数と代数 - 代数方程式 (線形、二次) | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

次の 2 次方程式を解け。\n(1) $x^{2}-3 x+2=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x-35=0$\n(3) $12 x^{2}+16 x-3=0$\n(4) $14 x^{2}-19 x-3=0$\n(5) $5 x^{2}-3=0$\n(6) \( (2 x+1)^{2}-9=0 \)

次の 2 次方程式の解と係数の関係を証明せよ。 2 次方程式 ax² + bx + c = 0 の 2 つの解を α, β とするとき、α + β = -b/a, αβ = c/a が成り立つ。 数学 II の内容を利用して証明せよ。

男子短距離 100m 走の選手である太郎さんは、(1)に着目して、タイムが最もよくなるストライドとピッチを考えることにした。 次の表は、太郎さんが練習で 100m を 3回走ったときのストライドとピッチのデーターである。 |回数|1回目|2回目|3回目| |---|---|---|---| |ストライド|2.05|2.10|2.15| |ピッチ|4.70|4.60|4.50| また、ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある。太郎さんの場合、ストライドの最大値は 2.40 、ピッチの最大値は 4.80 である。 太郎さんは、上の表から、ストライドが 0.05 大きくなるとピッチが 0.1 小さくなるという関係があると考えて、ピッチがストライドの 1次関数として表されると仮定した。このとき、ピッチ z はストライド x を用いて z= イウ x + エオ/5 と表される。 (2) が太郎さんのストライドの最大値 2.40 とピッチの最大値 4.80 まで成り立つと仮定すると、 x の値の範囲は次のようになる。 カ. キク ≤ x ≤ 2.40 y= アおく。(2)を y= アに代入することにより、 y を x の関数として表すことができる。太郎さんのタイムが最もよくなるストライドとピッチを求めるためには、カ. キク ≤ x ≤ 2.40 の範囲で y の値を最大にする x の値を見つければよい。 このとき、 y の値が最大になるのは x= ケ．コサのときである。きであり、このとき、ピッチは：シ．スセである。また、このときの太郎さんのタイムは、(1)にりり ソである。 イウ～スセに当てはまる数を答えよ。また、ソに当てはまるものを、次の(0)〜(5)のうから1つ選べ。 (0) 9.68 (1) 9.97 (2) 10.09 (3) 10.33 (4) 10.42 (5) 10.55

次の 2 次方程式を解け。 (1) \( (x-1)(x+2)=0 \) (2) \( x(x+1)=0 \) (3) $x^{2}=\frac{8}{9}$

2 つの 2 次方程式 $x^{2}-x+a=0, x^{2}+2 a x-3 a+4=0$ について, 次の条件を満たす定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2 次方程式の解が存在する範囲を求めるために、次の条件を満たすグラフを考えましょう:\n1. グラフが $x$ 軸と異なる 2 点で交わる。\n2. 2 点は $x$ 軸の正の部分にある。\nこれらの条件を式で表すと次のようになります:\n[1] $D > 0$ （グラフが $x$ 軸と異なる 2 点で交わる条件）\n[2] 軸が $x > 0$ の範囲にある …… 軸が $y$ 軸より右にある。\n[3] \(f(0) > 0\) …… $x = 0$ での $y$ 座標が正である。

EX $a$, $p$ は定数とする。次の $x$ についての方程式の実数解を求めよ。\n(1) $a^{2} x-2=4 x-a$\n(2) \((p^{2}-1)x^{2}+2px+1=0\)

次の連立方程式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6 \\ 3 x-y-3 z=0 \\ x-2 y+5 z=1\end{array}\right. \)

12冊の異なる本を次のように分ける方法は何通りあるか。 (1) 5冊，4冊，3冊の3組に分ける。 (2) 4冊ずつ3人に分ける。 (3) 4冊ずつ3組に分ける。 (4) 6冊, 3冊，3冊の3組に分ける。

(例) 2 x+3 y=33 ( x, y は自然数）の場合 y ≥ 1 を利用して 2 x=3 (11-y) ≤ 30 よって 1 ≤ x ≤ 15

PRACTICE $98^{\circ}$\n2 次方程式 $x^{2}-a^{2} x-4 a+2=0$ の異なる 2 つの実数解を $\alpha, \beta$ とするとき， $1<\alpha<2<\beta$ を満たすように, 定数 $a$ の値の範囲を定めよ。

（3）方程式 $a x^{2}+b x+1=0$ が 2 つの解 $-2,3$ をもつとき，定数 $a , b$ の値を求めよ。

次の 2 次方程式を解け。\n(1) $\\frac{1}{5} x^{2}-\\frac{1}{12} x-\\frac{1}{30}=0$\n(2) $0.1 x^{2}+0.3 x-2=0$\n(3) $x^{2}-\\sqrt{2} x-4=0$\n(4) \( 2(x-2)^{2}-3(x-2)-1=0 \)

次の 2 次方程式を解け。\n1. $2 x^{2}+3 x-7=0$\n2. $3 x^{2}-12 x+10=0$\n3. $\frac{x^{2}}{6}+\frac{x}{3}-\frac{1}{4}=0$\n4. \( 6\left(x^{2}+4\right)=25 x \)\n5. $\sqrt{2} x^{2}-4 x+2 \sqrt{2}=0$\n6. \( 8(x-1)^{2}+2(x-1)-15=0 \)

PR 2 次方程式 \ x^{2}-a^{2} x-4 a+2=0 \ の異なる 2 つの実数解を \ \\alpha, \\beta \ とするとき、\ 1 < \\alpha < 2 < \\beta \ を満たすように，定数 \ a \ の値の範囲を定めよ。\n\\( f(x)=x^{2}-a^{2} x-4 a+2 \\) とする。\n\\( y=f(x) \\) のグラフは下に凸の放物線であるから， \ 1 < \\alpha < 2 < \\beta \ となるための条件は，右の図より\n\\[f(1)>0 \\text { かつ } f(2)<0\\]\nである。

