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AIチューター | ヤロウゼ、宿題!

数と代数

基礎代数 - 不等式の解法

Q.01

次の不等式を解け。\n(1) \( 5(x-3)<3(2 x-5) \)\n(2) \( 0.2 x-7.1>-0.5(x+3) \)\n(3) \( \left\\{\begin{array}\\{l}\frac{3 x+4}{3}-\frac{x-2}{2}>x-\frac{1}{6} \\ -2(x-2)<x-5\end\\{array}\right\\} \)\n(4) 2x+16<x+12<14x+13 -\frac{2 x+1}{6}<\frac{x+1}{2}<\frac{1}{4} x+\frac{1}{3} \n(5) 5x93 |5 x-9| \leqq 3 \n(6) \( \sqrt{(x-2)^{2}}>4 \)
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Q.02

次の不等式を解きなさい。(6) \\sqrt{(x-2)^{2}}=|x-2| であるから、与えられた不等式 |x-2|>4 の x の範囲を求めなさい。
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Q.03

次の不等式を解け。(1) 4 x + 5 > 3 x - 2 (2) 9 - x ≤ 2 x - 3 (3) \frac{4 - x}{2} > 7 + 2 x
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Q.04

自分の帽子は何色?——背理法の活用—
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Q.05

䋟対値を含む 2 次不等式
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Q.06

次の不等式を解け。\n(1) 4x+5>3x2 4 x+5>3 x-2 \n(2) 9x2x3 9-x \leqq 2 x-3 \n(3) frac4x2>7+2x \\frac{4-x}{2}>7+2 x
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Q.07

不等式が常に成り立つ条件
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Q.08

2次不等式の解法(1)
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Q.09

(3) [1] x<0 \quad x<0 のとき \( \quad-3(x-3)-x<7 \)\nよって 4x<2 \quad-4 x<-2 \nこれを解いて x>12 \quad x>\frac{1}{2} \nこれと x<0 x<0 の共通範囲はない。\n[2] 0x<3 0 \leqq x<3 のとき \( \quad-3(x-3)+x<7 \)\nよって 2x<2 \quad-2 x<-2 \nこれを解いて x>1 \quad x>1 \nこれと 0x<3 0 \leqq x<3 の共通範囲は 1<x<3 \quad 1<x<3 \n[3] 3x 3 \leqq x のとき\n\( 3(x-3)+x<7 \)\nよって 4x<16 4 x<16 \n\nこれを解いて x<4 \quad x<4 \nこれと 3x 3 \leqq x の共通範囲は 3x<4 \quad 3 \leqq x<4 \n不等式の解は(1) と(2)を合わせた範囲であるから\n1<x<41<x<4\n
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Q.10

次の不等式を解け。(2) 0.2x - 7.1 > -0.5(x+3)
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Q.11

花子さんのクラスでは, 数学の授業で次の不等式について考えた。\n|3 x-6|<a x+b \nただし, a, b は定数とする。\nまず, a=2, b=1 のときの不等式 (1) の解を求めよう。\n花子さんは, ノートに次のように解いた。
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Q.12

不等式 3x6<b |3 x-6|<b の解は何ですか? y=b y=b のグラフが y=3x6 y=|3 x-6| のグラフの上側にある場合、どのような x x の範囲になりますか? b>0 b>0 のときについて説明してください。
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Q.13

数学 I inf. α<β のとき (x−α)(x−β)<0 の解は α<x<β が成り立つことは既に学んでいるが,逆に α<x<β のとき α<x から x−α>0 x<β から x−β<0 よって (x−α)(x−β)<0 すなわち α<x<β を解とする 2 次不等式の 1 つは (x−α)(x−β)<0 である。結局, a>0 として a(x−α)(x−β)<0 ⟺ α<x<β が成り立つ。同様に,以下の関係も成り立つ。 a(x−α)(x−β) ≤ 0 ⟺ α ≤ x ≤ β a(x−α)(x−β)>0 ⟺ x<α, β<x a(x−α)(x−β) ≥ 0 ⟺ x ≤ α, β ≤ x 正と負の積は負。 PR すべての実数 x について, 不等式 (a-1) x^{2}-2(a-1) x+3 ≥ 0 が成り立つように, 定数 a の值 91 の範囲を定めよ。
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Q.14

PRACTICE 34^2 次の方程式・不等式を解け。 (1) |2 x-3|=5 (2) |x-3|>2 (3) 3|1-x| ≤ 2
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Q.15

次の不等式を解け。\n\n(1) ax1>0 ax-1>0 \n(2) x2>2aax x-2>2a-ax
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Q.16

次の 2 次不等式を解け。\n(1) x28x+16>0 x^{2}-8 x+16>0 \n(2) 4x2+4x+10 4 x^{2}+4 x+1 \leqq 0 \n(3) x24x+80 x^{2}-4 x+8 \geqq 0 \n(4) 3x2+12x130 -3 x^{2}+12 x-13 \geqq 0
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Q.17

不等式 3x6<ax |3 x-6|<a x の解は何ですか? y=ax y=a x のグラフが y=3x6 y=|3 x-6| のグラフの上側にある場合、どのような x x の範囲になりますか?
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Q.18

次の方程式・不等式を解け。(1) 2x3=5 |2 x-3|=5 \n(2) x3>2 |x-3|>2 \n(3) 31x2 3|1-x| \leqq 2
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Q.19

ある変域で不等式が常に成り立つ今
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Q.20

(4) b=6,c=3 b=-6, c=3 のとき, a a の値を変化させて, \( f(x) \) に関する不等式を考える。不等式 \( f(x)<0 \) を満たす実数 x x が存在するのは, a a タ タ ときである。また, すべての実数 x x が不等式 \( f(x)>0 \) を満たすのは, a a \square ツ テチ, テ に当てはまる数を答えよ。また, タ, タ, ツについては, 当てはまるものを次の 0〜4 のうちから 1 つずつ選べ。 (0) = (1) > (2) < (3) ≥ (4) ≤
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Q.21

次の 2 次不等式を解け。\n(1) (x-1)(x-2)>0\n(2) (2 x+3)(x-4) \leqq 0\n(3) (x+3)^{2} \geqq 0\n(4) (x-2)^{2} \leqq 0
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Q.22

連立不等式の応用 (解の判
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Q.23

PRACTICE x についての 2 次不等式 a x^{2}+9 x+2 b > 0 の解が 4 < x < 5 となるように, 定数 a, b の値を定めよ。
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Q.24

基本例題 902 次不等式の解から係数決定 (1) x についての 2 次不等式 x^{2}+a x+b ≥ 0 の解が x ≤ -1, 3 ≤ x となる ように,定数 a, b の値を定めよ。
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Q.25

次の 2 次不等式を解け。\n(6) 2 x-3>-x^{2}
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Q.26

不等式と文章題
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Q.27

次の不等式を解け。(1) { 4 x + 1 < 3 x - 1 \\ 2 x - 1 ≥ 5 x + 6 } (2) { 2 x + 3 > x + 2 \\ 3 x > 4 x + 2 } (3) 2(x - 3) + 5 < 5 x - 6 ≤ \frac{3 x + 4}{3}
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Q.28

文字係数の2次不等式の解
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Q.29

次の 2 次不等式を解け。\n(5) 4 x^{2}-5 x-3<0
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Q.30

2次不等式の解法 (2)
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Q.31

次の 2 次不等式を解け。\n(1) x2+2>22x x^{2}+2>2 \sqrt{2} x \n(2) 2x2+12x180 -2 x^{2}+12 x-18 \geqq 0 \n(3) 2x28x+13>0 2 x^{2}-8 x+13>0 \n(4) 2x2+3x6>0 -2 x^{2}+3 x-6>0
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Q.32

次の 2 次不等式を解け。\n(2) 6 x^{2}-5 x+1>0
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Q.33

次の不等式を解け。(6) √(x-2)^2 > 4
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Q.34

