nゆえに, 6 点 w1,w2,w3,w1,w2,w3w_{1}, w_{2}, w_{3}, \overline{w_{1}}, \overline{w_{2}}, \overline{w_{3}} が正六角形の頂点となる のは, 3 点 w1,w2,w3w_{1}, w_{2}, w_{3} が次の図のようになる場合である。\nただし [1] [2] \longrightarrow (2), (3), (4) (1) (3) (2) (4)\n4点 z1z_{1} の回転について 考えると, w1,w2,w3w_{1}, w_{2}, w_{3}, w1,w2,w3 \overline{w_{1}}, \overline{w_{2}}, \overline{w_{3}} を頂点とす る正六角形の頂点に移る とき, 回転角 θ \theta 0θπ0 \leqq \theta \leqq \pi の範囲で,\n\\n\\theta=\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5}{6} \pi\n\\nの 3 通りある。\n[1] では θ=π2 \theta=\frac{\pi}{2} のとき 条件を満たす。\nしたがって k=12 \quad k=\frac{1}{2} \quad のとき θ=π2 \quad \theta=\frac{\pi}{2} ;\n\\nk=-\frac{1}{2} のとき \theta=\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5}{6} \pi\n\
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Q.10

6 順に (1) \\( (-4,-1,6), \\sqrt{53} \\)\n(2) \\( (12,-3,-4), 13 \\)\n(3) \\(
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Q.11

漸化式を利用した無限級数の和 数列 {an} \left\{a_{n}\right\} は, a1=a2=1 a_{1}=a_{2}=1 かつ漸化式 \( a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) を満た すものとする。自然数 n n に対して, 実数 θn \theta_{n} 0<θn<π2 0<\theta_{n}<\frac{\pi}{2} かつ tanθn=1an \tan \theta_{n}=\frac{1}{a_{n}} となるように定める。 (1) \( a_{n}\left(a_{n+2}+a_{n+1}\right)=a_{n+1} a_{n+2}-(-1)^{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) が成り立つことを証明せよ。 (2) \( \theta_{2 k+1}+\theta_{2 k+2}=\theta_{2 k}(k=1,2,3, \cdots \cdots) \) が成り立つことを証明せよ。 (3) k=1θ2k1 \sum_{k=1}^{\infty} \theta_{2 k-1} を求めよ。 [京都府医大]
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Q.12

b1 と b2 が互いに素でないという条件を,最大公約数を d として式で表す。
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Q.13

\\( \{(k+1)!\\}^{2} = \\{(k+1) \\cdot k!\\}^{2} = (k+1)^{2} \\cdot (k!)^{2} \\geqq (k+1)^{2}(k+1)^{k-1} = (k+1)^{k+1} \\) を示せ。
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Q.14

10 (1) 2 (2) 順に \( (\alpha, \beta)=(2,3),(3,2) \); an=23n12n1, a_{n}=2 \cdot 3^{n-1}-2^{n-1}, \infty
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Q.15

(2) l l をkと互いに素な自然数とする。このとき, 複素数 zl,z2l,z3l,,zkl z^{l}, z^{2 l}, z^{3 l}, \cdots \cdots, z^{k l} は すべて異なることを示せ。
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Q.16

\\( (x+2)(2 x-3)<(x+2)^{2} \\) を解け。
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Q.17

8 (1) 正しくない\n(2) 正しくない\n(3) 正しくない\n(4) 正しい
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Q.18

(イ) \( (n!)^{2} \geqq n^{n} \) …... (1) とする。 [1] \ n=1 \ のとき \\((\\text { 左辺 })=(1!)^{2}=1, \\quad(\\text { 右辺 })=1^{1}=1 よって, (左辺) \ \\geqq \ (右辺) であり, (1) は成り立つ。 [2] \ n=k \ のとき, (1)が成り立つ, すなわち \\(k!)^{2} \\geqq k^{k} が成り立つと仮定する。 (ア)の結果から, \ k \\geqq 1 \ のとき \\( k^{k} \\geqq(k+1)^{k-1} \\) が成り立つ。これと (2) から \\( \\quad(k!)^{2} \\geqq(k+1)^{k-1} \\)
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Q.19