(1)\n$3x - 7y = 1$\n(1番目)\n$x = 5, y = 2$ は、整数解の1つである。\n$3 \cdot 5 - 7 \cdot 2 = 1$\n\n(2番目)\n\(3(x - 5) - 7(y - 2) = 0\)\nすなわち、\n\[3(x - 5) = 7(y - 2)\]\n3と7は互いに素であるから、$x - 5$ は7の倍数である。\nゆえに、$k$を整数として、\nx - 5 = 7k\]\nこれを代入すると、\n\[y - 2 = 3k\nよって、解は、\n\[x = 7k + 5, y = 3k + 2 (kは整数)\]

PR $x, y$ を実数とする。 $6 x^{2}+6 x y+3 y^{2}-6 x-4 y+3$ の最小値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。

2 次方程式 $2 x^{2}+3 x+k=0$ の実数解の個数を調べよ。

基本例題 902 次不等式の解から係数決定 (2) x についての 2 次不等式 a x^{2}-2 x+b > 0 の解が -2 < x < 1 となるように，定数 a, b の値を定めよ。

58 ･次の連立方程式を解け。\n(1) \( \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6 \\ 3 x-y-3 z=0 \\ x-2 y+5 z=1\end{array}\right. \)\n(2) \( \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}=9 \\ \frac{1}{x}-\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=9 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{3}{z}=-9\end{array}\right. \)

次の基本例題 96 (1) を解け。 f(x) = x² - (a - 1)x + a + 2, f(x) = 0 の判別式 D を求め、2 次方程式 f(x) = 0 が異なる 2 つの解を持つ条件を求めよ。 さらに、この解 α, β がともに正となる条件を求めよ。

次の連立方程式を解け。\n$\begin{cases} 2a - b + c = 8 \\ a - 2b - 3c = -5 \\ 3a + 3b + 2c = 9 \end{cases}$

第 1 章\n数と式\n23\nEX\n(1) $2 x^{2}-3 x+1$ との和が $x^{2}+2 x$ になる式を求めよ。

2次方程式 $2 x^{2}-3 a x+a+1=0$ の 1 つの実数解が $0<x<1$ の範囲にあり, 他の実数解が 4 $4<x<6$ の範囲にある。このとき, 定数 $a$ の值の範囲を求めよ。

次の 2 次方程式を解け。\n(1) 2x^2 + 3x - 7 = 0\n(2) 3x^2 - 12x + 10 = 0\n(3) $\frac{x^2}{6}+\frac{x}{3}-\frac{1}{4}=0$\n(4) \(6(x^2+4)=25x\)\n(5) $\sqrt{2} x^2 - 4 x + 2 \sqrt{2} = 0$\n(6) \(8(x-1)^2+2(x-1)-15=0\)

89 x=(b^2-a^2)/a

次の 2 次方程式を解け。\n(1) $x^{2}-3 x+2=0$\n(2) $2 x^{2}-3 x-35=0$\n(3) $12 x^{2}+16 x-3=0$\n(4) $14 x^{2}-19 x-3=0$\n(5) $5 x^{2}-3=0$\n(6) \( (2 x+1)^{2}-9=0 \)

2 次方程式の解法（月

2 次方程式の解の存在範囲 (2)

次の 2 次方程式の実数解の個数を求めよ。 (1) $x^{2}+3 x-2=0$ (2) $4 x^{2}-20 x+25=0$ (3) $2 x^{2}-x+1=0$

長さ a, b の線分が与えられたとき, 2 次方程式 x^{2}-a x-b^{2}=0 の正の解を長さとする線分を作図せよ。

2 次方程式 $x^{2}+a x-a^{2}+a-1=0$ が $-3<x<3$ の範囲に異なる 2 つの実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

PRACTICE 96 課題 2 次方程式 $x^{2}-2 a x+a+6=0$ が次の条件を満たすとき, 定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 (1) 正の解と負の解をもつ。 （2）異なる2つの負の解をもつ。

次の条件を満たすときの$x, y$ の最大値と最小値を求めよ。\n\n$2 x^{2}+y^{2}-4 y-5=0 を満たすとき, x^{2}+2 y の最大値と最小値$

YOKOHAMA の8文字すべてを並べてできる順列の中で, AO という並 びまたはOA という並びの少なくとも一方を含む順列の数を求めよ。 [横浜国大]

数学 I\n(2) $y=-2 x^{2}+12 x+c$ を変形すると\n\(\ny=-2(x-3)^{2}+c+18\n\)$-2 \leqq x \leqq 2$ であるから, この関数は\n$x=2$ で最大値\n$x=-2$ で最小値\n\nをとる。\n$x=2$ のとき $\\quad y=c+16$\n最大値が 7 となるための条件は\n$\nc+16=7\n$\nゆえに $\\quad c=-9$\nまた, $x=-2$ で最小値 $c-32=-41$ をとる。\n別解 \( y=-2(x-3)^{2}+c+18 \) から, この関数のグラフは上に 凸の放物線で, 軸は直線 $x=3$ である。\n軸は定義域の右外にあるから， $x=2$ で最大値， $x=-2$ で最小値をとる。\n$\nx=2 のとき \\quad y=c+16\n$\n最大値が 7 となるための条件は $\\quad c+16=7$\nよって $c=-9$\nこのとき, $x=-2$ で最小値 $c-32=-41$ をとる。\n頂点は点 \( (3, c+18) \),軸 \( (x=3) \) は定義域の右外。\n右端\n৫左端\n\\sim C=-9 を代入。\n囚グラフをかかない解法。\n上に凸 \\longrightarrow 軸から遠い ほど $y$ の値は小さい。

第2章 集合と命題\n(2) 次の方程式を解きなさい\n\\[(p q+6)+(3 p+q) \\sqrt{2}=8+7 \\sqrt{2}\\]\nただし、p と q は有理数です。

男子4人、女子5人が1列に並ぶとき、次のような並び方は何通りあるか。(1) 男子4人が皆隣り合う (2) 男子どうしが隣り合わない

命題に対する逆、対偶、裏を示しなさい。\n\n逆：「$x \\leqq 2$ または y \\leqq 2 \ならば $x + y \\leqq 4$ である。」\n\n 対偶：「$x > 2$ かつ y > 2\ならば $x + y > 4$である。」\n\n裏：「$x + y > 4$ならば $x > 2$ かつ$y > 2$である。」