次の(1), (2)における不等式(A)を、順に(1), (2), (3)の式に変形し、(3)を(A)の解として導いた。解(3)が正しいか正しくないかを答えよ。正しくない場合は、(A)→(1)、(1)→(2)、(2)→(3)のうちどの変形が正しくないかをいえ。ただし,a は実数の定数とする。 (1) (A): \\sqrt{2} x+3>2 x+1 、 (1): (\\sqrt{2}-2) x>-2 、 (2): x>\\frac{-2}{\\sqrt{2}-2} 、 (3) : x>\\sqrt{2}+2 (2) (A): a^{2}|x|-1<a^{2}-|x| 、 (1): (a^{2}+1)|x|<a^{2}+1 、 (2): |x|<1 、 (3): -1<x<1
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Q.35

次の不等式を解きなさい。(4) frac2x+16<fracx+12 -\\frac{2 x+1}{6}<\\frac{x+1}{2} を解く。
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Q.36

x(x-1)<0 を解け。
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Q.37

不等式を解きなさい。\n(1) x+3<2x + 3 < 2\n(2) 2x52x \geqq 5\n(3) 3x4-3x \leqq 4
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Q.38

次の不等式を解け。 (1) x + 3 < 2 (2) 2x >= 5 (3) -3x <= 4
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Q.39

次の 2 次不等式が, すべての実数 x について常に成り立つかどうか調べよ。\n(1) 2 x^{2}-3 x+1<0\n(2) 2 x^{2}-4 x+2 \geqq 0\n(3) 2 x^{2}-5 x+4 \leqq 0\n(4) 2 x^{2}-6 x+4>0
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Q.40

PRACTICE\nすべての実数 x x について, 不等式 \( (a-1) x^{2}-2(a-1) x+3 \geqq 0 \) が成り立つように, 定数 a a の値の範囲を定めよ。
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Q.41

(4) b=6,c=3 b=-6, c=3 のとき, a a の値を変化させて, \( f(x) \) に関する不等式を考える。不等式 \( f(x)<0 \) を満たす実数 x x が存在するのは, a a タ チ のとである。また,すべての実数 x x が不等式 \( f(x)>0 \) を満たすのは, a a \square テ ある。チ, テ に当てはまる数を答えよ。また, タ, ツ については, 当てはまるものを次の()~4)のうちから1つずつ選べ。\n(0) =\n(1) > > \n(2) < < \n(3) \geqq \n(4) \leqq
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Q.42

2 次不等式の応用(解の:
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Q.43

次の不等式を解け。\n(1) \\\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}>1+x \\\\ x \\leqq 15-6 x^{2}\\end{\overlineray}\\right.\\n(2) \2 \\leqq x^{2}-x \\leqq 4 x-4\\n(3) \\\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}+3 x+2 \\leqq 0 \\\\ x^{2}-x-2<0\\end{\overlineray}\\right.\
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Q.44

次の命題の逆, 対偶, 裏を述べよ。\nx+y4 x + y \leqq 4 ならば x2 x \leqq 2 または y2 y \leqq 2 である。
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Q.45

花子さんのクラスでは,数学の授業で次の不等式について考えた。|3x-6|<ax+b ただし,a, b は定数とする。まず, a=2, b=1 のときの不等式 (1) の解を求めよう。
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Q.46

連立不等式の応用 (2 次)
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Q.47

次の x x についての不等式を解け。ただし, a a は定数とする。\n\nx23ax+2a2+a1>0 x^{2}-3 a x+2 a^{2}+a-1>0
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Q.48

次の不等式を解け。(4) -(2x+1)/6 < (x+1)/2 < (1/4)x + 1/3
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Q.49

x^{2}-x-6 \\geqq 0 を解け。
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Q.50

次の不等式を解け。(1) 5(x-3) < 3(2x-5)
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Q.51

次の方程式を解け。\n(1) 3x+8=5x |3 x+8|=5 x \n(2) x+1+x1=2x+8 |x+1|+|x-1|=2 x+8
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Q.52

例題 36 は, 「共通範囲」を求める場面と「合わせた範囲」を求める場面があって複雑です。例題 36 (1) をもとに, その違いについて見てみましょう。\n\n(1)と(2)の範囲を合わせる\n\nまず,絶対値記号をはずすために,実数全体を2つの場合(1)と(2)に分ける。\n(1)と (2)は、それぞれAを満たす範囲である。このAの範囲において絶対値記号をはず した不等式を解いて,解 \\mathrm{B} \ を得る。\nAとBは「Aの条件を満たす範囲内で考えた解がB」の関係であり,AとBがともに成立 (すなわち「AかつB」が成立)しなければならない。い共通範囲を求める。\n一方,1)と(2)は「実数全体を2つに分けた」のだから,1)と2)のいずれか一方が成立 (すなわち「(1) または(2)」が成立)すればよい。い合わせた範囲を求める。\n絶対値を含む方程式・不等式は,次の流れで解きましょう。\n場合分けをして解く \\longrightarrow \ その解のうち, 場合分けの条件を\n満たすものを求める \\longrightarrow \ 各場合の解を最後に合わせる
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Q.53

PR x x についての 2 次不等式 ax2+9x+2b>0 a x^{2}+9 x+2 b>0 の解が 4<x<5 4<x<5 となるように, 定数 a,b a, b の値を定めよ。
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Q.54

次の不等式を解け。\n(1) ax1>0 a x-1>0 \n(2) x2>2aax x-2>2 a-a x
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Q.55

次の不等式を解きなさい。(5) |5 x-9| ≤ 3 から x の範囲を求めなさい。
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Q.56

次の不等式を解け。(5) |5x-9| ≤ 3
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Q.57

次の 2 次不等式を解け。\n(4) x^{2}-2 x-2 \\leqq 0
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Q.58

次の 2 次不等式を解け。\n(1) x^{2}-4 x-12 \geqq 0
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Q.59

次の方程式・不等式を解け。 (1) |2-x|=4 (2) |2 x+1|=7 (3) |x-2|<4 (4) |x-2|>4
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Q.60

次の 2 数の大小関係を調べて, 不等式で表せ。 (1) a+3, b+3 (2) a-2, b-2 (3) 5a, 5b (4) -4a, -4b (5) 2a, a+b
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Q.61

2次不等式の解から係孛
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Q.62

次の不等式を解け。\n(1) 3x<12x 3 x<12-x \n(2) 2x74x1 2 x-7 \leqq 4 x-1 \n(3) \( 3(1-2 x)>\frac{1-3 x}{2} \)\n(4) x+0.60.2x1 x+0.6 \geqq 0.2 x-1
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Q.63

不等式 10a<b 10a < b の各操作を示しなさい。
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Q.64

次の命題の真偽を調べよ。ただし, (2), (3) は集合を用いて調べよ。\n(2) 実数 x x について, x>2 |x|>2 ならば x>2 x>2 \n(3)実数 x x について, x+2<1 |x+2|<1 ならば x<3 |x|<3
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Q.65

(5)a=4,b=6 a = 4, b = 6 のとき、不等式 (1) は 3x6<4x+6 |3x - 6| < 4x + 6 を満たすx x の範囲を求めなさい。
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Q.66

次の連立不等式を解け。(1) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}3 x+1>0 \\\\ 3 x^{2}+x-10 \\leqq 0\\end{\overlineray}\\right.\\n(2) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}-4 x+1 \\geqq 0 \\\\ -x^{2}-x+12>0\\end{\overlineray}\\right.\
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Q.67

次の不等式を解きなさい。\ \\frac{x+1}{2}<\\frac{1}{4} x+\\frac{1}{3} \ を解く。
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Q.68

次の不等式を解け。(3) 3(x+4)/3 - (x-2)/2 > x - 1/6, -2(x-2) < x-5
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Q.69

次の 2 次不等式を解け。\n(3) -x^{2}-x+2 \\geqq 0
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Q.70

基本例題 43 対偶を利用した命題の証明\n文字はすべて実数とする。対偶を考えて, 次の命題を証明せよ。\n(1) x+y=2 x+y=2 ならば「 x1 x \leqq 1 または \( y \leqq 1 」\n(2) a2+b26 a^{2}+b^{2} \geqq 6 ならば「 a+b>1 |a+b|>1 または \( |a-b|>3 」
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Q.71

次の不等式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}2 x+3<3 x+5 \\ 2(x+3) \leqq-x+9\end{array}\right. \) (2) 4x+1<73x<x1 -4 x+1<7-3 x<x-1
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Q.72

不等式の性質をマスターして, 例題 34 を攻略!
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Q.73