一一 数学 𝕀 3^x の 2 次方程式 (1) を解くと \quad 3^x=y \pm \sqrt{y^2-1} 3^x \geqq 1, y \geqq 1 であるから \quad 3^x=y+\sqrt{y^2-1} したがって \quad x=\log_3(y+\sqrt{y^2-1}) x とyを入れ替えて \quad y=\log_3(x+\sqrt{x^2-1})(x \geqq 1)
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Q.20

ここで, n n 番目の素数 pn p_{n} pn>n p_{n}>n を満たし, 1leqkleqn 1 \\leq k \\leq n を満たすすべての自然数 k k は, 素数 p1,p2,,pn p_{1}, p_{2}, \cdots , p_{n} を用いて \( k = p_1^{ m_1(k) } \\times p_2^{ m_2(k) } \\times \\cdots \\times p_n^{ m_n(k) }\) と表される[ただし, \( m_1(k), m_2(k), \\cdots , m_n(k) \) は 0 以上 n n 以下の整数 ]。 \nゆえに \( \\frac{1}{k} = \\frac{1}{p_1^{ m_1(k) } \\times p_2^{ m_2(k) } \\times \\cdots \\times p_n^{ m_n(k) }} \)
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Q.21

数学 mathbbI \\mathbb{I} (4)Cが優勝する確率の条件から quadfrac2p2p2p+2geqqfrac13 \\quad \\frac{2 p^{2}}{p^{2}-p+2} \\geqq \\frac{1}{3} \( p^{2}-p+2=\\left(p-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\frac{7}{4}>0 \) であるから, 分母を払って整理すると\n\\n5 p^{2}+p-2 \\geqq 0\n\\nこれを解くと quadpleqqfrac1sqrt4110,frac1+sqrt4110leqqp \\quad p \\leqq \\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}, \\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p \nここで quadfrac1sqrt4110<0 \\quad \\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}<0 \nまた, 6<sqrt41<7 6<\\sqrt{41}<7 から quadfrac12<frac1+sqrt4110<frac35 \\quad \\frac{1}{2}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10}<\\frac{3}{5} \nゆえに, 0<p<1 0<p<1 であるから quadfrac1+sqrt4110leqqp<1 \\quad \\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p<1 \n次に, fracn1100<frac1+sqrt4110leqqfracn100cdotscdots \\frac{n-1}{100}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq \\frac{n}{100} \\cdots \\cdots (1) を満たす自然数 n n を 求める。\n\\n\\begin{\overlineray}{l}\n\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10}=\\frac{-10+10 \\sqrt{41}}{100}=\\frac{-10+\\sqrt{4100}}{100} \\text { であり, } \\\\\n64^{2}=4096,65^{2}=4225 \\text { であるから } \\quad 64<\\sqrt{4100}<65 \\\\\n\\text { よって } \\quad 54<-10+\\sqrt{4100}<55\n\\end{\overlineray}\n\\nn n は単調に増加するから(1)を満たす n n は 55\nしたがって, 求める N N の最小値は\n55
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Q.22

整数では、例えば 45 と 105 について素因数分解を利用して、最大公約数と最小公倍数を求めることができます。では、整式の場合も同様に、因数分解を利用して、最大公約数と最小公倍数を求める方法を示しなさい。\n\n例:整式 x3+3x2+2x x^{3}+3 x^{2}+2 x x3+x2 x^{3}+x^{2} に対して、整式の最大公約数と最小公倍数を求めよ。
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Q.23

