モンスタークエスト：AIチューター | ヤロウゼ､宿題！

(例) 5) x^2 = y^2 + 8 の場合 x^2 - y^2 = 8 から (x+y)(x-y) = 8

単語 mathematics から任意に 4 文字を取って作られる順列の数を求めよ。 [いわき明星大]

次の計算を実行し、最終的な結果を求めなさい。 2 \sqrt{2}\{(3+2 \sqrt{2})-1+(3-2 \sqrt{2})}\}

次の式を因数分解せよ。 (1) (x+1)(x+2)(x+4)(x+5)-10 (2) (x^2-4x+3)(x^2-12x+35)-9

PR NAGOYAJOの 8 個の文字をすべて並べてできる順列の中で, AAと OO という並びをともに含む順列は何個あり，同じ文字が隣り合わない順列は何個あるか。 (ア) AA，OOをそれぞれ 1 個の文字とみなし，N，G，Y，J， AA, OO の6個の文字を 1 列に並べる場合の数を求めると 6!=720 個。 (イ) 8 個の文字の順列の総数は 8!/2!2!=10080 個 [1] AA の並びを含み, OO の並びを含まないもの AA を1つの文字とみなし，N，G，Y，J，AAの５個の文字を並べ，その間と両端の６か所から２か所を選んで O, O を並べる。 → 5!×6C2=120×15=1800 個 [2] OO の並びを含み, AAの並びを含まないもの OO を1つの文字とみなし, [1] と同様に考えて 5!×6C2=1800 個 よって, 求める個数は 10080-(720+1800×2)=5760 個

次の式を因数分解せよ。\n(1) $x^{2}+x y+2 x+y+1$\n(2) $x^{3}+3 x^{2} y+z x^{2}+2 x y^{2}+3 x y z+2 z y^{2}$

(2) \( \left(x^{3}+x-3\right)\left(x^{2}-2 x+2\right) \)

次の式を計算せよ。\n(5) \n\\[\n\\begin{aligned}\n& (x-2)(x+1)\\left(x^{2}+2 x+4\\right)\\left(x^{2}-x+1\\right) \n= & (x-2)\\left(x^{2}+2 x+4\\right) \\times(x+1)\\left(x^{2}-x+1\\right) \n= & \\left(x^{3}-8\\right)\\left(x^{3}+1\\right) \n= & x^{6}-7 x^{3}-8\n\\end{aligned}\n\\]

（4） A(5人), B(2人), C(2人)の組に分ける方法は C_9^5 \times C_4^2通り また、2つの2人の組には区別がないため同じものが2!通りずつできるから、分け方の総数は

5 (1) \( 6 a^{2} b-8 a b=2 a b(3 a-4) \)\n(2) $12 m^{2} x y^{2}-4 m x^{2} y^{2}+8 m^{3} x^{2}$\n\[\n=4 m x\\left(3 m y^{2}-x \\boldsymbol{y}^{2}+2 m^{2} x\\right)\n\]

2 x^{2}-6 x+4

（2）Aに入れる3人を選ぶ方法は C_9^3通り Bに入れる3人を，残りの6人から選ぶ方法は C_6^3通り Cには残りの3人を入れればよい。 よって，分け方の総数は

3 x^{2}-5 x+1 を平方完成してください。

19 (1) \\( (x+y-1)\left(x^{2}-x y+y^{2}+x+y+1\\right) \\ (2) \\( (x-2 y-z)\left(x^{2}+4 y^{2}+z^{2}+2 x y-2 y z+z x\\right) \\

次の多項式の同類項をまとめて整理せよ。また, [ ] 内の文字に着目したとき, その次数と定数 (1) 項をいえ。(1) $5 y-4 z+8 x^{2}+5 z-3 x^{2}-6 y+x \quad[x]$(2) $p^{3} q+p q^{2}-2 p^{2}-q^{3}-3 p^{3} q+4 q^{3}+5 \quad[p$ と $q]$, [ $\left.q\right]$

次の式を展開せよ。 (4) \((3 x+y)^{3}\)

次の式を因数分解せよ。\n(1) \( (a+b) x-(a+b) y \)\n(2) \( (a-b)^{2}+c(b-a) \)\n(3) $2 x^{3}-12 x^{2}+18 x$\n(4) $x^{2}-3 x-40$\n(5) $x^{2}+7 x y-30 y^{2}$

次の式を展開せよ。\n(1) \( \\left(-2 x^{2} y\\right)^{2}(2 x-3 y) \)\n(2) \( (3 x-y)\\left(x^{2}+x y+y^{2}\\right) \)\n(3) \( \\left(3 x+x^{3}-1\\right)\\left(2 x^{2}-x-6\\right) \)

(1) \( 3(a+b)(b+c)(c+a) \)\n(2) \( (a b+a+b-1)(a b-a-b-1) \)

次の式を因数分解せよ。(2) $2x^{2}+5xy+2y^{2}-3y-2$

55\n(1)\n\\[\n\\begin{array}{l}\ny=2 x^{2}-3 x+5 \\\n\\left(y=2\\left(x-\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8}\\right)\n\\end{array}\n\\]\n(2)\n\\[\n\\begin{array}{l}\ny=-2 x^{2}-3 x-5 \\\n\\left(y=-2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}-\\frac{31}{8}\\right)\n\\end{array}\n\\]\n(3)\n\\[\n\\begin{array}{l}\ny=2 x^{2}+3 x+5 \\\n\\left(y=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8}\\right)\n\\end{array}\n\\]

(3) $x + 1 \geqq 0$ すなわち $x \geqq -1$ のとき\n\[\n\begin{aligned}\ny & =(x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2 \\\& = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}\n\end{aligned}\n\] $x + 1 < 0$ すなわち $x < -1$ のとき\n\[\n\begin{aligned}\ny & = -(x + 1)(x - 2) \\\& = -x^2 + x + 2 \\\& = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}\n\end{aligned}\n\]

次の式を展開せよ。 (1) (2 a+3 b)^{2}(2 a-3 b)^{2} (2) \left(x^{2}+4\right)(x-2)(x+2) (3) (a+1)^{2}\left(a^{2}-a+1\right)^{2}

次の式を計算せよ。\n(4) \n\\[\n\\begin{aligned}\n& (a-b+c)^{2}(a+b-c)^{2} \n= & {[\\{a-(b-c)\\}\\{a+(b-c)\\}]^{2} } \n= & \\left\\{a^{2}-(b-c)^{2}\\right\\}^{2} \n= & a^{4}-2 a^{2}(b-c)^{2}+\\left\\{(b-c)^{2}\\right\\}^{2} \n= & a^{4}-2 a^{2}\\left(b^{2}-2 b c+c^{2}\\right)+\\left(b^{2}-2 b c+c^{2}\\right)^{2} \n= & a^{4}-2 a^{2} b^{2}+4 a^{2} b c-2 a^{2} c^{2} \n& +b^{4}+4 b^{2} c^{2}+c^{4}-4 b^{3} c-4 b c^{3}+2 b^{2} c^{2} \n= & a^{4}-2 a^{2} b^{2}+4 a^{2} b c-2 a^{2} c^{2}+b^{4}-4 b^{3} c+6 b^{2} c^{2}-4 b c^{3}+c^{4}\n\\end{aligned}\n\\]

次の式を因数分解せよ。\n(1) \( (a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3} \) [愛知学泉大]\n(2) \( \\left(a^{2}-1\\right)\\left(b^{2}-1\\right)-4 a b \) [岐阜女子大]

[重要例題 18 (2)]\n\( (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24 \) を因数分解せよ。

次の式を因数分解せよ。 (3) $a^{3} b-a b^{3}+b^{3} c-b c^{3}+c^{3} a-c a^{3}$

したがって, 求める順列の数は \[ \begin{aligned} 10080- & 24 \times(30+30+30+20) \\ & =10080-24 \times 110=10080-2640 \\ & =7440 \text { (通り) } \end{aligned} \] inf. [1]〜[4]は、例えば次のような並べ方がある。 [1] (A) \( \mathrm{A}(\mathrm{O}) \mathrm{A} \) [2] (Y) AA (C) $3$ (Y) (B) \( \mathrm{A}) \mathrm{A} \) [4] (Y) 00 (K) (M) $\hookleftarrow($ 少なくとも一方を含む) $=$ (全体) -(両方とも含まない)