最大・最小から係数の決定(3)

PR文字はすべて実数とする。次の $\square$ に当てはまるものを、下の（ア）（工）から選べ。(1) $x=2$ は $x^2-5x+6=0$ であるための $\square$ 。(2) $ac=bc$ は $a=b$ であるための $\square$ 。(3) $a=b$ は $a^2+b^2=2ab$ であるための $\square$。 (ア) 必要十分条件である（イ）必要条件であるが十分条件ではない(ウ) 十分条件であるが必要条件ではない(工) 必要条件でも十分条件でもない

54 (2), (3); (2) x=2 で最大値 7, x=0 で最小値 3 (3) は x=2 で最大値 5 , x=-1,5 で最小値 -13

次の $x$ についての方程式の実数解を求めよ。\n(1) $a^{2} x-2=4 x-a$\n(2) \( \\left(p^{2}-1\\right) x^{2}+2 p x+1=0 \)

PRACTICE $62^{\circ}$ $a>0$ とする。関数 \(f(x)=ax^{2}-4ax+b(1 \leqq x \leqq 4)\) の最大値が 4 , 最小値が -10 のとき, 定数 $a, b$ の値を求めよ。

2 次方程式 $x^{2}+x+k=0, x^{2}+k x+1=0$ がともに実数解をもつような $k$ の 値の範囲はア $\square$, 少なくとも一方が実数解をもつような $k$ の値の範囲は イ $\square$ である。

(2) x ≥ 0, y ≥ 0,2 x+y=8 のとき, x y の最大値と最小値を求めよ。

次の方程式・不等式を解け。 (1) ||(x-2|-1|=3 (2) |2x-3| <= |3x+2|

解の公式を利用して, 次の 2 次方程式を解け。\n(1) 2x^2 - 5x + 1 = 0\n(2) 9x(2x + 1) = 2\n(3) 2√6x^2 + 12x + 3√6 = 0\n(4) (x + 2)^2 + 4(x + 2) - 1 = 0

次の条件に基づいて一次関数を求め、利益を最大化してください。\n\n(1) $x$ が 250 のとき、 $y$ は 300 である。\n(2) $x$ が 300 のとき、 $y$ は 250 である。\n(3) $x = 350$, $y = 200$ のときも成り立つ。\n\nまた、売り上げ金額 $x y$ と経費 $120 y + 5000$ を用いて利益を $z$ とし、$z$ を最大化する $x$ の値とそのときの最大利益を求めなさい。

次の条件下で方程式が与える2つのグラフの共有点の数を求めなさい。\n[1] $a=1$ のとき\n(1) は $2 x + 5 = 0$\n[2] $a \neq 1$ のとき\n2 次方程式 (1) の判別式を $D$ とすると\n\[ \frac{D}{4} = a^{2} - (a - 1)(a + 4) = -3a + 4 \]\n$D > 0$ すなわち $a<\frac{4}{3}$ のとき\n$a \neq 1$ であるから $a<1, 1<a<\frac{4}{3}$\n$D = 0$ すなわち $a=\frac{4}{3}$ のとき\n$D < 0$ すなわち $\frac{4}{3} < a$ のとき

次の命題の真偽を示しなさい。\n(1) x=2 \\Longrightarrow x^{2}=4 \ は真\n x^{2}=4 \\Longrightarrow x=2 \ は偽（反例： x=-2\）\n(2) $x=-2$ または x=2 \\Longrightarrow x^{2}=4 \ は真。\n x^{2}=4 \\Longrightarrow x=-2 \ または x=2 \ は真。\n(3) |x|>0 \\Longrightarrow x^{2}=4 \ は偽 (反例: x=1\)。\ x^{2}=4 \\Longrightarrow |x|>0 \ は真。

実数解をもつ条件 (2)

次の方程式を解け。 (1) $x^{2}-|x|-20=0$ (2) $x^{2}-2|x+1|=2$

(2) 2 次方程式 \( x^{2}+(a+4) x+a-3=0 \) の解の 1 つが $a$ であるとき，他の解を求めよ。

(例) 1) 1/x + 1/y + 1/z = 1 (0 < x < y < z) の場合 1/z < 1/y < 1/x を利用して 1 = 1/x + 1/y + 1/z < 3/x よって x = 1,2

次の x についての不等式を解け。ただし， a は定数とする。\n\\[ x^{2}-\\left(a^{2}+a\\right) x+a^{3} \\leqq 0 \\]

次の 2 次方程式を解け。\n(1) $x^{2}+10 x+24=0$\n(2) $3 x^{2}+10 x+3=0$\n(3) $4 x^{2}+8 x-21=0$\n(4) $16 x^{2}-3=0$

2次方程式の解の存在

(3) $a=1$ とすると \( f(x)=x^{2}+b x+c \)\n方程式 \( f(x)=0 \) が $x=1,3$ を解にもつから\n\[f(1)=0, \quad f(3)=0\]\nすなわち $\quad 1+b+c=0,9+3 b+c=0$\nこれを解くと $\quad b=$ コサ $-4, c={ }^{*} 3$

絶対値を含む方程式・不等式

基 本 例題 77 方程式の解から係数の決定\n（1） 2 次方程式 $x^{2}+a x-a^{2}=0$ の解の 1 つが -2 であるとき, 定数 $a$ の値 を求めよ。\n(2) 2 つの 2 次方程式 $p x^{2}+q x+2=0, x^{2}-p x+q=0$ が，ともに $x=1$ を 解にもつとき, 定数 $p, q$ の値を求めよ。

次の連立方程式を解け。 (2)$\frac{1}{x}=X, \frac{1}{y}=Y, \frac{1}{z}=Z$ とおくと，連立方程式は \[\left\{\begin{array}{l}X+2Y+Z=9 \\ X-2Y+3Z=9 \\ X+Y-3Z=-9\end{array}\right.\]