弦をはじいたときの音は,弦の長さが半分になると1 オクターブ高い音になる。ここで, ドと1オクターブ上のドの間を,隣り合う 2 つの音の弦の長さの比が等しくなるように 12 分割した音の並びを(十二)平均律音階という。これが日常的によく用いられている 音階である。\n\n隣り合う 2 つの音の弦の長さの比を x とすると x^{12}=2^{-1} すなわち x=2^{-\frac{1}{12}} 両辺の常用対数をとると \log _{10} x=-\frac{1}{12} \log _{10} 2 \fallingdotseq-\frac{1}{12} \times 0.3010 \fallingdotseq-0.025 よって \log _{10} \frac{1}{x}=0.025 常用対数表から \frac{1}{x} \fallingdotseq 1.06 ゆえに x=\frac{1}{1.06} \fallingdotseq 0.94 よって, 弦の長さを約 0.94 倍すると音は半音上がることがわかる。例えば, ドの音の弦 \left(\fallingdotseq 0.94^{4}\right) にするとファ\#の音になる。
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Q.24

(-1+sqrt(3)i)^3 の実部はア, 虚部はイである。
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Q.25

(2) 29^{51} を 900 で割ったときの余りを求めよ。
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Q.26

EX (1) 正の実数 x,y x, y 9x2+16y2=144 9 x^{2}+16 y^{2}=144 を満たしているとき, xy x y の最大值は \square である。
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Q.27

nを整数とし, p p を 2 以上の整数で素数とする。 3 次方程式 x3+nx2+n2x=p x^{3}+n x^{2}+n^{2} x=p が正の整数 x=α x=\alpha を解にもつとき,次の問いに答えよ。\n(1) α=1 \alpha=1 であることを示せ。\n(2)上の 3 次方程式が k+2i(k k+\sqrt{2} i(k は実数, i i は虚数単位 \( ) \) を解にもつとき, p p の値 を求めよ。
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Q.28

数学 I I EX x2+1 x^{2}+1 で割ると 3x+2 3 x+2 余り, x2+x+1 x^{2}+x+1 で割ると 2x+3 2 x+3 余るような x x の多項式のうちで, 次数が48最小のものを求めよ。
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Q.29

正の整数 n で n^{n}+1 が 3 で割り切れるものをすべて求めよ。
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Q.30

\( f(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1 \) ( n n は自然数) が \( (x-1)^{2} \) で割り切れるように, 定数 a a , b b の値を定めよ。
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Q.31

91 (1) 4 個
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Q.32

剩余の定理と因数定理
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Q.33

169 (3) 2
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Q.34

16 44
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Q.35

p p を 3 以上の素数とする。 2p 2^{p} をで割った余りが 2 であることを示せ。
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Q.36

p p を素数とし, 整数 r r 1rp1 1 \leqq r \leqq p-1 を満たすとする。このとき, pr p_{r} p p で割り切れることを示せ。
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Q.37

91(2) 5 個
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Q.38

a, b が素数であって, x の 2 次方程式 3 x^{2}-12 a x+a b=0 が 2 つの整数解をもつとき, a, b の値とその整数解を求めよ。
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Q.39

(2) \ \\sqrt{d}=\\sqrt{a b^{2} c^{3}}=b c \\sqrt{a c} \ \ \\sqrt{d} \ が整数であるための条件は, 積\a c\ が平方数となることです。そのような自然数\\(a, c(a>c>1)\\)のうち, 最小のものは \n\ a=2^{3}, c=2 \ \b=3\とすると\d=2^{3} \\cdot 3^{2} \\cdot 2^{3}=576\
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Q.40

(2) \( P(x) \) を \( (x-1)^{2} \) で割つたときの余りが定数であるとき, \( P(x) \) を \( (x-1)^{2}(x+1) \) で割ったときの余りを求めよ。
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Q.41

p p を 5 以上の素数とする。 3p 3^{p} をで割った余りを求めよ。
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Q.42

