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AIチューター | ヤロウゼ、宿題!

数と代数

基礎代数 - 代数的操作 (算術、指数、根)

Q.01

次の式を \sqrt{ } を含まない形にせよ。 (1) \( \sqrt{(-7)^{2}} \) (2) 82 \sqrt{8} \sqrt{2} (3) 2455 \frac{\sqrt{245}}{\sqrt{5}}
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Q.02

さいころを繰り返し n 回投げて, 出た目の数を掛け合わせた積を X とする。すなわち, k 回目 340 に出た目の数を Y_k とすると X=Y_1 Y_2 ... Y_n このとき, X が 3 で割り切れる確率 p_n を求めよ。[京都大]
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Q.03

\ 0^{\\circ} \leqq \\theta \leqq 180^{\\circ}, \\sin \\theta+\\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ のとき, 次の式の値を求めよ。\\n(1) \ \\sin \\theta \\cos \\theta \\\n(2) \ \\sin ^{3} \\theta+\\cos ^{3} \\theta \\\n(3) \ \\sin \\theta-\\cos \\theta \\\n[大阪経大] 基本 25,113
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Q.04

多項式の加法・減法
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Q.05

多項式の加法・減法 (1) 和 A+B は, A と B の項をすべて加え,同類項があればまとめて整理する。 (2) 差 A-B は, A+(-B) と考え, B の各項の符号を変えて A に加える。 (3) 縦書きの計算 右のように,同類項をそろえて縦書きに計算してもよい。 2x² - 3 +)-x² + 5x + 3 x² + 5x のとき,欠けている次数の項をあけておく。
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Q.06

3\n\[\n\\begin{aligned}\n& \\text { (1) } A+B \\\n= & \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)+\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= & (5+3) x^{3}+(-2-5) x^{2}+3 x+(4+3) \\\n= & 8 x^{3}-7 x^{2}+3 x+7\n\\end{aligned}\n\]\n(2)\n\[\n\\begin{aligned}\n& A-B \\\n= & \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)-\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= & 5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4-3 x^{3}+5 x^{2}-3 \\\n= & (5-3) x^{3}+(-2+5) x^{2}+3 x+(4-3) \\\n= & 2 x^{3}+3 x^{2}+3 x+1\n\\end{aligned}\n\]
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Q.07

(ア) \ 3 \\sqrt{2} \
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Q.08

平方根を含む式の計算
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Q.09

n 進数の四則計算
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Q.10

(1) \( \\left(-2 x^{2} y\\right)^{2}(2 x-3 y) \)
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Q.11

(2) a=3+2 a=\sqrt{3}+\sqrt{2} のとき, a+1a,a3+1a3 a+\frac{1}{a}, a^{3}+\frac{1}{a^{3}} の値をそれぞれ求めよ。
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Q.12

3陸上競技の短距離 100 m 100 \mathrm{~m} 走では, 100 m 100 \mathrm{~m} を走る のにかかる時間 (以下, タイムと呼ぶ)は,1歩あ たりの進む距離(以下,ストライドと呼ぶ)と 1 秒 あたりの歩数(以下,ピッチと呼ぶ)に関係がある。 ストライドとピッチはそれぞれ以下の式で与えら れる。\n\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\text { ストライド }(\\mathrm{m} / \\text { 歩 })=\\frac{100(\\mathrm{~m})}{100 \\mathrm{~m} \\text { を走るのにかかった歩数(歩) }} \\\\\n\\text { ピッチ }(\\text { 歩 } / \\text { 秒 })=\\frac{100 \\mathrm{~m} \\text { を走るのにかかった歩数 }(\\text { 歩 })}{\\text { タイム(秒) }}\n\\end{array}\n\\]\n\nただし, 100 m 100 \mathrm{~m} を走るのにかかった歩数は, 最後の 1 歩がゴールラインをまたぐこと もあるので, 小数で表される。以下,単位は必要のない限り省略する。例えば, タイムが 10.81 で, そのときの歩数が 48.5 であったとき, ストライドは \ \\frac{100}{48.5} \ より約 2.06, ピッチは \ \\frac{48.5}{10.81} \ より約 4.49 である。なお,小数の形で解答する場合,指定された桁数の1つ下の桁を四捨五入して答えよ。\n\n(1)ストライドを x x ,ピッチを z z とおく。ピッチは 1 秒あたりの歩数,ストライドは 1歩あたりの進む距離なので,1秒あたりの進む距離すなわち平均速度は, x x z z 用いてア(m/秒)と表される。これより, タイムと,ストライド,ピッチとの関係は\n\n\\n\\text { タイム }=\\frac{100}{\\square \\text { ア }}\n\\n\nと表されるので, ア が最大になるときにタイムが最もよくなる。ただし,タイ ムがよくなるとは、タイムの値が小さくなることである。\n\nアに当てはまるものを,次の()~(5)のうちから1つ選べ。\n(0) x+z x+z \n(1) zx z-x \n(2) xz x z \n(3) fracx+z2 \\frac{x+z}{2} \n(4) fraczx2 \\frac{z-x}{2} \n(5) fracxz2 \\frac{x z}{2}
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Q.13

例題 26 の (2) と (3) の違いがわかりません。どうして (3) で \\ \\div 3! \ とするのでしょうか?
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Q.14

28 (1) \ \\sqrt{6}+1 \ (2) \ \\sqrt{7}-\\sqrt{2} \ (3) \ 2 \\sqrt{2} + \\sqrt{3} \ (4) \ \\frac{\\sqrt{10}-\\sqrt{6}}{2} \
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Q.15

積の法則の利用
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Q.16

ある多項式から -2 x^{2}+5 x-3 を引くところを、誤ってこの式を加えたので、答えが -4 x^{2}+13 x-6 になった。正しい答えを求めよ。
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Q.17

68 個の数字のうち, 1 が 3 個, 2 が 3 個, 3 が 2 個ある場合の並べ方の総数を求める
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Q.18

数字の順列 (数の大小関係が条件)
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Q.19

何人かの人をグループに分ける場合の数を考える。ただし,どのグループ にも少なくとも 1 人は入るものとする。
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Q.20

18 (1) 14+4347221 14+4 \sqrt{3}-4 \sqrt{7}-2 \sqrt{21} \n(2) 426 -4-2 \sqrt{6} \n(3) 102 10 \sqrt{2} \n(4) 2+7 -2+\sqrt{7}
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Q.21

(2) (1) の余事象の確率であるから\n\[ \begin{aligned} 1-\frac{(6-a)^{2}}{36} & =\frac{36-\left(36-12 a+a^{2}\right)}{36} \\ & =\frac{a}{3}-\frac{a^{2}}{36} \end{aligned} \]
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Q.22

(全体) - (〜でない)の考えの利用
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Q.23

\ 114 S=\\frac{1}{2} p q \\sin \\theta \
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Q.24

次の式を計算せよ。\n(1) 27550+38475 \sqrt{27}-5 \sqrt{50}+3 \sqrt{8}-4 \sqrt{75} \n(2) \( (\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3}) \)\n(3) \( (2 \sqrt{2}-\sqrt{27})^{2} \)\n(4) \( (3+4 \sqrt{2})(2-5 \sqrt{2}) \)\n(5) \( (\sqrt{10}-2 \sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{10}) \)\n(6) \( (1+\sqrt{3})^{3} \)
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Q.25

ある多項式から 2x2+5x3 -2 x^{2}+5 x-3 を引くところを, 誤ってこの式を加えたので,答えが 4x2+13x6 -4 x^{2}+13 x-6 になった。正しい答えを求めよ。
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Q.26

(2) 5x22xy+y2 5 x^{2}-2 x y+y^{2} から引くと 8x25xy+5y2 8 x^{2}-5 x y+5 y^{2} になる式を求めよ。
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Q.27

x=\\frac{-(-\\sqrt{2}) \\pm \\sqrt{(-\\sqrt{2})^{2}-4 \\cdot 1 \\cdot(-4)}}{2 \\cdot 1}
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Q.28

加法における交換法則を示せ。
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Q.29

四角形の個数と組合せ
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Q.30

116 4-√7/3
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Q.31

次の多項式の同類項をまとめて整理せよ。また, [ ] 内の文字に着目したとき, その次数と定数項をいえ。\n(1) 2x+3y+x2+5xy[x] -2 x+3 y+x^{2}+5 x-y \quad[x] \n(2) a2b2ab+3ab2a2b2+4a5b3a+1 a^{2} b^{2}-a b+3 a b-2 a^{2} b^{2}+4 a-5 b-3 a+1 \quad [a と b] \left.b\right] , [b]
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Q.32