(4) x-2=A とおくと, 2 A^{2}-3 A-1=0 であるから

（2）与えられた命題の対偶は\n a=0 ならば「 x についての方程式 a x+b=0 は\n 解をもたないか，または２つ以上の解をもつ」\nこれを証明する。

兄が弟に3本あげると弟の方が多くなるから\n\[ x-\frac{1}{3} x-3<(52-x)+\frac{1}{3} x+3 \]\n整理して \quad \frac{4}{3} x<58 \] よって \[\quad x<\frac{3}{4} \cdot 58=43.5 \n(1)と（2)の共通範囲を求めて $39<x<43.5$ $x$ は3で割り切れる整数であるから $\quad x=42$したがって、兄が初めに持っていた鉛筆は42本

2 次方程式の応用

二次方程式 $x^{2}-2 a x-a+2=0$ が $0<x<3$ の範囲に異なる 2 つの実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $x+y+z=0, x y+y z+z x=-10, x y z=4 \sqrt{3}$ のとき, $\frac{x}{y z}+\frac{y}{z x}+\frac{z}{x y}$の値を求めよ。

ある学校で、清掃のためプールの水を完全に抜くことにした。ただし，ポンプで毎分一定の量を排水するものとする。排水を開始してから $t$ 分後におけるプールの水の残量を $V \mathrm{~m}^{3}$ とする\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline$t$ & 100 & 300 & 600 \\\\\n\\hline$V$ & 370 & $尸$ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nとき, 表のような結果が得られた。\n(1)表のア $\square$ にあてはまる数を求めよ。\n（2）排水開始前のプールの水の量はイ $\square \mathrm{m}^{3}$ である。また，排水を開始してからちょうど $口 \square$ 分後に完全に水がなくなる。

次の方程式を解け。 (1) $x^{2}-2|x|-3=0$ [福島大] (2) $x^{2}+|x-2|=4$

２２太郎さんと花子さんは，宿題に出された次の［問題］に取り組んでいる。 [問題] 関数 \( f(x)=x^{2}-2|x| \) について (A) \( f(x) \) の最小値を求めよ。 (B) $a>0$ とする。 $-a \leqq x \leqq a$ における \( f(x) \) の最大値と最小値を求めよ。 (1) 小問 (A) の答えは次のようになる。 \( f(x) \) は $x=\square$ のとき, 最小値 オ をとる。 エ, オ に当てはまるものを，次の各解答群から１つずつ選べ。 工の解答群 (0) -1 (1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) -1 または 0 (5) -1 または 1 (6) -1 または 2 (7) 0 または 1 (8) 0 または 2 (9) 1 または 2 オの解答群 (0) -2 (1) -1 (2) 0 (3) 1 (4) 2

EX 次の連立方程式を解け。 (1) \\left\\{\\begin{array}{l}x+y=3 \\\\ x^{2}+y^{2}=17\\end{array}\\right. (2) \\left\\{\\begin{array}{l}x^{2}-x y-2 y^{2}=0 \\\\ x^{2}+x y-y=1\\end{array}\\right.

PR 5 人が参加するパーティーで，各自1つずつ用意したプレゼントを抽選をして全員で分け合う とき, 特定の 2 人 A ，Ｂだけがそれぞれ自分が用意したプレゼントを受け取り，残り 3 人がそれ ぞれ自分が用意した以外のプレゼントを受け取る場合の数はア \ \\square \ である。また, 1 人だけが自分が用意したプレゼントを受け取る場合の数はイ \ \\square \ である。

（3） $a=1$ として, 係数 $b, c$ の値を変化させると, 方程式 \( f(x)=0 \) は解 $x=1,3$ を もつという。このとき, $b=\square サ, c=\square$ ジある。\n続いて, 係数 $b, c$ の値を $b=\square サ, c=\square$ で固定して,$a$ の値を小さくした場合の方程式 \( f(x)=0 \) の解について考える。\n$0<a<1$ のとき, 方程式 \( f(x)=0 \) は ス。。\n$a=0$ のとき, 方程式 \( f(x)=0 \) は セ。\n$a<0$ のとき, 方程式 \( f(x)=0 \) は ソ。\nコサ, シシに当てはまる数を答えよ。また, ス～ソについは，最も 適当なものを，次の０～～５）うちから１つずつ選べ。\n) 実数解をもたない\n(1) 実数解を 1 つだけもち，それは正の数である\n(2) 実数解を 1 つだけもち，それは負の数である\n(3) 異なる 2 つの正の解をもつ\n(4) 異なる 2 つの負の解をもつ\n(5) 正の解と負の解を 1 つずつもつ

基本例題 30 整数解の組の個数（重複組合せの利用）\n（1） $x+y+z=7$ を満たす負でない整数解の組 \( (x, y, z) \) は何個あるか。\n（2） $x+y+z=10$ を満たす正の整数解の組（x,y,z)は何個あるか。

例題 97(2): 解をもつ範囲が x < 2 および x > 2 である 2 次方程式の解の存在範囲を求めなさい。

61 a=2, b=-5 または a=-2, b=3

次の x についての不等式を解け。ただし， a は定数とする。\n\ x^{2}-3 a x+2 a^{2}+a-1>0 \

「1次不定方程式」とそのページを示してください。

下記の条件を使って、以下の方程式の解を求めなさい:\n(1) $x+2 y=3$ のとき, $x^{2}+2 y^{2}$ の最小値を求めよ。\n(2) \( 2 x+y=10(1 \leqq x \leqq 5) \) のとき, $x y$ の最大値および最小値を求めよ。

EX 2 つの放物線 $y=x^{2}-x+1, y=-x^{2}-x+3$ の 2 つの共有点の座標を求めよ。

(3) $x+y+z=x y+y z+z x=2 \sqrt{2}+1, x y z=1$ のとき, $\frac{x}{y z}+\frac{y}{z x}+\frac{z}{x y}$ の値を求めよ。

31 (1) $x=6,-2$\n(2) $x \leqq-5, \quad \frac{1}{5} \leqq x$

x^{2}-4x+8 \\geqq 0 を解け。

2 次方程式 \( (x+1)^{2}-4=0 \) を解くと

PR $\quad x$ の方程式 \( x^{2}-(k-3) x+5 k=0, x^{2}+(k-2) x-5 k=0 \) がただ 1 つの共通解をもつように定数 $k$ の值を定め, その共通解を求めよ。\n共通解を $x=\alpha$ とすると\n\[\n\\begin{array}{l}\n\alpha^{2}-(k-3) \alpha+5 k=0 \\\n\alpha^{2}+(k-2) \alpha-5 k=0\n\\end{array}\n\]\n $x=\alpha$ を代入したとき， 2つの方程式が成り立つ。

次の連立方程式を解け。\n(1) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x+y=3 \\\\ x^{2}+y^{2}=17\\end{\overlineray}\\right. \n(2) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}-x y-2 y^{2}=0 \\\\ x^{2}+x y-y=1\\end{\overlineray}\\right.