10\n(1) \( (x-3)(3 x-1) \)\n(2) \( (x+1)(3 x+2) \)\n(3) \( (a+2)(3 a-1) \)\n(4) \( (a-3)(4 a+5) \)\n(5) \( (2 p+3 q)(3 p-q) \)\n(6) \( (a x-b)(b x+a) \)

次の式を因数分解せよ。\n(1) x^{3}+3xy+y^{3}-1

（1）異なる 7 個の宝石で腕輪を作るとき，何種類の腕輪ができるか。\n（2） 6 人から 4 人を選んで円卓に座らせる方法は何通りあるか。

5 (1) $27 x^{3}+27 x^{2} y+9 x y^{2}+y^{3}$\n(2) $-m^{3}+6 m^{2} n-12 m n^{2}+8 n^{3}$\n(3) $64 x^{3}+27 y^{3}$\n(4) $27 a^{3}-b^{3}$

多項式の整理

次の式を計算せよ。\n\n(6) \n\\[\n\\begin{aligned}\n& (2 x+1)(x+2)(2 x-1)(x-2) \n= & (2 x+1)(2 x-1) \\times(x+2)(x-2) \n= & \\left(4 x^{2}-1\\right)\\left(x^{2}-4\\right) \n= & 4 x^{4}-17 x^{2}+4\n\\end{aligned}\n\\]

次の実数の部分集合に関する問いに答えよ。\n(1) 2 つの集合 A = {3, 5, a^2+5a+13}, B = {a-1, a+2, |a|, a^2+2a+4} について, A ∩ B = {3, 7} であるように, a の値を定め, A ∪ B を求めよ。\n(2) A = {x | |x| < 2}, B = {x | |x-a| < 3} とする。A ∩ B = A となるための a に関する条件を求めよ。\n(3) C = {x | x ≤ b, x は整数} のとき, (2)の A に対して ¬A ∩ C の要素の個数が 4 個であるように, b の値の範囲を定めよ。

(x-1)(x-2)=0 を解くと

次の式を因数分解せよ。(3) $2x^{2}-3xy+y^{2}+7x-5y+6$

次の式を因数分解せよ。(1) (x+y)^{2}-4(x+y)+3 (2) 9 a^{2}-b^{2}-4 b c-4 c^{2} (3) (x+y+z)(x+3 y+z)-8 y^{2} (4) (x-y)^{3}+(y-z)^{3}

次の式を, x について降べきの順に整理せよ。 (1) x² - 2x³ - 3x + 5 (2) 3xy - x² + y² -2x - y + 6

7 (1) $16 a^{4}-72 a^{2} b^{2}+81 b^{4}$\n(2) $x^{4}-16$\n(3) $a^{6}+2 a^{3}+1$

次の式を因数分解せよ。\n(1) $2x^{2} - xy - y^{2} - x + y$ [常葉学園大]\n(2) $3x^{2} + y^{2} + 4xy - 7x - y - 6$ [北海道薬大]\n(3) $3x^{2} + 5xy - 2y^{2} - x + 5y - 2$ [京都産大]\n(4) $x^{2} - 2y^{2} - z^{2} + 3yz - xy$ [広島女学院大]

次の式を展開せよ。 (5) \((-m+2 n)^{3}\)

次の式を因数分解せよ。\n(1) $2 x^{3}+16 y^{3}$\n(2) \( (x+1)^{3}-27 \)

次の式を展開せよ。 (4) \((3 a-b)(9 a^{2}+3 a b+b^{2})\)

次の式を因数分解せよ。 (1) 6a^2b - 8ab (2) 12m^2xy^2 - 4mx^2y^2 + 8m^3x^2

2 (1) \ -18 a^{10} b^{9} \ (2) \ x^{5}-2 x^{4}+3 x^{3}-5 x^{2}+8 x-6 \ (3) \ 18 x^{2}-9 x y-14 y^{2} \ (4) \ -8 a^{3}+27 \ (5) \ 4 a^{2}-b^{2}-c^{2}+2 b c \ (6) \ 2 x^{4}-12 x^{3}+25 x^{2}-21 x-30 \ 3 x^{4} の係数は -9 x^{3} の係数は 25

\\( (2 x+3 y+z)(x+2 y+3 z)(3 x+y+2 z) \\) を展開したときの $x y z$ の係数を求めよ。(立教大)

2 x^{2}-5 x+4

(例) 4) xy - 3x - 2y + 3 = 0 (x - 2)(y - 3) - 6 + 3 = 0 から (x-2)(y-3) = 3

次のように与えられた文字列の順列の総数を求める問題です。 (ア) 2 個の同じ文字 e の位置の定め方は，8個の場所から 2 個の場所を選ぶ方法の数で、次に 2 個の同じ文字 n の位置の定め方を、最後に 2 個の同じ文字 t の位置の定め方と、残った 2 個の場所に異なる 2 個の文字 i, r を並べた場合の総数を求めます。 (イ) 4 個の ○, 2 個の n, 1 個の i, 1 個の r を1列に並べた場合の順列の総数を求めます。

76 \quad y=\frac{1}{3}(x+1)(x-5)\n\( \left(y=\frac{1}{3} x^{2}-\frac{4}{3} x-\frac{5}{3}\right) \)

10 \u3000 809 11 (1) \\( 2(x+2 y)\\left(x^{2}-2 x y+4 y^{2}\\right) \\) (2) \\( (x-2)\\left(x^{2}+5 x+13\\right) \\)

- { 1 }/{ 3 } x^{2}+2 x+1 を平方完成してください。

16 (1) \( (x+2 y)(x-2 y)\left(4 x^{2}+y^{2}\right) \)\n(2) \( 3\left(4 x^{2}+9\right)(2 x+3)(2 x-3) \)\n(3) \( (x+2)\left(x^{2}-2 x+4\right) \) \(\times(2 x-1)\left(4 x^{2}+2 x+1\right)\)\n(4) \( \left(x^{2}+2 x+2\right)\left(x^{2}-2 x+2\right) \)\n(5) \( \left(x^{2}+3 x y+y^{2}\right)\left(x^{2}-3 x y+y^{2}\right) \)

6. 次式の展開の公式 立方の和 (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 差の立方 (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 立方の和 (a+b)(a²-ab+b²) = a³ + b³ 立方の差 (a-b)(a²+ab+b²) = a³ - b³

4 (1) $4 x^{2}+12 x y+9 y^{2}$\n(2) $9 a^{2}-24 a b+16 b^{2}$\n(3) $x^{2}-4 y^{2}$\n(4) $t^{2}-2 t-15$\n(5) $2 a^{2}-a b-15 b^{2}$\n(6) $12 x^{2}-x y-20 y^{2}$\n(7) $16 q^{2}-9 p^{2}$

(3) $a(a^{2}+b^{2})-c(b^{2}+c^{2})$ を因数分解せよ。

積 (a+b+c+d)(p+q+r)(x+y) を展開すると，項は何個できるか。

次の式を計算せよ。\n(1)\n(1)\n(2) \n\\[\n\\begin{aligned}\n& (x+1)(x-1)(x-2)(x-4) \n= & (x+1)(x-4) \\times(x-1)(x-2) \n= & \\left\\{\\left(x^{2}-3 x\\right)-4\\right\\}\\left\\{\\left(x^{2}-3 x\\right)+2\\right\\} \n= & \\left(x^{2}-3 x\\right)^{2}-2\\left(x^{2}-3 x\\right)-8 \n= & x^{4}-6 x^{3}+9 x^{2}-2 x^{2}+6 x-8 \n= & x^{4}-6 x^{3}+7 x^{2}+6 x-8\n\\end{aligned}\n\\]