絶対値を含む式の扱い, 必要条件・十分条件について学んだ後、次の問題に挑戦してください。
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Q.33

\ 141 \\sqrt{7} a \
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Q.34

(1) 8個のりんごを A,B,C,Dの4つの袋に分ける方法は何通りあるか。ただし,1個も入れない袋があってもよいものとする。
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Q.35

次の式を計算せよ。\n\n(1) \\sqrt{27}-5 \\sqrt{50}+3 \\sqrt{8}-4 \\sqrt{75}\n\n(2) (\\sqrt{11}-\\sqrt{3})(\\sqrt{11}+\\sqrt{3})\n\n(3) (2 \\sqrt{2}-\\sqrt{27})^{2}\n\n(4) (3+4 \\sqrt{2})(2-5 \\sqrt{2})\n\n(5) (\\sqrt{10}-2 \\sqrt{5})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10})\n\n(6) (1+\\sqrt{3})^{3}
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Q.36

多項式の加法・減法・乗法の計算法則に従って、次の多項式の計算を行いなさい。 1. (2x^2 + 3x + 1) + (x^2 + 2x + 3) 2. (3x^2 - 4x + 5) - (x^2 - x + 2) 3. (x + 2)(x - 3)
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Q.37

711+\sqrt{5}
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Q.38

(1)8個のりんごを A,B,C,Dの4つの袋に分ける方法は何通りあるか。ただし, 1 個も入れない袋があってもよいものとする。
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Q.39

多項式の加法・減法・乗法については、異なる多項式同士を足したり引いたりする、あるいは乗じた結果を求める問題がよく出ます。例題を通じて理解を深めましょう。\n\n例題: \( (x^2 + 2x + 1) + (2x^2 - x + 3) \) を解け。
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Q.40

(1) 次の式を計算せよ。\n \n3223332+126\n\n \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{6}} \n
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Q.41

次の単項式の係数と次数をいえ。また, [ ] 内の文字に着目するとどうか。 (1) 2abx² [x] (2) -6xyz² [y と z] (3) -a³bc [a と c]
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Q.42

23 (1) a2=3 a-2=-\sqrt{3} と変形して両辺を 2 乗すると,根号が消えるので計算がらくになる。\n(2) a3=a2a a^{3}=a^{2} \cdot a として(aに )を代入するなどして,与式を a a の 1 次式で表す。
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Q.43

PR A=2 x^{3} +3 x^{2}+5, B= x^{3}+3 x+3, C=- x^{3} −15 x^{2} + 7xのとき、次の式を計算せよ。(1)4 A +3( A -3B - C) -2(A -2C) (2)4 A - 2{B -2( C -A)}
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Q.44

PRACTICE 2 A=2x^{3}+3x^{2}+5, B=x^{3}+3x+3, C=-x^{3}-15x^{2}+7x のとき, 次の式を計算せよ。 (1) 4A+3(A-3B-C)-2(A-2C) (2) 4A-2{B-2(C-A)}
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Q.45

次の式を簡単にせよ。ただし, n n は自然数とする。\n(1) \( 2(-a b)^{n}+3(-1)^{n+1} a^{n} b^{n}+a^{n}(-b)^{n} \)
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Q.46

18 次の式を計算せよ。\n(1) \( (2+\sqrt{3}-\sqrt{7})^{2} \)\n(2) \( (1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1-\sqrt{2}-\sqrt{3}) \)\n(3) \( (\sqrt{2}+1)^{3}+(\sqrt{2}-1)^{3} \)\n(4) 12+5+15+6+16+7 \frac{1}{2+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}
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Q.47

19 (1) \( \sqrt{\left\{(-2)^{3}\right\}^{2}}>0 \),\n\( (-2)^{3}=-8<0 \) であるから\n(2) 20 x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=10, x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=98 \, x^{6}+\frac{1}{x^{6}}=970
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Q.48

基 本 例題 2 多項式の加法・減法 A=2x^{2}+5xy-4y^{2}, B=x^{2}+5y^{2}, C=-x^{2}+3xy のとき P=3A-2(A+2B)-3C を計算したい。次の問いに答えよ。 (1) P を A, B, C の最も簡単な式で表せ。 (2)(1)の結果を利用して,Pを x, y で表せ。
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Q.49

3+\sqrt{2} の整数部分を a, 小数部分を b とする。 a^{2}+2 a b+4 b^{2} の値は \square る。
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Q.50

次の計算をせよ。\n(1) \( 2 a \times\left(a^{3}\right)^{2} \)\n(2) \( 3 a^{2} b \times\left(-5 a b^{3}\right) \)\n(3) \( \left(-2 x^{2} y\right)^{2} \times\left(-3 x^{3} y^{2}\right)^{3} \)
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Q.51

次の式を計算せよ。 (1) 6√2 - 8√2 + 3√2 (2) √48 - √27 + √8 - √2 (3) (√5 + √2)² (4) (3√2 + 2√3)(3√2 - 2√3)
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Q.52

次の式を計算せよ。\n(3) frac3sqrt22sqrt3fracsqrt33sqrt2+frac12sqrt6 \\frac{3 \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}}-\\frac{\\sqrt{3}}{3 \\sqrt{2}}+\\frac{1}{2 \\sqrt{6}} \n(4) frac83sqrt5frac22+sqrt5 \\frac{8}{3-\\sqrt{5}}-\\frac{2}{2+\\sqrt{5}} \n(5) fracsqrt5sqrt3+1fracsqrt3sqrt5+sqrt3 \\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{3}+1}-\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{5}+\\sqrt{3}} \n(6) fracsqrt3sqrt2sqrt3+sqrt2+fracsqrt3+sqrt2sqrt3sqrt2 \\frac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}+\\frac{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}
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Q.53

平方完成に慣れよう
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Q.54

第 2 章 実数, 1 次不等式: 5 根号を含む式の計算
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Q.55

次の多項式 \ A, B \ について, \ A+B \ と \ A-B \ をそれぞれ計算せよ。\n(1) \ A=7 x-5 y+17, \\quad B=6 x+13 y-5 \\n(2) \ A=7 x^{3}-3 x^{2}-16, \\quad B=7 x^{2}+4 x-3 x^{3} \\n(3) \ A=3 a^{2}-a b+2 b^{2}, \\quad B=-2 a^{2}-a b+7 b^{2} \\n(4) \ A=8 x^{2} y-18 x y^{2}-7 x y+3 y^{2}, \\quad B=2 x^{2} y-9 x y^{2}-15 x y-6 y^{2} \
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Q.56

次の式を計算せよ。\n(1) \( \\frac{3 \sqrt{3}}{\\sqrt{2}}+\\frac{\\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}} \n(2) \( \\frac{1}{1+\\sqrt{2}}+\\frac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}} )
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Q.57

全体集合を U 、条件 p, q を満たすもの全体の集合をそれぞれ P, Q とすると、条件「 p かつ q 」を満たすもの全体の集合はどう表されるでしょうか。
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Q.58

発 例 題\n基本例題 27\n40sqrtA2 40 \\sqrt{A^{2}} のはずしす\na a を実数とする。 sqrt9a26a+1+a+2 \\sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2| を簡単にすると, a>frac13 a>\\frac{1}{3} のときア square,2leqqaleqqfrac13 \\square,-2 \\leqq a \\leqq \\frac{1}{3} のとき1 qquad \\qquad , a<2 a<-2 のときゥ qquad \\qquad である。[類 センター試験]\& GUIDE A0 A \geqq 0 のとき sqrtA2=A,A<0 \\sqrt{A^{2}}=A, A<0 のとき sqrtA2=A \\sqrt{A^{2}}=-A であるから, sqrtA2=A \\sqrt{A^{2}}=|A| が成り立つ。 \\square \ \\qquad \ ! \このことを利用して, sqrt9a26a+1+a+2 \\sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2| を絶対値記号を用いて表す。
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Q.59

\(2x + 3x) を同類項を用いて1つの項にまとめてください。
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Q.60

次の単項式の次数と係数をいえ。また, [ ]内の文字に着目するとき, その次数と係数 をいえ。\n(1) 2ax2[a] 2 a x^{2} \quad[a] \n(2) frac13ab7x2y7[y],[a -\\frac{1}{3} a b^{7} x^{2} y^{7} \quad[y], \quad[a b] b]
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Q.61

次の計算をせよ。\n(1) x2×x5 x^{2} \times x^{5} \n(2) \( \left(x^{5}\right)^{2} \)\n(3) \( \left(-x^{2} y z\right)^{4} \)\n(4) \( \left(-2 a b^{2} x^{3}\right)^{3} \times\left(-3 a^{2} b\right)^{2} \)\n(5) \( \left(-x y^{2}\right)^{2} \times\left(-2 x^{3} y\right) \times 3 x y \)
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Q.62