方程式の共通解

EX \n11 で割ると 2 余り, 6 で割ると 5 余る 4 桁の自然数のうち最大の数を求めよ。\n求める自然数を $n$ とすると， $n$ は $x, y$ を整数として，次のよう に表される。\n\n$n=11 x+2 \\quad n=6 y+5$\nよって $\\quad 11 x+2=6 y+5$ すなわち $\\quad 11 x-6 y=3 \\cdots \\cdots$ (1)\n\n次の方程式 $11 x-6 y=3$ を解く。

次の 2 次方程式を解け。\n(1) $2 x^{2}+5 x-1=0$\n(2) $x^{2}-6 x+3=0$\n(3) $\frac{1}{2} x^{2}+\frac{2}{3} x-1=0$

例 1 次方程式 $-2 x-5=9$ を等式の性質を利用して解く。

絶対値を含む方程式・不等式を解け: (1) $|x| = c$、(2) $|x| < c$、(3) $|x| > c$

ある商品は, 単価が 10 円のとき 1 日 100 個売れる。単価を 1 円上げるごとに, 1 日の売り上げは 5 個ずつ減り, 単価を 1 円下げるごとに, 1 日の売り上げ は 5 個ずつ増える。単価をいくらにすると 1 日の売上金額が最大になるか。売上金額の最大値とそのときの単価を求めよ。ただし，消費税は考えない。

次方程式 基本 87 解の公式を利用した 2 次方程式の解き方

例題 37\nりんごとみかん 1 個の値段, 個数と代金の条件からりんごの個数を求めよ。

3 つの 2 次関数\n$y=x^{2}$ \((1), y=(x-2)^{2}\)\( (2), y=(x-2)^{2}+1 \)\nについて, $x$ と $y$ の対応表を作ると次のようになる。

グラフと $x$ 軸の共有点と方程式の実数解

149\n[3] $1<a$ のとき\nグラフの軸は，定義域の左外にあって\n\\[f(a)>f(a+2)\\]\nよって, $x=a$ で最大値 $-a^{2}+2 a$ をとる。\n以上から\n$a<-1$ のとき $\quad x=a+2$ で最大値 $-a^{2}-2 a$\n$-1 \leqq \alpha \leqq 1$ のとき\n$x=1$ で最大値 1\n$1<a$ のとき\n$x=a$ で最大値 $-a^{2}+2 a$\n（2）定義域 $a \leqq x \leqq a+2$ の中央の値は $a+1$\n[4] $a+1<1$ すなわち $a<0$ のとき グラフの軸は, 定義域の中央より右 にある。\nよって, $x=a$ で最小値 $-a^{2}+2 a$ をとる。\n[5] $a+1=1$ すなわち $a=0$ のとき 定義域の中央とグラフの軸が $x=1$ で一致する。\nよって, $x=0,2$ で最小値 0 をとる。\n[6] $1<a+1$ すなわち $0<a$ のとき グラフの軸は，定義域の中央より左 にある。\nよって, $x=a+2$ で最小値\n$-a^{2}-2 a$ をとる。\n以上から\n$a<0$ のとき $x=a$ で最小値 $-a^{2}+2 a$\n$a=0$ のとき $x=0,2$ で最小値 0\n$0<\alpha$ のとき $x=a+2$ で最小値 $-a^{2}-2 a$\n[1], [3] 軸が定義域の外 にあるから, 軸に近い方の 端で最大となる。4章発展学習 $1<a+1$ であれば, 軸が 定義域の内部にあっても $x=a+2$ で最小値をとる。\n$a+1<1$ であれば, 軸が 定義域の内部にあっても $x=a$ で最小値をとる。\n最小 \\overbrace{-+1}^{\\mid \text {軸 }} \\left\\lvert\, \\begin{\overlineray}{c}\\text { 最小 } \\\\ x=a \\\\ x=a+1\\end{\overlineray\\}\right. \n$1<a+1$ であれば, 軸が 定義域の内部にあっても $x=a+2$ で最小値をとる。 [6'] 軸\n参考（1），（2）をまとめると，次のようになる。\n$a<-1$ のとき $x=a+2$ で最大値 $-a^{2}-2 a, x=a$ で最小値 $-a^{2}+2 a$\n(図 \ [4] \ )\n$-1 \leqq a<0$ のとき $x=1$ で最大値 $1, x=a$ で最小値 $-a^{2}+2 a$\n(図 \\left[4^{\\prime}\\right] \ )\n$a=0$ のとき $\\quad x=1$ で最大値 $1, x=0,2$ で最小値 0\n(図 [5] \ )\n$0<a \leqq 1$ のとき\n$x=1$ で最大値 $1, \\quad x=a+2$ で最小値 $-a^{2}-2 a$\n(図 \\left[6^{\\prime}\\right] \ )\n$1<a$ のとき \$\\quad x=a$ で最大値 $-a^{2}+2 a, x=a+2$ で最小値 $-a^{2}-2 a$\n(図 [6] \ )\n\nTRAINING 84 (4)\n$a$ を定数とする。 $a \leqq x \leqq a+2$ における関数 \( f(x)=x^{2}-2 x+2 \) について，次の問いに 答えよ。\n（1）最大値を求めよ。\n（2）最小値を求めよ。

標準 74 | 2 次関数の最大 $\cdot$ 最小と文章題 (1)