14-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

多項式の積の展開は, 分配法則を繰り返し利用すれば, 複雑な式でも必ず展開すること ができる。しかし，因数分解は手順を考えずに計算を進めていくと行き詰まってしまう ことも多い。ここでは, 因数分解の手順の見つけ方を優先度の高い順にまとめてみた。これらを意識 しながら因数分解を考えるとよい。 （1）共通因数をくくり出す。すべての項に共通な因数があれば，まず最初にくくり出す。 例: 6a²b - 8ab = 2ab(3a - 4) (2) 項の組み合わせの工夫によって共通因数が作り出せるかを考える。 例: (a - b)² + c(b - a) = (a - b)² - c(a - b) = (a - b)(a - b - c) (3) まとめて置き換えて公式を適用する。 例: a - b = A, c + d = B とおくと (a - b)² - (c + d)² = A² - B² = (A - B)(A + B) (4)最低次数のひとつの文字について整理。2つ以上の文字を含む複雑な式ではこの方針が有効。例: yについて整理すると共通因数 (x + 1) が現れる。x² + xy + 2x + y + 1 = (x + 1)y + (x² + 2x + 1) = (x + 1)y + (x + 1)² (5)「たすき掛け」が必要な場合も多い。 例: x² + xy - 2y² + 4x + 5y + 3 = x² + (y + 4)x - (y - 3)(2y + 1) (6)置換でうまくいかない複2次式は、()² - ()²の形に。 例: x⁴ + x² + 1 = (x⁴ + 2x² + 1) - x² = (x² + 1)² - x² 最後に、カッコの中はこれ以上因数分解ができないか確認。

4 (1) (ア) $x^{4} \\cdot x^{5}=x^{4+5}=x^{9}$\n(1) \( \\left(a^{3}\\right)^{2}=a^{3 \\times 2}=a^{6} \)\n(ウ)\n\[\n\\begin{aligned}\n& \\left(-2 x y^{2}\\right)^{3} \\\n= & (-2)^{3} x^{3}\\left(y^{2}\\right)^{3} \\\n= & -8 x^{3} y^{2 \\times 3} \\\n= & -8 x^{3} y^{6} \\\n= & (-a b)^{2}\\left(-2 a^{3} b\\right) \\\n= & 1 \\cdot(-2) a^{2+3} \\cdot b^{2+1} \\\n= & -2 a^{5} b^{3}\n\\end{aligned}\n\]

52 y = x² + 5x + 3 (y = (x + 5/2)² - 13/4)

A=5x³ -2x² +3x +4, B=3x³ -5x² +3 であるとき, 次の計算をせよ。 (1) A+B (2) A-B

-2 x^{2}+10 x-7 を平方完成してください。

次の式を因数分解せよ。 (1) $x^{4}+x^{2}+1$ (2) $a^{6}-b^{6}$

ガラスでできた玉で, 赤色のものが 6 個, 黒色のものが 2 個, 透明なものが 1 個ある。玉には，中心を通って穴が開いているとする。（1）これらを 1 列に並べる方法は何通りあるか。（2）これらを円形に並べる方法は何通りあるか。（3）これらの玉に糸を通して首輪を作る方法は何通りあるか。

15 (a+b)(a+b+c)^2

次の式を因数分解せよ。(1) $x^{2}+3xy+2y^{2}+2x+3y+1$

(2 x+3)(x-4)=0 を解くと

(3) \( \\left(3 x+x^{3}-1\\right)\\left(2 x^{2}-x-6\\right) \)

数式を簡単にしてください。 (1) (a-b+c-d)(a+b-c-d)

次の式を因数分解せよ。\n(1) $2 x^{2}-7 x+3$\n(2) $6 x^{2}-x y-12 y^{2}$\n(3) \( 3 a x^{2}+\left(6-a^{2}\right) x-2 a \)

15 (1) \( (x+y+1)(x+2 y+1) \)\n(2) \( (x+2 y+1)(2 x+y-2) \)\n(3) \( (x-y+2)(2 x-y+3) \)\n(4) \( (x-2 y-1)(2 x+y-3) \)

(1) 2 x^{2}-3 x+1

3つの集合についての共通部分, 和集合\n共通部分 $A \cap B \cap C \quad A, B, C$ のどれにも属する要素全体の集合。\n和集合 $A \cup B \cup C A, B, C$ の少なくとも1つに属する要素全体の集合。\n3 つの集合に関する性質\n(1)\n\\[\n\\begin{aligned}\nn(A \cup B \cup C)= & n(A)+n(B)+n(C) \\\\\n& -n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(C \cap A)+n(A \cap B \cap C)\n\\end{aligned}\n\\]\n(個数定理の拡張)\n(2) $\\overline{A \cup B \cup C}=\\bar{A} \\cap \\bar{B} \\cap \\bar{C}, \\overline{A \cap B \cap C}=\\bar{A} \\cup \\bar{B} \\cup \\bar{C}$\n(ド・モルガンの法則の拡張)

赤玉 6 個, 黒玉 2 個, 透明な玉 1 個の円順列の 28 通りすべての並べ方を求めなさい。

\( (2 x+3 y+z)(x+2 y+3 z)(3 x+y+2 z) \) を展開したときの $x y z$ の係数を求めよ。

21 (1) $a^{2}-2 a$\n(2) $-a^{2}$\n(3) $a^{2}$

(例) 3) x^2 - 2 xy + 2 y^2 = 13 (x > 0, y > 0) の場合 (x-y)^2 + y^2 = 13 から (x-y)^2 = 13 - y^2 ≥ 0 よって y^2 ≤ 13 から y = 1,2,3

次の表式を因数分解せよ。\n\nx^3 - 8y^3 - z^3 - 6xyz

次の式を因数分解せよ。(1) 3x²-10x+3 (2) 3x²+5x+2 (3) 3a²+5a-2 (4) 4a²-7a-15 (5) 6p²+7pq-3q² (6) abx²+(a²-b²)x−ab

次の式を展開せよ。 (1) (x+2 y)^{2}(x-2 y)^{2} (2) \left(x^{2}+y^{2}\right)(x+y)(x-y) (3) (a-b)^{2}\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)^{2}

合同式の利用 (1)

数式を簡単にしてください。 (3) (x-1)\left(x^{4}+1\right)\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)

11 人の生徒の中から 5 人の委員を次のように選ぶ方法は何通りあるか。 ②3 (1) 2 人の生徒 A，Bがともに含まれるように選ぶ。 （2）生徒 A またはBの少なくとも1人が含まれるように選ぶ。

関数 $y=x^{4}-8 x^{2}+1$ の最大値, 最小値を求めよ。

(5) 次の式を展開せよ。\( (x+y+z)(x-y-z) \)

次の式を因数分解せよ。\n[(4) 旭川大]\n(1) a^{2} b+a b^{2}+a+b-a b-1\n(2) x^{2}(y-1)+y^{2}(1-x)+x-y\n(3) a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)\n(4) a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)+2 a b c

次の式を因数分解せよ。[(1) 近畿大]\n(1) \(\left(x^{2}+x-1\right)\left(x^{2}+x-5\right)+3\)\n(2) $x^{4}+x^{2}-2$\n(3) $4 a^{4}-17 a^{2} b^{2}+4 b^{4}$

1 (1) 係数 2 , 次数 4\n$x$ に着目すると, 係数 $2 a b$, 次数 2\n(2) 係数 -6 , 次数 4\n$y$ と $z$ に着目すると, 係数 $-6 x$, 次数 3\n（3）係数 -1 , 次数 5\n$a$ と $c$ に着目すると, 係数 $-b$, 次数 4

次の式を展開せよ。\n(1) \( (2 x+3)^{3} \)\n(2) \( (3 x-2 y)^{3} \)\n(3) \( (x+3)\left(x^{2}-3 x+9\right) \)\n(4) \( (2 a-1)\left(4 a^{2}+2 a+1\right) \)

PRACTICE 12次の式を因数分解せよ。 (1) \( (x+y)^{2}-4(x+y)+3 \) (2) $9 a^{2}-b^{2}-4 b c-4 c^{2}$ (3) \( (x+y+z)(x+3 y+z)-8 y^{2} \) (4) \( (x-y)^{3}+(y-z)^{3} \)