練習問題 93 - 次の 2 次不等式を解け。(6) x2+x6 x^{2}+x \leqq 6
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Q.74

命題の真偊を判定。 x x は実数, n n は整数とする。集合を用いて,次の命題の真偽を調べよ。\n(1) x<32x+40 x<-3 \Longrightarrow 2 x+4 \leqq 0 \n(2) n n は 18 の正の約数 n \Longrightarrow n は 24 の正の約数
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Q.75

次の 2 次不等式を解け。\n(1) x28x+16>0 x^{2}-8 x+16>0 \n(2) x28x+16<0 x^{2}-8 x+16<0 \n(3) x28x+160 x^{2}-8 x+16 \geqq 0 \n(4) x28x+160 x^{2}-8 x+16 \leqq 0
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Q.76

2次不等式 基本 93 2 次不等式の解法 (1)
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Q.77

練習問題 93 - 次の 2 次不等式を解け。(4) x2+6x+80 x^{2}+6x+8 \geqq 0
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Q.78

連立不等式 \( \left\{\begin{array}{l}x>3 a+1 \\ 2 x-1>6(x-2)\end{array}\right. \) の解について, 次の条件を満たす定数 a a の 値の範囲を求めよ。\n(1) 解が存在しない。\n(2) 解に 2 が含まれる。\n(3) 解に含まれる整数が 3 つだけとなる。
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Q.79

連立不等式, 2 次不等式の基本を振り返ろう!
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Q.80

基本 32 不等式の性質の利用 (1)\n標準 33 不等式の性質の利用 (2)\n基本 34 1 次不等式の解法\n基本 35 連立不等式の解法\n標準 36 不等式の整数解\n標準 37 不等式の文章題\n基本 38 絶対値を含む方程式,不等式…基本\n標準 39 場合分けによって絶対値を含む方程式を解く
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Q.81

次の 2 次不等式を解け。\n(1) 2x25x+2<0 2 x^{2}-5 x+2<0 \n(2) 4x2+4x+10 -4 x^{2}+4 x+1 \leqq 0 \n
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Q.82

次の 2 次不等式を解け。(3) x23x100 x^{2}-3 x-10 \leqq 0
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Q.83

次の方程式,不等式を解け。\n(1) \( |(\sqrt{14}-2) x+2|=4 \)\n(2) 3x14 3|x-1| \leqq 4 \n(3) x+3x2=3 x+|3 x-2|=3
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Q.84

次の 2 次不等式を解け。\n(1) x2+4x+6>0 x^{2}+4 x+6>0 \n(2) x2+4x+6<0 x^{2}+4 x+6<0 \n(3) x2+4x+60 x^{2}+4 x+6 \geqq 0 \n(4) x2+4x+60 x^{2}+4 x+6 \leqq 0
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Q.85

第 2 章 実数, 1 次不等式: 61 次不等式
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Q.86

2次不等式 基本 94 2 次不等式の解法 (2)
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Q.87

次の不等式を解け。\n(1) 4x+5>2x3 4 x+5>2 x-3 \n(2) \( 3(x-2) \geqq 2(2 x+1) \)\n(3) 12x>45x3 \frac{1}{2} x>\frac{4}{5} x-3 \n(4) 0.1x+0.06<0.02x+0.1 0.1 x+0.06<0.02 x+0.1
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Q.88

3. 43\Perp52x2 \mathbf{4 3}^{\Perp}-\frac{5}{2} \leqq x \leqq 2 のとき, 関数 \( f(x)=(1-x)|x+2| \) の最大値を求めよ。
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Q.89

次の不等式を解け。\n(1) 8x+13>5x8 8 x+13>5 x-8 \n(2) \( 3(x-3) \geqq 5(x+1) \)\n(3) 4x2<7+2x \frac{4-x}{2}<7+2 x \n(4) \( \frac{1}{2}(1-3 x) \geqq \frac{2}{3}(x+7)-5 \)\n(5) \( 0.2 x-7.1 \leqq-0.5(x+3) \)
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Q.90

練習問題 93 - 次の 2 次不等式を解け。(3) x22x<0 x^{2}-2x < 0
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Q.91

連立不等式 \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}3 x-7 \\leqq 5 x-3 \\\\ 2 x-6 < 3 a-x\\end{\overlineray}\\right. \ の解について, 次の条件を満たす定数 a \ の値の範囲を求めよ。\n(1)解をもつ。\n(2)解に整数がちょうど 3 個含まれる。
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Q.92

2次不等式の解き方をフローチャート形式で整理しましょう。基本例題93〜96で、いろいろなタイプの2次不等式を解きました。ここで、それらを整理してみます。\n\n ax2+bx+c ax^{2} + bx + c を考えます。まず、因数分解できるかどうかを調べます。因数分解できる場合、 \( a(x-\alpha)(x-\beta) \) または \( a(x-\alpha)^{2} \) の形になります。\n\n次に、グラフ y=ax2+bx+c y = ax^{2} + bx + c を描きます。ただし、 a>0 a > 0 とします。\n\n以下の表にまとめました:\n\n\(\begin{array}{c}\n\text{不等式の種類} & \text{解の範囲} \\\hline\(\ a x^{2}+b x+c>0 \) & x<α,β<x x<\alpha, \beta<x \\\hline ax2+bx+c0\ a x^{2}+b x+c \geqq 0 & xα,βx x \leqq \alpha, \quad \beta \leqq x \\\hline ax2+bx+c<0\ a x^{2}+b x+c<0 & α<x<β \alpha<x<\beta \\\hline ax2+bx+c0\ a x^{2}+b x+c \leqq 0 & αxβ \alpha \leqq x \leqq \beta \\\hline\end{array}\)\n\nこの表を暗記するのではなく、解の理由を理解することが重要です。
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Q.93

連立不等式 \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x<6 \\\\ 2 x+3 \\geqq x+a\\end{\overlineray}\\right. \ の解について, 次の条件を満たす定数 a \ の\n値の範囲を求めよ。\n(1)解をもつ。\n(2)解に整数がちょうど 2 個含まれる。
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Q.94

x x は実数とする。集合を用いて, 次の命題の真偽を調べよ。\n(1) 1<x<12x2<0 -1<x<1 \Longrightarrow 2 x-2<0 \n(2) x>23x+10 |x|>2 \Longrightarrow 3 x+1 \leqq 0
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Q.95

(2)連立不等式 \( \left\\{\begin{array}{l}2(x+1) \\geqq 5x-2 \\ -5x<-3x+4\end{array}\right\\} \) を満たす整数 x x の値をすべて求めよ。
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Q.96

判別式, 2 次不等式の基本を振り返ろう!
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Q.97

練習問題 93 - 次の 2 次不等式を解け。(5) x2>9 x^{2} > 9
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Q.98

次の 2 次不等式を解け。\n(1) x24x+5<0 x^{2}-4 x+5<0 \n(2) 2x28x+13>0 2 x^{2}-8 x+13>0 \n(3) 3x26x+60 3 x^{2}-6 x+6 \leqq 0 \n(4) x2+30 x^{2}+3 \geqq 0
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Q.99

練習問題 93 - 次の 2 次不等式を解け。(2) \( (2x+1)(3x-5) > 0 \)
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Q.00

練習問題 93 - 次の 2 次不等式を解け。(1) \( (x+2)(x+3) < 0 \)
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Q.01

2 次不等式の解法のまとめ
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Q.02

次の 2 次不等式を解け。(2) \( (x+1)(x-2) < 0 \)
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Q.03

不等式 x24x+3<0x^2-4x+3<0 を解け。
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Q.04

次の 2 次不等式を解け。\n(1) 3x2+10x8>0 3 x^{2}+10 x-8>0 \n(2) 6x2+x120 6 x^{2}+x-12 \leqq 0 \n(3) 5x2+6x10 5 x^{2}+6 x-1 \geqq 0 \n(4) \( 2(x+2)(x-2) \leqq(x+1)^{2} \)\n(5) x2+3x+2>0 -x^{2}+3 x+2>0 \n
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Q.05

絶対不等式
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Q.06

「10からある数xの3倍を引いた数は-5より大きい」を不等式で表しなさい。
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Q.07