次の命題 $P$ の逆と対偶を述べ, それらの真偽を調べよ。また, 命題 $P$ の裏を述べよ。ただし， $x, y$ は実数， $n$ は整数とする。\n(1) $P:\lceil x+y=-3$ ならば $x, y$ の少なくとも一方は負の数である。」\n(2) $P:\left\lceil n^{2}+1\right.$ が偶数 $\Longrightarrow n$ は奇数\n(3) $P:\left\lceil 3 x+5>0 \Longrightarrow x^{2}-6 x-7=0\right\rfloor$

次方程式 基本 88 実数解をもつ条件(1)

命題 p⇒q (p は仮定, q は結論) 条件 p を満たすもの全体の集合を P, 条件 q を満たすもの全体の集合を Q とすると、命題 p⇒q が真であることと、P ⊆ Q であることは同じ。この命題の真偽を判定してください。

関数 \( f(x)=x^{2}+a x+b \) の $0 \leqq x \leqq 1$ における最小値を $m$ とするとき, $m$ を $a$ と b で表せ。

TRAINING 88\n（1） 2 次方程式 $x^{2}+3 x+m-1=0$ が実数解をもたないとき，定数 $m$ の値の範囲を求めよ。\n(2) 2 次方程式 \( x^{2}-2 m x+2(m+4)=0 \) が重解をもつとき, 定数 $m$ の値とそのときの 重解を求めよ。

次の！に適するものを，下の（1)～３）から選べ。ただ し， x は実数とする。\n(1) p: x^{2}-x=0 \\quad q: x=1 とすると, p は q である ための \\square 。\n（2）四角形について p ：ひし形である q ：対角線が垂直に交わる とすると, p は q であるための \\square 。\n① 必要十分条件である\n② 必要条件であるが，十分条件ではない\n③ 十分条件であるが，必要条件ではない

次の条件を満たすように，定数 $a, b$ の値を定めよ。\n（1） 1 次関数 $y=a x+b$ のグラフが 2 点 \( (-2,2),(4,-1) \) を通る。

(x の 2 次式 )=0 の形に表される方程式を, x の 2 次方程式といいます。 その 2 次方程式を満たす x の值を 2 次方程式の解といい, すべての解を 求めることを 2 次方程式を解くといいます。ここでは, 2 次方程式の解について, 中学で学習したことも含めて考えてみましょう。

発展例題: 基本例題、標準例題の発展で重要な問題を解きなさい。一部、学習指導要領の範囲を超えた内容も含まれています。

(1) $|3 x+1|$ の絶対値記号をはずせ。\n（2）方程式 $|x-1|=3 x+2$ を解け。

基本 63 | 関数の式と関数の値

次の 2 次方程式を解け。\n(1) $3 x^{2}+7 x=0$\n(2) $x^{2}-x-20=0$\n(3) $x^{2}-12 x+36=0$\n(4) $x^{2}-49=0$\n(5) $2 x^{2}-7 x+6=0$

次の 2 次方程式を解け。\n(1) $x^{2}+10 x=0$\n(2) $x^{2}+x-56=0$\n(3) $9 x^{2}+6 x+1=0$\n(4) $4 x^{2}+8 x-21=0$\n(5) $3 x^{2}+5 x-2=0$\n(6) $6 x^{2}-7 x-3=0$

TRAINING 56\nx, y は実数とする。次の命題の逆・対偶・裏を述べ，それらの真偽を調べよ。\n(1) x^{2} ≠ -x ⟹ x ≠ -1 (2) x+y は有理数 ⟹ x または y は有理数

2 次方程式 $x^{2}-4 m x+m+3=0$ が重解をもつとき, 定数 $m$ の値とそのと きの重解を求めよ。

関数 \( f(x)=-x^{2}+4 x+c(-4 \leqq x \leqq 4) \) の最小值が -50 であるように, 定数 $c$ の値を 定めよ。

次の数式の難易度を判定し、その根拠を説明しなさい。\n数式: $4x^2 + 3x - 5 = 0$

(1) $x + y = 4$ のとき, $x \cdot y$ の最大値を求めよ。

x についての異なる 2 つの 2 次方程式 x^{2}+a x+b=0 ①, x^{2}+b x+a=0 ②がただ 1 つの共通解をもつとする。\n（1）その共通解を求めよ。\n（2） a, b が満たすべき条件を求めよ。\n（3）１，②のもう１つの解はそれぞれ b ， a に等しいことを示せ。

EX $a$ を定数とする関数 \( f(x)=x^{2}+2 x-a^{2}+5 \) について, 次が成り立つような $a$ の値の範囲をそれ 61 ぞれ求めよ。\n(1) すべての $x$ について, \( f(x)>0 \) である。\n(2) $x \geqq 0$ を満たすすべての $x$ について, \( f(x)>0 \) である。\n(3) $a \leqq x \leqq a+1$ を満たすすべての $x$ について, \( f(x) \leqq 0 \) である。\n[名城大]

28 (1) x+y=4, \quad x-y=2 \sqrt{3}

a, b を実数とし, 2 次関数 y=4 x^{2}-8 x+5, y=-2(x+a)^{2}+b の表す放物線のそれぞれの頂点が一致するとき, 定数 a, b の値を求めよ。

2次方程式 \( x^2 - 2mx + 2(m + 4) = 0 \) が重解をもつとき, 定数 $m$ の值とそのときの重解を求めよ。

次の方程式，不等式を解け。\n(1) $|x-3|=5$\n(2) $|x-3|<5$\n(3) $|x-3| \geqq 5$

次の $x$ についての方程式，不等式を解け。\n(1) \( a x^{2}-(a+1) x+1=0 \)\n(2) \( x^{2}-(a+2) x+2 a<0 \)

71 (3) x=3/2 で最小値 3/2, 最大値はない

次の 2 次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の座標を求めよ。\n(1) $y=x^{2}-6 x-4$\n(2) $y=-4 x^{2}+4 x-1$

2 次方程式 $x^{2}+3 x+m-1=0$ が実数解をもたないとき, 定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

(1) $x + y = 4$ のとき, $x y$ の最大値を求めよ。

2 次方程式 a x^{2}+b x+c=0 の解の公式を使用して、方程式を解きなさい。

次の 2 次方程式を解け。\n(1) $2 x^{2}+5 x-1=0$\n(2) $x^{2}-6 x+3=0$\n(3) $\frac{1}{2} x^{2}+\frac{2}{3} x-1=0$