練習(1) x x の 2 次方程式 \( (x-a)(x-b)-2 x+1=0 \) の解を \\alpha, \\beta \ とする。このとき,\n(3) \( 48(x-\\alpha)(x-\\beta)+2 x-1=0 \\) の解を求めよ。\n[大阪経大]\n(2) 2 次方程式 \\( (x-1)(x-2)+(x-2) x+x(x-1)=0 \\) の 2 つの解を \ \\alpha, \\beta \ とするとき, \\( \\frac{1}{\\alpha \\beta}+\\frac{1}{(\\alpha-1)(\\beta-1)}+\\frac{1}{(\\alpha-2)(\\beta-2)} \\) の値を求めよ。
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Q.43

1042
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Q.44

練習 複素数平面上の正方形において, 1 組の隣り合った 2 頂点が点 1 と点 3+3i 3+3 i であるとき, 他の 2 頂点を表す複素数を求めよ。
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Q.45

143
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Q.46

119 (1) 3
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Q.47

154
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Q.48

158
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Q.49

121 (1) 2
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Q.50

n を正の整数とし, n^2+3 と n+1 の最大公約数を d_n とおく。\n(1) d_1, d_2, d_3, d_4, d_5 を求めよ。\n(2) \((n^2+3)-(n-1)(n+1)=4\)を用いて, d_n は1, 2, 4 のいずれかであることを示せ。\n(3) n=1610dn\sum_{n=1}^{610} d_n を求めよ。\n(4) 極限値 limk1kn=1kdn\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{k} \sum_{n=1}^{k} d_{n} を求めよ。 〔首都大東京〕
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Q.51

169
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Q.52

すべての自然数 n n に対して, 2n>n 2^{n}>n であることを示せ。〔広島大〕
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Q.53

[(i)の後半の証明] 1 の原始 n n 乗根 zk z_{k} について, z_{k}, z_{k}{ }^{2}, z_{k}{ }^{3}, \cdots \cdots, z_{k}{ }^{n} の偏角は順に \(\frac{k}{n} \cdot 2 \pi, \frac{2 k}{n} \cdot 2 \pi, \frac{3 k}{n} \cdot 2 \pi, \cdots \cdots, \frac{n k}{n} \cdot 2 \pi \triangleleft \frac{n k}{n} \cdot 2 \pi=2 \pi k
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Q.54

複素数 z z の実数条件と純虚数条件\nz=a+bi(a,b z=a+b i(a, b は実数)とする。\n・ z z が実数 zˉ=z \Leftrightarrow \bar{z}=z \nzˉ=z \bar{z}=z が成り立つとき, abi=a+bi a-b i=a+b i から b=b \quad-b=b すなわち b=0 \quad b=0 よって, z=a z=a となり, z z は実数となる。\nこれを複素数平面上で考えると, 点 z z と点 zˉ \bar{z} は実軸に関して対称な 2 点であり, こ の 2 点が一致するのは, 実軸上の点だけであるから, zは実数である。\n・ zが純虚数 zˉ=z \Leftrightarrow \bar{z}=-z かつ z0 z \neq 0 \nzˉ=z \bar{z}=-z かつ z0 z \neq 0 が成り立つとき, abi=abi a-b i=-a-b i から\na=a a=-a すなわち a=0 a=0 \nよって, z=bi z=b i となり, z0 z \neq 0 より b0 b \neq 0 であるから z z は純虚数となる。\nこれを複素数平面上で考えると, 点 zˉ \bar{z} と点 z -z は虚軸に関して対称な 2 点であり, この 2 点が一致するのは, 虚軸上の点だけである。このうち, 原点 O以外の点は純虚数である。よって, z z は純虚数である。
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Q.55

81 \\sqrt{5}-1
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Q.56

139\n(1) 2\n(2) \(\\frac{\\pi}{8}(2 \\pi+3 \\sqrt{3})\\)
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Q.57

EX |z|=|w|=1, z w \\neq 1 \ を満たす複素数 z,w z, w に対して, \\frac{z-w}{1-z w} \ は実数であることを証明せよ。
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Q.58