次の 2 次不等式を解け。\n(1) x2+2x+1>0 x^{2}+2 x+1>0 \n(2) x2+4x+40 x^{2}+4 x+4 \geqq 0 \n(3) 14x2x+1<0 \frac{1}{4} x^{2}-x+1<0 \n(4) 9x2+12x40 -9 x^{2}+12 x-4 \geqq 0
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Q.08

不等式 3|x+1| x+5\geqq x+5 を解け。
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Q.09

次の 2 次不等式を解け。(1) \( (x+1)(x-2) > 0 \)
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Q.10

不等式のすべての項を左辺に移項して整理したとき, ax2+bx+c>0 a x^{2}+b x+c>0 , ax2+bx+c0a,b,c a x^{2}+b x+c \leqq 0 ( a, b, c は定数,ただし a0 a \neq 0 ) などのように,左辺が x x の 2 次式になる不等式を x x の 2 次不等式という。そして,2 次不等式を成り立たせる x x の値を, その不等式の解 といい, 解のすべてを求めることを 2 次不等式を解 くという。\nこの節では, 2 次関数のグラフを利用して 2 次不等式を解く方法を学び ましょう。前節で学んだ, 2 次関数のグラフと x x 軸の位置関係を積極的 に活用します。\n\n■ 2 次不等式の解と 2 次関数のグラフ\n注意 以下では, x2 x^{2} の係数 a a の符号を正として話を進めても不都合はな い。なぜなら, a a の符号が負のときは,両辺に -1 を掛けて x2 x^{2} の係数を正にして解けばよいからである。\n2 次不等式 \( a x^{2}+b x+c>0(a>0) \) の解を求めることは, y=ax2+bx+c y=a x^{2}+b x+c とおくとき, y>0 y>0 となる x x の値の範囲,すなわ ち, y=ax2+bx+c y=a x^{2}+b x+c のグラフが x x 軸より上側にあるような x x の値 の範囲を求めることである。\n\n具体的な例として, 2 次不等式 x24x+3>0 x^{2}-4 x+3>0 \n(1) について 説明しよう。
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Q.11

一次不等式の性質を説明せよ。
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Q.12

発 例 題《標準例題 39 44場合分けによって絶対値を含む不等式を解く不等式 2|x+4|<x+10 を解け。
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Q.13

不等式 2x-5<9 を解け。
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Q.14

次の方程式、不等式を解け。 (1) 2x1=7 |2 x-1|=7 (2) 2x+52 |2 x+5| \leqq 2 (3) 3x>4 |3-x|>4
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Q.15

次の不等式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}4 x-1<3 x+5 \\ 5-3 x<1-x\end{array}\right. \) (2) \( \left\{\begin{array}{l}3 x-5<1 \\ \frac{3 x}{2}-\frac{x-4}{3} \leqq \frac{1}{6}\end{array}\right. \) (3) 2x+54<x+2172x \frac{2 x+5}{4}<x+2 \leqq 17-2 x
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Q.16

不等式 x24x+3>0x^2-4x+3>0 を解け。
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Q.17

不等式 2x+x58 |2 x|+|x-5| \geqq 8 を解け。
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Q.18

次の不等式を解け。 2x3<x24x4x7 2 x-3<x^{2}-4 x \leqq 4 x-7
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Q.19

次の 2 次不等式を解け。\n(1) (x+2)(x+3)<0\n(2) (2x+1)(3x-5)>0\n(3) x^{2}-2x<0\n(4) x^{2}+6x+8 \geqq 0\n(5) x^{2}>9\n(6) x^{2}+x \leqq 6
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Q.20

次の 2 次不等式を解け。\n(1) x2+4x+6>0 x^{2}+4 x+6>0 \n(2) x2+4x+6<0 x^{2}+4 x+6<0 \n(3) x2+4x+60 x^{2}+4 x+6 \geqq 0 \n(4) x2+4x+60 x^{2}+4 x+6 \leqq 0
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Q.21

連立不等式, 2 次不等式の基本を振り返ろう!
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Q.22

不等式 2x6<x |2 x-6|<x \n(1)について考える。\n(1) x=5 x=\sqrt{5} が不等式 (1)の解であるかどうかを調べてみよう。\n(1)の左辺に x=5 x=\sqrt{5} を代入すると, その値は である。 したがって, x=5 x=\sqrt{5} は不等式 (1)の イ。\nア の解答群\n(0) 256 2 \sqrt{5}-6 \n(1) 25+6 2 \sqrt{5}+6 \n(2) 625 6-2 \sqrt{5} \n(3) 625 -6-2 \sqrt{5} \n\nイ の解答群\n(0) 解である\n(1) 解でない
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Q.23

1次不等式についての基本的な性質を説明せよ。\nA<BA < B のとき:\n(1) A+C<B+CA + C < B + C\n(2) AC<BCA - C < B - C\n(3) C>0C > 0 ならば AC<BCAC < BC, AC<BC\frac{A}{C} < \frac{B}{C}\n(4) C<0C < 0 ならば AC>BCAC > BC, AC>BC\frac{A}{C} > \frac{B}{C}
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Q.24

不等式の性質をマスターして, 例題 34 を攻略!
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Q.25

実践 3: 連立 2 次不等式の応用
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Q.26

判別式, 2 次不等式の基本を振り返ろう!
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Q.27

2 数 x, y の和は正で, かつ 6 以下である」を不等式で表すと?
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Q.28

次の2次不等式を解け。(1) x^2 + 2x + 1 > 0 (2) x^2 + 4x + 4 ≥ 0 (3) 1/4 x^2 - x + 1 < 0 (4) -9x^2 + 12x - 4 ≥ 0
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Q.29

(2) \\left|x^{2}-6 x-7\\right| \\geqq 2 x+2 \
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Q.30

次の 2 次不等式が,常に成り立つような定数 m m の値の範囲を求めよ。\n(1) \( x^{2}+2(m+1)x+2(m^{2}-1)>0 \)\n(2) mx2+3mx+m1<0 mx^{2}+3mx+m-1<0
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Q.31

2 次不等式の解法のまとめ
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Q.32

不等式 3x+1x+5 3|x+1| \geqq x+5 を解け。
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Q.33

ある範囲で2次不等式が常に成り立つ条件\n0x2 0 \leqq x \leqq 2 の範囲において、常に x22ax+3a>0 x^{2}-2 a x+3 a>0 が成り立つように、定数 a a の値の範囲を定めよ。
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Q.34

不等式 (1) の解は, y=2x6x y=|2 x-6|-x \cdots (2) のグラフの y<0 y<0 となる x x の値の範囲です。(2)のグラフを利用して,(1)の解を求めてみましょう。\n(i) 2x60 2 x-6 \geqq 0 を解くと x x \geqq \square ウ, 2x6<0 2 x-6<0 を解くと x< x<\square ウ よって, x x \geqq \square のとき, (2) は y= y=\square 工 \n x< x<\square のとき, (2) は y= y=\square オです。
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Q.35

TR x x は実数とする。集合を用いて,次の命題の真偽を調べよ。\n53\n(1) 1<x<12x2<0 -1<x<1 \Longrightarrow 2 x-2<0 \n(2) x>23x+10 |x|>2 \Longrightarrow 3 x+1 \leqq 0
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Q.36

連立不等式 \( \left\{\begin{array}{l}2 x-1 < 3(x+1) \\ x-4 ≤ -2 x+3\end{array}\right. \) を満たす整数 x の値をすべて求めよ。
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Q.37

(3) 4x2<7+2x \frac{4-x}{2}<7+2 x
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Q.38

次の2次不等式を解け。 (1) (x+2)(x+3)<0 (2) (2x+1)(3x-5)>0 (3) x^2-2x<0 (4) x^2+6x+8≧0 (5) x^2>9 (6) x^2+x≦6
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Q.39

次の不等式を解け。(2) x+2+2x3<10 |x+2|+|2x-3|<10
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Q.40

次の不等式を,上の例題と同じように 2 通りの方法で解け。\n(1) x27<3x1 x^{2}-7<3|x-1| \n(2) x26x72x+2 \left|x^{2}-6 x-7\right| \geqq 2 x+2
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Q.41

連立不等式 {x+1<32,x22x3>0} \left\{ |x+1|<\frac{3}{2}, \\ x^{2}-2 x-3>0 \right\} を解け。
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Q.42