多項式 A,BA, B の和 A+BA + B と差 ABA - B を求めよ。
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Q.63

9. 標準 5: 多項式の加法・減法 (2)
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Q.64

関数 \( f(x)=2x+1 \) における x=1,0,1 x=-1, 0, 1 の値を求めよ。
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Q.65

第 1 章 式の計算: 1 多項式の加法と減法
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Q.66

条件「pかつqを満たすもの全体の集合を表してください。
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Q.67

次の式を計算せよ。 (1) 3√3 - 6√3 + 5√3 (2) 2√50 - 5√18 + 3√32 (3) √2(√3 + √50) - √3(1 - √75) (4) (√3 + √5)² (5) (3√2 - √3)² (6) (4 + 2√3)(4 - 2√3) (7) (√20 + √3)(√5 - √27) (8) (√6 + 2)(√3 - √2)
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Q.68

次の式を計算せよ。 (1) -\frac{1}{4} x^2 y^2 \times(2xy^3)^3 (2) 500xz^3 \times(-\frac{1}{2} xy^2)^2 \times(\frac{2}{5} xz)^3 (3) (a + b)^2 + (a - b)^2 (4) (a + b)^2 - (a - b)^2 (5) (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2
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Q.69

20\nLet's Start\n2 多項式の乗法\n多項式の乗法は, 単項式の乗法が基本となっていて, 指数法則, 分配法則を用いて計算されます。\nそのことについて, 単項式の乗法から順に見ていきましょう。\n■ 単項式の乗法\nPlay Back\n中学\na a n n 個掛け合わせたものを a a n n 乗といい, an a^{n} と書く。\n\\n\\begin{\overlineray}{l}\na^{1}=a \\quad a^{2}=a \\times a \\quad a^{3}=a \\times a \\times a \\\na^{n}=\\underbrace{a \\times a \\times a \\times \\cdots \\cdots \\times a}_{n \\text { 個 }}\n\\end{\overlineray}\n\\na1 a^{1} は, 指数 1 を省略 してaと書く。\na1,a2,a3 a^{1}, a^{2}, a^{3} , qquad \\qquad をまとめて a a の累乗といい,\na a の右肩に小さく書いた数 1,2,3 1,2,3 , qquad \\qquad を指数という。\n例 \( (-2) \\times(-2) \\times(-2) \) を指数を使って表すと \( \\quad(-2)^{3} \)\n43 4^{3} を計算すると\n\\n4^{3}=4 \\times 4 \\times 4=64\n\\n累乗についての積は,次のようにして計算される。\n(1) \( a^{2} \\times a^{3}=(a \\times a) \\times(a \\times a \\times a)=a^{5} \)\n(2) \( \\left(a^{2}\\right)^{3}=a^{2} \\times a^{2} \\times a^{2}=(a \\times a) \\times(a \\times a) \\times(a \\times a)=a^{6} \)\n(3) \( (a b)^{2}=(a \\times b) \\times(a \\times b)=a \\times b \\times a \\times b \)\n\\[\n\\begin{array}{l}\n=a \\times a \\times b \\times b \n\\=(a \\times a) \\times(b \\times b) \n\\=a^{2} b^{2}\n\\end{array}\n\\]\n一般に,次の指数法則が成り立つ。\n指数法則 qquad \\qquad \nm m n n の和\n(1) quadamtimesan=am+n \\quad a^{m} \\times a^{n}=a^{m+n} \nm m n n の積\n同じ数 square \\square \n«交換法則 atimesb=btimesa a \\times b=b \\times a \n結合法則\n\\[\n(a \\times b) \\times c=a \\times(b \\times c)\n\\]\nm m n n は正の整数とする。\n例 (1) a2timesa3=a2+3=a5 a^{2} \\times a^{3}=a^{2+3}=a^{5} \n(2) \( \\left(a^{2}\\right)^{3}=a^{2 \\times 3}=a^{6} \)\n(3) \( (a b)^{2}=a^{2} b^{2} \)\n(3) \( (a b)^{n}=a^{n} b^{n} \)\n(2) \( \\left(a^{m}\\right)^{n}=a^{m n} \)\n(3) \( \\quad(a b)^{n}=a^{n} b^{n} \)
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Q.70

次の計算をせよ。\n(1) \\( \\left(5 x^{3}+3 x-2 x^{2}-4\\right)+\\left(3 x^{3}-3 x^{2}+5\\right) \\)\n(2) \\( \\left(2 x^{2}-7 x y+3 y^{2}\\right)-\\left(3 x^{2}+2 x y-y^{2}\\right) \\)
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Q.71

集合 A,BA, B の基本的な性質を説明し、ド・モルガンの法則を示せ。
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Q.72

四則計算について説明してください。
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Q.73

A=2x+y+z,B=x+2y+2z,C=x2y3z A=2 x+y+z, B=x+2 y+2 z, C=x-2 y-3 z であるとき, 次の式を計算せよ。 (1) 3A2C 3 A-2 C (2) A2(BC)3C A-2(B-C)-3 C
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Q.74

f(x)=-2x+3, g(x)=2x²-4x+3 のとき,次の値を求めよ。 (1) f(0), f(3), f(-2), f(a-2) (2) g(√2), g(-3), g(1/2), g(1-a)
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Q.75

9. 基本 4: 多項式の加法・減法 (1)
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Q.76

次の計算をしてください:√2 × √3 と √3 / √7
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Q.77

和の法則の利用。 基本 5 和の法則の利用。
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Q.78

(4) 1<y<3 -1<y<3 の各辺に -2 を掛けて \(-1 \cdot(-2)>y \cdot(-2)>3 \cdot(-2)\)
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Q.79

単項式の乗法を行いなさい。指数法則を利用してください。
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Q.80

次の多項式 A,B A, B について,A+B A+B AB A-B をそれぞれ計算せよ。 (1) A=7x5y+17,B=6x+13y5 A=7 x-5 y+17, \quad B=6 x+13 y-5 (2) A=7x33x216 A=7 x^{3}-3 x^{2}-16 B=7x2+4x3x3 B=7 x^{2}+4 x-3 x^{3} (3) A=3a2ab+2b2,B=2a2ab+7b2 A=3 a^{2}-a b+2 b^{2}, \quad B=-2 a^{2}-a b+7 b^{2} (4) A=8x2y18xy27xy+3y2,B=2x2y9xy215xy6y2 A=8 x^{2} y-18 x y^{2}-7 x y+3 y^{2}, \quad B=2 x^{2} y-9 x y^{2}-15 x y-6 y^{2}
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Q.81

TR 次の多項式 \ A, B \ について, \ A+B \ と \ A-B \ をそれぞれ計算せよ。\n(1) \ A=7 x-5 y+17, \\quad B=6 x+13 y-5 \\n(2) \ A=7 x^{3}-3 x^{2}-16 \,\n\ B=7 x^{2}+4 x-3 x^{3} \\n(3) \ A=3 a^{2}-a b+2 b^{2}, \\quad B=-2 a^{2}-a b+7 b^{2} \\n(4) \ A=8 x^{2} y-18 x y^{2}-7 x y+3 y^{2}, \\quad B=2 x^{2} y-9 x y^{2}-15 x y-6 y^{2} \
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Q.82

次の式を計算せよ。(8) (√6 + 2)(√3 - √2)
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Q.83

次の乗法のルールを使って、表の中で間違っている記述を修正しなさい。 a×3=a3 a \times 3 = a3 2÷a=2a1 2 \div a = \frac{2a}{1}
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Q.84

5つの香を順にかぎわけて1,4番目が同じ, 2, 3, 5番目が同じという場合に右のような模様で表します。この模様には「須磨」という名前が付いています。5つの香のかおりの区別を表す模様は全部で52通りあります。その一つひとつに「桐壺」と「夢浮椿」を除いた源氏物語の巻の名前が付いていて, 源氏香の図といいます。香が2種類の場合の模様が何通りあるかを考えてください。5本を3本と2本に分けると考えれば何通りですか。4本と1本に分ける場合も考えてください。
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Q.85

実数の絶対値について簡潔に説明せよ。\na0a \geqq 0 のとき a=a |a|=a , a<0 a<0 のとき a=a |a|=-a
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Q.86