101 (2) 4
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Q.59

75 (2) 1
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Q.60

5 個の数字 0 , 1,2,3,4 全部を並べてできる 5 桁の数は全部でア □ 個ある。 これらの整数を小さい方から順に並べたとき, 40 番目の数はイ □ であり, 32104 はウ □ 番目の数である。
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Q.61

自然数 n,k n, k 2kn2 2 \leqq k \leqq n-2 を満たすとき, nCk>n { }_{n} \mathrm{C}_{k}>n であることを示せ。
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Q.62

エラトステネスの篩を用いて、1000 以下の素数でない整数が 750 個以上あることを証明せよ。\n1 以上 1000 以下の整数のうち,2 の倍数,3の倍数,5の倍数全体の集合を,それぞれ A, B, C とすると, 1000=2・500, 1000=3・333+1,1000=5・200 であるから n(A)=500, n(B)=333, n(C)=200。
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Q.63

ブラーマグプタの公理の内容を説明してください。
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Q.64

(2)求めるnの最大値は,50!を計算したときの末尾に並ぶ 0 の個数, すなわち 50 ! を素因数分解したときの素因数 5 の個数に一致 する。1から 50 までの自然数のうち, 5の倍数の個数は, 50 を 5 で割った商で 10 (5^{2} の倍数の個数は, 50 を 5^{2} で割った商で 2 50<5^{3} であるから, 5^{n}(n \geqq 3) の倍数はない。 よって, 素因数 5 の個数は 10+2=12 (個) したがって, 求める n の最大値は 12 練習 78 ⇒ 本冊 p .399
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Q.65

自然数 n n に対して, \( f(n)=5^{3 n}+5^{2 n}+5^{n}+1 \) とする。 n n が 4 の倍数でないとき, \( f(n) \) は 13 の倍数であることを証明せよ。
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Q.66

ユークリッドの互除法の手順を述べ、具体例を示してください。
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Q.67

a, b が互いに素で, a k が b の倍数であるならば, k は b の倍数である。
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Q.68

素数 p p に対して、 n=p14 n = p^{14} と表されるとき n1900 n \geqq 1900 となるような最小の p p を求めてください。
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Q.69

自然数 n n に対して, n5n n^{5}-n は 15 の倍数であることを証明せよ。
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Q.70

連続する整数の積に関して。\n1. 連続する 2 つの整数の積が 2 の倍数であることを証明しなさい。\n2. 連続する 3 つの整数の積が 6 の倍数であることを証明しなさい。\n3. 一般に、連続する n n 個の整数の積が n! n! の倍数であることを証明しなさい。
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Q.71

演習 6 III -> 本冊 p .59 \\[ x = \\sqrt{12 + 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) + 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} + \\sqrt{5} \\\\\\ y = \\sqrt{12 - 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) - 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} - \\sqrt{5} \\\\\\ \\sqrt{\\frac{x}{y}} = \\sqrt{\\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{7} - \\sqrt{5}}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{(\\sqrt{7} - \\sqrt{5})(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{7 - 5}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{2}} = \\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) \\sqrt{2}}{(\\sqrt{2})^{2}} = \\frac{\\sqrt{14} + \\sqrt{10}}{2} \\]
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Q.72

定理 2 以上の自然数は素因数分解できる。\n合成数 a a について, 定理 1 ( p p . 392)より a a を割り切る素数 p1 p_{1} が存在し, ap1 \frac{a}{p_{1}} は自然数である。\nap1 \frac{a}{p_{1}} が素数のとき, ap1=p2 \frac{a}{p_{1}}=p_{2} とおくと, a=p1p2 a=p_{1} p_{2} である。\nap1 \frac{a}{p_{1}} が素数でないとき, 再び定理 1 より, ap1 \frac{a}{p_{1}} を割り切る素数 p2 p_{2} が存在する。\nこれを繰り返すと,自然数の列 a>ap1>ap1p2>>0 a>\frac{a}{p_{1}}>\frac{a}{p_{1} p_{2}}>\cdots \cdots>0 が得られるが, 自然数であるから,このような操作は有限回( n n 回とする)で終了し,\nap1p2pn=pn+1 \frac{a}{p_{1} p_{2} \cdots \cdots p_{n}}=p_{n+1} となる。すなわち a=p1p2pn+1 \quad a=p_{1} p_{2} \cdots \cdots p_{n+1} \quad (素因数分解)。\n
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Q.73