次の 2 次不等式を解け。\n(1) x^{2}-4 x+5<0\n(2) 2 x^{2}-8 x+13>0\n(3) 3 x^{2}-6 x+6 \leqq 0\n(4) x^{2}+3 \geqq 0
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Q.43

次の不等式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}-2 x-8<0 \\ x^{2}-x-2>0\end{array}\right. \) (2) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x+1>0 \\ x^{2}-x-6<0\end{array}\right. \) (3) \( \left\{\begin{array}{l}2 x^{2}+5 x \leqq 3 \\ 3\left(x^{2}-1\right)<1-11 x\end{array}\right. \) (4) 2x<x2<x+3 2-x<x^{2}<x+3
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Q.44

実践 1: 絶対値を含む不等式とグラフ
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Q.45

次の2次不等式を解け。 (1) (x+1)(x-2)>0 (2) (x+1)(x-2)<0 (3) x^2-3x-10≦0
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Q.46

次の条件を満たすように, 定数 a,ba, b の値を定めよ。\n(1)2 次不等式 x2+ax+b<0 x^2 + ax + b < 0 の解が 12<x<3-\frac{1}{2} < x < 3 である。\n(2) 2 次不等式 ax2+x+b0 ax^2 + x + b \leq 0 の解が x1,2x x \leq -1, 2 \leq x である。
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Q.47

不等式 3x+1x+5 3|x+1| \geqq x+5 を解け。
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Q.48

絶対不等式
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Q.49

不等式 2x+x58 |2 x|+|x-5| \geqq 8 を解け。
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Q.50

次の方程式を解け。(1) x+42x=2 |x+4|-2|x|=2
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Q.51

次の不等式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}4 x-1<3 x+5 \\ 5-3 x<1-x\end{array}\right. \)
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Q.52

(5) \( 0.2 x-7.1 \leqq-0.5(x+3) \)
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Q.53

TRAINING 実践 1\n不等式 x+1>2x |x|+1>2 x の解は \square である。
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Q.54

次の不等式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}+3 x+2>0 \\ x^{2}+2 x-3<0\end{array}\right. \) (2) 2x3<x24x4x7 2 x-3<x^{2}-4 x \leqq 4 x-7
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Q.55

2次不等式の解法のまとめ 基本例題 93〜96で, いろいろなタイプの2次不等式を解いてきました。ここで, 2次不等式の解き方をフローチャート(流れ図)の形にまとめておきましょう。
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Q.56

連立不等式 \\( \\left\\{\\begin{array}{l}x>3a+1 \\ 2x-1>6(x-2)\\end{array}\\right. \\) の解について, 次の条件を満たす定数 \ a \ の値の範囲を求めよ。\n(1)解が存在しない。\n(2)解に 2 が含まれる。\n(3)解に含まれる整数が 3 つだけとなる。
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Q.57

定数 p p とするとき, x x の不等式 px2x3 p x \geqq 2 x-3 を解け。
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Q.58

次の不等式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}-2 x-8<0 \\ x^{2}-x-2>0\end{array}\right. \) (2) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x+1>0 \\ x^{2}-x-6<0\end{array}\right. \) (3) \( \left\{\begin{array}{l}2 x^{2}+5 x \leqq 3 \\ 3\left(x^{2}-1\right)<1-11 x\end{array}\right. \) (4) 2x<x2<x+3 2-x<x^{2}<x+3
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Q.59

次の 2 次不等式を解け。\n(1) x2+2x+1>0 x^{2}+2 x+1>0 \n(2) x2+4x+40 x^{2}+4 x+4 \geqq 0 \n(3) 14x2x+1<0 \frac{1}{4} x^{2}-x+1<0 \n(4) 9x2+12x40 -9 x^{2}+12 x-4 \geqq 0
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Q.60

連立不等式 \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}3 x-7 \\leqq 5 x-3 \\\\ 2 x-6<3 a-x\\end{\overlineray}\\right. \ の解について, 次の条件を満たす定数 a \ の値の範囲を求めよ。 (1)解をもつ。 (2)解に整数がちょうど 3 個含まれる。
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Q.61

連立不等式 \( \left\{\begin{array}{l}2(x+1) \geqq 5 x-2 \\ -5 x<-3 x+4\end{array}\right. \) を満たす整数 x x の値をすべて求めよ。
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Q.62

不等式 A<BC A < B ≤ C について示せ。
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Q.63

次の不等式を解け。 (1) 4x + 5 > 2x - 3 (2) 3(x - 2) ≥ 2(2x + 1) (3) 1 / 2x > 4 / 5x - 3 (4) 0.1 x + 0.06 < 0.02 x + 0.1
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Q.64

2 次不等式は, グラフを用いて解きましょう。\n\( y=(x+2)(x+1) \) のグラフで y>0 y>0 となる x x の値の範囲\nを求めて x<2,1<x x<-2,-1<x
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Q.65

TRAINING : 35 (2) 次の不等式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}4 x-1<3 x+5 \\ 5-3 x<1-x\end{array}\right. \) (2) \( \left\{\begin{array}{l}3 x-5<1 \\ \frac{3 x}{2}-\frac{x-4}{3} \leqq \frac{1}{6}\end{array}\right. \) (3) 2x+54<x+2172x \frac{2 x+5}{4}<x+2 \leqq 17-2 x
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Q.66

TRAINING 32\na<b a<b のとき, 次の \square に不等号 > > またはくを入れ, 正しい不等式にせよ。\n(1) a+3 a+3 \square \square b+3 b+3 \n(2) 0.3a 0.3 a \square 0.3b 0.3 b \n(3) 25a -\frac{2}{5} a \square 25b -\frac{2}{5} b \n(4) 2a3 2 a-3 \square 2b3 2 b-3 \n(5) 6a 6-a \square 6b 6-b \n(6) a+53 \frac{a+5}{3} \square b+53 \frac{b+5}{3}
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Q.67

(1) y0 y \geqq 0 \n(2) y0 y \leqq 0 \n(3) 0y6 0 \leqq y \leqq 6 \n(4) 1y<1 -1 \leqq y<1
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Q.68

[1] x1,7x x \leqq-1,7 \leqq x のとき, 不等式は x26x72x+2 x^{2}-6 x-7 \geqq 2 x+2
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Q.69

9. (1) x>1 のとき, 3x+1>x+3 であることを証明せよ。 (2) 不等式 a^2-2ab+3b^2 ≥ 0 を証明せよ。また, 等号が成り立つのはどのようなときか。
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Q.70

不等式 \ \\log _{2} x-6 \\log _{x} 2 \\geqq 1 \ を解け。
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Q.71

次の不等式を解け。[(3) 神戸薬大 (4) 福井工大] (1) \( \\log _{\\frac{1}{2}}(1-x)>2 \) (2) \( 2 \\log _{0.5}(x-2)>\\log _{0.5}(x+4) \) (3) \( \\log _{2}(x-2)<1+\\log \\frac{1}{2}(x-4) \) (4) \( 2\\left(\\log _{2} x\\right)^{2}+3 \\log _{2} 4 x<8 \)
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Q.72

次の不等式を解け。\n(1) 2x>14 2^{x}>\frac{1}{4} \n(2) \( 9^{x}>\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x} \)\n(3) \( \left(\frac{1}{4}\right)^{x}-9\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}+32 \leqq 0 \)
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Q.73

次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) x>0 x>0 のとき 14x3x+1>0 \frac{1}{4} x^{3}-x+1>0 \n(2) x0 x \geqq 0 のとき \( x^{3}+1>6 x(x-2) \)
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Q.74

(1) x+y>0 かつ x-y>0 ならば 2 x+y>0 であることを証明せよ。
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Q.75

次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) x>0 x>0 のとき frac14x3x+1>0 \\frac{1}{4} x^{3}-x+1>0 \n(2) x0 x \geqq 0 のとき\n\( x^{3}+1>6 x(x-2) \)
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Q.76

(2105 次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(1) \( (x - 1)(x - 2y) < 0 \)
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Q.77

次の不等式を証明せよ。 (2) \( \sqrt{2\left(a^{2}+b^{2}\right)} \geqq|a|+|b| \)
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Q.78