次の計算をせよ。\n(1) \( 2 a \times\left(a^{3}\right)^{2} \)\n(2) \( 3 a^{2} b \times\left(-5 a b^{3}\right) \)\n(3) \( \left(-2 x^{2} y\right)^{2} \times\left(-3 x^{3} y^{2}\right)^{3} \)\n\nこのとき,指数法則を利用する。 m,n m, n が自然数のとき\n(1) am×an=am+n a^{m} \times a^{n}=a^{m+n} \n(2) \( \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n} \)\n(3) \( (a b)^{n}=a^{n} b^{n} \)
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Q.87

次の根号を含む式の計算を行ってください。 問題: √18 + √8
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Q.88

(2) \[\left(2 x^{2}-7 x y+3 y^{2}\right)-\left(3 x^{2}+2 x y-y^{2}\right) \]
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Q.89

平方完成に慣れよう
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Q.90

次の式を計算せよ。(2) 2√50 - 5√18 + 3√32
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Q.91

TRAINING 5 (3)\nA=2x+y+z,B=x+2y+2z,C=x2y3z A=2 x+y+z, B=x+2 y+2 z, C=x-2 y-3 z であるとき, 次の式を計算せよ。\n(1) 3A2C 3 A-2 C \n(2) \( A-2(B-C)-3 C \)
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Q.92

次の式を計算せよ。\n(1) 3363+53 3 \sqrt{3}-6 \sqrt{3}+5 \sqrt{3} \n(2) 250518+332 2 \sqrt{50}-5 \sqrt{18}+3 \sqrt{32} \n(3) \( \sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{50})-\sqrt{3}(1-\sqrt{75}) \)\n(4) \( (\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2} \)\n(5) \( (3 \sqrt{2}-\sqrt{3})^{2} \)\n(6) \( (4+2 \sqrt{3})(4-2 \sqrt{3}) \)\n(7) \( (\sqrt{20}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{27}) \)\n(8) \( (\sqrt{6}+2)(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \)
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Q.93

(1)8 本の異なるジュースを A,B の2人に分ける方法は何通りあるか。ただし,A,Bとも少なくとも 1 本はもらうものとする。\n(2)8 本の異なるジュースを 2 つのグループに分ける方法は何通りあるか。
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Q.94

次の式を計算せよ。(7) (√20 + √3)(√5 - √27)
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Q.95

根号を含む式の計算。以下の式を計算しなさい。4+9 \sqrt{4} + \sqrt{9}
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Q.96

B \\mathbf{7}^{3} \ A \ に式 B=2 x^{2}-2 x y+y^{2} \ を加えるところを, 誤って式 B \ を引いてしま ったので, 間違った答え x^{2}+x y+y^{2} \ を得た。正しい答えを求めよ。
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Q.97

P_nCr の計算をマスターしよう!
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Q.98

多項式の加法と減法を行う。例えば、以下の問題を計算してください。 問題: (3x^2 + 2x + 1) + (2x^2 - x - 3)
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Q.99

次の式を計算せよ。 (1) 332+223 \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} (2) 11+2+12+3 \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}
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Q.00

積の法則の利用。 基本 6 積の法則の利用。
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Q.01

次の式を計算せよ。(3) √2(√3 + √50) - √3(1 - √75)
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Q.02

指数法則を使って式を簡略化せよ。\nam×an=am+na^{m} \times a^{n}=a^{m+n} , \( \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n} \), \( (a b)^{n}=a^{n} b^{n} \)
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Q.03

大中小 3 個のさいころを同時に投げるとき,どの目も奇数になる目の出方は何通りあるか。
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Q.04

次の式を縦書きで計算せよ。 \[\begin{array}{r} 7 x^{3}-3 x^{2}-16 \ +)-3 x^{3}+7 x^{2}+4 x \ \hline 4 x^{3}+4 x^{2}+4 x-16 \ \end{array}\] \[\begin{array}{r} 7 x^{3}-3 x^{2}-16 \ -)-3 x^{3}+7 x^{2}+4 x \ \hline 10 x^{3}-10 x^{2}-4 x-16 \ \end{array}\]
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Q.05

次の式を計算せよ。\n(1) 6282+32 6 \sqrt{2}-8 \sqrt{2}+3 \sqrt{2} \n(2) 4827+82 \sqrt{48}-\sqrt{27}+\sqrt{8}-\sqrt{2} \n(3) \( (\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2} \)\n(4) \( (3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}) \)
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Q.06

(1) 10 人を A \mathrm{A} または B \mathrm{B} の 2 部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし,全員を 1 つの部屋に入れてもよい。\n(2) 10 人を 2 つのグループA,Bに分ける方法は何通りあるか。\n(3) 10 人を 2 つのグループに分ける方法は何通りあるか。
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Q.07

次の式を計算せよ。(1) 3√3 - 6√3 + 5√3
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Q.08

次の計算をせよ。\n(1) x2×x5 x^{2} \times x^{5} \n(2) \( \left(x^{5}\right)^{2} \)\n(3) \( \left(-x^{2} y z\right)^{4} \)\n(4) \( \left(-2 a b^{2} x^{3}\right)^{3} \times\left(-3 a^{2} b\right)^{2} \)\n(5) \( \left(-x y^{2}\right)^{2} \times\left(-2 x^{3} y\right) \times 3 x y \)
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Q.09

次の式の計算を説明せよ: 500x z^3 imes rac{1}{4} x^2 y^4 imes rac{8}{125} x^3 z^3
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Q.10

3人の女子をひとまとめにして1組と考えて, 10人の男子と1組の女子の円順列の総数は、(11-1)!=10!(通り)。そのどの場合に対しても、女子3人の並び方は3!通り。 よって、求める確率は (10!×3!)/(12!) = 3×2×1 / 12×11 = 1/22。
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Q.11

40A2 40 \sqrt{A^{2}} のはずし方\na a を実数とする。 9a26a+1+a+2 \sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2| を簡単にすると,\na>13 a>\frac{1}{3} のときア ,2a13 \square,-2 \leqq a \leqq \frac{1}{3} のときイ \qquad , a<2 a<-2 のときウ \square である。\n[類 センター試験]\n\& GUIDE A0 A \geqq 0 のとき A2=A,A<0 \sqrt{A^{2}}=A, A<0 のとき A2=A \sqrt{A^{2}}=-A であるから, A2=A \sqrt{A^{2}}=|A| が成り立つ。 \qquゃあ \qquゃあ \nこのことを利用して,9a26a+1+a+2 \sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2| を絶対値記号を用いて表す。
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Q.12

赤玉 1 個,青玉 2 個,黄玉 2 個,白玉 2 個がある。\n(1)7個すべての玉を円形に並べる方法は何通りあるか。\n(2)7個すべての玉に糸を通し,腕輪を作るとき,何通りの腕輪ができるか。
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Q.13

次の計算をせよ。 (1) \( \left(5 x^{3}+3 x-2 x^{2}-4\right)+\left(3 x^{3}-3 x^{2}+5\right) \) (2) \( \left(2 x^{2}-7 x y+3 y^{2}\right)-\left(3 x^{2}+2 x y-y^{2}\right) \)
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Q.14

x2x20x3+3x2+2x×x3+x22xx26x+5\frac{x^{2}-x-20}{x^{3}+3 x^{2}+2 x} \times \frac{x^{3}+x^{2}-2 x}{x^{2}-6 x+5}
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Q.15

累乗, 累乗根の大小比較: 次の累乗と累乗根の大小を比較しなさい。
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Q.16

[問題 A] 次のように定められた数列 \left\\{a_{n}\right\\} の一般項を求めよ。\n\[a_{1}=-2, a_{n+1}=3 a_{n}+8 \quad(n=1,2,3, \cdots \cdots)\]\n\n(1) (i) ア \ \mathrm{~ ウ ~ に 当 て は ま る 数 を 答 え よ 。~} \\n(ii) 数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項は, \an=square a_{n}=\\square エ オ \ { }^{n-1}-\\square \ カ である。エー カ に当てはまる数を答えよ。
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Q.17

n が偶数のときと奇数のときの S_n を求めよ: 偶数の時 \(S_{n}=\frac{1}{2} n(n+2)\), 奇数の時 \( S_{n}=-\frac{1}{2}(n+1)^{2} \)
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Q.18

k は定数とする。点 \\( (0, k) \\) から曲線 \ C: y=-x^{3}+3 x^{2} \ に引いた接線の本数を求めよ。
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Q.19

EX 公比2, 初項 1 の等比数列 leftanright \\left\\{a_{n}\\right\\} に対し, 和 frac1a1+frac1a2+frac1a3+cdotscdots+frac1an \\frac{1}{a_{1}}+\\frac{1}{a_{2}}+\\frac{1}{a_{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{a_{n}} を求める。
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Q.20