方べきの定理

(2) $a^{3}-6 a^{2}+5 a+1$

2つの文字 $a, b$ にいての式で, 文字 $a$ と $b$ を入れ替えても, もとの式と同じ式 になるものを, $a$ とbの対称式という。同様に, $a, b, c$ についての式で, どの ２つの文字を入れ替えても，もとの式と同じ式になるものを， $a, b, c$ の対称式と言う。

数式を簡単にしてください。 (2) \left(x^{2}+x y+y^{2}\right)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)\left(x^{4}-x^{2} y^{2}+y^{4}\right)

次の式を展開せよ。\n(1) (2 x+3 y)^2\n(2) (3 a-4 b)^2\n(3) (x+2 y)(x-2 y)\n(4) (t+3)(t-5)

6 (1)\n\[\n\\begin{aligned}\nx^{2}-14 x+49 & =x^{2}-2 \\cdot x \\cdot 7+7^{2} \\\\\n& =(x-7)^{2}\n\\end{aligned}\n\]\n(2) \( a^{2}+12 a b+36 b^{2}=a^{2}+2 \\cdot a \\cdot 6 b+(6 b)^{2} \)\n\[\n=(a+6 b)^{2}\n\]\n(3) \( 25 a^{2}-81=(5 a)^{2}-9^{2} \)\n\[\n=(5 a+9)(5 a-9)\n\]\n(4)\n\[\n\\begin{aligned}\n9 x^{2}-64 y^{2} & =(3 x)^{2}-(8 y)^{2} \\\\\n& =(3 \\boldsymbol{x}+8 \\boldsymbol{y})(3 \\boldsymbol{x}-8 \\boldsymbol{y})\n\\end{aligned}\n\]\n(5)\n\[\n\\text { 5) } \\begin{aligned}\n& 25 x^{2}+40 x y+16 y^{2} \\\\\n= & (5 x)^{2}+2 \\cdot 5 x \\cdot 4 y+(4 y)^{2} \\\\\n= & (5 x+4 y)^{2}\n\\end{aligned}\n\]\n(6)\n\[\n\\text { (6) } \\begin{aligned}\n& 9 a^{2}-42 a b+49 b^{2} \\\\\n= & (3 a)^{2}-2 \\cdot 3 a \\cdot 7 b+(7 b)^{2} \\\\\n= & (3 a-7 b)^{2}\n\\end{aligned}\n\]\n(7)\n\[\n\\begin{aligned}\nx^{2}+5 x+6 & =x^{2}+(2+3) x+2 \\cdot 3 \\\\\nx^{2}-7 x+12 & =x^{2}+(-3-4) x+(-3) \\cdot(-4) \\\\\n& =(x-3)(x-4)\n\\end{aligned}\n\]\n(8)\n\[\n\\begin{aligned}\nx^{2}-7 x+12 & =x^{2}+(-3-4) x+(-3) \\cdot(-4) \\\\\n& =(x-3)(x-4)\n\\end{aligned}\n\]

23 次の式を \( y=a(x-p)^{2}+q \) の形に変形 (平方完成)せよ。\n(1) $y=x^{2}-4 x+3$\n(2) $y=3 x^{2}+6 x-1$\n(3) $y=2 x^{2}-3 x+2$

次の式を因数分解せよ。 (1) \( (a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3} \) (2) \( \left(a^{2}-1\right)\left(b^{2}-1\right)-4 a b \)

次の式を因数分解せよ。 (1) x^2 - 14x + 49 (2) a^2 + 12ab + 36b^2 (3) 25a^2 - 81 (4) 9x^2 - 64y^2 (5) 25x^2 + 40xy + 16y^2 (6) 9a^2 - 42ab + 49b^2 (7) x^2 + 5x + 6 (8) x^2 - 7x + 12

12 (1) \\( (x-y)(2 x+y-1) \\) (2) \\( (x+y-3)(3 x+y+2) \\) (3) \\( (x+2 y-1)(3 x-y+2) \\) (4) \\( (x+y-z)(x-2 y+z) \\)

(2) $8x^{3}+12x^{2}y+4xy^{2}+6x^{2}+9xy+3y^{2}$ を因数分解せよ。

解答 (1) 4 本で囲まれる長方形は, 縦，横 2 本ずつの直線の組合せでできるから, 求める個数は \({}_{5}\mathrm{C}_{2} \times {}_{5}\mathrm{C}_{2}=\left(\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1}\right)^{2}=10^{2}=100 \\text{(個)}\)

8 (1) \\( (a+b)(a-b)(x+1)(x-1) \\) (2) \\( (x+2)(x-42) \\) (3) \\( (2 x-3)(4 x-1) \\) (4) \\( (3 a b-7)(6 a b+1) \\) (5) \\( (a x-b)(b x-a) \\)

（1）0，1，2，3，4，5の6種類の数字を用いて4桁以下の正の整数は何個作れるか。 ただし，同じ数字を繰り返し用いてもよい。 （2）9人を，区別をしない2つの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし，それぞれの部屋には少なくとも1人は入れるものとする。

（1） A市と B市の間に 5 つの別々のバス路線がある。次のとき, A市と B市を往復する方法は何通りあるか。\n(ア) 往復で同じバス路線を利用しないとき\n(イ) 往復で同じバス路線を利用してもよいとき\n（2）積（ \( a+b+c+d)(p+q+r)(x+y) \) を展開すると，項は何個できるか。

白玉が 4 個, 黒玉が 3 個, 赤玉が 1 個あるとする。これらを 1 列に並べる方法は $\\square$ 通り，円形に並べる方法は $\\square$ 通りある。更に，これらの玉にひもを通し，輪を作る方法は $\\square$ 通りある。

次の式を因数分解せよ。[(2) 専修大]\n(1) \( \left(x^{2}-5 x\right)^{2}+8\left(x^{2}-5 x\right)+16 \)\n(2) \( \left(x^{2}-2 x-16\right)\left(x^{2}-2 x-14\right)+1 \)\n(3) $x^{4}-2 x^{2}-8$\n(4) $x^{4}-10 x^{2} y^{2}+9 y^{4}$\n(5) $16 a^{4}-b^{4}$

次の式を因数分解せよ。\n(1) $8 x^{3}+27 y^{3}$\n(2) $64 x^{3}-1$\n(3) $54 x^{3}+16$

(2) (x + y + z)^{5} の展開式の異なる項の数を求めよ。

式の展開 (2 次式の展開の公式利用)

-EXERCISES の解答 1 (1) \ -x^{2}+5 x-1 \ (2) \ -3 x^{2}+3 x y-4 y^{2} \

(4) $-3x^{3}+(9y+z)x^{2}-3y(z+2y)x+2y^{2}z$ を因数分解せよ。

次の式を計算せよ。\n(3) \n\\[\n\\begin{aligned}\n& (x-y)^{2}(x+y)^{2}\\left(x^{2}+y^{2}\\right)^{2} \n= & \\left\\{(x-y)(x+y)\\left(x^{2}+y^{2}\\right)\\right\\}^{2} \n= & \\left\\{\\left(x^{2}-y^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}\\right)\\right\\}^{2} \n= & \\left(x^{4}-y^{4}\\right)^{2} \n= & \\boldsymbol{x}^{8}-2 \\boldsymbol{x}^{4} \\boldsymbol{y}^{4}+\\boldsymbol{y}^{8}\n\\end{aligned}\n\\]

(2) 2 x^{2}-4 x+2=2\left(x^{2}-2 x+1\right)

次の式を因数分解せよ。\n(1) $2 x^{2}-x y-y^{2}-x+y$ [常葉学園大]\n(2) $3 x^{2}+y^{2}+4 x y-7 x-y-6$ [北海道薬大]\n(3) $3 x^{2}+5 x y-2 y^{2}-x+5 y-2$ [京都産大]\n(4) $x^{2}-2 y^{2}-z^{2}+3 y z-x y$ [広島女学院大]

次の式を因数分解せよ。\n(1) \( \\left(a^{2}-b^{2}\\right) x^{2}+b^{2}-a^{2} \)\n(2) $x^{2}-40 x-84$\n(3) $8 x^{2}-14 x+3$\n(4) $18 a^{2} b^{2}-39 a b-7$\n(5) \( a b x^{2}-\\left(a^{2}+b^{2}\\right) x+a b \)