次の不等式を解け。(1) \( \\log _{2}(x+3)<3 \) (2) \( 2 \\log _{\\frac{1}{3}} x<\\log _{\\frac{1}{3}}(2 x+3) \) (3) \( \\left(\\log _{3} x\\right)^{2}+\\log _{3} x-6 \\geqq 0 \)
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Q.79

次の不等式を証明せよ。 (1) aba+b |a-b| \leqq|a|+|b| (2) acab+bc |a-c| \leqq|a-b|+|b-c| (3) a+b+ca+b+c |a+b+c| \leqq|a|+|b|+|c|
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Q.80

次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) ab,xy a \geqq b, x \geqq y のとき \( (a+b)(x+y) \leqq 2(a x+b y) \)\n(2) abc,xyz a \geqq b \geqq c, x \geqq y \geqq z のとき \( (a+b+c)(x+y+z) \leqq 3(a x+b y+c z) \)
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Q.81

不等式 \ 2 \\log _{3} x-4 \\log _{x} 27 \\leqq 5 \ を解け。
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Q.82

不等式の表す領域 A 右の図の斜線部分は, どのような不等式で表されるか。ただし,境界線を含まないものとする。
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Q.83

次の不等式を求めよ:\n32. a b<a^{2}+b^{2}<a+b<\sqrt{a}+\sqrt{b}
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Q.84

指数不等式の解法: 次の指数不等式を解きなさい。
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Q.85

三角方程式・不等式の解法 (角のおき換え)
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Q.86

(1) x<1,1<x x<-1, \quad 1<x
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Q.87

不等式 2log3x4logx275 2 \log _{3} x-4 \log _{x} 27 \leqq 5 を解け。
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Q.88

次の不等式を解け。 (1) \( \left(\frac{1}{3}\right)^{x}<9 \) (2) 9x+1283x+3<0 9^{x+1}-28 \cdot 3^{x}+3<0 (3) 4x2x+232>0 4^{x}-2^{x+2}-32>0
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Q.89

次の不等式を証明せよ。また, 等号が成り立つのはどのようなときか。\n(1) a2+b2+c2+ab+bc+ca0 a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+c a \geqq 0 \n(2) a+b+c>0 a+b+c>0 のとき a3+b3+c33abc a^{3}+b^{3}+c^{3} \geqq 3 a b c
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Q.90

3 種類の材料 A, B, C から 2 種類の製品 P, Q を作っている工場がある。製品 P を 1 kg 作るには、材料 A, B, C をそれぞれ 1 kg, 3 kg, 5 kg 必要とし, 製品 Q を 1 kg 作るには, 材料 A, B, C をそれぞれ 5 kg, 4 kg, 2 kg 必要とする。また,1日に仕入れることができる材料 A,B,C の量の上限はそれぞれ 260 kg , 230 kg, 290 kg である。この工場で1日に製品Pを x kg ,製品 Q を y kg 作るとするとき,次の問いに答えよ。ただし, x ≥ 0, y ≥ 0 とする。(1) x, y が満たすべき条件について考える。材料Aの使用量の条件から材料Bの使用量の条件から y ≤ (アイ)/(ウ) x+ エオ.材料Cの使用量の条件から y ≤ (スセ)/(ソ) x+ タチツ である。アイ タタツにに当てはまる数をそれぞれ答えよ。
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Q.91

対数不等式の解法 (2): 次の対数不等式を解きなさい。
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Q.92

x, y が 4 つの不等式 x >= 0, y >= 0, x-2 y+8 >= 0,3 x+y-18 <= 0 を満たすとき, x-4 y のとる値の最大値および最小値を求めよ。
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Q.93

EX log102=0.3010 \log _{10} 2=0.3010 \cdots \cdots を用いずに, 不等式 310<log102<413 \frac{3}{10}<\log _{10} 2<\frac{4}{13} を示せ。210=1024,213=8192 2^{10}=1024,2^{13}=8192 であるから 103<210,213<104 \quad 10^{3}<2^{10}, 2^{13}<10^{4} それぞれの不等式で, 両辺の常用対数をとると
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Q.94

不等式を解け:\n9x<275x<812x+19^x < 27^{5-x} < 81^{2x+1}
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Q.95

次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(2)\n\( \left\{\begin{array}{l}y \leqq-x^{2}+4 x+1 \\ y \leqq x+1\end{array}\right. \)
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Q.96

太郎さんの解答が間違っている理由として最も適切なものを次の( )〜(4)のうちから1つ選べ。 (0) a>0 のとき、不等式(*)は成り立たないから。 (1) 不等式(*)の等号が成り立つのは, a>0 かつ 2a+1=3/(a+1) のときではないから。 (2) a>0 かつ 2a+1=3/(a+1) を満たす a の値が a=1/2 ではないから。 (3) a=1/2 のときの 2a+1+3/(a+1) の値が 4 ではないから。 (4) 2a+1+3/(a+1) が最小になるのは, 不等式(*)の等号が成り立つときではないから。
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Q.97

不等式 asin2x+6sinx+10 a \sin ^{2} x+6 \sin x+1 \geqq 0 が常に成り立つような a a の最小値を求めよ。
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Q.98

PR x,y x, y が 4 つの不等式 x0,y0,x2y+80,3x+y180 x \geqq 0, y \geqq 0, x-2 y+8 \geqq 0,3 x+y-18 \leqq 0 を満たすとき, x4y x-4 y のとる 106 値の最大値および最小値を求めよ。
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Q.99

STEP UP 教科書で扱われていない内容のうち,特に注意すべき事柄を扱った。
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Q.00

PR ageqq0,bgeqq0 a \\geqq 0, b \\geqq 0 のとき, 次の不等式が成り立つことを証明せよ。また,等号が成り立つのはどのようなときか。\n(1) \ \\sqrt{a}+2 \\geqq \\sqrt{a+4} \\n(2) \\( \\sqrt{2(a+b)} \\geqq \\sqrt{a}+\\sqrt{b} \\)
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Q.01

次の不等式を解け。 (1) 2x>142^{x}>\frac{1}{4} (2) \(9^{x}>\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x}\) (3) \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x}-9\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}+32 \leq 0\) (4) 4x+32x404^{x}+3 \cdot 2^{x}-4 \leq 0
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Q.02

次の不等式を解け。\n(1) x>2 x>-2 \n(2) x>1 x>-1 \n(3) 4x1 -4 \leqq x \leqq-1 \n(4) x0 x \leqq 0
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Q.03

不等式 2-ログ_y(1+x) < ログ_y(1-x) の表す領域を図示せよ。
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Q.04

対数不等式の解法 (1): 次の対数不等式を解きなさい。
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Q.05

EX 数\n\nEX 連立不等式 \( \left\{\begin{array}{l}x>3 a+1 \\ 2 x-1>6(x-2)\end{array}\right. \) の解について, 次の条件を满たす定数 a a の値の範囲を求めよ。\n(1) 解が存在しない。\n(2)解に 2 が含まれる。\n(3)解に含まれる整数が 3 つだけとなる。\n[神戸学院大]
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Q.06

次の方程式・不等式を解け。\n(1) x+5=3 |x+5|=3 \n(2) 13x=5 |1-3 x|=5 \n(3) x+2<5 |x+2|<5 \n(4) 2x1geqq3 |2 x-1| \\geqq 3
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Q.07

条件の否定 条件 p,q p, q を満たすもの全体の集合をそれぞれ P,Q P, Q とする。 (1) p p かつ \( q(P \cap Q) \cdots \cdots p, q \) がともに成り立つ。 p p または \( q(P \cup Q) \cdots \cdots, p, q \) の少なくとも一方が成り立つ。 (2) 否定 条件 p p の否定( p p でない)を pˉ \bar{p} で表す。 p かつ q( \overline{p \text { かつ } q}( かつ q q の否定 \) \Leftrightarrow pˉ \bar{p} または qˉ \bar{q} p または q( \overline{p \text { または } q}( または q q の否定 \) \Leftrightarrow pˉ \bar{p} かつ qˉ \bar{q}
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Q.08

次の方程式・不等式を解け。\n(1) ||\ x-1|-2|-3=0 \\n(2) \ |x-5| \leqq \frac{2}{3}|x|+1 \
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Q.09