別解 (イ)について, (ウ) と同様に次数を下げる方法で解いても\n\\[\n\\begin{array}{l} \n\\text { よい。 } \\\\\n\\alpha^{3}+\\beta^{3}+\\gamma^{3}=(3 \\alpha-5)+(3 \\beta-5)+(3 \\gamma-5) \\\\\n=3(\\alpha+\\beta+\\gamma)-15=3 \\cdot 0-15 \\\\\n=1-15\n\\end{array}\n\\]
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Q.21

(4)\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\boldsymbol{y}^{\\prime} & =-\\left(x^{3}\\right)^{\\prime}+5\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-4(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime} \\\\\n& =-1 \\cdot 3 x^{2}+5 \\cdot 2 x-4 \\cdot 1 \\\\\n& =-3 x^{2}+10 x-4\n\\end{aligned}\n\\]
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Q.22

次の計算をせよ。\n(1) fracx2+4x+5x+3fracx2+5x+6x+4 \\frac{x^{2}+4 x+5}{x+3}-\\frac{x^{2}+5 x+6}{x+4} \n(2) fracx+2xfracx+3x+1fracx5x3+fracx6x4 \\frac{x+2}{x}-\\frac{x+3}{x+1}-\\frac{x-5}{x-3}+\\frac{x-6}{x-4}
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Q.23

(2) \( \\boldsymbol{y}^{\\prime}=3\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-6(x)^{\\prime}+(2)^{\\prime}=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1 \\)
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Q.24

(1) 次の計算をせよ。\n\nここで、frac1(x3)(x1)+frac1(x1)(x+1)+frac1(x+1)(x+3)\\frac{1}{(x-3)(x-1)}+\\frac{1}{(x-1)(x+1)}+\\frac{1}{(x+1)(x+3)}\n\n(2) 次の計算をせよ。\nfrac1a2a+frac1a2+a+frac1a2+3a+2\\frac{1}{a^{2}-a}+\\frac{1}{a^{2}+a}+\\frac{1}{a^{2}+3 a+2}
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Q.25

次の第 1 式が第 2 式で割り切れるように, 定数 a,b,c,d,e a, b, c, d, e の値を定めよ。\n(1) x3+2x2+4x+a,x+1 x^{3}+2 x^{2}+4 x+a, x+1 \n(2) \( x^{3}+6 x^{2}+b x+c,(x+1)(x+2) \)\n(3) dx3+x2+ex40,x22x8 d x^{3}+x^{2}+e x-40, x^{2}-2 x-8
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Q.26

次の計算をせよ。\n(1) \( (-3+2 i)+(5-6 i) \)\n(2) \( i-(-4+3 i) \)\n(3) \( (5-i)(-1+2 i) \)\n(4) \( (3+4 i)^{2} \)\n(5) \( i(-2+i)+(1-i)^{2} \)\n(6) \( (1-i)^{4} \)\n(7) 1+i+i2+i3 1+i+i^{2}+i^{3}
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Q.27

次の式を簡単にせよ。\n(1) \( (\\sqrt[4]{3})^{4} \)\n(2) sqrt[3]4sqrt[3]16 \\sqrt[3]{4} \\sqrt[3]{16} \n(3) fracsqrt[4]243sqrt[4]3 \\frac{\\sqrt[4]{243}}{\\sqrt[4]{3}} \n(4) sqrt[3]sqrt729 \\sqrt[3]{\\sqrt{729}}
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Q.28

次の計算をせよ。 [(1) 北海道薬大 (2)千葉工大] (1) 5346+143543 \frac{5}{3} \sqrt[6]{4} + \sqrt[3]{\frac{1}{4}} - \sqrt[3]{54} (2) 239646+12243 \frac{2}{3} \sqrt[6]{\frac{9}{64}} + \frac{1}{2} \sqrt[3]{24}
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Q.29

次の計算をせよ。\n(1) \( (4+5 i)-(4-5 i) \)\n(2) \( (-6+5 i)(1+2 i) \)\n(3) \( (2-5 i)(2 i-5) \)\n(4) \( (3+i)^{3} \)\n(5) \( (\sqrt{2}+i)^{2}-(\sqrt{2}-i)^{2} \)\n(6) \( (1+i)^{8} \)\n(7) ii2+i3+i4+i5i6+i7+i8 i-i^{2}+i^{3}+i^{4}+i^{5}-i^{6}+i^{7}+i^{8}
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Q.30

(4) \( \left(a^{-\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{2} \times a^{\frac{5}{3}} \) の計算
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Q.31

多項式 x3+ax2+bxa x^{3}+a x^{2}+b x-a x2+x+1 x^{2}+x+1 で割った余りが x+3 -x+3 であると き, 定数 a,b a, b の值を求めよ。
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Q.32

次の条件によって定められる数列 {an} \left\{a_{n}\right\} の一般項を求めよ。\n(1) a1=6,an+1=3an8 a_{1}=6, a_{n+1}=3 a_{n}-8
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Q.33

次の式を計算し、解を求めよ:\n13. (1) 1\n(2) \frac{x+4}{x+1}\n(3) 2 a-3\n(4) 1
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Q.34

(2) 2x2+xy6y22x+17y12 2 x^{2}+x y-6 y^{2}-2 x+17 y-12 x+2y3 x+2 y-3 で割った商と余りを求めよ。
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Q.35

次の式の値を求めよ:\n15. (1) \frac{2 x}{1+x^{2}}\n(2) -x+2
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Q.36

PR\n225 { }^{2} 25 (1) a:b=c:d a: b=c: d のとき, 等式 \pa+qcpb+qd=ra+scrbsd\frac{pa+qc}{pb+qd}=\frac{ra+sc}{rbsd} が成り立つことを証明せよ。(2) ab=cd=ef \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f} のとき, 等式 a+cb+d=a+c+eb+d+f \frac{a+c}{b+d}=\frac{a+c+e}{b+d+f} が成り立つことを証明せよ。
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Q.37

複素数\n2 乗して 8i 8i になる数を求めよ。
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Q.38

テ , 卜,ナに当てはまるものを,下の0~~5のうちから1つずつ選べ。 ただし,解答の順序は問わない。また, i は虚数単位を表すものとする。4 次式 T(x) を x-1 で割ったときの商が U_{1}(x), 余りが 3 であり, x^{3}-x^{2}+2 で割ったときの商が U_{2}(x), 余りが 3 x^{2}+4 である。このとき, T(x) についての記述として誤っているものは, テ ,, 卜, ナ (0) T(x) を 2(x-1) で割ったときの商は, 2 U_{1}(x) である。 (1) T(x) を \u0026frac{1}{2}(x-1 で割ったとき余りは, \u0026frac{3}{2} である。 (2) T(x) を 2\left(x^{3}-x^{2}+2 で割ったときの商は, \u0026frac{1}{2} U_{2}(x) である。 (3) T(x) を \u0026frac{1}{2}\left(x^{3}-x^{2}+2 で割ったとき余りは, 3 x^{2}+4 である。 (4) T(x)+3 は x-1 で割り切れる。 (5) T(1+i)=4+6 i である。
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Q.39

次の数を見つけてください: 5.7 の 0.8
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Q.40

x+13x22x1+2x+13x2+4x+1\frac{x+1}{3 x^{2}-2 x-1}+\frac{2 x+1}{3 x^{2}+4 x+1}
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Q.41

次の数値を求めよ:\n19. (1) a=1, b=2\n(2) a=3, b=1, c=-1
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Q.42

次の計算をせよ。\n(1) \( (4+5 i)-(4-5 i) \)\n(2) \( (-6+5 i)(1+2 i) \)\n(3) \( (2-5 i)(2 i-5) \)\n(4) \( (3+i)^{3} \)\n(5) \( (\sqrt{2}+i)^{2}-(\sqrt{2}-i)^{2} \)\n(6) \( (1+i)^{8} \)\n(7) ii2+i3+i4+i5i6+i7+i8 i-i^{2}+i^{3}+i^{4}+i^{5}-i^{6}+i^{7}+i^{8}
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Q.43

どうすればいいんだろう? 花子: P(x) を (x-1)^{2} で割ると余りが 2x+3 だから, s x^{2}+t x+u=\u25a1 と表すことがR & Wできるよ。 (i)コに当てはまる式を,次の005)のうちから1つ選べ。 (0) s x^{2}+5 (1) s x^{2}+2 s x+3 (2) s(x-1)^{2} (3) s(x-1)^{2}+5 (4) s(x-1)^{2}+2 x+3 (5) s\left(x^{2}+2 x+3\right) (ii) s, t, u の値を求めると, s=\u25a1 サ, t= シス, u= \u25a1 セ である。サ セ に当てはまる数を答えよ。
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Q.44