放物線 \( y=x^{2}+(2 k-3) x-6 k \) が $x$ 軸から切り取る線分の長さが 5 であるとき, 定数 $k$ の値を求めよ。

ここでは，不等式の性質を利用して，1 次不等式を解くことについて学びます。不等式の性質は，等式の性質と似ているので，まず， 1 次方程式を通して等式の性質について復習しましょう。 等式の性質 等式の両辺に同じ数を足しても，等式は成り立つ。 A=B ならば A+C=B+C 等式の両辺から同じ数を引いても，等式は成り立つ。 A=B ならば A-C=B-C 等式の両辺に同じ数を掛けても，等式は成り立つ。 A=B ならば AC=BC 等式の両辺を同じ数で割っても，等式は成り立つ。 A=B ならば A/C=B/C ただし, C ≠ 0 例 1 次方程式 -2x-5=9 を等式の性質を利用して解く。 -2x-5=9 -5 を移項すると -2x=9+5 すなわち -2x=14 両辺を -2 で割って x=-7

3 個のさいころを同時に 1 回だけ投げる抽選会がある。抽選を行う会場は複数あり，当選する条件がそれぞれ異なっている。\n（1）「1の目が少なくとも 1 個出ること」が当選条件の会場 Aと, 「１の目がち ようど 1 個出ること」が当選条件の会場 Bの２つの会場の場合を考える。\n（i）会場 Aの当選確率は \\frac{ほん}{か} \\n(ii) 会場 A，B を無作為に選んで抽選を行う。会場 A，B を選ぶ事象をそれ ぞれ $A, B$, 当選する事象を $W$ と取ると\n\n\( P(A \\cap W)=\\frac{1}{2} \\times \\frac{ほん}{か}, P(B \\cap W)=\\frac{1}{2} \\times \\frac{き}{く} \\)\n\n\( P(W)=P(A \\cap W)+P(B \\cap W) \\) であるから, 当選したとき, 選んだ会場 が \\mathrm{A} \ である条件付き確率 \( P_{W}(A), \\mathrm{B} \\) である条件付き確率 \( P_{W}(B) \\) はそれぞ れ \( P_{W}(A)=\\frac{し}{しす}, P_{W}(B)=\\frac{そ}{しす} \\) である。この 2 つの条件付き 確率については，次の事実(*)が成り立つ。 \n\n（*）事実 \n\n\( P_{W}(A) と P_{W}(B) の \\square っち \\) は, P_{A} \ の確率と \( P_{W}(B) \\) の確率の ちに等しい。解答群\n\n(0) 和\n(1) 2 乗の和\n(2) 3 乗の和\n(3) 比\n(4) 積

2次方程式 $x^2 + 3x + m - 1 = 0$ が実数解をもたないとき, 定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

TRAINING 97 (3)\n2 次方程式 $x^{2}+m x+9=0$ の解が次のようなとき, 定数 $m$ の値の範囲を求めよ。\n（1）異なる 2 つの実数解をもつ。\n（2）実数解をもつ。\n（3）実数解をもたない。

解の公式を用いて, 次の 2 次方程式を解け。\n(1) $x^{2}+x-11=0$\n(2) $3 x^{2}-5 x+1=0$\n(3) $x^{2}+6 x+4=0$\n(4) $3 x^{2}-4 x-5=0$\n(5) $9 x^{2}-12 x+4=0$\n(6) $x^{2}+\frac{1}{4} x-\frac{1}{8}=0$

例えば，方程式 x+y=10 の整数解は以下のように非常に多く存在します。この方程式の任意の3つの整数解を求めなさい。

方程式 $x^{2}+3 x-5=0$ を解く。

2 次方程式 $x^{2}+2 m x-m+2=0$ の解が次のようなとき, 定数 $m$ の値の範囲を 求めよ。\n（1）異なる 2 つの実数解をもつ。\n（2）実数解をもつ。\n（3）実数解をもたない。

第 5 章 2 次方程式と 2 次不等式\nある速さで真上に打ち上げたボールの，打ち上げてから $x$ 秒後の地上からの高さを $h \mathrm{~m}$ とする。hの值が $h=-5 x^{2}+40 x$ で与えられるとき, ボールが地上から $35 \mathrm{~m}$ 以上 $65 \mathrm{~m}$ 以下の高さにあるのは, $x$ の值がどのような範囲にあるときか。

2 次方程式 $x^{2}-4 m x+m+3=0$ が重解をもつとき, 定数 $m$ の値とそのときの重解を求めよ。

(2) (1)の \ x, y \ の値に対して \ P=4 \ となるとき, \ a, b \ の値を求めよ。

TRAINING 56 (1)\n$x, y$ は実数とする。次の命題の逆・対偶・裏を述べ，それらの真偽を調べよ。\n(1) $x^{2} \neq -x \Longrightarrow x \neq -1$

次方程式を解きなさい。\n\n1. 基本 86 - 因数分解を利用した 2 次方程式の解き方\n2. 基本 87 - 解の公式を利用した 2 次方程式の解き方\n3. ○基本 88 - 実数解をもつ条件(1)

次の $x$ についての方程式, 不等式を解け。\n(1) \( \left(a^{2}-1\right) x^{2}+2 a x+1=0 \)\n(2) $x^{2}-2 a x-3 a^{2}<0$

方程式 $x^{2}+3 x-4=0$ を解く。

2 次方程式 \( x^{2}-(a-4) x+a-1=0 \) が次の条件を満たすように, 定数 $a$ の値の範囲を定めよ。\n（1）異なる 2 つの負の解をもつ。\n(2) 正の解と負の解をもつ。

24 (1)逆: x, y の少なくとも一方が負の数ならば x+y=-3 である, 偽対偶: x \geqq 0 かつ y \geqq 0 ならば x+y \neq-3 で ある, 真 裏： x+y \neq-3 ならば x \geqq 0 かつ y \geqq 0 である

c=b(a+b)/a

2 (1) 5 次式(2) (ア) 2 次式, 定数項 $2 y^{2} + 5 y - 12$(1) 2 次式, 定数項 $6 x^{2} - 6 x - 12$(ら) 2 次式, 定数項 -12