数や文字およびそれらを掛け合わせた式を何というか。

5. 2 次式の展開の公式 和の平方 (a+b)² = a² + 2ab + b² 差の平方 (a-b)² = a² - 2ab + b² 和と差の積 (a+b)(a-b) = a² - b² 1 次式の積 (1) (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab 1 次式の積 (2) (a x+b)(c x+d) = a c x² + (a d+b c)x + b d

次の式を因数分解せよ。\n[(2) 鹿児島経大]\n(1) a(b+c)^{2}+b(c+a)^{2}+c(a+b)^{2}-4 a b c\n(2) x\left(y^{2}-z^{2}\right)+y\left(z^{2}-x^{2}\right)+z\left(x^{2}-y^{2}\right)

次の式を展開せよ。 (1) (2 x+y)^{2}+(2 x-y)^{2} (2) (2 x+y)^{2}-(2 x-y)^{2} (3) (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} (4) (a+b)^{3}-(a-b)^{3}

次の式を展開せよ。 (1) \((x-y+z)^{2}\)

(3) \\( \\left(x^{2}+2 x+1\\right)-a^{2} \\)

(2) \\( 2(x-3)^{2}+(x-3)-3 \\)

次の式を因数分解せよ。\n(1) \( \left(x^{2}+3 x\right)^{2}-2\left(x^{2}+3 x\right)-8 \)\n(2) \( \left(x^{2}+5 x\right)\left(x^{2}+5 x-20\right)-96 \)\n(3) \( (x-1) x(x+1)(x+2)-24 \)

ある定数 $a$ とし, $x$ の関数 \( f(x)=(1+2 a)(1-x)+(2-a) x \) を考える。 \( f(x)=(-\) $\square a+$ $\sqrt a +$ \( \square )x+2a+1 \) であるから， $0 \leqq x \leqq 1$ における最小値 \( m(a) \) は次のようになる。 \n$a < \frac{ 1 }{ P}$\nのとき\( m(a) = \) U $ダ$ \n, $a \frac { 1} {P}$ のとき \( m(a) = \) B $メ$

次の式を展開せよ。\n(1) (3 a-b+2)(3 a-b-1)\n(2) (x-2 y+3 z)^{2}\n(3) (a+b-3 c)(a-b+3 c)\n(4) \left(x^{2}+2 x+2\right)\left(x^{2}-2 x+2\right)

次の式を因数分解せよ。\n(1) $a^{2} b+b^{2} c-b^{3}-a^{2} c$\n(2) $1+2 a b+a+2 b$

次の式を因数分解せよ。\n(1) $a^{4}-b^{4}$\n(2) $x^{4}-13 x^{2}+36$

次の式を因数分解せよ。\n（1） $x^{4}-81$\n（2） $16 a^{4}-b^{4}$\n（3） $x^{4}-5 x^{2}+4$\n（4） $4 x^{4}-15 x^{2} y^{2}-4 y^{4}$

式 B=2x^2-2xy+y^2 を加えるところを、誤って式 B を引いてしまったので、間違った答え x^2+xy+y^2 を得た。正しい答えを求めよ。

多項式の積は，分配法則を用いて計算する。\n例: \n\\((x+2)(x+5)\\)

第 1 章 式の計算: 3 因数分解

放物線 $y=x^{2}+a x+b$ を原点に関して対称移動し，さらに $x$ 軸方向に 3 , $y$ 軸方向に 6 だけ平行移動すると, 放物線 $y=-x^{2}+4 x-7$ が得られるという。このとき, $a=$ い $\square, b=1 \square$ となる。

x(x-1)(x+3)(x+4)を展開せよ。

次の式を因数分解せよ。(1) $2 x^{2}+7 x+6$(2) $6 x^{2}+5 x-6$

次の式を展開せよ。 (1) \( (2 a+b)^{2}(2 a-b)^{2} \) (2) \( \left(x^{2}+9\right)(x+3)(x-3) \) (3) \( (x-y)^{2}(x+y)^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \)

次の式を因数分解せよ。\n(1) $x^{2} y - x y^{2}$\n(2) $6 a^{2} b - 9 a b^{2} + 3 a b$\n(3) \( (a + b) x - (a + b) y \)\n(4) \( (a - b)^{2} + c(b - a) \)

次の式を展開せよ。 (1) (3 a+1)^{2}(3 a-1)^{2} (2) \left(4 x^{2}+y^{2}\right)(2 x+y)(2 x-y)

次の式を因数分解せよ。\n(1) $a b+a+b+1$\n(2) $x^{2}+x y+2 x+y+1$\n(3) $2 a b^{2}-3 a b-2 a+b-2$\n(4) \( x^{3}+(a-2) x^{2}-(2 a+3) x-3 a \)

次の式を因数分解せよ。\n(1) $x^{4}+5 x^{2}+9$\n(2) $x^{4}-12 x^{2} y^{2}+16 y^{4}$

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)を展開せよ。

次の式を因数分解せよ。\n(1) \\( (x+y)^{2}-10(x+y)+25 \\)\n(2) \\( 2(x-3)^{2}+(x-3)-3 \\)\n(3) \\( \\left(x^{2}+2 x+1\\right)-a^{2} \\)\n(4) \ 4 x^{2}-y^{2}+6 y-9 \

次の式を因数分解せよ。(1) $6 x^{2}+13 x+6$(2) $3 a^{2}-11 a+6$(3) $12 x^{2}+5 x-2$(4) $6 x^{2}-5 x-4$(5) $4 x^{2}-4 x-15$(6) $6 a^{2}+17 a b+12 b^{2}$(7) $6 x^{2}+5 x y-21 y^{2}$(8) $12 x^{2}-8 x y-15 y^{2}$(9) $4 x^{2}-3 x y-27 y^{2}$

因数分解の基本を振り返ろう！\n多くの文字を含む式の因数分解では, 次数が最低の文字について整理しましょう。\n\n方程式：\[ x^{2}+3 x y+2 y^{2}-5 x-7 y+6=x^{2}+(3 y-5) x+\left(2 y^{2}-7 y+6\right) \]\n\nこの方程式を因数分解しなさい。

次の式を因数分解せよ。 (1) x^3 + 2x^2 y - x^2 z + xy^2 - 2xyz - y^2 z (2) x^3 + 3x^2 y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2

次の式を因数分解せよ。\n(1) x^{2}+8 x+15\n(2) x^{2}-13 x+36\n(3) x^{2}+2 x-24\n(4) x^{2}-4 x y-12 y^{2}

次の式を因数分解せよ。\n(1) \( \left(x^{2}+2 x\right)^{2}-2\left(x^{2}+2 x\right)-3 \)\n(2) \( \left(x^{2}+x-2\right)\left(x^{2}+x-12\right)-144 \)\n(3) \( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3 \)

次の式を因数分解せよ。\n(1) $8 x^{3}+1$\n(2) $64 a^{3}-125 b^{3}$\n(3) $108 a^{3}-4 b^{3}$

（1）多項式 $1+2 x+3 x^{4}-x^{2}$ は何次式か。

第 1 章 式の計算: 2 多項式の乗法

次の式を因数分解せよ。 [10 〜 12] 10 (1) 125a^3+64b^3 (2) 27x^4-8xy^3z^3 (3) x^3+2x^2-9x-18 (4) 8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3 (5) x^3+x^2+3xy-27y^3+9y^2

（2） $a^{4}+3 a^{2} b+2 a b^{2}-1$ は次の文字に着目すると何次式か。また，そのときの定数項は何か。\n(ア) $a$\n(イ) $b$\n(ウ) $a$ と $b$

TRAINING 8 (1)次の式を展開せよ。 (1) \( (3 a+2)^{2} \) (2) \( (5 x-2 y)^{2} \) (3) \( (4 x+3)(4 x-3) \) (4) \( (-2 b-a)(a-2 b) \) (5) \( (x+6)(x+7) \) (6) \( (2 t-3)(2 t-5) \) (7) \( (4 x+1)(3 x-2) \) (8) \( (2 a+3 b)(3 a+5 b) \) (9) \( (7 x-3)(-2 x+3) \)