次の計算をせよ。 (1) x+112x2+7x+3x102x23x2 \frac{x+11}{2 x^{2}+7 x+3}-\frac{x-10}{2 x^{2}-3 x-2} (2) 4x2+41x2+1x+2 \frac{4}{x^{2}+4}-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}
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Q.45

8 (1) an=42n1=222n1 \boldsymbol{a}_{n}=-4 \cdot 2^{n-1}=-2^{2} \cdot 2^{n-1} \n=2n+1=-2^{n+1}\ninf. aman=am+n a^{m} a^{n}=a^{m+n} (指数法則)\n(2) \( a_{n}=5(-3)^{n-1} \)
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Q.46

次の多項式を, [ ] 内の 1 次式で割ったときの余りを求めよ。(1) x3+2x1[x3] x^{3}+2 x-1 \quad[x-3] (2) 2x3x2+3x+1[x+1] 2 x^{3}-x^{2}+3 x+1 \quad[x+1] (3) 2x4+3x33x22x+3[x1] 2 x^{4}+3 x^{3}-3 x^{2}-2 x+3 \quad[x-1] (4) x35x2+4[2x1] x^{3}-5 x^{2}+4 \quad[2 x-1]
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Q.47

a < 0, b < 0 の場合 a = -a', b = -b' とおくと a' > 0, b' > 0 このとき \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{-a'}}{\sqrt{-b'}} = \frac{\sqrt{a'} i}{\sqrt{b' i}} = \frac{\sqrt{a'}}{\sqrt{b'}} = \sqrt{\frac{a'}{b'}} , \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{-a'}}{-b'} = \sqrt{\frac{a'}}{-b'} よって、等式は成り立つ。
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Q.48

次の条件によって定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n\a_{1}=3, a_{n+1}=2 a_{n}-3^{n+1}\
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Q.49

次の式を \( r \\sin (\\theta+\\alpha) \) の形に表せ。ただし、r>0,pi<alphaleqpir>0,-\\pi<\\alpha\\leq\\pi とする。\n(1) sinthetacostheta \\sin \\theta-\\cos \\theta \n(2) sqrt3costhetasintheta \\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sin \\theta \n(3) 5sintheta+4costheta 5 \\sin \\theta+4 \\cos \\theta
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Q.50

次の計算をせよ。(1) \\( \\frac{a-b}{a+b} \\times \\frac{a^{2}-b^{2}}{(a-b)^{2}} \\)\n(2) \ \\frac{x^{2}-x-20}{x^{3}+3 x^{2}+2 x} \\times \\frac{x^{3}+x^{2}-2 x}{x^{2}-6 x+5} \\n(3) \ \\frac{2 a^{2}-a-3}{3 a-1} \\div \\frac{3 a^{2}+2 a-1}{9 a^{2}-6 a+1} \\n(4) \\( \\frac{(a+1)^{2}}{a^{2}-1} \\times \\frac{a^{3}-1}{a^{3}+1} \\div \\frac{a^{2}+a+1}{a^{2}-a+1} \\)
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Q.51

次の計算をせよ。ただし, a>0, b>0 とする。 (1) a^{4} × (a^3)^{-2} (2) √[3]{3} × √{27} ÷ √[6]{243} (3) √[3]{√{64}} × √{16} ÷ √[3]{8} (4) { (81/25)^{-2/3}}^{3/4} (5) (a^{1/4} - b^{1/4})(a^{1/4} + b^{1/4})(a^{1/2} + b^{1/2}) (6) (√[6]{a} + √[6]{b})(√[6]{a} - √[6]{b})(√[3]{a^2} + √[3]{ab} + √[3]{b^2})
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Q.52

次の数値を求めよ:\n18. (1) a=1, b=3, c=2\n(2) a=1, b=3, c=0, d=3\n(3) a=3, b=9, c=27, d=9
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Q.53

(ア) \( P(x) \) を 2 次式 \( (x-2)(x+3) \) で割ったときの商を \( Q_{1}(x) \), 余りを ax+b a x+b とする。次の等式が成り立ちます: \( P(x)=(x-2)(x+3) Q_{1}(x)+a x+b \)。 \( P(x) \) を x2 x-2 で割ったときの余りが8であるとする。 \( P(x) \) を x+3 x+3 で割ったときの余りが-7であるとする。 求める余りを求めなさい。
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Q.54

EX (1) \( (2+i) x-(1-3 i) y+(5+6 i)=0 \) を満たす実数 x,y x, y の値を求めよ。
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Q.55

次の一連の工程を用いて b_n, c_n, および a_n を求めよ (1) bn+1=n+2nbn b_{n+1}=\frac{n+2}{n} b_{n} (2) cn=12 c_{n}=\frac{1}{2} (3) an=14n2+14n+12 a_{n}=\frac{1}{4} n^{2}+\frac{1}{4} n+\frac{1}{2}
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Q.56

EX 初項1, 公比2の等比数列の和 log2a1+log2a2+cdotscdots+log2an \\log _{2} a_{1} + \\log _{2} a_{2} + \\cdots \\cdots + \\log _{2} a_{n} を求める。
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Q.57

4 (1) \( \boldsymbol{a}_{n}=4+(n-1) \cdot 3=3 n+1 \)\n(2) \( \boldsymbol{a}_{n}=3+(n-1) \cdot(-5)=-5 n+8 \)\n57,a,3 57, a,-3 が等差数列であるから \( 2 a=7+(-3) \quad \) よって a=2 \quad a=2
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Q.58

(1) 多項式 A A を多項式 2x21 2 x^{2}-1 で割ると, 商が 2x1 2 x-1 , 余りが x2 x-2 であるとき, A A を求めよ。
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Q.59

(3) 乗法 \( (a+b i)(c+d i)=a c+(a d+b c) i+b d i^{2} \) 分配法則を利用
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Q.60

EX多項式 x3+ax2+bxa x^{3}+a x^{2}+b x-a x2+x+1 x^{2}+x+1 で割った余りが x+3 -x+3 であるとき, 定数 a,b a, b の値を求めよ。
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Q.61

4423(15)n+13 44 \quad \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n}+\frac{1}{3}
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Q.62

次の計算をせよ。ただし, a,b a, b は正の数とする。\n(1) 3frac23times3frac43 3^{\\frac{2}{3}} \\times 3^{\\frac{4}{3}} \n(2) 5frac12times2514 5^{\\frac{1}{2}} \\times 25^{-\frac{1}{4}} \n(3) afrac12timesafrac16divafrac13 a^{\\frac{1}{2}} \\times a^{\\frac{1}{6}} \\div a^{\\frac{1}{3}} \n(4) \( \\left(a^{-\frac{1}{3}} b^{\\frac{1}{2}}\\right)^{2} \\times a^{\\frac{5}{3}} \)
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Q.63

次の算術計算を行い、解を示せ:\n4. (1) -1080\n(2) -\frac{40}{27}\n
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Q.64

整式 𝑥^3−2𝑥^2−45𝑥−40 を整式 𝑥−8 で割った商と余りを求めよ。
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Q.65

次の等式が恒等式であるかどうかを調べよ。\n(3) \( \frac{2 x+1}{2 x-1} \times \frac{4 x^{2}-1}{(2 x+1)^{2}}=1 \)
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Q.66

26 (1) \( \frac{1 \cdot(-2)+3 \cdot 6}{3+1}=\frac{16}{4}=4 \)\n(2) \( \frac{-1 \cdot(-2)+3 \cdot 6}{3-1}=\frac{20}{2}=10 \)\n(3) \( \frac{-3 \cdot(-2)+1 \cdot 6}{1-3}=\frac{12}{-2}=-6 \)\n(4) 2+62=42=2 \frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2
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Q.67

次の複素数と, それぞれに共役な複素数との和, 積を求めよ。\n(1) 35i 3-5 i \n(2) -2\n(3) 4i 4 i
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Q.68

2a2a33a1÷3a2+2a19a26a+1\frac{2 a^{2}-a-3}{3 a-1} \div \frac{3 a^{2}+2 a-1}{9 a^{2}-6 a+1}
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Q.69

2つの実数 a,ba, b は正とする。また, ii は虚数単位である。 (1) \( (a+bi)^2 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) を満たす \((a, b)\) を求めよ。 (2) \( (a+bi)(b+ai) = 12i \) を満たしながら a,ba, b が動くとき a+biab2+a2bi \frac{a+bi}{ab^2 + a^2 bi} の 実部は一定である。その値を求めよ。
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Q.70