次の $x$ についての方程式, 不等式を解け。\n(1) \( \left(a^{2}-1\right) x^{2}+2 a x+1=0 \)\n(2) $x^{2}-2a x-3a^{2}<0$

72 (2) x=3 で最大値 0, x=1 で最小値 -8

2 次方程式 $x^{2}+m x+9=0$ の解が次のようなとき, 定数 $m$ の値の範囲を求めよ。\n（1）異なる 2 つの実数解をもつ。\n（2）実数解をもつ。\n（3）実数解をもたない。

次の $x$ についての方程式，不等式を解け。\n(1) \( \left(a^{2}-1\right) x^{2}+2 a x+1=0 \)\n(2) $x^{2}-2 a x-3 a^{2}<0$

（3）グラフが常に $x$ 軸より上側にある条件は，グラフが下に凸の 放物線で, かつ, $x$ 軸と共有点をもたないことである。よって, 2 次方程式 $m x^{2}+3 x+m=0$ の判別式を $D$ とすると\n\n\\[\n\\begin{array}{c}\nm>0 \\text { かつ } D<0 \\\\\nD=3^{2}-4 \\cdot m \\cdot m=9-4 m^{2}=-\\left(4 m^{2}-9\\right)=-(2 m+3)(2 m-3)\n\\end{array}\n\\]\n\nであるから\n\n\\[\n\\begin{array}{l}\n-(2 m+3)(2 m-3)<0 \\text { すなわち }(2 m+3)(2 m-3)>0 \\\\\n\\text { よって } \\quad m<−\\frac{3}{2}, \\frac{3}{2}<m\n\\end{array}\n\\]\n\nこれと $m>0$ の共通範囲を求めて $\\quad m>\\frac{3}{2}$

解の公式を用いて, 次の2次方程式を解け。\n(1) $x^{2}+x-11=0$\n(2) $3 x^{2}-5 x+1=0$\n(3) $x^{2}+6 x+4=0$\n(4) $3 x^{2}-4 x-5=0$\n(5) $9 x^{2}-12 x+4=0$\n(6) $x^{2}+\frac{1}{4} x-\frac{1}{8}=0$

次不等式のすべての項を左辺に移項して整理したとき, $a x^{2}+b x+c>0$, $a x^{2}+b x+c \leqq 0(a, b, c$ は定数, ただし \( a \neq 0) \) などのように, 左辺が $x$ の 2 次式になる不等式を $x$ の 2 次不等式という。そして，2 次不等式を成り立たせる $x$ の値を, その不等式の解といい, 解のすべてを求めることを 2 次不等式を解 くという。この節では, 2 次関数のグラフを利用して 2 次不等式を解く方法を学び ましょう。前節で学んだ, 2 次関数のグラフと $x$ 軸の位置関係を積極的 に活用します。\n\n■ 2 次不等式の解と 2 次関数のグラフ注意 以下では, $x^{2}$ の係数 $a$ の符号を正として話を進めても不都合はな い。なぜなら， $a$ の符号が負のときは，両辺に -1 を掛けて $x^{2}$ の係数を正にして解けばよいからである。2 次不等式 \( a x^{2}+b x+c>0(a>0) \) の解を求めることは, $y=a x^{2}+b x+c$ とおくとき, $y>0$ となる $x$ の値の範囲，すなわ ち, $y=a x^{2}+b x+c$ のグラフが $x$ 軸より上側にあるような $x$ の値 の範囲を求めることである。\n\n具体的な例として, 2 次不等式 $x^{2}-4 x+3>0$ $\\qquad$ (1)について 説明しよう。

次の表から選んだ方程式を、加法または減法を使って解いてください。 $x^2 - 3x + 2 = 0$ $2x + 5 = 0$

次の方程式、不等式を解け。(1) \( |(\sqrt{14}-2) x+2|=4 \) (2) $3|x-1| \\leqq 4$ (3) $x+|3 x-2|=3$

2次方程式 $2 x^{2}-16 x+32=0$ の判別式を $D$ とすると D=(-16)^{2}-4 \cdot 2 \cdot 32=256-256=0 よって, グラフと $x$ 軸の共有点の個数は 1 個

2 次方程式 \( x^{2}-2 m x+2(m+4)=0 \) が重解をもつとき, 定数 $m$ の値とそのときの重解を求めよ。

2 次方程式 $x^{2}+5 x+7-m=0$ が異なる 2 つの実数解をもつとき, 定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

数学 I TR ${ }^{5} 105$ \( f(x)=x^{2}-2 a x-a+6 \) について, すべての実数 $x$ に対して \( f(x)>0 \) となる定数 $a$ の値の範囲 はア $\square<a<$ T $\square$ である。また, $-1 \leqq x \leqq 1$ で常に \( f(x) \geqq 0 \) となる $a$ の値の範囲は ゥ $\square \leqq a \leqq$ エ $\square$ である。

2 次不等式では, まず, > $=$ におき換えた 2 次方程式を解きましょう。\n2 次不等式 $x^{2}-6 x+3>0$ を解くために, まず， 2 次方程式 $x^{2}-6 x+3=0$ を解く。解の公式から\n\( x=\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2}-1 \cdot 3}}{1}=3 \pm \sqrt{6} \)\n\n$x^{2}-6 x+3>0$ の解は, $y=x^{2}-6 x+3$のグラフで\n$y>0$ となる $x$ の値の範囲を求めて\n $x<3-\sqrt{6}, 3+\sqrt{6}<x$

次の2次方程式を解け。\n(1) $x^{2}+10 x=0$\n(2) $x^{2}+x-56=0$\n(3) $9 x^{2}+6 x+1=0$\n(4) $4 x^{2}+8 x-21=0$\n(5) $3 x^{2}+5 x-2=0$\n(6) $6 x^{2}-7 x-3=0$

(2) 2 次不等式 $x^{2}+m x+m+2<0$ が解をもつ