次の式を，(1), (2)は x について，(3) は a について降べきの順に整理せよ。 (1) -3 x^{2}+12 x-17+10 x^{2}-8 x (2) -2 a x+x^{2}-a+b x (3) 2 a^{2}-3 b^{2}-8 a b+5 b^{2}-3 a^{2}-6 a b+4 a+2 b-5

次の式を因数分解せよ。\n(1) $2 a b - 3 b c$\n(2) $x^{2} y - 3 x y^{2}$\n(3) $9 a^{3} b + 15 a^{2} b^{2} - 3 a^{2} b$\n(4) \( a(x - 2) - (x - 2) \)\n(5) \( (a - b) x^{2} + (b - a) x y \)

次の式を因数分解せよ。\n(1) \( a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)+2 a b c \)\n(2) \( a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b) \)

$x, y$ についての2 次式の因数分解 次の式を因数分解せよ。 (1) $x^{2}+3 x y+2 y^{2}-5 x-7 y+6$ (2) $2 x^{2}-5 x y-3 y^{2}-x+10 y-3$

次の 2 次式を平方完成せよ。\n(2) $-x^{2}+6 x-2$

次の式を展開せよ。 (1) \( (2 x+1)^{2} \) (2) \( (3 x-2 y)^{2} \) (3) \( (2 x-3 y)(3 y+2 x) \) (4) \( (x-4)(x+2) \) (5) \( (4 x-7)(2 x+5) \)

次の単項式の係数と次数を答えてください: $5ax^2$

8^3(7x^3+12x^2-4x-3)(x^5+3x^3+2x^2-5) の展開式で、x^5 の係数はア、x^3 の係数はイである。

次の式を展開せよ。\n(1) (x-2 y+1)(x-2 y-2)\n(2) (a+b+c)^{2}\n(3) \left(x^{2}+x-1\right)\left(x^{2}-x+1\right)

次の式を因数分解せよ。 (1) $x^{2}+4 x y+3 y^{2}+2 x+4 y+1$ (2) $x^{2}-2 x y+4 x+y^{2}-4 y+3$ (3) $2 x^{2}+3 x y+y^{2}+3 x+y-2$ (4) $3 x^{2}+5 x y-2 y^{2}-x+5 y-2$

次の式を展開せよ。 (1) (\frac{3}{4} x^2 - xy + \frac{9}{2} y^2) \times (-4xy) (2) (-2a + 3b)^2 (3) (2a - 5b)(-5b - 2a) (4) (2x + 3y)(3x - 2y) (5) (6a + 5b)(3a - 2b)

次方程式 基本 86 因数分解を利用した 2 次方程式の解き方

単項式の積は，指数法則を用いて計算する。\n例 $2 a b \times 3 a^{2} b$

TRAINING 15\n次の式を因数分解せよ。\n(1). \\( (x+2)^{2}-5(x+2)-14 \\)\n(2) \\( 16(x+1)^{2}-8(x+1)+1 \\)\n(3) \\( 2(x+y)^{2}-7(x+y)+6 \\)\n(4) \ 4 x^{2}+4 x+1-y^{2} \\n(5) \ 25 x^{2}-a^{2}+8 a-16 \\n(6) \\( (x+y+9)^{2}-81 \\)

次の式を因数分解せよ。\n(1) $a b c+a b+b c+c a+a+b+c+1$\n(2) \( (a+b)(b+c)(c+a)+a b c \)\n(3) \( a(b+c)^{2}+b(c+a)^{2}+c(a+b)^{2}-4 a b c \)

次の式を展開せよ。 (1) (3x-1)^3 (2) (3x^2-a)(9x^4+3ax^2+a^2) (3) (x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) (4) (x+2)(x+4)(x-3)(x-5) (5) (x+1)^3(x-1)^3

次の式を展開せよ。\n(1) \( 12 a^{2} b\left(\frac{a^{2}}{3}-\frac{a b}{6}-\frac{b^{2}}{4}\right) \)\n(2) \( (3 a-4)(2 a-5) \)\n(3) \( \left(3 x+2 x^{2}-4\right)\left(x^{2}-5-3 x\right) \)\n(4) \( \left(x^{3}-3 x^{2}-2 x+1\right)\left(x^{2}-3\right) \)

次の式を因数分解せよ。\n(1) $x^{3}-5 x^{2}-4 x+20$\n(2) \( 8 a^{3}-b^{3}+3 a b(2 a-b) \)\n(3) $8 x^{3}+1+6 x^{2}+3 x$\n(4) $x^{3}-9 x^{2}+27 x-27$

次の展開を求めよ: \((a + b)^2, (a - b)^2, (a + b)(a - b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)\)

次の式を因数分解せよ。\n(1) $x^{2}+2 x+1$\n(2) $4 x^{2}+4 x y+y^{2}$\n(3) $x^{2}-10 x+25$\n(4) $9 a^{2}-12 a b+4 b^{2}$\n(5) $x^{2}-49$\n(6) $8 a^{2}-50$\n(7) $16 x^{2}+24 x y+9 y^{2}$\n(8) $8 a x^{2}-40 a x+50 a$\n(9) $5 a^{3}-20 a b^{2}$

次の式を, x について降べきの順に整理せよ。\n(1) $x^{3}-3 x+2-2 x^{2}$\n(2) $a x-1+a+2 x^{2}+x$\n(3) $3 x^{2}+2 x y+4 y^{2}-x-2 y+1$

次の式を因数分解せよ。\n(1) $x^{3}-3 x^{2}+x-3$\n(2) $x^{3}+6 x^{2}+12 x+8$

(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)を展開せよ。

次の式を因数分解せよ。\n(1) $x^{4}+x^{2}+1$\n(2) $x^{4}+4$

(2) $6 x^{2}-7 x y+2 y^{2}-6 x+5 y-12$ は次の文字に着目すると何次式か。また，そのときの定数項は何か。\n(ア) $x$\n(イ) $y$\n(ウ) $x$ と $y$

次の式を，x について降べきの順に整理せよ。 (1) x^{3}-3 x+2-2 x^{2} (2) a x-1+a+2 x^{2}+x (3) 3 x^{2}+2 x y+4 y^{2}-x-2 y+1

次の式を因数分解せよ。\n(1) $x^{3}+8$\n(2) $27 x^{3}-64$\n(3) $125 a^{3}+27 b^{3}$

(1) \\( (x+y)^{2}-10(x+y)+25 \\)

TRAINING 19 (3)\n次の式を展開せよ。\n(1) \( (x+4)^{3} \)\n(2) \( (3 a-2 b)^{3} \)\n(3) \( (-2 a+b)^{3} \)\n(4) \( (a+3)\left(a^{2}-3 a+9\right) \)\n(5) \( (4 x-3 y)\left(16 x^{2}+12 x y+9 y^{2}\right) \)\n(6) \( (5 a-3 b)\left(25 a^{2}+15 a b+9 b^{2}\right) \)