不等式 ax>x+a2+a2 a x>x+a^{2}+a-2 を解け。ただし, a a は定数とする。
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Q.10

まず, 2 次の係数を正に。 なお,不等号の向きが変 わる。\n2 次不等式を解く上でのポイント\n2 次不等式を解く際のポイントは簡単な図をかいて確認する(グラフをイメージする)ことである。また,慣れないうちは,次のようなミスをしやすい。最初は図をかいて考えるの が確実である。以下,間違いやすい具体例をあげておこう。\n㽝1 \( x(x+1)>0 \) を解け。\n右の図からもわかるように, \( x(x+1)>0 \) の解は x<1,0<x x<-1,0<x であるが, 次のようなミスをしやすいので注意が必要。\n(1) \( x(x+1)>0 \) の両辺を x x で割って x+1>0 x+1>0 \nよって, 解は x>1 x>-1 \n【誤り!】 x>0 x>0 であると勝手に決めつけて, 両辺を x x で割っているのが最大のミス。\n(2) \( x(x+1)>0 \) から 1<x<0 -1<x<0 \n【誤り!】右の図のように, これは \( x(x+1)<0 \) の範囲。\n(3) \( x(x+1)>0 \) から x<0,1<x x<0,-1<x \n【誤り!】右の図のように, 0 と -1 の位置関係が逆。\n(4) \( x(x+1)>0 \) から x>0,1 x>0,-1 \n【誤り!】方程式 \( x(x+1)=0 \) の解 x=0,1 x=0,-1 と同じように考えている。
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Q.11

常に成り立つ不等式(絶対不等式) (1)すべての実数 x x に対して,2 次不等式 \( x^{2}+(k+3) x-k>0 \) が成り立つよう な定数 k k の値の範囲を求めよ。 (2)任意の実数 x x に対して, 不等式 ax223x+a+20 a x^{2}-2 \sqrt{3} x+a+2 \leqq 0 が成り立つような定数 a a の値の範囲を求めよ。
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Q.12

次の方程式を解け。\n(1) x2=3x |x-2|=3 x \n(2) x1+x2=x |x-1|+|x-2|=x
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Q.13

(3) 2x2x40 2 x^{2}-x-4 \geqq 0
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Q.14

不等式 \( a(x+1)>x+a^{2} \) を解け。ただし, a a は定数とする。
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Q.15

0 ≤ x ≤ 8 のすべての x の値に対して, 不等式 x^2 - 2mx + m + 6 > 0 が成り立つような定数 m の値の範囲を求めよ。
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Q.16

すべての実数 x x に対して, 不等式 \( a\left(x^{2}+x-1\right)<x^{2}+x \) が成り立つような, 定数 a a の値の範囲を求めよ。
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Q.17

次の不等式を解け。\n(1) \( \left\{\begin{array}{l}6(x+1) > 2x - 5 \\ 25 - \frac{6 - x}{2} \leqq 3x\end{array}\right. \)\n(2) \( \frac{5(x-1)}{2} \leqq 2(2x + 1) < \frac{7(x-1)}{4} \)
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Q.18

絶対値を含む不等式の解法
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Q.19

[1] \ x \\leqq-1,7 \\leqq x \ のとき,不等式は\n\\nx^{2}-6 x-7 \\geqq 2 x+2\n\\nよって \ \\quad x^{2}-8 x-9 \\geqq 0 \ ゆえに \\( (x+1)(x-9) \\geqq 0 \\)\nしたがって \ \\quad x \\leqq-1,9 \\leqq x \
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Q.20

次の不等式を解け。 (3) 42 (1) 3x+1<x+5 3|x+1|<x+5 (2) x+2x1>x |x+2|-|x-1|>x
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Q.21

2次不等式の解 (1) a>0 かつ D>0 のとき, 2次方程式 ax^2 + bx + c = 0 の異なる 2つの実数解を α, β(α<β) とすると a x^2 + b x + c > 0 の解は x < α, β < x a x^2 + b x + c < 0 の解は α < x < β a x^2 + b x + c ≥ 0 の解は x ≤ α, β ≤ x a x^2 + b x + c ≤ 0 の解は α ≤ x ≤ β
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Q.22

2 次不等式 \( a(x-3 a)\left(x-a^{2}\right)<0 \) を解け。ただし, a a は 0 でない定数とする。[広島工大]
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Q.23

2次不等式の解 (2) α<β のとき =(イコール)がつくと解にも=がつく (x-α)(x-β) > 0 の解は x < α, β < x (x-α)(x-β) ≥ 0 の解は x ≤ α, β ≤ x (x-α)(x-β) < 0 の解は α < x < β (x-α)(x-β) ≤ 0 の解は α ≤ x ≤ β
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Q.24

5x - 7 < 2x + 5 を満たす自然数 x の値をすべて求めよ。
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Q.25

2. x3 x \leqq 3 かつ y>2 y>2
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Q.26

1次不等式の解法を示してください。例: 3x2>7 3x - 2 > 7
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Q.27

次の方程式・不等式を解け。\n(1) \ |x-1|=2 \\n(2) \ |2-3 x|=4 \\n(3) \ |x-2|<3 \\n(4) \ |x-2|>3 \\n
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Q.28

不等式 x24x+1=t x^{2}-4 x+1=t の範囲を求めよ。
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Q.29

1 次不等式 不等式の性質\ 1 a<b \ ならば \ a+c<b+c, \\quad a-c<b-c \\ 2 a<b, c>0 \ ならば \ a c<b c, \\quad \\frac{a}{c}<\\frac{b}{c} \\ a<b, c<0 \ ならば \ a c>b c, \\frac{a}{c}>\\frac{b}{c} \\\- \ a<b, \\quad b<c \ ならば \ a<c \
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Q.30

連立不等式 (1) \( \left\{\begin{array}{l}2(1-x)>-6-x \\ 2 x-3>-9\end{array}\right. \) (2) \( \left\{\begin{array}{l}3(x-4) \leqq x-3 \\ 6 x-2(x+1)<10\end{array}\right. \) を解け。 (3) 不等式 \( x+9 \leqq 3-5 x \leqq 2(x-2) \) を解け。
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Q.31

絶対値を含む方程式や不等式では、絶対値記号内の式が0となる值を分かれ目として、場合に分けて絶対値をはずし方程式や不等式を解く。\n\n例題:以下の不等式を解け。\n\begin{aligned}\n&|x-1| + |x-3| \leq 5\n\end{aligned}
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Q.32

次の 1 次不等式を解け。\n(1) 6x21>3x 6 x-21>3 x \n(2) 5x+169x4 5 x+16 \leqq 9 x-4 \n(3) \( 3(x-1) \geqq 2(5 x+4) \)\n(4) 5x+1423x3<16x+1 \frac{5 x+1}{4}-\frac{2-3 x}{3}<\frac{1}{6} x+1
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Q.33

連立不等式 x > 3a + 1 2x - 1 > 6(x - 2) の解について, 次の条件を満たす定数 a の値の範囲 を求めよ。
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Q.34

次の 2 次不等式を解け。\n(1) x2x6<0 x^{2}-x-6<0 \n(2) 6x2x20 6 x^{2}-x-2 \geqq 0 \n(3) \( 3\left(x^{2}+4 x\right)>-11 \)\n(4) 2x2+5x+10 -2 x^{2}+5 x+1 \geqq 0 \n(5) \( 5 x>3\left(4 x^{2}-1\right) \)\n(6) x2+2x+130 -x^{2}+2 x+\frac{1}{3} \geqq 0
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Q.35

次の不等式が成り立つか確認しなさい: 1 < 2 において,すべての両辺に負の数 -1 を掛けた場合。結果の不等式がどうなるかを説明しなさい。
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Q.36

次の方程式・不等式を解け。 (1) ||(x-4) - 3| = 2 (2) |x-7| + |x-8| < 3
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Q.37

練習 次の方程式・不等式を解け。\n(1) \ |x+5|=3 \\n(2) \ |1-3 x|=5 \\n(3) \ |x+2|<5 \\n(4) \ |2 x-1| \\geqq 3 \\n
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Q.38