例題 75 | 素因数分解の利用 \( (2) \)\n(1) n2250,n3256,n4243 \frac{n^{2}}{250}, \frac{n^{3}}{256}, \frac{n^{4}}{243} がすべて整数となるような最小の自然数 n n を求めよ。\n(2) 24 の倍数で, 正の約数の個数が 21 個である自然数 n n を求めよ。
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Q.74

p p を素数とする。 kn k \leqq n を満たす自然数の組 \( (n, k) \) で nCk=p { }_{n} \mathrm{C}_{k}=p となるものを すべて求めよ。
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Q.75

(2)命題(2)の証明)\n m m を偶数とするとき,\n P:m P: m は 4 の倍数である Q:m Q: m A A の要素である として, PQ P \Leftrightarrow Q であることを示す。\n [1] (PQ (P \Longrightarrow Q の証明 \( ) \)\n m m が 4 の倍数ならば, m=4k m=4 k (kは整数)と表される。 \( 4 k=(k+1)^{2}-(k-1)^{2} \) であり, k+1,k1 k+1, k-1 は整数であ るから, 4k 4 k A A の要素である。\n よって, m m が 4 の倍数ならば, m m A A の要素である。\n [2] (QP (Q \Longrightarrow P の証明)\n m m A A の要素ならば, a,b a, b を整数として\n \( m=a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b) \) と表される。
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Q.76

40 a-b-8 と b-c-8 が素数となるような素数の組 (a, b, c) をすべて求めよ。
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Q.77

125より大きいを5の倍数は1500,155,160,165,130など。 165!を素因数分解したときの素因数5の個数は?
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Q.78

1から100までの自然数の中で、次のような数は何個あるか。 (1) 2でも3でも5でも割り切れる数 (2) 2または3または5で割り切れる数 (3) 2では割り切れるが、3でも5でも割り切れない数
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Q.79

(2) a,b,c a, b, c のうちに素数ではないものがあることを示せ。
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Q.80

ガウス記号と 2 次不等式に関する問題を解いてください。
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Q.81

練習 n n n2+2 n^{2}+2 がともに素数になるような自然数 n n の値を求めよ。
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Q.82

参考: フェルマーの小定理の対偶は「互いに素な a a が \( a^{p-1} \equiv 1(\bmod p) \) を満たさなければ,p p は素数でない(合成数である)」ことについて次の合成数を例に示せ:9, 35。
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Q.83

(3)正の約数の個数が \( 10(=10 \\cdot 1=5 \\cdot 2) \\) であるような自然数を n \ として,nを素因数分解すると,次の形で表される。\n p^{9} \ または p^{4} q \ ( \ p, q \ は異なる素数)\n[1] \ n=p^{9} \ の形のとき\np \\) であるから \\quad p^{9} \\geqq 2^{9}=512 \\nよって, を素数とするとき, p^{9} \ は 2 桁の自然数にならないから,不適である。[2] \ n=p^{4} q \ の形のとき\ p \\geqq 3 \ とすると, \ p^{4} q \\geqq 3^{4} q=81 q \\geqq 81 \\cdot 2=162 \ となり, \ p^{4} q \ は 2 桁の自然数でないから,不適である。\\nよって, \ p<3 \ であるから \ \\quad p=2 \\nこのとき \ \\quad p^{4} q=2^{4} q=16 q \ \\n\ n=p^{4} q \ は 2 桁の自然数であるから \ \\quad 10 \\leqq 16 q \\leqq 99 \すなわち \ \\quad \\frac{5}{8} \\leqq q \\leqq \\frac{99}{16} \この不等式を満たす 2 以外の素数 \ q \ は \ q=3,5 \したがって, 正の約数の個数が 10 個である 2 桁の自然数は\ 16 \\cdot 3=48,16 \\cdot 5=80 \
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Q.84