次の 2 次式を平方完成せよ。\n(1) $x^{2}+10 x+7$\n(2) $-2 x^{2}+12 x-13$\n\n右の指示に従って, 空欄 $\square$ を埋めながら平方完成の仕方を練習しましょう。\n(1)\n\[\n\\begin{aligned}\n& x^{2}+10 x+7 \\\\\n= & \\left(x^{2}+10 x\\right)+7 \\\\\n= & \\left(x^{2}+10 x+\\text { ア } \\square^{2}-\\text { ア } \\square^{2}\\right)+7 \\\\\n= & \\left(x^{2}+10 x+\\text { ア } \\square^{2}\\right)-\\text { ア } \\square^{2}+7 \\\\\n= & (x+\\text { イ } \\square)^{2} \\text {-ウ } \\square\n\\end{aligned}\n\]\n\ \\leftarrow x^{2} \ の係数が 1 のときは, $x^{2}$ と $x$ の項を（ )で まとめる。\n \\leftarrow( \ )の中で「10の半分の 2 乗」を加えて引く。\n \\leftarrow 引 い た \ 分を（）の外に出す。\n \\leftarrow( \ )の中は因数分解し, （）の外は計算する。\n\[\n\\text { (2) } \\begin{aligned}\n& -2 x^{2}+12 x-13 \\\\\n= & -2\\left(x^{2}-\\text { エ } \\square x\\right)-13 \\\\\n= & -2\\left(x^{2}-\\text { エ } \\square x+\\text { オ } \\square^{2}-\\text { オ } \\square^{2}\\right)-13 \\\\\n= & -2\\left(x^{2}-\\text { エ } \\square x+\\text { オ } \\square^{2}\\right)+2 \\times \\text { オ } \\square^{2}-13 \\\\\n= & -2(x \\text {-カ } \\square)^{2}+\\text { キ } \\square\n\\end{aligned}\n\]\n\[\\begin{aligned}\n2 & \\text { 次式 } a x^{2}+b x+c \\text { の平方完成 } \\\\\n& a x^{2}+b x+c \\\\\n= & a\\left(x^{2}+\\frac{b}{a} x\\right)+c \\\\\n= & a\\left\\{x^{2}+\\frac{b}{a} x+\\left(\\frac{b}{2 a}\\right)^{2}-\\left(\\frac{b}{2 a}\\right)^{2}\\right\\}+c \\\\\n= & a\\left\\{x^{2}+\\frac{b}{a} x+\\left(\\frac{b}{2 a}\\right)^{2}\\right\\}-a \\cdot\\left(\\frac{b}{2 a}\\right)^{2}+c \\\\\n= & a\\left(x+\\frac{b}{2 a}\\right)^{2}-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\n\\end{aligned}\n\]\n(1) \x^{2} \ と x \ の項を x^{2} \ の係数でくくる。\n(2) \\{\\} 内で, x \ の係数の半分の 2 乗を加え て,引く。\n(3) で引いた分を\\{ \\}の外に出す。この とき, x^{2} \ の係数を掛け忘れないように。\n(4) 整理して \(a(x-p)^{2}+q \\) の形にする。

因数分解の問題。\n\n次の式を因数分解してください。\n\n1. $x^{2}+4x+3$\n2. $6ab + 3ac$\n3. $a^{2} + 2ab + b^{2}$\n4. $a^{2} - b^{2}$\n5. \(x^{2} + (a+b)x + ab\)\n6. \(acx^{2} + (ad + bc)x + bd\)

次の式を因数分解せよ。\n(1) x^{2}+14 x+24\n(2) a^{2}-17 a+72\n(3) x^{2}+4 x y-32 y^{2}\n(4) x^{2}-6 x-16\n(5) a^{2}+3 a b-18 b^{2}\n(6) x^{2}-7 x y-18 y^{2}

発展学習 発 例 題 基本例題 49 60 集合の要素の決定 2 つの集合 $A=\left\{1,3, \quad x^{2}-x-2\right\}, \quad B=\left\{2, x+1, \quad x^{2}+x-6, x^{3}-x^{2}+x-1\right\}$ に対して, $A \cap B=\{0,3\}$ となるとき, 実数 $x$ の値を求めよ。また，そのとき の $A \cup B$ を求めよ。 [山梨学院大]

次の式を因数分解せよ。\n(1) $a b+a+b+1$\n(2) $x^{2}+x y+2 x+y+1$\n(3) $2 a b^{2}-3 a b-2 a+b-2$\n(4) \( x^{3}+(a-2) x^{2}-(2 a+3) x-3 a \)

次の多項式 $P=3 x^{3}-3 x y^{2}+x^{2}-y^{2}+a x+b y$がある。

(a+b)(a-b) の展開公式を示しなさい。

(10) \( \\left(x^{2}-2 x\\right)^{2}-11\\left(x^{2}-2 x\\right)+24 \)

次の式を計算せよ。 \[\begin{aligned} A+B & =\left(3 a^{2}-a b+2 b^{2}\right)+\left(-2 a^{2}-a b+7 b^{2}\right) \\ & =3 a^{2}-a b+2 b^{2}-2 a^{2}-a b+7 b^{2} \\ & =(3-2) a^{2}+(-1-1) a b+(2+7) b^{2} \\ & =a^{2}-2 a b+9 b^{2} \\ A-B & =\left(3 a^{2}-a b+2 b^{2}\right)-\left(-2 a^{2}-a b+7 b^{2}\right) \\ & =3 a^{2}-a b+2 b^{2}+2 a^{2}+a b-7 b^{2} \\ & =(3+2) a^{2}+(-1+1) a b+(2-7) b^{2} \\ & =5 a^{2}-5 b^{2} \\ & \frac{3 a^{2}-a b+2 b^{2}}{a^{2}-2 a b+9 b^{2}} \quad \frac{-)-2 a^{2}-a b+7 b^{2}}{5 a^{2}-5 b^{2}}-2 b+7 b^{2} \end{aligned}\] —縦書きの計算。 欠けている次数の項は あけておく。

因数分解の公式を用いて以下の式を展開せよ。\n(1) \( (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \)\n(2) \( (a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2} \)\n(3) \( (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} \)\n(4) \( (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b \)\n(5) \( (a x+b)(c x+d)=a c x^{2}+(a d+b c) x+b d \)

(a-b)^{2} の展開公式を示しなさい。

(x+2)(x+5) の積を計算する。

次の式の計算を説明せよ: (a+b)^2 - (a-b)^2

右の図は、3つの都市 \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ を結ぶ道路図である。\ \\mathrm{A} \ からBへは 2 本の道路 p, q \ があり、BからCへは 3 本の道路 x, y, z \ が使える。このとき、都市Bを通って都市Aから都市Cまで移動する方法は何通りあるか。

次の式を因数分解せよ。\n(1) $x^{2}+8 x+16$\n(2) $25 x^{2}+30 x y+9 y^{2}$\n(3) $9 a^{2}-24 a b+16 b^{2}$\n(4) $18 a^{3}-48 a^{2}+32 a$\n(5) $16 a^{2}-81 b^{2}$\n(6) $-3 a^{3}+27 a b^{2}$

第 2 節「多項式の乗法」では，多項式の積の形をした式を展開して，1 つの多項式の形に表す方法を学びました。ここでは, その逆, 1 つの多項式を単項式や多項式の積の形に表す方法 を学んでいきましょう。 一般に, 多項式 P を P=AB, P=ABC など 2 つ以上の多項式の積の形に表すことを，多項式 P を因数分解するといい，積を作っている式 A, B, C などを P の因数という。 例 x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3) であるから, x+1, x+3 は多項式 x^{2}+4x+3 の因数である。

次の式を展開せよ。\n(1) \( (3 a+1)^{2}(3 a-1)^{2} \)\n(2) \( \left(4 x^{2}+y^{2}\right)(2 x+y)(2 x-y) \)

次の式を因数分解せよ。\n(1) $x^{2}+3 x y+2 y^{2}-5 x-7 y+6$\n(2) $2 x^{2}-5 x y-3 y^{2}-x+10 y-3$

3 (1) $7 x^{2} + 4 x - 17$(2) \( x^{2}-(2 a-b) x-a \)(3) \( -a^{2}-2(7 b-2) a+2 b^{2}+2 b-5 \)

次の多項式を降べきの順に整理してください: $-2x + 4x^3 + x^2 - 5$

次の式を展開せよ: x(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)

関数 y=f(x) の グラフを原点に関して対称移動したときのグラフ を表す関数は y=-f(-x) EX a と b は実数とし，関数 f(x)=x^{2}+a x+b の 0 <= x <= 1 における最小値を m とするとき， m を a と b で表せ。