数学 I -219 総合 8 a, b, c, d を定数とする。また, w は x, y, z から w=a x+b y+c z+d によって定まるものとする。以下の命題を考える。 命題 1: x ≥ 0 かつ y ≥ 0 かつ z ≥ 0 → w ≥ 0 命題 2 : ⌈ x ≥ 0 かつ z ≥ 0 」 または ⌈ y ≥ 0 かつ z ≥ 0 」 → w ≥ 0 命題 3: z ≥ 0 → w ≥ 0 (1) b=0 かつ c=0 のとき, 命題 1 が真であれば, a ≥ 0 かつ d ≥ 0 であることを示せ。 (2) 命題 1 が真であれば, a, b, c, d はすべて0以上であることを示せ。 (3) 命題 2 が真であれば, 命題 3 も真であることを示せ。 [お茶の水大] → 本冊 数学 I 例題 61
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Q.39

次の不等式を解け。\n(1) \ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}6 x^{2}-7 x-3>0 \\\\ 15 x^{2}-2 x-8 \\leqq 0\\end{\overlineray}\\right. \\n(2) \ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}-6 x+5 \\leqq 0 \\\\ -3 x^{2}+11 x-6 \\geqq 0\\end{\overlineray}\\right. \
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Q.40

例2 |x-4|>3x を示す。 |x-4|>3x ⇔ x-4<-3x または 3x<x-4 (*) を示す。
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Q.41

(1) x^{2}-a x \leqq 5(a-x) (2) a x^{2}>x (3) x^{2}-a(a+1) x+a^{3}<0
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Q.42

xについての不等式 \( x^{2}-(a+1) x+a \leqq 0,3 x^{2}+2 x-1 \geqq 0 \) を同時に満たす整数 x x がちょうど 3 つ存在す るような定数 a a の値の範囲を求めよ。\n[類 摂南大]\n\( x^{2}-(a+1) x+a \leqq 0 \) を解くと, \( (x-a)(x-1) \) から\na<1 a<1 のとき ax1 a \leqq x \leqq 1 \na=1 a=1 のとき x=1 x=1 \na>1 a>1 のとき 1xa 1 \leqq x \leqq a \n3x2+2x103 x^{2}+2 x-1 \geqq 0 を解くと, \( (x+1)(3 x-1) \geqq 0 \) から\nx \leqq-1, \quad 13x\frac{1}{3} \leqq x \n(1), (2) を同時に満たす整数 x x がちょうど 3 つ存在するのは, a<1a < 1 または a>1a > 1 の場合である。\n[1] a<1a < 1 のとき\n3 つの整数 x x は\n 3<a2-3<a \leqq-2 のとき\n2,1,1-2,-1,1\n[2] a>1a > 1 のとき\n3 つの整数 x x x=1,2,3 x=1,2,3 よって 3a<4 3 \leqq a<4 \n \n[1], [2] から, 求める a a の値の範囲は\n 3<a2,3a<4-3<a \leqq-2, 3 \leqq a<4
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Q.43

次の事柄が成り立つように,定数 a,b a , b の値を定めよ。\n(1) 2 次不等式 ax2+bx+3>0 a x^{2}+b x+3>0 の解が 1<x<3 -1<x<3 である。\n(2) 2 次不等式 ax2+bx240 a x^{2}+b x-24 \geqq 0 の解が x2,4x x \leqq-2 , 4 \leqq x である。
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Q.44

EX 不等式 ax2+y2+az2xyyzzxgeqq0 a x^{2} + y^{2} + a z^{2} - x y - y z - z x \\geqq 0 が任意の実数 x,y,z x, y, z に対して成り立つような定数 a a の範囲を求めよ。 [滋賀県大]\n与えられた不等式を y y について整理すると\n\\[\ny^{2} - (z + x) y + a(z^{2} + x^{2}) - z x \\geqq 0\n\\]
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Q.45

練習 次の命題の否定を述べよ。また,もとの命題とその否定の真偽を調べよ。\n(1)少なくとも 1 つの自然数 n n にいて n25n6=0 n^{2}-5 n-6=0 \n(2) すべての実数 x,y x, y について 9x212xy+4y2>0 9 x^{2}-12 x y+4 y^{2}>0 \n(3) ある自然数 m,n m, n について 2m+3n=6 2 m+3 n=6
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Q.46

絶対値を含む1 次不等式 (グラフ利用)
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Q.47

練習 次の不等式を解け。\n(1) 7x2>2x4 7-x^{2}>|2 x-4| \n(2) leftx26x7rightgeqq2x+2 \\left|x^{2}-6 x-7\\right| \\geqq 2 x+2 \n(3) left2x23x5right<x+1 \\left|2 x^{2}-3 x-5\\right|<x+1
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Q.48

不等式 \ \\left|x^{2}-2 x-3\\right| \\geqq 3-x \ を解け。
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Q.49

練習 次の命題の否定を述べよ。\n(1) x x が実数のとき, x3=8 x^{3}=8 ならば x=2 x=2 である。\n(2) x,y x, y が実数のとき, x2+y2<1 x^{2}+y^{2}<1 ならば x<1 |x|<1 かつ y<1 |y|<1 である。
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Q.50

[1] \ x \\leqq-1, \\frac{5}{2} \\leqq x \ のとき, 不等式は \ 2 x^{2}-3 x-5<x+1 \\n 整理して \ \\quad x^{2}-2 x-3<0 \ よって \\( \\quad(x+1)(x-3)<0 \\)\n したがって \ \\quad-1<x<3 \\n \ x \\leqq-1, \\quad \\frac{5}{2} \\leqq x \ との共通範囲は \ \\quad \\frac{5}{2} \\leqq x<3 \
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Q.51

不等式 ax > 3x - b を解け。
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Q.52

次の 2 次不等式を解け。\n(1) \( x(x-3)<0 \)\n(2) 3x2+20x7>0 3 x^{2}+20 x-7>0 \n(3) 2x2x40 2 x^{2}-x-4 \geqq 0 \n(4) 2x>x2 2-x>x^{2} \n(5) x2+2x+50 -x^{2}+2 x+5 \geqq 0 \n
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Q.53

[2] a=1 a=-1 のとき, 1x2 -1 \leqq x \leqq 2 の区間では y y は定数である。
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Q.54

例1 |x-4|<3x を示す。 |x-4|<3 x ⇔ -3x < x - 4 < 3x を示す。 1. 両辺に |x-4| を使った max 関数を適用することで、以下のように解く。 問題: |x-4|<3x かつ 3x ≤ 0 のとき、x の集合は空集合であることを証明しなさい。
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Q.55

次の不等式を解け。 (1) \( \left\{\begin{array}{l}2 x^{2}-5 x-3<0 \\ 3 x^{2}-4 x-4 \leqq 0\end{array}\right. \) (2) 23x2x24x2<x2 2-3 x-2 x^{2} \leqq 4 x-2<x^{2}
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Q.56

不等式 a x>x+a^{2}+a-2 \ を解け。ただし, \ a \ は定数とする。
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Q.57

次の不等式を解け。\n(1) 12x2xx1 \frac{1}{2} x^{2} \leqq|x|-|x-1| \n(2) \( x|x|<(3 x+2)|3 x+2| \)\n[(1) 類 名城大, (2) 類 岡山理科大]
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Q.58

不等式 |2x-3| ≤ |3x+2| を解け。
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Q.59

次の不等式を解け。 (1) 6(x+1) > 2x - 5 と 25 - (6 - x)/2 ≤ 3x (2) 5(x-1)/2 ≤ 2(2x+1) < 7(x-1)/4 の連立不等式
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Q.60

xは実数とする。集合を利用して, 次の命題の真偽を調べよ。 (1) |x|<2 ならば -3<x<3 (2) |x-1|>1 ならば 2|x-2|≥1
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Q.61

20 a, b, c, p を実数とする。不等式 a x^2+b x+c>0, b x^2+c x+a>0, c x^2+a x+b>0 をすべて満たす実数 x の集合と, x>p を満たす実数 x の集合が一致しているとする。 (1) a, b, c はすべて0以上であることを示せ。 (2) a, b, c のうち少なくとも 1 個は 0 であることを示せ。 (3) p=0 であることを示せ。
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Q.62

不等式 ax2+y2+az2xyyzzx0 a x^{2}+y^{2}+a z^{2}-x y-y z-z x \geqq 0