次の数の約数を求めよ。(1) 36 (2) 14 (3) 12345 は 3 の倍数か 9 の倍数か? (4) 91 と 144 は互いに素であるか?
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Q.85

類題 18 \\Rightarrow \ 本冊 p .485 \\n[1] n=1 \ のとき\n\\nn^{3}+3=1^{3}+3=4=2 \\cdot 2\n\\n\nよって, n^{3}+3 \ は素数ではない。\n[2] n=2 \ のとき\n\\nn^{7}+7=2^{7}+7=135=3^{3} \\cdot 5\n\\n\nよって, n^{7}+7 \ は素数ではない。\n[3] n \\geqq 3 \ のとき\n\\n n \ は自然数 k \ を用いて, 3 k, 3 k+1,3 k+2 \ のいずれかで表さ れる。\n(i) n=3 k \ のとき\n\\[\nn^{3}+3=27 k^{3}+3=3\\left(9 k^{3}+1\\right)\n\\]\n1与式は p \ q \ 対称式。\n\ p, q \ の対称式\n\ \\longrightarrow p+q, p q \ で表す\nに従い, p^{3}+q^{3} \ と\n\\( p q(p+q) \\) に着目する。\n p \\geqq 1, q \\geqq 1 \ であるか\nら p^{2} \\geqq p, q^{2} \\geqq q \\n \\triangleleft 3 p^{2}-4 p+3 q^{2}=11 \\cdot 61 \\nを使う前に, p+q=3 \ を 満たす正の整数を求めた 方が早い。\n1和と積が与えられた 2 数は, 2 次方程式\n\\[\n\\left.x^{2}-(\\text { 和 }) x+\\text { (積 }\\right)=0\n\\]\n\nの解 (本冊 p .163 \ 検討参照) である。\n総合\n総合\n\ \\Delta n=1,2, \\cdots \\cdots \\nを代入し,素数とならな いことを示す。\n\ 4 n \ を 3 で割った余りで 分類する。
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Q.86

423 以上 9999 以下の奇数 a で, a2a a^{2}-a が 10000 で割り切れるものをすべて求めよ。
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Q.87

合成数は必ず素数を約数にもつことを証明しなさい。
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Q.88

分母の 162 を素因数分解すると, 162=2 ⋅ 3^{4} であるから, 1 から 162 までの整数のうち, 2 でも 3 でも割り切れないものの個数を求めればよい。1 から 162 までの整数全体の集合をUとすると n(U)=162。U の部分集合のうち,2 の倍数全体の集合を A, 3 の倍数全体の集合を B とすると, 162=2 ⋅ 81,162=3 ⋅ 54 からn(A)=81, n(B)=54。また, A ∩ B は 6 の倍数全体の集合で, 162=6 ⋅ 27 からn(A ∩ B)=27。よって, 求める個数は以下。 n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = n(U) -\{n(A)+n(B)-n(A \cap B)\} = 162 - (81 + 54 - 27)= 54
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Q.89

(3)(2) で, A,B, C の区別をなくすと,同じものが 3! 通りずつで きるから 1680÷3!=1680÷6=280 \quad 1680 \div 3!=1680 \div 6=280 (通り)
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Q.90

素数 pp は以下の条件を満たします: m2n2=pm^{2}-n^{2}=p。この問題では、この条件を満たす自然数の組 \( (m, n) \) がただ1つ存在することを証明せよ。
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Q.91

p が 3 より大きい素数であることを証明せよ。
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