(7) $4 x^{4}-13 x^{2} y^{2}+9 y^{4}$

y=-x^{2}+2 x を変形すると \[\begin{aligned}y & =-\left(x^{2}-2 x\right)=-\left(x^{2}-2 x+1^{2}-1^{2}\right) \\ & =-\left(x^{2}-2 x+1^{2}\right)+1^{2}=-(x-1)^{2}+1\end{aligned}\] よって, 移動前の放物線 y=-x^{2}+2 x の頂点は 点 (1,1) (1) y=-x^{2}+5 x-4 を変形すると \[\begin{aligned}y & =-\left(x^{2}-5 x\right)-4 \\ & =-\left\{x^{2}-5 x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}-\left(\frac{5}{2}\right)^{2}\right\}-4 \\ & =-\left\{x^{2}-5 x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}\right\}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}-4 \\ & =-\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{9}{4}\end{aligned}\] よって, 点 (1,1) が点 \left(\frac{5}{2}, \frac{9}{4}\right) に重なるように移ると，2つ の放物線は重なる。\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}, \frac{9}{4}-1=\frac{5}{4} であるから, x 軸方向に \frac{3}{2}, y 軸方向に \frac{5}{4} だけ平行移動すればよい。

次の式を因数分解せよ。\n(1) $x^{4}+x^{2}+1$\n(2) $x^{4}+4$

次の式を展開せよ: (x+2y)^2(x^2+4y^2)^2(x-2y)^2

次の多項式を乗法により計算してください。 問題: (x + 2)(x - 3)

次の多項式を因数分解しなさい。\n(1) \( (a+1)(b+1)(c+1) \)\n(2) \( (a+b+c)(a b+b c+c a) \)\n(3) \( (a+b)(b+c)(c+a) \)

次の式を因数分解せよ。 (1) 2ab - 3bc (2) x²y - 3xy² (3) 9a³b + 15a²b² - 3a²b (4) a(x - 2) - (x - 2) (5) (a - b)x² + (b - a)xy

次の単項式の次数と係数をいえ。また，［］内の文字に着目するとき，その次数と係数をいえ。\n(1) $2 a b x^{2} \quad[x]$\n(2) $-7 x y^{2} z^{3} \quad[y], \quad[y$ と $z]$

次の 2 次式を平方完成せよ。\n(1) $x^{2}-10 x$\n(2) $-x^{2}+6 x-2$\n(3) $3 x^{2}+6 x+2$\n(4) $-2 x^{2}+4 x+1$\n(5) $2 x^{2}+3 x+1$\n(6) $-2 x^{2}+5 x-2$\n(7) $\frac{1}{3} x^{2}-\frac{4}{3} x+2$\n(8) $-\frac{1}{2} x^{2}-x+1$

次の式を因数分解せよ。\n(1) $x^{2}+2 x+1$\n(2) $4 x^{2}+4 x y+y^{2}$\n(3) $x^{2}-10 x+25$\n(4) $9 a^{2}-12 a b+4 b^{2}$\n(5) $x^{2}-49$\n(6) $8 a^{2}-50$\n(7) $16 x^{2}+24 x y+9 y^{2}$\n(8) $8 a x^{2}-40 a x+50 a$\n(9) $5 a^{3}-20 a b^{2}$

次の式を計算せよ。(4) (√3 + √5)²

（4） 7 人の部員の中から，部長，副部長，会計を 1 人ずつ選ぶ方法は何通りあるか。ただし，兼任は認めないものとする。

TRAINING 16\n次の式を因数分解せよ。\n(1) $x^{4}-81$\n(2) $16 a^{4}-b^{4}$\n(3) $x^{4}-5 x^{2}+4$\n(4) $4 x^{4}-15 x^{2} y^{2}-4 y^{4}$

次の式を因数分解せよ。\n(1) $a^{4}-b^{4}$\n(2) $x^{4}-13 x^{2}+36$

次の式を展開せよ。\n(1) \( (3 a+2)^{2} \)\n(2) \( (5 x-2 y)^{2} \)\n(3) \( (4 x+3)(4 x-3) \)\n(4) \( (-2 b-a)(a-2 b) \)\n(5) \( (x+6)(x+7) \)\n(6) \( (2 t-3)(2 t-5) \)\n(7) \( (4 x+1)(3 x-2) \)\n(8) \( (2 a+3 b)(3 a+5 b) \)\n(9) \( (7 x-3)(-2 x+3) \)

これまでと異なり, 同じものを繰り返し使うこと（重複）を許した場合の順列について考えてみよう。例えば，A，B の 2 種類の文字から重複を許して 3 文字を取って 1 列に並べる場合, 樹形図は右のようになり, 並べ方の総数は\n\\[ 2 \\times 2 \\times 2=2^{3} \\text { (通り) } \\]\n\n一般に，異なる $n$ 個のものから重複を許して $r$ 個取って 1 列に並べる順列を $n$ 個から $r$ 個取る重複順列 という。重複順列の総数については，次のことがいえる。\n重複順列の綵数\n$n$ 個から $r$ 個取る重複順列の総数は $n^{r}$ 通り\n重複順列では, 一般の順列と違って $r \\leqq n$ の場合だけでなく, $r>n$ の場合でも考えられる。

次の式の値を求めよ。\n(1) $a^{2}-a-1$\n(2) $a^{6}$\nただし、 $a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ とする。

次の式を，x について降べきの順に整理せよ。 (1) x^{3}-3 x+2-2 x^{2} (2) a x-1+a+2 x^{2}+x (3) 3 x^{2}+2 x y+4 y^{2}-x-2 y+1

次の式を因数分解せよ。\n(1) $6 x^{2}+13 x+6$\n(2) $3 a^{2}-11 a+6$\n(3) $12 x^{2}+5 x-2$\n(4) $6 x^{2}-5 x-4$\n(5) $4 x^{2}-4 x-15$\n(6) $6 a^{2}+17 a b+12 b^{2}$\n(7) $6 x^{2}+5 x y-21 y^{2}$\n(8) $12 x^{2}-8 x y-15 y^{2}$\n(9) $4 x^{2}-3 x y-27 y^{2}$

次の式を因数分解せよ。\n(1) $x^{2}+x+\frac{1}{4}$\n(2) $6x^{2}+xy-35y^{2}$\n(3) $8a^{2}+14ab-15b^{2}$\n(4) \( 4(x+y)^{2}-11(x+y)-3 \)\n(5) \( (a+b+1)^{2}-b^{2} \)\n(6) \( (a+b)^{2}-(c-d)^{2} \)\n(7) $4x^{4}-13x^{2}y^{2}+9y^{4}$\n(8) $a^{8}-1$\n(9) \( (x+y)^{4}+(x+y)^{2}-2 \)\n(10) \( \left(x^{2}-2x\right)^{2}-11\left(x^{2}-2x\right)+24 \)

次の式を展開せよ。(1) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) (2) x(x-1)(x+3)(x+4)

(4) 8 x^{3}-36 x^{2} y+54 x y^{2}-27 y^{3}\n8 x^{3}-27 y^{3}-36 x^{2} y+54 x y^{2}={2 x-3 yɔ{(2 x)²+2 x⋅3 y+(3 y)²}\-,

式Aに式B=2x^2 - 2xy + y^2を加えるところを, 誤って式B引いてしまったので, 間違った答えx^2 + xy + y^2を得た。正しい答えを求めよ。

\n次の式を展開せよ。\n(1) (3 x-1)^{3}\n(2) \\left(3 x^{2}-a\\right)\\left(9 x^{4}+3 a x^{2}+a^{2}\\right)\n(3) (x-1)(x+1)\\left(x^{2}+x+1\\right)\\left(x^{2}-x+1\\right)\n(4) (x+2)(x+4)(x-3)(x-5)\n(5) (x+1)^{3}(x-1)^{3}\n

次の式を因数分解せよ。\n(1) $2 x^{2}+7 x+6$\n(2) $6 x^{2}+5 x-6$

次の式を因数分解せよ。(1) (x+2)^{2}-5(x+2)-14 (2) 16(x+1)^{2}-8(x+1)+1 (3) 2(x+y)^{2}-7(x+y)+6 (4) 4x^{2}+4x+1-y^{2} (5) 25x^{2}-a^{2}+8a-16 (6) (x+y+9)^{2}-81

次の式を因数分解せよ。(1) 8x³+1 (2) 64a³-125b³

次の式の計算を説明せよ: (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2

(ア) -x^{2}+8 x\n(1) -x^{2}+16\n(ウ) 2\n(I) 24

次の式を因数分解せよ。 (1) x^3 + 2x^2y - x^2z + xy^2 - 2xyz - y^2z (2) x^3 + 3x^2y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2