次の式を簡単にせよ。\n(1) 2log223log289 2 \log _{2} \frac{2}{3}-\log _{2} \frac{8}{9} \n(2) 2log210log230+2log23 2 \log _{2} \sqrt{10}-\log _{2} 30+2 \log _{2} 3 \n(3) log2122+23log22343log23 \log _{2} 12^{2}+\frac{2}{3} \log _{2} \frac{2}{3}-\frac{4}{3} \log _{2} 3 \n(4) 2log34419log3716log327343 2 \log _{3} 441-9 \log _{3} \sqrt{7}-\frac{1}{6} \log _{3} \frac{27}{343} \n(5) log354+log34.5+log31273log3813 \log _{3} 54+\log _{3} 4.5+\log _{3} \frac{1}{27 \sqrt{3}}-\log _{3} \sqrt[3]{81}
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Q.71

(2) an+1 a_{n+1} an,bn a_{n}, b_{n} で表せ。
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Q.72

累乗根の計算: 次の累乗根の計算を行いなさい。
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Q.73

数学 I \mathbb{I} から最小値を求めることはできない。したがってア(4)参考 \( f(x)=2 x+1+\frac{3}{x+1}(x>0) \), \( g(x)=2 \sqrt{(2 x+1) \cdot \frac{3}{x+1}} \quad(x>0) \) とするとき, 関数 \( y=f(x) \) と \( y=g(x) \) のグラフの位置関係は, 右 の図のようになり, 点 \( \left(\frac{1}{2}, 4\right) \) を共有するが,その共有点は \( y=f(x) \) が最小となる点ではない。具体的な値は, (2) で求めることに なるが, \( y=f(x) \) は x=12 x=\frac{1}{2} 以外のところで最小となる。(2) \( 2(a+(* *)) \cdot \frac{3}{a+1} \) が定数となるのは, \( (a+(* *))=a+1 \quad \) すなわち \( (* *)=11 \) のときである。a>0 a>0 より, \( 2(a+1)>0, \frac{3}{a+1}>0 \) であるから, 相加平均と相乗平均の大小関係により 2 a+1+\frac{3}{a+1} =2(a+1)+\frac{3}{a+1}-1 \geqq 2 \sqrt{2(a+1) \cdot \frac{3}{a+1}}-1=2 \sqrt{6}-1等号が成り立つのは, 2(a+1)=\frac{3}{a+1} のときである。このとき (a+1)^{2}=\frac{3}{2} \quad a+1>0 から \quad a+1=\frac{\sqrt{6}}{2} ゆえに \quad a=ウエ -1+\frac{\sqrt{J^{6} 6}}{\text { カ } 2} のとき最小値 2761 キ 2 \sqrt{{ }^{7} 6}-{ }^{ヶ} 1
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Q.74

例題 24 条件つきの等式の証明\na+b+c=0 a+b+c=0 のとき,次の等式が成り立つことを証明せよ。\n\\[\nb c(b+c)+c a(c+a)+a b(a+b)=-3 a b c\n\\]
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Q.75

次の式を簡単にせよ。\n(1) \ \\frac{\\frac{1+x}{1-x}-\\frac{1-x}{1+x}}{\\frac{1+x}{1-x}+\\frac{1-x}{1+x}} \\n(2) \ \\frac{1}{x-\\frac{x^{2}-1}{x-\\frac{2}{x-1}}} \
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Q.76

次の式を求めよ:\n17. (1) \frac{3}{x(x+1)}\n(2) -\frac{2(2 x+7)}{(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)}
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Q.77

(1)ア に当てはまるものを,次の0~3のうちから1つ選べ。 (0) b-a=d-c (1) \( \log_{10}(b-a)=\log_{10}(d-c) \) (2) log10blog10a=log10dlog10c \log_{10} b-\log_{10} a=\log_{10} d-\log_{10} c (3) log10blog10a=log10dlog10c \frac{\log_{10} b}{\log_{10} a}=\frac{\log_{10} d}{\log_{10} c}
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Q.78

次の角を,度数は弧度に,弧度は度数に,それぞれ書き直せ。 (1) -60° (2) 210° (3) 8/3 π (4) -4/5 π
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Q.79

次の計算をせよ。(1) (x+2)/(x^2+7x+12) - (x+4)/(x^2+5x+6) - (x^2+3x)/((x+2)(x^2+7x+12))
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Q.80

このときの利益の最大値は a · 50 + 3 · 20 = 50a + 60 (万円)
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Q.81

硬貨を 1 枚投げ, 表が出たときは 1 点, 裏が出たときは 2 点を得る。この試行を n 回繰り返して得られた点の合計を 3 で割ったとき, 余りが 0 となる確率を a_{n}, 余りが 1 となる確率を b_{n}, 余りが 2 となる確率を c_{n} とする。(1) a_{1}, b_{1}, c_{1} を求めよ。(2) a_{n+1} を b_{n} と c_{n} を用いて表せ。 (3) a_{n+1} を a_{n} を用いて表せ。 (4) a_{n} を n を用いて表せ。
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Q.82

EX 50 円硬貨 2 枚と 100 円硬貨 4 枚と 500 円硬貨 1 枚を同時に投げるとき, 表が出た硬貨の金額の ⑤1和の期待値と標準偏差を求めよ。\n表が出た 50 円,100 円,500 円硬貨の枚数をそれぞれ X1,X2,X3 X_{1}, X_{2}, X_{3} とする。\n\ X_{1}, X_{2}, X_{3} \ はそれぞれ二項分布 \\( B\\left(2, \\frac{1}{2}\\right), B\\left(4, \\frac{1}{2}\\right) \\), \\( B\\left(1, \\frac{1}{2}\\right) \\) に従うから\n\\begin{array}{l}\nE\\left(X_{1}\\right)=2 \\cdot \\frac{1}{2}=1, \\quad V\\left(X_{1}\\right)=2 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2}=\\frac{1}{2}, \\E\left(X_{2}\\right)=4 \\cdot \\frac{1}{2}=2, \\quad V\left(X_{2}\\right)=4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2}=1, \\E\left(X_{3}\\right)=1 \\cdot \\frac{1}{2}=\\frac{1}{2}, \\quad V\\left(X_{3}\\right)=1 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2}=\\frac{1}{4}\\end{array}\n表が出た硬貨の金額の和は 50X1+100X2+500X3 50 X_{1}+100 X_{2}+500 X_{3} と表されるから, 求める期待値はn\rightleftarrows n 枚の硬貨を投げて,表の出る枚数がk枚である確率は\n\\begin{array}{c} { }_{n} \mathrm{C}_{k}\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{k}\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-k} \\(0 \\leqq k \\leqq n) \\end{array}\n\\( \hookleftarrow n=2, \\quad p=\\frac{1}{2}\\left(q=\\frac{1}{2}\\right) \\) \\( \nleftarrow n=4, \\quad p=\\frac{1}{2}\\left(q=\\frac{1}{2}\\right) \\) \\( \nLeftarrow n=1, \\p=\\frac{1}{2}\\left(q=\\frac{1}{2}\\right) \\)
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Q.83

5 (1) 18a4bc330a2b2c=3a2c25b \frac{18 a^{4} b c^{3}}{30 a^{2} b^{2} c}=\frac{3 a^{2} c^{2}}{5 b} (2) \( \frac{x-1}{x^{2}-1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x+1} \) (3) \( \frac{x^{3}+1}{x^{2}-2 x-3}=\frac{(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)}{(x+1)(x-3)} \)=x2x+1x3 =\frac{x^{2}-x+1}{x-3}
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Q.84

n n 項が 5n+1 5 n+1 である数列は等差数列であることを証明し,その初項と公差を 求めよ。
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Q.85

次の数値を求めよ:\n22. (1) a=-4, b=1, c=6\n(2) a=-7, b=2, c=10
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Q.86

基本例題 19 分数式の恒等式 (部分分数に分解) 等式 \( \frac{5 x+1}{(x+2)(x-1)}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-1} \) が x x についての恒等式となるように, 定数 a,b a, b の値を定めよ。 重要16, 基本 18
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Q.87

基 本 例題 55 高次式の値(割り算を利用して次数を下げる)\nP(x)=x^{3}+3 x^{2}+x+2 について,次の問いに答えよ。\n(1) x=-1+i のとき, x^{2}+2 x+2=0 であることを証明せよ。\n(2) P(x) を x^{2}+2 x+2 で割った商と余りを求めよ。\n(3) P(-1+i) の値を求めよ。
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Q.88

多項式 \( P(x) \) を 1 次式 ax+b ax+b で割ったときの余りは何ですか?
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Q.89

次の x x についての多項式 A A を多項式 B B で割った商と余りを求めよ。\n(1) A=2x+3,B=x1 A=2 x+3, \quad B=x-1 \n(2) A=3x2+7x+8,B=x+2 A=3 x^{2}+7 x+8, \quad B=x+2
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Q.90

PRACTICE 24text® 24^{\\text {® }} \na+b+c=0 a+b+c=0 のとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) \( a^{3}(b-c)+b^{3}(c-a)+c^{3}(a-b)=0 \)
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Q.91

(1) 35i 3-5 i と共役な複素数は 3+5i 3+5 i よって 和 \( (3-5 i)+(3+5 i)=6 \)\n積 \( \quad(3-5 i)(3+5 i) \)\n\( =3^{2}-(5 i)^{2}=9-(-25) \)\n=34 =34 \n(2) 2=2+0i -2=-2+0 \cdot i と表されるから, -2 と 共役な複素数は 20i=2 -2-0 \cdot i=-2 \nよって 和 \( -2+(-2)=-4 \)\n積 \( (-2)(-2)=4 \)\n(3) 4i=0+4i 4 i=0+4 i と表されるから, 4i 4 i と共役な 複素数は 04i=4i \quad 0-4 i=-4 i \nよって 和 \( 4 i+(-4 i)=0 \)\n積 \( \quad 4 i(-4 i)=-16 i^{2}=16 \)
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Q.92

この割り算について, 次の等式が成り立つ。\n\[x^{3}+x+10=B \times\\left(\\frac{x}{2}+1\\right)+(x+2)\]\n整理すると \( \\quad x^{3}+8=B \times\\left(\\frac{x}{2}+1\\right) \)\nよって, x3+8 x^{3}+8 fracx2+1 \\frac{x}{2}+1 で割り切れて, その商が B B である。右の計算により quadB=2x24x+8 \\quad B=2 x^{2}-4 x+8 \n\n商と割る数の計算を示す。
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Q.93

次の各組の数の大小を不等号を用いて表せ。\n(1) 1.5,log35 1.5, \log _{3} 5 \n(2) log23,log32,log48 \log _{2} 3, \log _{3} 2, \log _{4} 8
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Q.94

複素数 z = a + bi の加法・減法を示せ。
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Q.95

1 から 9 までの数字が書かれている 9 枚のカードから 3 枚のカードを抜き出して並べ、3 桁の数を作る。\n\n(1)各桁の数の和の期待値を求めよ。\n(2) 3 桁の数の期待値を求めよ。
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Q.96

(2) 大小関係と差の正負 5. a>b ⇔ a-b>0 6. a<b ⇔ a-b<0
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Q.97

次の式を簡単にせよ。 (l) 1+x1x1x1+x1+x1x+1x1+x \frac{\frac{1+x}{1-x}-\frac{1-x}{1+x}}{\frac{1+x}{1-x}+\frac{1-x}{1+x}} (2) 1xx21x2x1 \frac{1}{x-\frac{x^{2}-1}{x-\frac{2}{x-1}}}
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Q.98

次の条件によって定められる数列 {a_n} の一般項を求めよ。 (1) a_1=2, a_{n+1}=4a_n+9 (2) a_1=0, a_{n+1}=3a_n+2n+1
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Q.99

次の計算をせよ。 (1) \[ \frac{x+2}{x^{2}+7 x+12}-\frac{x+4}{x^{2}+5 x+6}-\frac{x^{2}+3 x}{(x+2)\left(x^{2}+7 x+12\right)} \] [近畿大]
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Q.00

次の指数法則を使って問題を解いてください: 指数法則: a^{r} a^{s}=a^{r+s} 特に a が 3, r が 2, s が 4 のとき a^{r+s} の値を求めてください。
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Q.01

次の分数式を約分して, 既約分数式にせよ。\n(1) 18a4bc330a2b2c \frac{18a^{4}bc^{3}}{30a^{2}b^{2}c} \n(2) x1x21 \frac{x-1}{x^{2}-1} \n(3) x3+1x22x3 \frac{x^{3}+1}{x^{2}-2x-3}
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Q.02

解集合を求める:\n\\(\\sum_{i=1}^{5}(-2)^{i-1}\\)
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Q.03

シェアサイクルを運営する企業Xは,ある町 に2つの拠点 A,B \mathrm{A}, \mathrm{B} を設置することを計画している。拠点には貸し出し用自転車が多数置かれており, 利用者はどちらの拠点から借りてもよく, どちらの拠点に返却してもよい。毎日,A,Bにあるすべての自転車が 1 回だけ貸し出され,その日のうちにどちら かの拠点に返却されるとする。また,貸し出された自転車が各拠点に返却される 割合は,日によらず一定であり,次の通りであるとする。Aから貸し出された自転車のうち,70%が Aに, 30% が Bに返却される。B から貸し出された自転車のうち,20%が Aに, 80% が B に返却される。 n n 日目終了後, A,B \mathrm{A}, \mathrm{B} にある自転車の台数の, 総数に対する割合をそれぞれ an,bn a_{n}, b_{n} とする。1日目開始前の A, B にある自転車の台数の割合を,それぞれ 20 20% , 80 80% とするとき,次の問いに答えよ。 (1) a1 a_{1} を求めよ。
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Q.04

(a+1)2a21×a31a3+1÷a2+a+1a2a+1\frac{(a+1)^{2}}{a^{2}-1} \times \frac{a^{3}-1}{a^{3}+1} \div \frac{a^{2}+a+1}{a^{2}-a+1}
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Q.05

次の計算をせよ。 (2) 21+a+21a+41+a2+81+a4 \frac{2}{1+a}+\frac{2}{1-a}+\frac{4}{1+a^{2}}+\frac{8}{1+a^{4}}
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Q.06

以下の式の値を求めよ: \(\\frac{1}{2}(\sqrt{2 n+1}-1) \)
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Q.07

-EXERCISES の解答\n28\n(1) 5i 5 - i \n(2) \( -\sqrt{6}(43+15 i) \)\n(3) 66213i221 \frac{66-213 i}{221} \n(4) -1\n(5) 1
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Q.08

右辺を変形すると\n\[-\cos ^{2} \theta-\sqrt{3} \sin \theta =-\left(1-\sin ^{2} \theta\right)-\sqrt{3} \sin \theta \n= \sin ^{2} \theta-\sqrt{3} \sin \theta-1\]
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Q.09

a < 0, b > 0 の場合, a = -a' とおくと a' > 0 このとき \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{-a'}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a'} i}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a'}{b}} i, \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{-a'}{b}} = \sqrt{-\frac{a'}{b}} = \sqrt{\frac{a'}{b}} i よって、等式は成り立つ。
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Q.10

問題66 (1) 4と14をaに代入せよ。\n(2) -2、4、9をaに代入せよ。
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Q.11

次の式を \( r \sin (\theta+\alpha) \) の形に表せ。ただし, r>0,0α<2π r>0,0 \leqq \alpha<2 \pi とする。(1) sinθ+cosθ \sin \theta+\cos \theta (2) sinθ3cosθ \sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta
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Q.12

次の各組の数の大小を不等号を用いて表せ。 (1) log104,35 \log_{10} 4, \frac{3}{5} (2) log1022,log1033,33 \frac{\log_{10} 2}{2}, \frac{\log_{10} 3}{3}, \sqrt[3]{3} (3) log34,log43,log927 \log _{3} 4, \log _{4} 3, \log _{9} 27
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Q.13

組立除法を用いて, 次の多項式 A A を多項式 B B で割ったときの商と余りを求めよ。(1) A=x3+2x2x3,B=x+3 A=x^{3}+2 x^{2}-x-3, \quad B=x+3 (2) A=2x3+x2+x2,B=2x1 A=2 x^{3}+x^{2}+x-2, \quad B=2 x-1
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Q.14

次の多項式の同類項をまとめて整理せよ。また, (2), (3) の多項式において, [ ]内の文字に着目したとき, その次数と定数項をいえ。\n(1) 3x2+2x64x2+3x+2 3 x^{2}+2 x-6-4 x^{2}+3 x+2 \n(2) 2a2abb2+4ab+3a2+2b2[b] 2 a^{2}-a b-b^{2}+4 a b+3 a^{2}+2 b^{2} \quad[b] \n(3) x32ax2y+4xy3by+y2+2xy2by+4a[x x^{3}-2 a x^{2} y+4 x y-3 b y+y^{2}+2 x y-2 b y+4 a \quad[x y],[y] y], \quad[y]
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Q.15

徚習 次の式の 2 重根号をはずして簡単にせよ。 (2) 26 (1) 6+42 \sqrt{6+4 \